Formālās loģikas paradoksi un loģiskās kļūdas. Izklaidējoši loģiski paradoksi Paradoksi loģikā

14.08.2020

Zinātnieki un domātāji jau sen ir iecienījuši sevi un savus kolēģus izklaidēt, uzstādot neatrisināmas problēmas un formulējot visādus paradoksus. Daži no šiem domu eksperimentiem joprojām ir aktuāli tūkstošiem gadu, kas liecina par daudzu populārzinātnisku modeļu nepilnībām un "caurumiem" vispārpieņemtajās teorijās, kuras jau sen tiek uzskatītas par fundamentālām. Aicinām pārdomāt interesantākos un apbrīnojamākos paradoksus, kas, kā tagad mēdz teikt, "izpūta smadzenes" vairāk nekā vienai loģiķu, filozofu un matemātiķu paaudzei.

1. Aporija "Ahillejs un bruņurupucis"

Ahileja un bruņurupuča paradokss ir viens no paradoksiem (loģiski pareizi, taču pretrunīgi apgalvojumi), ko 5. gadsimtā pirms mūsu ēras formulējis sengrieķu filozofs Zēno no Elejas. Tās būtība ir šāda: leģendārais varonis Ahillejs nolēma sacensties skriešanā ar bruņurupuci. Kā zināms, bruņurupuči neatšķiras pēc ātruma, tāpēc Ahillejs pretiniekam iedeva 500 m pārsvaru. Kad bruņurupucis pārvar šo distanci, varonis sāk vajāt ar 10 reižu lielāku ātrumu, tas ir, kamēr bruņurupucis rāpo 50 m. , Ahilam izdodas noskriet doto 500 m startu . Tad skrējēja pārvar nākamos 50 m, bet šajā brīdī bruņurupucis rāpo vēl 5 m atpakaļ, šķiet, ka Ahillejs grasās to panākt, bet pretiniece vēl ir priekšā un kamēr viņš skrien 5 m, viņa paspēj uz priekšu vēl pusmetru un tā tālāk. Attālums starp tiem ir bezgalīgi samazināts, bet teorētiski varonim nekad neizdodas panākt lēno bruņurupuci, tas nav daudz, bet vienmēr viņam priekšā.

Protams, no fizikas viedokļa paradoksam nav jēgas - ja Ahillejs kustēsies daudz ātrāk, viņš tik un tā lauzīsies uz priekšu, tomēr Zenons, pirmkārt, ar savu argumentāciju vēlējās pierādīt, ka idealizētie matemātiskie jēdzieni “Punkts telpā” un “laika moments” nav pārāk piemēroti pareizai piemērošanai reālai kustībai. Aporija atklāj neatbilstību starp matemātiski pamatoto ideju, ka telpas un laika intervālus, kas nav nulles, var sadalīt bezgalīgi (tātad bruņurupucim vienmēr jāpaliek priekšā) un realitāti, kurā varonis, protams, uzvar sacīkstēs.

2. Laika cilpas paradokss

Paradoksi, kas apraksta ceļošanu laikā, jau sen ir iedvesmas avots zinātniskās fantastikas rakstniekiem un zinātniskās fantastikas filmu un TV šovu veidotājiem. Ir vairāki laika cilpas paradoksu varianti, vienu no vienkāršākajiem un ilustratīvākajiem šādas problēmas piemēriem savā grāmatā The New Time Travelers sniedzis Masačūsetsas universitātes profesors Deivids Tomijs.

Iedomājieties, ka kāds ceļotājs laikā ir nopircis Šekspīra Hamleta eksemplāru grāmatnīcā. Tad viņš devās uz Angliju Jaunavas karalienes Elizabetes I laikā un, atradis Viljamu Šekspīru, pasniedza viņam grāmatu. Viņš to pārrakstīja un publicēja kā savu darbu. Paiet simtiem gadu, Hamlets tiek tulkots desmitiem valodu, bezgalīgi pārdrukāts, un viens no eksemplāriem nonāk tieši tajā grāmatnīcā, kur laika ceļotājs to nopērk un atdod Šekspīram, kurš taisa kopiju utt... Kuru šajā gadījumā vajadzētu pieskaitīt?nemirstīgas traģēdijas autoru?

3. Meitenes un zēna paradokss

Varbūtību teorijā šo paradoksu sauc arī par "Smita kunga bērniem" vai "Smita kundzes problēmām". To pirmo reizi formulēja amerikāņu matemātiķis Martins Gārdners vienā no žurnāla Scientific American numuriem. Zinātnieki ir strīdējušies par paradoksu gadu desmitiem, un ir vairāki veidi, kā to atrisināt. Apdomājot problēmu, varat piedāvāt savu versiju.

Ģimenē aug divi bērni un droši zināms, ka viens no viņiem ir puika. Kāda ir varbūtība, ka arī otrs bērns ir vīrietis? No pirmā acu uzmetiena atbilde ir diezgan acīmredzama - 50 pret 50, vai nu viņš tiešām ir zēns vai meitene, izredzēm jābūt vienādām. Problēma ir tā, ka divu bērnu ģimenēs ir iespējamas četras bērnu dzimumu kombinācijas - divas meitenes, divi zēni, vecāks zēns un jaunāka meitene, un otrādi - vecāka meitene un jaunāks zēns. Pirmo var izslēgt, jo viens no bērniem noteikti ir zēns, taču šajā gadījumā ir iespējami trīs varianti, nevis divi, un varbūtība, ka arī otrs bērns ir puika, ir viena iespēja pret trim.

4. Jourdain kāršu paradokss

Britu loģiķa un matemātiķa Filipa Džordēna 20. gadsimta sākumā ierosināto problēmu var uzskatīt par vienu no slavenā melu paradoksa paveidiem.

Iedomājieties – jūs rokās turat pastkarti, uz kuras rakstīts: "Pastkartes aizmugurē teiktais ir patiess." Apgriežot kartīti, tiek atklāta frāze "Paziņojums otrā pusē ir nepatiess." Kā jūs saprotat, pastāv pretruna: ja pirmais apgalvojums ir patiess, tad arī otrais ir patiess, bet šajā gadījumā pirmajam ir jābūt nepatiesam. Ja pastkartes pirmā puse ir nepatiesa, tad frāzi otrajā arī nevar uzskatīt par patiesu, kas nozīmē, ka pirmais apgalvojums atkal kļūst patiess... Vēl interesantāka melotāja paradoksa versija ir nākamajā rindkopā.

5. Sofisms "Krokodils"

Upes krastā stāv māte ar bērnu, pēkšņi viņiem piepeld krokodils un ievelk bērnu ūdenī. Nemierināmā māte lūdz atdot savu bērnu, uz ko krokodils atbild, ka piekrīt atdot sveiku un veselu, ja sieviete pareizi atbildēs uz viņa jautājumu: "Vai viņš atdos savu bērnu?" Skaidrs, ka sievietei ir divas atbildes – jā vai nē. Ja viņa apgalvo, ka krokodils viņai iedos bērnu, tad viss ir atkarīgs no dzīvnieka - uzskatot atbildi par patiesu, nolaupītājs palaidīs bērnu, bet, ja viņš saka, ka māte kļūdījās, tad viņa neredzēs. bērns, saskaņā ar visiem līguma noteikumiem.

Sievietes noraidošā atbilde lietas krietni sarežģī – ja tā izrādīsies patiesība, nolaupītājam jāizpilda darījuma nosacījumi un jāatbrīvo bērns, taču tādā veidā mātes atbilde neatbildīs realitātei. Lai nodrošinātu šādas atbildes nepatiesību, krokodilam ir nepieciešams atdot bērnu mātei, taču tas ir pretrunā ar līgumu, jo viņas kļūdai vajadzētu atstāt bērnu pie krokodila.

Ir vērts atzīmēt, ka krokodila piedāvātais darījums satur loģisku pretrunu, tāpēc viņa solījums ir neizpildāms. Par šī klasiskā sofisma autoru tiek uzskatīts orators, domātājs un politiķis Sirakūzu Koraks, kurš dzīvoja 5. gadsimtā pirms mūsu ēras.

6. Aporija "Dichotomija"

Vēl viens paradokss no Zeno of Elea, kas parāda idealizētā matemātiskā kustības modeļa nepareizību. Problēmu var formulēt šādi – pieņemsim, ka esat nolēmis iziet cauri kādai ielu savā pilsētā no sākuma līdz beigām. Lai to izdarītu, jums jāpārvar tā pirmā puse, pēc tam puse no atlikušās puses, pēc tam puse no nākamā segmenta utt. Citiem vārdiem sakot – tu noej pusi no visa distances, tad ceturtdaļu, vienu astoto, vienu sešpadsmito – ceļa posmu skaitam ir tendence uz bezgalību, jo jebkuru atlikušo daļu var sadalīt divās, kas nozīmē, ka nav iespējams iet visu ceļu. Formulējot no pirmā acu uzmetiena nedaudz tālu paradoksu, Zenons vēlējās parādīt, ka matemātiskie likumi ir pretrunā ar realitāti, jo patiesībā jūs varat viegli pārvarēt visu attālumu bez pēdām.

7. Aporija "Lidojošā bulta"

Slavenais Elejas Zenona paradokss skar visdziļākās pretrunas zinātnieku priekšstatos par kustības un laika būtību. Aporija ir formulēta šādi: no loka izšauta bulta paliek nekustīga, jo jebkurā brīdī tā atpūšas nekustoties. Ja katrā laika momentā bulta atrodas miera stāvoklī, tad tā vienmēr atrodas miera stāvoklī un nekustas vispār, jo nav laika momenta, kurā bulta kustas telpā.

Cilvēces izcilie prāti gadsimtiem ilgi ir mēģinājuši atrisināt lidojošas bultas paradoksu, taču no loģiskā viedokļa tas ir pilnīgi pareizi. Lai to atspēkotu, ir jāpaskaidro, kā ierobežots laika intervāls var sastāvēt no bezgala daudzu laika momentu – pat Aristotelis, kurš pārliecinoši kritizēja Zenona aporiju, to nespēja pierādīt. Aristotelis pareizi norādīja, ka laika periodu nevar uzskatīt par dažu nedalāmu izolētu momentu summu, taču daudzi zinātnieki uzskata, ka viņa pieeja dziļumā neatšķiras un neatspēko paradoksa esamību. Ir vērts atzīmēt, ka, izvirzot lidojošas bultas problēmu, Zenons necentās atspēkot kustības iespējamību kā tādu, bet gan atklāt pretrunas ideālistiskajos matemātiskajos jēdzienos.

8. Galileja paradokss

Savā sarunās un matemātiskajos pierādījumos par divām jaunām zinātnes nozarēm Galileo Galilejs ierosināja paradoksu, kas parāda bezgalīgo kopu dīvainās īpašības. Zinātnieks formulēja divus pretrunīgus spriedumus. Pirmkārt, ir skaitļi, kas ir citu veselu skaitļu kvadrāti, piemēram, 1, 9, 16, 25, 36 utt. Ir arī citi skaitļi, kuriem šī īpašība nav - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 un tamlīdzīgi. Tādējādi kopējam ideālo kvadrātu un parasto skaitļu skaitam jābūt lielākam par perfekto kvadrātu skaitu atsevišķi. Otrais spriedums: katram naturālajam skaitlim ir precīzs kvadrāts, un katram kvadrātam ir vesela skaitļa kvadrātsakne, tas ir, kvadrātu skaits ir vienāds ar naturālo skaitļu skaitu.

Pamatojoties uz šo pretrunu, Galileo secināja, ka argumentācija par elementu skaitu tiek attiecināta tikai uz galīgām kopām, lai gan vēlāk matemātiķi ieviesa kopas jaudas jēdzienu - ar tā palīdzību tika pierādīta Galileja otrā sprieduma pareizība arī bezgalīgām kopām. .

9. Kartupeļu maisu paradokss

Pieņemsim, ka kādam zemniekam ir kartupeļu maiss, kas sver tieši 100 kg. Izpētījis tā saturu, zemnieks atklāj, ka maiss glabāts mitrumā - 99% no tā masas ir ūdens un 1% no pārējām vielām, ko satur kartupeļi. Viņš nolemj kartupeļus nedaudz pažāvēt, lai ūdens saturs tajos nokristu līdz 98%, un pārvieto maisu uz sausu vietu. Nākamajā dienā izrādās, ka tiešām ir iztvaikojis viens litrs (1kg) ūdens, bet somas svars samazinājies no 100 uz 50kg, kā tas var būt? Parēķināsim - 99% no 100 kg ir 99 kg, kas nozīmē, ka sausā atlikuma masas un ūdens masas attiecība sākotnēji bija 1/99. Pēc žāvēšanas ūdens satur 98% no maisa kopējās masas, kas nozīmē, ka sausā atlikuma masas attiecība pret ūdens masu tagad ir 1/49. Tā kā atlikuma masa nav mainījusies, atlikušais ūdens sver 49 kg.

Protams, uzmanīgs lasītājs aprēķinos uzreiz atklās rupju matemātisku kļūdu - iedomāto komisko “kartupeļu maisa paradoksu” var uzskatīt par izcilu piemēru tam, kā no pirmā acu uzmetiena izmantot “loģisku” un “zinātniski pamatotu” argumentāciju, jūs varat burtiski no nulles izveidot teoriju, kas ir pretrunā veselajam saprātam. nozīme.

10 Kraukļa paradokss

Problēma pazīstama arī kā Hempela paradokss – savu otro nosaukumu tā ieguvusi par godu vācu matemātiķim Karlam Gustavam Hempelam, tās klasiskās versijas autoram. Problēma ir formulēta pavisam vienkārši: katrs krauklis ir melns. No tā izriet, ka viss, kas nav melns, nevar būt krauklis. Šo likumu sauc par loģisko pretpozīciju, tas ir, ja noteiktai premisai "A" ir sekas "B", tad "B" noliegums ir līdzvērtīgs "A" noliegumam. Ja cilvēks ierauga melno kraukli, tas pastiprina viņa pārliecību, ka visi kraukļi ir melni, kas ir diezgan loģiski, tomēr saskaņā ar pretrunu un indukcijas principu ir loģiski apgalvot, ka nemelno objektu novērošana (teiksim , sarkanie āboli) arī pierāda, ka visas vārnas ir nokrāsotas melnā krāsā. Proti, tas, ka cilvēks dzīvo Sanktpēterburgā, pierāda, ka viņš nedzīvo Maskavā.

No loģikas viedokļa paradokss izskatās ideāli, taču tas ir pretrunā ar reālo dzīvi – sarkanie āboli nekādi nevar apstiprināt faktu, ka visas vārnas ir melnas.

Kā darbojas smadzeņu pasts — ziņojumu pārraide no smadzenēm uz smadzenēm, izmantojot internetu

10 pasaules noslēpumi, kurus zinātne beidzot ir atklājusi

10 populārākie jautājumi par Visumu, uz kuriem zinātnieki šobrīd meklē atbildes

8 lietas, ko zinātne nevar izskaidrot

2500 gadus vecs zinātniskais noslēpums: kāpēc mēs žāvājamies

3 stulbākie argumenti, ka evolūcijas teorijas pretinieki attaisno savu nezināšanu

Vai ar moderno tehnoloģiju palīdzību iespējams realizēt supervaroņu spējas?

Saskaņā ar loģikas likumiem Ivins Aleksandrs Arhipovičs

KAS IR LOĢISKAIS PARADOKSS?

Nav izsmeļoša loģisko paradoksu saraksta, un tas nav iespējams.

Aplūkotie paradoksi ir tikai daļa no visiem līdz šim atklātajiem. Visticamāk, ka nākotnē tiks atklāti daudzi citi un pat pilnīgi jauni veidi. Pats paradoksa jēdziens nav tik noteikts, lai būtu iespējams sastādīt vismaz jau zināmo paradoksu sarakstu.

“Kopu teorētiskie paradoksi ir ļoti nopietna problēma, tomēr nevis matemātikai, bet gan loģikai un epistemoloģijai,” raksta austriešu matemātiķis un loģiķis K. Gēdels. "Loģika ir pretrunīga. Nav loģisku paradoksu, – saka padomju matemātiķis D. Bočvars. – Šādas neatbilstības reizēm ir būtiskas, reizēm verbālas. Būtība lielā mērā ir tajā, ko īsti nozīmē "loģiskais paradokss".

Nepieciešama loģisko paradoksu iezīme ir loģiskā vārdnīca. Paradoksus, kas ir loģiski, ir jāformulē loģiski. Tomēr loģikā nav skaidru kritēriju terminu sadalīšanai loģiskajos un ekstraloģiskajos. Loģika, kas nodarbojas ar argumentācijas pareizību, cenšas līdz minimumam reducēt jēdzienus, no kuriem ir atkarīgs praktiski pielietoto secinājumu pareizība. Bet šis minimums nav viennozīmīgi iepriekš noteikts. Turklāt neloģiskus apgalvojumus var formulēt arī loģiski. To, vai konkrētais paradokss izmanto tikai tīri loģiskas premisas, ne vienmēr ir iespējams viennozīmīgi noteikt.

