Կետերից գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը. Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում` նկարագրություն, օրինակներ, խնդրի լուծում

Թող երկու միավոր տրվի Մ(X 1 ,ժամը 1) և Ն(X 2,y 2). Գտնենք այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Քանի որ այս տողը անցնում է կետով Մ, ապա համաձայն (1.13) բանաձևի նրա հավասարումն ունի ձև

ժամը – Յ 1 = Կ(X-x 1),

Որտեղ Կանհայտ թեքությունն է։

Այս գործակցի արժեքը որոշվում է այն պայմանից, որ ցանկալի ուղիղ գիծը անցնում է կետով Ն, ինչը նշանակում է, որ դրա կոորդինատները բավարարում են հավասարումը (1.13)

Յ 2 – Յ 1 = Կ(X 2 – X 1),

Այստեղից կարող եք գտնել այս գծի թեքությունը.

,

Կամ դարձից հետո

(1.14)

Բանաձևը (1.14) սահմանում է Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը Մ(X 1, Յ 1) և Ն(X 2, Յ 2).

Կոնկրետ այն դեպքում, երբ միավորները Մ(Ա, 0), Ն(0, Բ), ԲԱՅՑ ¹ 0, Բ¹ 0, ընկած է կոորդինատային առանցքների վրա, հավասարումը (1.14) ստանում է ավելի պարզ ձև

Հավասարում (1.15)կանչեց Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, այստեղ ԲԱՅՑև ԲՆշեք առանցքների վրա ուղիղ գծով կտրված հատվածներ (Նկար 1.6):

Նկար 1.6

Օրինակ 1.10. Գրի՛ր կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ(1, 2) և Բ(3, –1).

. Համաձայն (1.14) ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձևը

2(Յ – 2) = -3(X – 1).

Բոլոր տերմինները տեղափոխելով ձախ կողմ՝ վերջապես ստանում ենք ցանկալի հավասարումը

3X + 2Յ – 7 = 0.

Օրինակ 1.11. Գրի՛ր կետով անցնող ուղիղի հավասարումը Մ(2, 1) և գծերի հատման կետը X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Այս հավասարումները միասին լուծելով գտնում ենք ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

Եթե ​​այս հավասարումները գումարենք անդամ առ անդամ, կստանանք 2 X+ 1 = 0, որտեղից . Գտնված արժեքը փոխարինելով ցանկացած հավասարման մեջ՝ գտնում ենք օրդինատի արժեքը ժամը:

Այժմ գրենք (2, 1) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը և.

կամ .

Հետևաբար կամ -5( Յ – 1) = X – 2.

Ի վերջո, մենք ստանում ենք ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը ձևով X + 5Յ – 7 = 0.

Օրինակ 1.12. Գտե՛ք կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ(2.1) և Ն(2,3).

Օգտագործելով բանաձևը (1.14) մենք ստանում ենք հավասարումը

Դա իմաստ չունի, քանի որ երկրորդ հայտարարը զրո է: Խնդրի պայմանից երևում է, որ երկու կետերի աբսցիսներն ունեն նույն արժեքը։ Այսպիսով, պահանջվող գիծը զուգահեռ է առանցքին OYև դրա հավասարումը հետևյալն է. x = 2.

Մեկնաբանություն . Եթե ​​ուղիղ գծի հավասարումը (1.14) բանաձևով գրելիս հայտարարներից մեկը պարզվում է, որ հավասար է զրոյի, ապա ցանկալի հավասարումը կարելի է ստանալ՝ համապատասխան համարիչը հավասարեցնելով զրոյի։

Դիտարկենք հարթության վրա ուղիղ գիծ դնելու այլ եղանակներ։

1. Թող ոչ զրոյական վեկտորը ուղղահայաց լինի տրված ուղղին Լ, և կետը Մ 0(X 0, Յ 0) ընկած է այս գծի վրա (Նկար 1.7):

Նկար 1.7

Նշանակել Մ(X, Յ) կամայական կետ գծի վրա Լ. Վեկտորներ և Ուղղանկյուն. Օգտագործելով այս վեկտորների ուղղանկյունության պայմանները, մենք ստանում ենք կամ ԲԱՅՑ(X – X 0) + Բ(Յ – Յ 0) = 0.

Մենք ստացել ենք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ 0-ն ուղղահայաց է վեկտորին: Այս վեկտորը կոչվում է Նորմալ վեկտոր դեպի ուղիղ գիծ Լ. Ստացված հավասարումը կարելի է վերաշարադրել այսպես

Օ՜ + Վու + Հետ= 0, որտեղ Հետ = –(ԲԱՅՑX 0 + Ըստ 0), (1.16),

Որտեղ ԲԱՅՑև ATնորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:

Մենք ստանում ենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը պարամետրային ձևով:

2. Հարթության վրա ուղիղ կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ՝ թող ոչ զրոյական վեկտորը զուգահեռ լինի տրված ուղիղին. Լև կետ Մ 0(X 0, Յ 0) ընկած է այս գծում: Կրկին վերցրեք կամայական կետ Մ(X, y) ուղիղ գծի վրա (Նկար 1.8):

Նկար 1.8

Վեկտորներ և համագիծ.

