Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu noteiktā virzienā. Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Leņķis starp divām līnijām. Divu taisnes paralēlisma un perpendikulitātes nosacījums. Divu taisnju krustpunkta noteikšana

1. Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu A(x 1 , y 1) noteiktā virzienā, ko nosaka slīpuma koeficients k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Šis vienādojums definē līniju zīmuli, kas iet caur punktu A(x 1 , y 1), ko sauc par stara centru.

2. Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem: A(x 1 , y 1) un B(x 2 , y 2) ir rakstīts šādi:

Taisnes līnijas slīpumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem, nosaka pēc formulas

3. Leņķis starp taisnām līnijām A un B ir leņķis, par kādu jāpagriež pirmā taisne A ap šo līniju krustpunktu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, līdz tas sakrīt ar otro līniju B. Ja ar slīpuma vienādojumiem dotas divas taisnes

y = k 1 x + B 1 ,

Šis raksts atklāj taisnstūra vienādojuma atvasināšanu, kas iet caur diviem dotiem punktiem taisnstūra koordinātu sistēmā, kas atrodas plaknē. Mēs iegūstam vienādojumu taisnei, kas iet caur diviem dotiem punktiem taisnstūra koordinātu sistēmā. Vizuāli parādīsim un atrisināsim vairākus piemērus, kas saistīti ar aptverto materiālu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirms iegūt taisnes vienādojumu, kas iet caur diviem dotiem punktiem, ir jāpievērš uzmanība dažiem faktiem. Ir aksioma, kas saka, ka caur diviem nesakrītošiem punktiem plaknē ir iespējams novilkt taisnu līniju un tikai vienu. Citiem vārdiem sakot, divus dotos plaknes punktus nosaka taisna līnija, kas iet caur šiem punktiem.

Ja plakne ir dota ar taisnstūra koordinātu sistēmu Oxy, tad jebkura tajā attēlotā taisne atbildīs plaknes taisnes vienādojumam. Pastāv arī saistība ar taisnes virziena vektoru, ar šiem datiem pietiek, lai izveidotu taisnes vienādojumu, kas iet caur diviem dotiem punktiem.

Apsveriet piemēru līdzīgas problēmas risināšanai. Nepieciešams sastādīt vienādojumu taisnei a, kas iet caur diviem nesakrītošiem punktiem M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2), kas atrodas Dekarta koordinātu sistēmā.

Kanoniskajā plaknes taisnes vienādojumā ar formu x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y taisnstūra koordinātu sistēma O x y ir norādīta ar taisni, kas ar to krustojas punktā ar koordinātām M 1 (x 1, y 1) ar virzošo vektoru a → = (a x , a y) .

Ir nepieciešams noformēt kanoniskais vienādojums taisne a, kas iet cauri diviem punktiem ar koordinātām M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2) .

Taisnei a ir virzošais vektors M 1 M 2 → ar koordinātām (x 2 - x 1, y 2 - y 1), jo tā krusto punktus M 1 un M 2. Esam ieguvuši nepieciešamos datus, lai pārveidotu kanonisko vienādojumu ar virziena vektora M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinātām un uz tām esošo punktu M 1 koordinātām. (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2) . Iegūstam vienādojumu formā x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 vai x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

Pēc aprēķiniem ierakstām taisnes parametriskos vienādojumus plaknē, kas iet caur diviem punktiem ar koordinātām M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2) . Mēs iegūstam vienādojumu formā x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ vai x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Apskatīsim tuvāk dažus piemērus.

1. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur 2 dotiem punktiem ar koordinātām M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Risinājums

Kanoniskais vienādojums taisnei, kas krustojas divos punktos ar koordinātām x 1 , y 1 un x 2 , y 2 , ir formā x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Saskaņā ar problēmas stāvokli mums ir, ka x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Nepieciešams aizstāt skaitliskās vērtības vienādojumā x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . No šejienes mēs iegūstam, ka kanoniskais vienādojums būs x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Atbilde: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ja ir nepieciešams atrisināt problēmu ar cita veida vienādojumu, tad iesākumam varat pāriet uz kanonisko, jo no tā ir vieglāk nonākt pie jebkura cita.

2. piemērs

Rakstīt vispārējais vienādojums taisne, kas iet caur punktiem ar koordinātām M 1 (1, 1) un M 2 (4, 2) O x y koordinātu sistēmā.