Loģiskie paradoksi nav stingri nodalīti no visiem pārējiem paradoksiem, tāpat kā pēdējie nav skaidri nošķirti no visa neparadoksālā un saskanīgi ar valdošajām idejām.

Loģisko paradoksu izpētes sākumā šķita, ka tos var atšķirt pēc kādas vēl neizpētītas pozīcijas vai loģikas noteikuma pārkāpuma. Īpaši aktīvi pretendēja uz šāda noteikuma lomu B. Rasela ieviestais “apburtais loka princips”. Šis princips nosaka, ka objektu kolekcija nevar saturēt dalībniekus, kurus nosaka tikai viena un tā pati kolekcija.

Visiem paradoksiem ir viena kopīga iezīme – pašpiemērojamība jeb cirkularitāte. Katrā no tiem attiecīgo objektu raksturo kāda objektu kopa, pie kuras tas pats pieder. Ja mēs izceļam, piemēram, cilvēku kā visviltīgāko klasē, mēs to darām ar cilvēku kopas palīdzību, pie kuras pieder arī šī persona (ar "viņa šķiras" palīdzību). Un, ja mēs sakām: "Šis apgalvojums ir nepatiess", mēs raksturojam mūs interesējošo apgalvojumu, atsaucoties uz visu nepatieso apgalvojumu kopumu, kas to ietver.

Visos paradoksos notiek pašpielietojamība, kas nozīmē, ka notiek it kā kustība pa apli, kas beigās noved pie sākuma punkta. Cenšoties raksturot mūs interesējošo objektu, mēs pievēršamies objektu kopai, kas to ietver. Taču izrādās, ka tam pašam sava noteiktajam objektam ir vajadzīgs apskatāmais objekts un bez tā nav skaidri saprotams. Šajā lokā, iespējams, slēpjas paradoksu avots.

Situāciju gan sarežģī fakts, ka šāds loks pastāv arī daudzos pilnīgi neparadoksālos argumentos. Circular ir milzīgs klāsts no visizplatītākajiem, nekaitīgākajiem un tajā pašā laikā ērtākajiem izteiksmes veidiem. Tādi piemēri kā “lielākā no visām pilsētām”, “mazākais no visiem naturālajiem skaitļiem”, “viens no dzelzs atoma elektroniem” u.c. liecina, ka ne katrs pašpiemērojamības gadījums noved pie pretrunām un ka tā ir svarīga ne tikai parastajā valodā, bet arī zinātnes valodā.

Tādējādi ar vienkāršu atsauci uz pašpiemērojamu jēdzienu izmantošanu nepietiek, lai diskreditētu paradoksus. Ir nepieciešami daži papildu kritēriji, lai nošķirtu pašpiemērojamību, kas noved pie paradoksāla, no visiem citiem tās gadījumiem.

Šajā sakarā ir bijuši daudzi priekšlikumi, taču nav atrasts veiksmīgs cirkularitātes skaidrojums. Izrādījās, ka nav iespējams raksturot cirkularitāti tā, ka katrs cirkulārais spriešana noved pie paradoksa un katrs paradokss ir kāda cirkulāra spriešanas rezultāts.

Mēģinājums atrast kādu konkrētu loģikas principu, kura pārkāpšana būtu visu loģisko paradoksu atšķirīga iezīme, ne pie kā noteikta nenoveda.

Neapšaubāmi noderētu kaut kāda paradoksu klasifikācija, iedalot tos tipos un tipos, sagrupējot dažus paradoksus un pretstatējot citiem. Taču arī šajā gadījumā nekas ilgtspējīgs nav panākts.

Angļu loģiķis F. Remzijs, kurš nomira 1930. gadā, kad viņam vēl nebija divdesmit septiņi gadi, ierosināja visus paradoksus sadalīt sintaktiskajos un semantiskajos. Pirmajā ietilpst, piemēram, Rasela paradokss, otrajā – "meļa", Grelinga u.c.

Pēc F. Remzija domām, pirmās grupas paradoksi satur tikai loģikai vai matemātikai piederīgus jēdzienus. Pie pēdējiem pieder tādi jēdzieni kā "patiesība", "definējamība", "nosaukšana", "valoda", kas nav strikti matemātiski, bet drīzāk saistīti ar valodniecību vai pat zināšanu teoriju. Šķiet, ka semantiskie paradoksi ir radušies nevis loģikas kļūdu dēļ, bet gan dažu neloģisku jēdzienu neskaidrības vai neskaidrības dēļ, tāpēc to radītās problēmas attiecas uz valodu un tās jārisina valodniecībai.

F. Remzijam šķita, ka matemātiķiem un loģiķiem nav jāinteresējas par semantiskiem paradoksiem.

Tomēr vēlāk izrādījās, ka daži no mūsdienu loģikas nozīmīgākajiem rezultātiem tika iegūti tieši saistībā ar tieši šo "neloģisko" paradoksu dziļāku izpēti.

F. Remzija piedāvātais paradoksu dalījums sākotnēji tika plaši izmantots un saglabā savu nozīmi arī tagad. Tajā pašā laikā kļūst arvien skaidrāks, ka šis dalījums ir diezgan neskaidrs un galvenokārt balstās uz piemēriem, nevis uz abu paradoksu grupu padziļinātu salīdzinošu analīzi. Semantiskie jēdzieni tagad ir labi definēti, un ir grūti neatzīt, ka šie jēdzieni patiešām ir loģiski. Attīstoties semantikai, kas definē savus pamatjēdzienus kopu teorijas izteiksmē, F. Remzija izteiktā atšķirība kļūst arvien neskaidrāka.

Vēsturiskās un loģiskās metodes Kopumā zinātnisko zināšanu empīriskais līmenis pats par sevi nav pietiekams, lai iekļūtu lietu būtībā, tostarp sabiedrības funkcionēšanas un attīstības modeļos. Noteiktā posmā, kad vairāk nekā

Karnapa loģiskais pozitīvisms Loģiskais pozitīvisms ir modificēts empīrisma veids. Empīrisms tīrākajā veidā ir doktrīna, ka visas zināšanas nāk no maņu pieredzes. Loģiskais pozitīvisms izskatās vājāks par to vienā svarīgā punktā, bet spēcīgāks

2.9. Loģiskais kvadrāts Attiecības starp vienkāršiem salīdzināmiem priekšlikumiem shematiski attēlotas, izmantojot viduslaiku loģiķu izstrādāto loģisko kvadrātu. Kā redzat, kvadrāta virsotnes apzīmē četrus vienkāršu spriedumu veidus, un tā malas un

2. NODAĻA LOĢISKĀ BIVIVORIORSMS Loģiskais biheiviorisms ir teorija, ka būt garīgā stāvoklī nozīmē būt uzvedības stāvoklī. Domāt, cerēt, uztvert, atcerēties utt. - tas viss ir jāsaprot vai nu kā uzvedība, vai kā valdījums

3. Loģiskā analīze (B. Rasels) Bertrāns Rasels (1872–1970) ir pasaulslavens angļu zinātnieks, filozofs un sabiedrisks darbinieks. Sešpadsmit gadu vecumā viņš izlasīja sava krusttēva J. S. Milla autobiogrāfiju, kas uz viņu atstāja lielu iespaidu. Peru milla

2. Loģiskais pozitīvisms 1922. gadā Vīnes Universitātes Dabasfilozofijas katedrā, kuru pēc E.Maha nāves vadīja profesors M.Šliks, pulcējās jauno zinātnieku grupa, kas izvirzīja sev drosmīgu mērķi – reformēt. zinātne un filozofija. Šī grupa ir iekļauta

§ 1. B. Rasela loģiskais atomisms Loģiskā pozitīvisma "vectēvi" ir Mūrs un Rasels. Mūra (1873-1958) lomu parasti uzsver angļu pētnieki. Tas sastāvēja no tā, ka viņš pievērsa uzmanību filozofu lietoto vārdu un izteikumu nozīmes analīzei.

2. Loģiskais sabrukums – tas, ko var pierādīt vai kas ir jāpierāda, ir galējās zināšanas par kaut ko īpašu. Esamība un transcendence šīs būtnes izpratnē neeksistē. Ja par tiem domājam, tad doma iegūst loģiskas formas, kuras

"Loģiskās" un "vēsturiskās" izpētes metodes "Kapitālā", īpaši tā ceturtajā sējumā, tika atspoguļota svarīga epistemoloģiska problēma par objekta teorijas loģiskās konstrukcijas un tā izpētes vēsturisko metožu saistību – otrs. no

II. VALODAS LOĢISKĀ ANALĪZE Ir izstrādāta jauna loģika matemātikas teorētiskajai konstruēšanai. Vīnes lokā tas kopumā kļuva par līdzekli zinātnes teorijas radīšanai. Atšķirībā no tīrās loģikas, lietišķā loģika tika izmantota, lai precizētu filozofiju

KAS IR LOĢISKAIS PARADOKSS? Nav izsmeļoša loģisko paradoksu saraksta. Apskatītie loģiskie paradoksi ir tikai daļa no visiem līdz šim atklātajiem. Visticamāk, ka nākotnē tiks atvērti vēl daudzi citi.

Loģiskais pozitīvisms Laika posmā starp pirmo un otro pasaules karu tika izvirzītas jaunas filozofiskas idejas. Daudzus no viņiem stimulēja neklasiskās fizikas attīstība, un tie kļuva par nopietnas loģiskā pozitīvisma epistemoloģiskās analīzes priekšmetu.

15. BEZINĪGUMSIMĀLĀ-LOĢISKĀ VĀRDNĪCAb Ar šo noslēdzam mūsu īso ziņojumu par bezgalīgi mazo lielumu metodes pielietošanu loģikai. Drīzāk tas nav vēstījums, bet tikai ieteikums, tikai pieticīgs mājiens uz jomu, kas nevar nebūt milzīga. Loģika un matemātika nav

3. Dieva valstības teoloģiskais raksturs Vecās Derības un jūdaisma tradīcijās Dieva Valstības atnākšana nozīmē Dieva atnākšanu. Eshatoloģiskās cerības centrs bija Dieva noteiktā un īstenotā “Jahves diena”, diena, kad Dievs būs “viss visā”, kad

Aicinām pārdomāt interesantākos un apbrīnojamākos paradoksus, kas, kā tagad mēdz teikt, "izpūta smadzenes" vairāk nekā vienai loģiķu, filozofu un matemātiķu paaudzei.

1. Aporija "Ahillejs un bruņurupucis"

2. Laika cilpas paradokss

Deivids Tomijs "Jaunie laika ceļotāji".

3. Meitenes un zēna paradokss

Martins Gārdners / © www.post-gazette.com

4. Jourdain kāršu paradokss

Britu loģiķa un matemātiķa Filipa Džordēna 20. gadsimta sākumā ierosināto problēmu var uzskatīt par vienu no slavenā melu paradoksa paveidiem.

Filips Džordēns

5. Sofisms "Krokodils"

6. Aporija "Dichotomija"

7. Aporija "Lidojošā bulta"

8. Galileja paradokss

Galileo Galilei / © Wikimedia

9. Kartupeļu maisu paradokss

10 Kraukļa paradokss

Kārlis Gustavs Hempels / © Wikimedia

No loģikas viedokļa paradokss izskatās ideāli, taču tas ir pretrunā ar reālo dzīvi – sarkanie āboli nekādi nevar apstiprināt faktu, ka visas vārnas ir melnas.

Šeit mums jau bija paradoksu izlase ar jums -, kā arī jo īpaši, un Oriģinālais raksts ir vietnē InfoGlaz.rf Saite uz rakstu, no kura izgatavota šī kopija -

Ir zināms, ka problēmas formulēšana bieži vien ir svarīgāka un grūtāka nekā tās risināšana. “Zinātnē,” rakstīja angļu ķīmiķis F. Sodijs, “pareizi izvirzīta problēma ir vairāk nekā puse atrisināta. Garīgās sagatavošanas process, kas nepieciešams, lai noskaidrotu, ka ir konkrēts uzdevums, bieži vien aizņem vairāk laika nekā pats uzdevums.

Formas, kādos problēmsituācija izpaužas un realizējas, ir ļoti dažādas. Ne vienmēr tas atklājas tieša jautājuma veidā, kas radās pašā pētījuma sākumā. Problēmu pasaule ir tikpat sarežģīta kā izziņas process, kas tās rada. Radošās domāšanas pamatā ir problēmu identificēšana. Paradoksi ir visinteresantākais netiešo, neapšaubāmo problēmu izvirzīšanas veidu gadījums. Paradoksi ir izplatīti zinātnisko teoriju attīstības sākumposmā, kad vēl neapgūtā jomā tiek sperti pirmie soļi un tiek taustīti vispārīgākie pieejas principi tai.

Paradoksi un loģika

Plašā nozīmē paradokss ir nostāja, kas krasi atšķiras no vispārpieņemtajiem, iedibinātajiem, ortodoksālajiem uzskatiem. “Vispārpieņemti viedokļi un tas, kas tiek uzskatīts par sen izlemtu lietu, visbiežāk ir pelnījis izpēti” (G. Lihtenbergs). Paradokss ir šādu pētījumu sākums.

Paradokss šaurākā un specializētākā nozīmē ir divi pretēji, nesavienojami apgalvojumi, kuriem katram ir šķietami pārliecinoši argumenti.

Asākā paradoksa forma ir antinomija, argumentācija, kas pierāda divu apgalvojumu līdzvērtību, no kuriem viens ir otra noliegums.

Paradoksi ir īpaši slaveni visstingrākajās un precīzākajās zinātnēs - matemātikā un loģikā. Un tā nav nejaušība.

Loģika ir abstrakta zinātne. Tajā nav nekādu eksperimentu, pat ne faktu šī vārda parastajā nozīmē. Veidojot sistēmas, loģika galu galā balstās uz reālās domāšanas analīzi. Bet šīs analīzes rezultāti ir sintētiski, nediferencēti. Tie nav apgalvojumi par atsevišķiem procesiem vai notikumiem, kas teorijai būtu jāpaskaidro. Acīmredzot šādu analīzi nevar saukt par novērojumu: vienmēr tiek novērota konkrēta parādība.

Konstruējot jaunu teoriju, zinātnieks parasti sāk no faktiem, no tā, ko var novērot eksperimentā. Lai cik brīva būtu viņa radošā iztēle, tai jārēķinās ar vienu neaizstājamu apstākli: teorijai ir jēga tikai tad, ja tā saskan ar faktiem, kas uz to attiecas. Teorija, kas nepiekrīt faktiem un novērojumiem, ir tālā un tai nav vērtības.

Bet, ja nav loģikas eksperimentu, faktu un pašu novērojumu, tad kas bremzē loģisko fantāziju? Kādi faktori, ja ne fakti, tiek ņemti vērā, veidojot jaunas loģiskās teorijas?

Neatbilstība starp loģisko teoriju un reālās domāšanas praksi bieži tiek atklāta vairāk vai mazāk akūta loģiska paradoksa veidā un dažreiz pat loģiskas antinomijas veidā, kas runā par teorijas iekšējo nekonsekvenci. Tas tikai izskaidro nozīmi, kāda loģikas paradoksiem tiek piešķirta, un lielo uzmanību, ko viņi tajā izbauda.

"Meļu" paradoksa varianti

Slavenākais un, iespējams, interesantākais no visiem loģiskajiem paradoksiem ir Melu paradokss. Tas bija tas, kurš pagodināja Eubulīda vārdu no Milētas, kurš to atklāja.

Ir šī paradoksa jeb antinomijas varianti, no kuriem daudzi ir tikai šķietami paradoksāli.

Vienkāršākajā "Melis" versijā cilvēks saka tikai vienu frāzi: "Es meloju." Vai arī viņš saka: "Paziņojums, ko es tagad izsaku, ir nepatiess." Vai: "Šis apgalvojums ir nepatiess."

Ja apgalvojums ir nepatiess, tad runātājs teica patiesību, un tāpēc viņa teiktais nav meli. Ja apgalvojums nav nepatiess un runātājs apgalvo, ka tas ir nepatiess, tad šis apgalvojums ir nepatiess. Tāpēc izrādās, ka, ja runātājs melo, viņš runā patiesību, un otrādi.

Viduslaikos bija izplatīts šāds formulējums:

"Platona teiktais ir nepatiess," saka Sokrats.

"Tas, ko teica Sokrats, ir patiesība," saka Platons.

Rodas jautājums, kurš no tiem pauž patiesību un kurš ir meli?

