Այսպիսով, բնօրինակ պատկերի համար բնօրինակն ունի ձևը

Այս արդյունքը համընկնում է (23):

3. Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը
, բավարարելով նախնական պայմանները y(0) = y"(0) = 0:

Այս խնդիրը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք Duhamel ինտեգրալը: Եկեք նախ լուծում գտնենք
դիֆերենցիալ հավասարում
. Պատկերի համապատասխան օպերատորի հավասարումը
ունի ձևը

կամ
. Այստեղից մենք գտնում ենք

. Ստացված կոտորակը ներկայացնում ենք որպես պարզ կոտորակների գումար
. Գտնենք գործակիցները
. Դա անելու համար մենք աջ կողմի կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի և ստանում համարիչների հավասարությունը:

Գործակիցները գտնելու համար նախ օգտագործում ենք մասնակի արժեքների մեթոդը։ դնենք
. Հետո մենք ստանում ենք
. դնենք
. Հետո մենք ստանում ենք
. Արժեքը որոշելու համար հավասարեցնել աստիճանի գործակիցները ձախ և աջ (24):
. Հետևաբար,
. Հետևաբար, պատկերը նման է
. Աղյուսակի համաձայն գտնում ենք համապատասխան բնօրինակը
.. այստեղից

. (25)

Համաձայն (13) բանաձևի, սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը
ինտեգրալ է

, (26)

- (27)

սկզբնական հավասարման աջ կողմը: Նշենք, որ (26)-ում օգտագործվում է երկու ֆունկցիաների ոլորման համաչափության հատկությունը:

(25) և (27)-ը (26) փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք

Հետևաբար,

. (28)

Եկեք լուծենք այս խնդիրը Mathcad-ի միջոցով

Նշանակել
միջոցով
(հիշենք, որ Mathcad-ում բարդ փոփոխականը նշվում է )

Եկեք գտնենք բնօրինակը
, ապա դրեց
և գտի՛ր ածանցյալը ֆունկցիայից

Հաշվել
, որտեղ
սկզբնական հավասարման աջ կողմն է։

Աջ կողմը կարելի է պարզեցնել

Այս արդյունքը համընկնում է ավելի վաղ ստացված արտահայտության հետ (28):

Հաշվի առնելով, որ երկու ֆունկցիաների ոլորումը կախված չէ դրանց հերթականությունից, կարող ենք նաև հաշվարկել
համաձայն (26) բանաձևի

Արդյունքը բավականին ծանր արտահայտություն է։ Այս արտահայտության մեջ ներկայացնում ենք նման տերմիններ և պարզեցնում արդյունքը

Այս արդյունքը նույնպես կրճատվում է ձևի (28)

4. Լուծե՛ք Քոշիի խնդիրը գործառնական մեթոդով.

(29)

(30)

Որոշում. Հաշվի առնելով, որ

,

մենք ստանում ենք օպերատորի հավասարումը ձևով

Այստեղից պատկերը

(31)

Բազմանդամ
արմատներ ունի
,
, և հետևաբար արտահայտությունը համար
առաջին և վերջին կոտորակների գումարը պարզեցնելուց հետո այն վերածվում է ձևի

(32)

Բնօրինակը ստանալու համար
պատկերի համար
, պետք է (32)-ում ներառված կոտորակները տարրալուծել պարզերի։ Եկեք գտնենք այս ընդլայնումը Mathcad-ի միջոցով

Մաթեմատիկական վերլուծության բազմաթիվ խնդիրներում դիտարկվում են իրավիճակներ, երբ մի տարածության յուրաքանչյուր կետ վերագրվում է մեկ այլ (կամ նույն) տարածության ինչ-որ կետին: Տարածությունները կարող են լինել վերացական, որոնցում «կետերը» իրականում ֆունկցիաներ են: Երկու կետերի միջև համապատասխանությունը հաստատվում է փոխակերպման կամ օպերատորի միջոցով: Օպերատորների տեսության խնդիրը ներառում է փոխակերպումների տարբեր տեսակների և դրանց հատկությունների մանրամասն նկարագրություն և դասակարգում, ինչպես նաև խորհրդանշական մեթոդների մշակում, որոնք թույլ են տալիս նվազագույնի հասցնել և պարզեցնել հաշվարկները: Սովորաբար օպերատորների տեսությունը կիրառվում է այն տարածությունների վրա, որտեղ թույլատրվում է կետերի գումարում կամ բազմապատկում, այսինքն. գծային տարածություններ, խմբեր, օղակներ, դաշտեր և այլն:

Խնդիրներ և հավելվածներ.

