Līniju krustojuma formula. Vienkāršākās problēmas ar taisnu līniju plaknē. Līniju savstarpēja sakārtošana. Leņķis starp līnijām

Nodarbība no sērijas "Ģeometriskie algoritmi"

Sveiks dārgais lasītāj!

Turpinām iepazīties ar ģeometriskajiem algoritmiem. Pēdējā nodarbībā divu punktu koordinātēs atradām taisnes vienādojumu. Mums ir formas vienādojums:

Šodien mēs uzrakstīsim funkciju, kas, izmantojot divu taisnu vienādojumus, atradīs to krustošanās punkta koordinātas (ja tādas ir). Lai pārbaudītu reālo skaitļu vienādību, izmantosim īpašo funkciju RealEq().

Punktus plaknē apraksta ar reālu skaitļu pāri. Izmantojot reālo tipu, salīdzināšanas darbības labāk sakārtot ar īpašām funkcijām.

Iemesls ir zināms: Pascal programmēšanas sistēmā Real tipam nav secības attiecības, tāpēc labāk neizmantot ierakstus formā a = b, kur a un b ir reāli skaitļi.
Šodien mēs iepazīstināsim ar funkciju RealEq(), lai ieviestu operāciju “=” (stingri vienāda):

Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Būla; (stingri vienāds) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Uzdevums. Ir doti divu taisnu vienādojumi: un . Atrodiet to krustpunktu.

Lēmums. Acīmredzamais risinājums ir atrisināt līniju vienādojumu sistēmu: Pārrakstīsim šo sistēmu nedaudz savādāk:
(1)

Mēs ieviešam apzīmējumu: , , . Šeit D ir sistēmas determinants, un tie ir determinanti, kas iegūti, aizstājot attiecīgā nezināmā koeficientu kolonnu ar brīvu terminu kolonnu. Ja , tad sistēma (1) ir noteikta, tas ir, tai ir unikāls risinājums. Šo risinājumu var atrast pēc šādām formulām: , , kuras sauc Krāmera formulas. Atgādināšu, kā tiek aprēķināts otrās kārtas determinants. Determinants izšķir divas diagonāles: galveno un sekundāro. Galvenā diagonāle sastāv no elementiem, kas ņemti virzienā no determinanta augšējā kreisā stūra uz apakšējo labo stūri. Sānu diagonāle - no augšējās labās puses uz apakšējo kreiso pusi. Otrās kārtas determinants ir vienāds ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu mīnus sekundārās diagonāles elementu reizinājums.

Kods izmanto funkciju RealEq(), lai pārbaudītu vienlīdzību. Aprēķini par reāliem skaitļiem tiek veikti ar precizitāti līdz _Eps=1e-7.

Programma geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(aprēķinu precizitāte) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Būla; (stingri vienāds) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Esam sastādījuši programmu, ar kuru, zinot līniju vienādojumus, var atrast to krustpunkta koordinātas.

Dotas divas taisnes un jāatrod to krustpunkts. Tā kā šis punkts pieder katrai no divām dotajām taisnēm, tā koordinātām jāatbilst gan pirmās rindas vienādojumam, gan otrās līnijas vienādojumam.

Tātad, lai atrastu divu taisnu krustpunkta koordinātas, jāatrisina vienādojumu sistēma

Piemērs 1. Atrodiet līniju krustpunktu un

Lēmums. Atrisinot vienādojumu sistēmu, atradīsim vēlamā krustojuma punkta koordinātas

Krustojuma punktam M ir koordinātas

Parādīsim, kā no tā vienādojuma izveidot taisnu līniju. Lai novilktu līniju, pietiek zināt divus tās punktus. Lai attēlotu katru no šiem punktiem, vienai no tās koordinātām mēs piešķiram patvaļīgu vērtību, un pēc tam no vienādojuma atrodam atbilstošo otras koordinātas vērtību.

Ja taisnes vispārējā vienādojumā abi koeficienti pie pašreizējām koordinātām nav vienādi ar nulli, tad, lai izveidotu šo taisni, vislabāk ir atrast tās krustošanās punktus ar koordinātu asīm.

Piemērs 2. Izveidojiet taisnu līniju.

