Kā noteikt skaitļa zīmi trigonometriskā funkcijā. trigonometriskais aplis. Trigonometrisko funkciju pamatvērtības

Atsauces dati pieskarei (tg x) un kotangensei (ctg x). Ģeometriskā definīcija, īpašības, grafiki, formulas. Pieskares un kotangenšu tabula, atvasinājumi, integrāļi, sērijas paplašinājumi. Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos. Savienojums ar hiperboliskām funkcijām.

Ģeometriskā definīcija

|BD| - apļa loka garums, kura centrs ir punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis.

Pieskares ( tgα) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar pretējās kājas garuma attiecību |BC| līdz blakus esošās kājas garumam |AB| .

Kotangenss ( ctgα) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas ir vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| .

Pieskares

Kur n- vesels.

AT Rietumu literatūra tangenss ir definēts šādi:
.
;
;
.

Pieskares funkcijas grafiks, y = tg x

Kotangenss

Kur n- vesels.

Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:
.
Ir pieņemts arī šāds apzīmējums:
;
;
.

Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x

Pieskares un kotangensa īpašības

Periodiskums

Funkcijas y= tg x un y= ctg x ir periodiski ar periodu π.

Paritāte

Funkcijas tangenss un kotangenss ir nepāra.

Definīcijas un vērtību jomas, augošā, dilstošā

Funkcijas tangenss un kotangenss ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( n- vesels skaitlis).

Formulas

Izteiksmes sinusa un kosinusa izteiksmē

; ;
; ;
;

Formulas summas un starpības tangensam un kotangensam

Piemēram, pārējās formulas ir viegli iegūt

Pieskares reizinājums

Pieskares summas un starpības formula

Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības dažām argumenta vērtībām.

Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē

Izteiksmes hiperbolisko funkciju izteiksmē

;
;

Atvasinājumi

; .

.
N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:
.
Formulu atvasināšana tangensam > > > ; kotangensam >>>

Integrāļi

Sēriju paplašināšana

Lai iegūtu pieskares paplašinājumu x pakāpēs, ir jāņem vairāki izvērsuma nosacījumi jaudas sērijas funkcijām grēks x un cos x un sadaliet šos polinomus savā starpā , . Rezultātā tiek iegūtas šādas formulas.

plkst.

plkst.
kur B n- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:
;
;
kur .
Vai saskaņā ar Laplasa formulu:

Apgrieztās funkcijas

Pieskares un kotangensas apgrieztās funkcijas ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.

Arktangents, arktg

, kur n- vesels.

Loka tangenss, arcctg

, kur n- vesels.

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.
G. Korns, Matemātikas rokasgrāmata pētniekiem un inženieriem, 2012. gads.

Ļauj noteikt vairākus raksturīgus rezultātus - sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašības. Šajā rakstā mēs apskatīsim trīs galvenās īpašības. Pirmais no tiem norāda leņķa α sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa zīmes atkarībā no tā, kura koordinātu ceturkšņa leņķis ir α. Tālāk mēs aplūkojam periodiskuma īpašību, kas nosaka leņķa α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtību nemainīgumu, kad šis leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu. Trešā īpašība izsaka attiecību starp pretējo leņķu α un −α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtībām.

Ja jūs interesē sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta funkciju īpašības, tad tās var izpētīt attiecīgajā raksta sadaļā.

Lapas navigācija.

Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa zīmes ceturtdaļās

Zemāk šajā punktā būs frāze "koordinātu ceturkšņa I, II, III un IV leņķis". Paskaidrosim, kas ir šie stūri.

Ņemsim vienības apli, atzīmēsim uz tā sākumpunktu A(1, 0) un pagriežam ap punktu O par leņķi α, kamēr pieņemsim, ka nonākam līdz punktam A 1 (x, y) .

Viņi tā saka leņķis α ir koordinātu ceturkšņa leņķis I , II , III , IV ja punkts A 1 atrodas attiecīgi I, II, III, IV ceturksnī; ja leņķis α ir tāds, ka punkts A 1 atrodas uz kādas no koordinātu taisnēm Ox vai Oy , tad šis leņķis nepieder nevienai no četrām ceturtdaļām.