Un šeit ir šī paradoksa mūsdienu paradokss. Pieņemsim, ka kartītes priekšpusē ir rakstīti tikai vārdi: "Šīs kartītes otrā pusē ir uzrakstīts patiess apgalvojums." Ir skaidrs, ka šie vārdi ir jēgpilns apgalvojums. Apgriežot karti, mums vai nu jāatrod solītais paziņojums, vai arī tā tur nav. Ja tas ir rakstīts aizmugurē, tad tas ir vai nu patiess, vai nē. Tomēr aizmugurē ir uzraksts: "Šīs kartītes otrā pusē ir rakstīts nepatiess paziņojums" - un nekas vairāk. Pieņemsim, ka apgalvojums priekšpusē ir patiess. Tad apgalvojumam aizmugurē ir jābūt patiesam, un tāpēc apgalvojumam priekšpusē ir jābūt nepatiesam. Bet, ja apgalvojums priekšpusē ir nepatiess, tad apgalvojumam aizmugurē ir jābūt arī nepatiesam, un tāpēc apgalvojumam priekšpusē ir jābūt patiesam. Rezultāts ir paradokss.

Melu paradokss atstāja milzīgu iespaidu uz grieķiem. Un ir viegli saprast, kāpēc. Jautājums, ko tas uzdod no pirmā acu uzmetiena, šķiet pavisam vienkāršs: vai melo tas, kurš saka tikai to, ka melo? Bet atbilde "jā" noved pie atbildes "nē", un otrādi. Un pārdomas situāciju nemaz neizskaidro. Aiz jautājuma vienkāršības un pat rutīnas tas atklāj kādu neskaidru un neizmērojamu dziļumu.

Ir pat leģenda, ka kāds Filits Kosskis, izmisīgi vēlēdamies atrisināt šo paradoksu, izdarīja pašnāvību. Stāsta arī, ka viens no slavenajiem sengrieķu loģiķiem Diodors Krons jau nīkuļojošajos gados nodeva zvērestu neēst, kamēr neatradīs “Meļa” risinājumu, un drīz vien nomira, neko nesasniedzot.

Viduslaikos šis paradokss tika dēvēts par tā sauktajiem neizšķiramajiem teikumiem un kļuva par sistemātiskas analīzes objektu.

Jaunajos laikos "Melis" ilgu laiku nepiesaistīja uzmanību. Viņi nesaskatīja nekādas, pat nelielas, valodas lietojuma grūtības. Un tikai mūsu, tā sauktajos modernajos laikos, loģikas attīstība beidzot ir sasniegusi līmeni, kad ir kļuvis iespējams strikti formulēt problēmas, kas, šķiet, slēpjas aiz šī paradoksa.

Tagad "Melis" - šis tipiskais kādreizējais sofisms - bieži tiek dēvēts par loģisko paradoksu karali. Viņam ir veltīta plaša zinātniskā literatūra. Un tomēr, tāpat kā daudzu citu paradoksu gadījumā, joprojām nav līdz galam skaidrs, kādas problēmas slēpjas aiz tā un kā no tā atbrīvoties.

Valoda un metavaloda

Tagad "Melis" parasti tiek uzskatīts par raksturīgu piemēru grūtībām, kuras rada divu valodu sajaukšana: valoda, kurā runā par realitāti, kas atrodas ārpus tās, un valoda, kurā runā par pašu. dzimtā valoda.

Ikdienas valodā šie līmeņi nav nošķirti: mēs runājam vienā valodā par realitāti un valodu. Piemēram, cilvēks, kura dzimtā valoda ir krievu valoda, nesaskata lielu atšķirību starp apgalvojumiem: "Stikls ir caurspīdīgs" un "Tiesa, stikls ir caurspīdīgs", lai gan viens no tiem runā par stiklu, bet otrs par apgalvojumu par. stikls.

Ja kādam būtu priekšstats par nepieciešamību runāt par pasauli vienā valodā un par šīs valodas īpašībām citā, viņš varētu izmantot divas dažādas esošās valodas, teiksim, krievu un angļu. Tā vietā, lai tikai teiktu "govs ir lietvārds", es teiktu "govs ir lietvārds" un vietā "Apgalvojums "Stikls nav caurspīdīgs" ir nepatiess" es teiktu "Apgalvojums "Stikls nav caurspīdīgs" ir nepatiess. ". Izmantojot divas dažādas valodas, tas, kas tiek teikts par pasauli, skaidri atšķirtos no tā, ko saka par valodu, ar kuru runā par pasauli. Patiešām, pirmie apgalvojumi attiektos uz krievu valodu, bet otrie - uz angļu valodu.

Ja tālāk mūsu valodu eksperts vēlētos runāt par dažiem apstākļiem, kas jau attiecas uz angļu valodu, viņš varētu izmantot citu valodu. Teiksim vāciski. Lai runātu par šo pēdējo, varētu izmantot, teiksim, spāņu valodu un tā tālāk.

Tādējādi izrādās, ka ir sava veida valodu kāpnes jeb hierarhija, no kurām katra tiek izmantota ļoti specifiskam mērķim: pirmajā runā par objektīvo pasauli, otrajā - par šo pirmo valodu, trešais - par otro valodu utt. Šāda valodu atšķirība pēc to pielietojuma jomas ir reta parādība ikdienas dzīvē. Taču zinātnēs, kas, tāpat kā loģika, nodarbojas tieši ar valodām, reizēm tas izrādās ļoti noderīgi. Valodu, ko izmanto, lai runātu par pasauli, parasti sauc par objektu valodu. Valoda, ko izmanto, lai aprakstītu priekšmetu valodu, tiek saukta par metavalodu.

Skaidrs, ka tādā veidā norobežojot valodu un metavalodu, apgalvojumu "es meloju" vairs nevar formulēt. Tas runā par krievu valodā teiktā nepatiesību un tāpēc pieder pie metavalodas un ir jāizsaka angļu valodā. Konkrēti tam vajadzētu izklausīties šādi: “Viss, ko es runāju krieviski, ir nepatiess” (“Everything I say in Russian is false”); šis angļu apgalvojums neko nesaka par sevi, un nerodas paradokss.

Atšķirība starp valodu un metavalodu ļauj novērst "meļu" paradoksu. Tādējādi kļūst iespējams pareizi, bez pretrunām definēt klasisko patiesības jēdzienu: apgalvojums ir patiess, kas atbilst realitātei, ko tas apraksta.

Patiesības jēdzienam, tāpat kā visiem citiem semantiskiem jēdzieniem, ir relatīvs raksturs: to vienmēr var attiecināt uz noteiktu valodu.

Kā parādīja poļu loģiķis A. Tarskis, klasiskā patiesības definīcija būtu jāformulē plašākā valodā nekā valoda, kurai tā ir paredzēta. Citiem vārdiem sakot, ja vēlamies norādīt, ko nozīmē frāze “patiess apgalvojums dotajā valodā”, mums līdzās šīs valodas izteicieniem jālieto arī izteicieni, kas tajā nav.

Tarskis ieviesa semantiski slēgtas valodas jēdzienu. Šāda valoda bez saviem izteicieniem ietver to nosaukumus un arī, kas ir svarīgi uzsvērt, apgalvojumus par tajā formulēto teikumu patiesumu.

Semantiski slēgtā valodā nav robežas starp valodu un metavalodu. Tās līdzekļi ir tik bagāti, ka ļauj ne tikai kaut ko apgalvot par ekstralingvistisko realitāti, bet arī novērtēt šādu apgalvojumu patiesumu. Ar šiem līdzekļiem it īpaši pietiek, lai valodā reproducētu antinomiju "Melis". Semantiski slēgta valoda tādējādi izrādās pretrunīga. Katra dabiskā valoda acīmredzami ir semantiski slēgta.

Vienīgais pieņemamais veids, kā novērst antinomiju un līdz ar to iekšējo nekonsekvenci, pēc Tarski domām, ir atteikties no semantiski slēgtas valodas. Šis ceļš, protams, ir pieņemams tikai mākslīgu, formalizētu valodu gadījumā, kas ļauj skaidri iedalīt valodā un metavalodā. Dabiskajās valodās ar to neskaidro struktūru un spēju par visu runāt vienā valodā šī pieeja nav īpaši reāla. Nav jēgas izvirzīt jautājumu par šo valodu iekšējo konsekvenci. To bagātīgajām izteiksmes iespējām ir arī savs mīnuss – paradoksi.

Citi paradoksa risinājumi

Tātad ir apgalvojumi, kas runā par savu patiesību vai nepatiesību. Ideja, ka šāda veida apgalvojumi nav jēgpilni, ir ļoti sena. To aizstāvēja sengrieķu loģiķis Chrysipps.

Viduslaikos angļu filozofs un loģiķis V. Okhems apgalvoja, ka apgalvojumam “Katrs apgalvojums ir nepatiess” nav nozīmes, jo tas cita starpā runā par savu nepatiesību. No šī apgalvojuma tieši izriet pretruna. Ja katrs priekšlikums ir nepatiess, tad arī pats priekšlikums ir nepatiess; bet tas, ka tas ir nepatiess, nozīmē, ka ne katrs priekšlikums ir nepatiess. Līdzīga situācija ir ar apgalvojumu "Katrs apgalvojums ir patiess." Tas arī jāklasificē kā bezjēdzīgs un arī noved pie pretrunas: ja katrs apgalvojums ir patiess, tad patiess ir arī paša šī apgalvojuma noliegums, tas ir, apgalvojums, ka ne katrs apgalvojums ir patiess.

Kāpēc tomēr apgalvojums nevar jēgpilni runāt par savu patiesību vai nepatiesību?

Jau XIV gadsimta franču filozofa Okhema laikabiedrs. J. Buridans viņa lēmumam nepiekrita. No parastu priekšstatu viedokļa par bezjēdzību, tādi izteicieni kā "es meloju", "Katrs apgalvojums ir patiess (nepatiess)" utt. diezgan jēgpilni. Par ko var domāt, ko teikt – tāds ir vispārējais Buridāna princips. Cilvēks var domāt par viņa teiktā apgalvojuma patiesumu, kas nozīmē, ka viņš var par to runāt. Ne visi apgalvojumi par sevi ir bezjēdzīgi. Piemēram, apgalvojums "Šis teikums ir rakstīts krievu valodā" ir patiess, bet apgalvojums "Šajā teikumā ir desmit vārdi" ir nepatiess. Un abiem ir pilnīga jēga. Ja tiek atzīts, ka apgalvojums var runāt par sevi, tad kāpēc tas nav spējīgs jēgpilni runāt par tādu pašu īpašību kā patiesība?

Pats Buridans uzskatīja, ka apgalvojums "es meloju" nav bezjēdzīgs, bet gan nepatiess. Viņš to pamatoja šādi. Kad cilvēks apstiprina apgalvojumu, viņš tādējādi apgalvo, ka tas ir patiess. Ja teikums pats par sevi saka, ka tas pats par sevi ir nepatiess, tad tas ir tikai sarežģītāka izteiksmes saīsināts formulējums, kas apliecina gan tā patiesumu, gan nepatiesību. Šis izteiciens ir pretrunīgs un tāpēc nepatiess. Bet tas nekādā gadījumā nav bezjēdzīgs.

Buridana argumentu dažkārt joprojām uzskata par pārliecinošu.

Ir arī citas kritikas līnijas par "Meļu" paradoksa risinājumu, kuru detalizēti izstrādāja Tarskis. Vai tiešām nav pretlīdzekļa šāda veida paradoksiem semantiski slēgtās valodās — un galu galā visas dabiskās valodas ir?

Ja tas tā būtu, tad patiesības jēdzienu varētu stingri definēt tikai formalizētās valodās. Tikai tajos ir iespējams atšķirt objektīvo valodu, kurā cilvēki runā par apkārtējo pasauli, un metavalodu, kurā viņi runā par šo valodu. Šī valodu hierarhija ir veidota pēc svešvalodas apguves ar dzimtās valodas palīdzību. Šādas hierarhijas izpēte noveda pie daudziem interesantiem secinājumiem, un dažos gadījumos tas ir būtiski. Bet dabiskajā valodā tas neeksistē. Vai tas viņu diskreditē? Un ja jā, tad kādā mērā? Galu galā tajā joprojām tiek lietots patiesības jēdziens, un parasti bez jebkādiem sarežģījumiem. Vai hierarhijas ieviešana ir vienīgais veids, kā novērst tādus paradoksus kā Melis?

30. gados atbildes uz šiem jautājumiem neapšaubāmi šķita apstiprinošas. Taču tagad agrākā vienprātības nav, lai gan joprojām dominē tradīcija šāda veida paradoksus likvidēt, valodu “slāņojot”.

Pēdējā laikā arvien lielāku uzmanību piesaista egocentriski izteicieni. Tajos ir tādi vārdi kā "es", "šis", "šeit", "tagad", un to patiesums ir atkarīgs no tā, kad, kas un kur tos lieto.

Paziņojumā "Šis apgalvojums ir nepatiess" notiek vārds "šis". Uz kādu objektu tas attiecas? "Melis" var norādīt, ka vārds "tas" neattiecas uz dotā apgalvojuma nozīmi. Bet uz ko tad tas attiecas, ko tas nozīmē? Un kāpēc šo nozīmi joprojām nevar apzīmēt ar vārdu "šis"?

Šeit neiedziļinoties, ir tikai vērts atzīmēt, ka egocentrisku izteicienu analīzes kontekstā "Melis" ir piepildīts ar pavisam citu saturu nekā līdz šim. Izrādās, viņš vairs nebrīdina no valodas un metavalodas sajaukšanas, bet norāda uz briesmām, kas saistītas ar vārda "šis" un līdzīgu egocentrisku vārdu nepareizu lietošanu.

Problēmas, kas gadsimtu gaitā ir saistītas ar "Meli", ir radikāli mainījušās atkarībā no tā, vai tas tika uzskatīts par neskaidrības piemēru vai kā izteicienu, kas ārēji tika pasniegts kā valodas un metavalodas sajaukšanas piemērs, vai, visbeidzot, kā piemērs. tipisks egocentrisku izteicienu ļaunprātīgas izmantošanas piemērs. Un nav pārliecības, ka ar šo paradoksu nākotnē netiks saistītas citas problēmas.

Pazīstamais mūsdienu somu loģiķis un filozofs H. fon Raits savā darbā par meli rakstīja, ka šis paradokss nekādā gadījumā nav jāsaprot kā lokāls, izolēts šķērslis, ko var novērst ar vienu izgudrojošu domas kustību. Melis pieskaras daudzām svarīgākajām loģikas un semantikas tēmām. Šī ir patiesības definīcija un pretrunu un pierādījumu interpretācija, kā arī vesela virkne būtisku atšķirību: starp teikumu un tā izteikto domu, starp izteiciena lietošanu un tā pieminēšanu, starp vārda nozīmi un objekts, ko tas apzīmē.

Līdzīga situācija ir arī ar citiem loģiskiem paradoksiem. “Loģikas antinomijas,” raksta fon Raits, “ir mūs mulsinājušas kopš to atklāšanas un, iespējams, vienmēr mūs mulsinās. Manuprāt, mums tās būtu jāuztver ne tik daudz kā problēmas, kas gaida atrisināšanu, bet gan kā neizsmeļams pārdomu materiāls. Tie ir svarīgi, jo domājot par tiem, tiek skarti visas loģikas un līdz ar to visas domas pamatjautājumi.

Šīs sarunas par "Meli" noslēgumā var atsaukt atmiņā kādu kuriozu epizodi no laikiem, kad skolā vēl mācīja formālo loģiku. Kādā loģikas mācību grāmatā, kas izdota 1940. gadu beigās, astotās klases skolēniem kā mājasdarbs — tā teikt, iesildīšanās laikā — tika uzdots atrast kļūdu, kas pieļauta šajā vienkāršā izskata apgalvojumā: "Es meloju." Un, lai tas nešķiet dīvaini, tika uzskatīts, ka lielākā daļa skolēnu veiksmīgi tika galā ar šādu uzdevumu.

2. Rasela paradokss

Slavenākais no jau mūsu gadsimtā atklātajiem paradoksiem ir B. Rasela atklātā antinomija, ko viņš paziņojis vēstulē G. Fergei. Šo pašu antinomiju Getingenā vienlaikus apsprieda vācu matemātiķi Z. Cermelo un D. Hilberts.

Ideja virmoja gaisā, un tās publicēšana radīja iespaidu par sprāgstošu bumbu. Šis paradokss matemātikā, pēc Hilberta domām, izraisīja pilnīgas katastrofas efektu. Vienkāršākās un svarīgākās loģiskās metodes, visizplatītākie un noderīgākie jēdzieni ir apdraudēti.

Tūlīt kļuva acīmredzams, ka ne loģikā, ne matemātikā visā to ilgajā pastāvēšanas vēsturē nebija nekas nepārprotami izstrādāts, kas varētu kalpot par pamatu antinomijas likvidēšanai. Skaidrs, ka bija jāatkāpjas no ierastajiem domāšanas veidiem. Bet no kurienes un kādā virzienā? Cik radikālai vajadzēja būt iedibināto teoriju veidošanas veidu noraidīšanai?

