Օրինակներ են միարժեք անալիտիկ ֆունկցիաների եզակի կետերը: Մեկուսացված եզակի կետեր, դրանց դասակարգում. Մնացորդներ և դրանց հաշվարկման բանաձևեր

Թող լինի zq - f(z), t.s ֆունկցիայի եզակի կետ: f(z)բայց այս պահին վերլուծական է (մասնավորապես, կարող է չսահմանվել դրանում): Եթե ​​կա կետի նման ծակված հարևանություն zq (այսինքն, բազմությունը O z - zq f(z) ալիատիկ է, ուրեմն զօկանչեց մեկուսացված եզակի կետգործառույթները f(z).Այս սահմանումը պահպանվում է նաև գործում zn = oo, եթե յոդը կետի ծակված հարևանություն է zq = oo հասկանալ բազմությունը z >Ի - ծագման վրա կենտրոնացած ինչ-որ շրջանի տեսքը: Այսինքն՝ եզակի կետը zq-ն համարվում է մեկուսացված, եթե կա այս կետի հարևանություն, որտեղ կան այլ եզակի կետեր, որոնք տարբերվում են դրանցից. զք. Ներքևում ամենուր մենք դիտարկում ենք միայն մեկ արժեք ունեցող նիշի եզակի կետեր (ֆունկցիան f(z)ենթադրվում է, որ եզակի է):

Կախված ֆունկցիայի վարքագծից f(z)ժամը զ -> զքԿան երեք տեսակի եզակի կետեր. Մեկուսացված եզակի կետ zq գործառույթները f(z)կոչված:

1) շարժական եզակի կետեթե կա վերջավոր սահման

2) բեւեռեթե կա սահմանափակում

3) էական կետ,եթե f(z) չունի ոչ վերջավոր, ոչ էլ անսահման սահման զ-> զք.

ՕՐԻՆԱԿ 26.1. Ցույց տանք, որ երեք տեսակի եզակի կետերն էլ իրագործված են։ Հաշվի առեք զ(զ)= կետ zq = 0 մեկուսացված է

այս ֆունկցիայի եզակի կետը: Օգտագործելով բանաձևը (22.12) մենք ստանում ենք ընդլայնումը

որից հետևում է, որ գոյություն ունի լիմ fi(z)= 1. Հետևաբար, zq = 0 է

ֆունկցիայի շարժական եզակի կետն է fi(z).

Գործառույթ f'j(z) =--- ունի բևեռ մի կետում զօ= 1 քանի որ

2 r«X

Հիմա հաշվի առեք գործառույթը )զ(զ)= e 1 ^ r և ցույց տվեք, որ zo = O-ն այս ֆունկցիայի էական եզակի կետն է: Երբ ձգտում է զզրո իրական առանցքի երկայնքով, f ֆունկցիայի ձախ և աջ սահմանները (զ)տարբեր՝ լիմ հետ 1 / 1 = 0, լիմ հետ 1 /* = os. Սա ենթադրում է,

x->0-0 x->0+O

ինչ f:i(z)չունի 2-ի համար ոչ վերջավոր, ոչ էլ անսահման սահման -> Օ, այսինքն. zq = 0 այս ֆունկցիայի էապես եզակի կետն է: (Նկատի ունեցեք, որ քանի որ կետը հակված է z-iyզրոյի երևակայական առանցքի ֆունկցիայի վրա

ընդհանրապես սահման չունի։)

Իհարկե, կան նաև ոչ մեկուսացված եզակի կետեր։ Օրինակ. ֆունկցիան ունի բևեռներ կետերում z n = -, Պ= ±1, ±2,...

Հետևաբար, Zq = 0 այս ֆունկցիայի ոչ մեկուսացված եզակի կետն է. այս կետի ցանկացած (կամայականորեն փոքր) հարևանությամբ կան այլ եզակի կետեր: g p.

Թող լինի զո-Ֆունկցիայի վերջնական մեկուսացված եզակի կետը f(z).Հետո f(z)նման է որոշ ծակված թաղամասում կետի 0 Zo-ում զօայս հարևանությունը կարելի է դիտարկել որպես օղակ ներքին շառավղով r = 0: Ըստ թեորեմ 25.1-ի, դիտարկվող հարևանությամբ ֆունկցիան. f(z)կարող է ընդլայնվել Laurent շարքում (25.2): Մենք ցույց կտանք, որ ֆունկցիայի վարքագիծը 2-ի համար -> zq (այսինքն՝ եզակի կետի տեսակը զո)կախված է տարրալուծման հիմնական մասի ձևից (25.2); Այս հանգամանքը բացատրում է «հիմնական մաս» տերմինի ծագումը։

ԹԵՈՐԵՄ 2G.2. f(z) ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի zo կետը շարժական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե Lorap-ի ընդլայնումը այս կետի ծակված հարևանությամբ ունի oid:

դրանք. բաղկացած է միայն ճիշտ մասից, իսկ հիմնական մասի բոլոր գործակիցները հավասար են պարբերակին։

Ապացույց. 1. Թող զօշարժական եզակի կետ է: Ապացուցենք, որ ֆունկցիայի Laurent ընդլայնումը f(z)ունի ձևը (26.1): Քանի որ եզակի կետից զօշարժական, ապա կա սահմանափակ սահմանաչափ f(z) = Ա.Հետևաբար, f(z)սահմանափակված է որոշ ծակված թաղամասում 0 z - zq կետի զո,դրանք. )(z) բոլորի համար զայս թաղամասից։ Վերցրեք ցանկացած Ռ. U р /?| և օգտագործեք բանաձևերը (25.3) Laurent շարքի գործակիցների համար.

Ընդլայնման հիմնական մասի գործակիցների համար n =- 1,-2,... Նման արժեքների համար Պմենք ունենք p~n-e 0 ատ Ռ-> 0. Քանի որ արժեքը Ռկարող է ընտրվել կամայականորեն փոքր, ապա պարոն ~"կարող է կամայականորեն փոքր լինել: Քանի որ |գ տ,| ^ Mr~nիսկ cn-ը կախված չեն p-ից, ապա cn = 0 համար և= - 1, -2,..., որը պետք է ապացուցվեր։

2. Այժմ ենթադրենք, որ Laurent-ի ընդլայնումն ունի (26.1) ձևը։ Սերիա (26.1) ուժային շարք է և. հետևաբար, զուգակցվում է ոչ միայն ծակված, այլև ամբողջ հարևանությամբ զ-զք ներառյալ կետը zo;դրա գումարը S(z)համար վերլուծական է z և S(z) = )(զ)ժամը 0 z - զօՌ.Հետևաբար, գոյություն ունի սահմանափակ սահման )(զ)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Հետևաբար, zq եզակի կետը

Զ->Զօ Զ-*Զօ

միանգամյա օգտագործման. Թեորեմն ապացուցված է.

