Vispirms apskatīsim divu mainīgo funkcijas gadījumu. Funkcijas $z=f(x,y)$ nosacītā galējība punktā $M_0(x_0;y_0)$ ir šīs funkcijas ekstremitāte, kas tiek sasniegta ar nosacījumu, ka mainīgie $x$ un $y$ šī punkta tuvumā atbilst ierobežojuma vienādojumam $\ varphi(x,y)=0$.

Nosaukums "nosacījuma" ekstrēmums ir saistīts ar to, ka mainīgajiem tiek uzlikts papildu nosacījums $\varphi(x,y)=0$. Ja no savienojuma vienādojuma ir iespējams izteikt vienu mainīgo ar citu, tad nosacījuma ekstrēma noteikšanas problēma tiek reducēta uz viena mainīgā funkcijas parastā ekstrēma problēmu. Piemēram, ja no ierobežojuma vienādojuma izriet $y=\psi(x)$, tad $y=\psi(x)$ aizstājot ar $z=f(x,y)$, mēs iegūstam viena mainīgā $ funkciju. z=f\left (x,\psi(x)\right)$. Tomēr vispārīgā gadījumā šī metode ir maz noderīga, tāpēc ir nepieciešams jauns algoritms.

Lagranža reizinātāju metode divu mainīgo funkcijām.

Lagranža reizinātāju metode ir tāda, ka, lai atrastu nosacīto ekstrēmu, tiek izveidota Lagranža funkcija: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametrs $\lambda $ sauc par Lagranža reizinātāju ). Nepieciešamos ekstremālos nosacījumus nosaka vienādojumu sistēma, no kuras nosaka stacionāros punktus:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\beigas(līdzināts)\pa labi.$$

Zīme $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ja stacionārā punktā $d^2F > 0$, tad funkcijai $z=f(x,y)$ šajā punktā ir nosacīts minimums, bet ja $d^2F< 0$, то условный максимум.

Ir vēl viens veids, kā noteikt ekstremuma raksturu. No ierobežojuma vienādojuma iegūstam: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, tāpēc jebkurā stacionārā punktā mums ir:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\pa labi)$$

Otro faktoru (atrodas iekavās) var attēlot šādā formā:

$\left| elementi \begin(masīvs) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (masīvs) \right|$, kas ir Lagranža funkcijas Hess. Ja $H > 0$, tad $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 USD, t.i. mums ir funkcijas $z=f(x,y)$ nosacījuma minimums.

Piezīme par determinanta $H$ formu. parādīt/slēpt

$$ H=-\left|\begin(masīvs) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ beigas(masīvs) \right| $$

Šajā situācijā iepriekš formulētais noteikums mainās šādi: ja $H > 0$, tad funkcijai ir nosacījuma minimums, un $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritms divu mainīgo funkcijas izpētei nosacījuma ekstrēmumam

1. Izveidojiet Lagranža funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Atrisiniet sistēmu $ \left \( \begin(līdzināts) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(līdzināts)\right.$
3. Nosakiet ekstrēma raksturu katrā no stacionārajiem punktiem, kas atrasti iepriekšējā punktā. Lai to izdarītu, izmantojiet kādu no šīm metodēm:
   • Sastādiet determinantu $H$ un noskaidrojiet tā zīmi
   • Ņemot vērā ierobežojuma vienādojumu, aprēķiniet $d^2F$ zīmi

Lagranža reizinātāja metode n mainīgo funkcijām

Pieņemsim, ka mums ir funkcija no $n$ mainīgajiem $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ un $m$ ierobežojuma vienādojumiem ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Apzīmējot Lagranža reizinātājus kā $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, mēs veidojam Lagranža funkciju:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Nepieciešamos nosacījumus nosacījuma ekstrēma klātbūtnei nosaka vienādojumu sistēma, no kuras tiek atrastas stacionāro punktu koordinātas un Lagranža reizinātāju vērtības:

$$\left\(\begin(līdzināts) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(līdzināts) \right.$$

Var noskaidrot, vai funkcijai atrastajā punktā ir nosacīts minimums vai nosacīts maksimums, kā iepriekš, izmantojot zīmi $d^2F$. Ja atrastajā punktā $d^2F > 0$, tad funkcijai ir nosacījuma minimums, bet ja $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matricas determinants $\left| \begin(masīvs) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\lpunkti & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \lpunkti & \lpunkti & \lpunkti &\lpunkti & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( masīvs) \right|$, kas ir iezīmēts sarkanā krāsā $L$ matricā, ir Lagranža funkcijas Hesenes valoda. Mēs izmantojam šādu noteikumu:

• Ja stūra nepilngadīgo pazīmes ir $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matricas $L$ sakrīt ar $(-1)^m$ zīmi, tad pētāmais stacionārais punkts ir funkcijas $ nosacītais minimums. z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ja stūra nepilngadīgo pazīmes ir $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ mijas, un minora $H_(2m+1)$ zīme sakrīt ar skaitļa $(-1)^(m+1 )$, tad pētītais stacionārais punkts ir funkcijas $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ nosacītais maksimālais punkts.

1. piemērs

Atrodiet funkcijas $z(x,y)=x+3y$ nosacīto ekstrēmu ar nosacījumu $x^2+y^2=10$.

Šīs problēmas ģeometriskā interpretācija ir šāda: jāatrod lielākā un mazākā plaknes $z=x+3y$ pielietojuma vērtība tās krustošanās punktiem ar cilindru $x^2+y^2. = 10 USD.

Ir nedaudz grūti izteikt vienu mainīgo ar citu no ierobežojuma vienādojuma un aizstāt to ar funkciju $z(x,y)=x+3y$, tāpēc izmantosim Lagranža metodi.

Apzīmējot $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, mēs veidojam Lagranža funkciju:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\daļējs x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Pierakstīsim vienādojumu sistēmu Lagranža funkcijas stacionāro punktu noteikšanai:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (līdzināts)\pa labi.$$

Ja pieņemam $\lambda=0$, tad pirmais vienādojums kļūst: $1=0$. Rezultātā iegūtā pretruna saka, ka $\lambda\neq 0$. Saskaņā ar nosacījumu $\lambda\neq 0$ no pirmā un otrā vienādojuma mums ir: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Aizvietojot iegūtās vērtības trešajā vienādojumā, mēs iegūstam:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(līdzināts) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(līdzināts) \right.\\ \begin(līdzināts) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(līdzināts) $$

Tātad sistēmai ir divi risinājumi: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ un $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Noskaidrosim ekstrēma raksturu katrā stacionārajā punktā: $M_1(1;3)$ un $M_2(-1;-3)$. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām determinantu $H$ katrā no punktiem.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masīvs) \right|= \pa kreisi| \begin(masīvs) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(masīvs) \right|= 8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masīvs) \right| $$

Punktā $M_1(1;3)$ iegūstam: $H=8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masīvs) \right|= 8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(masīvs) \right|=40 > 0$, tātad punktā $M_1(1;3)$ funkcijai $z(x,y)=x+3y$ ir nosacījuma maksimums, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Līdzīgi, punktā $M_2(-1;-3)$ atrodam: $H=8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masīvs) \right|= 8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(masīvs) \right|=-40 $. Kopš $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Es atzīmēju, ka tā vietā, lai katrā punktā aprēķinātu determinanta $H$ vērtību, ir daudz ērtāk to atvērt vispārīgā veidā. Lai nepārblīvētu tekstu ar detaļām, šo metodi paslēpšu zem piezīmes.