Թող լինի Դև Ռիրական գծային կամ վեկտորային տարածություններ են, պարտադիր չէ, որ տարբեր լինեն: Դրանց տարրերը վեկտորներ են, ուստի երկու տարրերի գումարը և տարրի արտադրյալը սկալյարով սահմանված են և բավարարում են վեկտորների համար սովորական պայմանները։ վերջավոր հիմքերի առկայությունը Դև Ռոչ անհրաժեշտ. Թող լինի r, վեկտոր է Ռ, համապատասխանում է վեկտորին դ-ից Դ. Մենք նշում ենք այս համապատասխանությունը Տ(դ) = rկամ Td = r. Հետո Տկոչվում է տիրույթի օպերատոր Դև միջակայք Ռ. Օպերատոր Տբաշխիչ է, եթե

որտեղ λ և λ" ցանկացած իրական թվեր են, և դև դ"- ցանկացած տարրերից Դ. Եթե Դև Ռտոպոլոգիական վեկտորային տարածություններ են, որոնցում λdև դ + դ"շարունակական գործողություններ են, ապա բաշխիչ շարունակական օպերատորը կոչվում է գծային օպերատոր։ Եթե Քպարունակում է Դև Ռ, ապա Տ 2 (դ) սահմանվում է որպես Տ(Տ(դ)) և սահմանվում է նույն կերպ Տ ն(դ) եթե այս բոլոր գործողությունները իմաստ ունեն:

Գործառնական հաշվարկը հնարավորություն է տալիս իրականացնել խնդիրների վերացական ձևակերպումներ և ընդհանրացնել մաթեմատիկական վերլուծության այնպիսի ճյուղեր, ինչպիսիք են դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումների տեսությունը: Քվանտային տեսության ժամանակակից խնդիրները հզոր խթան են դարձել օպերատորների տեսության զարգացման համար։ Առավել ամբողջական արդյունքները ստացվել են բաշխիչ օպերատորների համար այսպես կոչված. Հիլբերտի տարածություն. Այս ոլորտում հետաքրքրությունը մեծապես կապված է նման օպերատորների ինտեգրալ փոխակերպումների ներկայացման հետ:

Երկու կարևոր բաշխիչ օպերատորներ են տարբերակման օպերատորները էջև ինտեգրում էջ- մեկ. Գծային տարածությունների տարրեր Դև Ռայս դեպքում կլինեն փոփոխականի ֆունկցիաներ x. Մենք ունենք

որտեղ մև nոչ բացասական ամբողջ թվեր են: Քանի որ ինտեգրումը հանգեցնում է կամայական հաստատունի առաջացմանը, էջ –1 էջպարտադիր չէ, որ նույն գործողությունը լինի էջ 0 . Նման օպերատորների միավորման պաշտոնական կանոնները վերաբերում են Ջ. Բուլին (1815–1864); Օրինակ,

Օ. Հևիսայդի (1850–1925) մշակած Հևիսայդի հաշվարկում տարածությունը. Դսահմանափակվում է գործառույթների շրջանակով զ(x), նույնականորեն հավասար է զրոյի բացասականի համար x. Հիմնական դերը խաղում է 1 ֆունկցիան ( x), հավասար է 0-ի բացասականի համար xիսկ 1-ը՝ ոչ բացասականի համար x. Ահա Հևիսայդի հաշվարկի մի քանի «կանոններ».

Եթե n! փոխարինել գամմա ֆունկցիան Г( n+ 1), ապա կանոններից առաջինը մնում է վավեր ոչ ամբողջ թվի համար n(գամմա ֆունկցիայի սահմանում սմ. ՖՈՒՆԿՑԻԱ):

Գործառնական հաշվարկի հիմնական արդյունքը համարվում է կազմության կամ կոնվուլյացիայի թեորեմը, ըստ որի, եթե. Ֆ 1 (էջ)1(x) = զ 1 (x) և Ֆ 2 (էջ)1(x) = զ 2 (x), ապա

Կիրառելով կոնվոլյուցիայի թեորեմը պ աժամը ա≠ 0, –1, –2,..., կարելի է սահմանել կոտորակային կարգի ինտեգրում կամ տարբերակում։ Օրինակ, հաշվի առեք արտահայտությունը

որտեղ է գործառույթը y(x) և առաջինը n– 1 ածանցյալները անհետանում են, երբ x= 0. Թող y(x) = Յ(էջ)1(x), է(x) = Գ(էջ)1(x): Ընդունել

Եկեք այդպես ձևացնենք զ(x) = Ֆ(էջ) –1 1(x): Հետո

Ստանդարտ կանոնները ներառում են տարբեր ալգորիթմներ՝ կապված ասիմպտոտ շարքերի ռացիոնալ ֆունկցիաների տարրական կոտորակների ընդլայնումների հետ և այլն։ Գործնականում y(x) = Յ(էջ)1(x) հաճախ գրվում է որպես y(x) ~ Յ(էջ) կամ .