Գրենք այս վեկտորների համագծի պայմանը. , որտեղ Տկամայական թիվ է, որը կոչվում է պարամետր: Այս հավասարությունը գրենք կոորդինատներով.

Այս հավասարումները կոչվում են Պարամետրային հավասարումներ Ուղիղ. Այս հավասարումներից բացառենք պարամետրը Տ:

Այս հավասարումները կարելի է գրել ձևով

. (1.18)

Ստացված հավասարումը կոչվում է Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը. Վեկտորային զանգ Ուղղության վեկտորը ուղիղ .

Մեկնաբանություն . Հեշտ է տեսնել, որ եթե-ն գծի նորմալ վեկտորն է Լ, ապա նրա ուղղության վեկտորը կարող է լինել վեկտորը , քանի որ , այսինքն .

Օրինակ 1.13. Գրի՛ր կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ 0 (1, 1) 3-րդ տողին զուգահեռ X + 2ժամը– 8 = 0.

Որոշում . Վեկտորը նորմալ վեկտոր է տրված և ցանկալի գծերի համար: Կիրառենք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ 0 տրված նորմալ վեկտորով 3( X –1) + 2(ժամը- 1) = 0 կամ 3 X + 2տ- 5 \u003d 0. Մենք ստացանք ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը:

Թող ուղիղ գիծն անցնի M 1 (x 1; y 1) և M 2 (x 2; y 2) կետերով: M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ունի y- y 1 \u003d ձև կ (x - x 1), (10.6)

որտեղ կ - դեռ անհայտ գործակից.

Քանի որ ուղիղ գիծն անցնում է M 2 կետով (x 2 y 2), ապա այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հավասարումը (10.6). y 2 -y 1 \u003d կ (x 2 -x 1):

Այստեղից մենք գտնում ենք փոխարինելով գտնված արժեքը կ (10.6) հավասարման մեջ մենք ստանում ենք M 1 և M 2 կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Ենթադրվում է, որ այս հավասարման մեջ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Եթե ​​x 1 \u003d x 2, ապա M 1 (x 1, y I) և M 2 (x 2, y 2) կետերով անցնող ուղիղ գիծը զուգահեռ է y առանցքին: Դրա հավասարումն է x = x 1 .

Եթե ​​y 2 \u003d y I, ապա ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է գրել որպես y \u003d y 1, M 1 M 2 ուղիղը զուգահեռ է x առանցքին:

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում

Թող ուղիղ գիծը հատի Ox առանցքը M 1 կետում (a; 0), իսկ Oy առանցքը M 2 կետում (0; b): Հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
դրանք.
. Այս հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, քանի որ a և b թվերը ցույց են տալիս, թե որ հատվածներն է կտրում ուղիղ գիծը կոորդինատային առանցքների վրա.

Տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

Գտե՛ք անցնող ուղիղ գծի հավասարումը տրված կետ Mo (x O; y o) ուղղահայաց է տրված ոչ զրոյական վեկտորին n = (A; B):

Վերցրեք կամայական M(x; y) կետը ուղիղ գծի վրա և հաշվի առեք M 0 M վեկտորը (x - x 0; y - y o) (տես նկ. 1): Քանի որ n և M o M վեկտորները ուղղահայաց են, նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0: (10.8)

Կանչվում է հավասարումը (10.8): տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը .

Ուղղությանը ուղղահայաց n = (A; B) վեկտորը կոչվում է նորմալ այս գծի նորմալ վեկտորը .

Հավասարումը (10.8) կարող է վերաշարադրվել որպես Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

որտեղ A և B-ը նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, C \u003d -Ax o - Vu o - ազատ անդամ: Հավասարում (10.9) ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն է(տես նկ.2):

Նկ.1 Նկ.2

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ

,

Որտեղ
այն կետի կոորդինատներն են, որով անցնում է ուղիղը, և
- ուղղության վեկտոր.

Երկրորդ կարգի շրջանագծի կորեր

Շրջանագիծը տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որը կոչվում է կենտրոն։

Շառավիղով շրջանագծի կանոնական հավասարում Ռ կենտրոնացած մի կետի վրա
:

Մասնավորապես, եթե ցցի կենտրոնը համընկնում է ծագման հետ, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Էլիպս

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի բազմությունն է՝ դրանցից յուրաքանչյուրից մինչև տրված երկու կետերի հեռավորությունների գումարը։ և , որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն արժեք է
, ավելի մեծ է, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը
.