Մեկնաբանություն. Թեորեմի ապացույցից հետևում է, որ շարժական եզակի կետի 0 z - zo ծակված հարևանությամբ ֆունկցիան. f(z)համընկնում է S(r) ֆունկցիայի հետ, որը վերլուծական է ամբողջ հարևանությամբ զ - զօ . Հետեւաբար, եթե դնենք /(th) = S(zq), այնուհետև, առանց ֆունկցիայի արժեքները փոխելու f(z)ծակված հարևանության ցանկացած կետում մենք այս ֆունկցիան վերլուծական ենք դարձնում r-ով, այսինքն. «հեռացնել» հատկանիշը: Սա բացատրում է «շարժական եզակիություն» տերմինը: Բնական է նման կետերը համարել կանոնավոր, այլ ոչ թե ֆունկցիայի եզակի կետեր f(z).

Դիտարկենք, օրինակ, ֆունկցիան

Օրինակ 26.1-ում ցույց է տրվել, որ Pm (n) = 1. այսինքն. եզակի կետ

zq = 0-ը շարժական է: Սահմանելով /i(0) = 1, մենք դրանով վերացնում ենք եզակիությունը և ստանում ֆունկցիա, որը վերլուծական է տվյալ կետում: zq = 0 (և C ամբողջ հարթությունում):

Այժմ բնութագրենք բևեռները Լորանի ընդարձակումների առումով:

Թեորեմ 26.3. F(z) ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի Zo կետը բևեռ է, եթե և միայն, եթե, երբ Laurent-ի ընդլայնման հիմնական մասը Zq կենտրոնով ունի միայն սահմանափակ թվով տարբեր

n-ով զրոյական գործակիցներից.

Ապացույց. 1. Թող zq - բեւեռ, այսինքն. լիմ /( զ) = օո.

Ապացուցենք, որ ֆունկցիայի Laurent ընդլայնումը f(z)ունի ձևը (2G.2): Քանի որ լիմ f(z)= oo. ապա կա կետի ծակված հարևանություն

կի զք. որտեղ f(z)վերլուծական է և չունի զրոներ։ Այնուհետև գործառույթը g(z) = 1 /f(z)կլինի նաև վերլուծական այս ծակված թաղամասում, և լիմ g(z)= 0. Հետևաբար, Զոմիանգամյա օգտագործման *-? *0

ֆունկցիայի եզակի կետ g(z).Եկեք վերասահմանենք g(z)կետում զօ, դնելով g(zo)= 0. Հետո g(z)դառնում է վերլուծական (չծակված) կետի ողջ հարևանությամբ z 0,և z0կլինի նրա մեկուսացված զրո: Նշել ըստ Նայս զրոյի բազմապատկությունը (կարգը): Ինչպես ցույց է տրված §23-ում, կետի հարևանությամբ zq ֆունկցիան g(z)ներկայացված է ձևով (տես (23.2))

և (զ$) զ 0 և y>(z)վերլուծական է կետի որոշ հարևանությամբ զո-Ինչպես IP (z)շարունակական կետում զօև գ>(զո) Ֆ 0», ապա IP (z)այս կետի որոշ հարևանությամբ նույնպես զրոներ չունի: Հետևաբար ֆունկցիա 1 /-p(z)կլինի նաև վերլուծական այս հարևանությամբ և, հետևաբար, ընդլայնվում է դրանում Թեյլորի շարքում.

Բացելով փակագծերը և փոխելով գործակիցների նշանակումները՝ ձևով գրում ենք վերջին ընդլայնումը.

որտեղ c_jv = 1>օ զ 0. Այսպիսով, f(r)-ի Laurent ընդլայնման հիմնական մասը պարունակում է միայն վերջավոր թվով անդամներ. մենք հասել ենք անհրաժեշտ հավասարությանը (26.2):

2. Թողեք կետի ծակված հարևանությամբ րդֆունկցիան )(զ)ներկայացված է Laurent ընդլայնմամբ (26.2) (ավելի ընդլայնված ձևով, տես (26.3)), որի հիմնական մասը պարունակում է միայն վերջավոր թվով անդամներ, և հետ-դ" զ 0. Մենք պետք է դա ապացուցենք Zq - ֆունկցիայի բևեռ f(z).Հավասարությունը (26.3) բազմապատկելով (Գ - Գ o) iV, մենք ստանում ենք ֆունկցիան

(26.4) շարքը հզորության շարք է, որը համընկնում է վերլուծական ֆունկցիայի ոչ միայն ծակված, այլև կետի ողջ հարևանությամբ: Զք. Հետևաբար, գործառույթը h(z)դառնում է վերլուծական այս հարևանությամբ, եթե այն երկարացնենք երթում՝ սահմանելով h(zo)= s_dg զ 0. Հետո

Այսպիսով, o կետը բևեռ է, և 26.3 թեորեմն ապացուցված է:

Զրոյական ֆունկցիայի բազմապատկություն (կարգ): g(z)= 1//(r) կոչվում է բևեռային կարգըֆունկցիա /(r). Եթե N-բևեռի կարգը րդ է, ուրեմն g(z)= (r - Zo)N ip(z),և (գնալ) Ֆ 0, և, ինչպես ցույց է տրված թեորեմ 26.3-ի ապացույցի առաջին մասում, f(r)-ի ընդլայնումն ունի (26.3) ձևը, որտեղ c_/v. զ 0. Ընդհակառակը, եթե f(r)-ն ընդլայնվում է (26.3) և է-զ Ֆ 0, ապա

տ.ս. N- f(r) ֆունկցիայի բևեռի կարգը. Այսպիսով, ֆունկցիայի zq բևեռի կարգը/ (Գ) հավասար է zq կետի ծակված հարևանությամբ Laurent ընդարձակման հիմնական մասի առաջատար ոչ զրոյական գործակցի թվին.(այսինքն հավասար է նման թվի N,ինչ s_dg զ 0 և sp= 0 ժամը Պ > N).

Ապացուցենք հետեւյալ պնդումը, որը հարմար է) դիմումների համար.

Եզրակացություն 26.4. Zq կետը գեղարվեստական ​​գրականության N կարգի բևեռ է/ (Գ) եթե և միայն եթե/ (Գ) ներկայացնել ձևով

որտեղ h(z)-ը վերլուծական ֆունկցիա է կետի հարևանությամբրդ եւ h(zo) f 0.

Ապացույց. Գործառույթ cp(z) = l/h(z)վերլուծական է r կետի որոշ հարևանությամբ: Եզրակացություն 26.4-ի պայմանը համարժեք է հետևյալին.