Վ. Վոլտերայի (1860–1940) փակ ցիկլի ֆունկցիաների տեսությունը բերում է նույն ընդհանուր արդյունքներին։ Նմանատիպ տեսություններ ստեղծվել են այլ օպերատորների համար, օրինակ՝ համար x(դ/dx) և մի քանի գործողություններով ավելի ընդհանուր իրավիճակների համար՝ Volterra, Pinkerle և այլն: Կիրառական մաթեմատիկոսների համար Հևիսայդի գործառնական հաշվարկի հիմնական առավելությունը տրանսցենդենտալ խնդիրների կրճատումն է անկախ փոփոխականով։ xֆունկցիաների հանրահաշվական խնդիրներին՝ կախված էջ. Ամենից հաճախ Հևիսայդի մեթոդը օգտագործվում է հաստատուն գործակիցներով, տարբերության հավասարումներով և միջուկով ինտեգրալ հավասարումներ լուծելու համար։ Կ(x, տ) = Կ(x – տ): Ընդհանուր դեպքում, երբ գործառնական հաշվարկի մեթոդները տարածվում են ավելի բարդ հավասարումների վրա, կորչում է «մաքուր հանրահաշվի» բնույթը։

Հարաբերակցության խիստ հիմնավորում Ֆ(էջ)1(x) = զ (x) տրվել է Լապլասի կամ Ֆուրիեի ինտեգրալ փոխակերպումների կամ վերացականորեն՝ որոշակի գծային տոպոլոգիական տարածությունների վրա օպերատորների առումով, ինչպիսին է Հիլբերտի տարածությունը։ Այս մոտեցումը հնարավորություն տվեց սահմանել էվրիստիկայի կանոնների կիրառելիության պայմանները։

Ինչպես լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը
գործառնական հաշվարկ?

Այս դասում մանրամասնորեն կվերլուծվի բարդ վերլուծության բնորոշ և տարածված առաջադրանքը. Գործառնական հաշվարկի մեթոդով գտնել 2-րդ կարգի DE-ի որոշակի լուծում հաստատուն գործակիցներով. Նորից ու նորից ես ազատում եմ ձեզ այն նախապաշարմունքից, որ նյութը աներևակայելի բարդ է և անհասանելի: Ծիծաղելի է, բայց օրինակներին տիրապետելու համար գուցե չկարողանաս տարբերել, ինտեգրել և նույնիսկ չիմանալ, թե ինչ կոմպլեքս թվեր. Պահանջում է կիրառելու հմտություն անորոշ գործակիցների մեթոդ, որը մանրամասն քննարկվում է հոդվածում Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում. Իրականում առաջադրանքի հիմնաքարը սովորական հանրահաշվական գործողություններն են, և ես վստահ եմ, որ նյութը հասանելի է նույնիսկ դպրոցականի համար։

Նախ՝ հակիրճ տեսական տեղեկատվություն դիտարկվող մաթեմատիկական վերլուծության բաժնի վերաբերյալ: Հիմնական կետն գործառնական հաշվարկբաղկացած է հետևյալից՝ ֆունկցիա վավերփոփոխական օգտագործելով այսպես կոչված Լապլասը փոխակերպվում էցուցադրված է ֆունկցիան ինտեգրվածփոփոխական :

Տերմինաբանություն և նշում.
ֆունկցիան կոչվում է օրիգինալ;
ֆունկցիան կոչվում է պատկեր;
մեծատառը նշանակում է Լապլասի փոխակերպում.

Պարզ ասած, ըստ որոշակի կանոնների, իրական ֆունկցիան (բնօրինակը) պետք է վերածվի բարդ ֆունկցիայի (պատկերի): Սլաքը ցույց է տալիս այս փոխակերպումը: Իսկ «որոշ կանոններն» իրենք են Լապլասի փոխակերպում, որը մենք կդիտարկենք միայն ֆորմալ առումով, ինչը լիովին բավարար կլինի խնդիրների լուծման համար։

Հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը նույնպես իրագործելի է, երբ պատկերը վերածվում է բնօրինակի.

