Ո՞ր կետում է ֆունկցիայի ածանցյալը բացասական: Ֆունկցիայի ածանցյալ. Ֆունկցիայի ածանցյալի նշանակությունը

Բ9 խնդիրում տրված է ֆունկցիայի կամ ածանցյալի գրաֆիկ, որից պահանջվում է որոշել հետևյալ մեծություններից մեկը.

1. Ածանցյալի արժեքը ինչ-որ կետում x 0,
2. Բարձր կամ ցածր կետեր (ծայրահեղ կետեր),
3. Աճող և նվազող ֆունկցիաների ինտերվալներ (միապաղաղության ինտերվալներ):

Այս խնդրի մեջ ներկայացված գործառույթներն ու ածանցյալները միշտ շարունակական են, ինչը մեծապես հեշտացնում է լուծումը։ Չնայած այն հանգամանքին, որ առաջադրանքը պատկանում է մաթեմատիկական վերլուծության բաժնին, այն բավականին թույլ է նույնիսկ ամենաթույլ ուսանողներին, քանի որ չկան խորը տեսական գիտելիքներայստեղ պարտադիր չէ:

Ածանցյալի, ծայրահեղ կետերի և միապաղաղության միջակայքերի արժեքը գտնելու համար կան պարզ և. ունիվերսալ ալգորիթմներ- դրանք բոլորը կքննարկվեն ստորև:

Ուշադիր կարդացեք B9 խնդրի վիճակը, որպեսզի հիմար սխալներ թույլ չտաք. երբեմն բավական ծավալուն տեքստեր են հանդիպում, բայց կան մի քանի կարևոր պայմաններ, որոնք ազդում են լուծման ընթացքի վրա:

Ածանցյալի արժեքի հաշվարկ. Երկու կետի մեթոդ

Եթե ​​խնդրին տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը շոշափում է այս գրաֆիկին ինչ-որ կետում x 0, և պահանջվում է գտնել ածանցյալի արժեքը այս կետում, ապա կիրառվում է հետևյալ ալգորիթմը.

1. Գտեք շոշափող գրաֆիկի երկու «համարժեք» կետ. դրանց կոորդինատները պետք է լինեն ամբողջ թվեր: Նշենք այս կետերը որպես A (x 1 ; y 1) և B (x 2 ; y 2): Գրեք կոորդինատները ճիշտ. սա է լուծման առանցքային կետը, և այստեղ ցանկացած սխալ հանգեցնում է սխալ պատասխանի:
2. Իմանալով կոորդինատները՝ հեշտ է հաշվարկել Δx = x 2 − x 1 փաստարկի աճը և Δy = y 2 − y 1 ֆունկցիայի աճը։
3. Ի վերջո, մենք գտնում ենք D = Δy/Δx ածանցյալի արժեքը: Այլ կերպ ասած, դուք պետք է բաժանեք ֆունկցիայի աճը արգումենտի ավելացման վրա, և սա կլինի պատասխանը:

Եվս մեկ անգամ նշում ենք. A և B կետերը պետք է փնտրել հենց շոշափողի վրա, այլ ոչ թե f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա, ինչպես հաճախ է լինում: Շոշափողն անպայման կպարունակի առնվազն երկու այդպիսի կետ, հակառակ դեպքում խնդիրը սխալ է ձևակերպված։

Դիտարկենք A (−3; 2) և B (−1; 6) կետերը և գտե՛ք ավելացումները.
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Գտնենք ածանցյալի արժեքը՝ D = Δy/Δx = 4/2 = 2։

Առաջադրանք. Նկարը ցույց է տալիս y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը և դրան շոշափողը x 0 աբսցիսայի կետում: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x 0 կետում:

Դիտարկենք A (0; 3) և B (3; 0) կետերը, գտե՛ք հավելումները.
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3:

Այժմ մենք գտնում ենք ածանցյալի արժեքը՝ D = Δy/Δx = −3/3 = −1:

Առաջադրանք. Նկարը ցույց է տալիս y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը և դրան շոշափողը x 0 աբսցիսայի կետում: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x 0 կետում:

Դիտարկենք A (0; 2) և B (5; 2) կետերը և գտե՛ք հավելումները.
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0:

Մնում է գտնել ածանցյալի արժեքը՝ D = Δy/Δx = 0/5 = 0։

Վերջին օրինակից կարող ենք ձևակերպել կանոնը. եթե շոշափողը զուգահեռ է OX առանցքին, ապա շփման կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի: Այս դեպքում դուք նույնիսկ կարիք չունեք որևէ բան հաշվարկելու, պարզապես նայեք գրաֆիկին:

Բարձր և ցածր միավորների հաշվարկ

Երբեմն B9 խնդրի ֆունկցիայի գրաֆիկի փոխարեն տրվում է ածանցյալ գրաֆիկ և պահանջվում է գտնել ֆունկցիայի առավելագույն կամ նվազագույն կետը։ Այս սցենարում երկու կետանոց մեթոդն անօգուտ է, բայց կա մեկ այլ, նույնիսկ ավելի պարզ ալգորիթմ: Նախ, եկեք սահմանենք տերմինաբանությունը.

1. x 0 կետը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետ, եթե այս կետի մոտակայքում գործում է հետևյալ անհավասարությունը. f(x 0) ≥ f(x):
2. x 0 կետը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի նվազագույն կետ, եթե այս կետի որոշ հարևանությամբ գործում է հետևյալ անհավասարությունը. f(x 0) ≤ f(x):

Ածանցյալի գրաֆիկի առավելագույն և նվազագույն կետերը գտնելու համար բավական է կատարել հետևյալ քայլերը.