Այսպիսով զք - բազմակիությունը զրո Նգործառույթները g(z).և, հետևաբար, բազմակի բևեռը Նգործառույթներ /(2).

II օրինակ 26.5. Գտեք ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետերը և որոշել դրանց տեսակը:

D e u c tio n Այն կետերը, որոնցում (զ 2 + 1 ) (զ+ H) 2 = 0. Եթե զ 2 Լ- 1 = 0, ապա 2 = ±gեթե (զ 4- H) 2 = 0, ապա զ= -3. Հետևաբար, ֆունկցիան ունի երեք եզակի կետեր զ= r, 22 = -r, Զ3 = - 3. Հաշվի առեք զ:

Գ -առաջին կարգի ձող (մենք օգտագործեցինք Եզրակացություն 26.4): Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ 22 = -ինաև առաջին կարգի բևեռ։ 2 ժամվա ընթացքում մենք ունենք.

Անցնենք էապես եզակի կետերի քննարկմանը։

Թեորեմ 26.6. f(z) ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի zq կետն ըստ էության եզակի է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ Laurent-ի ընդլայնման հիմնական մասը, որը կենտրոնացած է zq-ում, ունի անսահման շատ տարբեր: զրո, գործակիցները p.

Ապացույց. Թեորեմ 26.6-ը ուղղակիորեն հետևում է 26.2 և 26.3 թեորեմներից: Իսկապես, եթե կետը zq ըստ էության եզակի է, ապա Laurent-ի ընդլայնման հիմնական մասը չի կարող բացակայել կամ պարունակել վերջավոր թվով անդամներ (հակառակ դեպքում կետը Zq-ը կլինի կամ շարժական, կամ ձող): Ուստի հիմնական մասում տերմինների թիվը պետք է անսահման լինի։

Եվ հակառակը, եթե հիմնական մասը պարունակում է անսահման շատ անդամներ, ապա Zq-ը չի կարող լինել ոչ շարժական կետ, ոչ էլ բևեռ: Հետևաբար, այս կետը ըստ էության եզակի է:

Ըստ սահմանման, էապես եզակի կետը բնութագրվում է նրանով, որ f(2) ֆունկցիան չունի ոչ վերջավոր, ոչ էլ անսահման սահման. z ->զք. Ավելի ամբողջական պատկերացում այն ​​մասին, թե ինչքան անկանոն է ֆունկցիայի վարքագիծը էապես եզակի կետի հարևանությամբ տրված է հետևյալ թեորեմով.

Թեորեմ 26.7 (Սոչոկկու թեորեմ). Եթե ​​zq ըստ էության եզակի է, ապա f(z), ապա ցանկացած բարդ թվի համարԼ, ներառյալ A =օ, կա z n կետերի հաջորդականություն այնպես, որ z n -> zo ևլիմ f(zn) = ԲԱՅՑ.

ն->ոս

Ապացույց. Նախ նկատի առեք դեպքը A =օօ. Թեորեմ 2G.2-ի ապացուցման առաջին մասում մենք հաստատեցինք, որ եթե f(z)սահմանափակված է r0 կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ, ապա բոլոր գործակիցները c, n = -Հիմնական մասի 1, - 2,... հավասար են զրոյի (և, հետևաբար, եզակիությունը th-ում շարժական է)։ Քանի որ, ըստ ենթադրության, r էապես եզակի կետ է, /(r) ֆունկցիան անսահմանափակ է r կետի ցանկացած ծակված հարևանությամբ: Վերցնենք մի քանի նեղ հարևանություն 0 Z այնպես, որ զ(զի) > 1 (եթե |/(r)| z - zo R/2 կա կետ զ-2 , որտեղ |/(dd)| > 2 և այլն՝ ծակված թաղամասում Օ 71. Ակնհայտ է, որ rn -e go եւ lim /(r«) = oo. Այսպիսով, A = oo դեպքում թեորեմ 26.7

ապացուցված.

Թող հիմա Ա զօօ. Նախ ենթադրենք, որ կա ծակված թաղամաս 0

= - yy---- կլինի վերլուծական այս ծակված թաղամասում և, հետևաբար,

/(G) - ԲԱՅՑ

հետևաբար, r-ը Φ(r) ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետն է։ Եկեք ցույց տանք. որ r0-ը Ֆ(r-ի էապես եզակի կետն է): Թող սխալ լինի։ Այնուհետև գոյություն ունի սահման Ֆ(r), կամ վերջավոր կամ անսահման: Որովհետեւ

/(r) = A + , ապա գոյություն ունի նաև Hsh /(r), որը հակասում է պայմանին

F(g) ~ :-*z 0

թեորեմի տեսակետը. Այսպիսով, r0-ը Φ(r) ֆունկցիայի էապես եզակի կետն է: Համաձայն վերևում ապացուցվածի, կա r n կետերի այնպիսի հաջորդականություն, որ r n o և lim Φ(r n) = oo: Այստեղից

Մենք ապացուցել ենք պահանջվող պնդումը այն ենթադրությամբ, որ f(r) Ֆ Ա r կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ: Այժմ ենթադրենք, որ դա ճիշտ չէ, այսինքն. կետի ցանկացած կամայական փոքր ծակված հարևանությամբ կա այդպիսի կետ Գ»,որ f(r") = A. Հետո ցանկացածի համար Պծակված հարևանությամբ 0 f(z u) = L. Այսպիսով, պահանջվող պնդումը ճշմարիտ է Պ- Յուո

բոլոր դեպքերում, և 26.7 թեորեմն ապացուցված է:

Համաձայն (Սոխոցկու) թեորեմ 26.7-ի, էականորեն եզակի կետի ցանկացած (կամայականորեն փոքր) ծակված հարևանությամբ f(r) ֆունկցիան կամայականորեն մոտ արժեքներ է ընդունում ընդլայնված C հարթության ցանկացած թվին:

Մեկուսացված եզակի կետերը ուսումնասիրելու համար հիմնական տարրական ֆունկցիաների հայտնի Թեյլորի ընդարձակումները հաճախ օգտակար են:

ՕՐԻՆԱԿ 2G.8. Ֆունկցիայի համար որոշեք zq = 0 եզակի կետի տեսակը

Լուծված և e. Մենք ընդլայնում ենք համարիչն ու հայտարարը Թեյլորի շարքում r-ի ուժերով: Փոխարինելով (22.11) 3-ի զ r-ի փոխարեն և հանելով 1, ստանում ենք

Օգտագործելով (22.12) մենք ստանում ենք հայտարարի ընդլայնումը.