Ինչո՞ւ է այս ամենը անհրաժեշտ։ Բարձրագույն մաթեմատիկայի մի շարք խնդիրների դեպքում բնօրինակներից պատկերների անցնելը կարող է շատ ձեռնտու լինել, քանի որ այս դեպքում խնդրի լուծումը շատ պարզեցված է (ուղղակի կատակում եմ): Եվ այս խնդիրներից միայն մեկը մենք կքննարկենք: Եթե ​​դուք ապրել եք գործառնական հաշվարկը տեսնելու համար, ապա ձևակերպումը պետք է ծանոթ լինի ձեզ.

Գտե՛ք անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարման որոշակի լուծում՝ տրված սկզբնական պայմանների համար հաստատուն գործակիցներով:

Նշում: երբեմն դիֆերենցիալ հավասարումը կարող է միատարր լինել. , դրա համար վերը նշված ձևակերպման մեջ կիրառելի է նաև գործառնական հաշվարկի մեթոդը։ Այնուամենայնիվ, գործնական օրինակներում 2-րդ կարգի միատարր DEչափազանց հազվադեպ է, և հետագայում մենք կխոսենք ոչ միատարր հավասարումների մասին:

Իսկ հիմա կվերլուծվի երրորդ մեթոդը՝ DE-ի լուծումը գործառնական հաշվարկի միջոցով: Եվս մեկ անգամ շեշտում եմ այն ​​փաստը, որ խոսքը կոնկրետ լուծում գտնելու մասին է, Բացի այդ, սկզբնական պայմանները խիստ ձև ունեն(«X»-երը հավասար են զրոյի):

Ի դեպ, «X»-ի մասին. Հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ ձևով.
, որտեղ «x»-ը անկախ փոփոխական է, իսկ «y»-ը՝ ֆունկցիա։ Այս մասին պատահական չեմ խոսում, քանի որ քննարկվող խնդրի մեջ առավել հաճախ օգտագործվում են այլ տառեր.

Այսինքն՝ անկախ փոփոխականի դերը խաղում է «te» փոփոխականը («x»-ի փոխարեն), իսկ ֆունկցիայի դերը՝ «x» փոփոխականը («y»-ի փոխարեն)

Ես հասկանում եմ, որ դա, իհարկե, անհարմար է, բայց ավելի լավ է հավատարիմ մնալ այն նշումին, որը հանդիպում է խնդրահարույց գրքերի և ձեռնարկների մեծ մասում:

Այսպիսով, մեր առաջադրանքը մյուս տառերով գրված է հետևյալ կերպ.

Գտեք անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարման որոշակի լուծում՝ հաստատուն գործակիցներով տվյալ սկզբնական պայմանների համար .

Առաջադրանքի իմաստը ընդհանրապես չի փոխվել, փոխվել են միայն տառերը։

Ինչպե՞ս լուծել այս խնդիրը գործառնական հաշվարկի մեթոդով:

Առաջին հերթին ձեզ հարկավոր կլինի բնօրինակների և պատկերների աղյուսակ. Սա առանցքային որոշումների գործիք է, և դուք չեք կարող անել առանց դրա: Հետևաբար, հնարավորության դեպքում փորձեք տպել նշված տեղեկատու նյութը: Ես անմիջապես կբացատրեմ, թե ինչ է նշանակում «pe» տառը. բարդ փոփոխական (սովորական «ze»-ի փոխարեն): Թեև այս փաստն առանձնահատուկ նշանակություն չունի խնդիրների լուծման համար, բայց «պե»-ն այդքան էլ «պե» է։

Օգտագործելով աղյուսակը, բնօրինակները պետք է վերածվեն որոշ պատկերների: Դրան հաջորդում են մի շարք բնորոշ գործողություններ, և օգտագործվում է հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը (նաև աղյուսակում): Այսպիսով, կգտնվի ցանկալի կոնկրետ լուծում։

Բոլոր առաջադրանքները, ինչը հաճելի է, լուծվում են բավականին կոշտ ալգորիթմի համաձայն:

Օրինակ 1

, ,

Որոշում:Առաջին քայլում բնօրինակներից կանցնենք համապատասխան պատկերներին։ Եկեք օգտագործենք ձախ կողմը:

Եկեք նախ զբաղվենք սկզբնական հավասարման ձախ կողմով: Լապլասի փոխակերպման համար, գծայինության կանոններ, ուստի մենք անտեսում ենք բոլոր հաստատունները և առանձին աշխատում ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների հետ։

Համաձայն թիվ 1 աղյուսակային բանաձևի՝ ֆունկցիան փոխակերպում ենք.