1. Վերագծեք ածանցյալի գրաֆիկը՝ հեռացնելով բոլոր ավելորդ տեղեկությունները: Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, լրացուցիչ տվյալները միայն խանգարում են լուծմանը: Հետևաբար, մենք նշում ենք ածանցյալի զրոները կոորդինատային առանցքի վրա - և վերջ:
2. Գտե՛ք ածանցյալի նշանները զրոների միջև ընկած միջակայքերի վրա: Եթե ​​x 0 կետի համար հայտնի է, որ f'(x 0) ≠ 0, ապա հնարավոր է միայն երկու տարբերակ. f'(x 0) ≥ 0 կամ f'(x 0) ≤ 0: Ածանցյալի նշանն է. հեշտ է որոշել սկզբնական գծագրից. եթե ածանցյալ գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքի վերևում, ապա f'(x) ≥ 0: Ընդհակառակը, եթե ածանցյալ գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքից ցածր, ապա f'(x) ≤ 0:
3. Կրկին ստուգում ենք ածանցյալի զրոներն ու նշանները։ Այնտեղ, որտեղ նշանը փոխվում է մինուսից պլյուսի, կա նվազագույն կետ: Եվ հակառակը, եթե ածանցյալի նշանը գումարածից մինուս է փոխվում, սա առավելագույն կետն է: Հաշվելը միշտ կատարվում է ձախից աջ:

Այս սխեման աշխատում է միայն շարունակական գործառույթների համար. B9-ում ուրիշներ չկան:

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−5; 5]։ Գտե՛ք այս հատվածի f(x) ֆունկցիայի նվազագույն կետը:

Ազատվենք ավելորդ տեղեկություններից՝ կթողնենք միայն սահմանները [−5; 5] և x = −3 և x = 2,5 ածանցյալի զրոները։ Ուշադրություն դարձրեք նաև նշաններին.

Ակնհայտորեն, x = −3 կետում ածանցյալի նշանը մինուսից փոխվում է գումարածի։ Սա նվազագույն կետն է։

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−3; 7]։ Գտե՛ք այս հատվածի f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետը:

Եկեք վերագծենք գրաֆիկը՝ թողնելով միայն սահմանները [−3; 7] և x = −1,7 և x = 5 ածանցյալի զրոները: Ստացված գրաֆիկի վրա նշե՛ք ածանցյալի նշանները: Մենք ունենք:

Ակնհայտ է, որ x = 5 կետում ածանցյալի նշանը փոխվում է գումարածից մինուս - սա առավելագույն կետն է:

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−6; չորս]. Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետերի թիվը, որոնք պատկանում են [−4; 3]։

Խնդրի պայմաններից բխում է, որ բավական է դիտարկել գրաֆիկի միայն հատվածը սահմանափակված [−4; 3]։ Հետեւաբար, մենք կառուցում ենք նոր ժամանակացույց, որի վրա նշում ենք միայն սահմանները [−4; 3] և դրա ներսում գտնվող ածանցյալի զրոները: Մասնավորապես, x = −3,5 և x = 2 կետերը: Ստանում ենք.

Այս գրաֆիկի վրա կա միայն մեկ առավելագույն կետ x = 2: Հենց դրանում է ածանցյալի նշանը գումարածից մինուսի փոխվում:

Փոքր նշում ոչ ամբողջ թվային կոորդինատներով կետերի մասին: Օրինակ, վերջին խնդիրում դիտարկվել է x = −3,5 կետը, բայց նույն հաջողությամբ կարող ենք վերցնել x = −3,4։ Եթե ​​խնդիրը ճիշտ է գրված, ապա նման փոփոխությունները չպետք է ազդեն պատասխանի վրա, քանի որ կետերը «առանց որոշակի տեղբնակության վայր» անմիջականորեն չեն մասնակցում խնդրի լուծմանը։ Իհարկե, ամբողջ միավորներով նման հնարքը չի աշխատի։

Գտեք ֆունկցիայի աճի և նվազման միջակայքերը

Նման խնդրի դեպքում, ինչպես առավելագույնի և նվազագույնի կետերը, առաջարկվում է գտնել տարածքներ, որտեղ ֆունկցիան ինքնին մեծանում կամ նվազում է ածանցյալի գրաֆիկից։ Նախ, եկեք սահմանենք, թե ինչ է աճող և նվազող.

1. F(x) ֆունկցիան կոչվում է մեծացող հատվածի վրա, եթե այս հատվածի x 1 և x 2 կետերի համար պնդումը ճիշտ է. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2): Այլ կերպ ասած, որքան մեծ է արգումենտի արժեքը, այնքան մեծ է ֆունկցիայի արժեքը։
2. F(x) ֆունկցիան կոչվում է հատվածի վրա նվազող, եթե այս հատվածի x 1 և x 2 ցանկացած երկու կետերի համար պնդումը ճիշտ է. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2): Նրանք. ավելի մեծ արժեքարգումենտը համապատասխանում է ֆունկցիայի փոքր արժեքին:

Մենք ձևավորում ենք բավարար պայմաններ ավելացման և նվազման համար.

1. Որպեսզի f(x) շարունակական ֆունկցիան մեծանա հատվածի վրա, բավական է, որ դրա ածանցյալը հատվածի ներսում լինի դրական, այսինքն. f'(x) ≥ 0:
2. Որպեսզի f(x) շարունակական ֆունկցիան նվազի հատվածի վրա, բավական է, որ դրա ածանցյալը հատվածի ներսում լինի բացասական, այսինքն. f'(x) ≤ 0:

Մենք ընդունում ենք այս պնդումներն առանց ապացույցների։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք աճի և նվազման միջակայքերը գտնելու սխեմա, որը շատ առումներով նման է ծայրահեղ կետերի հաշվարկման ալգորիթմին.

1. Հեռացրեք բոլոր ավելորդ տեղեկությունները: Ածանցյալի սկզբնական գրաֆիկում մեզ հիմնականում հետաքրքրում են ֆունկցիայի զրոները, ուստի թողնում ենք միայն դրանք:
2. Նշի՛ր ածանցյալի նշանները զրոների միջև ընկած ընդմիջումներով: Այնտեղ, որտեղ f'(x) ≥ 0, ֆունկցիան մեծանում է, իսկ որտեղ f'(x) ≤ 0, այն նվազում է: Եթե ​​խնդիրը սահմանափակումներ ունի x փոփոխականի վրա, մենք լրացուցիչ նշում ենք դրանք նոր գծապատկերում:
3. Այժմ, երբ մենք գիտենք ֆունկցիայի վարքագիծը և սահմանափակումը, մնում է հաշվարկել անհրաժեշտ արժեքը խնդրի մեջ:

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−3; 7.5]: Գտե՛ք f(x) նվազող ֆունկցիայի միջակայքերը։ Ձեր պատասխանում գրեք այս միջակայքում ներառված ամբողջ թվերի գումարը:

Ինչպես միշտ, մենք վերագծում ենք գրաֆիկը և նշում ենք սահմանները [−3; 7.5], ինչպես նաև x = −1.5 և x = 5.3 ածանցյալի զրոները։ Այնուհետեւ նշում ենք ածանցյալի նշանները։ Մենք ունենք:

Քանի որ ածանցյալը (− 1.5) միջակայքի վրա բացասական է, սա նվազող ֆունկցիայի միջակայքն է։ Մնում է գումարել բոլոր այն ամբողջ թվերը, որոնք գտնվում են այս միջակայքում.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−10; չորս]. Գտե՛ք f(x) մեծացող ֆունկցիայի միջակայքերը: Ձեր պատասխանում գրեք դրանցից ամենամեծի երկարությունը։

Ազատվենք ավելորդ տեղեկատվությունից։ Մենք թողնում ենք միայն սահմանները [−10; 4] և ածանցյալի զրոները, որոնք այս անգամ չորսն են՝ x = −8, x = −6, x = −3 և x = 2։ Նշե՛ք ածանցյալի նշանները և ստացե՛ք հետևյալ պատկերը.

Մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի աճի միջակայքերը, այսինքն. որտեղ f'(x) ≥ 0: Գրաֆիկի վրա կա երկու այդպիսի միջակայք՝ (−8; −6) և (−3; 2): Հաշվենք դրանց երկարությունը.
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5:

Քանի որ պահանջվում է գտնել ընդմիջումներից ամենամեծի երկարությունը, մենք ի պատասխան գրում ենք l 2 = 5 արժեքը:

Ֆունկցիոնալ հետազոտություն. Այս հոդվածում մենք կխոսենք առաջադրանքների մասին, որոնցում հաշվի են առնվում գործառույթները և առկա են դրանց ուսումնասիրության հետ կապված հարցեր: Հաշվի առեք այն հիմնական տեսական կետերը, որոնք դուք պետք է իմանաք և հասկանաք դրանք լուծելու համար:

այն ամբողջ խումբըմաթեմատիկայի քննության մեջ ներառված առաջադրանքներ. Սովորաբար հարց է բարձրացվում տվյալ միջակայքում ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետերը գտնելու կամ ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը որոշելու մասին։Համարվել է.

— Ուժ և իռացիոնալ ֆունկցիաներ:

- Ռացիոնալ գործառույթներ:

— Աշխատանքների ուսումնասիրություն և մասնավոր.

- Լոգարիթմական ֆունկցիաներ:

- Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

Եթե ​​դուք հասկանում եք սահմանների տեսությունը, ածանցյալ հասկացությունը, ֆունկցիաների գրաֆիկներն ուսումնասիրելու ածանցյալի հատկությունները և դրա հատկությունները, ապա նման խնդիրները ձեզ ոչ մի դժվարություն չեն պատճառի և դուք հեշտությամբ կլուծեք դրանք:

Ստորև բերված տեղեկատվությունը տեսական կետեր է, որոնց ըմբռնումը թույլ կտա հասկանալ, թե ինչպես լուծել նման խնդիրները: Ես կփորձեմ դրանք արձանագրել այնպես, որ նույնիսկ նրանք, ովքեր բաց են թողել այս թեման կամ վատ են ուսումնասիրել, առանց մեծ դժվարության լուծել նման խնդիրները։

Այս խմբի խնդիրներում, ինչպես արդեն նշվեց, պահանջվում է գտնել կամ ֆունկցիայի նվազագույն (առավելագույն) կետը, կամ ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը միջակայքի վրա։

Նվազագույն և առավելագույն միավորներ.Ածանցյալ հատկություններ.

Դիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը.

A կետը առավելագույն կետն է, O-ից A միջակայքում ֆունկցիան մեծանում է, A-ից B միջակայքում նվազում է:

B կետը նվազագույն կետ է, A-ից B միջակայքում ֆունկցիան նվազում է, B-ից C միջակայքում այն ​​մեծանում է:

Այս կետերում (A և B) ածանցյալը անհետանում է (հավասար է զրոյի):

Այս կետերում շոշափողները զուգահեռ են առանցքին եզ.

Ավելացնեմ, որ այն կետերը, որոնց դեպքում ֆունկցիան փոխում է իր վարքագիծը մեծացումից նվազման (և հակառակը՝ նվազումից դեպի աճող) կոչվում են ծայրահեղություններ։

Կարևոր կետ.

1. Աճող միջակայքերի ածանցյալը դրական նշան ունի (nԻնտերվալից արժեքը ածանցյալի մեջ փոխարինելիս ստացվում է դրական թիվ):

Սա նշանակում է, որ եթե ածանցյալը որոշակի կետում որոշակի ընդմիջումից ունի դրական արժեք, ապա այս ինտերվալի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծանում է։

2. Նվազման միջակայքերի վրա ածանցյալն ունի բացասական նշան (միջակայքից արժեքը ածանցյալ արտահայտության մեջ փոխարինելիս ստացվում է բացասական թիվ)։

Այսպիսով, եթե որոշակի ինտերվալից որոշակի կետում ածանցյալը բացասական արժեք ունի, ապա այս ինտերվալի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը նվազում է:

Սա պետք է հստակեցնել!