Այս ընդլայնումների շարքերը համընկնում են ամբողջ բարդ հարթության մեջ €: Մենք ունենք

և /2(2)-ը նման են կետի հարևանությամբ zo = 0 (և նույնիսկ ամբողջ հարթությունում) և /2(20) Ֆ 0, ապա h(z)վերլուծական է նաև gF 0 կետի որոշ հարևանությամբ: Համաձայն եզրակացության 26.4-ի, կետը. Զո = 0-ը կարգի բևեռն է N = 4:

II օրինակ 26.9. Գտեք ֆունկցիայի եզակի կետերը f(z)= sin j - և որոշել դրանց տեսակը:

P e-ում և e-ում: Ֆունկցիան ունի մեկ վերջնական եզակի կետ zq = 1. C-ից այլ կետերում ֆունկցիան w =--- վերլուծական; այստեղից էլ մեղքի ֆունկցիան wկլինի վերլուծական.

Փոխարինելով սինուսի ընդլայնման մեջ (22.12) - r-ի փոխարեն ստանում ենք

Մենք ստացել ենք մեղքի ֆունկցիայի ընդլայնումը Laurent շարքում 20 = 1 կետի ծակված հարևանությամբ: Քանի որ արդյունքում ընդլայնումը պարունակում է անսահման շատ տերմիններ բացասական հզորություններով (r - 1), ապա zq = 1 էական եզակի կետ է (այս դեպքում Laurent-ի ընդլայնումը բաղկացած է միայն հիմնական մասից, իսկ ճիշտ մասը բացակայում է):

Նկատի ունեցեք, որ այս դեպքում հնարավոր եղավ նաև պարզել եզակիության բնույթը ուղղակիորեն սահմանումից՝ առանց շարքերի ընդլայնման դիմելու։ Իրոք, կան հաջորդականություններ (r") և (2") որոնք համընկնում են զօ= 1, և այնպես, որ f(z" n)= 1, /(2") = 0 (նշեք նման հաջորդականությունները ինքներդ): Այսպիսով, f(z)սահման չունի երբ z -> 1 և հետևաբար կետը zq - 1 ըստ էության եզակի է:

Ներկայացնենք ֆունկցիայի Laurent-ի ընդլայնման հայեցակարգը կետի հարևանությամբ Zq = 00 և հաշվի առեք կապը ընդլայնման և եզակիության բնույթի միջև այս կետում: Նկատի ունեցեք, որ մեկուսացված եզակի կետի և դրա տեսակի (շարժական, բևեռ կամ հիմնականում եզակի) սահմանումները փոխանցվում են գործին zq = oc անփոփոխ: Բայց թեորեմներ 26.2. 26.3-ը և 26.6-ը, կապված Laurent-ի ընդլայնումների բնույթի հետ, պետք է փոխվեն: Բանն այն է, որ անդամները c n (z - 2o) p. Պ= -1,-2,..., հիմնական մասը, որը սահմանում է ֆունկցիայի «անկանոնությունը» վերջնակետի մոտ. Zq, քանի որ 2-ը հակված է oo-ին, նրանք իրենց «ճիշտ» կպահեն (հակված են 0-ի): Ընդհակառակը, հերթական մասի անդամները հետ Պ= 1,2,... հակված կլինի oo; նրանք որոշում են եզակիության բնույթը Զք = օո. Հետևաբար, oo-ի հարևանությամբ ընդլայնման հիմնական մասը լինելու են դրական ուժերով պայմանները Պ,իսկ ճիշտը` բացասականով:

Ներկայացնենք նոր փոփոխական w = 12. Գործառույթ հեռուստացույց = 1/2, ընդլայնված այնպես, որ u(oo) = 0, մեկ առ մեկ և համապատասխանաբար քարտեզագրում է հարևանությունը զ > Ռմիավորներ zq = 00 հարեւանությամբ |w| wq = 0. Եթե ֆունկցիան f(z)վերլուծություն ծակված թաղամասում Ռ z Zq = oc, ապա ֆունկցիան G(w) = f(l/w)վերլուծական կլինի դեղին հարևանությամբ 0 wo = 0: Քանի որ 2 -> oo-ի համար կլինի w-> 0, ապա

Այսպիսով G(w)ունի կետում wq = 0 նույն տեսակի եզակիություն է, ինչ f(z)կետում Zq = 00. Եկեք ընդլայնենք G(w) ֆունկցիան Laurent շարքում wo = 0 կետի ծակված հարևանությամբ:

(26.5)-ի աջ կողմի գումարները համապատասխանաբար ներկայացնում են ընդարձակման ճիշտ և հիմնական մասերը։ Անցնենք փոփոխականին z,փոխարինող w = 1/z:

նշելով Պ\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d հետ pև նկատելով դա G(l/z) = f(z), ստանում ենք

Քայքայումը (2G.G) կոչվում է f(z) ֆունկցիայի Laurent ընդլայնում zq կետի ծակված հարևանությամբ= oo. Առաջին գումարը (2G.6) կոչվում է աջ մաս, իսկ երկրորդ գումարն է հիմնական մասըայս տարրալուծումը: Քանի որ այս գումարները համապատասխանում են ընդլայնման ճիշտ և հիմնական մասերին (26.5), ընդլայնումը (26.6) բավարարում է 26.2, 26.3 և 26.6 թեորեմների անալոգները: Այսպիսով, հետևյալ թեորեմը 26.2 թեորեմի անալոգն է։

Թեորեմ 26.10. Մեկուսացված եզակի կետԶք - os (գործառույթներ/ (Գ) շարժական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե Laurent-ի ընդլայնումը այս կետի ծակված հարևանությամբ ունի ձև.

տ.ս. բաղկացած է միայն ճիշտ մասից։

Մենք դնում ենք /(oo) = ընկ.Հարևանությամբ համընկնող (26.7) շարքով սահմանված ֆունկցիան զ > Ռ 2o \u003d oc կետերը, կոչ վերլուծական z կետում o = oo. (Նկատի ունեցեք, որ այս սահմանումը համարժեք է ֆունկցիայի վերլուծականությանը G(w) կետում վայ = 0.)

Օրինակ 26.11. Հետազոտեք ֆունկցիայի zq = oo եզակի կետը

Քանի որ սահմանը վերջավոր է, ուրեմն zo = oo-ն f(r) ֆունկցիայի շարժական եզակի կետն է: Եթե ​​դնենք /(oo) = lim J(z)= 0, ապա f(z)կդառնա

տիկ կետում Զո= օս. Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես գտնել համապատասխան ընդլայնումը (26.7): Անցնենք փոփոխականին w = 1 fz.Փոխարինող զ= 1 /?e, մենք ստանում ենք

(վերջին հավասարությունը վավեր է ww = 0 կետի ծակված հարևանությամբ, բայց մենք կընդլայնենք սահմանումը (7(0) = 0): Ստացված ֆունկցիան ունի եզակի կետեր. w =±i, w =-1/3, իսկ կետում Wq = 0 վերլուծական է: Ընդլայնման գործառույթ G(w)աստիճաններով w(ինչպես արվեց օրինակ 25.7-ում) և փոխարինելով ստացված հզորության շարքին w = 1/zկարելի է ստանալ ֆունկցիայի ընդլայնումը (26.7): f(z).