Համաձայն թիվ 2 բանաձեւի , հաշվի առնելով նախնական պայմանը, ածանցյալը դարձնում ենք.

Համաձայն թիվ 3 բանաձևի, նախնական պայմաններից ելնելով, մենք վերածում ենք երկրորդ ածանցյալը.

Մի շփոթվեք նշաններով:

Խոստովանում եմ, որ ավելի ճիշտ է ասել ոչ թե «բանաձևեր», այլ «փոխակերպումներ», բայց պարզության համար ժամանակ առ ժամանակ աղյուսակի լրացումը կանվանեմ բանաձևեր։

Այժմ անդրադառնանք աջ կողմին, որը պարունակում է բազմանդամը։ Շնորհիվ նույն գծայինության կանոններԼապլասը փոխակերպվում է, յուրաքանչյուր տերմինի հետ աշխատում ենք առանձին։

Մենք նայում ենք առաջին անդամին. - սա «te» անկախ փոփոխականն է՝ բազմապատկված հաստատունով: Անտեսեք հաստատունը և օգտագործելով աղյուսակի թիվ 4 կետը, կատարեք փոխակերպումը.

Մենք նայում ենք երկրորդ տերմինին՝ -5: Երբ հաստատունը միայնակ է հայտնաբերվում, ապա այն այլեւս հնարավոր չէ բաց թողնել։ Մեկ հաստատունով նրանք դա անում են. պարզության համար այն կարող է ներկայացվել որպես արտադրյալ՝ , և միավորի վրա կիրառվում է փոխակերպում.

Այսպիսով, դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր տարրերի (բնօրինակների) համար, օգտագործելով աղյուսակը, հայտնաբերվում են համապատասխան պատկերները.

Գտնված պատկերները փոխարինի՛ր սկզբնական հավասարման մեջ.

Հաջորդ խնդիրը արտահայտելն է օպերատորի որոշումըմնացած ամեն ինչի միջոցով, մասնավորապես մեկ կոտորակի միջոցով: Այս դեպքում խորհուրդ է տրվում հետևել հետևյալ ընթացակարգին.

Նախ, բացեք փակագծերը ձախ կողմում.

Մենք տալիս ենք նմանատիպ տերմիններ ձախ կողմում (եթե այդպիսիք կան): Այս դեպքում ավելացրեք -2 և -3 թվերը։ Dummies խստորեն խորհուրդ են տալիս չբաց թողնել այս փուլը.

Ձախ կողմում թողնում ենք այն պայմանները, որոնցում առկա է, մնացած պայմանները նշանի փոփոխությամբ փոխանցում ենք աջ.

Ձախ կողմում հանում ենք օպերատորի լուծումը, աջ կողմում արտահայտությունը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Ձախ կողմում գտնվող բազմանդամը պետք է գործոնավորվի (եթե հնարավոր է): Մենք լուծում ենք քառակուսի հավասարումը.

Այսպիսով.

Մենք վերականգնում ենք աջ կողմի հայտարարին.

Նպատակը ձեռք է բերվել. օպերատորի լուծումն արտահայտվում է մեկ կոտորակի տեսքով:

Գործողություն երկրորդ. Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդ, հավասարման օպերատորի լուծումը պետք է ընդլայնվի տարրական կոտորակների գումարի մեջ.

Համապատասխան հզորությունների գործակիցները հավասարեցրե՛ք և լուծե՛ք համակարգը.

Եթե ​​որևէ դժվարություն կա խնդրում ենք հետևել հոդվածներին Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրումև Ինչպե՞ս լուծել հավասարումների համակարգը:Սա շատ կարևոր է, քանի որ ֆրակցիոնացումը, ըստ էության, խնդրի ամենակարևոր մասն է:

Այսպիսով, գործակիցները գտնված են. , և օպերատորի լուծումը հայտնվում է մեր առջև ապամոնտաժված տեսքով.

Նշենք, որ հաստատունները չեն գրվում կոտորակների համարիչներում: Գրելու այս ձևն ավելի լավ է, քան . Եվ դա ավելի շահավետ է, քանի որ վերջնական գործողությունը տեղի կունենա առանց շփոթության և սխալների.

Առաջադրանքի վերջին քայլը պատկերներից համապատասխան բնօրինակներին անցնելն է՝ օգտագործելով հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը։ Օգտագործեք աջ սյունակը բնօրինակների և պատկերների աղյուսակներ.