Determinants $H$ apzīmējums vispārīgā formā. parādīt/slēpt

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(masīvs)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Principā jau ir skaidrs, kura zīme ir $H$. Tā kā neviens no punktiem $M_1$ vai $M_2$ nesakrīt ar izcelsmi, tad $y^2+x^2>0$. Tāpēc $H$ zīme ir pretēja zīmei $\lambda$. Varat arī pabeigt aprēķinus:

$$ \begin(līdzināts) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(līdzināts) $$

Jautājumu par ekstrēma raksturu stacionārajos punktos $M_1(1;3)$ un $M_2(-1;-3)$ var atrisināt, neizmantojot determinantu $H$. Atrodiet $d^2F$ zīmi katrā stacionārajā punktā:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Es atzīmēju, ka apzīmējums $dx^2$ nozīmē tieši $dx$, kas pacelts līdz otrajam pakāpim, t.i. $\left(dx\right)^2$. Tādējādi mums ir: $dx^2+dy^2>0$, tāpēc $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ mēs iegūstam $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Atbilde: punktā $(-1;-3)$ funkcijai ir nosacījuma minimums, $z_(\min)=-10$. Punktā $(1;3)$ funkcijai ir nosacījuma maksimums, $z_(\max)=10$

2. piemērs

Atrodiet funkcijas $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ nosacīto ekstrēmu saskaņā ar nosacījumu $x+y=0$.

Pirmais veids (Lagranža reizinātāju metode)

Apzīmējot $\varphi(x,y)=x+y$, mēs veidojam Lagranža funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin (līdzināts) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(līdzināts)\right.$$

Atrisinot sistēmu, iegūstam: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ un $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Mums ir divi stacionāri punkti: $M_1(0;0)$ un $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Noskaidrosim ekstrēma raksturu katrā stacionārajā punktā, izmantojot determinantu $H$.

$$ H=\pa kreisi| \begin(masīvs) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masīvs) \right|= \pa kreisi| \begin(masīvs) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(masīvs) \right|=-10-18y $$

Punktā $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, tāpēc šajā brīdī funkcijai ir nosacījuma maksimums $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Mēs pētām ekstrēma raksturu katrā punktā ar atšķirīgu metodi, pamatojoties uz $d^2F$ zīmi:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

No ierobežojuma vienādojuma $x+y=0$ mums ir: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Tā kā $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, tad $M_1(0;0)$ ir funkcijas $z(x,y)=3y^3+ nosacījuma minimālais punkts. 4x^ 2-xy$. Līdzīgi $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Otrais veids

No ierobežojuma vienādojuma $x+y=0$ iegūstam: $y=-x$. Aizvietojot $y=-x$ funkcijā $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, iegūstam kādu mainīgā $x$ funkciju. Apzīmēsim šo funkciju kā $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Tādējādi mēs reducējām divu mainīgo funkcijas nosacītā galējības atrašanas problēmu līdz viena mainīgā funkcijas ekstrēma noteikšanas problēmai.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Iegūti punkti $M_1(0;0)$ un $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Turpmākie pētījumi ir zināmi no viena mainīgā lieluma funkciju diferenciālrēķina gaitas. Izpētot $u_(xx)^("")$ zīmi katrā stacionārajā punktā vai pārbaudot $u_(x)^(")$ zīmes maiņu atrastajos punktos, iegūstam tādus pašus secinājumus kā risinot pirmo. Piemēram, atzīmējiet atzīmi $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Tā kā $u_(xx)^("")(M_1)>0$, tad $M_1$ ir funkcijas $u(x)$ minimālais punkts, savukārt $u_(\min)=u(0)=0 $ . Kopš $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Funkcijas $u(x)$ vērtības dotajā savienojuma nosacījumā sakrīt ar funkcijas $z(x,y)$ vērtībām, t.i. atrastās funkcijas $u(x)$ ekstrēmas ir vēlamās funkcijas $z(x,y)$ nosacītās ekstremitātes.

Atbilde: punktā $(0;0)$ funkcijai ir nosacījuma minimums, $z_(\min)=0$. Punktā $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcijai ir nosacīts maksimums, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Apskatīsim vēl vienu piemēru, kurā mēs uzzinām ekstrēma būtību, nosakot $d^2F$ zīmi.

3. piemērs

Atrodiet funkcijas $z=5xy-4$ maksimālo un minimālo vērtību, ja mainīgie $x$ un $y$ ir pozitīvi un izpilda ierobežojuma vienādojumu $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Izveidojiet Lagranža funkciju: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Atrodiet Lagranža funkcijas stacionāros punktus:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin (līdzināts) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(līdzināts) \right.$$

Visas turpmākās transformācijas tiek veiktas, ņemot vērā $x > 0; \; y > 0$ (tas ir noteikts problēmas nosacījumā). No otrā vienādojuma mēs izsakām $\lambda=-\frac(5x)(y)$ un aizstājam atrasto vērtību pirmajā vienādojumā: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Trešajā vienādojumā aizstājot $x=2y$, mēs iegūstam: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.

Tā kā $y=1$, tad $x=2$, $\lambda=-10$. Ekstrēmuma raksturu punktā $(2;1)$ nosaka no $d^2F$ zīmes.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Tā kā $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, tad:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Principā šeit uzreiz var aizstāt stacionārā punkta koordinātas $x=2$, $y=1$ un parametru $\lambda=-10$, tādējādi iegūstot:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Tomēr citās nosacītā ekstremuma problēmās var būt vairāki stacionāri punkti. Šādos gadījumos labāk ir attēlot $d^2F$ vispārīgā formā un pēc tam aizstāt katra atrastā stacionārā punkta koordinātas iegūtajā izteiksmē:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Aizstājot $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, mēs iegūstam:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Kopš $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Atbilde: punktā $(2;1)$ funkcijai ir nosacījuma maksimums, $z_(\max)=6$.

Nākamajā daļā aplūkosim Lagranža metodes pielietojumu lielāka skaita mainīgo funkcijām.

Pietiekams nosacījums divu mainīgo funkcijas galējībai

1. Lai funkcija ir nepārtraukti diferencējama kādā punkta apkārtnē un tai ir nepārtraukti otrās kārtas parciālie atvasinājumi (tīri un jaukti).

2. Apzīmē ar otrās kārtas determinantu

ekstrēma mainīgā lekciju funkcija

Teorēma

Ja punkts ar koordinātām ir funkcijas stacionārs punkts, tad:

A) Ja tas ir lokālā galējības punkts un pie lokālā maksimuma - lokālais minimums;

C) kad punkts nav lokāls ekstrēma punkts;

C) ja, varbūt abi.

Pierādījums

Mēs rakstām Teilora formulu funkcijai, ierobežojot sevi ar diviem locekļiem:

Tā kā saskaņā ar teorēmas nosacījumu punkts ir stacionārs, otrās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli, t.i. un. Tad

Apzīmē

Pēc tam funkcijas pieaugumam būs šāda forma:

Sakarā ar otrās kārtas daļējo atvasinājumu (tīro un jaukto) nepārtrauktību atbilstoši teorēmas nosacījumam punktā mēs varam rakstīt:

Kur vai; ,

1. Ļaujiet un, t.i., vai.