Էլիպսի կանոնական հավասարումը, որի օջախները գտնվում են Ox առանցքի վրա և որի սկզբնակետը գտնվում է միջնամասում գտնվող օջախների միջև, ունի ձև.
Գ դեա հիմնական կիսաառանցքի երկարությունը;բ փոքր կիսաառանցքի երկարությունն է (նկ. 2):

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Կան անսահման շատ գծեր, որոնք կարելի է գծել ցանկացած կետի միջով:

Ցանկացած երկու չհամընկնող կետերի միջով անցնում է միայն մեկ ուղիղ գիծ:

Հարթության մեջ երկու չհամընկնող ուղիղները կամ հատվում են մեկ կետում, կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

3D տարածության մեջ կա երեք տարբերակ. հարաբերական դիրքերկու ուղիղ գծեր.

• գծերը հատվում են;

• ուղիղ գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող- առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ դեկարտյան կոորդինատային համակարգում՝ ուղիղ գիծ

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում):

Ընդհանուր հավասարումուղիղ.

Սահմանում. Հարթության ցանկացած ուղիղ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Ah + Wu + C = 0,

և մշտական Ա, Բմիաժամանակ հավասար չէ զրոյի: Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է գեներալ

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, Բև ՀետՀնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- գիծն անցնում է ծագման միջով

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ OU

. B = C = 0, A ≠ 0- գիծը համընկնում է առանցքի հետ OU

. A = C = 0, B ≠ 0- գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերկախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետով և նորմալ վեկտորով:

Սահմանում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղին ուղղահայաց

Ah + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Որոշում. Եկեք կազմենք A \u003d 3 և B \u003d -1 ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C \u003d 0: Գտնել C գործակիցը

Տրված Ա կետի կոորդինատները փոխարինում ենք ստացված արտահայտության մեջ։Ստացվում է՝ 3 - 2 + C = 0, հետևաբար.

C = -1. Ընդհանուր՝ ցանկալի հավասարումը՝ 3x - y - 1 \u003d 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)և M2 (x 2, y 2, z 2),ապա ուղիղ գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը հավասար է զրոյի, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի: Վրա

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1 ≠ x 2և x = x 1, եթե x 1 = x 2 .

Մաս = kկանչեց թեքության գործոնը ուղիղ.

Օրինակ. Գտե՛ք A(1, 2) և B(3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Որոշում. Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետով և թեքությամբ:

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը Ah + Wu + C = 0բերել ձևի.

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետի և ուղղորդող վեկտորի վրա:

Նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը դիտարկող կետի հետ անալոգիայով կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը.

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր:

Սահմանում. Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2), որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aα 1 + Bα 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը.

Ah + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A(1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Որոշում. Մենք կփնտրենք ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է բավարարեն հետևյալ պայմանները.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x=1, y=2մենք ստանում ենք C/A = -3, այսինքն. ցանկալի հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​Ah + Wu + C = 0 C≠0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ, ապա բաժանելով -C-ի, ստանում ենք.

կամ, որտեղ

երկրաչափական իմաստգործակիցները նրանով, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է

ուղիղ առանցքով Օ,ա բ- գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը OU.

Օրինակ. Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտե՛ք այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով:

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ah + Wu + C = 0բաժանել թվով , որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ մ * Գ< 0.

Ռ- սկզբից մինչև գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ. Հաշվի առնելով ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0. Պահանջվում է գրել Տարբեր տեսակներհավասարումներ

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Ուղիղ գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Հարկ է նշել, որ ոչ ամեն ուղիղ գիծ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելիս։

Անկյուն գծերի միջև հարթության վրա:

Սահմանում. Եթե ​​տրված է երկու տող y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև ընկած սուր անկյունը

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2. Երկու ուղիղ գծերը ուղղահայաց են,

եթե k 1 \u003d -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղղակի Ah + Wu + C = 0և A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0զուգահեռ են, երբ գործակիցները համաչափ են

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Եթե ​​նաև С 1 \u003d λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը ուղղահայաց է տվյալ ուղղին։

Սահմանում. Կետով անցնող գիծ M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Թեորեմ. Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),ապա գծի հեռավորությունը Ah + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց. Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը Մև Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1և 1կարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով ուղղահայաց անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

տրված տողը. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Հոդվածում" " Ես ձեզ խոստացել եմ վերլուծել ածանցյալը գտնելու համար ներկայացված խնդիրների լուծման երկրորդ եղանակը՝ տրված ֆունկցիայի գրաֆիկով և այս գրաֆիկին շոշափողով։ Մենք կուսումնասիրենք այս մեթոդը , մի կարոտեք! Ինչո՞ւհաջորդը?

Փաստն այն է, որ այնտեղ կօգտագործվի ուղիղ գծի հավասարման բանաձեւը։ Իհարկե, կարելի էր պարզապես ցույց տալ այս բանաձեւը և խորհուրդ տալ սովորել այն։ Բայց ավելի լավ է բացատրել, թե որտեղից է այն առաջացել (ինչպես է առաջացել): Անհրաժեշտ է! Եթե ​​դուք մոռացել եք այն, ապա արագ վերականգնեք այնդժվար չի լինի. Ամեն ինչ մանրամասն ներկայացված է ստորև։ Այսպիսով, մենք ունենք երկու A կետ կոորդինատային հարթության վրա(x 1; y 1) և B (x 2; y 2), ուղիղ գիծ է գծվում նշված կետերի միջով.