Risinājums

Vispirms jums jāpieraksta noteiktas līnijas kanoniskais vienādojums, kas iet caur dotajiem diviem punktiem. Iegūstam vienādojumu formā x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Mēs izveidojam kanonisko vienādojumu vēlamajā formā, tad iegūstam:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Atbilde: x - 3 y + 2 = 0 .

Šādu uzdevumu piemēri tika aplūkoti skolas mācību grāmatās algebras stundās. Skolas uzdevumi atšķīrās ar to, ka bija zināms taisnas līnijas vienādojums ar slīpuma koeficientu, kam bija forma y \u003d k x + b. Ja jums jāatrod slīpuma k vērtība un skaitlis b, pie kura vienādojums y \u003d k x + b definē līniju O x y sistēmā, kas iet caur punktiem M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2) , kur x 1 ≠ x 2 . Kad x 1 = x 2 , tad slīpums iegūst bezgalības vērtību, un taisne M 1 M 2 tiek definēta ar vispārīgu nepilnīgu vienādojumu formā x - x 1 = 0 .

Jo punktiņi M 1 un M 2 atrodas uz taisnes, tad to koordinātas apmierina vienādojumu y 1 = k x 1 + b un y 2 = k x 2 + b. Nepieciešams atrisināt vienādojumu sistēmu y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b attiecībā uz k un b.

Lai to izdarītu, mēs atrodam k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 vai k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Ar šādām k un b vērtībām taisnes vienādojums, kas iet caur dotajiem diviem punktiem, iegūst šādu formu: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 vai y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Tik liela skaita formulu iegaumēšana vienlaikus nedarbosies. Lai to izdarītu, problēmu risināšanā ir jāpalielina atkārtojumu skaits.

3. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei ar slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām M 2 (2, 1) un y = k x + b.

Risinājums

Lai atrisinātu problēmu, mēs izmantojam formulu ar slīpumu, kuras forma ir y \u003d k x + b. Koeficientiem k un b ir jāpieņem tāda vērtība, ka dots vienādojums atbilda taisnei, kas iet cauri diviem punktiem ar koordinātām M 1 (- 7 , - 5) un M 2 (2 , 1) .

punktus M 1 un M 2 kas atrodas uz taisnas līnijas, tad to koordinātēm vienādojums y = k x + b jāapgriež pareizajā vienādībā. No šejienes mēs iegūstam, ka - 5 = k · (- 7) + b un 1 = k · 2 + b. Savienosim vienādojumu sistēmā - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b un atrisināsim.

Pēc aizstāšanas mēs to iegūstam

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Tagad vērtības k = 2 3 un b = - 1 3 tiek aizstātas vienādojumā y = k x + b . Iegūstam, ka vajadzīgais vienādojums, kas iet caur dotajiem punktiem, būs vienādojums, kura forma ir y = 2 3 x - 1 3 .

Šis risināšanas veids iepriekš nosaka tēriņus liels skaits laiks. Ir veids, kā uzdevums tiek atrisināts burtiski divos posmos.

Mēs rakstām taisnas līnijas kanonisko vienādojumu, kas iet caur M 2 (2, 1) un M 1 (- 7, - 5) formā x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Tagad pāriesim uz slīpuma vienādojumu. Mēs iegūstam, ka: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Atbilde: y = 2 3 x - 1 3 .

Ja trīsdimensiju telpā ir taisnstūra koordinātu sistēma O x y z ar diviem dotiem nesakrītošiem punktiem ar koordinātām M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), tad taisne M, kas iet caur tiem 1 M 2, ir nepieciešams iegūt šīs līnijas vienādojumu.

Mums ir kanoniskie vienādojumi formā x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z un parametriskie vienādojumi formā x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ spēj uzstādīt taisni O x y z koordinātu sistēmā, kas iet caur punktiem ar koordinātām (x 1, y 1, z 1) ar virzošo vektoru a → = (a x, a y, a z) .

Taisni M 1 M 2 ir virziena vektors formā M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , kur taisne iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1 , z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), līdz ar to kanoniskais vienādojums var būt šādā formā: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 vai x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, savukārt parametriskais x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ vai x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Apsveriet attēlu, kas parāda 2 dotus telpas punktus un taisnes vienādojumu.

4. piemērs

Uzrakstiet trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā O x y z definētas taisnes vienādojumu, kas iet caur dotajiem diviem punktiem ar koordinātām M 1 (2, - 3, 0) un M 2 (1, - 3, - 5). ) .