Lēmums. Atrodiet šīs taisnes krustpunktu ar x asi. Lai to izdarītu, mēs kopā atrisinām to vienādojumus:

un mēs saņemam. Tādējādi tika atrasts šīs taisnes krustpunkta ar abscisu asi punkts M (3; 0) (40. att.).

Pēc tam kopīgi atrisinot dotās taisnes vienādojumu un y ass vienādojumu

atrodam taisnes krustpunktu ar y asi. Visbeidzot, mēs izveidojam līniju no diviem tās punktiem M un

1. Lai atrastu funkciju grafiku krustošanās punkta koordinātas, abas funkcijas jāpielīdzina viena otrai, jāpārvieto visi termini, kas satur $ x $ uz kreiso pusi, bet pārējie uz labo pusi un jāatrod iegūtā saknes. vienādojums.
2. Otrs veids ir izveidot vienādojumu sistēmu un atrisināt to, aizstājot vienu funkciju ar citu
3. Trešā metode ietver funkciju grafisku konstruēšanu un krustojuma punkta vizuālo definēšanu.

Divu lineāru funkciju gadījums

Apsveriet divas lineāras funkcijas $ f(x) = k_1 x+m_1 $ un $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Šīs funkcijas sauc par tiešajām. To izveide ir pietiekami vienkārša, jums vienkārši jāņem jebkuras divas vērtības $x_1$ un $x_2$ un jāatrod $f(x_1)$ un $(x_2)$. Pēc tam atkārtojiet to pašu ar funkciju $ g(x) $. Tālāk vizuāli atrodiet funkciju grafiku krustošanās punkta koordinātas.

Jums jāzina, ka lineārām funkcijām ir tikai viens krustošanās punkts un tikai tad, ja $ k_1 \neq k_2 $. Pretējā gadījumā $ k_1=k_2 $ gadījumā funkcijas ir paralēlas viena otrai, jo $ k $ ir slīpuma koeficients. Ja $ k_1 \neq k_2 $, bet $ m_1=m_2 $, tad krustojuma punkts būs $ M(0;m) $. Šo noteikumu ir vēlams atcerēties, lai paātrinātu problēmu risināšanu.

Divu nelineāru funkciju gadījums

Divdimensiju telpā divas taisnes krustojas tikai vienā punktā, ko nosaka koordinātas (x, y). Tā kā abas taisnes iet cauri to krustpunktam, koordinātām (x, y) ir jāatbilst abiem vienādojumiem, kas apraksta šīs taisnes. Izmantojot dažas uzlabotas prasmes, jūs varat atrast parabolu un citu kvadrātisko līkņu krustošanās punktus.

Soļi

Divu līniju krustpunkts

Pierakstiet katras rindas vienādojumu, vienādojuma kreisajā pusē izolējot mainīgo "y". Citi vienādojuma nosacījumi jānovieto vienādojuma labajā pusē. Varbūt vienādojumā, kas jums dots "y" vietā, būs mainīgais f (x) vai g (x); šajā gadījumā izolējiet šādu mainīgo. Lai izolētu mainīgo, veiciet atbilstošās matemātiskās darbības abās vienādojuma pusēs.

• Ja līniju vienādojumi jums nav doti, pamatojoties uz jums zināmo informāciju.
• Piemērs. Dotas taisnas līnijas, ko apraksta vienādojumi un y - 12 = - 2 x (\displeja stils y-12 = - 2x). Lai izolētu "y" otrajā vienādojumā, pievienojiet skaitli 12 abām vienādojuma pusēm:

1. Jūs meklējat abu līniju krustošanās punktu, tas ir, punktu, kura (x, y) koordinātas apmierina abus vienādojumus. Tā kā mainīgais "y" atrodas katra vienādojuma kreisajā pusē, katra vienādojuma labajā pusē esošās izteiksmes var pielīdzināt. Pierakstiet jaunu vienādojumu.

   • Piemērs. Kā y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) un y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x), tad varam uzrakstīt šādu vienādību: .

2. Atrodiet mainīgā "x" vērtību. Jaunajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais "x". Lai atrastu "x", izolējiet šo mainīgo vienādojuma kreisajā pusē, veicot atbilstošu matemātiku abās vienādojuma pusēs. Jums vajadzētu iegūt vienādojumu, piemēram, x = __ (ja nevarat to izdarīt, skatiet šo sadaļu).

   • Piemērs. x + 3 = 12 - 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Pievienot 2x (\displaystyle 2x) katrā vienādojuma pusē:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Atņemiet 3 no katras vienādojuma puses:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Sadaliet katru vienādojuma pusi ar 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Izmantojiet atrasto mainīgā "x" vērtību, lai aprēķinātu mainīgā "y" vērtību. Lai to izdarītu, vienādojumā (jebkurā) taisnē aizstājiet atrasto vērtību "x".

   • Piemērs. x = 3 (\displaystyle x=3) un y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Pārbaudiet atbildi. Lai to izdarītu, aizstājiet "x" vērtību citā taisnes vienādojumā un atrodiet "y" vērtību. Ja saņemat dažādas "y" vērtības, pārbaudiet, vai aprēķini ir pareizi.

   • Piemērs: x = 3 (\displaystyle x=3) un y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12–2 (3) (\displaystyle y=12-2 (3))
   • y = 12–6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Jums ir tāda pati "y" vērtība, tāpēc aprēķinos nav kļūdu.

5. Pierakstiet koordinātas (x, y). Aprēķinot "x" un "y" vērtības, esat atradis divu līniju krustošanās punkta koordinātas. Pierakstiet krustpunkta koordinātas formā (x, y).

   • Piemērs. x = 3 (\displaystyle x=3) un y=6 (\displaystyle y=6)
   • Tādējādi divas taisnes krustojas punktā ar koordinātām (3,6).

6. Aprēķini īpašos gadījumos. Dažos gadījumos mainīgā "x" vērtību nevar atrast. Bet tas nenozīmē, ka esat pieļāvis kļūdu. Īpašs gadījums rodas, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

   • Ja divas taisnes ir paralēlas, tās nekrustojas. Šajā gadījumā mainīgais "x" tiks vienkārši samazināts, un jūsu vienādojums pārvērtīsies par bezjēdzīgu vienādību (piemēram, 0 = 1 (\displaystyle 0 = 1)). Šādā gadījumā savā atbildē ierakstiet, ka līnijas nekrustojas vai nav risinājuma.
   • Ja abi vienādojumi apraksta vienu taisni, tad būs bezgalīgi daudz krustošanās punktu. Šajā gadījumā mainīgais "x" tiks vienkārši samazināts, un jūsu vienādojums pārvērtīsies par stingru vienādību (piemēram, 3 = 3 (\displaystyle 3 = 3)). Šādā gadījumā savā atbildē pierakstiet, ka abas rindiņas sakrīt.

   Problēmas ar kvadrātiskām funkcijām

   1. Kvadrātfunkcijas definīcija. Kvadrātiskajā funkcijā vienam vai vairākiem mainīgajiem ir otrā pakāpe (bet ne augstāka), piemēram, x 2 (\displaystyle x^(2)) vai y 2 (\displaystyle y^(2)). Kvadrātisko funkciju grafiki ir līknes, kas nedrīkst krustoties vai krustoties vienā vai divos punktos. Šajā sadaļā mēs jums pateiksim, kā atrast kvadrātveida līkņu krustošanās punktu vai punktus.

   2. Pārrakstiet katru vienādojumu, vienādojuma kreisajā pusē izolējot mainīgo "y". Citi vienādojuma nosacījumi jānovieto vienādojuma labajā pusē.

      • Piemērs. Atrodiet grafiku krustošanās punktu(-us). x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) un
      • Izolējiet mainīgo "y" vienādojuma kreisajā pusē:
      • un y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Šajā piemērā jums ir dota viena kvadrātiskā funkcija un viena lineāra funkcija. Atcerieties, ka, ja jums ir dotas divas kvadrātfunkcijas, aprēķini ir tādi paši kā tālāk norādītajās darbībās.

   3. Pielīdziniet izteiksmes katra vienādojuma labajā pusē. Tā kā mainīgais "y" atrodas katra vienādojuma kreisajā pusē, katra vienādojuma labajā pusē esošās izteiksmes var pielīdzināt.

      • Piemērs. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) un y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Pārnesiet visus iegūtā vienādojuma nosacījumus uz tā kreiso pusi un labajā pusē ierakstiet 0. Lai to izdarītu, veiciet pamata matemātiskās darbības. Tas ļaus jums atrisināt iegūto vienādojumu.

      • Piemērs. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Atņemiet "x" no abām vienādojuma pusēm:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Atņemiet 7 no abām vienādojuma pusēm:

   5. Atrisiniet kvadrātvienādojumu. Pārnesot visus vienādojuma nosacījumus uz tā kreiso pusi, jūs iegūstat kvadrātvienādojumu. To var atrisināt trīs veidos: izmantojot īpašu formulu un.

      • Piemērs. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Faktorējot vienādojumu, tiek iegūti divi binomiāli, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais vienādojums. Mūsu piemērā pirmais dalībnieks x 2 (\displaystyle x^(2)) var sadalīt x*x. Veiciet šādu ierakstu: (x) (x) = 0
      • Mūsu piemērā krustpunktu -6 var ņemt vērā šādi: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displeja stils -2*3), − 1 ∗ 6 (\displeja stils -1*6).
      • Mūsu piemērā otrais termins ir x (vai 1x). Pievienojiet katru pārtveršanas faktoru pāri (mūsu piemērā -6), līdz iegūstat 1. Mūsu piemērā pareizais pārtveršanas faktoru pāris ir -2 un 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displeja stils -2*3=-6)), kā − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Aizpildiet tukšumus ar atrasto skaitļu pāri: .

   6. Neaizmirstiet par abu grafiku otro krustošanās punktu. Ja problēmu atrisināsiet ātri un ne pārāk rūpīgi, varat aizmirst par otro krustojuma punktu. Lūk, kā atrast divu krustošanās punktu "x" koordinātas:

      • Piemērs (faktorings). Ja vienādojumā (x - 2) (x + 3) = 0 (\displeja stils (x-2) (x+3) = 0) viena no izteiksmēm iekavās būs vienāda ar 0, tad viss vienādojums būs vienāds ar 0. Tāpēc varam to uzrakstīt šādi: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) un x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = – 3 (\displaystyle x=-3) (tas ir, jūs atradāt divas vienādojuma saknes).
      • Piemērs (izmantojiet formulu vai pilnu kvadrātu). Izmantojot kādu no šīm metodēm, risinājuma procesā parādīsies kvadrātsakne. Piemēram, vienādojumam no mūsu piemēra būs šāda forma x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Atcerieties, ka, ņemot kvadrātsakni, jūs iegūsit divus risinājumus. Mūsu gadījumā: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25)) = 5*5), un 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25)) = (-5)*(-5)). Tātad pierakstiet divus vienādojumus un atrodiet divas x vērtības.

   7. Grafiki krustojas vienā punktā vai nekrustojas vispār.Šādas situācijas rodas, ja ir izpildīti šādi nosacījumi:

      • Ja grafiki krustojas vienā punktā, kvadrātvienādojums tiek sadalīts vienādos faktoros, piemēram, (x-1) (x-1) = 0, un kvadrātsakne no 0 parādās formulā ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Šajā gadījumā vienādojumam ir tikai viens risinājums.
      • Ja grafiki nemaz nekrustojas, tad vienādojums netiek faktorizēts, un formulā parādās negatīva skaitļa kvadrātsakne (piemēram, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Šajā gadījumā atbildē ierakstiet, ka risinājuma nav.

Perpendikulāra līnija

Šis uzdevums, iespējams, ir viens no populārākajiem un pieprasītākajiem skolu mācību grāmatās. Uzdevumi, kuru pamatā ir šī tēma, ir daudzveidīgi. Šī ir divu līniju krustošanās punkta definīcija, tā ir taisnes vienādojuma definīcija, kas iet caur punktu uz sākotnējās līnijas noteiktā leņķī.

Mēs apskatīsim šo tēmu, savos aprēķinos izmantojot datus, kas iegūti, izmantojot

Tieši tur tika apsvērta taisnes vispārējā vienādojuma pārveidošana vienādojumā ar slīpumu un otrādi, kā arī atlikušo taisnes parametru noteikšana atbilstoši dotajiem nosacījumiem.

Kas mums pietrūkst, lai atrisinātu problēmas, kurām šī lapa ir veltīta?

1. Formulas viena no leņķiem starp divām krustojošām taisnēm aprēķināšanai.

Ja mums ir divas taisnas līnijas, kuras nosaka vienādojumi:

tad vienu no leņķiem aprēķina šādi:

2. Taisnes līnijas vienādojums ar slīpumu, kas iet caur noteiktu punktu

No 1. formulas mēs varam redzēt divus pierobežas stāvokļus

a) kad tad un tāpēc šīs divas dotās taisnes ir paralēlas (vai sakrīt)

b) kad , Tad , Un tāpēc šīs līnijas ir perpendikulāras, tas ir, tās krustojas taisnā leņķī.

Kādi var būt sākotnējie dati šādu problēmu risināšanai, izņemot doto taisni?

Punkts uz taisnes un leņķis, kurā otrā taisne to krusto

Otrais taisnes vienādojums

Kādus uzdevumus robots var atrisināt?

1. Ir dotas divas taisnes (tieši vai netieši, piemēram, ar diviem punktiem). Aprēķiniet krustošanās punktu un leņķus, kuros tie krustojas.

2. Dota viena taisne, punkts uz taisnes un viens leņķis. Nosakiet taisnes vienādojumu, kas krusto doto līniju noteiktā leņķī

Piemēri

Ar vienādojumiem tiek dotas divas taisnas līnijas. Atrodiet šo līniju krustpunktu un leņķus, kuros tās krustojas

līnija_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Mēs iegūstam šādu rezultātu

Pirmās rindas vienādojums

y = 2,2 x + (1,2)

Otrās rindas vienādojums

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Divu līniju krustošanās leņķis (grādos)

-42.357454705937

Divu līniju krustpunkts

x=-3,5

y=-6,5

Neaizmirstiet, ka abu rindu parametri ir atdalīti ar komatu, bet katras rindas parametri ir atdalīti ar semikolu.

Līnija iet caur diviem punktiem (1:-4) un (5:2) . Atrodiet taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu (-2:-8) un krusto sākotnējo līniju 30 grādu leņķī.

Mums ir zināma viena taisne, jo ir zināmi divi punkti, caur kuriem tā iet.

Atliek noteikt otrās taisnes vienādojumu. Mums ir zināms viens punkts, un otrā vietā tiek norādīts leņķis, kurā pirmā līnija krustojas ar otro.

Viss it kā zināms, bet galvenais šeit nemaldīties. Mēs runājam par leņķi (30 grādi) nevis starp x asi un līniju, bet gan starp pirmo un otro līniju.

Šim nolūkam mēs publicējam šādi. Noteiksim pirmās rindas parametrus un noskaidrosim, kādā leņķī tā krustojas ar x asi.

līnija xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Vispārīgais vienādojums Ax+By+C = 0

Koeficients A = -6

Faktors B = 4

Koeficients C = 22

Koeficients a= 3,666666666667

Koeficients b = -5,5

Koeficients k = 1,5

Slīpuma leņķis pret asi (grādos) f = 56,309932474019

Koeficients p = 3,0508510792386

Koeficients q = 2,5535900500422

Attālums starp punktiem=7,211102550928

Mēs redzam, ka pirmā līnija šķērso asi leņķī 56,309932474019 grādi.

Avota dati precīzi nenorāda, kā otrā līnija krustojas ar pirmo. Galu galā ir iespējams novilkt divas līnijas, kas atbilst nosacījumiem, no kurām pirmā ir pagriezta par 30 grādiem pulksteņrādītāja virzienā, bet otrā - par 30 grādiem pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Saskaitīsim tos

Ja otrā līnija tiek pagriezta par 30 grādiem PRET pulksteņrādītāja virzienu, tad otrajai līnijai būs krustošanās pakāpe ar x asi 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 grādiem

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Taisnās līnijas parametri atbilstoši dotajiem parametriem

Vispārīgais vienādojums Ax+By+C = 0

Koeficients A = 23,011106998916

Faktors B = -1,4840558255286

Koeficients C = 34,149767393603

Taisnes vienādojums posmos x/a+y/b = 1

Koeficients a= -1,4840558255286

Koeficients b = 23,011106998916

Taisnes vienādojums ar leņķa koeficientu y = kx + b

Koeficients k = 15,505553499458

Slīpuma leņķis pret asi (grādos) f = 86,309932474019

Taisnes x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 normāls vienādojums

Koeficients p = -1,4809790664999

Koeficients q = 3,0771888256405

Attālums starp punktiem=23,058912962428

Attālums no punkta līdz līnijai li =

tas ir, mūsu otrās rindas vienādojums ir y= 15,505553499458x+ 23.011106998916