Թեորեմ 26.3 գործի համար զօ= oo-ն կվերագրվի հետևյալ ձևով.

Թեորեմ 26.12. Մեկուսացված եզակի կետգնա = օս f(z) ֆունկցիան բևեռ է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ Laurent-ի ընդլայնման հիմնական մասը (26.6) ունի միայն վերջավոր թվով ոչ զրոյական գործակիցներհետ":

Այստեղ շարքը կանոնավոր մասն է, իսկ փակագծով բազմանդամը՝ ընդլայնման հիմնական մասը։ Բևեռի բազմապատկությունը oc-ում սահմանվում է որպես բևեռի բազմապատիկություն wq = 0 ֆունկցիա Գ(զ).Հեշտ է տեսնել, որ բևեռի բազմակիությունը համընկնում է թվի հետ Նմեջ (26.8):

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Առաջադրանք. Ցույց տալ, որ ֆունկցիան f(z) =-- -- ունի

կետ zo = oo բևեռ պատվեր 3.

Էական եզակի կետի 26.6 թեորեմը վերաշարադրվում է գործի համար զօ= os համարյա բառացի, և մենք դրա վրա չենք մանրամասնում:

եզակի կետ

մաթեմատիկայի մեջ։

1) F հավասարմամբ տրված կորի եզակի կետը ( x, y) = 0, - կետ M 0 ( x 0, y 0), որտեղ F ֆունկցիայի երկու մասնակի ածանցյալներն են ( x, y) անհետանալ:

Եթե, ի լրումն, F ֆունկցիայի ոչ բոլոր երկրորդ մասնակի ածանցյալները ( x, y) M կետում 0 հավասար են զրոյի, ապա O. t-ն կոչվում է կրկնակի: Եթե ​​M ​​0 կետում առաջին ածանցյալների անհետացման հետ մեկտեղ անհետանում են բոլոր երկրորդ ածանցյալները, բայց ոչ բոլոր երրորդ ածանցյալները հավասար են զրոյի, ապա O.t-ը կոչվում է եռակի և այլն։ Կրկնակի O. t.-ի մոտ կորի կառուցվածքն ուսումնասիրելիս կարևոր դեր է խաղում արտահայտության նշանը.

Եթե ​​Δ > 0, ապա O. t-ը կոչվում է մեկուսացված; օրինակ՝ կորը y 2 - x 4 + 4x 2= 0 սկզբնաղբյուրը մեկուսացված O. t. է (տես բրինձ. մեկ ): Եթե ​​Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 կոորդինատների սկզբնաղբյուրը O.t հանգույցն է (տես բրինձ. 2 ): Եթե ​​Δ = 0, ապա O.t. կորը կա՛մ մեկուսացված է, կա՛մ բնութագրվում է նրանով, որ կորի տարբեր ճյուղեր այս կետում ունեն ընդհանուր շոշափող, օրինակ՝ շոշափող և կազմում են մի կետ, ինչպես կորը: y 2 - x 3= 0 (տես բրինձ. 3 , ա); բ) 2-րդ տեսակի գագաթ. կորի տարբեր ճյուղեր գտնվում են ընդհանուր շոշափողի նույն կողմում, ինչպես կորի. (y - x 2)2 - x 5= 0 (տես բրինձ. 3 , բ); գ) ինքնահպման կետ (կորի համար y 2 - x 4= 0 ծագումը ինքնաշփման կետ է; (սմ. բրինձ. 3 , մեջ): Նշված O. t.-ի հետ կան շատ այլ O. t. հատուկ անուններով. Օրինակ, ասիմպտոտիկ կետը պարույրի գագաթն է՝ անսահման թվով պտույտներով (տես Նկ. բրինձ. 4 ), ընդմիջման կետ, անկյունային կետ և այլն:

2) Դիֆերենցիալ հավասարման եզակի կետը այն կետն է, որտեղ միաժամանակ անհետանում են դիֆերենցիալ հավասարման աջ կողմի համարիչը և հայտարարը (տես Դիֆերենցիալ հավասարումներ)

որտեղ P և Q-ն անընդհատ տարբերվող ֆունկցիաներ են: Ենթադրելով, որ կոորդինատների սկզբում տեղակայված O.t.-ը և օգտագործելով Թեյլորի բանաձևը (Տե՛ս Թեյլորի բանաձևը), մենք կարող ենք (1) հավասարումը ներկայացնել ձևով.

որտեղ P 1 ( x, y) և Q 1 ( x, y) առնչությամբ անսահման փոքր են

Մասնավորապես, եթե λ 1 ≠ λ 2 և λ 1 λ 2 > 0 կամ λ 1 = λ 2, ապա O. t.-ը հանգույց է. բոլոր ինտեգրալ կորերը, որոնք անցնում են հանգույցի բավական փոքր հարևանությամբ գտնվող կետերով, մտնում են այն: Եթե ​​λ 1 ≠ λ 2 և λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 և β ≠ 0, ապա O. t.-ը կիզակետ է. Բոլոր ինտեգրալ կորերը, որոնք անցնում են կիզակետի բավական փոքր հարևանությամբ գտնվող կետերով, պարույրներ են՝ անսահման թվով պտույտներով ցանկացած կամայականորեն փոքր հարևանությամբ: Եթե ​​վերջապես λ 1,2 = ± եսβ, β ≠ 0, ապա O.t-ի բնույթը չի որոշվում գծային անդամներով P-ի ընդլայնումներում ( x, y) և Q ( x, y), ինչպես եղավ վերը նշված բոլոր դեպքերում. այստեղ O. t.-ն կարող է լինել կենտրոն կամ կենտրոն, կամ կարող է ունենալ ավելի բարդ բնույթ: Կենտրոնի հարևանությամբ բոլոր ինտեգրալ կորերը փակ են և իրենց ներսում պարունակում են կենտրոն: Այսպիսով, օրինակ, կետը (0, 0) հավասարումների հանգույց է ժամը" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; տես բրինձ. 5 , ա) և y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; տես բրինձ. 5 , բ), թամբ հավասարման համար y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; սմ. բրինձ. 6 ), հավասարման կենտրոնացումը y» =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - ես, λ 2 = 1 + ես; սմ. բրինձ. 7 ) և հավասարման կենտրոնը y" = -x / y(λ 1 = -ի, λ 2 = ես; սմ. բրինձ. ութ ).

Եթե ​​x, y) և Q ( x, y) վերլուծական են, ավելի բարձր կարգի O.t.-ի հարևանությունը կարելի է բաժանել շրջանների. ինտեգրալ կորերով, որոնց մի ծայրը ներառված է O. t.-ում (պարաբոլիկ շրջաններ), և D 3 - շրջաններ, որոնք սահմանափակված են O. t.-ում ընդգրկված երկու ինտեգրալ կորերով, որոնց միջև կան հիպերբոլաների տիպի ինտեգրալ կորեր: (հիպերբոլիկ շրջաններ) (տես. բրինձ. ինը ): Եթե ​​O. կետի մեջ մտնող ինտեգրալ կորեր չկան, ապա O. կետը կոչվում է կայուն տիպի կետ: Կայուն O.t.-ի հարևանությունը բաղկացած է փակ ինտեգրալ կորերից, որոնք պարունակում են O. t. իրենց ներսում, որոնց միջև գտնվում են պարույրներ (տես Նկ. բրինձ. տասը ).

O.t. դիֆերենցիալ հավասարումների ուսումնասիրություն, այսինքն, ըստ էության, O. t. M. Lyapunov a, A. Poincaré և այլոց հարևանությամբ ինտեգրալ կորերի ընտանիքների վարքագծի ուսումնասիրությունը:

3) Միարժեք անալիտիկ ֆունկցիայի եզակի կետը այն կետն է, որտեղ խախտվում է ֆունկցիայի անալիտիկությունը (տես Անալիտիկ ֆունկցիաներ)։ Եթե ​​կա O. թ. ա, ազատ այլ O. t., ապա կետ ակոչվում է մեկուսացված O. t. Եթե ամեկուսացված O. t. և գոյություն ունի վերջավոր a կոչվում է շարժական O. t. զ(ա)= բ, հնարավոր է հասնել ակդառնա շտկված ֆունկցիայի սովորական կետ: Օրինակ, կետ զ= 0-ը շարժական O.T է f 1 ֆունկցիայի համար ( զ) = զ(զ), եթե զ≠ 0 և զ 1 (0), = 1, կետ զ= 0-ը սովորական կետ է [ զ 1 (զ) կետում վերլուծական է զ= 0]: Եթե ա- մեկուսացված O. t.-ն և a-ն կոչվում է ֆունկցիայի բևեռ կամ ոչ էապես եզակի կետ զ(զ), եթե գործում է Laurent շարքը զ(զ) մեկուսացված Օ–ի հարևանությամբ չի պարունակում բացասական ուժեր զ - ա, եթե ա- շարժական O. t., պարունակում է վերջավոր թվով բացասական ուժեր զ - ա, եթե ա- բևեռ (այս դեպքում՝ բևեռի կարգը Ռսահմանվում է որպես a-ի ամենաբարձր հզորությունը՝ ըստ էության եզակի կետի: Օրինակ՝ ֆունկցիայի համար

p = 2, 3, ...)

կետ զ= 0-ը կարգի բևեռն է Ռ, ֆունկցիայի համար

կետ զ= 0-ը էական եզակի կետ է:

Հզորության շարքի կոնվերգենցիայի շրջանագծի սահմանին պետք է լինի այս շրջանակի ներսում տվյալ հզորության շարքով ներկայացված ֆունկցիայի առնվազն մեկ O. t.: Միարժեք անալիտիկ ֆունկցիայի (բնական սահման) գոյության տիրույթի բոլոր սահմանային կետերն այս ֆունկցիայի սահմանային կետերն են։ Այսպիսով, միավոր շրջանագծի բոլոր կետերը | զ| = 1-ը հատուկ է ֆունկցիայի համար

Բազմարժեք վերլուծական ֆունկցիայի համար «Օ. տ». ավելի դժվար. Բացի O.t.-ից, ֆունկցիայի Ռիմանի մակերևույթի առանձին թերթերում (այսինքն՝ միարժեք անալիտիկ տարրերի O. t.) ցանկացած ճյուղային կետ նույնպես ֆունկցիայի O. t. է։ Ռիմանի մակերևույթի մեկուսացված ճյուղային կետերը (այսինքն՝ այնպիսի ճյուղավորվող կետեր, որ իրենց որոշ թաղամասերում որևէ տերևում այլ O.t. ֆունկցիաներ չկան) դասակարգվում են հետևյալ կերպ. Եթե ​​a-ն վերջավոր կարգի մեկուսացված ճյուղային կետ է, և կա վերջավոր a, այն կոչվում է կրիտիկական բևեռ: Եթե աԱնսահման կարգի մեկուսացված ճյուղային կետ է, և a-ն կոչվում է տրանսցենդենտալ O. t: Բոլոր մյուս մեկուսացված ճյուղային կետերը կոչվում են կրիտիկական էապես եզակի կետեր: Օրինակներ. կետ զ= 0-ը f ֆունկցիայի սովորական կրիտիկական կետն է ( զ) = մատյան զև ֆունկցիայի կրիտիկական էական եզակի կետը զ (զ) = մեղքի մատյան զ.

Ցանկացած O. t., բացառությամբ շարժականի, խոչընդոտ է վերլուծական շարունակության համար, այսինքն, անալիտիկ շարունակությունը կորի երկայնքով, որն անցնում է անշարժ O. t.-ով, անհնար է:

Խորհրդային մեծ հանրագիտարան. - Մ.: Սովետական ​​հանրագիտարան. 1969-1978 .

Տեսեք, թե ինչ է «Հատուկ կետը» այլ բառարաններում.

Միավորներ այստեղ: Տես նաև եզակի կետ (դիֆերենցիալ հավասարումներ): Մաթեմատիկայում հատկանիշը կամ եզակիությունը այն կետն է, որտեղ մաթեմատիկական օբյեկտը (սովորաբար ֆունկցիան) սահմանված չէ կամ ունի անկանոն վարքագիծ (օրինակ՝ կետ, որտեղ ... ... Վիքիպեդիա

Անալիտիկ ֆունկցիան այն կետն է, որտեղ խախտվում են անալիտիկության պայմանները։ Եթե ​​ամենուր z0 կետի ինչ-որ հարևանությամբ սահմանված է վերլուծական f(z) ֆունկցիա… Ֆիզիկական հանրագիտարան

Անալիտիկ ֆունկցիան այն կետն է, երբ ֆունկցիայի անալիտիկությունը խախտվում է... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

եզակի կետ- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Էլեկտրատեխնիկայի և էլեկտրաէներգիայի արդյունաբերության անգլերեն ռուսերեն բառարան, Մոսկվա, 1999] Էլեկտրատեխնիկական թեմաներ, հիմնական հասկացություններ EN եզակի կետ ... Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ

1) F(z) վերլուծական ֆունկցիայի OT-ը խոչընդոտ է z կոմպլեքս փոփոխականի f(z) ֆունկցիայի տարրի վերլուծական շարունակության համար այս փոփոխականի հարթության վրա ինչ-որ ճանապարհով: Թող վերլուծական f(z) ֆունկցիան որոշվի որոշ ... ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Անալիտիկ ֆունկցիա, այն կետը, որում խախտվում է ֆունկցիայի անալիտիկությունը։ * * * ԵԶԱԿԱՅԻՆ ԿԵՏ Անալիտիկ ֆունկցիայի եզակի կետ, կետ, որտեղ ֆունկցիայի անալիտիկությունը խախտվում է ... Հանրագիտարանային բառարան

եզակի կետ- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys՝ անգլ. եզակի կետ vok. singularer Punkt, m rus. եզակի կետ, fpranc. կետային մասնիկ, մ; կետ singulier, m … Ավտոմատ տերմինալ žodynas

Թեյլորի շարքերը ծառայում են որպես zol շրջանակում անալիտիկ ֆունկցիաներ ուսումնասիրելու արդյունավետ գործիք Օղակաձև հատվածում անալիտիկ ֆունկցիաները ուսումնասիրելու համար պարզվում է, որ հնարավոր է կառուցել ընդլայնումներ դրական և բացասական հզորություններով (z - zq): ձև, որն ընդհանրացնում է Թեյլորի ընդարձակումները։ Շարքը (1), որը հասկացվում է որպես երկու շարքերի գումար, կոչվում է Laurent շարք: Հասկանալի է, որ (1) շարքի մերձեցման շրջանը (2) շարքերից յուրաքանչյուրի կոնվերգենցիայի շրջանների ընդհանուր մասն է։ Եկեք գտնենք նրան: Առաջին շարքի կոնվերգենցիայի տարածքը շրջանագիծ է, որի շառավիղը որոշվում է Կոշի-Հադամարդ բանաձևով Կոնվերգենցիայի շրջանագծի ներսում շարքը (3) զուգակցվում է վերլուծական ֆունկցիայի, իսկ ավելի փոքր շառավղով ցանկացած շրջանակում այն ​​բացարձակապես զուգակցվում է: և միատեսակ։ Երկրորդ շարքը փոփոխականի նկատմամբ հզորության շարք է: (5) շարքը իր կոնվերգենցիայի շրջանակում զուգակցվում է m-*oo բարդ փոփոխականի վերլուծական ֆունկցիայի հետ, իսկ ավելի փոքր շառավղով ցանկացած շրջանակում այն ​​զուգակցվում է բացարձակ և միատեսակ, ինչը նշանակում է, որ (4) շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը շրջանագծի տեսքն է. Եթե ուրեմն կա (3) և (4) շարքի կոնվերգենցիայի ընդհանուր շրջան, - շրջանաձև օղակ, որում (1) շարքը համընկնում է վերլուծական ֆունկցիայի: Ընդ որում, ցանկացած օղակում այն ​​զուգակցվում է բացարձակ և միատեսակ։ Օրինակ 1. Որոշեք ռադ Լորանի շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը Մեկուսացված եզակի կետերը և դրանց դասակարգումը (z), որը միարժեք և ապաքաղաքական է շրջանաձև օղակում, այս օղակում կարող է ներկայացվել որպես կոնվերգենտ շարքի գումար, որի գործակիցները. Cn-ը եզակիորեն որոշվում և հաշվարկվում են այն բանաձևերով, որտեղ 7p-ը m շառավղով շրջան է։ Եկեք R օղակի ներսում ֆիքսենք կամայական z կետ։ Մենք կառուցում ենք շրջաններ՝ r կետում գտնվող կենտրոններով, որոնց շառավիղները բավարարում են անհավասարությունները և համարում ենք նոր օղակ։Համաձայն Կոշիի ինտեգրալ թեորեմի՝ բազմապատկված միացված տիրույթի համար, մենք ունենք ինտեգրալներից յուրաքանչյուրը (8) գումարով փոխակերպում ենք առանձին։ Բոլոր £ կետերի համար 7d* շրջանագծի երկայնքով հավասարաչափ կոնվերգենտ շարքի 1 1 գումարի հարաբերությունը բավարարված է: Հետևաբար, ^ կոտորակը կարող է ներկայացվել vi- /" / մի փոքր այլ կերպ, բոլոր ξ կետերի համար: ir շրջանագիծը մենք ունենք կապը Հետևաբար, ^ կոտորակը կարող է ներկայացվել որպես հավասարաչափ կոնվերգենտ շարքի գումար (10) և (12) բանաձևերում, որոնք վերլուծական ֆունկցիաներ են շրջանաձև օղակում: Հետևաբար, Կոշիի թեորեմի համաձայն, համապատասխան ինտեգրալների արժեքները չեն փոխվում, եթե 7/r և 7r/ շրջանագծերը փոխարինվեն որևէ շրջանով։ Սա մեզ թույլ է տալիս միավորել (10) և (12) բանաձևերը: (8) բանաձևի աջ կողմի ինտեգրալները փոխարինելով իրենց արտահայտություններով (9) և (11) համապատասխանաբար, մենք ստանում ենք ցանկալի ընդլայնումը: Քանի որ z-ը կամայական է: օղակի կետում, հետևում է, որ (14) շարքը զուգակցվում է f(z) ֆունկցիայի հետ ամենուր այս օղակում, և ցանկացած օղակում շարքը զուգակցվում է այս ֆունկցիային բացարձակ և միատեսակ: Այժմ փաստենք, որ (6) ձևի տարրալուծումը եզակի է։ Ենթադրենք, որ տեղի է ունենում ևս մեկ տարրալուծում Այնուհետև, R օղակի ներսում ամենուր, մենք ունենք շրջագծի վրա, շարքերը (15) հավասարաչափ համընկնում են: Բազմապատկեք հավասարության երկու կողմերը (որտեղ m-ը ֆիքսված ամբողջ թիվ է, և ինտեգրեք երկու շարքերը անդամ առ անդամ: Արդյունքում մենք ստանում ենք ձախ կողմում, իսկ աջ կողմում ՝ Csh: Այսպիսով, (4, \u003d St. Քանի որ m-ը կամայական թիվ է, ապա վերջին հավասարության շարքը (6), որի գործակիցները հաշվարկվում են (7) բանաձևերով, կոչվում է 7 օղակի f(z) ֆունկցիայի Laurent շարքը Laurent շարքի գործակիցների համար։ գործնականում հազվադեպ են օգտագործվում, քանի որ, որպես կանոն, դրանք պահանջում են ծանր հաշվարկներ: Սովորաբար, հնարավորության դեպքում, օգտագործվում են տարրական գործառույթների պատրաստի