Skaidrības labad mēs piedāvājam grafisku ilustrāciju. Zemāk esošie zīmējumi parāda griešanās leņķus 30 , -210 , 585 un -45 grādi, kas ir attiecīgi koordinātu ceturkšņu I , II , III un IV leņķi.

stūriem 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grādi nepieder nevienai no koordinātu ceturtdaļām.

Tagad izdomāsim, kurām zīmēm ir rotācijas leņķa α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības atkarībā no tā, kurš ceturkšņa leņķis ir α.

Sinususam un kosinusam tas ir viegli izdarāms.

Pēc definīcijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 ordināta. Ir skaidrs, ka I un II koordinātu ceturksnī tas ir pozitīvs, bet III un IV ceturksnī tas ir negatīvs. Tādējādi leņķa α sinusam I un II ceturksnī ir pluszīme, bet III un VI ceturksnī - mīnusa zīme.

Savukārt leņķa α kosinuss ir punkta A 1 abscisa. I un IV ceturksnī tas ir pozitīvs, bet II un III ceturksnī tas ir negatīvs. Tāpēc leņķa α kosinusa vērtības I un IV ceturksnī ir pozitīvas, bet II un III ceturksnī tās ir negatīvas.

Lai noteiktu zīmes pēc pieskares un kotangensa ceturtdaļām, jums jāatceras to definīcijas: tangenss ir punkta A 1 ordinātu attiecība pret abscisu, un kotangente ir punkta A 1 abscisu attiecība pret ordinātu. Tad no skaitļu dalīšanas noteikumi ar to pašu un dažādas zīmes no tā izriet, ka pieskarei un kotangensam ir pluszīme, ja punkta A 1 abscises un ordinātu zīmes ir vienādas, un mīnusa zīme, ja punkta A 1 abscises un ordinātu zīmes ir atšķirīgas. Tāpēc leņķa tangensam un kotangensam ir + zīme I un III koordinātu ceturtdaļā, bet mīnusa zīme II un IV ceturtdaļā.

Patiešām, piemēram, pirmajā ceturksnī gan punkta A 1 abscisa x, gan ordināta y ir pozitīvas, tad gan koeficients x/y, gan koeficients y/x ir pozitīvi, tāpēc pieskarei un kotangensei ir + zīmes. . Un otrajā ceturksnī abscisa x ir negatīva, un ordināta y ir pozitīva, tāpēc gan x / y, gan y / x ir negatīvi, no kurienes tangensei un kotangensei ir mīnusa zīme.

Pāriesim pie nākamās īpašības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa.

Periodiskuma īpašība

Tagad mēs analizēsim, iespējams, visredzamāko leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences īpašību. Tas sastāv no sekojošā: kad leņķis mainās par veselu skaitu pilnu apgriezienu, šī leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības nemainās.

Tas ir saprotams: kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu, mēs vienmēr no sākuma punkta A līdz punktam A 1 nokļūsim vienības aplī, tāpēc sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības paliek nemainīgas, jo punkta A 1 koordinātas ir nemainīgas.

Izmantojot formulas, aplūkoto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību var uzrakstīt šādi: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , kur α ir griešanās leņķis radiānos, z ir jebkurš , kura absolūtā vērtība norāda pilno apgriezienu skaitu, par kādu mainās leņķis α, un zīme cipars z norāda pagrieziena virzienu.

Ja griešanās leņķis α ir norādīts grādos, tad šīs formulas tiks pārrakstītas kā sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .

Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, , kā , a . Šeit ir vēl viens piemērs: vai .

Šo īpašību kopā ar samazināšanas formulām ļoti bieži izmanto, aprēķinot "lielo" leņķu sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības.

Aplūkoto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību dažreiz sauc par periodiskuma īpašību.

Pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašības

Apzīmēsim punktu А 1, kas iegūts, pagriežot sākuma punktu А(1, 0) ap punktu O ar leņķi α , bet punkts А 2 ir punkta А pagriešanas par leņķi rezultāts. −α pretējs leņķim α .