Ահա ուղիղ բանաձևը.

*Այսինքն՝ կետերի կոնկրետ կոորդինատները փոխարինելիս ստանում ենք y=kx+b ձևի հավասարում։

** Եթե այս բանաձևը պարզապես «անգիր է արված», ապա մեծ է հավանականությունը, որ շփոթեն ինդեքսների հետ, երբ X. Բացի այդ, ինդեքսները կարող են նշանակվել տարբեր ձևերով, օրինակ.

Այդ իսկ պատճառով կարևոր է հասկանալ իմաստը։

Այժմ այս բանաձևի ածանցյալը. Ամեն ինչ շատ պարզ է!

ABE և ACF եռանկյունները նման են սուր անկյուն(նմանության առաջին նշանը ուղղանկյուն եռանկյուններ): Այստեղից հետևում է, որ համապատասխան տարրերի հարաբերությունները հավասար են, այսինքն.

Այժմ մենք պարզապես արտահայտում ենք այս հատվածները կետերի կոորդինատների տարբերությամբ.

Իհարկե, սխալ չի լինի, եթե տարրերի հարաբերությունները գրեք այլ կարգով (գլխավորը համապատասխանությունը պահպանելն է).

Արդյունքը ուղիղ գծի նույն հավասարումն է։ Ամեն ինչ!

Այսինքն, անկախ նրանից, թե ինչպես են նշված կետերը (և դրանց կոորդինատները), հասկանալով այս բանաձևը, դուք միշտ կգտնեք ուղիղ գծի հավասարումը:

Բանաձևը կարելի է եզրակացնել՝ օգտագործելով վեկտորների հատկությունները, սակայն ածանցման սկզբունքը նույնն է լինելու, քանի որ մենք կխոսենք դրանց կոորդինատների համաչափության մասին։ Այս դեպքում գործում է ուղղանկյուն եռանկյունների նույն նմանությունը։ Իմ կարծիքով վերը նկարագրված եզրակացությունն ավելի հասկանալի է))։

Դիտեք ելքը վեկտորային կոորդինատների միջոցով >>>

Թող ուղիղ գիծ կառուցվի կոորդինատային հարթության վրա, որն անցնում է A (x 1; y 1) և B (x 2; y 2) երկու կետերով: Եկեք նշենք կամայական C կետը գծի վրա կոորդինատներով ( x; y): Մենք նաև նշում ենք երկու վեկտոր.

Հայտնի է, որ զուգահեռ ուղիղների վրա (կամ մեկ ուղիղի վրա) ընկած վեկտորների համար դրանց համապատասխան կոորդինատները համաչափ են, այսինքն.

- գրում ենք համապատասխան կոորդինատների հարաբերությունների հավասարությունը.

Դիտարկենք մի օրինակ.

Գտե՛ք երկու կետերով (2;5) և (7:3) կոորդինատներով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Դուք նույնիսկ չեք կարող կառուցել գիծը ինքնին: Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Հարաբերակցությունը կազմելիս կարևոր է որսալ նամակագրությունը։ Դուք չեք կարող սխալվել, եթե գրեք.

Պատասխան՝ y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Որպեսզի համոզվեք, որ ստացված հավասարումը ճիշտ է գտնվել, համոզվեք, որ ստուգեք այն. փոխարինեք տվյալների կոորդինատները դրա մեջ կետերի վիճակում: Դուք պետք է ճիշտ հավասարումներ ստանաք:

Այսքանը: Հուսով եմ, որ նյութը օգտակար էր ձեզ համար:

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր։

P.S. Շնորհակալ կլինեմ, եթե սոցիալական ցանցերում պատմեք կայքի մասին:

Այս հոդվածը շարունակում է հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարման թեման. դիտարկել այնպիսի տիպի հավասարում, ինչպիսին է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը: Սահմանենք թեորեմ և բերենք դրա ապացույցը. Եկեք պարզենք, թե որն է ուղիղ գծի թերի ընդհանուր հավասարումը և ինչպես կատարել անցումներ ընդհանուր հավասարումից ուղիղ գծի այլ տեսակի հավասարումների: Ամբողջ տեսությունը կհամախմբենք նկարազարդումներով և գործնական խնդիրներ լուծելով։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Թող հարթության վրա տրվի O x y ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ:

Թեորեմ 1

Առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում, որն ունի A x + B y + C \u003d 0 ձևը, որտեղ A, B, C որոշ իրական թվեր են (A և B միաժամանակ հավասար չեն զրոյի), սահմանում է ուղիղ գիծ. ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա: Իր հերթին, հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի ցանկացած գիծ որոշվում է հավասարմամբ, որն ունի A x + B y + C = 0 ձև A, B, C արժեքների որոշակի հավաքածուի համար:

Ապացույց

Այս թեորեմը բաղկացած է երկու կետից, մենք կապացուցենք դրանցից յուրաքանչյուրը։

1. Ապացուցենք, որ A x + B y + C = 0 հավասարումը հարթության վրա սահմանում է ուղիղ:

Թող լինի M 0 (x 0, y 0) կետ, որի կոորդինատները համապատասխանում են A x + B y + C = 0 հավասարմանը: Այսպիսով՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: A x + B y + C \u003d 0 հավասարումների ձախ և աջ կողմերից հանել A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 հավասարման ձախ և աջ կողմերը, մենք ստանում ենք նոր հավասարում, որը նման է A-ին: (x - x 0) + B (y - y 0) = 0: Այն համարժեք է A x + B y + C = 0-ին:

Ստացված A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարումը անհրաժեշտ և բավարար պայման է n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x) վեկտորների ուղղահայացության համար: 0, y - y 0 ) . Այսպիսով, M (x, y) կետերի բազմությունը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​որը ուղղահայաց է վեկտորի ուղղությանը n → = (A, B) . Կարելի է ենթադրել, որ դա այդպես չէ, բայց այդ դեպքում n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց չեն լինի, իսկ A հավասարությունը (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ճիշտ չի լինի:

Հետևաբար, A (x - x 0) + B (y - y 0) հավասարումը \u003d 0 սահմանում է որոշակի գիծ հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, և, հետևաբար, համարժեք հավասարումը A x + B y + C \u003d 0: սահմանում է նույն գիծը. Այսպիսով մենք ապացուցեցինք թեորեմի առաջին մասը։

1. Ապացուցենք, որ հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ցանկացած ուղիղ կարող է տրվել A x + B y + C = 0 առաջին աստիճանի հավասարմամբ:

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գիծ դնենք a; կետ M 0 (x 0 , y 0), որով անցնում է այս ուղիղը, ինչպես նաև այս ուղղի նորմալ վեկտորը n → = (A , B) .

Թող գոյություն ունենա նաև M (x, y) կետ՝ ուղիղի լողացող կետ: Այս դեպքում n → = (A , B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց են միմյանց, և դրանց սկալյար արտադրյալը զրո է.

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Վերաշարադրենք A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 հավասարումը, սահմանենք C: C = - A x 0 - B y 0 և վերջապես ստանանք A x + B y + C = 0 հավասարումը:

Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք թեորեմի երկրորդ մասը, և մենք ապացուցել ենք ամբողջ թեորեմն ամբողջությամբ։

Սահմանում 1

Հավասարում, որը նման է A x + B y + C = 0 - Սա ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գտնվող հարթության վրաO x y.

Ապացուցված թեորեմի հիման վրա կարող ենք եզրակացնել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա տրված ուղիղ գիծը և դրա ընդհանուր հավասարումը անքակտելիորեն կապված են: Այլ կերպ ասած, սկզբնական տողը համապատասխանում է իր ընդհանուր հավասարմանը. ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը համապատասխանում է տրված ուղիղ գծին:

Թեորեմի ապացույցից հետևում է նաև, որ x և y փոփոխականների A և B գործակիցները ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, որը տրված է A x + B y + ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմամբ. C = 0:

Դիտարկենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման կոնկրետ օրինակ:

Թող տրվի 2 x + 3 y - 2 = 0 հավասարումը, որը համապատասխանում է տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գծի: Այս տողի նորմալ վեկտորը վեկտորն է n → = (2, 3): Գծագրում գծե՛ք տրված ուղիղ գիծ:

Կարելի է նաև վիճարկել հետևյալը. ուղիղ գիծը, որը մենք տեսնում ենք գծագրում, որոշվում է 2 x + 3 y - 2 = 0 ընդհանուր հավասարմամբ, քանի որ տվյալ ուղիղ գծի բոլոր կետերի կոորդինատները համապատասխանում են այս հավասարմանը:

Մենք կարող ենք ստանալ λ A x + λ B y + λ C = 0 հավասարումը ընդհանուր ուղիղ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով λ թվով, ոչ զրո. Ստացված հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուր հավասարմանը, հետևաբար, այն կնկարագրի նույն գիծը հարթության մեջ:

Սահմանում 2

Ուղիղ գծի ամբողջական ընդհանուր հավասարումը- A x + B y + C \u003d 0 տողի նման ընդհանուր հավասարումը, որում A, B, C թվերը զրոյական չեն: Հակառակ դեպքում, հավասարումը հետևյալն է թերի.