Turpinot pētot antinomiju, pārliecība par principiāli jaunas pieejas nepieciešamību nepārtraukti pieauga. Pusgadsimtu pēc tās atklāšanas loģikas un matemātikas pamatu speciālisti L. Frenkels un I. Bar-Hillels jau bez ierunām paziņoja: , līdz šim nemainīgi neveiksmīgi, šim nolūkam acīmredzami ir nepietiekami.

Mūsdienu amerikāņu loģiķis H. Karijs par šo paradoksu rakstīja nedaudz vēlāk: “Runājot ar 19. gadsimtā zināmo loģiku, situācija vienkārši izaicināja skaidrojumu, lai gan, protams, mūsu izglītotajā laikmetā var būt cilvēki, kas redz (vai domā, ka viņi redz ), kāda ir kļūda?

Rasela paradokss sākotnējā formā ir saistīts ar kopas jeb klases jēdzienu.

Var runāt par dažādu objektu kopām, piemēram, par visu cilvēku kopu vai par naturālo skaitļu kopu. Pirmās kopas elements būs jebkura atsevišķa persona, otrās elements - katrs naturālais skaitlis. Var arī pašas kopas uzskatīt par dažiem objektiem un runāt par kopu kopām. Var pat ieviest tādus jēdzienus kā visu kopu kopa vai visu jēdzienu kopa.

Parasto komplektu komplekts

Attiecībā uz jebkuru patvaļīgi ņemtu kopu šķiet pamatoti jautāt, vai tas ir vai nav tā elements. Kopas, kas nesatur sevi kā elementu, tiks sauktas par parastajām. Piemēram, visu cilvēku kopums nav cilvēks, tāpat kā atomu kopums nav atoms. Komplekti, kas ir pareizi elementi, būs neparasti. Piemēram, kopa, kas apvieno visas kopas, ir kopa un tāpēc satur sevi kā elementu.

Apsveriet tagad visu parasto komplektu kopu. Tā kā tas ir komplekts, par to var arī pajautāt, vai tas ir parasts vai neparasts. Tomēr atbilde ir atturoša. Ja tas ir parasts, tad pēc definīcijas tajā jāiekļauj sevi kā elementu, jo tajā ir visas parastās kopas. Bet tas nozīmē, ka tas ir neparasts komplekts. Tādējādi pieņēmums, ka mūsu kopa ir parasta kopa, noved pie pretrunas. Tātad tas nevar būt normāli. No otras puses, tas arī nevar būt neparasts: neparasts komplekts satur sevi kā elementu, un mūsu komplekta elementi ir tikai parastas kopas. Rezultātā mēs nonākam pie secinājuma, ka visu parasto kopu kopa nevar būt ne parasta, ne ārkārtēja.

Tādējādi visu kopu kopa, kas nav pareizi elementi, ir atbilstošs elements tad un tikai tad, ja tas nav šāds elements. Tā ir skaidra pretruna. Un tas tika iegūts, pamatojoties uz ticamākajiem pieņēmumiem un ar šķietami neapstrīdamu soļu palīdzību.

Pretruna saka, ka šāds komplekts vienkārši neeksistē. Bet kāpēc tas nevarētu pastāvēt? Galu galā tas sastāv no objektiem, kas atbilst precīzi definētam nosacījumam, un pats nosacījums nešķiet kaut kā ārkārtējs vai neskaidrs. Ja tik vienkārši un skaidri definēta kopa nevar pastāvēt, tad kāda patiesībā ir atšķirība starp iespējamām un neiespējamām kopām? Secinājums par aplūkotā komplekta neesamību izklausās negaidīti un iedveš satraukumu. Tas padara mūsu vispārējo priekšstatu par kopu amorfu un haotisku, un nav garantijas, ka tas nevar radīt jaunus paradoksus.

Rasela paradokss ir ievērojams ar savu ārkārtējo vispārīgumu. Tās uzbūvei nav nepieciešami sarežģīti tehniski jēdzieni, tāpat kā dažu citu paradoksu gadījumā pietiek ar jēdzieniem "kopa" un "kopas elements". Bet šī vienkāršība tikai runā par tās fundamentālo raksturu: tā skar mūsu prātojuma dziļākos pamatus par kopām, jo tā nerunā par dažiem īpašiem gadījumiem, bet par kopām kopumā.

Citi paradoksa varianti

Rasela paradokss nav īpaši matemātisks. Tas izmanto kopas jēdzienu, bet neskar nekādas īpašas īpašības, kas īpaši saistītas ar matemātiku.

Tas kļūst acīmredzams, kad paradokss tiek pārformulēts tīri loģiski.

Par katru īpašumu, visticamāk, var jautāt, vai tas attiecas uz viņu pašu vai nē.

Piemēram, īpašība būt karstam neattiecas uz sevi pašu, jo tā pati nav karsta; īpašība būt konkrētam arī neattiecas uz sevi, jo tā ir abstrakta īpašība. Bet īpašība būt abstraktam, būt abstraktam ir attiecināma uz sevi. Sauksim šīs īpašības, kas nav attiecināmas uz sevi, par nepiemērojamām. Vai īpašība būt nepiemērojamam uz sevi attiecas? Izrādās, ka nepiemērojamība ir nepiemērojama tikai tad, ja tā nav. Tas, protams, ir paradoksāli.

Rasela antinomijas loģiskā, ar īpašumu saistītā dažādība ir tikpat paradoksāla kā matemātiskā, ar kopu saistītā dažādība.

Rasels arī ierosināja šādu populāro viņa atklātā paradoksa versiju.

Iedomājieties, ka viena ciema padome friziera pienākumus noteica šādi: noskuj visus ciema vīriešus, kuri neskujas, un tikai šos. Vai viņam vajadzētu noskūties? Ja tā, tas attieksies uz tiem, kas skūst sevi, un tiem, kas skūst sevi, viņam nevajadzētu skūst. Ja nē, viņš piederēs tiem, kas paši neskujas, un tāpēc viņam būs jānoskūst pats. Tādējādi mēs nonākam pie secinājuma, ka šis frizieris pats skūst tad un tikai tad, ja pats neskujas. Tas, protams, nav iespējams.

Arguments par frizieri balstās uz pieņēmumu, ka šāds frizieris pastāv. No tā izrietošā pretruna nozīmē, ka šis pieņēmums ir maldīgs, un nav tāda laucinieka, kurš noskūtu visus un tikai tos ciema iedzīvotājus, kuri neskujas.

Friziera pienākumi pirmajā mirklī nešķiet pretrunīgi, tāpēc secinājums, ka tāda nevar būt, izklausās nedaudz negaidīti. Tomēr šis secinājums nav paradoksāls. Nosacījums, kas jāizpilda ciema frizierim, patiesībā ir pretrunīgs un tāpēc neiespējams. Ciematā nevar būt tāds frizieris tā paša iemesla dēļ, ka tajā nav neviena cilvēka, kurš būtu vecāks par viņu pašu vai kurš būtu dzimis pirms viņa dzimšanas.

Argumentu par frizieri var saukt par pseidoparadoksu. Savā gaitā tas ir stingri analoģisks Rasela paradoksam, un tieši tas padara to interesantu. Bet tas joprojām nav īsts paradokss.

Vēl viens tā paša pseidoparadoksa piemērs ir plaši pazīstamais kataloga arguments.

Noteikta bibliotēka nolēma sastādīt bibliogrāfisko katalogu, kurā būtu iekļauti visi tie un tikai tie bibliogrāfiskie katalogi, kuros nav norādes uz sevi. Vai šādā direktorijā ir jāiekļauj saite uz sevi?

Ir viegli parādīt, ka ideja par šāda kataloga izveidi nav realizējama; tas vienkārši nevar pastāvēt, jo tajā vienlaikus jāiekļauj atsauce uz sevi, nevis jāiekļauj.

Interesanti atzīmēt, ka visu direktoriju, kas neatsaucas uz sevi, kataloģizēšanu var uzskatīt par nebeidzamu, nebeidzamu procesu. Pieņemsim, ka kādā brīdī tika kompilēts direktorijs, piemēram, K1, ieskaitot visus pārējos direktorijus, kuros nav atsauces uz sevi. Izveidojot K1, parādījās vēl viens direktorijs, kurā nav saites uz sevi. Tā kā mērķis ir izveidot pilnu katalogu visiem direktorijiem, kuri paši sevi nepiemin, ir skaidrs, ka K1 nav risinājums. Viņš nepiemin vienu no šiem direktorijiem - sevi. Iekļaujot šo viņa pieminēšanu K1, mēs iegūstam K2 katalogu. Tajā minēts K1, bet ne pats K2. Pievienojot šādu pieminējumu K2, mēs iegūstam KZ, kas atkal nav pilnīgs, jo tajā nav minēts pats. Un bez gala.

3. Grelinga un Berija paradoksi

Interesantu loģisko paradoksu atklāja vācu loģiķi K. Grelings un L. Nelsons (Grelinga paradokss). Šo paradoksu var formulēt ļoti vienkārši.

Autoloģiskie un heteroloģiskie vārdi

Dažiem vārdiem, kas apzīmē īpašības, ir tieši tas īpašums, ko tie nosauc. Piemēram, īpašības vārds “krievu valoda” pats par sevi ir krievs, “daudzzilbs” pats par sevi ir daudzzilbs, un pašam “piecu zilbju” ir piecas zilbes. Šādus vārdus, kas attiecas uz sevi, sauc par pašnozīmējošiem vai autoloģiskiem.

Šādu vārdu nav tik daudz, lielākajai daļai īpašības vārdu nav īpašību, ko tie nosauc. "Jauns", protams, nav jauns, "karsts" ir karsts, "viena zilbe" ir vienzilbe, un "angļu valoda" ir angļu valoda. Vārdus, kuriem nav īpašību, ko tie apzīmē, sauc par aizstājvārdiem vai heteroloģiskiem. Acīmredzot visi īpašības vārdi, kas apzīmē īpašības, kas nav attiecināmas uz vārdiem, būs heteroloģiski.

Šis īpašības vārdu sadalījums divās grupās šķiet skaidrs un neapšaubāms. To var attiecināt uz lietvārdiem: "vārds" ir vārds, "lietvārds" ir lietvārds, bet "pulkstenis" nav pulkstenis, un "darbības vārds" nav darbības vārds.

Paradokss rodas, tiklīdz tiek uzdots jautājums: kurai no abām grupām pieder pats īpašības vārds "heteroloģiskais"? Ja tas ir autoloģisks, tam ir īpašība, ko tas apzīmē, un tam ir jābūt heteroloģiskam. Ja tas ir heteroloģisks, tam nav īpašību, ko tas sauc, un tāpēc tam ir jābūt autoloģiskam. Ir paradokss.

Pēc analoģijas ar šo paradoksu ir viegli formulēt citus tādas pašas struktūras paradoksus. Piemēram, vai ir vai nav pašnāvnieciska persona, kas nogalina katru personu, kas nav pašnāvnieciska, un nenogalina nevienu pašnāvniecisku cilvēku?

Izrādījās, ka Greliga paradokss viduslaikos bija pazīstams kā izteiciena antinomija, kas sevi nenosauc. Var iedomāties mūsdienu attieksmi pret sofismiem un paradoksiem, ja problēma, kas prasīja atbildi un izraisīja dzīvas diskusijas, pēkšņi tika aizmirsta un tika atklāta no jauna tikai pēc piecsimt gadiem!

Vēl vienu, ārēji vienkāršu antinomiju mūsu gadsimta pašā sākumā norādīja D. Berijs.

Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga. Šo skaitļu nosaukumu kopa, kas ir pieejama, piemēram, krievu valodā un satur mazāk par, teiksim, simts vārdu, ir ierobežota. Tas nozīmē, ka ir tādi naturāli skaitļi, kuriem krievu valodā nav nosaukumu, kas sastāv no mazāk nekā simts vārdiem. Starp šiem skaitļiem acīmredzami ir mazākais skaitlis. To nevar nosaukt, izmantojot krievu izteicienu, kas satur mazāk nekā simts vārdu. Bet izteiciens: "Mazākais dabiskais skaitlis, kuram krievu valodā neeksistē tā sarežģītais nosaukums, kas sastāv no mazāk nekā simts vārdiem" ir tikai šī skaitļa nosaukums! Šis nosaukums ir tikko formulēts krievu valodā un satur tikai deviņpadsmit vārdus. Acīmredzams paradokss: nosauktais numurs izrādījās tas, kuram nav vārda!

4. Neatrisināms strīds

Viena slavena paradoksa pamatā ir, šķiet, neliels atgadījums, kas notika pirms vairāk nekā diviem tūkstošiem gadu un nav aizmirsts līdz mūsdienām.

Slavenais sofists Protagors, kurš dzīvoja 5. gs. BC, bija students vārdā Eiatls, kurš studēja jurisprudenci. Saskaņā ar viņu starpā noslēgto līgumu Euathlusam bija jāmaksā par apmācībām tikai tad, ja viņš uzvarēs pirmajā tiesas prāvā. Ja viņš zaudē šo procesu, viņam vispār nav jāmaksā. Taču pēc studiju pabeigšanas Evatls procesos nepiedalījās. Tas ilga diezgan ilgi, skolotāja pacietība beidzās, un viņš vērsās tiesā pret savu audzēkni. Tādējādi Euathlusam šis bija pirmais tiesas process. Protagors savu prasību pamatoja šādi:

“Lai kāds būtu tiesas lēmums, Euathlus man būs jāmaksā. Viņš vai nu uzvarēs savā pirmajā tiesā, vai zaudēs. Ja viņš uzvarēs, viņš maksās saskaņā ar mūsu līgumu. Ja viņš zaudēs, viņš maksās saskaņā ar šo lēmumu.

Acīmredzot Eiatls bija spējīgs students, kā viņš atbildēja Protagoram:

– Patiešām, es vai nu uzvaru šajā procesā, vai zaudēju. Ja uzvarēšu, tiesas lēmums atbrīvos no pienākuma maksāt. Ja tiesas lēmums nav man labvēlīgs, es zaudēju savu pirmo lietu un nemaksāšu saskaņā ar mūsu līgumu.

Protagora un Euathlus paradoksa risinājumi

Samulsināts par šo lietas pavērsienu, Protagors šim strīdam ar Euathlus veltīja īpašu eseju "Tiesāšanās par maksājumu". Diemžēl tas, tāpat kā lielākā daļa no Protagora rakstītā, līdz mums nenonāca. Tomēr ir jāizsaka atzinība Protagoram, kurš uzreiz sajuta problēmu aiz vienkārša tiesas incidenta, kas ir pelnījis īpašu izpēti.

Arī G. Leibnics, kurš pats pēc izglītības ir jurists, šo strīdu uztvēra nopietni. Savā doktora disertācijā "Sarežģītu lietu izpēte tiesību jomā" viņš mēģināja pierādīt, ka visās lietās, pat vissarežģītākajās lietās, piemēram, Protagora un Eiatla prāvā, ir jāatrod pareizs risinājums, pamatojoties uz veselo saprātu. Pēc Leibnica domām, tiesai būtu jāatsaka Protagoram par savlaicīgu prasības iesniegšanu, taču jāatstāj viņam tiesības vēlāk, proti, pēc pirmā uzvarētā procesa, pieprasīt no Evatla naudas samaksu.

Ir ierosināti daudzi citi šī paradoksa risinājumi.

Tie jo īpaši norādīja uz to, ka tiesas lēmumam ir jābūt lielākam spēkam nekā privātai vienošanās starp divām personām. Var atbildēt, ka bez šīs vienošanās, lai cik nenozīmīga tā šķistu, nebūtu ne tiesas, ne tās lēmuma. Galu galā tiesai ir jāpieņem savs lēmums tieši tā gadījumā un uz tā pamata.

Viņi arī apelēja pie vispārējā principa, ka par katru darbu, tātad arī par Protagora darbu, ir jāmaksā. Bet ir zināms, ka šim principam vienmēr ir bijuši izņēmumi, īpaši vergu sabiedrībā. Turklāt tas vienkārši nav attiecināms uz konkrēto strīda situāciju: galu galā Protagors, garantējot augstu izglītības līmeni, pats atteicās pieņemt maksājumu gadījumā, ja viņa skolēns pirmajā procesā neizdodas.

Dažreiz viņi runā šādi. Gan Protagoram, gan Eiatlam ir taisnība daļēji un nevienam no viņiem kopumā. Katrs no tiem ņem vērā tikai pusi no sev izdevīgām iespējām. Pilnīga vai visaptveroša apsvēršana paver četras iespējas, no kurām tikai puse ir izdevīga kādam no strīdniekiem. Kura no šīm iespējām tiek realizēta, to izšķirs nevis loģika, bet dzīve. Ja tiesnešu spriedumam būs lielāks spēks nekā līgumam, Euatlam būs jāmaksā tikai tad, ja viņš procesu zaudēs, t.i. pamatojoties uz tiesas lēmumu. Ja tomēr privāts līgums tiks novietots augstāk par tiesnešu lēmumu, tad Protagors saņems samaksu tikai gadījumā, ja process zaudēs Evatlus, t.i. saskaņā ar līgumu ar Protagoru.