Այսպիսով, հաշվարկելով ածանցյալը և հավասարեցնելով այն զրոյի, կարող եք գտնել կետեր, որոնք իրական առանցքը բաժանում են միջակայքերի:Այս ընդմիջումներից յուրաքանչյուրում կարող եք որոշել ածանցյալի նշանը, ապա եզրակացություն անել դրա ավելացման կամ նվազման մասին:

* Առանձին-առանձին պետք է ասել այն կետերի մասին, որոնցում ածանցյալը գոյություն չունի։ Օրինակ, մենք կարող ենք ստանալ ածանցյալ, որի հայտարարը անհետանում է որոշակի x-ում: Պարզ է, որ նման x-ի համար ածանցյալ գոյություն չունի։ Այսպիսով, այս կետը նույնպես պետք է հաշվի առնել աճի (նվազման) միջակայքերը որոշելիս։

Գործառույթը այն կետերում, որտեղ ածանցյալը հավասար է զրոյի, միշտ չէ, որ փոխում է իր նշանը: Սա կլինի առանձին հոդված. Բուն USE-ում նման առաջադրանքներ չեն լինի:

Վերոնշյալ հատկությունները անհրաժեշտ են ֆունկցիայի վարքագիծը մեծացման և նվազման ժամանակ ուսումնասիրելու համար:

Էլ ի՞նչ պետք է իմանաք նշված խնդիրները լուծելու համար՝ ածանցյալների աղյուսակ և տարբերակման կանոններ: Առանց սրա ոչինչ։ այն հիմնական գիտելիք, ածանցյալի թեմայում։ Դուք պետք է շատ լավ իմանաք տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները։

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի հաշվարկզ(է(x)), պատկերացրեք գործառույթըէ(x) փոփոխական է, այնուհետև հաշվարկել ածանցյալըզ’(է(x)) աղյուսակային բանաձևերով՝ որպես փոփոխականի սովորական ածանցյալ: Այնուհետև արդյունքը բազմապատկեք ֆունկցիայի ածանցյալովէ(x) .

Դիտեք Մաքսիմ Սեմենիխինի վիդեո ձեռնարկը բարդ ֆունկցիայի մասին.

Առավելագույն և նվազագույն միավորներ գտնելու խնդիրներ

Ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետերը գտնելու ալգորիթմը.

1.Գտի՛ր ֆունկցիայի ածանցյալը զ’(x).

2. Գտե՛ք ածանցյալի զրոները (ածանցյալը զրոյի հավասարեցնելով զ’(x)=0 և լուծիր ստացված հավասարումը): Մենք նաև գտնում ենք կետեր, որտեղ ածանցյալը գոյություն չունի(մասնավորապես, խոսքը վերաբերում է կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաներին)։

3. Ստացված արժեքները նշում ենք թվային տողի վրա և որոշում ենք ածանցյալի նշանները այս ընդմիջումներով՝ արժեքները միջակայքներից փոխարինելով ածանցյալ արտահայտության մեջ:

Արդյունքը կլինի երկուսից մեկը.

1. Առավելագույն միավորը կետն էորոնցում ածանցյալը դրականից փոխվում է բացասականի։

2. Նվազագույն միավորը կետն էորոնցում ածանցյալը բացասականից փոխվում է դրականի։

Ամենամեծ կամ ամենափոքր արժեքը գտնելու խնդիրներ

գործում է ընդմիջումով:

Մեկ այլ տեսակի խնդրի դեպքում պահանջվում է գտնել ամենամեծ կամ ամենափոքր արժեքըգործում է տվյալ միջակայքում:

Ամենամեծ (ամենափոքր) ֆունկցիայի արժեքը գտնելու ալգորիթմը.

1. Որոշեք, արդյոք կան առավելագույն (նվազագույն) միավորներ: Դա անելու համար մենք գտնում ենք ածանցյալը զ’(x) , ապա լուծել զ’(x)=0 (նախորդ ալգորիթմից 1-ին և 2-րդ կետերը):

2. Որոշում ենք, թե արդյոք ստացված միավորները պատկանում են տվյալ ինտերվալին և գրում ենք դրա ներսում ընկածները։

3. Բնօրինակ ֆունկցիայի մեջ (ոչ թե ածանցյալի, այլ պայմանի մեջ տրվածի) փոխարինում ենք տվյալ միջակայքի սահմանները և միջակայքում գտնվող կետերը (առավելագույնը-նվազագույնը) (կետ 2):

4. Մենք հաշվարկում ենք ֆունկցիայի արժեքները։

5. Ստացվածներից ընտրում ենք ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը՝ կախված նրանից, թե առաջադրանքում ինչ հարց է տրված, ապա գրում պատասխանը։

Հարց. Ինչու՞ է անհրաժեշտ առավելագույն (նվազագույն) միավորներ փնտրել ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը գտնելու խնդիրներում:

Պատասխանը լավագույնս պատկերված է, տես ֆունկցիաների կողմից տրված գրաֆիկների սխեմատիկ ներկայացումը.

1-ին և 2-րդ դեպքերում բավական է փոխարինել միջակայքի սահմանները՝ ֆունկցիայի առավելագույն կամ նվազագույն արժեքը որոշելու համար։ 3-րդ և 4-րդ դեպքերում անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի զրոները (առավելագույն-նվազագույն կետեր): Եթե ​​փոխարինենք միջակայքի սահմանները (առանց ֆունկցիայի զրոները գտնելու), ապա սխալ պատասխան կստանանք, դա երևում է գրաֆիկներից։

Եվ բանն այն է, որ մենք չենք կարող տեսնել, թե ինչպես է գծապատկերը երևում ինտերվալի վրա (արդյոք այն ունի առավելագույն կամ նվազագույն միջակայքում)՝ օգտագործելով տվյալ ֆունկցիան։ Հետևաբար, առանց ձախողման գտե՛ք ֆունկցիայի զրոները!!!

Եթե ​​հավասարումը զ'(x)=0 լուծում չի ունենա, սա նշանակում է, որ չկան առավելագույն-նվազագույն միավորներ (Նկար 1.2), և առաջադրանքը գտնելու համար այս ֆունկցիայի մեջ փոխարինվում են միայն միջակայքի սահմանները:

Մեկ այլ կարևոր կետ. Հիշեք, որ պատասխանը պետք է լինի ամբողջ կամ վերջավոր տասնորդական. Ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը հաշվարկելիս կստանաք e և pi թվերով արտահայտություններ, ինչպես նաև արմատ ունեցող արտահայտություններ։ Հիշեք, որ դրանք մինչև վերջ հաշվարկել պետք չէ, և պարզ է, որ նման արտահայտությունների արդյունքը պատասխան չի լինի։ Եթե ​​ցանկություն կա հաշվարկել նման արժեք, ապա արեք դա (թվեր՝ e ≈ 2.71 Pi ≈ 3.14):

Շատ եմ գրել, հավանաբար շփոթե՞լ եմ: Կոնկրետ օրինակներով դուք կտեսնեք, որ ամեն ինչ պարզ է։

Հաջորդը, ես ուզում եմ ձեզ մի փոքրիկ գաղտնիք պատմել. Փաստն այն է, որ շատ խնդիրներ կարելի է լուծել առանց ածանցյալի հատկությունների իմացության և նույնիսկ առանց տարբերակման կանոնների։ Ես անպայման կպատմեմ ձեզ այս նրբերանգների մասին և ցույց կտամ, թե ինչպես է դա արվում: մի կարոտեք!

Բայց հետո ինչու ես ընդհանրապես տեսությունը շարադրեցի և նաև ասացի, որ դա անպայման պետք է իմանա։ Դա ճիշտ է, դուք պետք է իմանաք: Եթե ​​դուք դա հասկանում եք, ապա այս թեմայում ոչ մի առաջադրանք ձեզ չի շփոթեցնի։

Այդ «հնարքները», որոնց մասին դուք կսովորեք, կօգնեն ձեզ լուծել կոնկրետ (որոշ) նախատիպային խնդիրներ: ԴեպիՈրպես լրացուցիչ գործիք, այս տեխնիկան, իհարկե, հարմար է օգտագործման համար: Խնդիրը կարելի է լուծել 2-3 անգամ ավելի արագ և ժամանակ խնայել Գ մասի լուծման համար։

Ամենայն բարիք։

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ։

P.S. Ես շնորհակալ կլինեմ, եթե ինձ ասեք կայքի մասին սոցիալական ցանցերում:

Երկրաչափական իմաստի մասին շատ տեսություններ են գրվել։ Ես չեմ մտնի ֆունկցիայի աճի ածանցման մեջ, ես ձեզ կհիշեցնեմ առաջադրանքները կատարելու հիմնականը.

x-ի ածանցյալն է անկյունային գործակիցԱյս կետում y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող, այսինքն՝ այն X առանցքի թեքության անկյան շոշափումն է:

Եկեք անմիջապես վերցնենք առաջադրանքը քննությունից և սկսենք հասկանալ այն.

Առաջադրանք թիվ 1. Նկարը ցույց է տալիսֆունկցիայի գրաֆիկ y = f(x) և դրա շոշափողը x0 աբսցիսով կետում: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x0 կետում:
Ով շտապում է և չի ուզում հասկանալ բացատրությունները.կառուցել ցանկացած նման եռանկյունի (ինչպես ցույց է տրված ստորև) և կանգնած կողմը (ուղղահայաց) բաժանել պառկածին (հորիզոնական) և երջանիկ կլինես, եթե չմոռանաս նշանի մասին (եթե ուղիղ գիծը փոքրանա (→ ↓), ապա պատասխանը պետք է լինի մինուսով, եթե ուղիղ գիծը մեծանում է (→), ապա պատասխանը պետք է լինի դրական:

Դուք պետք է գտնեք շոշափողի և X առանցքի միջև ընկած անկյունը, եկեք այն անվանենք α. մենք X առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ ենք գծում գրաֆիկի շոշափողի միջով ցանկացած կետում, ստանում ենք նույն անկյունը:

Ավելի լավ է չվերցնենք x0 կետը, քանի որ Ձեզ անհրաժեշտ կլինի մեծ խոշորացույց՝ ճշգրիտ կոորդինատները որոշելու համար:

Վերցնելով ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյուն (նկարում առաջարկված է 3 տարբերակ), մենք գտնում ենք tgα (անկյունները հավասար են, ինչպես համապատասխան), այսինքն. մենք ստանում ենք f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը x0 կետում: Ինչու այդպես?

Եթե ​​շոշափողներ գծենք այլ x2, x1 և այլն կետերում։ շոշափողները տարբեր կլինեն:

Եկեք վերադառնանք 7-րդ դասարան՝ ուղիղ գիծ կառուցելու համար։

Ուղիղ գծի հավասարումը տրվում է y = kx + b հավասարմամբ, որտեղ

k - թեքություն X առանցքի նկատմամբ:

b-ը Y առանցքի հետ հատման կետի և սկզբնակետի միջև հեռավորությունն է:

Ուղիղ գծի ածանցյալը միշտ նույնն է՝ y" = k:

Գծի որ կետում էլ վերցնենք ածանցյալը, այն անփոփոխ կլինի:

Ուստի մնում է միայն գտնել tgα (ինչպես վերը նշվեց. կանգնած կողմը բաժանում ենք պառկած կողմի վրա)։ Մենք հակառակ ոտքը բաժանում ենք հարևանով, ստանում ենք k \u003d 0,5: Սակայն, եթե գրաֆիկը նվազում է, ապա գործակիցը բացասական է՝ k = −0,5:

Խորհուրդ եմ տալիս ստուգել երկրորդ ճանապարհը.
Երկու կետ կարող է օգտագործվել ուղիղ գիծ սահմանելու համար: Գտեք ցանկացած երկու կետի կոորդինատները: Օրինակ՝ (-2;-2) և (2;-4):

Փոխարինեք y = kx + b հավասարման մեջ y և x կետերի կոորդինատները.

-2 = -2k + բ

Լուծելով այս համակարգը՝ ստանում ենք b = −3, k = −0,5

Եզրակացություն. Երկրորդ մեթոդն ավելի երկար է, բայց դրանում դուք չեք մոռանա նշանի մասին:

Պատասխան՝ - 0,5

Առաջադրանք թիվ 2. Նկարը ցույց է տալիս ածանցյալ գրաֆիկ f(x) ֆունկցիաները: X առանցքի վրա նշված է ութ կետ՝ x1, x2, x3, ..., x8: Այս կետերից քանի՞սն են գտնվում f(x) ֆունկցիայի աճող միջակայքերի վրա:

Եթե ​​ֆունկցիայի գրաֆիկը նվազում է, ածանցյալը բացասական է (և հակառակը):

Եթե ​​ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծանում է, ապա ածանցյալը դրական է (և հակառակը):

Այս երկու արտահայտությունները կօգնեն ձեզ որոշել մեծ մասըառաջադրանքներ.