Pretēju leņķu sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu īpašība ir balstīta uz diezgan acīmredzamu faktu: iepriekš minētie punkti A 1 un A 2 vai nu sakrīt (pie), vai atrodas simetriski ap asi Ox. Tas ir, ja punktam A 1 ir koordinātes (x, y) , tad punktam A 2 būs koordinātes (x, −y) . No šejienes saskaņā ar sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām mēs pierakstām vienādības un.
Salīdzinot tos, iegūstam attiecības starp formas α un −α pretējo leņķu sinusiem, kosinusiem, tangensiem un kotangensiem.
Tas ir uzskatāms īpašums formulu veidā.

Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, vienādības un .

Atliek tikai atzīmēt, ka pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašība, tāpat kā iepriekšējā īpašība, bieži tiek izmantota, aprēķinot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības, un tas ļauj pilnībā izkļūt. no negatīviem leņķiem.

Bibliogrāfija.

• Algebra: Proc. 9 šūnām. vid. skola / Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis.- M.: Apgaismība, 1990.- 272 lpp.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Daudzveidīgs. Daži no tiem ir par to, kuros ceturkšņos kosinuss ir pozitīvs un negatīvs, kurā ceturtdaļās sinuss ir pozitīvs un negatīvs. Viss izrādās vienkārši, ja zināt, kā aprēķināt šo funkciju vērtību dažādi leņķi un iepazinies ar funkciju attēlošanas principu grafikā.

Kādas ir kosinusa vērtības

Ja ņemam vērā, tad mums ir šāda malu attiecība, kas to nosaka: leņķa kosinuss a ir blakus esošās kājas BC attiecība pret hipotenūzu AB (1. att.): cos a= BC/AB.

Izmantojot to pašu trīsstūri, jūs varat atrast leņķa sinusu, pieskari un kotangensu. Sinuss būs pretējā kājas leņķa AC attiecība pret hipotenūzu AB. Leņķa tangensu atrod, ja vēlamā leņķa sinusu dala ar tā paša leņķa kosinusu; aizstājot atbilstošās formulas sinusa un kosinusa atrašanai, iegūstam, ka tg a\u003d AC / BC. Kotangenss kā pieskarei apgrieztā funkcija tiks atrasta šādi: ctg a= BC/AC.

Tas ir, vienādām leņķa vērtībām tika konstatēts, ka taisnleņķa trīsstūrī malu attiecība vienmēr ir vienāda. Šķiet, ka kļuva skaidrs, no kurienes šīs vērtības nāk, bet kāpēc tiek iegūti negatīvi skaitļi?

Lai to izdarītu, mums ir jāņem vērā trīsstūris Dekarta koordinātu sistēmā, kur ir gan pozitīvi, gan negatīvas vērtības.

Skaidrs par kvartāliem, kur ir kurš

Kas ir Dekarta koordinātas? Ja mēs runājam par divdimensiju telpu, mums ir divas virzītas līnijas, kas krustojas punktā O - tā ir abscisu ass (Ox) un ordinātu ass (Oy). No punkta O taisnes virzienā ir pozitīvi skaitļi un iekšā otrā puse- negatīvs. Galu galā no tā ir tieši atkarīgs, kurās ceturkšņos kosinuss ir pozitīvs un kurā attiecīgi negatīvs.

Pirmais ceturksnis

Ja novieto taisnleņķa trīsstūris pirmajā ceturksnī (no 0 o līdz 90 o), kur x un y asīm ir pozitīvas vērtības(segmenti AO un VO atrodas uz asīm, kur vērtībām ir "+" zīme), tad gan sinusam, gan kosinusam būs arī pozitīvas vērtības, un tiem tiek piešķirta vērtība ar plus zīmi. Bet kas notiek, ja trijstūri pārvietojat uz otro ceturksni (no 90 o uz 180 o)?

Otrā ceturtdaļa

Mēs redzam, ka gar y asi AO saņēma negatīvu vērtību. Leņķa kosinuss a tagad ir šī puse attiecībā pret mīnusu, un tāpēc tā galīgā vērtība kļūst negatīva. Izrādās, kurā ceturksnī kosinuss ir pozitīvs, ir atkarīgs no trijstūra izvietojuma Dekarta koordinātu sistēmā. Un šajā gadījumā leņķa kosinuss iegūst negatīvu vērtību. Bet sinusam nekas nav mainījies, jo tā zīmes noteikšanai ir vajadzīga OB puse, kas šajā gadījumā palika ar plus zīmi. Apkoposim pirmos divus ceturkšņus.