Šī pievilcība dzīvei beidzot visu sajauc. No kā tad, ja ne pēc loģikas, tiesneši var vadīties apstākļos, kad visi attiecīgie apstākļi ir pilnīgi skaidri? Un kāda tā būs vadība, ja Protagors, kurš prasa samaksu caur tiesu, to panāks tikai zaudējot procesu?

Tomēr Leibnica risinājums, kas sākotnēji šķiet pārliecinošs, ir nedaudz labāks par neskaidru loģikas un dzīves pretnostatījumu. Būtībā Leibnics ierosina ar atpakaļejošu datumu mainīt līguma formulējumu un noteikt, ka pirmajai tiesas prāvai ar Euathlus, kuras iznākumā tiks izlemts maksāšanas jautājums, nevajadzētu būt Protagoras tiesāšanai. Šī doma ir dziļa, bet nav saistīta ar konkrētu tiesu. Ja sākotnējā līgumā būtu bijis šāds punkts, tad tiesāšanās nemaz nebūtu bijusi vajadzīga.

Ja pēc šīs grūtības risinājuma saprotam atbildi uz jautājumu, vai Eiatlam ir jāmaksā Protagoram vai nē, tad tie visi, tāpat kā visi citi iespējamie risinājumi, protams, ir neizturami. Tie nav nekas vairāk kā atkāpe no strīda būtības, tie ir, tā teikt, izsmalcināti triki un viltība bezcerīgā un neatrisināmā situācijā. Jo ne veselais saprāts, ne kādi vispārīgi principi attiecībā uz sociālajām attiecībām nevar atrisināt strīdu.

Līgumu tā sākotnējā formā un tiesas lēmumu nav iespējams izpildīt kopā, lai kāds tas būtu. Lai to pierādītu, pietiek ar vienkāršiem loģikas līdzekļiem. Ar tiem pašiem līdzekļiem var arī parādīt, ka līgums, neskatoties uz tā pilnīgi nevainīgo izskatu, ir pretrunīgs. Tas prasa realizēt loģiski neiespējamu priekšlikumu: Euathlus ir gan jāmaksā par izglītību, gan tajā pašā laikā nemaksā.

Noteikumi, kas noved strupceļā

Cilvēka prātam, kas pieradis ne tikai pie sava spēka, bet arī pie lokanības un pat attapības, protams, ir grūti samierināties ar šo absolūto bezcerību un atzīt, ka tas ir iedzīts strupceļā. Īpaši grūti tas ir tad, kad strupceļu rada pats prāts: tas, tā teikt, paklupa no zila gaisa un iekrīt savos tīklos. Tomēr jāatzīst, ka dažkārt un, starp citu, ne tik reti, spontāni veidotas vai apzināti ieviestas vienošanās un noteikumu sistēmas noved pie neatrisināmām, bezcerīgām situācijām.

Piemērs no nesenās šaha dzīves vēlreiz apstiprinās šo domu.

Starptautiskie šaha sacensību noteikumi uzliek šahistiem pienākumu skaidri un salasāmi ierakstīt spēles gājienu pa gājienu. Vēl nesen noteikumos bija arī teikts, ka šahistam, kurš laika trūkuma dēļ nokavējis vairāku gājienu ierakstīšanu, ir, "tiklīdz beidzas laika nepatikšanas, nekavējoties jāaizpilda anketa, pierakstot nokavētos gājienus". Pamatojoties uz šo norādījumu, viens tiesnesis 1980. gada šaha olimpiādē (Malta) pārtrauca spēli, kas risinājās grūtos brīžos, un apturēja pulksteni, paziņojot, ka kontrolgājieni ir izdarīti un tāpēc ir pienācis laiks likt spēļu ieraksti kārtībā.

"Bet atvainojiet," iesaucās dalībnieks, kurš bija uz zaudējuma robežas un rēķinājās tikai ar kaislību intensitāti spēles beigās, "galu galā neviens karogs vēl nav nokritis un neviens to nevarēs (kā tas arī ir rakstīts noteikumos) var pateikt, cik kustības ir veiktas.

Taču tiesnesi atbalstīja galvenais šķīrējtiesnesis, kurš teica, ka tik tiešām, tā kā laika ķibeles bija beigušās, nepieciešams, ievērojot noteikumu burtu, jāsāk piefiksēt neizlaistos gājienus.

Strīdēties šajā situācijā bija bezjēdzīgi: paši noteikumi noveda strupceļā. Atlika tikai mainīt to formulējumu tā, lai līdzīgi gadījumi turpmāk nevarētu rasties.

Tas tika darīts tajā pašā laikā notikušajā Starptautiskās šaha federācijas kongresā: vārdu “kolīdz laika nepatikšanas beigsies” vietā tagad noteikumos teikts: “tiklīdz karogs norāda beigas. no laika".

Šis piemērs skaidri parāda, kā rīkoties strupceļa situācijās. Ir bezjēdzīgi strīdēties par to, kurai pusei ir taisnība: strīds ir neatrisināms, un tajā nebūs uzvarētāja. Atliek tikai samierināties ar tagadni un rūpēties par nākotni. Lai to izdarītu, sākotnējie līgumi vai noteikumi ir jāpārformulē tā, lai tie nevienu citu nenovestu tādā pašā bezcerīgā situācijā.

Protams, šāda rīcība nav risinājums neatrisināmam strīdam vai izeja no bezcerīgas situācijas. Tā drīzāk ir pietura priekšā nepārvaramam šķērslim un ceļš tam apkārt.

Paradokss "krokodils un māte"

Senajā Grieķijā ļoti populārs bija stāsts par krokodilu un māti, kas pēc loģiskā satura sakrita ar paradoksu "Protagors un Eiatls".

Krokodils izrāvis viņas bērnu no ēģiptietes, kas stāvēja upes krastā. Uz viņas lūgumu atdot bērnu, krokodils, kā vienmēr lējis krokodila asaru, atbildēja:

"Jūsu nelaime mani skāra, un es došu jums iespēju atgūt savu bērnu. Uzminiet, vai es jums to atdošu vai ne. Ja atbildēsiet pareizi, atdošu bērnu. Ja neuzminēsi, es to neatdošu.

Padomādama, māte atbildēja:

Tu man nedosi bērnu.

"Jūs to nesaņemsit," krokodils secināja. Jūs vai nu teicāt patiesību, vai ne. Ja tā ir taisnība, ka es neatteikšos no bērna, tad es no viņa neatteikšos, jo pretējā gadījumā tā nebūs taisnība. Ja teiktais neatbilst patiesībai, tad jūs neuzminējāt, un es nedošu bērnu pēc vienošanās.

Tomēr šī argumentācija mātei nešķita pārliecinoša.

– Bet, ja es teicu patiesību, tad tu man atdosi bērnu, kā vienojāmies. Ja es neuzminēju, ka tu bērnu nedosi, tad tev jāiedod man, citādi manis teiktais nebūs nepatiesība.

Kuram taisnība: mātei vai krokodils? Uz ko uzliek saistības krokodilam dotais solījums? Lai atdotu bērnu, vai, gluži otrādi, neatdotu? Un abiem vienlaicīgi. Šis solījums ir pretrunīgs, un tāpēc to nevar izpildīt, pamatojoties uz loģikas likumiem.

Misionārs atradās pie kanibāliem un ieradās tieši vakariņu laikā. Viņi ļauj viņam izvēlēties, kā viņš tiks ēst. Lai to izdarītu, viņam ir jāizrunā kāds apgalvojums ar nosacījumu, ka, ja šis apgalvojums izrādīsies patiess, viņi to pagatavos, un, ja tas izrādīsies nepatiess, viņi to apceps.

Ko lai saka misionārs?

Protams, viņam jāsaka: "Tu mani apcepsi."

Ja viņš patiešām ir cepts, izrādīsies, ka viņš runāja patiesību, un tāpēc viņš ir jāvāra. Ja viņš ir vārīts, viņa apgalvojums būs nepatiess, un viņš vienkārši ir jācep. Kanibāliem nebūs izejas: no “cep” seko “gatavot” un otrādi.

Šī viltīgā misionāra epizode, protams, ir vēl viena Protagora un Eiatla strīda pārfrāze.

Sančo Panzas paradokss

Vienu senu paradoksu, kas zināms Senajā Grieķijā, Dona Kihotā apspēlē M. Servantess. Sančo Panza ir kļuvis par Barataria salas gubernatoru un pārvalda tiesu.

Pirmais pie viņa nāk kāds ciemiņš un saka: “Senior, kādu īpašumu divās daļās sadala dziļa upe... Tātad pār šo upi tika pārmests tilts, un turpat malā stāv karātava un ir kaut kas līdzīgs tiesai, kurā parasti sēž četri cilvēki.tiesneši, un viņi spriež pēc upes, tilta un visa īpašuma īpašnieka izdota likuma, kurš likums ir sastādīts šādi: un kas melo, bez jebkādas iecietības nosūtiet uz turpat esošajām karātavām un izpildiet. Kopš šī likuma izsludināšanas visā bardzībā daudziem izdevās tikt pāri tiltam, un, tiklīdz tiesneši pārliecinājās, ka garāmgājēji runā taisnību, palaida cauri. Bet tad kādu dienu kāds zvērināts vīrs zvērēja un teica: viņš zvēr, ka nācis tāpēc, lai viņu pakārtu uz šīs karātavām, un ne par ko citu. Šis zvērests samulsināja tiesnešus, un viņi teica: “Ja šim cilvēkam ļaus netraucēti rīkoties, tad tas nozīmēs, ka viņš ir pārkāpis zvērestu un saskaņā ar likumu viņam draud nāve; ja mēs viņu pakārtam, tad viņš zvērēja, ka ir nācis tikai, lai tiktu pakārts uz šīs karātavas, tāpēc viņa zvērests, izrādās, nav nepatiess, un uz tā paša likuma pamata ir jālaiž garām. Un tāpēc es jautāju jums, senjoru gubernator, ko tiesnešiem darīt ar šo cilvēku, jo viņi joprojām ir apmulsuši un vilcinās...

Sančo ieteica, iespējams, ne bez viltības, lai tā puse, kas stāstīja patiesību, ir jāizlaiž cauri, bet tā, kura meloja, jāpakar, un tādā veidā visādos veidos tiktu ievēroti tilta šķērsošanas noteikumi. Šis fragments ir interesants vairākos aspektos.

Pirmkārt, tā ir uzskatāma ilustrācija tam, ka ar paradoksā aprakstīto bezcerīgo situāciju var nākties saskarties - un ne tīri teorētiski, bet praktiski - ja ne reāls cilvēks, tad vismaz literārs varonis.

Sančo Panzas piedāvātā izeja, protams, nebija paradoksa risinājums. Bet tas bija tikai risinājums, pie kura atlika tikai ķerties viņa amatā.

Savulaik Aleksandrs Lielais tā vietā, lai atraisītu viltīgo Gordija mezglu, kas vēl nevienam nav izdevies, to vienkārši pārgrieza. Sančo darīja to pašu. Mēģinājums atrisināt mīklu pēc saviem noteikumiem bija bezjēdzīgs — tas bija vienkārši neatrisināms. Atlika atmest šos nosacījumus un ieviest savus.

Un vienu brīdi. Ar šo epizodi Servantess skaidri nosoda viduslaiku taisnīguma pārmērīgi formālo mērogu, ko caurstrāvo sholastiskās loģikas gars. Bet cik plaši viņa laikā — un tas bija apmēram pirms četrsimt gadiem — bija informācija no loģikas jomas! Šo paradoksu zina ne tikai pats Servantess. Rakstnieks uzskata par iespējamu savam varonim, analfabētajam zemniekam, piedēvēt spēju saprast, ka viņam priekšā ir neatrisināms uzdevums!

5. Citi paradoksi

Iepriekš minētie paradoksi ir argumenti, kuru rezultāts ir pretruna. Taču loģikā ir arī cita veida paradoksi. Viņi norāda arī uz dažām grūtībām un problēmām, taču dara to mazāk skarbā un bezkompromisa veidā. Tādi jo īpaši ir turpmāk aplūkotie paradoksi.

Neprecīzu jēdzienu paradoksi

Lielākā daļa ne tikai dabiskās valodas, bet arī zinātnes valodas jēdzienu ir neprecīzi vai, kā tos sauc arī, izplūduši. Bieži vien tas izrādās cēlonis pārpratumiem, strīdiem vai pat vienkārši noved strupceļā.

Ja jēdziens ir neprecīzs, objektu apgabala robežai, uz kuru tas attiecas, nav asuma, tā ir izplūdusi. Ņemiet, piemēram, jēdzienu "kaudze". Viens graudiņš (smilšu graudiņš, akmens utt.) vēl nav kaudze. Tūkstoš graudu jau acīmredzot ir ķekars. Un trīs graudi? Un desmit? Cik graudu pievieno, lai izveidotu kaudzi? Nav ļoti skaidrs. Tāpat arī nav skaidrs, ar kuru graudu izņemšanu kaudze pazūd.

Neprecīzi ir empīriskie raksturlielumi "liels", "smags", "šaurs" utt. Tādi parastie jēdzieni kā "gudrais cilvēks", "zirgs", "māja" utt. ir neprecīzi.

Nav tāda smilšu grauda, kuru novācot, varam teikt, ka līdz ar to izņemšanu pāri palikušo vairs nevar saukt par mājām. Bet galu galā, šķiet, tas nozīmē, ka pakāpeniskas mājas demontāžas brīdī - līdz tās pilnīgai izzušanai - nav iemesla paziņot, ka mājas nav! Secinājums ir nepārprotami paradoksāls un atturošs.

Ir viegli redzēt, ka arguments par kaudzes veidošanas neiespējamību tiek veikts, izmantojot labi zināmo matemātiskās indukcijas metodi. Viens grauds neveido kaudzi. Ja n graudi neveido kaudzes, tad n+1 graudi neveido kaudzes. Tāpēc neviens graudu skaits nevar veidot kaudzes.

Šī un līdzīgu pierādījumu iespējamība, kas noved pie absurdiem secinājumiem, nozīmē, ka matemātiskās indukcijas principam ir ierobežota darbības joma. To nevajadzētu izmantot argumentācijā ar neprecīziem, neskaidriem jēdzieniem.

Labs piemērs tam, kā šie jēdzieni var izraisīt neatrisināmus strīdus, ir kuriozs tiesas process, kas notika 1927. gadā Amerikas Savienotajās Valstīs. Tēlnieks C. Brancusi vērsās tiesā, pieprasot viņa darbus atzīt par mākslas darbiem. Starp darbiem, kas uz izstādi nosūtīti uz Ņujorku, bija skulptūra "Putns", kas šobrīd tiek uzskatīta par abstraktā stila klasiku. Tā ir aptuveni pusotru metru augsta modulēta pulētas bronzas kolonna, kurai nav nekādas ārējas līdzības ar putnu. Muitas darbinieki kategoriski atteicās atzīt Brancusi abstraktos darbus par mākslas darbiem. Viņi tos ievietoja sadaļā "Metāla slimnīca un saimniecības piederumi" un uzlika tiem lielu muitas nodokli. Sašutis Brancusi iesūdzēja tiesā.

Paražu atbalstīja mākslinieki – Nacionālās akadēmijas biedri, kas aizstāvēja tradicionālās metodes mākslā. Viņi tiesā darbojās kā aizstāvības liecinieki un kategoriski uzstāja, ka mēģinājums nosaukt "Putnu" kā mākslas darbu bija vienkārši krāpniecība.

Šis konflikts spilgti uzsver grūtības operēt ar jēdzienu "mākslas darbs". Tēlniecība tradicionāli tiek uzskatīta par tēlotājmākslas veidu. Bet skulpturālā attēla līdzības pakāpe ar oriģinālu var atšķirties ļoti plašās robežās. Un kurā brīdī skulpturāls tēls, arvien vairāk attālinoties no oriģināla, pārstāj būt mākslas darbs un kļūst par "metāla trauku"? Uz šo jautājumu ir tikpat grūti atbildēt kā uz jautājumu, kur ir robeža starp māju un tās drupām, starp zirgu ar asti un zirgu bez astes utt. Starp citu, modernisti pārsvarā ir pārliecināti, ka tēlniecība ir izteiksmīgas formas objekts un tai nemaz nav jābūt tēlam.

Tādējādi neprecīzu jēdzienu apstrāde prasa zināmu piesardzību. Vai nebūtu labāk no tiem vispār izvairīties?

Vācu filozofs E. Huserls sliecās no zināšanām prasīt tik ārkārtēju stingrību un precizitāti, kāda nav sastopama pat matemātikā. Saistībā ar to Huserla biogrāfi ar ironiju atgādina atgadījumu, kas ar viņu notika bērnībā. Viņam tika pasniegts rakstāmgalds, un, nolēmis padarīt asmeni pēc iespējas asāku, viņš to uzasināja, līdz no asmens vairs nekas nebija palicis pāri.

Daudzās situācijās priekšroka dodama precīzākiem jēdzieniem, nevis neprecīziem. Parastā vēlme precizēt lietotos jēdzienus ir diezgan pamatota. Bet tam, protams, ir jābūt savām robežām. Pat zinātnes valodā ievērojama daļa jēdzienu ir neprecīzi. Un tas ir saistīts nevis ar atsevišķu zinātnieku subjektīvām un nejaušām kļūdām, bet gan ar zinātnisko zināšanu būtību. Dabiskajā valodā neprecīzi jēdzieni ir pārliecinoši; tas cita starpā runā par viņa elastību un latento spēku. Ikviens, kurš no visiem jēdzieniem pieprasa vislielāko precizitāti, riskē palikt bez valodas. “Atbrīvojiet vārdiem jebkādu neskaidrību, jebkādu nenoteiktību,” rakstīja franču estētiķis Ž. Žubērs, “pārvērtiet tos... par viencipara ciparu – spēle atstās runu, un līdz ar to daiļrunību un dzeju: visu, kas ir kustīgs un mainīgs. dvēseles pieķeršanās, nevar atrast savu izpausmi. Bet ko es saku: atņemt... teikšu vēl. Atņem vārdam jebkādas neprecizitātes - un tu zaudēsi pat aksiomas.

Gan loģiķi, gan matemātiķi ilgu laiku nepievērsa uzmanību grūtībām, kas saistītas ar izplūdušajiem jēdzieniem un tiem atbilstošajām kopām. Jautājums tika uzdots šādi: jēdzieniem jābūt precīziem, un viss neskaidrs nav nopietnas intereses vērts. Tomēr pēdējās desmitgadēs šī pārāk stingrā attieksme ir zaudējusi savu pievilcību. Tiek konstruētas loģiskās teorijas, kas īpaši ņem vērā argumentācijas unikalitāti ar neprecīziem jēdzieniem.

Aktīvi attīstās matemātiskā teorija par tā sauktajām izplūdušajām kopām, neskaidri definētām objektu kolekcijām.

Neprecizitātes problēmu analīze ir solis ceļā uz loģikas tuvināšanu parastās domāšanas praksei. Un mēs varam pieņemt, ka tas dos daudz vairāk interesantu rezultātu.

Induktīvās loģikas paradoksi

Iespējams, nav nevienas loģikas sadaļas, kurai nebūtu savu paradoksu.

Induktīvajai loģikai ir savi paradoksi, ar kuriem aktīvi, bet līdz šim bez īpašiem panākumiem tiek apkaroti gandrīz pusgadsimtu. Īpaši interesants ir apstiprinājuma paradokss, ko atklājis amerikāņu filozofs K. Hempels. Ir dabiski uzskatīt, ka vispārīgos priekšlikumus, jo īpaši zinātniskos likumus, apstiprina to pozitīvie piemēri. Ja ņem vērā, teiksim, priekšlikumu "Visi A ir B", tad tā pozitīvie piemēri būs objekti, kuriem ir īpašības A un B. Jo īpaši priekšlikuma "Visi kraukļi ir melni" atbalsta piemēri ir objekti, kas ir gan kraukļi, gan melns. Tomēr šis apgalvojums ir līdzvērtīgs apgalvojumam "Visas lietas, kas nav melnas, nav vārnas", un pēdējā apstiprinājumam ir jābūt arī pirmā apstiprinājumam. Bet "Viss nav melns nav vārna" apstiprina katrs gadījums, kad ne-melns objekts nav vārna. Tāpēc izrādās, ka novērojumi "Govs ir balta", "Kurpes ir brūnas" utt. apstipriniet apgalvojumu "Visas vārnas ir melnas."

No šķietami nevainīgām telpām izriet negaidīts paradoksāls rezultāts.

Normu loģikā bažas rada virkne tās likumu. Kad tie ir formulēti jēgpilnos terminos, kļūst acīmredzama to neatbilstība parastajiem priekšstatiem par to, kas pienākas un kas ir aizliegts. Piemēram, viens no likumiem saka, ka no rīkojuma "Sūti vēstuli!" seko rīkojums “Nosūti vēstuli vai sadedzini!”.

Cits likums nosaka, ka, ja cilvēks ir pārkāpis kādu no saviem pienākumiem, viņš iegūst tiesības darīt visu, ko vēlas. Mūsu loģiskā intuīcija nevēlas samierināties ar šāda veida "pienākuma likumiem".

Zināšanu loģikā plaši tiek apspriests loģiskās visuzināšanas paradokss. Viņš apgalvo, ka cilvēks zina visas loģiskās sekas, kas izriet no ieņemamajām pozīcijām. Piemēram, ja cilvēks zina piecus Eiklida ģeometrijas postulātus, tad viņš zina visu šo ģeometriju, jo tas izriet no tiem. Bet tā nav. Cilvēks var piekrist postulātiem un tajā pašā laikā nespēt pierādīt Pitagora teorēmu un tāpēc šaubīties, vai tā kopumā ir patiesa.

6. Kas ir loģiskais paradokss

Nav izsmeļoša loģisko paradoksu saraksta, un tas nav iespējams.

Aplūkotie paradoksi ir tikai daļa no visiem līdz šim atklātajiem. Visticamāk, nākotnē tiks atklāti daudzi citi paradoksi un pat pilnīgi jauni to veidi. Pats paradoksa jēdziens nav tik noteikts, lai būtu iespējams sastādīt vismaz jau zināmo paradoksu sarakstu.

“Kopu teorētiskie paradoksi ir ļoti nopietna problēma, tomēr nevis matemātikai, bet gan loģikai un epistemoloģijai,” raksta austriešu matemātiķis un loģiķis K. Gēdels. "Loģika ir pretrunīga. Nav loģisku paradoksu,” saka matemātiķis D. Bočvars. Šādas neatbilstības dažreiz ir būtiskas, dažreiz verbālas. Būtība lielā mērā ir tajā, kas tieši ir domāts ar loģisku paradoksu.

Loģisko paradoksu īpatnība

Nepieciešama loģisko paradoksu iezīme ir loģiskā vārdnīca.

Paradoksus, kas ir loģiski, ir jāformulē loģiski. Tomēr loģikā nav skaidru kritēriju terminu sadalīšanai loģiskajos un neloģiskajos. Loģika, kas nodarbojas ar argumentācijas pareizību, cenšas līdz minimumam reducēt jēdzienus, no kuriem ir atkarīgs praktiski pielietoto secinājumu pareizība. Bet šis minimums nav viennozīmīgi iepriekš noteikts. Turklāt neloģiskus apgalvojumus var formulēt arī loģiski. To, vai konkrētais paradokss izmanto tikai tīri loģiskas premisas, ne vienmēr ir iespējams viennozīmīgi noteikt.

Loģiskie paradoksi nav stingri nodalīti no visiem pārējiem paradoksiem, tāpat kā pēdējie nav skaidri nošķirti no visa neparadoksālā un saskanīgi ar valdošajām idejām.

Loģisko paradoksu izpētes sākumā šķita, ka tos var atšķirt pēc kādas vēl neizpētītas pozīcijas vai loģikas noteikuma pārkāpuma. Īpaši aktīvi pretendēja uz šāda noteikuma lomu B. Rasela ieviestais apburtais loka princips. Šis princips nosaka, ka objektu kolekcija nevar saturēt dalībniekus, kurus nosaka tikai viena un tā pati kolekcija.

Visiem paradoksiem ir viena kopīga iezīme – pašpiemērojamība jeb cirkularitāte. Katrā no tiem attiecīgo objektu raksturo kāda objektu kopa, pie kuras tas pats pieder. Ja mēs izvēlamies, piemēram, visviltīgāko cilvēku, mēs to darām ar cilvēku kopas palīdzību, kurai šī persona pieder. Un, ja mēs sakām: "Šis apgalvojums ir nepatiess", mēs raksturojam mūs interesējošo apgalvojumu, atsaucoties uz visu nepatieso apgalvojumu kopumu, kas to ietver.

Visos paradoksos pastāv jēdzienu pašpielietojamība, kas nozīmē, ka notiek it kā kustība pa apli, kas galu galā noved pie sākuma punkta. Cenšoties raksturot mūs interesējošo objektu, mēs pievēršamies objektu kopai, kas to ietver. Taču izrādās, ka tam pašam sava noteiktajam objektam ir vajadzīgs apskatāmais objekts un bez tā nav skaidri saprotams. Šajā lokā, iespējams, slēpjas paradoksu avots.

Situāciju gan sarežģī fakts, ka šāds loks pastāv daudzos pilnīgi neparadoksālos argumentos. Circular ir milzīgs klāsts no visizplatītākajiem, nekaitīgākajiem un tajā pašā laikā ērtākajiem izteiksmes veidiem. Tādi piemēri kā “lielākā no visām pilsētām”, “mazākais no visiem naturālajiem skaitļiem”, “viens no dzelzs atoma elektroniem” u.c. liecina, ka ne katrs pašpiemērojamības gadījums noved pie pretrunām un ka tā ir svarīga ne tikai parastajā valodā, bet arī zinātnes valodā.

Mēģinājums atrast kādu konkrētu loģikas principu, kura pārkāpšana būtu visu loģisko paradoksu atšķirīga iezīme, ne pie kā noteikta nenoveda.

Angļu loģiķis F. Remzijs, kurš nomira 1930. gadā, kad viņam nebija pat divdesmit septiņi gadi, ierosināja visus paradoksus sadalīt sintaktiskajos un semantiskajos. Pirmajā ietilpst, piemēram, Rasela paradokss, otrajā – "Meļa", Grelinga u.c.

Pēc Remzija domām, pirmās grupas paradoksi satur tikai loģikai vai matemātikai piederīgus jēdzienus. Pie pēdējiem pieder tādi jēdzieni kā "patiesība", "definējamība", "nosaukšana", "valoda", kas nav strikti matemātiski, bet drīzāk saistīti ar valodniecību vai pat zināšanu teoriju. Šķiet, ka semantiskie paradoksi ir radušies nevis loģikas kļūdu dēļ, bet gan dažu neloģisku jēdzienu neskaidrības vai neskaidrības dēļ, tāpēc to radītās problēmas attiecas uz valodu un tās jārisina valodniecībai.

Remzijam šķita, ka matemātiķiem un loģiķiem nav jāinteresējas par semantiskiem paradoksiem. Tomēr vēlāk izrādījās, ka daži no nozīmīgākajiem mūsdienu loģikas rezultātiem tika iegūti tieši saistībā ar šo neloģisko paradoksu dziļāku izpēti.

Remzija piedāvātais paradoksu dalījums sākumā tika plaši izmantots un saglabā zināmu nozīmi arī tagad. Tajā pašā laikā kļūst arvien skaidrāks, ka šis dalījums ir diezgan neskaidrs un galvenokārt balstās uz piemēriem, nevis uz abu paradoksu grupu padziļinātu salīdzinošu analīzi. Semantiskie jēdzieni tagad ir labi definēti, un ir grūti neatzīt, ka šie jēdzieni patiešām ir loģiski. Attīstoties semantikai, kas definē savus pamatjēdzienus kopu teorijas izteiksmē, Remzija izteiktā atšķirība kļūst arvien neskaidrāka.

Paradoksi un mūsdienu loģika

Kādi secinājumi loģikai izriet no paradoksu esamības?

Pirmkārt, liela skaita paradoksu klātbūtne runā par loģikas kā zinātnes spēku, nevis par tās vājumu, kā varētu šķist.

Tā nebija nejaušība, ka paradoksu atklāšana sakrita ar mūsdienu loģikas intensīvākās attīstības un tās lielākajiem panākumiem periodu.

Pirmie paradoksi tika atklāti vēl pirms loģikas kā īpašas zinātnes rašanās. Viduslaikos tika atklāti daudzi paradoksi. Vēlāk gan tie izrādījās aizmirsti un tika atklāti no jauna jau mūsu gadsimtā.

Viduslaiku loģiķi nebija informēti par jēdzieniem "komplekts" un "kopas elements", kas zinātnē tika ieviesti tikai 19. gadsimta otrajā pusē. Bet paradoksu nojauta viduslaikos tika noslīpēta tiktāl, ka jau tajā laikā tika paustas zināmas bažas par pašpiemērojamiem jēdzieniem. Vienkāršākais piemērs tam ir jēdziens "būt savam elementam", kas parādās daudzos mūsdienu paradoksos.

Tomēr šādas bailes, tāpat kā visi brīdinājumi par paradoksiem kopumā, nebija sistemātiskas un noteiktas līdz mūsu gadsimtam. Tie neradīja skaidrus priekšlikumus par ierasto domāšanas un izteiksmes veidu pārskatīšanu.

Tikai mūsdienu loģika ir izvedusi no aizmirstības pašu paradoksu problēmu, atklājusi vai no jauna atklājusi lielāko daļu specifisko loģisko paradoksu. Viņa arī parādīja, ka tradicionāli loģikas pētītie domāšanas veidi ir pilnīgi nepietiekami, lai novērstu paradoksus, un norādīja uz principiāli jaunām metodēm to risināšanai.

Paradoksi uzdod svarīgu jautājumu: kur patiesībā mūs pieviļ dažas no ierastajām koncepciju veidošanas un spriešanas metodēm? Galu galā tie šķita pilnīgi dabiski un pārliecinoši, līdz izrādījās, ka tie ir paradoksāli.

Paradoksi grauj pārliecību, ka pierastās teorētiskās domāšanas metodes pašas par sevi un bez īpašas kontroles pār tām nodrošina drošu virzību uz patiesību.

Pieprasot radikālas izmaiņas pārāk lētticīgā pieejā teoretizēšanai, paradoksi ir skarba loģikas kritika tās naivajā, intuitīvajā formā. Viņiem ir faktora loma, kas kontrolē un ierobežo loģikas deduktīvo sistēmu konstruēšanas veidu. Un šo viņu lomu var salīdzināt ar eksperimenta lomu, kas pārbauda hipotēžu pareizību tādās zinātnēs kā fizika un ķīmija un liek viņiem veikt izmaiņas šajās hipotēzēs.

Paradokss teorijā runā par tās pamatā esošo pieņēmumu nesaderību. Tas darbojas kā savlaicīgi atklāts slimības simptoms, bez kura to varēja neievērot.

Protams, slimība izpaužas dažādos veidos, un galu galā to ir iespējams atklāt bez tādiem akūtiem simptomiem kā paradoksi. Piemēram, kopu teorijas pamati tiktu analizēti un pilnveidoti pat tad, ja šajā jomā netiktu atklāti paradoksi. Taču nebūtu bijis tik asuma un steidzamības, ar kādu tajā atklātie paradoksi radīja kopu teorijas pārskatīšanas problēmu.

Paradoksiem veltīta plaša literatūra, piedāvāts liels skaits to skaidrojumu. Bet neviens no šiem skaidrojumiem nav vispārpieņemts, un nav pilnīgas vienošanās par paradoksu izcelsmi un to, kā no tiem atbrīvoties.

“Pēdējo sešdesmit gadu laikā simtiem grāmatu un rakstu ir veltīti paradoksu atrisināšanas mērķim, taču rezultāti ir apbrīnojami vāji, salīdzinot ar ieguldīto darbu,” raksta A. Frenkels. "Šķiet," H. Karijs secina paradoksu analīzi, "ka ir nepieciešama pilnīga loģikas reforma, un matemātiskā loģika var kļūt par galveno instrumentu šīs reformas veikšanai."

Paradoksu likvidēšana un skaidrošana

Jāatzīmē viena būtiska atšķirība.

Paradoksu novēršana un to atrisināšana nav viens un tas pats. Izņemt paradoksu no noteiktas teorijas nozīmē to pārstrukturēt tā, lai paradoksālais apgalvojums tajā izrādītos nepierādāms. Katrs paradokss balstās uz lielu skaitu definīciju, pieņēmumu un argumentu. Viņa secinājums teorētiski ir noteikta spriešanas ķēde. Formāli runājot, var apšaubīt jebkuru tās posmu, to izmest un tādējādi pārraut ķēdi un novērst paradoksu. Daudzos darbos tas tiek darīts un aprobežojas ar to.

Bet tas vēl nav paradoksa atrisinājums. Nepietiek atrast veidu, kā to izslēgt, ir pārliecinoši jāpamato piedāvātais risinājums. Pašām šaubām par kādu soli, kas ved uz paradoksu, ir jābūt pamatotām.

Pirmkārt, lēmums atteikties no dažiem loģiskiem līdzekļiem, ko izmanto paradoksāla apgalvojuma atvasināšanā, ir jāsaista ar mūsu vispārējiem apsvērumiem par loģiskā pierādījuma būtību un citām loģiskām intuīcijām. Ja tas tā nav, paradoksa likvidēšana izrādās bez stingra un stabila pamata un pārvēršas par pārsvarā tehnisku uzdevumu.

Turklāt pieņēmuma noraidīšana, pat ja tas novērš kādu konkrētu paradoksu, automātiski negarantē visu paradoksu novēršanu. Tas liek domāt, ka paradoksus nevajadzētu "medīt" pa vienam. Viena no tām izslēgšanai vienmēr jābūt tik pamatotai, lai būtu zināma garantija, ka ar tādu pašu soli tiks novērsti arī citi paradoksi.

Katru reizi, kad tiek atklāts kāds paradokss, raksta A. Tarskis: “mums ir jāpakļauj mūsu domāšanas veidi pamatīgai pārskatīšanai, jānoraida daži pieņēmumi, kuriem mēs ticējām, un jāuzlabo izmantotās argumentācijas metodes. Mēs to darām, cenšoties ne tikai atbrīvoties no antinomijām, bet arī novērst jaunu rašanos.

Un visbeidzot, nepārdomāta un neuzmanīga pārāk daudzu vai pārāk spēcīgu pieņēmumu noraidīšana var vienkārši novest pie tā, ka, lai gan tajā nav paradoksu, tā izrādīsies daudz vājāka teorija, kurai ir tikai īpaša interese.

Kāds var būt minimālais, vismazāk radikālais pasākumu kopums, lai izvairītos no zināmiem paradoksiem?

Loģiskā gramatika

Viens veids ir izcelt kopā ar patiesiem un nepatiesiem teikumiem arī bezjēdzīgus teikumus. Šo ceļu izvēlējās B. Rasels. Paradoksālo spriešanu viņš atzina par bezjēdzīgu, pamatojoties uz to, ka tie pārkāpj loģiskās gramatikas prasības. Ne katrs teikums, kas nepārkāpj parastās gramatikas noteikumus, ir jēgpilns – tam ir jāatbilst arī īpašas, loģiskas gramatikas likumiem.

Rasels izveidoja loģisko tipu teoriju, sava veida loģisko gramatiku, kuras uzdevums bija likvidēt visas zināmās antinomijas. Pēc tam šī teorija tika būtiski vienkāršota un tika saukta par vienkāršo tipu teoriju.

Tipu teorijas galvenā ideja ir loģiski atšķirīgu objektu tipu piešķiršana, sava veida aplūkojamo objektu hierarhijas jeb kāpņu ieviešana. Zemākais jeb nulles veids ietver atsevišķus objektus, kas nav kopas. Pirmajā tipā ietilpst nulles tipa objektu kopas, t.i. privātpersonas; uz otro - indivīdu kopu kopas utt. Citiem vārdiem sakot, tiek izšķirti objekti, objektu īpašības, objektu īpašību īpašības utt. Vienlaikus tiek ieviesti noteikti ierobežojumi priekšlikumu veidošanai. Īpašības var attiecināt uz objektiem, rekvizītu īpašības uz īpašībām utt. Bet nav iespējams jēgpilni apgalvot, ka objektiem ir īpašību īpašības.

Ņemsim vērā virkni ieteikumu:

Šī māja ir sarkana.

Sarkans ir krāsa.

Krāsa ir optiska parādība.

Šajos teikumos izteiciens "šī māja" apzīmē noteiktu objektu, vārds "sarkans" norāda šim objektam raksturīgo īpašību, "būt krāsai" - uz šī īpašuma īpašību ("būt sarkanam") un " būt optiskai parādībai" - norāda uz īpašību "būt krāsai", kas pieder pie īpašības "būt sarkanai". Šeit ir runa ne tikai par objektiem un to īpašībām, bet arī ar īpašību īpašībām (“īpašībai būt sarkanam ir īpašība būt krāsai”) un pat ar īpašību īpašībām.

Visi trīs teikumi no iepriekš minētās sērijas, protams, ir nozīmīgi. Tie ir būvēti atbilstoši tipu teorijas prasībām. Un pieņemsim, ka teikums "Šī māja ir krāsa" pārkāpj šīs prasības. Tā objektam piešķir īpašību, kas var piederēt tikai īpašībām, bet ne objektiem. Līdzīgs pārkāpums ietverts teikumā "Šī māja ir optiska parādība". Abi šie priekšlikumi ir jāklasificē kā bezjēdzīgi.

Vienkārša tipu teorija novērš Rasela paradoksu. Taču, lai likvidētu Meļa un Ogas paradoksus, ar vien aplūkojamo objektu sadalīšanu tipos vairs nepietiek. Pašos veidos ir nepieciešams ieviest papildu kārtību.

Paradoksu novēršanu var panākt arī izvairoties no pārāk lielu kopu izmantošanas, līdzīgi kā visu kopu kopa. Šo ceļu ierosināja vācu matemātiķis E. Zermelo, kurš paradoksu parādīšanos saistīja ar neierobežotu kopu konstruēšanu. Pieļaujamās kopas viņš definēja ar kādu aksiomu sarakstu, kas formulēts tā, lai no tām neizsecinātu zināmus paradoksi. Tajā pašā laikā šīs aksiomas bija pietiekami spēcīgas, lai no tām izsecinātu parastos klasiskās matemātikas argumentus, taču bez paradoksiem.

Ne šie divi, ne citi piedāvātie paradoksu novēršanas veidi nav vispārpieņemti. Nav vispārējas pārliecības, ka kāda no piedāvātajām teorijām atrisina loģiskus paradoksus, nevis vienkārši atmet tos bez dziļa paskaidrojuma. Paradoksu izskaidrošanas problēma joprojām ir atklāta un joprojām svarīga.

Paradoksu nākotne

Pagājušā gadsimta lielākajam loģiķim G.Frēgei diemžēl bija ļoti slikts raksturs. Turklāt viņš bija bez atrunām un pat cietsirdīgs pret savu laikabiedru kritiku.

Varbūt tāpēc viņa ieguldījums matemātikas loģikā un pamatos ilgu laiku netika atzīts. Un, kad viņam sāka nākt slava, jaunais angļu loģiķis B. Rasels viņam rakstīja, ka viņa grāmatas “Aritmētikas pamatlikumi” pirmajā sējumā publicētajā sistēmā rodas pretruna. Šīs grāmatas otrais sējums jau bija drukāts, un Frēge varēja tam pievienot tikai īpašu pielikumu, kurā viņš iezīmēja šo pretrunu (vēlāk nodēvēta par "Rasela paradoksu") un atzina, ka nespēj to novērst.

Tomēr šīs atzīšanas sekas Fregei bija traģiskas. Viņš piedzīvoja vislielāko šoku. Un, lai gan viņam toreiz bija tikai 55 gadi, viņš nepublicēja citu nozīmīgu darbu par loģiku, lai gan viņš dzīvoja vairāk nekā divdesmit gadus. Viņš pat nereaģēja uz dzīvīgo diskusiju, ko izraisīja Rasela paradokss, un nekādi nereaģēja uz daudzajiem piedāvātajiem šī paradoksa risinājumiem.

Iespaidu, ko uz matemātiķiem un loģiķiem atstājuši jaunatklātie paradoksi, labi izteica D. Hilberts: “... Stāvoklis, kādā mēs šobrīd atrodamies attiecībā pret paradoksiem, ilgstoši ir nepanesams. Padomājiet par to: matemātikā - šajā noteiktības un patiesības modelī - jēdzienu veidošanās un secinājumu gaita, jo visi tos pēta, māca un pielieto, noved pie absurda. Kur meklēt uzticamību un patiesību, ja pat pati matemātiskā domāšana neizdodas?

Frege bija tipisks deviņpadsmitā gadsimta beigu loģikas pārstāvis, brīvs no jebkāda veida paradoksiem, loģikas, pārliecināts par savām spējām un pretendēja uz stingrības kritēriju pat matemātikā. Paradoksi parādīja, ka absolūtā stingrība, ko panāca it kā loģika, nebija nekas vairāk kā ilūzija. Tie nenoliedzami parādīja, ka loģikai — tādā intuitīvajā formā, kāda tai bija gadsimtu mijā — ir nepieciešama pamatīga pārskatīšana.

Ir pagājis apmēram gadsimts, kopš sākās dzīva diskusija par paradoksiem. Tomēr uzsāktā loģikas pārskatīšana neļāva to viennozīmīgi atrisināt.

Un tajā pašā laikā šāds stāvoklis šodien gandrīz nevienu neuztrauc. Laika gaitā attieksme pret paradoksiem ir kļuvusi mierīgāka un pat iecietīgāka nekā to atklāšanas laikā. Ne tikai paradoksi ir kļuvuši par kaut ko pazīstamu. Un, protams, ne tā, ka viņi tos pacieš. Tie joprojām ir loģiķu uzmanības centrā, to risinājumu meklēšana aktīvi turpinās. Situācija mainījās galvenokārt tāpēc, ka paradoksi izrādījās, tā sakot, lokalizēti. Viņi ir atraduši savu noteiktu, kaut arī nemierīgu vietu plašā loģisko pētījumu klāstā. Kļuva skaidrs, ka absolūtā taupība, kāda tā tika attēlota pagājušā gadsimta beigās un pat dažkārt šī gadsimta sākumā, principā ir nesasniedzams ideāls.

Tika arī saprasts, ka nav vienas paradoksu problēmas, kas pastāvētu atsevišķi. Ar tām saistītās problēmas ir dažāda veida un faktiski ietekmē visas galvenās loģikas sadaļas. Paradoksa atklāšana liek mums dziļāk analizēt mūsu loģiskās intuīcijas un iesaistīties loģikas zinātnes pamatu sistemātiskā pārstrādē. Tajā pašā laikā vēlme izvairīties no paradoksiem nav ne vienīgais, ne pat, iespējams, galvenais uzdevums. Lai gan tie ir svarīgi, tie ir tikai iemesls pārdomām par galvenajām loģikas tēmām. Turpinot paradoksu salīdzināšanu ar īpaši izteiktiem slimības simptomiem, var teikt, ka vēlme nekavējoties novērst paradoksus būtu kā vēlme šādus simptomus noņemt, īpaši neuztraucoties par pašu slimību. Nepieciešams ne tikai paradoksu atrisināšana, bet arī to skaidrojums, kas padziļina mūsu izpratni par domāšanas loģiskajiem modeļiem.

7. Daži paradoksi vai kā tie izskatās

Un, lai nobeigtu šo īso loģisko paradoksu diskusiju, šeit ir dažas problēmas, kuras lasītājam būs noderīgi pārdomāt. Ir jāizlemj, vai sniegtie apgalvojumi un argumentācija patiešām ir loģiski paradoksi vai tikai šķiet. Lai to izdarītu, acīmredzot vajadzētu kaut kādā veidā pārstrukturēt izejmateriālu un mēģināt no tā iegūt pretrunu: gan apstiprinājumu, gan noliegumu par vienu un to pašu. Ja tiek atrasts paradokss, var padomāt, kas izraisa tā rašanos un kā to novērst. Jūs pat varat mēģināt izdomāt savu tāda paša veida paradoksu, t.i. būvēts pēc tās pašas shēmas, bet uz citu koncepciju pamata.

1. Tas, kurš saka: "Es neko nezinu", izsaka šķietami paradoksālu, pretrunīgu apgalvojumu. Viņš būtībā apgalvo: "Es zinu, ka neko nezinu." Bet zināšanas, ka zināšanu nav, joprojām ir zināšanas. Tas nozīmē, ka runātājs, no vienas puses, apliecina, ka viņam nav zināšanu, un, no otras puses, ar to pašu apgalvojumu viņš saka, ka viņam ir zināmas zināšanas. Kas te par lietu?

Pārdomājot šīs grūtības, var atgādināt, ka Sokrats līdzīgu domu izteica rūpīgāk. Viņš teica: "Es zinu tikai to, ka es neko nezinu." No otras puses, cits sengrieķis Metrodors ar pilnīgu pārliecību apgalvoja: "Es neko nezinu un pat nezinu, ka es neko nezinu." Vai šajā paziņojumā ir kāds paradokss?

2. Vēstures notikumi ir unikāli. Vēsture, ja tā atkārtojas, pēc labi zināma izteiciena pirmo reizi ir kā traģēdija, bet otro reizi kā farss. No vēsturisko notikumu unikalitātes dažkārt rodas doma, ka vēsture neko nemāca. “Iespējams, lielākā vēstures mācība,” raksta O. Hakslijs, “patiesi slēpjas apstāklī, ka neviens nekad neko nav mācījies no vēstures.”

Maz ticams, ka šī doma ir pareiza. Pagātne ir tieši tā, kas tiek pētīta galvenokārt, lai labāk izprastu tagadni un nākotni. Cita lieta, ka pagātnes "mācības", kā likums, ir neviennozīmīgas.

Vai uzskats, ka vēsture neko nemāca, nav pretrunīga? Galu galā tā pati par sevi izriet no vēstures kā vienas no mācībām. Vai šīs idejas aizstāvjiem nebūtu labāk formulēt to tā, lai tas uz viņiem pašiem neattiektos: "Vēsture māca vienīgo - no tās neko nevar mācīties" vai "Vēsture nemāca neko citu kā tikai šo mācību. no viņas"?

3. "Pierādīja, ka nav pierādījumu." Šķiet, ka tas ir pretrunīgs apgalvojums: tas ir pierādījums vai paredz jau veiktu pierādījumu (“pierādīts, ka...”), un tajā pašā laikā apgalvo, ka pierādījumu nav.

Pazīstamais senais skeptiķis Seksts Empiriks piedāvāja šādu risinājumu: augstākminētā apgalvojuma vietā pieņemt apgalvojumu “Ir pierādīts, ka nav citu pierādījumu, izņemot šo” (vai: “Ir pierādīts, ka nekas cits nav pierādīts nekā šis”). Bet vai šī izeja nav iluzora? Galu galā, pēc būtības tiek apgalvots, ka ir tikai viens un vienīgais pierādījums - pierādījums par jebkādu pierādījumu neesamību ("Ir viens un vienīgais pierādījums: pierādījums tam, ka nav citu pierādījumu"). Kāda tad ir paša pierādīšanas darbība, ja, spriežot pēc šī apgalvojuma, to bija iespējams veikt tikai vienu reizi? Jebkurā gadījumā paša Sekstusa viedoklis par pierādījumu vērtību nebija īpaši augsts. Viņš īpaši rakstīja: "Tāpat kā taisnība ir tiem, kas dara bez pierādījumiem, tā ir tiem, kuri, sliecoties šaubīties, nepamatoti pauž pretēju viedokli."

4. "Neviens apgalvojums nav negatīvs", vai vienkāršāk: "Nav negatīvu apgalvojumu." Tomēr šis izteiciens pats par sevi ir apgalvojums un ir tieši negatīvs. Šķiet, ka tas ir paradokss. Kāds šī apgalvojuma pārformulējums varētu izvairīties no paradoksa?

Viduslaiku filozofs un loģiķis Ž. Ēzelis, tāpat kā jebkurš cits dzīvnieks, cenšas izvēlēties labāko no divām lietām. Abas rokas ir pilnīgi neatšķiramas viena no otras, un tāpēc viņš nevar dot priekšroku nevienai no tām. Tomēr šī "buridāna ēzeļa" nav paša Buridana rakstos. Loģikā Buridans ir labi pazīstams un jo īpaši ar savu grāmatu par sofismiem. Tajā ir šāds secinājums, kas attiecas uz mūsu tēmu: neviens apgalvojums nav negatīvs; tāpēc ir negatīvs priekšlikums. Vai šāds secinājums ir pamatots?

5. N.V.Gogoļa apraksts par Čičikova spēli dambretē ar Nozdrevu ir labi zināms. Viņu spēle nekad nebeidzās, Čičikovs pamanīja, ka Nozdrjovs krāpjas, un atteicās spēlēt, baidoties zaudēt. Nesen kāds drafta speciālists rekonstruēja no šīs spēles gaitu izspēlētāju piezīmēm un parādīja, ka Čičikova pozīcija vēl nav bezcerīga.

Pieņemsim, ka Čičikovs tomēr turpināja spēli un galu galā uzvarēja spēli, neskatoties uz partnera viltībām. Zaudētājam Nozdrjovam saskaņā ar vienošanos Čičikovam bija jāpiešķir piecdesmit rubļi un "kaut kāds vidusšķiras kucēns vai zelta zīmogs pulkstenim". Taču Nozdrjovs, visticamāk, atteiktos maksāt, norādot, ka pats krāpies visu spēli, un spēlēšana ne pēc noteikumiem it kā nav spēle. Čičikovs varēja iebilst, ka runāt par krāpšanu šeit ir nevietā: zaudētājs pats krāpās, kas nozīmē, ka viņam jāmaksā vēl jo vairāk.

Patiešām, vai Nozdrjovam šādā situācijā būtu jāmaksā vai nē? No vienas puses, jā, jo viņš zaudēja. Bet, no otras puses, nē, jo spēle, kas nav saskaņā ar noteikumiem, nemaz nav spēle; Šādā "spēlē" nevar būt uzvarētājs vai zaudētājs. Ja Čičikovs pats būtu krāpies, Nozdrjovam, protams, nebūtu jāmaksā. Bet tomēr krāpnieks bija zaudētājs Nozdrjovs ...

Šeit ir jūtams kaut kas paradoksāls: "no vienas puses ...", "no otras puses ...", un turklāt no abām pusēm tas ir vienlīdz pārliecinoši, lai gan šīs puses nav savienojamas.

Vai Nozdrjovam tomēr jāmaksā vai nē?

6. "Katram noteikumam ir izņēmumi." Bet šis apgalvojums pats par sevi ir likums. Tāpat kā visiem citiem noteikumiem, tai ir jābūt izņēmumiem. Šāds izņēmums acīmredzot būtu noteikums "Ir noteikumi, kuriem nav izņēmumu." Vai ne visā nav paradokss? Kurš no iepriekšējiem piemēriem atgādina šos divus noteikumus? Vai drīkst spriest šādi: katram noteikumam ir izņēmumi; Vai tas nozīmē, ka pastāv noteikumi bez izņēmumiem?

7. "Katrs vispārinājums ir nepareizs." Ir skaidrs, ka šis apgalvojums apkopo vispārināšanas mentālās darbības pieredzi un pats par sevi ir vispārinājums. Tāpat kā visiem citiem vispārinājumiem, tam ir jābūt nepareizam. Tātad ir jābūt patiesiem vispārinājumiem. Tomēr, vai ir pareizi strīdēties šādi: katrs vispārinājums ir nepareizs, tāpēc ir patiesi vispārinājumi?

8. Kāds rakstnieks ir sacerējis "Epitāfiju visiem žanriem", lai pierādītu, ka literārie žanri, kuru atšķirības izraisīja tik daudz strīdu, ir miruši un tos nevar atcerēties.

Bet epitāfija tikmēr ir arī žanrs savā ziņā, kapakmeņu uzrakstu žanrs, kas attīstījās senatnē un ienāca literatūrā kā sava veida epigramma:

Šeit es atpūšos: Džimijs Hogs.
Lai Dievs man piedod grēkus,
Ko es darītu, ja es būtu Dievs
Un viņš ir nelaiķis Džimijs Hogs.

Tātad epitāfija visiem bez izņēmuma žanriem grēko it kā ar neatbilstību. Kāds ir labākais veids, kā to pārformulēt?

9. "Nekad nesaki nekad." Aizliedzot lietot vārdu "nekad", šis vārds ir jālieto divas reizes!

Šķiet, ka tas pats attiecas uz padomu: "Tiem, kas saka "ir pienācis laiks", ir pienācis laiks teikt kaut ko citu, nevis "ir pienācis laiks".

Vai šādos padomos ir kāda savdabīga nekonsekvence, un vai no tā var izvairīties?

10. Dzejolī "Netici", kas publicēts, protams, sadaļā "Ironiskā dzeja", tā autors iesaka nekam neticēt:

... Neticiet uguns maģiskajam spēkam:
Tas deg, kamēr tajā tiek ielikta malka.
Neticiet zirgam ar zelta krēpēm
Ne par kādām saldajām piparkūkām!
Neticiet, ka zvaigžņu ganāmpulki
Steidzoties nebeidzamā virpulī.
Bet kas tad tev paliks?
Neticiet tam, ko es teicu.
Neticu.
(V. Prudovskis)

Bet vai šī vispārējā neticība ir reāla? Acīmredzot tas ir pretrunīgi un līdz ar to loģiski neiespējami.

11. Pieņemsim, ka pretēji izplatītam uzskatam joprojām ir neinteresanti cilvēki. Savācam tos garīgi kopā un izvēlēsimies no tiem augumā mazāko, pēc svara lielāko, vai kādu citu "visvairāk...". Uz šo cilvēku būtu interesanti paskatīties, tāpēc lieki iekļāvām viņu neinteresanto sarakstā. Izslēdzot to, mēs atkal starp atlikušajiem atradīsim “pašo…” tādā pašā nozīmē utt. Un tas viss, līdz paliek tikai viens cilvēks, kuram nav ar ko salīdzināt. Bet izrādās, ka tieši tas viņu interesē! Rezultātā mēs nonākam pie secinājuma, ka nav neinteresantu cilvēku. Un strīds sākās ar to, ka tādi cilvēki pastāv.

Jo īpaši var mēģināt starp neinteresantajiem cilvēkiem atrast neinteresantāko no visiem neinteresantajiem. Šajā ziņā viņš, bez šaubām, būs interesants, un viņš būs jāizslēdz no neinteresantiem cilvēkiem. Starp pārējiem atkal ir vismazāk interesants utt.

Šajos argumentos noteikti ir kāds paradokss. Vai šeit ir kļūda, un, ja jā, tad kāda tā ir?

12. Pieņemsim, ka jums tika iedota tukša papīra lapa un uzdots uz tās aprakstīt šo lapu. Jūs rakstāt: šī ir taisnstūra loksne, balta, tādu un tādu izmēru, izgatavota no presētām koka šķiedrām utt.

Šķiet, ka apraksts ir pilnīgs. Bet tas ir acīmredzami nepilnīgs! Apraksta procesā objekts mainījās: uz tā parādījās teksts. Tāpēc aprakstam ir arī jāpievieno: un turklāt uz šīs papīra lapas ir rakstīts: šī ir taisnstūra formas lapa, balta ... utt. līdz bezgalībai.

Šķiet, ka šeit ir paradokss, vai ne?

Labi pazīstams bērnu dzejolis:

Priesterim bija suns
Viņš viņu mīlēja
Viņa apēda gaļas gabalu
Viņš viņu nogalināja.
Nogalināja un apglabāja
Un uz tāfeles viņš rakstīja:
"Priesterim bija suns..."

Vai šis suņus mīlošais pops kādreiz varētu pabeigt savu kapa pieminekli? Vai šī uzraksta sastāvs nelīdzinās pilnam papīra lapas aprakstam?

13. Kāds autors sniedz šādu "smalku" padomu: "Ja mazi triki neļauj sasniegt to, ko vēlaties, ķerieties pie lieliem trikiem." Šis padoms tiek piedāvāts sadaļā "Tirdzniecības triki". Bet vai viņš tiešām ir viens no šiem trikiem? Galu galā "mazie triki" nepalīdz, un tieši šī iemesla dēļ jums ir jāizmanto šis padoms.

14. Mēs saucam spēli par normālu, ja tā beidzas ar ierobežotu gājienu skaitu. Parasto spēļu piemēri ir šahs, dambrete, domino: šīs spēles vienmēr beidzas vai nu ar vienas puses uzvaru, vai ar neizšķirtu. Spēle, kas nav normāla, turpinās bezgalīgi bez rezultāta. Ieviesīsim arī superspēles jēdzienu: šādas spēles pirmais solis ir noteikt, kura spēle ir jāspēlē. Ja, piemēram, jūs un es plānojam spēlēt superspēli un man pieder pirmais gājiens, es varu teikt: "Spēlēsim šahu." Pēc tam jūs kā atbildi veicat šaha partijas pirmo gājienu, teiksim, e2 - e4, un mēs turpinām spēli līdz tā beigām (jo īpaši sakarā ar turnīra nolikumā paredzētā laika beigām). Kā pirmo gājienu varu ieteikt uzspēlēt tic-tac-toe un tamlīdzīgi. Bet spēlei, kuru es izvēlos, ir jābūt normālai; jūs nevarat izvēlēties spēli, kas nav normāla.

Rodas problēma: vai pati superspēle ir normāla vai nē? Pieņemsim, ka šī ir parasta spēle. Tā kā tā var izvēlēties jebkuru no parastajām spēlēm kā savu pirmo gājienu, varu teikt: "Spēlēsim super spēli." Pēc tam superspēle ir sākusies, un nākamais gājiens tajā ir tavs. Jums ir tiesības teikt: "Spēlēsim super spēli." Varu atkārtot: "Spēlēsim superspēli" un līdz ar to process var turpināties bezgalīgi. Tāpēc superspēle uz parastajām spēlēm neattiecas. Bet sakarā ar to, ka superspēle nav normāla, es nevaru ieteikt superspēli ar savu pirmo gājienu superspēlē; Man ir jāizvēlas parasta spēle. Bet normālas spēles izvēle, kurai ir beigas, ir pretrunā ar pierādītu faktu, ka superspēle nepieder pie parastajām.

Tātad, vai superspēle ir parasta spēle vai nē?

Mēģinot atbildēt uz šo jautājumu, protams, nevajadzētu iet vieglo tīri verbālo atšķirību ceļu. Vienkāršākais veids ir pateikt, ka parasta spēle ir spēle, bet superspēle ir tikai palaidnība.

Kādus vēl paradoksus atgādina šis paradokss, ka superspēle vienlaikus ir gan normāla, gan nenormāla?

Literatūra

Bayif J.K. Loģiskie uzdevumi. - M., 1983. gads.

Burbaki N. Esejas par matemātikas vēsturi. - M., 1963. gads.

Gārdners M. Uzmini! – M.: 1984. gads.

Ivins A.A. Saskaņā ar loģikas likumiem. - M., 1983. gads.

Klīni S.K. Matemātiskā loģika. - M., 1973. gads.

Smallian R.M. Kā sauc šo grāmatu? – M.: 1982. gads.

Smallian R.M. Princese vai tīģeris? – M.: 1985. gads.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Kopu teorijas pamati. - M., 1966. gads.

testa jautājumi

Kāda ir paradoksu nozīme loģikai?

Kādi risinājumi tika piedāvāti Melu paradoksam?

Kādas ir semantiski slēgtas valodas iezīmes?

Kāda ir daudzu parasto kopu paradoksa būtība?

Vai ir risinājums strīdam starp Protagoru un Eiatlu? Kādi risinājumi tika piedāvāti šim strīdam?

Kāda ir neprecīzu nosaukumu paradoksa būtība?

Kāda varētu būt loģisko paradoksu īpatnība?

Kādi secinājumi loģikai izriet no loģisko paradoksu esamības?

Kāda ir atšķirība starp paradoksa novēršanu un izskaidrošanu? Kāda ir loģisko paradoksu nākotne?

Referātu un referātu tēmas

Loģiskā paradoksa jēdziens

Melis paradokss

Rasela paradokss

Paradokss "Protagors un Eiatls"

Paradoksu loma loģikas attīstībā

Paradoksu atrisināšanas perspektīvas

Atšķirība starp valodu un metavalodu

Paradoksu novēršana un atrisināšana

Formas, kādos problēmsituācija izpaužas un realizējas, ir ļoti dažādas. Ne vienmēr tas atklājas tieša jautājuma veidā, kas radās pašā pētījuma sākumā. Problēmu pasaule ir tikpat sarežģīta kā izziņas process, kas tās rada. Radošās domāšanas pamatā ir problēmu identificēšana. Paradoksi ir visinteresantākais netiešo, neapšaubāmo problēmu izvirzīšanas veidu gadījums. Paradoksi ir izplatītas zinātnisko teoriju attīstības sākumposmā, kad tiek sperti pirmie soļi vēl neapgūtā jomā un taustīti vispārīgākie pieejas principi tai.

Plašā nozīmē paradokss -šī nostāja ir krasi pretrunā ar vispārpieņemtajiem, iedibinātajiem, ortodoksālajiem uzskatiem. “Vispārpieņemti viedokļi un tas, kas tiek uzskatīts par ilgtermiņa lēmumu, visbiežāk ir pelnījis izpēti” (G. Lihtenbergs). Paradokss ir šādu pētījumu sākums.

Paradokss šaurākā un īpašākā nozīmē - tie ir divi pretēji, nesavienojami apgalvojumi, kuriem katram ir šķietami pārliecinoši argumenti.

Ekstrēmākā paradoksa forma ir antinomija, arguments, kas pierāda divu apgalvojumu līdzvērtību, no kuriem viens ir otra noliegums.

Paradoksi ir īpaši slaveni visstingrākajās un precīzākajās zinātnēs - matemātikā un loģikā. Un tā nav nejaušība.

Loģika ir abstrakts zirneklis. Tajā nav nekādu eksperimentu, pat ne faktu šī vārda parastajā nozīmē. Veidojot sistēmas, loģika galu galā izriet no reālās domāšanas analīzes. Saskaņā ar šīs analīzes rezultātiem ir sintētiskas, nediferencētas. Tie nav apgalvojumi par atsevišķiem procesiem vai notikumiem, kas teorijai būtu jāpaskaidro. Acīmredzot šādu analīzi nevar saukt par novērojumu: vienmēr tiek novērota konkrēta parādība.

Bet, ja nav loģikas eksperimentu, faktu un pašu novērojumu, tad kas bremzē loģisko fantāziju? Kādi faktori, ja ne fakti, tiek ņemti vērā, veidojot jaunas loģiskās teorijas?

"Loģisko paradoksu karalis"

Slavenākais un, iespējams, interesantākais no visiem loģiskajiem paradoksiem ir Melu paradokss. Tas bija tas, kurš pagodināja Eubulīda vārdu no Milētas, kurš to atklāja.

Šim paradoksam jeb antinomijai ir varianti, no kuriem daudzi ir paradoksāli tikai pēc izskata.

Vienkāršākajā "Melis" versijā cilvēks saka tikai vienu frāzi: "Es meloju." Vai arī viņš saka: "Paziņojums, ko es tagad izsaku, ir nepatiess." Vai: "Šis apgalvojums ir nepatiess."

Viduslaikos bija izplatīts šāds formulējums:

- Platona teiktais ir nepatiess, saka Sokrats.
"Tas, ko teica Sokrats, ir patiesība," saka Platons. Rodas jautājums, kurš no tiem pauž patiesību un kurš ir meli?

Melu paradokss atstāja milzīgu iespaidu uz grieķiem. Un ir viegli saprast, kāpēc. Jautājums, ko tas uzdod no pirmā acu uzmetiena, šķiet pavisam vienkāršs: vai tas, kurš saka tikai to, ka melo, ir melis? Bet atbilde "jā" noved pie atbildes "nē", un otrādi. Un pārdomas situāciju nemaz neizskaidro. Aiz jautājuma vienkāršības un pat rutīnas tas atklāj kādu neskaidru un neizmērojamu dziļumu.

Ir pat leģenda, ka kāds Filits Kosskis, izmisīgi vēlēdamies atrisināt šo paradoksu, izdarīja pašnāvību. Ir arī teikts, ka viens no slavenajiem sengrieķu loģiķiem Diodors Kronos jau savos panīkšanas gados apsolīja neēst, kamēr neatradīs “Meļa” risinājumu, un drīz nomira, neko nesasniedzis.

Viduslaikos šis paradokss tika dēvēts par tā sauktajiem neizšķiramajiem teikumiem un kļuva par sistemātiskas analīzes objektu.

Un ilgu laiku "Melis" ilgu laiku nepiesaistīja uzmanību. Viņi nesaskatīja nekādas, pat nelielas, valodas lietojuma grūtības. Un tikai mūsu, tā sauktajos modernajos laikos, loģikas attīstība beidzot ir sasniegusi tādu līmeni, kad kļuva iespējams strikti formulēt problēmas, kas, šķiet, slēpjas aiz šī paradoksa.

Tagad "Melis" - šis tipiskais kādreizējais sofisms - bieži tiek dēvēts par loģisko paradoksu karali. Viņam ir veltīta plaša zinātniskā literatūra. Un tomēr, tāpat kā daudzu citu paradoksu gadījumā, joprojām nav īsti skaidrs, kādas problēmas slēpjas aiz tā un kā no tā atbrīvoties.

Formālās loģikas paradoksi un loģiskās kļūdas. Izklaidējoši loģiski paradoksi Paradoksi loģikā

1. Aporija "Ahillejs un bruņurupucis"

2. Laika cilpas paradokss

3. Meitenes un zēna paradokss

4. Jourdain kāršu paradokss

5. Sofisms "Krokodils"

6. Aporija "Dichotomija"

7. Aporija "Lidojošā bulta"

8. Galileja paradokss

9. Kartupeļu maisu paradokss

10 Kraukļa paradokss

1. Aporija "Ahillejs un bruņurupucis"

2. Laika cilpas paradokss

3. Meitenes un zēna paradokss

4. Jourdain kāršu paradokss

5. Sofisms "Krokodils"

6. Aporija "Dichotomija"

7. Aporija "Lidojošā bulta"

8. Galileja paradokss

9. Kartupeļu maisu paradokss

10 Kraukļa paradokss

"Loģisko paradoksu karalis"

Ziņot par drukas kļūdu

Teksts, kas jānosūta mūsu redaktoriem:

Jūsu komentārs (pēc izvēles):