Ուշադիր նայեք Ձեզ տրվում է ածանցյալի կամ ֆունկցիայի նկար, այնուհետև ընտրեք երկու արտահայտություններից մեկը:

Մենք կառուցում ենք ֆունկցիայի սխեմատիկ գրաֆիկը: Որովհետեւ մեզ տրվում է ածանցյալի գրաֆիկը, ապա որտեղ այն բացասական է, ֆունկցիայի գրաֆիկը նվազում է, որտեղ դրական է՝ մեծանում է։

Ստացվում է, որ 3 միավոր ընկած է աճի տարածքների վրա. x4; x5; x6.

Պատասխան՝ 3

Առաջադրանք թիվ 3. f(x) ֆունկցիան սահմանվում է (-6; 4) միջակայքում: Նկարը ցույց է տալիս դրա ածանցյալի գրաֆիկը. Գտե՛ք այն կետի աբսցիսան, որտեղ ֆունկցիան ստանում է ամենամեծ արժեքը:

Խորհուրդ եմ տալիս միշտ կառուցել, թե ինչպես է ընթանում ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ նման սլաքներով կամ սխեմատիկ նշաններով (ինչպես թիվ 4-ում և 5-ում).

Ակնհայտ է, որ եթե գրաֆիկը մեծանում է մինչև -2, ապա առավելագույն կետը -2 է:

Պատասխան՝ -2

Առաջադրանք թիվ 4. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը և x առանցքի տասներկու կետերը՝ x1, x2, ..., x12: Այս կետերից քանիսում է ֆունկցիայի ածանցյալը բացասական:

Առաջադրանքը հակադարձ է, հաշվի առնելով ֆունկցիայի գրաֆիկը, դուք պետք է սխեմատիկորեն կառուցեք, թե ինչպիսին կլինի ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը և հաշվարկեք, թե քանի կետ կլինի բացասական միջակայքում:

Դրական՝ x1, x6, x7, x12:

Բացասական՝ x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11:

Պատասխան՝ 7

Մեկ այլ տեսակի առաջադրանք, երբ հարցնում են ինչ-որ սարսափելի «ծայրահեղությունների» մասին: Ձեզ համար դժվար չի լինի գտնել, թե դա ինչ է, բայց ես կբացատրեմ գրաֆիկների համար։

Առաջադրանք թիվ 5. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է (-16; 6) միջակայքում: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերի թիվը [-11; 5]։

Ուշադրություն դարձրեք -11-ից 5-ի միջակայքին:

Մեր պայծառ աչքերը դարձնենք դեպի ափսե՝ տրված է ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը => ապա ծայրահեղությունները X առանցքի հետ հատման կետերն են։

Պատասխան՝ 3

Առաջադրանք թիվ 6. Նկարը ցույց է տալիս f (x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է (-13; 9) միջակայքում: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետերի թիվը [-12; 5]։

Ուշադրություն դարձրեք -12-ից 5-ի միջակայքին:

Թիթեղին կարելի է նայել մեկ աչքով, առավելագույն կետը ծայրահեղություն է, այնպես, որ դրանից առաջ ածանցյալը դրական է (գործառույթը մեծանում է), իսկ դրանից հետո ածանցյալը բացասական է (ֆունկցիան նվազում է): Այս կետերը շրջագծված են:

Սլաքները ցույց են տալիս, թե ինչպես է իրեն պահում ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Պատասխան՝ 3

Առաջադրանք թիվ 7. Նկարը ցույց է տալիս (-7; 5) միջակայքում սահմանված f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գտե՛ք այն կետերի թիվը, որտեղ f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է 0-ի։

Դուք կարող եք դիտել վերը նշված աղյուսակը (ածանցյալը զրո է, ինչը նշանակում է, որ դրանք ծայրահեղ կետեր են): Եվ այս խնդրի մեջ տրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը, ինչը նշանակում է, որ պետք է գտնել թեքման կետերի քանակը!

Եվ դուք կարող եք, ինչպես միշտ, մենք կառուցում ենք ածանցյալի սխեմատիկ գրաֆիկը:

Ածանցյալը զրո է, երբ ֆունկցիաների գրաֆիկը փոխում է իր ուղղությունը (մեծացումից նվազման և հակառակը)

Պատասխան՝ 8

Առաջադրանք թիվ 8. Նկարը ցույց է տալիս ածանցյալ գրաֆիկ(-2; 10) միջակայքում սահմանված f(x) ֆունկցիան: Գտեք ֆունկցիայի մեծացման միջակայքերը f(x). Ձեր պատասխանում նշեք այս ընդմիջումներում ներառված ամբողջ միավորների գումարը:

Եկեք կառուցենք ֆունկցիայի սխեմատիկ գրաֆիկը.

Այնտեղ, որտեղ այն մեծանում է, մենք ստանում ենք 4 ամբողջ միավոր՝ 4 + 5 + 6 + 7 = 22:

Պատասխան՝ 22

Առաջադրանք թիվ 9. Նկարը ցույց է տալիս ածանցյալ գրաֆիկ(-6; 6) միջակայքում սահմանված f(x) ֆունկցիան: Գտե՛ք f(x) կետերի թիվը, որտեղ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը զուգահեռ է կամ համընկնում է y = 2x + 13 ուղղին։

Մեզ տրվում է ածանցյալի գրաֆիկ: Սա նշանակում է, որ մեր շոշափողը նույնպես պետք է «թարգմանվի» ածանցյալի։

Շոշափող ածանցյալ՝ y" = 2:

Հիմա եկեք կառուցենք երկու ածանցյալները.

Շոշափողները հատվում են երեք կետով, ուստի մեր պատասխանը 3 է:

Պատասխան՝ 3

Առաջադրանք թիվ 10. Նկարում պատկերված է f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, և նշված են -2, 1, 2, 3 կետերը։Այս կետերից ո՞րում է ածանցյալի արժեքը ամենափոքրը։ Խնդրում ենք ձեր պատասխանում նշել այս կետը:

Առաջադրանքը ինչ-որ չափով նման է առաջինին. ածանցյալի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է մի կետում կառուցել այս գրաֆիկին շոշափող և գտնել k գործակիցը:

Եթե ​​գիծը նվազում է, k< 0.

Եթե ​​գիծը մեծանում է, k > 0:

Եկեք մտածենք, թե ինչպես գործակիցի արժեքը կազդի ուղիղ գծի թեքության վրա.

k = 1 կամ k = − 1 դեպքում գրաֆիկը կլինի մեջտեղում x և y առանցքների միջև:

Որքան ուղիղ գիծը մոտ է X-առանցքին, այնքան k գործակիցը մոտենում է զրոյին:

Որքան մոտ է ուղիղը Y-առանցքին, այնքան k գործակիցը մոտ է անսահմանությանը:

-2 կետում և 1 կ<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>այնտեղ կլինի ածանցյալի ամենափոքր արժեքը

Պատասխան՝ 1

Առաջադրանք թիվ 11. Ուղղը շոշափում է y = 3x + 9 y = x³ + x² + 2x + 8 ֆունկցիայի գրաֆիկին: Գտե՛ք շփման կետի աբսցիսսը:

Գիծը շոշափելի կլինի գրաֆիկին, երբ գրաֆիկները ունենան ընդհանուր կետ, ինչպես նաև դրանց ածանցյալները։ Հավասարեք գրաֆիկների և դրանց ածանցյալների հավասարումները.

Լուծելով երկրորդ հավասարումը, ստանում ենք 2 միավոր։ Ստուգելու համար, թե որն է հարմար, մենք x-երից յուրաքանչյուրը փոխարինում ենք առաջին հավասարման մեջ: Միայն մեկը կանի:

Ես ընդհանրապես չեմ ուզում խորանարդ հավասարում լուծել, այլ քառակուսի` քաղցր հոգու համար:

Ահա թե ինչ գրի առնել ի պատասխան, եթե երկու «նորմալ» պատասխան ստանաք։

Երբ փոխարինում եք x (x) բնօրինակ y \u003d 3x + 9 և y \u003d x³ + x² + 2x + 8 գրաֆիկների մեջ, դուք պետք է ստանաք նույն Y-ը:

y= 1³+1²+2×1+8=12

Ճիշտ! Այսպիսով, x=1 կլինի պատասխանը

Առաջադրանք թիվ 12. y = − 5x − 6 ուղիղը շոշափում է ax² + 5x − 5 ֆունկցիայի գրաֆիկին։ Գտեք մի.

Նմանապես, մենք հավասարեցնում ենք ֆունկցիաները և դրանց ածանցյալները.

Եկեք լուծենք այս համակարգը a և x փոփոխականների նկատմամբ.

Պատասխան՝ 25

Ածանցյալներով առաջադրանքը համարվում է ամենադժվարներից մեկը քննության առաջին մասում, այնուամենայնիվ, փոքր ուշադրությամբ և հարցի ըմբռնմամբ դուք հաջողության կհասնեք և կբարձրացնեք այս առաջադրանքի կատարման տոկոսը:

Ավարտական ​​աշխատանք ք ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ ձևը 11-րդ դասարանցիների համար այն անպայման պարունակում է առաջադրանքներ՝ սահմաններ, ֆունկցիայի ածանցյալի նվազման և մեծացման միջակայքերը, ծայրահեղ կետերը գտնելու և գրաֆիկները գծելու առաջադրանքներ: Այս թեմայի լավ իմացությունը թույլ է տալիս ճիշտ պատասխանել քննության մի քանի հարցերի և դժվարություններ չզգալ հետագա մասնագիտական ​​վերապատրաստման հարցում:

Հիմունքներ դիֆերենցիալ հաշվարկմաթեմատիկայի հիմնական թեմաներից մեկը ժամանակակից դպրոց. Նա ուսումնասիրում է ածանցյալի օգտագործումը փոփոխականների կախվածությունն ուսումնասիրելու համար. հենց ածանցյալի միջոցով կարող եք վերլուծել ֆունկցիայի աճն ու նվազումը՝ առանց գծագրին հղում կատարելու:

Շրջանավարտների համալիր նախապատրաստում համար քննություն հանձնելըվրա կրթական պորտալ«Շկոլկովոն» կօգնի խորապես հասկանալ տարբերակման սկզբունքները՝ մանրամասն հասկանալ տեսությունը, ուսումնասիրել լուծումների օրինակներ։ բնորոշ առաջադրանքներև փորձեք ձեր ուժերը անկախ աշխատանքի մեջ: Մենք կօգնենք ձեզ վերացնել գիտելիքների բացերը՝ պարզաբանել թեմայի բառապաշարային հասկացությունների և քանակների կախվածության ձեր պատկերացումները: Ուսանողները կկարողանան կրկնել, թե ինչպես կարելի է գտնել միապաղաղության միջակայքերը, ինչը նշանակում է ֆունկցիայի ածանցյալի բարձրացում կամ անկում որոշակի ընդմիջումով, երբ սահմանային կետերը ներառված են և չեն ներառվում գտնված միջակայքում:

Նախքան թեմատիկ խնդիրների ուղղակի լուծումը սկսելը, խորհուրդ ենք տալիս նախ գնալ «Տեսական հղում» բաժինը և կրկնել հասկացությունների, կանոնների և աղյուսակային բանաձևերի սահմանումները։ Այստեղ կարող եք նաև կարդալ, թե ինչպես կարելի է գտնել և գրանցել աճող և նվազող ֆունկցիաների յուրաքանչյուր ինտերվալ ածանցյալ գրաֆիկի վրա:

Առաջարկվող ողջ տեղեկատվությունը ներկայացված է առավել մատչելի ձևով՝ գործնականում զրոյից հասկանալու համար։ Կայքը տրամադրում է նյութեր մի քանիսի ընկալման և յուրացման համար տարբեր ձևեր– ընթերցանություն, տեսանյութերի դիտում և անմիջական ուսուցում փորձառու ուսուցիչների ղեկավարությամբ: Պրոֆեսիոնալ մանկավարժներնրանք ձեզ մանրամասն կպատմեն, թե ինչպես կարելի է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալի մեծացման և նվազման միջակայքերը՝ օգտագործելով վերլուծական և գրաֆիկական մեթոդները: Վեբինարների ընթացքում հնարավոր կլինի տալ ցանկացած հետաքրքրող հարց ինչպես տեսական, այնպես էլ կոնկրետ խնդիրների լուծման համար։