Risinājums

Mums jāatrod kanoniskais vienādojums. Jo mēs runājam par trīsdimensiju telpu, kas nozīmē, ka tad, kad taisne iet caur dotajiem punktiem, vēlamais kanoniskais vienādojums būs x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1.

Pēc nosacījuma mums ir, ka x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. No tā izriet, ka nepieciešamos vienādojumus var uzrakstīt šādi:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Atbilde: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Taisnes līnijas īpašības Eiklīda ģeometrijā.

Ir bezgala daudz līniju, kuras var novilkt caur jebkuru punktu.

Caur jebkuriem diviem punktiem, kas nesakrīt, ir tikai viena taisne.

Divas nesakrītošas ​​līnijas plaknē vai nu krustojas vienā punktā, vai arī ir

paralēli (seko no iepriekšējās).

3D telpā ir trīs iespējas. relatīvā pozīcija divas taisnas līnijas:

• līnijas krustojas;

• taisnas līnijas ir paralēlas;

• taisnas līnijas krustojas.

Taisni līnija- pirmās kārtas algebriskā līkne: Dekarta koordinātu sistēmā taisne

plaknē ir dots ar pirmās pakāpes vienādojumu (lineārais vienādojums).

Vispārīgais taisnes vienādojums.

Definīcija. Jebkuru plaknes līniju var norādīt ar pirmās kārtas vienādojumu

Ah + Wu + C = 0,

un nemainīgs A, B tajā pašā laikā nav vienāds ar nulli. Šo pirmās kārtas vienādojumu sauc ģenerālis

taisnās līnijas vienādojums. Atkarībā no konstantu vērtībām A, B un NO Ir iespējami šādi īpaši gadījumi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- līnija iet caur izcelsmi

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pēc + C = 0)- taisna līnija, kas ir paralēla asij Ak

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- taisna līnija, kas ir paralēla asij OU

. B = C = 0, A ≠ 0- līnija sakrīt ar asi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- līnija sakrīt ar asi Ak

Taisnas līnijas vienādojumu var attēlot dažādas formas atkarībā no jebkura dotā

sākotnējie nosacījumi.

Taisnes vienādojums ar punktu un normālu vektoru.

Definīcija. Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā vektors ar komponentiem (A, B)

perpendikulāri taisnei, kas dota vienādojumā

Ah + Wu + C = 0.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A(1, 2) perpendikulāri vektoram (3, -1).

Risinājums. Sastādām pie A \u003d 3 un B \u003d -1 taisnes vienādojumu: 3x - y + C \u003d 0. Lai atrastu koeficientu C

iegūtajā izteiksmē aizvietojam dotā punkta A koordinātes. Iegūstam: 3 - 2 + C = 0, tāpēc

C = -1. Kopā: vēlamais vienādojums: 3x - y - 1 \u003d 0.

Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem.

Telpā ir doti divi punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) un M2 (x 2, y 2, z 2), tad taisnās līnijas vienādojums,

iet caur šiem punktiem:

Ja kāds no saucējiem nulle, atbilstošais skaitītājs ir jāiestata vienāds ar nulli. Uz

plaknē, iepriekš uzrakstītais taisnes vienādojums ir vienkāršots:

ja x 1 ≠ x 2 un x = x 1, ja x 1 = x 2 .

Frakcija = k sauca slīpuma koeficients taisni.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem A(1, 2) un B(3, 4).

Risinājums. Izmantojot iepriekš minēto formulu, mēs iegūstam:

Taisnes vienādojums ar punktu un slīpumu.

Ja taisnes vispārīgais vienādojums Ah + Wu + C = 0 izveido formu:

un nozīmēt , tad tiek izsaukts iegūtais vienādojums

taisnas līnijas ar slīpumu k vienādojums.

Punkta taisnes un virziena vektora vienādojums.

Pēc analoģijas ar punktu, kurā tiek ņemts vērā taisnes vienādojums caur normālu vektoru, varat ievadīt uzdevumu

taisne caur punktu un taisnes virziena vektors.

Definīcija. Katrs vektors, kas nav nulle (α 1 , α 2), kuras sastāvdaļas atbilst nosacījumam

Aα 1 + Bα 2 = 0 sauca taisnes virziena vektors.

Ah + Wu + C = 0.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei ar virziena vektoru (1, -1) un iet caur punktu A(1, 2).