Lai noskaidrotu, kuros ceturkšņos kosinuss ir pozitīvs un kurā negatīvs (kā arī sinusa un citas trigonometriskās funkcijas), ir jāskatās, kura zīme ir piešķirta vienai vai otrai kājai. Leņķa kosinusam a svarīga ir AO kāja, sinusam - OB.

Pirmais ceturksnis pagaidām ir kļuvis par vienīgo, kas atbild uz jautājumu: “Kurās ceturkšņos ir vienlaicīgi pozitīvs sinuss un kosinuss?”. Redzēsim tālāk, vai šo divu funkciju zīmē būs vairāk sakritību.

Otrajā ceturtdaļā AO legam sāka būt negatīva vērtība, kas nozīmē, ka kosinuss kļuva negatīvs. Sinusam tiek saglabāta pozitīva vērtība.

trešajā ceturksnī

Tagad abas kājas AO un OB ir kļuvušas negatīvas. Atgādiniet kosinusa un sinusa attiecības:

Cos a \u003d AO / AB;

Sin a \u003d BO / AB.

AB dotajā koordinātu sistēmā vienmēr ir pozitīva zīme, jo tā nav vērsta ne uz vienu no divām pusēm, ko nosaka ass. Bet kājas ir kļuvušas negatīvas, kas nozīmē, ka rezultāts abām funkcijām arī ir negatīvs, jo, ja veicat reizināšanas vai dalīšanas darbības ar skaitļiem, starp kuriem vienam un tikai vienam ir mīnusa zīme, tad arī rezultāts būs ar šo zīmi .

Rezultāts šajā posmā:

1) Kurā ceturksnī kosinuss ir pozitīvs? Pirmajā no trim.

2) Kurā ceturksnī sinusa ir pozitīvs? Pirmajā un otrajā no trim.

Ceturtais ceturksnis (no 270 o līdz 360 o)

Šeit AO kāja atkal iegūst plus zīmi un līdz ar to arī kosinusu.

Sinusam lietas joprojām ir "negatīvas", jo kājas OB palika zem sākuma punkta O.

atklājumiem

Lai saprastu, kurās ceturkšņos kosinuss ir pozitīvs, negatīvs utt., Jums jāatceras kosinusa aprēķināšanas attiecība: leņķim blakus esošā kāja, dalīta ar hipotenūzu. Daži skolotāji iesaka to atcerēties: k (osine) \u003d (k) stūris. Ja atceraties šo "krāpšanos", tad automātiski saprotat, ka sinuss ir pretēja attiecība pret kājas leņķi pret hipotenūzu.

Ir diezgan grūti atcerēties, kuros ceturkšņos kosinuss ir pozitīvs un kurš negatīvs. Ir daudz trigonometrisko funkciju, un tām visām ir savas vērtības. Bet tomēr, kā rezultātā: sinusa pozitīvas vērtības - 1, 2 ceturtdaļas (no 0 o līdz 180 o); kosinusam 1, 4 ceturtdaļas (no 0 o līdz 90 o un no 270 o līdz 360 o). Atlikušajos ceturkšņos funkcijām ir vērtības ar mīnusu.

Varbūt kādam būs vieglāk atcerēties, kur ir kura zīme atbilstoši funkcijas attēlam.

Attiecībā uz sinusu var redzēt, ka no nulles līdz 180 o virsotne atrodas virs sin (x) vērtību līnijas, kas nozīmē, ka funkcija šeit ir pozitīva. Kosinusam ir tas pats: kurā ceturksnī kosinuss ir pozitīvs (7. fotoattēls), bet kurā negatīvs, to var redzēt, pārvietojot līniju virs un zem cos (x) ass. Rezultātā mēs varam atcerēties divus veidus, kā noteikt sinusa zīmi, kosinusa funkcijas:

1. Pēc iedomāta riņķa rādiusa, kura rādiuss ir vienāds ar vienu (lai gan patiesībā nav nozīmes, kāds ir apļa rādiuss, bet mācību grāmatās visbiežāk ir dots šis piemērs; tas atvieglo uztveršanu, bet tajā pašā laikā, ja nenorādīsit, ka tam nav nozīmes, bērni var apjukt).