Եկեք վերլուծենք ուղիղ գծի անավարտ ընդհանուր հավասարման բոլոր տատանումները:

1. Երբ A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ընդհանուր հավասարումը դառնում է B y + C \u003d 0: Նման թերի ընդհանուր հավասարումը սահմանում է ուղիղ գիծ O x y ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, որը զուգահեռ է O x առանցքին, քանի որ x-ի ցանկացած իրական արժեքի համար y փոփոխականը կընդունի արժեքը: - C B. Այլ կերպ ասած, A x + B y + C \u003d 0 ուղիղի ընդհանուր հավասարումը, երբ A \u003d 0, B ≠ 0, սահմանում է այն կետերի տեղը (x, y), որոնց կոորդինատները հավասար են նույն թվին. - C B.
2. Եթե ​​A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ընդհանուր հավասարումը դառնում է y \u003d 0: Նման թերի հավասարումը սահմանում է x առանցքը O x:
3. Երբ A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, մենք ստանում ենք թերի ընդհանուր հավասարում A x + C \u003d 0, սահմանելով y-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ:
4. Թող A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, ապա թերի ընդհանուր հավասարումը կունենա x \u003d 0 ձև, և սա O y կոորդինատային գծի հավասարումն է:
5. Վերջապես, երբ A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, թերի ընդհանուր հավասարումը ստանում է A x + B y \u003d 0 ձևը: Եվ այս հավասարումը նկարագրում է ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է սկզբնակետով: Իրոք, թվերի զույգը (0, 0) համապատասխանում է A x + B y = 0 հավասարությանը, քանի որ A · 0 + B · 0 = 0:

Եկեք գրաֆիկորեն պատկերացնենք ուղիղ գծի թերի ընդհանուր հավասարման բոլոր վերը նշված տեսակները:

Օրինակ 1

Հայտնի է, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է y առանցքին և անցնում է 2 7 , - 11 կետով։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը։

Որոշում

Y-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ տրվում է A x + C \u003d 0 ձևի հավասարմամբ, որում A ≠ 0: Պայմանում նշվում են նաև այն կետի կոորդինատները, որով անցնում է ուղիղը, և այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են A x + C = 0 թերի ընդհանուր հավասարման պայմաններին, այսինքն. հավասարությունը ճիշտ է.

A 2 7 + C = 0

Դրանից կարելի է որոշել C-ն՝ A-ին տալով ոչ զրոյական արժեք, օրինակ՝ A = 7: Այս դեպքում մենք ստանում ենք՝ 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2: Մենք գիտենք A և C երկու գործակիցները, դրանք փոխարինում ենք A x + C = 0 հավասարման մեջ և ստանում ենք գծի պահանջվող հավասարումը. 7 x - 2 = 0:

Պատասխան. 7 x - 2 = 0

Օրինակ 2

Գծանկարը ցույց է տալիս ուղիղ գիծ, ​​անհրաժեշտ է գրել դրա հավասարումը։

Որոշում

Տրված գծագիրը թույլ է տալիս հեշտությամբ վերցնել նախնական տվյալները խնդրի լուծման համար։ Գծագրում տեսնում ենք, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է O x առանցքին և անցնում է (0, 3) կետով։

Ուղիղ գիծը, որը զուգահեռ է աբսցիսային, որոշվում է B y + С = 0 թերի ընդհանուր հավասարմամբ։ Գտեք B և C արժեքները: (0, 3) կետի կոորդինատները, քանի որ տրված ուղիղ գիծ է անցնում դրանով, կբավարարեն B y + С = 0 ուղիղ գծի հավասարումը, ապա հավասարությունը վավեր է՝ В · 3 + С = 0։ Եկեք B սահմանենք զրոյից տարբեր արժեք: Եկեք ասենք B \u003d 1, այս դեպքում, B · 3 + C \u003d 0 հավասարությունից կարող ենք գտնել C: C \u003d - 3: Մենք օգտագործում ենք հայտնի արժեքներ B և C, մենք ստանում ենք գծի պահանջվող հավասարումը ՝ y - 3 = 0:

Պատասխան. y - 3 = 0:

Հարթության տվյալ կետով անցնող ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը

Թող տրված ուղիղն անցնի M 0 կետով (x 0, y 0), ապա նրա կոորդինատները համապատասխանում են ուղիղի ընդհանուր հավասարմանը, այսինքն. հավասարությունը ճիշտ է՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: Ընդհանուրի ձախ և աջ կողմերից հանեք այս հավասարման ձախ և աջ կողմերը ամբողջական հավասարումուղիղ. Ստանում ենք՝ A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, այս հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուրին, անցնում է M 0 կետով (x 0, y 0) և ունի նորմալ վեկտոր n → \u003d (A, B) .

Մեր ստացած արդյունքը հնարավորություն է տալիս գրել ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատների և այս ուղիղ գծի որոշակի կետի կոորդինատների համար:

Օրինակ 3

Տրվում է M 0 (- 3, 4) կետ, որով անցնում է ուղիղը, և այս ուղիղի նորմալ վեկտորը. n → = (1 , - 2) . Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի հավասարումը։

Որոշում

Սկզբնական պայմանները թույլ են տալիս մեզ ստանալ անհրաժեշտ տվյալներ հավասարումը կազմելու համար՝ A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4: Ապա.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Խնդիրն այլ կերպ կարող էր լուծվել. Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն ունի A x + B y + C = 0 ձև: Տրված նորմալ վեկտորը թույլ է տալիս ստանալ A և B գործակիցների արժեքները, այնուհետև.