Risinājums. Mēs meklēsim vajadzīgās taisnes vienādojumu formā: Ax + By + C = 0. Saskaņā ar definīciju,

koeficientiem jāatbilst šādiem nosacījumiem:

1 * A + (-1) * B = 0, t.i. A = B.

Tad taisnas līnijas vienādojumam ir šāda forma: Ax + Ay + C = 0, vai x + y + C / A = 0.

plkst x=1, y=2 mēs saņemam C/ A = -3, t.i. vēlamais vienādojums:

x + y - 3 = 0

Taisnas līnijas vienādojums segmentos.

Ja taisnes vispārējā vienādojumā Ah + Wu + C = 0 C≠0, tad, dalot ar -C, iegūstam:

vai, kur

ģeometriskā sajūta koeficienti, jo koeficients a ir krustošanās punkta koordināte

taisni ar asi Ak, a b- taisnes krustošanās punkta koordinātas ar asi OU.

Piemērs. Ir dots taisnes vispārīgais vienādojums x - y + 1 = 0. Atrodiet šīs taisnes vienādojumu segmentos.

C = 1, a \u003d -1, b = 1.

Normāls taisnes vienādojums.

Ja vienādojuma abas puses Ah + Wu + C = 0 dalīt ar skaitli , ko sauc

normalizējošais faktors, tad mēs saņemam

xcosφ + ysinφ - p = 0 -taisnas līnijas normāls vienādojums.

Normalizējošā koeficienta zīme ± jāizvēlas tā, lai μ * C< 0.

R- perpendikula garums, kas samazināts no sākuma līdz līnijai,

a φ - leņķis, ko veido šis perpendikuls ar ass pozitīvo virzienu Ak.

Piemērs. Dots taisnes vispārīgais vienādojums 12x - 5g - 65 = 0. Nepieciešams rakstīt dažādi veidi vienādojumi

šī taisnā līnija.

Šīs taisnes vienādojums segmentos:

Šīs līnijas vienādojums ar slīpumu: (dalīt ar 5)

Taisnas līnijas vienādojums:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Jāņem vērā, ka ne katru taisni var attēlot ar vienādojumu segmentos, piemēram, taisnes,

paralēli asīm vai iet caur izcelsmi.

Leņķis starp līnijām plaknē.

Definīcija. Ja ir dotas divas rindas y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, tad ass stūris starp šīm rindām

tiks definēts kā

Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2. Divas taisnas līnijas ir perpendikulāras,

ja k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorēma.

Tieša Ah + Wu + C = 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ir paralēli, ja koeficienti ir proporcionāli

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ja arī С 1 \u003d λС, tad līnijas sakrīt. Divu taisnes krustošanās punkta koordinātas

tiek atrasti kā risinājums šo līniju vienādojumu sistēmai.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, ir perpendikulārs noteiktai taisnei.

Definīcija. Līnija, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un perpendikulāri līnijai y = kx + b

attēlots ar vienādojumu:

Attālums no punkta līdz līnijai.

Teorēma. Ja tiek dots punkts M(x 0, y 0), tad attālums līdz līnijai Ah + Wu + C = 0 definēts kā:

Pierādījums. Ļaujiet punktu M 1 (x 1, y 1)- perpendikula pamatne nokrita no punkta M par doto

tiešā veidā. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

(1)

Koordinātas x 1 un 1 var atrast kā vienādojumu sistēmas risinājumu:

Otrais sistēmas vienādojums ir taisnas līnijas vienādojums, kas iet cauri dotais punkts M 0 perpendikulāri

dotā līnija. Ja mēs pārveidosim pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ar 0 + C = 0,

tad, atrisinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.

Lai taisne iet caur punktiem M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2). Taisnas līnijas vienādojumam, kas iet caur punktu M 1, ir forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kur k - joprojām nav zināms koeficients.

Tā kā taisne iet caur punktu M 2 (x 2 y 2), tad šī punkta koordinātām jāatbilst vienādojumam (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Šeit mēs atrodam Atrastās vērtības aizstāšana k vienādojumā (10.6) iegūstam taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem M 1 un M 2:

Tiek pieņemts, ka šajā vienādojumā x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ja x 1 \u003d x 2, tad taisne, kas iet caur punktiem M 1 (x 1, y I) un M 2 (x 2, y 2), ir paralēla y asij. Tā vienādojums ir x = x 1 .

Ja y 2 \u003d y I, tad taisnes vienādojumu var uzrakstīt kā y \u003d y 1, taisne M 1 M 2 ir paralēla x asij.

Taisnas līnijas vienādojums segmentos

Ļaujiet taisnei krustot Ox asi punktā M 1 (a; 0), bet Oy asi - punktā M 2 (0; b). Vienādojumam būs šāda forma:
tie.
. Šo vienādojumu sauc taisnes vienādojums segmentos, jo cipari a un b norāda, kurus posmus taisne nogriež uz koordinātu asīm.

Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs dotajam vektoram

Atradīsim vienādojumu taisnei, kas iet caur doto punktu Mo (x O; y o), kas ir perpendikulāra dotajam nulles vektoram n = (A; B).

Paņemiet patvaļīgu punktu M(x; y) uz taisnes un apsveriet vektoru M 0 M (x - x 0; y - y o) (skat. 1. att.). Tā kā vektori n un M o M ir perpendikulāri, to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli: tas ir,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Tiek izsaukts vienādojums (10.8). taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs dotajam vektoram .

Vektoru n = (A; B), kas ir perpendikulārs taisnei, sauc par normālu šīs līnijas normālais vektors .

Vienādojumu (10.8) var pārrakstīt kā Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kur A un B ir normālā vektora koordinātas, C \u003d -Ax o - Vu o - brīvais loceklis. Vienādojums (10.9) ir taisnas līnijas vispārējais vienādojums(skat. 2. att.).

1. att. 2. att

Taisnes kanoniskie vienādojumi

,

Kur
ir tā punkta koordinātas, caur kuru līnija iet, un
- virziena vektors.

Otrās kārtas apļa līknes

Aplis ir visu plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par centru.

Rādiusa apļa kanoniskais vienādojums R centrēts uz punktu
:

Jo īpaši, ja likmes centrs sakrīt ar izcelsmi, vienādojums izskatīsies šādi:

Elipse

Elipse ir plaknes punktu kopa, attālumu summa no katra no tiem līdz diviem dotajiem punktiem un , ko sauc par perēkļiem, ir nemainīga vērtība
, lielāks par attālumu starp perēkļiem
.

Elipses kanoniskajam vienādojumam, kuras fokuss atrodas uz Vērša ass un kuras izcelsme atrodas vidū starp perēkļiem, ir šāda forma
G de a galvenās pusass garums; b ir mazās pusass garums (2. att.).

Vienādojums parabolas ir kvadrātiskā funkcija. Šī vienādojuma sastādīšanai ir vairākas iespējas. Tas viss ir atkarīgs no tā, kādi parametri tiek parādīti problēmas stāvoklī.

Instrukcija

Parabola ir līkne, kas pēc formas atgādina loku un ir grafiks jaudas funkcija. Neatkarīgi no tā, vai parabolai ir īpašības, šī ir vienmērīga. Šāda funkcija tiek saukta par pat, y visām argumenta vērtībām no definīcijas, kad mainās argumenta zīme, vērtība nemainās: f (-x) \u003d f (x) Sāciet ar vienkāršāko funkciju : y \u003d x ^ 2. No tās formas varam secināt, ka tā ir gan pozitīva, gan negatīvas vērtības arguments x. Punkts, kurā x = 0 un tajā pašā laikā y = 0, tiek uzskatīts par punktu.

Tālāk ir norādītas visas galvenās šīs funkcijas un tās izveides iespējas. Kā pirmais piemērs zemāk ir dota funkcija šādā formā: f(x)=x^2+a, kur a ir vesels skaitlis Lai grafētu šo funkciju, ir jāpārvieto funkcijas f(x) grafiks. ar vienībām. Piemērs ir funkcija y=x^2+3, kur funkcija tiek nobīdīta pa y asi par divām vienībām. Ja ir dota funkcija ar pretēju zīmi, piemēram, y=x^2-3, tad tās grafiks tiek nobīdīts uz leju pa y asi.

Cita veida funkcija, kurai var piešķirt parabolu, ir f(x)=(x + a)^2. Šādos gadījumos grafiks, gluži pretēji, tiek nobīdīts pa x asi par vienībām. Piemēram, apsveriet funkcijas: y=(x +4)^2 un y=(x-4)^2. Pirmajā gadījumā, ja ir funkcija ar plus zīmi, grafiks tiek pārvietots pa x asi pa kreisi, bet otrajā gadījumā - pa labi. Visi šie gadījumi ir parādīti attēlā.