2. Atbilstoši attēlam par funkcijas atkarību no (x) no paša argumenta x, kā pēdējā attēlā.

Izmantojot pirmo metodi, jūs varat SAPRAST, no kā tieši zīme ir atkarīga, un mēs to detalizēti paskaidrojām iepriekš. 7. attēlā, kas veidots, pamatojoties uz šiem datiem, vislabākajā iespējamajā veidā ir vizualizēta iegūtā funkcija un tās piederība zīmēm.

Ja jau esat iepazinies ar trigonometriskais aplis , un jūs vienkārši vēlaties atsvaidzināt atsevišķus elementus savā atmiņā vai esat pilnīgi nepacietīgs, tad šeit tas ir, :

Šeit mēs visu detalizēti analizēsim soli pa solim.

Trigonometriskais aplis nav greznība, bet gan nepieciešamība

Trigonometrija daudzi ir saistīti ar neizbraucamu biezokni. Tik daudz nozīmju pēkšņi sakrājas trigonometriskās funkcijas, tik daudz formulu ... Bet tas ir tāpat kā - sākumā neizdevās, un ... izslēdzas un atkal ... milzīgs pārpratums ...

Ir ļoti svarīgi nevicināt roku trigonometrisko funkciju vērtības, - saka, uz spuru vienmēr var paskatīties ar vērtību tabulu.

Ja pastāvīgi skatāties uz tabulu ar trigonometrisko formulu vērtībām, atbrīvojieties no šī ieraduma!

Izglābs mūs! Jūs strādāsit ar to vairākas reizes, un tad tas pats par sevi parādīsies jūsu galvā. Kāpēc tas ir labāks par galdu? Jā, tabulā atradīsi ierobežotu skaitu vērtību, bet uz apļa - VISS!

Piemēram, teiksim, skatoties trigonometrisko formulu vērtību standarta tabula , kas ir, teiksim, 300 grādu sinuss vai -45.

Nekādā gadījumā? .. jūs, protams, varat izveidot savienojumu samazināšanas formulas... Un, skatoties uz trigonometrisko apli, jūs varat viegli atbildēt uz šādiem jautājumiem. Un jūs drīz uzzināsit, kā!

Un risinot trigonometriskos vienādojumus un nevienādības bez trigonometriskā apļa - nekur.

Ievads trigonometriskajā aplī

Ejam kārtībā.

Vispirms pierakstiet šādas skaitļu sērijas:

Un tagad šis:

Un visbeidzot šis:

Protams, ir skaidrs, ka patiesībā, pirmajā vietā ir, otrajā vietā ir, un pēdējā -. Tas ir, mēs vairāk interesēsimies par ķēdi.

Bet cik skaisti tas izrādījās! Tādā gadījumā mēs atjaunosim šīs "brīnišķīgās kāpnes".

Un kāpēc mums tas ir vajadzīgs?

Šī ķēde ir galvenās sinusa un kosinusa vērtības pirmajā ceturksnī.

Uzzīmēsim apli ar vienības rādiusu taisnstūra koordinātu sistēmā (tas ir, ņemam jebkuru rādiusu visā garumā un pasludināsim tā garumu par vienību).

No “0-Start” stara mēs noliekam malā bultiņas virzienā (skat. att.) stūrus.

Mēs iegūstam atbilstošos punktus uz apļa. Tātad, ja mēs projicējam punktus uz katras ass, mēs iegūsim tieši vērtības no iepriekš minētās ķēdes.

Kāpēc tā, jūs jautājat?

Nedalīsim visu atsevišķi. Apsveriet principu, kas ļaus tikt galā ar citām, līdzīgām situācijām.

Trijstūris AOB ir taisnleņķa trīsstūris ar . Un mēs zinām, ka pretī leņķim pie atrodas divreiz mazāka kāja par hipotenūzu (mūsu hipotenūza = apļa rādiuss, tas ir, 1).

Tādējādi AB= (un līdz ar to OM=). Un pēc Pitagora teorēmas

Ceru, ka tagad kaut kas ir skaidrs.

Tātad punkts B atbildīs vērtībai, un punkts M atbilst vērtībai

Līdzīgi ir ar pārējām pirmā ceturkšņa vērtībām.