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Այժմ գտե՛ք C-ի արժեքը՝ օգտագործելով պայմանով տրվածխնդրի կետ M 0 (- 3 , 4), որով անցնում է ուղիղը: Այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են x - 2 · y + C = 0 հավասարմանը, այսինքն. - 3 - 2 4 + C \u003d 0: Այսպիսով, C = 11: Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը ստանում է ձև՝ x - 2 · y + 11 = 0:

Պատասխան. x - 2 y + 11 = 0:

Օրինակ 4

Տրվում է 2 3 x - y - 1 2 = 0 տող և այս ուղղի վրա ընկած M 0 կետ: Հայտնի է միայն այս կետի աբսցիսան, և այն հավասար է - 3-ի։ Անհրաժեշտ է որոշել տվյալ կետի օրդինատը.

Որոշում

M 0 կետի կոորդինատների նշանակումը դնենք x 0 և y 0: Նախնական տվյալները ցույց են տալիս, որ x 0 \u003d - 3: Քանի որ կետը պատկանում է տվյալ ուղիղին, ուրեմն դրա կոորդինատները համապատասխանում են այս ուղիղի ընդհանուր հավասարմանը։ Այդ դեպքում ճշմարիտ կլինի հետևյալ հավասարությունը.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Սահմանեք y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Պատասխան. - 5 2

Անցում ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից ուղիղ գծի այլ տիպի հավասարումների և հակառակը

Ինչպես գիտենք, հարթության մեջ միևնույն ուղիղ գծի հավասարման մի քանի տեսակներ կան։ Հավասարման տեսակի ընտրությունը կախված է խնդրի պայմաններից. հնարավոր է ընտրել այն, որն ավելի հարմար է դրա լուծման համար։ Այստեղ է, որ շատ օգտակար է մի տեսակի հավասարումը մեկ այլ տեսակի հավասարման փոխակերպելու հմտությունը:

Սկսելու համար դիտարկենք A x + B y + C = 0 ձևի ընդհանուր հավասարումից անցումը x - x 1 a x = y - y 1 a y կանոնական հավասարմանը:

Եթե ​​A ≠ 0, ապա B y տերմինը տեղափոխում ենք ընդհանուր հավասարման աջ կողմ: Ձախ կողմում փակագծերից հանում ենք A-ն։ Արդյունքում ստանում ենք՝ A x + C A = - B y :

Այս հավասարությունը կարելի է գրել որպես համամասնություն՝ x + C A - B = y A :

Եթե ​​B ≠ 0, ապա ընդհանուր հավասարման ձախ կողմում թողնում ենք միայն A x տերմինը, մյուսները տեղափոխում ենք աջ կողմ, ստանում ենք՝ A x \u003d - B y - C: Փակագծերից հանում ենք - B, այնուհետև՝ A x \u003d - B y + C B:

Հավասարությունը վերագրենք որպես համամասնություն՝ x - B = y + C B A :

Իհարկե, կարիք չկա անգիր անել ստացված բանաձեւերը։ Բավական է իմանալ գործողությունների ալգորիթմը ընդհանուր հավասարումից կանոնականին անցնելու ժամանակ։

Օրինակ 5

Տրված է 3 y - 4 = 0 տողի ընդհանուր հավասարումը։ Այն պետք է վերածվի կանոնական հավասարման:

Որոշում

Մենք գրում ենք սկզբնական հավասարումը որպես 3 y - 4 = 0: Հաջորդը, մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի. 0 x տերմինը մնում է ձախ կողմում; իսկ աջ կողմում հանում ենք՝ փակագծերից 3 հատ; մենք ստանում ենք՝ 0 x = - 3 y - 4 3:

Ստացված հավասարությունը գրենք համամասնությամբ՝ x - 3 = y - 4 3 0 : Այսպիսով, մենք ստացել ենք կանոնական ձևի հավասարում:

Պատասխան՝ x - 3 = y - 4 3 0.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը պարամետրայինի վերածելու համար նախ անցնում ենք կանոնական ձև, ապա անցում ուղիղ գծի կանոնական հավասարումից պարամետրային հավասարումների։

Օրինակ 6

Ուղիղ գիծը տրված է 2 x - 5 y - 1 = 0 հավասարմամբ: Գրի՛ր այս տողի պարամետրային հավասարումները։

Որոշում

Անցում կատարենք ընդհանուր հավասարումից կանոնականին.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Այժմ վերցնենք ստացված կանոնական հավասարման երկու մասերը, որոնք հավասար են λ-ի, ապա.