Հիշելով թեմայի հիմնական կետերը, դիտեք ֆունկցիայի ածանցյալի մեծացման օրինակները, որոնք նման են քննական տարբերակների առաջադրանքներին։ Սովորածը համախմբելու համար նայեք «Կատալոգին»՝ այստեղ դուք կգտնեք գործնական վարժություններհամար անկախ աշխատանք. Ընտրված են բաժնի առաջադրանքները տարբեր մակարդակներումդժվարություններ հմտությունների զարգացման առումով. Դրանցից յուրաքանչյուրի համար, օրինակ, կցվում են լուծման ալգորիթմներ և ճիշտ պատասխաններ։

Ընտրելով «Կառուցող» բաժինը՝ ուսանողները կկարողանան ուսումնասիրել իրականում ֆունկցիայի ածանցյալի աճն ու նվազումը։ ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ ընտրանքներ, մշտապես թարմացվում է հաշվի առնելով վերջին փոփոխություններըև նորարարություն։

Տրված միջակայքում ֆունկցիան ունի 2 առավելագույն և 2 նվազագույն, ընդհանուր 4 ծայրահեղությունների համար: Առաջադրանք Նկարը ցույց է տալիս ինտերվալի վրա սահմանված ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը: Լուծում Տրված միջակայքում ֆունկցիայի ածանցյալը դրական է, ուստի ֆունկցիան մեծանում է այս միջակայքում: Լուծում Եթե ածանցյալը ինչ-որ կետում հավասար է զրոյի, և իր հարևանությամբ փոխում է նշանը, ապա սա ծայրահեղ կետ է:

Ածանցյալի արժեքի հաշվարկ. Երկու կետի մեթոդ

1. Ուսումնասիրեք ֆունկցիան՝ օգտագործելով ածանցյալի գրաֆիկը: y=f(x) ֆունկցիան նվազում է (x1;x2) և (x3;x4) ընդմիջումներով: Օգտագործելով y=f ‘(x) ածանցյալի գրաֆիկը՝ կարող եք նաև համեմատել y=f(x) ֆունկցիայի արժեքները։

Նշենք այս կետերը որպես A (x1; y1) և B (x2; y2): Ճիշտ գրեք կոորդինատները. սա է լուծման առանցքային կետը, և ցանկացած սխալ այստեղ հանգեցնում է սխալ պատասխանի:

AT ֆիզիկական զգացողությունածանցյալը ցանկացած գործընթացի փոփոխության արագությունն է: Նյութական կետը շարժվում է ուղղագիծ՝ համաձայն x(t) = t²-13t+23 օրենքի, որտեղ x-ը հղման կետից հեռավորությունն է մետրերով, t-ը վայրկյաններով չափված ժամանակն է շարժման սկզբից:

Շոշափող շրջանակի, էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի:

Հիշեցնեմ, որ այն հնչում է այսպես՝ ֆունկցիան կոչվում է մեծացող/նվազող միջակայքում, եթե ֆունկցիայի մեծ արգումենտը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ/փոքր արժեքին։ Բայց նայեք, խնդրում եմ, 7089 խնդրի ձեր լուծումը: Այնտեղ, երբ նշում եք աճի միջակայքերը, սահմանները ներառված չեն: Նշենք, որ տրված է ածանցյալի գրաֆիկը։ Ինչպես միշտ. ծակված կետը չի գտնվում գծապատկերի վրա, դրա արժեքները գոյություն չունեն և հաշվի չեն առնվում: Լավ պատրաստված երեխաները տարբերում են «ածանցյալ» և «երկրորդ ածանցյալ» հասկացությունները: Դուք շփոթում եք. եթե ածանցյալը դարձավ 0, ապա տվյալ կետում ֆունկցիան կարող է ունենալ նվազագույն կամ առավելագույնը: Բացասական արժեքներածանցյալը համապատասխանում է այն միջակայքերին, որոնց վրա նվազում է f(x) ֆունկցիան։

Մինչև այս պահը մենք զբաղվում էինք գրաֆիկների շոշափումների հավասարումներ գտնելով միարժեք գործառույթներ y = f(x) ձևի տարբեր կետերում:

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս երեք իրականում տարբեր հատվածներ (Ա և Բ կետերը տարբեր են), բայց դրանք համընկնում են և տրվում են մեկ հավասարմամբ։ Բայց այնուամենայնիվ, եթե ելնենք սահմանումից, ապա տողը և դրա հատվածային գիծը համընկնում են։ Սկսենք գտնել հպման կետերի կոորդինատները։ Խնդրում ենք ուշադրություն դարձնել դրան, քանի որ հետագայում այն ​​կօգտագործենք հպման կետերի օրդինատները հաշվարկելիս։ Հիպերբոլա, որի կենտրոնը գտնվում է կետում և գագաթներով և տրված է հավասարությամբ (ներքևում գտնվող նկարը ձախ կողմում), իսկ գագաթներով և - հավասարությամբ (ներքևի նկարը աջ կողմում): Տրամաբանական հարց է ծագում, թե ինչպես կարելի է որոշել, թե կետը ֆունկցիաներից որին է պատկանում։ Դրան պատասխանելու համար մենք կոորդինատները փոխարինում ենք յուրաքանչյուր հավասարման մեջ և տեսնում, թե հավասարություններից որն է վերածվում ինքնության:

Երբեմն ուսանողները հարցնում են, թե որն է ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը: Սա ուղիղ գիծ է, որն ունի այս հատվածի գրաֆիկի հետ միակ ընդհանուր կետը, ընդ որում, ինչպես ցույց է տրված մեր նկարում։ Այն կարծես շոշափում է շրջանագծին: Եկեք գտնենք. Մենք հիշում ենք, որ շոշափողը սուր անկյունմեջ ուղղանկյուն եռանկյունհավասար է հակառակ ոտքի հարակից ոտքի հարաբերությանը: Գրաֆիկի վրա դա համապատասխանում է կտրուկ ընդմիջմանը, երբ տվյալ կետում անհնար է շոշափել: Բայց ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը, եթե ֆունկցիան տրված է ոչ թե գրաֆիկով, այլ բանաձևով։