Թերևս ոչ բոլորն են հասկանում վերափոխումը: Այստեղ օգտագործվում է աղյուսակի թիվ 5 պարբերության բանաձեւը. Եթե ​​ավելի մանրամասն. . Փաստորեն, նմանատիպ դեպքերի համար բանաձևը կարող է փոփոխվել. Այո, և թիվ 5 պարբերության բոլոր աղյուսակային բանաձևերը շատ հեշտ են վերաշարադրել նմանատիպ ձևով։

Հակադարձ անցումից հետո DE-ի ցանկալի կոնկրետ լուծումը ստացվում է կապույտ եզրագծով արծաթե սկուտեղի վրա.

Դա եղել է.

Այն դարձավ.

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Երբ ժամանակը թույլ է տալիս, միշտ խորհուրդ է տրվում ստուգում կատարել: Ստուգումն իրականացվում է ստանդարտ սխեմայով, որն արդեն դիտարկվել է դասում։ 2-րդ կարգի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ. Կրկնենք.

Ստուգենք նախնական պայմանի կատարումը.
- կատարած.

Գտնենք առաջին ածանցյալը.

Ստուգենք երկրորդ նախնական պայմանի կատարումը.
- կատարած.

Գտնենք երկրորդ ածանցյալը.

Փոխարինող , և սկզբնական հավասարման ձախ կողմում.

Ստացվում է սկզբնական հավասարման աջ կողմը:

Եզրակացություն՝ առաջադրանքը ճիշտ է կատարվել։

Փոքր օրինակ՝ ինքնուրույն լուծելու համար.

Օրինակ 2

Օգտագործելով գործառնական հաշվարկը, գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում տվյալ սկզբնական պայմանների համար:

Վերջնական առաջադրանքի օրինակ դասի վերջում:

Դիֆերենցիալ հավասարումների մեջ ամենահաճախակի հյուրը, ինչպես շատերը վաղուց են նկատել, ցուցիչներն են, ուստի եկեք նրանց հետ նայենք մի քանի օրինակների, հարազատներին.

Օրինակ 3

, ,

Որոշում:Լապլասի փոխակերպման աղյուսակի (աղյուսակի ձախ կողմ) օգնությամբ բնօրինակներից կտեղափոխվենք համապատասխան պատկերներ։

Եկեք նախ նայենք հավասարման ձախ կողմին: Առաջին ածանցյալ չկա: Դե, իսկ ի՞նչ: Լավ: Ավելի քիչ աշխատանք. Նկատի ունենալով սկզբնական պայմանները, ըստ թիվ 1,3 աղյուսակային բանաձևերի, գտնում ենք պատկերներ.

Այժմ մենք նայում ենք աջ կողմին՝ - երկու ֆունկցիայի արտադրյալ: Առավելություններից օգտվելու համար գծայինության հատկություններԼապլասի փոխակերպում, դուք պետք է բացեք փակագծերը. Քանի որ հաստատունները գտնվում են ապրանքների մեջ, մենք գնահատում ենք դրանց վրա, և օգտագործելով աղյուսակային բանաձևերի թիվ 5 խումբը, գտնում ենք պատկերներ.

Գտնված պատկերները փոխարինի՛ր սկզբնական հավասարմամբ.

Հիշեցնում եմ ձեզ, որ հաջորդ առաջադրանքը օպերատորի լուծումն արտահայտելն է մեկ կոտորակի տեսքով:

Ձախ կողմում մենք թողնում ենք այն պայմանները, որոնցում առկա է, մնացած պայմանները փոխանցում ենք աջ կողմին: Միևնույն ժամանակ, աջ կողմում մենք սկսում ենք կամաց-կամաց կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի.

Ձախ փակագծերից դուրս ենք դնում, աջ կողմում արտահայտությունը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Ձախ կողմում ստացվում է չքայքայվող բազմանդամ։ Եթե ​​բազմանդամը չի ֆակտորիզացվում, ապա նրան՝ խեղճին, պետք է անհապաղ գցել աջ կողմի ներքևը՝ ոտքերը ավազանում բետոնացնելով։ Իսկ համարիչում բացեք փակագծերը և տվեք նման տերմիններ.

Եկել է ամենադժվար փուլը. անորոշ գործակիցների մեթոդմենք ընդլայնում ենք հավասարման օպերատորի լուծումը տարրական կոտորակների գումարի մեջ.