Kā jūs saprotat, mums (vērsis) pazīstamā ass būs kosinusa ass, un ass (oy) - sinusa ass . vēlāk.

Pa kreisi no nulles uz kosinusa ass (zem nulles uz sinusa ass), protams, būs negatīvas vērtības.

Tātad, lūk, VISUSPĒKS, bez kura nekur trigonometrijā.

Bet kā izmantot trigonometrisko apli, mēs runāsim.

Trigonometriskās funkcijas zīme ir atkarīga tikai no koordinātu ceturkšņa, kurā atrodas skaitliskais arguments. Iepriekšējā reizē mēs uzzinājām, kā argumentus no radiāna mēra pārvērst grādu mērā (skatiet nodarbību “Leņķa radiāns un pakāpes mērs”) un pēc tam noteikt šo pašu koordinātu ceturksni. Tagad faktiski nodarbosimies ar sinusa, kosinusa un pieskares zīmes definīciju.

Leņķa α sinuss ir trigonometriskā apļa punkta ordināta (koordināta y), kas rodas, rādiusu pagriežot pa leņķi α.

Leņķa α kosinuss ir trigonometriskā apļa punkta abscisa (x koordināte), kas rodas, rādiusam griežoties pa leņķi α.

Leņķa α pieskare ir sinusa attiecība pret kosinusu. Vai, līdzvērtīgi, y-koordinātas attiecība pret x-koordinātu.

Apzīmējums: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Visas šīs definīcijas jums ir pazīstamas no vidusskolas algebras kursa. Taču mūs neinteresē pašas definīcijas, bet gan sekas, kas rodas uz trigonometriskā apļa. Paskaties:

Zilā krāsa norāda OY ass (ordinātu ass) pozitīvo virzienu, sarkanā krāsa norāda OX ass (abscisu ass) pozitīvo virzienu. Uz šī "radara" kļūst acīmredzamas trigonometrisko funkciju pazīmes. It īpaši:

1. sin α > 0, ja leņķis α atrodas I vai II koordinātu ceturtdaļā. Tas ir tāpēc, ka pēc definīcijas sinuss ir ordināta (y koordināte). Un y koordināta būs pozitīva tieši I un II koordinātu ceturtdaļās;
2. cos α > 0, ja leņķis α atrodas I vai IV koordinātu ceturtdaļā. Jo tikai tur x koordināte (tā ir arī abscisa) būs lielāka par nulli;
3. tg α > 0, ja leņķis α atrodas I vai III koordinātu kvadrantā. Tas izriet no definīcijas: galu galā tg α = y : x , tāpēc tas ir pozitīvs tikai tad, ja x un y zīmes sakrīt. Tas notiek 1. koordinātu ceturksnī (šeit x > 0, y > 0) un 3. koordinātu ceturksnī (x< 0, y < 0).

Skaidrības labad mēs atzīmējam katras trigonometriskās funkcijas zīmes - sinusu, kosinusu un tangensu - uz atsevišķa "radara". Mēs iegūstam šādu attēlu:

Piezīme: savā argumentācijā es nekad nerunāju par ceturto trigonometrisko funkciju - kotangensu. Fakts ir tāds, ka kotangences zīmes sakrīt ar pieskares zīmēm - tur nav īpašu noteikumu.

Tagad es ierosinu apsvērt piemērus, kas ir līdzīgi problēmām B11 no izmēģinājuma eksāmens matemātikā, kas notika 27.09.2011. Galu galā Labākais veids teorijas izpratne ir prakse. Vēlams daudz prakses. Protams, uzdevumu nosacījumi tika nedaudz mainīti.

Uzdevums. Nosakiet trigonometrisko funkciju un izteiksmju zīmes (pašu funkciju vērtības nav jāņem vērā):

1. grēks(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. iedegums (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. iedegums (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Rīcības plāns ir šāds: vispirms mēs pārvēršam visus leņķus no radiāna mēra uz grādu mēru (π → 180°), un pēc tam skatāmies, kurā koordinātu ceturksnī atrodas iegūtais skaitlis. Zinot kvartālus, mēs varam viegli atrast zīmes – saskaņā ar tikko aprakstītajiem noteikumiem. Mums ir:

1. grēks (3π/4) = grēks (3 180°/4) = grēks 135°. Tā kā 135° ∈ , tas ir leņķis no II koordinātu kvadranta. Bet sinuss otrajā ceturksnī ir pozitīvs, tātad grēks (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Jo 210° ∈ , tas ir leņķis no III koordinātu kvadranta, kurā visi kosinusi ir negatīvi. Tāpēc cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Kopš 300° ∈ mēs atrodamies IV kvadrantā, kur pieskarei ir negatīvas vērtības. Tāpēc tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Tiksim galā ar sinusu: jo 135° ∈ , šis ir otrais ceturksnis, kurā sinusi ir pozitīvi, t.i. sin (3π/4) > 0. Tagad strādājam ar kosinusu: 150° ∈ - atkal otrais ceturksnis, tur kosinusi ir negatīvi. Tāpēc cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Mēs skatāmies uz kosinusu: 120° ∈ ir II koordinātu ceturtdaļa, tātad cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Atkal mēs saņēmām produktu, kurā faktori ir dažādas pazīmes. Tā kā “mīnus reiz pluss dod mīnusu”, mums ir: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Mēs strādājam ar sinusu: kopš 150° ∈ , mēs runājam par II koordinātu kvartālu, kur sinusi ir pozitīvi. Tāpēc sin (5π/6) > 0. Tāpat 315° ∈ ir IV koordinātu ceturtdaļa, tur esošie kosinusi ir pozitīvi. Tāpēc cos (7π/4) > 0. Ieguvām divu pozitīvu skaitļu reizinājumu - šāda izteiksme vienmēr ir pozitīva. Secinām: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Bet leņķis 135° ∈ ir otrais ceturksnis, t.i. iedegums (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Tā kā “mīnus pluss dod mīnusa zīmi”, mums ir: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Apskatām kotangentes argumentu: 240° ∈ ir III koordinātu ceturtdaļa, tātad ctg (4π/3) > 0. Tāpat arī pieskarei mums ir: 30° ∈ ir I koordinātu ceturtdaļa, t.i. vieglākais stūris. Tāpēc tg (π/6) > 0. Atkal saņēmām divas pozitīvas izteiksmes - arī viņu produkts būs pozitīvs. Tāpēc ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Visbeidzot, apskatīsim vēl dažus izaicinošus uzdevumus. Papildus trigonometriskās funkcijas zīmes noskaidrošanai šeit ir jāveic neliels aprēķins - tāpat kā tas tiek darīts reālos uzdevumos B11. Principā tie ir gandrīz reāli uzdevumi, kas patiešām ir atrodami matemātikas eksāmenā.

Uzdevums. Atrast sin α, ja sin 2 α = 0,64 un α ∈ [π/2; π].

Tā kā sin 2 α = 0,64, mums ir: sin α = ±0,8. Atliek izlemt: plus vai mīnus? Pieņemot, ka leņķis α ∈ [π/2; π] ir II koordinātu ceturtdaļa, kur visi sinusi ir pozitīvi. Tāpēc grēks α = 0,8 - nenoteiktība ar zīmēm tiek novērsta.

Uzdevums. Atrast cos α, ja cos 2 α = 0,04 un α ∈ [π; 3π/2].

Mēs rīkojamies līdzīgi, t.i. ekstrakts Kvadrātsakne: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Pieņemot, ka leņķis α ∈ [π; 3π/2], t.i. runa ir par III koordinātu kvartālu. Tur visi kosinusi ir negatīvi, tāpēc cos α = −0,2.

Uzdevums. Atrodiet sin α, ja sin 2 α = 0,25 un α ∈ .

Mums ir: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Atkal skatāmies uz leņķi: α ∈ ir IV koordinātu ceturtdaļa, kurā, kā zināms, sinuss būs negatīvs. Tādējādi secinām: sin α = −0,5.

Uzdevums. Atrodiet tg α, ja tg 2 α = 9 un α ∈ .

Viss ir vienāds, tikai pieskarei. Ņemam kvadrātsakni: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Bet saskaņā ar nosacījumu leņķis α ∈ ir I koordinātu kvadrants. Visas trigonometriskās funkcijas, t.sk. pieskares, ir pozitīvi, tāpēc tg α = 3. Tas arī viss!