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Պատասխան.x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ընդհանուր հավասարումը կարող է փոխարկվել ուղիղ գծի հավասարման y \u003d k x + b թեքությամբ, բայց միայն այն դեպքում, երբ B ≠ 0: Ձախ կողմի անցման համար թողնում ենք B y տերմինը, մնացածը տեղափոխվում են աջ։ Ստանում ենք՝ B y = - A x - C . Ստացված հավասարության երկու մասերը բաժանենք B-ի, որը տարբերվում է զրոյից՝ y = - A B x - C B:

Օրինակ 7

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը տրված է՝ 2 x + 7 y = 0 : Դուք պետք է փոխարկեք այդ հավասարումը թեքության հավասարման:

Որոշում

Կատարենք անհրաժեշտ գործողությունները ըստ ալգորիթմի.

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Պատասխան. y = - 2 7 x.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից բավական է պարզապես հավասարում ստանալ x a + y b \u003d 1 ձևի հատվածներում: Նման անցում կատարելու համար C թիվը տեղափոխում ենք հավասարության աջ կողմ, ստացված հավասարության երկու մասերը բաժանում ենք - С-ի և, վերջապես, x և y փոփոխականների գործակիցները փոխանցում ենք հայտարարներին.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Օրինակ 8

Հարկավոր է x - 7 y + 1 2 = 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը վերածել հատվածներով ուղիղ գծի հավասարման։

Որոշում

Եկեք տեղափոխենք 1 2 աջ կողմ՝ x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2:

Բաժանեք -1/2-ի հավասարման երկու կողմերը՝ x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1:

Պատասխան. x - 1 2 + y 1 14 = 1:

Ընդհանրապես, հակադարձ անցումը նույնպես հեշտ է՝ այլ տեսակի հավասարումներից ընդհանուրին։

Հատվածներում ուղիղ գծի հավասարումը և թեքության հետ հավասարումը հեշտությամբ կարելի է վերածել ընդհանուրի՝ պարզապես հավաքելով հավասարման ձախ կողմում գտնվող բոլոր տերմինները.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Կանոնական հավասարումը փոխակերպվում է ընդհանուրի հետևյալ սխեմայի համաձայն.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Պարամետրիկից անցնելու համար նախ անցում է կատարվում կանոնականին, այնուհետև ընդհանուրին.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Օրինակ 9

Տրված են x = - 1 + 2 · λ y = 4 ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները։ Անհրաժեշտ է գրել այս տողի ընդհանուր հավասարումը.

Որոշում

Անցում կատարենք պարամետրային հավասարումներից կանոնականի.

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Կանոնականից անցնենք ընդհանուրի.

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Պատասխան. y - 4 = 0

Օրինակ 10

Տրված է ուղիղ գծի հավասարումը x 3 + y 1 2 = 1 հատվածներում: Անհրաժեշտ է անցում կատարել դեպի ընդհանուր տեսարանհավասարումներ։

Որոշում:

Եկեք պարզապես վերաշարադրենք հավասարումը պահանջվող ձևով.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Պատասխան. 1 3 x + 2 y - 1 = 0:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման կազմում

Վերևում ասացինք, որ ընդհանուր հավասարումը կարելի է գրել նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատներով և այն կետի կոորդինատներով, որով անցնում է ուղիղը։ Նման ուղիղ գիծը սահմանվում է A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարմամբ: Նույն տեղում մենք վերլուծեցինք համապատասխան օրինակը։

Հիմա եկեք նայենք ավելին բարդ օրինակներ, որում նախ անհրաժեշտ է որոշել նորմալ վեկտորի կոորդինատները։

Օրինակ 11

Տրվում է 2 x - 3 y + 3 3 = 0 ուղղին զուգահեռ ուղիղ: Հայտնի է նաև M 0 (4, 1) կետը, որով անցնում է տվյալ ուղիղը։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի հավասարումը։

Որոշում

Սկզբնական պայմանները մեզ ասում են, որ ուղիղները զուգահեռ են, այնուհետև, որպես այն գծի նորմալ վեկտոր, որի հավասարումը պետք է գրվի, մենք վերցնում ենք n տողի ուղղորդող վեկտորը → = (2, - 3) : 2 x - 3 y: + 3 3 = 0: Այժմ մենք գիտենք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը կազմելու համար.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Պատասխան. 2 x - 3 y - 5 = 0:

Օրինակ 12

Տրված ուղիղն անցնում է x - 2 3 = y + 4 5 ուղղին ուղղահայաց սկզբնակետով։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը։

Որոշում

Տվյալ ուղղի նորմալ վեկտորը կլինի x - 2 3 = y + 4 5 ուղղի ուղղորդող վեկտորը։

Այնուհետև n → = (3, 5) . Ուղիղ գիծը անցնում է ծագման միջով, այսինքն. O կետով (0, 0) . Կազմենք տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Պատասխանել 3 x + 5 y = 0:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter