18 uzdevumu eksāmens informātikas risinājuma tehnika

Ir zināms, ka izteiksme

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ ((x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))

true (tas ir, ņem vērtību 1) jebkurai mainīgā x vērtībai. Nosakiet lielāko iespējamo elementu skaitu kopā A.

Risinājums.

Iepazīstinām ar apzīmējumu:

(x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A; ∧ ≡ ; ∨ ≡ +.

Pēc tam, izmantojot implikāciju transformāciju, mēs iegūstam:

(¬A + P) (¬Q + ¬A) ⇔ ¬A ¬Q + ¬Q P + ¬A + ¬A P ⇔

⇔ ¬A (¬Q + P + 1) + ¬Q P ⇔ ¬A + ¬Q P.

Nepieciešams, lai ¬A + ¬Q · P = 1. Izteiksme ¬Q · P ir patiesa, ja x ∈ (2, 4, 8, 10, 14, 16, 20). Tad ¬A ir jābūt patiesam, ja x ∈ (1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23,...).

Tāpēc maksimālais elementu skaits kopā A būs, ja A ietver visus kopas ¬Q · P elementus, tādi ir septiņi.

Atbilde: 7.

Atbilde: 7

Kopas A elementi ir naturāli skaitļi. Ir zināms, ka izteiksme

(x (2, 4, 6, 8, 10, 12)) → (((x (3, 6, 9, 12, 15)) ∧ ¬(x A)) → ¬(x (2, 4, 6) , 8, 10, 12)))

Risinājums.

Iepazīstinām ar apzīmējumu:

(x ∈ (2, 4, 6, 8, 10, 12)) ≡ P; (x ∈ (3, 6, 9, 12, 15)) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.

Pārveidojot, mēs iegūstam:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = P → (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ ¬Q ∨ A.

Loģiskais VAI ir patiess, ja vismaz viens no apgalvojumiem ir patiess. Izteiksme ¬P ∨ ¬Q ir patiesa visām x vērtībām, izņemot vērtības 6 un 12. Tāpēc intervālā A ir jāsatur punkti 6 un 12. Tas ir, minimālā punktu kopa intervālā A. ≡ (6, 12). Kopas A elementu summa ir 18.

Atbilde: 18.

Atbilde: 18

Kopu A, P, Q elementi ir naturāli skaitļi, un P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Ir zināms, ka izteiksme

true (t.i., ņem vērtību 1) jebkurai mainīgā x vērtībai. Noteikt mazāko iespējamo kopas A elementu summas vērtību.

Risinājums.

Vienkāršosim:

¬(x P) ∨ ¬(x Q) dod 0 tikai tad, ja skaitlis atrodas abās kopās. Tas nozīmē, ka, lai visa izteiksme būtu patiesa, mums visi skaitļi P un Q ir jāievieto A. Šādi skaitļi ir 6, 12, 18. To summa ir 36.

Atbilde: 36.

Atbilde: 36

Avots: Mācību darbs par INFORMATIKA 11.klase 2017.gada 18.janvāris Opcija IN10304

Kopu A, P, Q elementi ir naturāli skaitļi, un P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Ir zināms, ka izteiksme ((x A) → (x P)) ∨ (¬(x Q) → ¬(x A))

true (t.i., ņem vērtību 1) jebkurai mainīgā x vērtībai.

Nosakiet lielāko iespējamo elementu skaitu kopā A.

Risinājums.

Pārveidosim šo izteiksmi:

((x A) → (x P)) ∨ ((x Q) → (x A))

((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x Q) ∨ (x A))

(x A) ∨ (x P) ∨ (x Q)

Tādējādi elementam ir jābūt iekļautam P vai Q, vai arī tas nav jāiekļauj A. Tādējādi tikai elementi no P un Q var būt A. Un kopumā šajās divās kopās ir 17 elementi, kas neatkārtojas.

Atbilde: 17

Kopu A, P, Q elementi ir naturāli skaitļi, un P = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30). Ir zināms, ka izteiksme

((x P) → (x A)) ∨ (¬(x A) → ¬(x Q))

true (t.i., ņem vērtību 1) jebkurai mainīgā x vērtībai. Noteikt mazāko iespējamo kopas A elementu summas vērtību.

Risinājums.