Այսպիսով.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես է կոտորակը քայքայվում. Շուտով կբացատրեմ, թե ինչու է այդպես։

Ավարտել. պատկերներից տեղափոխել համապատասխան բնօրինակները, օգտագործել աղյուսակի աջ սյունակը.

Երկու ստորին փոխակերպումների ժամանակ օգտագործվել են աղյուսակի 6-րդ և 7-րդ բանաձևերը, և կոտորակը նախապես ընդլայնվել է հենց աղյուսակի փոխակերպումների «հարմարեցման» համար:

Արդյունքում, որոշակի լուծում.

Պատասխան.ցանկալի կոնկրետ լուծում.

Նմանատիպ օրինակ՝ ինքնուրույն լուծելու համար.

Օրինակ 4

Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում գործառնական հաշվարկի մեթոդով:

Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում.

Օրինակ 4-ում նախնական պայմաններից մեկը զրո է: Սա, անշուշտ, հեշտացնում է լուծումը, և ամենաիդեալական տարբերակն այն է, երբ երկու նախնական պայմանները զրոյական են. . Այս դեպքում ածանցյալները վերածվում են առանց պոչերի պատկերների.

Ինչպես արդեն նշվեց, խնդրի ամենադժվար տեխնիկական կողմը ֆրակցիայի ընդլայնումն է անորոշ գործակիցների մեթոդ, իսկ ես բավականին ժամանակատար օրինակներ ունեմ իմ տրամադրության տակ։ Այնուամենայնիվ, ես ոչ ոքի չեմ վախեցնի հրեշներով, եկեք դիտարկենք հավասարման ևս մի քանի բնորոշ տարատեսակներ.

Օրինակ 5

Օգտագործելով գործառնական հաշվարկի մեթոդը, գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում, որը բավարարում է տրված սկզբնական պայմանները:
, ,

Որոշում:Օգտագործելով Լապլասի փոխակերպման աղյուսակը՝ բնօրինակներից անցնենք համապատասխան պատկերներին։ Հաշվի առնելով նախնական պայմանները :

Աջ կողմի հետ նույնպես խնդիրներ չկան.

(Հիշեցնում եմ ձեզ, որ բազմապատկիչ հաստատուններն անտեսվում են)

Եկեք ստացված պատկերները փոխարինենք սկզբնական հավասարման մեջ և կատարենք ստանդարտ գործողությունները, որոնք, հուսով եմ, արդեն լավ մշակել եք.

Մենք կոտորակից դուրս հայտարարի մեջ հանում ենք հաստատունը, ամենակարևորը, այնուհետև մի մոռացեք դրա մասին.

Մտածեցի, թե արդյոք հավելյալ դյուզ հանե՞լ համարիչից, այնուամենայնիվ, գնահատելով՝ եկա այն եզրակացության, որ այս քայլը գործնականում չի պարզեցնի հետագա որոշումը։

Առաջադրանքի առանձնահատկությունը ստացված կոտորակն է: Թվում է, թե դրա քայքայումը երկար ու դժվար կլինի, բայց տպավորությունը խաբուսիկ է։ Բնականաբար, դժվար բաներ կան, բայց ամեն դեպքում, առանց վախի ու կասկածի, առաջ գնա.

Այն, որ որոշ գործակիցներ ստացվել են կոտորակային, չպետք է ամոթալի լինի, այս իրավիճակը հազվադեպ չէ։ Եթե ​​միայն հաշվողական տեխնիկան չտապալվեր։ Բացի այդ, միշտ էլ հնարավոր է ստուգել պատասխանը։

Արդյունքում օպերատորի լուծումը.

Պատկերներից անցնենք համապատասխան բնօրինակներին.

Այսպիսով, մասնավոր լուծում.

ԳՈՐԾԱՌՆԱԿԱՆ ՀԱՇՎԱՐԿ- կիրառական մաթեմատիկական վերլուծության մեթոդների մի շարք, որոնք թույլ են տալիս տնտեսապես և ուղղակիորեն տանել դեպի գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ, ինչպես նաև տարբերության և ինտեգրալ հավասարումների որոշ տեսակների լուծումներ ստանալու նպատակ: Այս առումով գործառնական հաշվարկի մեթոդները լայնորեն կիրառվում են մեխանիկայի, էլեկտրատեխնիկայի, ավտոմատացման և գիտության և տեխնիկայի այլ շատ բազմազան ճյուղերում: Գործառնական հաշվարկը հիմնված է ֆունկցիոնալ փոխակերպման գաղափարի վրա. t իրական փոփոխականի ֆունկցիան, որը սահմանված է փաստարկի դրական արժեքների համար, որը կոչվում է սկզբնական ֆունկցիա կամ բնօրինակ, կապված է մեկ այլ p փոփոխականի ֆունկցիայի հետ, որը կոչվում է. պատկերը՝ օգտագործելով գծային ինտեգրալ փոխակերպում։ Նմանատիպ փոխակերպում «բնօրինակ - պատկեր» կարող է իրականացվել այնպես, որ սկզբնական գործառույթների տարբերակման և ինտեգրման գործողությունները համապատասխանեն պատկերի տարածքում հանրահաշվական գործողություններին: Սա հնարավորություն է տալիս գտնել ամենապարզ հանրահաշվական գործողությունները, սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումների պատկերները, այնուհետև որոնել համապատասխան սկզբնական ֆունկցիան, այսինքն՝ լուծումն իրականացվում է մի քանի պարզ կանոնների և ամենաշատ «կատալոգի» միջոցով։ հաճախակի հանդիպող պատկերներ. Ավելի բարդ առաջադրանքներում պետք է դիմել հակադարձ ֆունկցիոնալ փոխակերպմանը. պատկերը բնօրինակն է: Գործառնական հաշվարկին նվիրված առաջին աշխատանքները հայտնվեցին անցյալ դարի կեսերին։ Ռուս մաթեմատիկոս Մ. Ե. Վաշչենկո-Զախարչենկոն 1862 թվականին Կիևում հրատարակված «Սիմվոլիկ հաշվարկը և դրա կիրառումը գծային դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման մեջ» մենագրության մեջ սահմանել և մասամբ լուծել է մեթոդի հիմնական խնդիրները, որոնք հետագայում հայտնի են դարձել որպես գործառնական։ . Գործառնական հաշվարկի համակարգված կիրառումը ֆիզիկական և տեխնիկական խնդիրների լուծման համար սկսվեց 1892 թվականին անգլիացի գիտնական Օ. Հևիսայդի աշխատանքի հայտնվելով: Գործառնական հաշվարկի էությունը կարելի է ցույց տալ օրինակով իրական t փոփոխականի սկզբնական հատվածական-շարունակական ֆունկցիաների դասի f(t) դասով, որոնք առավել հաճախ հանդիպում են կիրառական խնդիրներում, սահմանված tt-ում:<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |զ(տ)|< Ме s o t , где М и s o t-ից անկախ թվեր են։ Եթե ​​p=s+iσ ինչ-որ կոմպլեքս թիվ է, ապա f(t) ֆունկցիայի վրա դրված նշված սահմանափակումների ներքո ինտեգրալը.

գոյություն ունի և ներկայացնում է p-ի կանոնավոր ֆունկցիա Re p>s o կես հարթությունում, որը կոչվում է f(t) ֆունկցիայի Լապլասի ինտեգրալ։
Օրենքով ներդրված F (p) ֆունկցիան.

կոչվում է սկզբնական ֆունկցիայի պատկեր կամ սկզբնական f(t): Պատկերի մի շարք հատկություններ (**), օրինակ՝ f’ (t) ածանցյալի պատկերը.

և ինտեգրալի պատկերները

ակնհայտ դարձրեք, որ փոխակերպումը (*) փոխակերպում է տարբերակման և ինտեգրման գործողությունները բազմապատկման և բաժանման գործողությունների p կոմպլեքս փոփոխականով: Օգտագործելով պատկերի հիմնական հատկությունները, կազմվում են որոշ պարզագույն գործառույթների պատկերներ՝ պատկերների «կատալոգ»: Ամենապարզ ֆունկցիաների պատկերների «կատալոգը» և Հևիսայդի տարրալուծման թեորեմները, որոնք հնարավորություն են տալիս գտնել սկզբնական ֆունկցիան, երբ պատկերը F (p) բազմանդամ է կամ երկու բազմանդամների հարաբերակցություն, թույլ են տալիս գտնելու ամենապարզ ձևը. սովորական գծային դիֆերենցիալ և տարբերության հավասարումների մեծ խումբ՝ հաստատուն գործակիցներով։ Բայց բազմաթիվ առաջադրանքները հանգեցնում են պատկերների, որոնք չեն կրճատվում «կատալոգում» ներկայացված պատկերների վրա: Նրա պատկերից սկզբնական ֆունկցիա կառուցելու ընդհանուր միջոց կա՝ այսպես կոչված Ռիման-Մելլինի ինվերսիայի բանաձևը։