2. Reizinām funkcijas pieaugumu un dalām ar, iegūstam:

3. Papildiniet izteiksmi cirtainajās iekavās līdz summas pilnam kvadrātam:

4. Izteiksme cirtainajās iekavās nav negatīva, jo

5. Tāpēc, ja un tātad, un, tad un, tāpēc saskaņā ar definīciju punkts ir lokālā minimuma punkts.

6. Ja un nozīmē, un, tad saskaņā ar definīciju punkts ar koordinātām ir lokālais maksimālais punkts.

2. Aplūkosim kvadrātveida trinomu, tā diskriminantu, .

3. Ja, tad ir tādi punkti, ka polinoms

4. Kopējo funkcijas pieaugumu punktā saskaņā ar izteiksmi, kas iegūta I, mēs rakstām formā:

5. Otrās kārtas parciālo atvasinājumu nepārtrauktības dēļ pēc teorēmas nosacījuma punktā varam uzrakstīt, ka

tāpēc pastāv tāda punkta apkārtne, ka jebkuram punktam kvadrātveida trinomāls ir lielāks par nulli:

6. Apsveriet - punkta apkārtne.

Izvēlēsimies jebkuru vērtību, tāpēc tā ir būtība. Pieņemot, ka funkcijas pieauguma formulā

Ko mēs iegūstam:

7. Kopš tā laika.

8. Līdzīgi argumentējot par sakni, iegūstam, ka jebkurā punkta -apkaimē atrodas punkts, kuram, tātad, punkta tuvumā tas nesaglabā zīmi, tāpēc punktā nav ekstrēma.

Divu mainīgo funkcijas nosacīta galējība

Meklējot divu mainīgo funkcijas ekstrēmus, bieži rodas problēmas saistībā ar tā saukto nosacīto ekstrēmu. Šo jēdzienu var izskaidrot ar divu mainīgo funkcijas piemēru.

Lai plaknē 0xy ir dota funkcija un taisne L. Uzdevums ir atrast taisnē L tādu punktu P (x, y), kurā funkcijas vērtība ir lielākā vai mazākā, salīdzinot ar šīs funkcijas vērtībām līnijas L punktos, kas atrodas netālu no punktu P. Šādus punktus P sauc par nosacīto ekstremitāšu punktu funkcijām taisnē L. Atšķirībā no parastā ekstrēma punkta, funkcijas vērtība nosacītajā ekstrēma punktā tiek salīdzināta ar funkcijas vērtībām ne visos punktos. dažās tās apkārtnēs, bet tikai tajos, kas atrodas uz līnijas L.

Ir pilnīgi skaidrs, ka parastā ekstrēma punkts (viņi arī saka beznosacījuma ekstrēmu) ir arī nosacītā ekstrēma punkts jebkurai līnijai, kas iet caur šo punktu. Protams, otrādi nav taisnība: nosacīts galējības punkts var nebūt parasts galējības punkts. Ilustrēsim teikto ar piemēru.

1. piemērs. Funkcijas grafiks ir augšējā puslode (2. att.).

Rīsi. 2.

Šai funkcijai sākumā ir maksimums; tas atbilst puslodes virsotnei M. Ja taisne L ir taisne, kas iet caur punktiem A un B (tās vienādojums), tad ir ģeometriski skaidrs, ka šīs taisnes punktiem maksimālā funkcijas vērtība tiek sasniegta punktā, kas atrodas vidū starp punktiem A un B. Šīs ir nosacītā galējības (maksimālā) punkta funkcijas šajā taisnē; tas atbilst punktam M 1 uz puslodes, un no attēla var redzēt, ka šeit nevar būt ne runas par kādu parastu ekstrēmu.

Ņemiet vērā, ka uzdevuma beigu daļā par funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanu slēgtā reģionā ir jāatrod funkcijas ekstremālās vērtības uz šī apgabala robežas, t.i. kādā līnijā un tādējādi atrisināt nosacītā galējības problēmu.

1. definīcija. Viņi saka, kur ir nosacīts vai relatīvais maksimums (minimums) punktā, kas apmierina vienādojumu: ja kādam, kas apmierina vienādojumu, tad nevienlīdzība

2. definīcija. Formas vienādojumu sauc par ierobežojuma vienādojumu.

Teorēma

Ja funkcijas un ir nepārtraukti diferencējamas punkta tuvumā un daļējais atvasinājums un punkts ir funkcijas nosacītā galējības punkts attiecībā pret ierobežojuma vienādojumu, tad otrās kārtas determinants ir vienāds ar nulli:

Pierādījums

1. Tā kā atbilstoši teorēmas nosacījumam parciālais atvasinājums un funkcijas vērtība, tad kādā taisnstūrī

definēta netiešā funkcija

Divu mainīgo kompleksai funkcijai vienā punktā būs lokāls ekstrēms, tāpēc vai.

2. Patiešām, saskaņā ar pirmās kārtas diferenciālformulas nemainīguma īpašību

3. Savienojuma vienādojumu var attēlot šādā formā, kas nozīmē

4. Reiziniet vienādojumu (2) ar un (3) ar un pievienojiet tos

Tāpēc plkst

patvaļīgi. h.t.d.

Sekas

Divu mainīgo funkcijas nosacīto ekstrēmu punktu meklēšana praksē tiek veikta, risinot vienādojumu sistēmu

Tātad, iepriekš minētajā piemērā Nr. 1 no komunikācijas vienādojuma mums ir. Šeit ir viegli pārbaudīt, kas sasniedz maksimumu pie . Bet tad no komunikācijas vienādojuma. Mēs iegūstam ģeometriski atrasto punktu P.

2. piemērs. Atrodiet funkcijas nosacītos galējības punktus attiecībā uz ierobežojuma vienādojumu.

Atradīsim dotās funkcijas un savienojuma vienādojuma daļējos atvasinājumus:

Izveidosim otrās kārtas determinantu:

Pierakstīsim vienādojumu sistēmu nosacīto ekstrēmu punktu atrašanai:

tātad ir četri funkcijas nosacīti galējie punkti ar koordinātām: .

3. piemērs. Atrodiet funkcijas galējos punktus.

Pielīdzinot daļējos atvasinājumus nullei: , atrodam vienu stacionāru punktu - izcelsmi. Šeit,. Tāpēc arī punkts (0, 0) nav galējības punkts. Vienādojums ir hiperboliskā paraboloīda vienādojums (3. att.), attēlā redzams, ka punkts (0, 0) nav galējības punkts.

Rīsi. 3.

Funkcijas lielākā un mazākā vērtība slēgtā apgabalā

1. Ļaujiet funkcijai būt definētai un nepārtrauktai ierobežotā slēgtā domēnā D.

2. Pieņemsim, ka funkcijai šajā apgabalā ir noteikti parciālie atvasinājumi, izņemot atsevišķus apgabala punktus.

3. Saskaņā ar Veierštrāsa teorēmu šajā apgabalā ir punkts, kurā funkcijai ir vislielākās un mazākās vērtības.

4. Ja šie punkti ir apgabala D iekšējie punkti, tad ir skaidrs, ka tiem būs maksimums vai minimums.

5. Šajā gadījumā mums interesējošie punkti ir starp aizdomīgajiem punktiem uz ekstremitātes.

6. Tomēr funkcija var iegūt maksimālo vai minimālo vērtību arī uz apgabala D robežas.

7. Lai apgabalā D atrastu lielāko (mazāko) funkcijas vērtību, jāatrod visi iekšējie punkti, kas ir aizdomīgi par ekstrēmu, jāaprēķina tajos esošās funkcijas vērtība, pēc tam jāsalīdzina ar funkcijas vērtību apgabala robežpunktus, un lielākā no visām atrastajām vērtībām būs lielākā slēgtajā reģionā D.

8. Vietējā maksimuma vai minimuma noteikšanas metode tika aplūkota iepriekš 1.2. sadaļā. un 1.3.

9. Atliek apsvērt iespēju noteikt funkcijas maksimālās un minimālās vērtības uz reģiona robežas.

10. Divu mainīgo funkcijas gadījumā laukums parasti ir ierobežots ar līkni vai vairākām līknēm.

11. Gar šādu līkni (vai vairākām līknēm) mainīgie un vai nu ir atkarīgi viens no otra, vai abi ir atkarīgi no viena parametra.

12. Tādējādi uz robežas funkcija izrādās atkarīga no viena mainīgā.

13. Viena mainīgā funkcijas lielākās vērtības atrašanas metode tika apspriesta iepriekš.

14. Apgabala D robežu nosaka parametru vienādojumi:

Tad uz šīs līknes divu mainīgo funkcija būs parametra kompleksā funkcija: . Šādai funkcijai lielāko un mazāko vērtību nosaka viena mainīgā lieluma lielākās un mazākās vērtības noteikšanas metode.

Piemērs

Atrodiet funkcijas ekstrēmu ar nosacījumu X un plkst ir saistīti ar attiecību: . Ģeometriski problēma nozīmē: uz elipses
lidmašīna
.

Šo problēmu var atrisināt šādi: no vienādojuma
atrast
X:

ar nosacījumu, ka
, reducēts līdz problēmai atrast viena mainīgā funkcijas galējību intervālā
.

Ģeometriski problēma nozīmē: uz elipses ko iegūst, šķērsojot cilindru
lidmašīna
, ir jāatrod pieteikuma maksimālā vai minimālā vērtība (9. att.). Šo problēmu var atrisināt šādi: no vienādojuma
atrast
. Ievietojot atrasto y vērtību plaknes vienādojumā, iegūstam viena mainīgā funkciju X:

Līdz ar to funkcijas galējības atrašanas problēma
ar nosacījumu, ka
, kas reducēts līdz problēmai atrast viena mainīgā funkcijas ekstrēmu segmentā.

Tātad, nosacījuma ekstrēma atrašanas problēma ir mērķfunkcijas galējības atrašanas problēma
, ar nosacījumu, ka mainīgie X un plkst ievērojot ierobežojumu
sauca savienojuma vienādojums.

Mēs to teiksim punkts
, izpildot ierobežojuma vienādojumu, ir lokālā nosacītā maksimuma punkts (minimums), ja ir apkaime
tāds, ka par jebkuriem punktiem
, kuras koordinātas apmierina ierobežojuma vienādojumu, pastāv nevienādība.

Ja no komunikācijas vienādojuma ir iespējams atrast izteiksmi priekš plkst, tad, aizstājot šo izteiksmi ar sākotnējo funkciju, mēs to pārvēršam par viena mainīgā kompleksu funkciju X.

Vispārējā metode nosacītās galējības problēmas risināšanai ir Lagranža reizinātāja metode. Izveidosim palīgfunkciju, kur ─ kādu numuru. Šo funkciju sauc Lagranža funkcija, a ─ Lagranža reizinātājs. Tādējādi nosacītā ekstrēma atrašanas problēma ir samazināta līdz Lagranža funkcijas lokālo ekstrēma punktu atrašanai. Lai atrastu iespējamās ekstremitātes punktus, ir jāatrisina 3 vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem x, y un.

Tad vajadzētu izmantot šādu pietiekami ekstrēmu nosacījumu.

TEORĒMA. Lai punkts ir Lagranža funkcijas iespējamā galējības punkts. Mēs pieņemam, ka punkta tuvumā
pastāv nepārtraukti funkciju otrās kārtas parciālie atvasinājumi un . Apzīmē

Tad ja
, tad
─ funkcijas nosacījuma galējais punkts
pie ierobežojuma vienādojuma
tikmēr, ja
, tad
─ nosacītais minimālais punkts, ja
, tad
─ nosacītā maksimuma punkts.

§ astoņi. Gradients un virziena atvasinājums

Ļaujiet funkcijai
definēts kādā (atvērtā) domēnā. Apsveriet jebkuru punktu
šis laukums un jebkura virzīta taisne (ass) kas iet caur šo punktu (1. att.). Ļaujiet būt
- kāds cits šīs ass punkts,
- segmenta garums starp
un
, ņemts ar plus zīmi, ja virziens
sakrīt ar ass virzienu , un ar mīnusa zīmi, ja to virzieni ir pretēji.

Ļaujiet būt
tuvojas bezgalīgi
. Ierobežot

sauca funkcijas atvasinājums
virzienā (vai pa asi ) un tiek apzīmēts šādi:

.

Šis atvasinājums raksturo funkcijas "izmaiņu ātrumu" punktā
virzienā . Jo īpaši un parastie daļējie atvasinājumi ,var uzskatīt arī par atvasinājumiem "attiecībā uz virzienu".

Pieņemsim, ka tagad funkcija
ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi aplūkotajā reģionā. Ļaujiet asij veido leņķus ar koordinātu asīm
un . Saskaņā ar izdarītajiem pieņēmumiem virziena atvasinājums pastāv un tiek izteikts ar formulu

.

Ja vektors
nosaka tās koordinātas
, tad funkcijas atvasinājums
vektora virzienā
var aprēķināt, izmantojot formulu:

.

Vektors ar koordinātām
sauca gradienta vektors funkcijas
punktā
. Gradienta vektors norāda funkcijas visātrākā pieauguma virzienu dotajā punktā.

Piemērs

Dota funkcija , punkts A(1, 1) un vektors
. Atrast: 1) grad z punktā A; 2) atvasinājums punktā A vektora virzienā .

Dotās funkcijas parciālie atvasinājumi punktā
:

;
.

Tad funkcijas gradienta vektors šajā punktā ir:
. Gradienta vektoru var arī uzrakstīt, izmantojot vektora izvēršanu un :

. Funkcijas atvasinājums vektora virzienā :

Tātad,
,
.◄

Definīcija1: Tiek uzskatīts, ka funkcijai punktā ir lokāls maksimums, ja punktam ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam M ar koordinātām (x, y) nevienlīdzība ir izpildīta: . Šajā gadījumā, t.i., funkcijas pieaugums< 0.

Definīcija2: Tiek uzskatīts, ka funkcijai punktā ir lokālais minimums, ja punktam ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam M ar koordinātām (x, y) nevienlīdzība ir izpildīta: . Šajā gadījumā, t.i., funkcijas pieaugums > 0.

3. definīcija: tiek izsaukti vietējie minimālie un maksimālie punkti ekstremālie punkti.

Nosacītās galējības

Meklējot daudzu mainīgo funkcijas ekstrēmus, bieži rodas problēmas, kas saistītas ar t.s nosacīta galējība.Šo jēdzienu var izskaidrot ar divu mainīgo funkcijas piemēru.

Dota funkcija un līnija L uz virsmas 0xy. Uzdevums ir ierindot L atrast šādu punktu P(x, y), kurā funkcijas vērtība ir lielākā vai mazākā salīdzinājumā ar šīs funkcijas vērtībām līnijas punktos L atrodas netālu no punkta P. Tādi punkti P sauca nosacīti galējības punkti līnijas funkcijas L. Atšķirībā no parastā galējības punkta, funkcijas vērtība nosacītajā galējā punktā tiek salīdzināta ar funkcijas vērtībām ne visos punktos dažos tā apkaimes punktos, bet tikai tajos, kas atrodas uz līnijas. L.

Ir pilnīgi skaidrs, ka parastā ekstrēma punkts (viņi arī saka beznosacījuma galējība) ir arī nosacīts galējības punkts jebkurai līnijai, kas iet caur šo punktu. Protams, otrādi nav taisnība: nosacīts galējības punkts var nebūt parasts galējības punkts. Ļaujiet man to izskaidrot ar vienkāršu piemēru. Funkcijas grafiks ir augšējā puslode (3. pielikums (3. att.)).

Šai funkcijai sākumā ir maksimums; tas atbilst augšai M puslodes. Ja līnija L caur punktiem iet līnija BET un AT(viņas vienādojums x+y-1=0), tad ir ģeometriski skaidrs, ka šīs taisnes punktiem maksimālā funkcijas vērtība tiek sasniegta punktā, kas atrodas vidū starp punktiem. BET un AT. Tas ir funkcijas nosacītā galējības (maksimuma) punkts dotajā taisnē; tas atbilst punktam M 1 uz puslodes, un no attēla var redzēt, ka šeit nevar būt ne runas par kādu parastu ekstrēmu.

Ņemiet vērā, ka uzdevuma beigu daļā par funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanu slēgtā reģionā mums ir jāatrod funkcijas ekstremālās vērtības uz šī reģiona robežas, t.i. kādā līnijā un tādējādi atrisināt nosacītā galējības problēmu.

Tagad pāriesim pie funkcijas Z= f(x, y) nosacītā galējības punktu praktiskas meklēšanas, ja mainīgie x un y ir saistīti ar vienādojumu (x, y) = 0. Šī sakarība būs sauc par ierobežojumu vienādojumu. Ja no savienojuma vienādojuma y var skaidri izteikt ar x: y \u003d (x), mēs iegūstam viena mainīgā funkciju Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Atrodot x vērtību, pie kuras šī funkcija sasniedz galējību, un pēc tam no savienojuma vienādojuma nosakot atbilstošās y vērtības, mēs iegūsim vēlamos nosacītās ekstremitātes punktus.

Tātad, iepriekš minētajā piemērā no komunikācijas vienādojuma x+y-1=0 mums ir y=1-x. No šejienes

Ir viegli pārbaudīt, vai z sasniedz maksimumu pie x = 0,5; bet tad no savienojuma vienādojuma y = 0,5, un mēs iegūstam tieši punktu P, kas atrasts no ģeometriskiem apsvērumiem.

Nosacītā ekstrēma problēma tiek atrisināta ļoti vienkārši pat tad, ja ierobežojuma vienādojumu var attēlot ar parametriskiem vienādojumiem x=x(t), y=y(t). Aizvietojot x un y izteiksmes šajā funkcijā, mēs atkal nonākam pie problēmas, kā atrast viena mainīgā funkcijas ekstrēmu.

Ja ierobežojuma vienādojumam ir sarežģītāka forma un mēs nevaram ne skaidri izteikt vienu mainīgo ar citu, ne aizstāt to ar parametriskiem vienādojumiem, tad nosacījuma ekstrēma atrašanas problēma kļūst grūtāka. Turpināsim pieņemt, ka funkcijas z= f(x, y) izteiksmē mainīgais (x, y) = 0. Funkcijas z= f(x, y) kopējais atvasinājums ir vienāds ar:

Kur ir atvasinājums y`, ko nosaka netiešās funkcijas diferenciācijas likums. Nosacītā galējības punktos atrastajam kopējam atvasinājumam jābūt vienādam ar nulli; tas dod vienu vienādojumu saistībā ar x un y. Tā kā tiem ir jāizpilda arī ierobežojuma vienādojums, mēs iegūstam divu vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem

Pārveidosim šo sistēmu uz daudz ērtāku, ierakstot pirmo vienādojumu kā proporciju un ieviešot jaunu palīgnezināmo:

(ērtības labad priekšā novietota mīnusa zīme). No šīm vienādībām ir viegli pāriet uz šādu sistēmu:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

kas kopā ar ierobežojuma vienādojumu (x, y) = 0 veido trīs vienādojumu sistēmu ar nezināmajiem x, y un.

Šos vienādojumus (*) ir visvieglāk atcerēties, izmantojot šādu noteikumu: lai atrastu punktus, kas var būt funkcijas nosacījuma galējības punkti

Z= f(x, y) ar ierobežojuma vienādojumu (x, y) = 0, jums ir jāveido palīgfunkcija

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Kur ir kāda konstante, un uzrakstiet vienādojumus, lai atrastu šīs funkcijas galējos punktus.

Norādītā vienādojumu sistēma, kā likums, nodrošina tikai nepieciešamos nosacījumus, t.i. ne katrs x un y vērtību pāris, kas apmierina šo sistēmu, noteikti ir nosacīts galējības punkts. Es nesniegšu pietiekamus nosacījumus nosacītajiem ekstrēma punktiem; ļoti bieži pats problēmas konkrētais saturs liek domāt, kas ir atrastais punkts. Aprakstīto metodi nosacītā ekstrēma problēmu risināšanai sauc par Lagranža reizinātāju metodi.

Lai funkcija z - f(x, y) ir definēta kādā jomā D un lai Mo(xo, y0) ir šī domēna iekšējais punkts. Definīcija. Ja eksistē tāds skaitlis, ka nevienādība ir patiesa visiem, kas atbilst nosacījumiem, tad punktu Mo(xo, yo) sauc par funkcijas f(x, y) lokālā maksimuma punktu; ja tomēr visiem Dx, Du atbilst nosacījumiem | tad punktu Mo(x0, y0) sauc par smalko lokālo minimumu. Citiem vārdiem sakot, punkts M0(x0, y0) ir funkcijas f(x, y) maksimuma vai minimuma punkts, ja punktam A/o(x0, y0) eksistē 6-apkārtne tā, ka vispār šīs apkārtnes punkti M(x, y), funkcijas pieaugums saglabā zīmi. Piemēri. 1. Funkcijai punkts ir minimālais punkts (17. att.). 2. Funkcijai punkts 0(0,0) ir maksimālais punkts (18. att.). 3. Funkcijai punkts 0(0,0) ir vietējais maksimālais punkts. 4 Patiešām, ir punkta 0(0, 0) apkārtne, piemēram, aplis ar rādiusu j (sk. 19. att.), kura jebkurā punktā, kas atšķiras no punkta 0(0, 0), funkcijas f(x, y) vērtība ir mazāka par 1 = Mēs ņemsim vērā tikai punktus ar stingru funkciju maksimumu un minimumu, ja stingrā nevienādība vai stingrā nevienādība attiecas uz visiem punktiem M(x) y) no kāda caurdurta 6-apkaimes. punkts Mq. Funkcijas vērtību maksimālajā punktā sauc par maksimālo, un funkcijas vērtību minimālajā punktā sauc par šīs funkcijas minimumu. Funkcijas maksimālos un minimālos punktus sauc par funkcijas galējībām, bet pašas funkcijas maksimumus un minimumus sauc par tās galējībām. 11. teorēma (nepieciešams nosacījums ekstrēmam). If funkcija Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmums Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens. Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi ekstrēmumam Nosacījuma ekstrēmums Nepārtraukto funkciju lielākajām un mazākajām vērtībām ir ekstremitāte punktā, tad šajā punktā katrs parciālais atvasinājums un u vai nu pazūd, vai neeksistē. Lai funkcijai z = f(x) y) ir ekstremitāte punktā M0(x0, y0). Piešķirsim mainīgajam y vērtību yo. Tad funkcija z = /(x, y) būs viena mainīgā x funkcija\ Tā kā pie x = xo tai ir ekstrēmums (maksimums vai minimums, 20. att.), tad tās atvasinājums attiecībā uz x = “o, | (*o,l>)" ir vienāds ar nulli vai neeksistē. Tāpat mēs pārbaudām, ka) vai ir vienāds ar nulli, vai neeksistē. Punkti, kuros = 0 un u = 0 vai neeksistē, ir ko sauc par funkcijas kritiskajiem punktiem z = Dx, y).Punktus, kuros $£ = u = 0, sauc arī par funkcijas stacionārajiem punktiem.11.teorēma izsaka tikai nepieciešamos nosacījumus ekstrēmumam, kas nav pietiekami. 18 20. att. immt atvasinājumi, kas pazūd plkst. Bet šī funkcija ir diezgan vāja uz imvat “straumum. Patiešām, funkcija ir vienāda ar nulli punktā 0 (0, 0) un iegūst punktus M (x, y) tik tuvu punktam 0 (0, 0), cik vēlaties, kkk pozitīvas un negatīvas vērtības. Tam, tātad punktos punktos (0, y) patvaļīgi maziem punktiem, šāda veida punktu 0(0, 0) sauc par mini-max punktu (21. att.). Pietiekami nosacījumi divu mainīgo funkcijas ekstrēmumam ir izteikti ar šādu teorēmu. 12. teorēma (pietiekami nosacījumi izplūdušo mainīgo ekstrēmumam). Pieņemsim, ka punkts Mo(xo, y0) ir funkcijas f(x, y) stacionārs punkts, un kādā punkta tuvumā / ieskaitot pašu punktu Mo, funkcijai f(r, y) ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi uz augšu. uz otro pasūtījumu ieskaitot. Tad "1) punktā Mq(xq, V0) funkcijai f(x, y) ir maksimums, ja determinants ir šajā punktā 2) punktā Mo(x0, V0) funkcija f(x, y) ir minimums, ja punktā Mo(xo, yo) funkcijai f(x, y) nav galējības, ja D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) funkcijas f(x, y) galējais punkts var būt un var nebūt. Šajā gadījumā ir nepieciešami papildu pētījumi. Mēs aprobežojamies ar teorēmas 1) un 2) apgalvojumu pierādīšanu. Uzrakstīsim Teilora otrās kārtas formulu funkcijai /(i, y): kur. Pieņemot, ka ir skaidrs, ka pieauguma D/ zīmi nosaka trinoma zīme (1) labajā pusē, t.i., otrā diferenciāļa zīme d2f. Apzīmēsim īsuma labad. Tad vienādību (l) var uzrakstīt šādi: Pieņemsim, ka punktā MQ(so, y0) ir punkta M0(s0,yo) apkārtne. Ja nosacījums (punktā A/0) ir izpildīts un nepārtrauktības dēļ atvasinājums /,z(s,y) saglabās savu zīmi kādā punkta Af0 tuvumā. Apgabalā, kur A ∆ 0, mums ir 0 kādā punkta M0(x0) y0 apkārtnē), tad trinoma zīme AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 sakrīt ar zīmi A punktā C nevar būt dažādas zīmes). Tā kā summas AAs2 + 2BAxAy + CAy2 zīme punktā (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) nosaka starpības zīmi, mēs nonākam pie šāda secinājuma: ja funkcija f(s, y) stacionārais punkts (s0, yo) apmierina nosacījumu, tad par pietiekami mazu || nevienlīdzība pastāvēs. Tādējādi punktā (sq, y0) funkcijai /(s, y) ir maksimums. Bet, ja nosacījums ir izpildīts stacionārajā punktā (s0, yo), tad visiem pietiekami mazs |Ar| un |Darīt| nevienādība ir patiesa, kas nozīmē, ka funkcijai /(s, y) ir minimums punktā (tā, yo). Piemēri. 1. Ekstrēma funkcijas 4 izpēte Izmantojot ekstrēmam nepieciešamos nosacījumus, mēs meklējam funkcijas stacionāros punktus. Lai to izdarītu, mēs atrodam daļējos atvasinājumus u un pielīdzinām tos nullei. Mēs iegūstam vienādojumu sistēmu, no kurienes - stacionārs punkts. Tagad izmantosim 12. teorēmu. Mums ir Tādējādi punktā Ml ir ekstrēms. Jo tas ir minimums. Ja mēs pārveidosim funkciju g uz formu, tad ir viegli redzēt, ka labā puse (")" būs minimāla, kad ir šīs funkcijas absolūtais minimums. 2. Izpētīt funkciju ekstrēmumam Atrodam funkcijas stacionāros punktus, kuriem sastādām vienādojumu sistēmu No šejienes tā, lai punkts būtu stacionārs. Tā kā, pamatojoties uz 12. teorēmu, punktā M nav ekstrēma. * 3. Ekstrēma funkcijas izpēte. Atrodiet funkcijas stacionāros punktus. No vienādojumu sistēmas iegūstam to, ka punkts ir stacionārs. Turklāt 12. teorēma nesniedz atbildi uz jautājumu par ekstrēma esamību vai neesamību. Darīsim to šādi. Funkcijai par visiem punktiem, izņemot punktu, lai pēc definīcijas punktā A/o(0,0) funkcijai r būtu absolūtais minimums. Ar analoģisku žāvēšanu mēs nosakām, ka funkcijai punktā ir maksimums, bet funkcijai punktā nav galējības. Lai η neatkarīgo mainīgo funkcija ir diferencējama punktā Punktu Mo sauc par funkcijas ja stacionāro punktu 13. teorēma (pietiekami nosacījumi ekstrēmam). Ļaujiet funkcijai būt definētai un tai ir nepārtraukti otrās kārtas parciālie atvasinājumi kādā smalkās līnijas Mc(xi...) tuvumā, kas ir stacionāra smalkfunkcija, ja kvadrātiskā forma (funkcijas f otrā diferenciāle smalkajā daļā punkts ir pozitīvs-noteikts (negatīvs-noteikts), funkcijas f minimuma punkts (respektīvi, smalkais maksimums) ir labi Ja kvadrātveida forma (4) ir zīmju maiņa, tad smalkajā LG0 galējības nav 15.2. extremum Līdz šim mēs esam nodarbojušies ar funkcijas lokālo ekstrēmu atrašanu visā tās definīcijas jomā, kad funkcijas argumenti nav saistīti ar papildu nosacījumiem. Ļaujiet funkcijai z \u003d / (x, y) būt definētai apgabalā D. Pieņemsim, ka šajā apgabalā ir dota līkne L un ir jāatrod tikai funkcijas f (x> y) ekstremitāte. starp tām vērtībām, kas atbilst līknes L punktiem. Tās pašas ekstremitātes sauc par funkcijas z = f(x) y) nosacītajām ekstremitātēm līknē L. Definīcija Ir teikts, ka punktā, kas atrodas uz līknes L funkcijai f(x, y) ir nosacīts maksimums (minimums), ja nevienādība ir izpildīta, attiecīgi visos punktos M (s, y) līkne L, kas pieder pie kāda punkta M0(x0, Yo) un atšķiras no punkta M0 (Ja līkne L ir dota ar vienādojumu, tad uzdevums atrast funkcijas r - f(x, y) nosacīto ekstrēmu uz līknes! var formulēt šādi: atrast funkcijas x = /(z, y) ekstrēmu apgabalā D ar nosacījumu, ka Līdz ar to, atrodot funkcijas z = y nosacīto galējību, argumentus zn vairs nevar uzskatīt. kā neatkarīgi mainīgie: tos savstarpēji savieno sakarība y ) = 0, ko sauc par ierobežojuma vienādojumu. Lai noskaidrotu atšķirību starp m «* D y kā beznosacījuma un nosacījuma galējību, apskatīsim citu piemēru, funkcijas beznosacījuma maksimumu (att. 23) ir vienāds ar vienu un tiek sasniegts punktā (0,0). Tas precīzi atbilst pvvboloīda virsotnei M. Saskaitīsim ierobežojuma vienādojumu y = j. Tad nosacītais maksimums acīmredzot būs vienāds.Tas tiek sasniegts punktā (o, |), un tas atbilst pvvboloīda virsotnei Afj, kas ir pvvboloīda krustošanās līnija ar plakni y = j. Beznosacījuma minimuma s gadījumā mums ir mazākais pielietojums starp visiem virsmas ekspliktiem * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv nosacījums - tikai starp vllkvt punktiem pvrboloidv, kas atbilst punktam * no taisnes y = j, nevis no xOy plaknes. Viena no metodēm, kā atrast funkcijas nosacīto ekstrēmu klātbūtnē un savienojumā, ir šāda. Savienojuma vienādojums y)-O definē y kā argumenta x vienvērtības diferencējamu funkciju: Funkcijā aizstājot funkciju y vietā, iegūstam viena argumenta funkciju, kurā savienojuma nosacījums jau ir ņemts vērā. . Funkcijas (beznosacījuma) galējais punkts ir vēlamais nosacījuma ekstrēms. Piemērs. Atrast funkcijas ekstrēmu pie nosacījuma Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmums Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens. Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi ekstrēmumam Nosacīta ekstrēma Nepārtraukto funkciju lielākās un mazākās vērtības A \u003d 1 - kritiskais punkts;, kas nodrošina funkcijas r nosacīto minimumu (24. att.). Norādīsim citu veidu, kā atrisināt nosacījuma ekstrēma problēma, ko sauc par Lagranža reizinātāja metodi. Lai pastāv funkcijas nosacītā galējības punkts savienojuma klātbūtnē. Pieņemsim, ka savienojuma vienādojums definē unikālu nepārtraukti diferencējamu funkciju kādā punkta apkārtnē xi. Pieņemot, ka iegūstam, ka funkcijas /(r, ip(x)) atvasinājumam attiecībā pret x punktā xq jābūt vienādam ar nulli vai, kas ir ekvivalents tam, f (x, y) diferenciāli ) punktā Mo "O) No savienojuma vienādojuma mums ir (5) Tad dx patvaļības dēļ mēs iegūstam vienādības (6) un (7) izsaka nepieciešamos nosacījumus beznosacījuma ekstrēmumam funkcijas punktā, ko sauc par Lagranža funkciju. Tādējādi funkcijas / (x, y) nosacītā ekstremuma punkts, ja, noteikti ir Lagranža funkcijas stacionārs punkts, kur A ir kāds skaitlisks koeficients. No šejienes mēs iegūstam noteikumu nosacīto ekstrēmu atrašanai: lai atrastu punktus, kas savienojuma klātbūtnē var būt funkcijas absolūtā ekstrēma punkti, 1) sastādam Lagranža funkciju, 2) pielīdzinām šīs funkcijas atvasinājumus un W. līdz nullei un iegūtajiem vienādojumiem pievienojot savienojuma vienādojumu, mēs iegūstam trīs vienādojumu sistēmu, no kuras atrodam A vērtības un iespējamo ekstremālo punktu koordinātas x, y. Jautājums par nosacītā ekstrēma esamību un būtību tiek atrisināts, pamatojoties uz Lagranža funkcijas otrās diferenciāļa zīmes izpēti aplūkotajai vērtību sistēmai x0, Yo, A, kas iegūta no (8) ar nosacījumu. ka If, tad punktā (x0, Yo) funkcijai f(x, y ) ir nosacīts maksimums; ja d2F > 0 - tad nosacītais minimums. Jo īpaši, ja stacionārā punktā (xo, J/o) funkcijas F(x, y) determinants D ir pozitīvs, tad punktā (®o, V0) ir funkcijas nosacīts maksimums /( x, y) if, un funkcijas /(x, y) nosacījuma minimums, ja Piemērs. Atkal pievērsīsimies iepriekšējā piemēra nosacījumiem: atrodiet funkcijas ekstrēmu ar nosacījumu, ka x + y = 1. Problēmu atrisināsim, izmantojot Lagranža reizinātāja metodi. Lagranža funkcijai šajā gadījumā ir forma Lai atrastu stacionārus punktus, mēs sastādām sistēmu No pirmajiem diviem sistēmas vienādojumiem iegūstam, ka x = y. Tad no trešā sistēmas vienādojuma (savienojuma vienādojuma) mēs atklājam, ka x - y = j - iespējamās ekstremitātes punkta koordinātas. Šajā gadījumā (tiek norādīts, ka A \u003d -1. Tādējādi Lagranža funkcija. ir nosacīts funkcijas * \u003d x2 + y2 minimālais punkts ar nosacījumu, ka Lagranža funkcijai nav beznosacījuma galējības. P ( x, y) vēl nenozīmē, ka funkcijai /(x, y) nav nosacījuma ekstrēmuma savienojuma klātbūtnē Piemērs: Atrodiet funkcijas ekstrēmu pie nosacījuma y 4 Mēs sastādām Lagranža funkciju un izrakstām sistēma A un iespējamo ekstrēmu punktu koordināšu noteikšanai: No pirmajiem diviem vienādojumiem iegūstam x + y = 0 un nonākam pie sistēmas y = A = 0. Tādējādi atbilstošajai Lagranža funkcijai ir forma Punktā (0 , 0), funkcijai F(x, y; 0) ir nevis beznosacījuma ekstrēmums, bet gan funkcijas r = xy nosacītais galējais. Kad y = x, ir "Tiešām, šajā gadījumā r = x2. No plkst. šeit ir skaidrs, ka punktā (0,0) ir nosacītais minimums. "Lagranža reizinātāju metode tiek pārnesta uz jebkura argumentu skaita funkciju gadījumu / Ļaujiet meklēt funkcijas ekstrēmu klātbūtnē savienojuma vienādojumi Sostaalyaem Lagranža funkcija, kur A|, Az,..., A„, - nav noteikti nemainīgi faktori. Pielīdzinot nullei visus funkcijas F pirmās kārtas parciālos atvasinājumus un saskaitot iegūtajiem vienādojumiem savienojuma vienādojumus (9), iegūstam n + m vienādojumu sistēmu, no kuras nosaka Ab A3|..., Am un koordinātas x\) x2) . » xn iespējamie nosacījuma ekstrēma punkti. Jautājumu par to, vai ar Lagranža metodi atrastie punkti tiešām ir nosacīti ekstrēma punkti, bieži vien var tikt atrisināts, pamatojoties uz fiziskas vai ģeometriskas dabas apsvērumiem. 15.3. Nepārtraukto funkciju maksimālās un minimālās vērtības Ļaujiet mums atrast maksimālo (mazāko) funkcijas z = /(x, y) nepārtrauktu vērtību kādā paplašinātā ierobežotā domēnā D. Saskaņā ar 3. teorēmu šajā reģionā ir punkts (xo, V0), kurā funkcijai ir vislielākā (mazākā) vērtība. Ja punkts (xo, y0) atrodas domēna D iekšpusē, tad funkcijai / tajā ir maksimums (minimums), lai šajā gadījumā mūs interesējošais punkts būtu starp funkcijas /(x) kritiskajiem punktiem. , y). Taču funkcija /(x, y) savu maksimālo (mazāko) vērtību var sasniegt arī pie apgabala robežas. Tāpēc, lai ierobežotā slēgtā apgabalā 2 atrastu lielāko (mazāko) funkcijas z = /(x, y) iegūto vērtību, ir jāatrod visi šīs zonas iekšpusē sasniegtie funkcijas maksimumi (minimumi). , kā arī lielākā (mazākā) funkcijas vērtība uz šīs zonas robežas. Lielākais (mazākais) no visiem šiem skaitļiem būs vēlamā maksimālā (mazākā) funkcijas z = /(x, y) vērtība reģionā 27. Parādīsim, kā tas tiek darīts diferencējamas funkcijas gadījumā. Prmmr. Atrodiet apgabala 4 funkcijas lielāko un mazāko vērtību. Mēs atrodam funkcijas kritiskos punktus apgabalā D. Lai to izdarītu, mēs izveidojam vienādojumu sistēmu. No šejienes mēs iegūstam x \u003d y \u003e 0 , lai punkts 0 (0,0) būtu funkcijas x kritiskais punkts. Kopš Atradīsim funkcijas lielākās un mazākās vērtības uz apgabala D robežas Г. No robežas puses mums ir tā, ka y \u003d 0 ir kritiskais punkts, un tā kā \u003d tad pie šī punktā, funkcijas z \u003d 1 + y2 minimums ir vienāds ar vienu. Nozares G" galos punktos (, mums ir. Izmantojot simetrijas apsvērumus, iegūstam tādus pašus rezultātus citām robežas daļām. Visbeidzot iegūstam: funkcijas z \u003d x2 + y2 mazāko vērtību apgabals "B" ir vienāds ar nulli un tiek sasniegts iekšējā punkta 0( 0, 0) zonā, un šīs funkcijas maksimālā vērtība, kas vienāda ar diviem, tiek sasniegta četros robežas punktos (25. att.) 25. att. Uzdevumu funkcijas: Atrodiet funkciju daļējos atvasinājumus un to kopējos diferenciāļus: Atrodiet kompleksu funkciju atvasinājumus: 3 Atrodiet J. Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi, lai an extremum Nosacīts ekstrēmums Nepārtraukto funkciju lielākās un mazākās vērtības 34. Izmantojot kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu divus mainīgos, atrodiet un funkcijas: 35. Izmantojot kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu divos mainīgajos atrodiet |J un funkcijas: Atrodiet jj implicītās funkcijas: 40. Atrodiet pieskares līknes slīpumu krustpunktā ar taisni x = 3. 41. Atrodiet punktus, kur x līknes tangensa ir paralēla x asij. . Šādos uzdevumos atrodiet un Z: Uzrakstiet virsmas pieskares plaknes un normālās vienādojumus: 49. Uzrakstiet virsmas pieskares plakņu vienādojumus x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, paralēli plaknei x + 4y + 6z \u003d 0. Atrodiet pirmos trīs līdz četrus izvērsuma vārdus, izmantojot Teilora formulu : 50. y punkta (0, 0) tuvumā. Izmantojot funkcijas ekstrēma definīciju, izpētiet šādas ekstrēma funkcijas:). Izmantojot pietiekamus nosacījumus divu mainīgo funkcijas ekstrēmam, izpētiet funkcijas ekstrēmu: 84. Atrodiet funkcijas z \u003d x2 - y2 lielāko un mazāko vērtību slēgtā aplī 85. Atrodiet lielāko un mazāko. funkcijas * \u003d x2y (4-x-y) vērtības trijstūrī, ko ierobežo līnijas x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Noteikt izmērus taisnstūra atvērtam baseinam ar mazāko virsmu, ja tā tilpums ir vienāds ar V. 87. Atrodi izmērus taisnstūra paralēlskaldnim ar doto kopējo virsmu 5 maksimālo tilpumu. Atbildes 1. un | Kvadrāts, ko veido līnijas segmenti x, ieskaitot tā malas. 3. Koncentrisko gredzenu saime 2= 0,1,2,... .4. Visa plakne, izņemot taisnes punktus y. Plaknes daļa, kas atrodas virs parabolas y \u003d -x?. 8. Apļa punkti x. Visa plakne, izņemot taisnes x Radikālā izteiksme nav negatīva divos gadījumos j * ^ vai j x ^ ^, kas attiecīgi ir ekvivalenta bezgalīgai nevienādību virknei Definīcijas apgabals ir iekrāsoti kvadrāti (26. att.) ; l kas ir ekvivalents bezgalīgai sērijai Funkcija ir definēta punktos. a) Taisnes, kas ir paralēlas taisnei x b) Koncentriski apļi, kuru centrs ir sākuma punktā. 10. a) parabolas y) parabolas y a) parabolas b) hiperbolas | .Lidmašīnas xc. 13.Prim - viena dobuma apgriezienu hiperboloīdi ap Oza asi; un ir divu lokšņu apgriezienu hiperboloīdi ap Oza asi, abas virsmu grupas ir atdalītas ar konusu; Nav ierobežojumu, b) 0. 18. Pieņemsim, ka y = kxt, tad z lim z = -2, lai dotajai funkcijai punktā (0,0) nebūtu robežu. 19. a) punkts (0,0); b) punkts (0,0). 20. a) Pārrāvuma līnija - aplis x2 + y2 = 1; b) pārtraukuma līnija ir taisna līnija y \u003d x. 21. a) Pārrāvuma līnijas - koordinātu asis Ox un Oy; b) 0 (tukšs komplekts). 22. Visi punkti (m, n), kur un n ir veseli skaitļi