Izpētīsim divas sekas. Mēs iegūstam:

(¬(x P) ∨ (x A)) ∨ ((x A) ∨ ¬(x Q))

Vienkāršosim:

(¬(x P) ∨ (x A) ∨ ¬(x Q))

¬(x P) ∨ ¬(x Q) dod 0 tikai tad, ja skaitlis atrodas abās kopās. Tas nozīmē, ka, lai visa izteiksme būtu patiesa, visi skaitļi P un Q ir jāievieto A. Šādi skaitļi ir 3, 9, 15 un 21. To summa ir 48.

Atbilde: 48.

Atbilde: 48

Avots: Mācību darbs par INFORMATIKA 11.klase 2017.gada 18.janvāris Opcija IN10303

Un izteiksme

(y + 2x 30) ∨ (y > 20)

x un y?

Risinājums.

Ņemiet vērā, ka šīs izteiksmes identiskajai patiesībai izteiksme (y + 2x Atbilde: 81.

Atbilde: 81

Avots: USE - 2018. Agrīnais vilnis. Variants 1., LIETOŠANA - 2018. Agrīnais vilnis. 2. iespēja.

Uz skaitļa taisnes ir dots segments A. Ir zināms, ka formula

((x ∈ A) → (x2 ≤ 100)) ∧ ((x2 ≤ 64) → (x ∈ A))

ir identiski patiess jebkuram reālam x. Kāds ir segmenta A īsākais garums?

Risinājums.

Paplašinot implikāciju saskaņā ar noteikumu A → B = ¬A + B, aizstājot loģisko summu ar kopu un loģisko reizinājumu ar relāciju sistēmu, mēs nosakām parametra vērtības. BET, saskaņā ar kuru iekasēšanas sistēma

būs risinājumi jebkuriem reāliem skaitļiem.

Lai sistēmas risinājumi būtu visi reālie skaitļi, nepieciešams un pietiekami, lai katras kolekcijas atrisinājumi būtu reāli skaitļi.

Nevienādības atrisinājumi ir visi skaitļi no segmenta [−10; desmit]. Lai kolekcija atbilstu visiem reālajiem skaitļiem, skaitļi x, kas neatrodas uz norādītā segmenta, ir jāpieder segmentam A. Līdz ar to segments A nedrīkst pārsniegt segmentu [−10; desmit].

Tāpat nevienādības atrisinājumi ir skaitļi no stariem un Lai kopa atbilstu visiem reālajiem skaitļiem, skaitļi x, neguļot uz norādītajiem stariem, jāguļ uz segmenta A. Līdz ar to segmentā A ir jāietver segments [−8; astoņi].

Tādējādi mazākais segmenta A garums var būt vienāds ar 8 + 8 = 16.

Atbilde: 16.

Atbilde: 16

A izteiksme

(y + 2x ≠ 48) ∨ (A x) ∨ ( x y)

identiski patiess, tas ir, tas izmanto vērtību 1 visiem nenegatīviem veseliem skaitļiem x un y?

Risinājums.

A x un y, apsveriet, kādos gadījumos nosacījumi ( y + 2x≠ 48) un ( x y) ir nepatiesi.

y = 48 − 2x) un (x ≥ y). to x no 16 līdz 24 y diapazonā no 0 līdz 16. Ņemiet vērā, ka, lai izteiksme būtu piemērota jebkurai x un y, tas ir jāņem x= 16 un y= 16. Tad A A būs vienāds ar 15.

Atbilde: 15.

Atbilde: 15

Avots: USE informātikā 28.05.2018. Galvenais vilnis, A. Imajeva variants - "Kotolis".

Kāds ir lielākais nenegatīvais veselais skaitlis A izteiksme

(y + 2x ≠ 48) ∨ (A x) ∨ ( A y)

identiski patiess, tas ir, tas izmanto vērtību 1 visiem nenegatīviem veseliem skaitļiem x un y?

Risinājums.

Lai atrastu lielāko nenegatīvo veselo skaitli A, pie kura izteiksme būs x un y, apsveriet, kādos gadījumos nosacījums ( y + 2x≠ 48) ir nepatiess.

Tādējādi mēs atrodam visus risinājumus, kad ( y = 48 − 2x). to x no 0 līdz 24 y diapazonā no 48 līdz 0. Ņemiet vērā, ka, lai izteiksme būtu piemērota jebkurai x un y, tas ir jāņem x= 16 un y= 16. Tad A A būs vienāds ar 15.

Atbilde: 15.

Atbilde: 15

Avots: USE-2019 demonstrācijas versija informātikā.

Kāds ir mazākais nenegatīvais veselais skaitlis A izteiksme

(2x + 3y > 30) ∨ (x + y ≤ A)

identiski attiecas uz jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem x un y?

Risinājums.

A, saskaņā ar kuru izteiksme būs identiski patiesa jebkuram veselam skaitlim, kas nav negatīvs x un yy + 2x> 30) ir nepatiess.

y + 2x≤ 30). to x no 0 līdz 15 un y diapazonā no 10 līdz 0. Ņemiet vērā, ka, lai izteiksme būtu piemērota jebkurai x un y, tas ir jāņem x= 15 un y= 0. Tad 15 + 0 ≤ A. Tāpēc mazākais veselais skaitlis, kas nav negatīvs A būs vienāds ar 15.

Atbilde: 15.

Atbilde: 15

Kāds ir lielākais nenegatīvais veselais skaitlis A izteiksme

(2x + 3y x + y ≥ A)

identiski attiecas uz jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem x un y?

Risinājums.

Lai atrastu lielāko nenegatīvo veselo skaitli A, saskaņā ar kuru izteiksme būs identiski patiesa jebkuram veselam skaitlim, kas nav negatīvs x un y, apsveriet, kādos gadījumos nosacījums (3 y + 2x Tādējādi mēs atrodam visus risinājumus, kad (3 y + 2x≥ 30). to x virs 15 un y lielāks par 10. Ņemiet vērā, ka, lai izteiksme būtu piemērota jebkuram x un y, tas ir jāņem x= 0 un y= 10. Tad 0 + 10 ≤ A. Tāpēc lielākais nenegatīvs vesels skaitlis A būs vienāds ar 10.

Atbilde: 10.

Atbilde: 10

Kāds ir mazākais nenegatīvais veselais skaitlis A izteiksme

(3x + 4y ≠ 70) ∨ (A > x) ∨ (A > y)

identiski attiecas uz jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem x un y?

Risinājums.

Lai atrastu mazāko veselo skaitli, kas nav negatīvs A, saskaņā ar kuru izteiksme būs identiski patiesa jebkuram veselam skaitlim, kas nav negatīvs x un y, apsveriet, kādos gadījumos nosacījums (3 x + 4y≠ 70) ir nepatiess.

Tādējādi mēs atrodam visus risinājumus, kad (3 x + 4y= 70). to x no 2 līdz 22 y diapazonā no 16 līdz 1. Ņemiet vērā, ka, lai izteiksme būtu piemērota jebkuram x un y, tas ir jāņem x= 10 un y= 10. Tad A> 10. Tāpēc mazākais nenegatīvs vesels skaitlis A būs vienāds ar 11.

Lai atrisinātu šo problēmu, mums ir jāizdara daži loģiski secinājumi, tāpēc "uzmaniet savas rokas".

1. Viņi vēlas, lai mēs atrastu minimālo nenegatīvo veselo skaitli A, kuram izteiksme vienmēr ir patiesa.
2. Kas ir izteiksme kopumā? kaut kas tur netieši kaut kas iekavās.
3. Atcerēsimies patiesības tabulu, lai iegūtu norādes:
   1 => 1 = 1
   1 => 0 = 0
   0 => 1 = 1
   0 => 0 = 1
4. Tātad ir trīs iespējas, kad tā būs taisnība. Apsvērt visas šīs trīs iespējas nozīmē nogalināt sevi un nedzīvot. Padomāsim, vai varam iet "no pretējās puses".
5. Tā vietā, lai meklētu A, mēģināsim atrast x, kuram šī izteiksme ir nepatiesa.
6. Tas ir, ņemsim kādu skaitli A (mēs vēl nezinām, ko, tikai dažus). Ja pēkšņi mēs atrodam tādu x, kuram viss apgalvojums ir nepatiess, tad izvēlētais A ir slikts (jo nosacījums prasa, lai izteiksme vienmēr būtu patiesa)!
7. Tādējādi mēs varam iegūt sava veida ierobežojumu skaitlim A.
8. Tātad, pāriesim no pretējās puses un atcerēsimies, kad norāde ir nepatiesa? Kad pirmā daļa ir patiesa un otrā daļa ir nepatiesa.
9. Līdzekļi
   \((\mathrm(x)\&25\neq 0)= 1 \\ (\mathrm(x)\&17=0\Rightarrow \mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\)
10. Ko nozīmē \((x\&25\neq 0) = 1\)? Tas nozīmē, ka patiešām \(\mathrm(x)\&25\neq 0\) .
11. Pārvērsim 25 uz bināro. Mēs iegūstam: 11001 2 .
12. Kādus ierobežojumus tas uzliek x? Tā kā tas nav vienāds ar nulli, tas nozīmē, ka ar bitu savienojumu kaut kur ir jāiegūst vienība. Bet kur viņa varētu būt? Tikai tur, kur jau ir vienība 25!
13. Tas nozīmē, ka ciparā x vismaz vienā krustā ir jābūt vienībai: XXX.
14. Labi, tagad apsveriet otro reizinātāju: \((\mathrm(x)\&17=0\Rightarrow \mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\)
15. Šis izteiciens ir arī norāde. Tomēr tas ir tikpat nepatiess.
16. Tādējādi tās pirmajai daļai ir jābūt patiesai, bet otrajai - nepatiesai.
17. Līdzekļi
    \((\mathrm(x)\&17=0) = 1 \\ ((\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0) = 0\)
18. Ko nozīmē \(\mathrm(x)\&17=0\)? Tas, ka visās vietās, kur 17 ir vieninieki, x ir jābūt nullēm (pretējā gadījumā rezultāts nebūs 0).
19. Pārvērsim 17 uz bināro: 10001 2 . Tas nozīmē, ka x, pēdējā vietā no beigām un 5. vietā no beigām, ir jābūt nullēm.
20. Bet apstājieties, mēs dabūjām 13. punktā, ka pēdējā VAI 4 no beigām VAI 5 no beigām jābūt vienam.
21. Tā kā saskaņā ar 19. rindu nevar būt vienība pēdējā vai 5 no gala vietām, tātad jābūt 4. vieta no beigām.
22. Tas ir, ja mēs vēlamies, lai visa izteiksme ar mūsu x būtu nepatiesa, tad 4. vietai no beigām jābūt vienai: XX...XX1XXX 2 .
23. Labi, tagad apskatīsim pēdējo nosacījumu: \((\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\). Ko tas nozīmē?
24. Tas nozīmē, ka tā nav taisnība \(\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0\).
25. Tas faktiski ir \(\mathrm(x)\&\mathrm(A)=0\) .
26. Ko mēs zinām par x? Ka 4 no vietas gala ir vienība. Visos citos aspektos x var būt gandrīz jebkas.
27. Ja mēs vēlamies, lai sākotnējā izteiksme problēmas paziņojumā vienmēr būtu patiesa, tad mēs nevajadzētu atrast x, kas atbilst visiem nosacījumiem. Patiešām, ja mēs atrastu šādu x, izrādītos, ka sākotnējā izteiksme ne vienmēr ir patiesa, kas ir pretrunā ar problēmas nosacījumu.
28. Tas nozīmē, ka šo pašu pēdējo nosacījumu vienkārši nedrīkst izpildīt.
29. Kā to var nedarīt? Ja tikai mēs esam 100% pārliecināti, ka ar bitu savienojumu vienība kaut kur paliks.
30. Un tas ir iespējams: ja A ir arī vienība 4. vietā no beigām, tad bitu savienojuma rezultātā vienība paliks 4. vietā no beigām.
31. Kāds ir mazākais iespējamais binārais skaitlis, kuram ir 1 reiz 4 no vietas beigām? Acīmredzot 1000 2 . Tātad šis skaitlis būs atbilde.
32. Atliek tikai to pārvērst decimāldaļās: \(1000_2=0\reizes 2^0 + 0\reizes 2^1 + 0\reizes 2^2 + 1\reizes 2^3=8\)

Atbilde: mazākais iespējamais A, kas atbilst nosacījumiem, vienāds ar 8.

Jevgeņijs Smirnovs

IT eksperte, informātikas skolotāja

Risinājums #2

Var ieteikt nedaudz īsāku pieeju. Apzīmēsim mūsu apgalvojumu kā F = (A->(B->C)), kur A ir apgalvojums "X&25 nav vienāds ar 0", B= "X&17=0" un C="X&A nav vienāds ar 0 ".

Izvērsīsim implikācijas, izmantojot labi zināmo likumu X->Y = nav(X) VAI Y, iegūstam F = A -> (ne(B) VAI C) = nav(A) VAI nav(B) VAI C. Mēs arī rakstām konstantu 25 un 17 binārās vērtības:

Mūsu izteiksme ir loģisks VAI no trim apgalvojumiem:

1) not(A) — tas nozīmē, ka X&25 = 0 (X 0,3,4 biti visi ir 0)

2) nav(B) — tātad X&17 nav vienāds ar 0 (X biti 0 un 4 vismaz viens ir vienāds ar 1)

3) C — zina, ka X&A nav vienāds ar 0 (biti, kas noteikti ar masku A, vismaz 1 ir vienāds ar 1)

X ir patvaļīgs skaitlis. Visi tā biti ir neatkarīgi. Tāpēc ir iespējams pieprasīt kāda nosacījuma izpildi uz patvaļīga skaitļa bitiem tikai vienā gadījumā - ja runa ir par vienu un to pašu masku (bitu kopu). Varam pamanīt, ka binārā maska ​​17 ir gandrīz tāda pati kā 25, trūkst tikai bita numurs 3. Tagad, ja 17 papildinātu ar bitu numuru 3, tad izteiksme (not (B) VAI C) pārvērstos par not (not) A ), t.i. in A = (X&25 nav vienāds ar 0). Citā veidā: pieņemsim, ka A=8 (bits 3=1). Tad prasība (nevis (B) B vai C) ir līdzvērtīga prasībai: (vismaz viens no bitiem 4,0 ir 1) VAI (3. bits ir 1) = (vismaz viens no bitiem 0,3,4 ir nevis 1) - tie. inversija nav(A) = A = (X&25 nav vienāds ar 0).

Rezultātā mēs pamanījām, ka, ja A = 8, tad mūsu izteiksme iegūst formu F = nav (A) VAI A, kas saskaņā ar izslēgtā vidus likumu vienmēr ir identiski patiesa. Citām mazākām A vērtībām neatkarību no X vērtības nevar iegūt, jo maskas ir dažādas. Nu, ja A augstajos bitos ir tādi, kas ir virs 4, nekas nemainās, jo pārējās maskās mums ir nulles. Izrādās, ka tikai tad, kad A=8 formula pārvēršas par patvaļīga X tautoloģiju.

Dmitrijs Lisins

1. Piemērs no demonstrācijas

(pirmais līdzskaņs → otrais līdzskaņs) / (priekšpēdējais patskanis → pēdējais patskanis)

1) KRISTĪNA 2) MAKSIM 3) STEPĀNS 4) MARIJA

Risinājuma izklāsts implikācija a → b ir ekvivalents ¬a / b.

Pirmā norāde attiecas uz vārdiem CHRISTINA un STEPAN. No šiem vārdiem otrā norāde attiecas tikai uz vārdu KRISTĪNA.

Atbilde: 1. KRISTĪNA

2. Vēl divi piemēri

1. piemērs (FIPI bankas atvērtais segments)

Kurš no šiem nosaukumiem atbilst loģiskajam nosacījumam:

(pirmais līdzskaņs → pirmais patskanis) / (pēdējais patskanis → pēdējais līdzskaņs)

1. IRINA 2. MAKSIM 3. ARTĒMS 4. MARIJA

Risinājuma izklāsts. implikācija a → b ir ekvivalents ¬a / b. Šī izteiksme ir patiesa, ja kāda no izteiksmēm a ir nepatiesa vai abas izteiksmes a un b ir patiesas. Tā kā mūsu gadījumā abi izteicieni nevar būt patiesi vienlaikus nevienā no implikācijām, apgalvojumiem “pirmais burts ir līdzskaņs” un “pēdējais burts ir patskanis” ir jābūt nepatiesam, tas ir, mums ir nepieciešams vārds, kas pirmais burts ir patskanis, bet pēdējais ir līdzskaņs.

Atbilde: 3. ARTĒMS.

2. piemērs Kurai no norādītajām skaitļa X vērtībām apgalvojums ir patiess

(X< 4)→(X >15)

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Risinājums. Neviens skaitlis vienlaikus nevar būt mazāks par 4 un lielāks par 15. Tāpēc implikācija ir patiesa tikai tad, ja premisa X< 4 viltus.

Atbilde 4.

2. Uzdevumi USE formātā 2013.-2014

2.1. Demonstrācija 2013

Uz skaitļu līnijas ir doti divi segmenti: P = un Q = .

Izvēlieties segmentu A tā, lai formula

1) 2) 3) 4)

2.2. Demonstrācija 2014

Uz skaitļu līnijas ir doti divi segmenti: P = un Q = . Izvēlieties no piedāvātajiem segmentiem tādu segmentu A, kas atbilst loģiskajai izteiksmei

((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q)) → ¬ (x ∈ A)

identiski patiess, tas nozīmē, ka jebkura mainīgā vērtība ir 1

Atbilžu varianti: 1) 2) 3) 4)

Risinājums. Pārveidosim izteiksmi, izmantojot . Mums ir:

¬((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - implikācijas aizstāšana ar disjunkciju;

¬(¬(x ∈ P) ∨ ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - implikācijas aizstāšana ar disjunkciju;

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - de Morgana noteikums un dubultās negācijas noņemšana;

(x ∈ A) → ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) - disjunkcijas aizstāšana ar netiešu palīdzību

Pēdējā izteiksme ir identiski patiesa tad un tikai tad, ja A ⊆ P∩ Q = ∩ = (sk. ). No četriem dotajiem segmentiem tikai segments - variants Nr. 2 atbilst šim nosacījumam.

Atbilde: - opcijas numurs 2

3. Uzdevumi USE formātā 2015.-2016

3.1. 1. uzdevums.

Uz skaitļu līnijas ir doti divi segmenti: P = un Q = .

Ir zināms, ka segmenta A robežas ir veseli skaitļi, bet segmentam A - formula

((x ∈ A) → (x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

ir identiski patiess, tas ir, jebkurai mainīgā x vērtībai tiek izmantota vērtība 1.

Kāds ir garākais iespējamais segmenta A garums?

Pareizā atbilde : 10

Risinājums:

Mēs pārveidojam izteiksmi - mēs aizstājam implikāciju ar disjunkciju. Mēs iegūstam:

(¬(x ∈ A)) \/ ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

Izteiksme ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q) ir patiesa tikai tiem x, kas atrodas P vai Q, citiem vārdiem sakot, ja x ∈ R = P ∪ Q = ∪ . Izteiksme

(¬(x ∈ A)) \/ (x ∈ R)

ir identiski patiesa tad un tikai tad, ja A ∈ R. Tā kā A ir segments, tad A ∈ R tad un tikai tad, ja A ∈ P vai A ∈ Q. Tā kā segments Q ir garāks par segmentu P, tad nogriežņa maksimālais garums segments A tiek sasniegts, ja A = Q = . Segmenta A garums šajā gadījumā ir 30 - 20 = 10.

3.2. 2. uzdevums.

Apzīmē ar m&n nenegatīvu veselu skaitļu bitu savienojums m un n. Tā, piemēram, 14&5 = 1110 2 &0101 2 = 0100 2 = 4. Kas ir mazākais nenegatīvais veselais skaitlis BET formula

x&25 ≠ 0 → (x&33 ≠ 0 → x&BET ≠ 0)

ir identiski patiess, t.i. ņem vērtību 1 jebkurai mainīgā vērtībai, kas nav negatīva vesela skaitļa vērtība X?

Pareizā atbilde : 57

Risinājums:

Mēs pārveidojam izteiksmi - mēs aizstājam implikācijas ar disjunkcijām. Mēs iegūstam:

¬( x&25 ≠ 0) ∨ (¬( x&33 ≠ 0) ∨ x&BET ≠ 0)

Atveram iekavas un nevienādību noliegumus aizstājam ar vienādībām:

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0 ∨ x&BET ≠ 0 (*)

Mums ir: 25 = 11001 2 un 33 = 100001 2 . Tāpēc formula

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0

ir nepatiess tad un tikai tad, ja skaitļa binārais attēlojums x satur 1 vismaz vienā no šiem binārajiem cipariem: 100000 (32), 10000 (16), 1000 (8) un 1.

Lai formula (*) būtu patiesa visiem tādiem x ir nepieciešams un pietiekami, ka skaitļa A binārais apzīmējums visos šajos ciparos satur 1. Mazākais šāds skaitlis ir 32+16+8+1 = 57.

18. uzdevums Darba katalogs. Loģiski apgalvojumi

1. 18.uzdevums Nr.701. Kuram vārdam apgalvojums ir nepatiess:

(Vārda pirmais burts ir patskanis→ Vārda ceturtais burts ir līdzskaņs).

1) ELENA

2) VADIM

3) ANTONS

4) FEDORS

Paskaidrojums.

Implikācija ir nepatiesa tad un tikai tad, ja premisa ir patiesa un sekas ir nepatiesas. Mūsu gadījumā, ja vārda pirmais burts ir patskanis un ceturtais burts ir patskanis. Vārds Antons atbilst šim nosacījumam.

Piezīme.

Tas pats rezultāts izriet no šādām transformācijām: ¬ (A→ B) = ¬(¬A∨ B)=A∧ (¬B).

Pareizā atbilde ir 3. numurs.

2. 18.uzdevums Nr.8666. Uz skaitļu līnijas ir doti divi segmenti: P = un Q = . Norādiet lielāko iespējamo intervāla A garumu, kuram formula

(¬ (xA)→ (xP))→ ((xA)→ (xQ))

ir identiski patiess, tas ir, jebkurai mainīgā x vērtībai tiek izmantota vērtība 1.

Paskaidrojums.

Pārveidosim šo izteiksmi:

(¬ ( xA) → ( x P)) → (( x A) → ( xJ))

((xA)∨ (x P))→ ((x nē A)∨ (x Q))

¬(( xīpašumāA) ∨ ( xīpašumāP)) ∨ (( x nepiederA) ∨ ( x īpašumāJ))

( xnepiederA) ∧ ( xnepiederP) ∨ ( x īpašumāA) ∨ ( x nepiederJ)

( xnepiederA) ∨ ( x īpašumāJ)

Tādējādi vai nu x ir jāpieder pie Q, vai arī nepieder pie A. Tas nozīmē, ka, lai sasniegtu patiesību visiem x, ir nepieciešams, lai A pilnībā ietvertu Q. Tad maksimums, par ko tas var kļūt, ir viss Q, tas ir, garums 15 .

3. 18.uzdevums Nr.9170. Uz skaitļu līnijas ir doti divi segmenti: P = un Q = .

Norādiet lielāko iespējamo segmenta A garumu, kuram formula

((xA)→ ¬ (xP))→ ((xA)→ (xQ))

ir identiski patiess, tas ir, jebkurai mainīgā vērtībai tiek izmantota vērtība 1X .

Paskaidrojums.

Pārveidosim šo izteiksmi.

(( x€ A) → ¬( xīpašumāP)) → (( x īpašumāA) → ( x īpašumāJ))

(( xnepiederA) ∨ ( xnepiederP)) → (( x nepiederA) ∨ ( x īpašumāJ))

¬((x nepieder pie A)∨ (xnepieder pie P))∨ ((xnepieder pie A)∨ (xpieder Q))

Tā ir taisnība, ka A∧ B∨ ¬A = ¬A∨ B. Lietojot to šeit, mēs iegūstam:

(x pieder P)∨ (xnepieder pie A)∨ (x pieder Q)

Tas ir, vai nu punktam ir jāpieder pie Q, vai jāpieder P, vai arī nepieder pie A. Tas nozīmē, ka A var aptvert visus punktus, kas aptver P un Q. Tas ir, A = P Q = = . |A| = 48 - 10 = 38.

4. 18.uzdevums Nr.9202. Kopu A, P, Q elementi ir naturāli skaitļi, un P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Ir zināms, ka izteiksme

((xA)→ (xP))∨ (¬(xQ)→ ¬ (xA))

true (t.i., ņem vērtību 1) jebkurai mainīgā x vērtībai.

5. 18.uzdevums Nr.9310. Kopu A, P, Q elementi ir naturāli skaitļi, un P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50).

Ir zināms, ka izteiksme

((xA)→ (xP))∨ (¬(xQ)→ ¬ (xA))

true (t.i., ņem vērtību 1) jebkurai mainīgā x vērtībai.

Nosakiet lielāko iespējamo elementu skaitu kopā A.

6. 18.uzdevums Nr.9321. Apzīmē arDEL ( n, m ) apgalvojumu “naturāls skaitlis n bez atlikuma dalās ar naturālu skaitlim ". Par to, kas ir lielākais naturālais skaitlisBET formula

¬ DEL ( x, A ) → (¬ DEL ( x , 21) ∧ ¬ DEL ( x , 35))

ir identiski patiess (tas ir, jebkurai mainīgā dabiskajai vērtībai tiek izmantota vērtība 1x )?

(Uzdevums M. V. Kuzņecovai)

7. 18.uzdevums Nr.9768. Apzīmē ar m & n m un n 2 & 0101 2 = 0100 2 BET formula

x & 29 ≠ 0 → (x & 12 = 0 → x & BET ≠ 0)

ir identiski patiess (tas ir, iegūst vērtību 1 jebkurai mainīgā nenegatīvai veselai vērtībai X )?

8. 18.uzdevums Nr.9804. Apzīmē ar m & n nenegatīvu veselu skaitļu bitu savienojums m un n . Tā, piemēram, 14 un 5 = 1110 2 & 0101 2 = 0100 2 = 4. Kas ir mazākais nenegatīvais veselais skaitlis BET formula

x & 29 ≠ 0 → (x & 17 = 0 → x & BET ≠ 0)

ir identiski patiess (t.i., ņem vērtību 1 jebkurai mainīgā nenegatīvai veselai vērtībai x )?

9. 18.uzdevums Nr.723. Kuram vārdam ir patiess apgalvojums:

Trešais burts ir patskanis→ ¬ (Pirmais burts ir līdzskaņs \/ Vārdā ir 4 patskaņi)?

1) Rimma

2) Anatolijs

3) Svetlana

4) Dmitrijs

Paskaidrojums.

Pielietosim implikāciju transformāciju:

Trešais burts Līdzskaņis∨ (Pirmais burts Patskaņis∧ Vārdam NAV ir 4 patskaņi)

Disjunkcija ir patiesa, ja vismaz viens no apgalvojumiem ir patiess. Tāpēc ir piemērots tikai 1. variants.

10. 18.uzdevums Nr.4581. Kurš no šiem nosaukumiem atbilst loģiskajam nosacījumam:

(pirmā burta līdzskaņa→ pēdējais burts ir līdzskaņs) /\ (pirmais burts ir patskanis→ pēdējais burts ir patskanis)

Ja ir vairāki šādi vārdi, norādiet garāko no tiem.

1) ANNA

2) BELLA

3) ANTONS

4) BORIS

Paskaidrojums.

Loģiskais UN ir patiess tikai tad, ja abi apgalvojumi ir patiesi. (1)

Norādījums ir nepatiess tikai tad, ja no patiesības izriet nepatiess.

1. iespēja ir piemērota visiem apstākļiem.

2. iespēja nav piemērota 2. nosacījuma dēļ.

3. iespēja nav piemērota 2. nosacījuma dēļ.

4. iespēja ir piemērota visiem apstākļiem.

Jums jānorāda garākais no vārdiem, tāpēc atbilde ir 4.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

1. 18.uzdevums Nr.711. Kurš no šiem valstu nosaukumiem atbilst šādam loģiskajam nosacījumam: ((pēdējais līdzskaņs) \/ (pirmais līdzskaņs))→ (nosaukumā ir burts "p")?

1) Brazīlija

2) Meksika

3) Argentīna

4) Kuba

2. 18.uzdevums Nr.709. Kurš no šiem nosaukumiem atbilst loģiskajam nosacījumam:

(Pirmais burts ir patskanis)∧ ((ceturtā burta līdzskaņa)∨ (Vārdā ir četri burti))?

1) Sergejs

2) Vadims

3) Antons

4) Iļja

№3

№4

№5. 18.uzdevums Nr.736. Kurš no dotajiem nosaukumiem atbilst loģiskajam nosacījumam

Pirmais burts ir patskanis∧ ceturtais līdzskaņs∨ Vai vārdam ir četri burti?

1) Sergejs

2) Vadims

3) Antons

4) Iļja