Taylor ընդլայնումներ: Ելնելով ընդլայնման եզակիությունից, ցանկացած օրինական մեթոդ հանգեցնում է նույն արդյունքին: Օրինակ 2 Դիտարկենք տարբեր տիրույթների ֆունկցիաների Laurent շարքի ընդլայնումները՝ ենթադրելով, որ Fuiscius /(r)-ն ունի երկու եզակի կետ. Հետևաբար, կան երեք օղակաձև տիրույթ։ և կենտրոնացած r = 0 կետում, որոնցից յուրաքանչյուրում f(r) ֆունկցիան վերլուծական է. ա) շրջանագիծը շրջանագծի արտաքինն է (նկ. 27): Եկեք գտնենք /(z) ֆունկցիայի Laurent ընդլայնումները այս շրջաններից յուրաքանչյուրում: Մենք ներկայացնում ենք /(z)-ը որպես տարրական կոտորակների գումար. ա) Շրջանաձև փոխակերպման կապը (16) հետևյալ կերպ Օգտագործելով երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը, մենք ստանում ենք. բ) -z ֆունկցիայի օղակը մնում է կոնվերգենտ այս օղակում, քանի որ j^j ֆունկցիայի շարքը (19) |z| > 1-ը տարբերվում է: Հետևաբար, մենք փոխակերպում ենք /(z) ֆունկցիան հետևյալ կերպ. կրկին կիրառելով (19) բանաձևը, մենք ստանում ենք, որ այս շարքը համընկնում է: Ընդարձակումները (18) և (21) փոխարինելով (20) առնչությամբ՝ ստանում ենք գ) -z ֆունկցիայի շրջանակի արտաքին տեսքը |z| > 2-ը շեղվում է, և (21) շարքը ֆունկցիայի համար Ներկայացնենք /(z) ֆունկցիան հետևյալ ձևով.<*> Օգտագործելով (18) և (19) բանաձևերը, մենք ստանում ենք OR 1 Այս օրինակը ցույց է տալիս, որ նույն f(z) ֆունկցիայի համար Laurent ընդլայնումը, ընդհանուր առմամբ, տարբեր օղակների համար ունի տարբեր ձև: Օրինակ 3. Գտեք Laurent ֆունկցիայի 8 Laurent շարքի տարրալուծումը Մեկուսացված եզակի կետերը և դրանց դասակարգումը օղակաձև հատվածում A Մենք օգտագործում ենք f (z) ֆունկցիայի ներկայացումը հետևյալ ձևով. և փոխակերպում ենք երկրորդ անդամը Օգտագործելով Երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների գումարի բանաձևը, մենք ստանում ենք հայտնաբերված արտահայտությունները փոխարինելով (22) բանաձևով, ունենք օրինակ 4: Լորանի շարքի ֆունկցիան ընդլայնել բարակ zq = 0 հարևանությամբ: Ցանկացած բարդի համար , մենք ունենք Թող Այս ընդլայնումը վավեր է ցանկացած z Ф 0 կետի համար: Այս դեպքում օղակաձև շրջանը ամբողջ բարդ հարթությունն է մեկ դուրս նետված z - 0 կետով: Այս տարածքը կարող է սահմանվել հետևյալ հարաբերությամբ. Այս ֆունկցիան վերլուծական է: տարածաշրջանում Լորանի շարքի գործակիցների բանաձևերից (13), նույն պատճառաբանությամբ, ինչպես նախորդ պարբերությունում, կարելի է ստանալ Kouiw անհավասարությունները: եթե f(z) ֆունկցիան սահմանափակված է շրջանագծի վրա, որտեղ M-ը հաստատուն է), ապա մեկուսացված եզակի կետեր A zo կետը կոչվում է f(z) ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետ, եթե գոյություն ունի կետի օղակաձև հարևանություն: այս բազմությունը երբեմն կոչվում է նաև 2o կետի ծակված հարևանություն, որտեղ f(z) ֆունկցիան միարժեք է և վերլուծական: Ինքն zo կետում ֆունկցիան կամ սահմանված չէ, կամ միարժեք և վերլուծական չէ: Կախված /(z) ֆունկցիայի վարքագծից զո կետին մոտենալիս առանձնանում են եզակի կետերի երեք տեսակ։ Մեկուսացված եզակի կետն ասում են, որ. Թեորեմ 16. F(z) ֆունկցիայի մեկուսացված z0 եզակի կետը շարժական եզակի կետ է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ zo կետի հարևանությամբ f(z) ֆունկցիայի Laurent ընդլայնումը չի պարունակում հիմնական մաս, այսինքն. ունի Let zo - շարժական եզակի կետ: Այնուհետև գոյություն ունի վերջավոր մեկը, և, հետևաբար, f(z) ֆունկցիան սահմանափակված է r կետի պրոկոլոգիական հարևանությամբ: Մենք սահմանում ենք Կոշիի անհավասարությունների հիման վրա, քանի որ հնարավոր է ընտրել ρ այնքան փոքր, որքան ցանկանում ենք, ապա բոլոր Բացասական հզորությունների (z - 20) գործակիցները հավասար են զրոյի: Ընդհակառակը, թող Laurent-ը /(r) ֆունկցիայի ընդլայնումը zq կետի հարևանությամբ պարունակում է միայն ճիշտ մասը, այսինքն՝ ունի (23) ձևը: և, հետևաբար, Թեյլորն է։ Հեշտ է տեսնել, որ z -* z0-ի համար /(r) ֆունկցիան ունի սահմանային արժեք. Թեորեմ 17: F(z) ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետը շարժական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե J(z) ֆունկցիան է: սահմանափակված է զք կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ, Զգմեչայը ոչ: Թող r0 լինի f(r) շարժական եզակի կետ: Ենթադրենք, որ մենք ստանում ենք, որ f(r) ֆունկցիան վերլուծական է th կետում կենտրոնացած ինչ-որ շրջանակում: Սա սահմանում է կետի անվանումը՝ միանգամյա օգտագործման։ Թեորեմ 18. f(z) ֆունկցիայի zq մեկուսացված եզակի կետը բևեռ է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ f(z) ֆունկցիայի Laurent-ի ընդլայնման հիմնական մասը կետի հարևանությամբ պարունակում է վերջավոր (և դրական) թիվ։ ոչ զրոյական անդամներից, այսինքն՝ ունի 4 ձև: Թող z0 լինի բևեռ: Այդ ժամանակից ի վեր գոյություն ունի z0 կետի ծակված հարևանություն, որտեղ f(z) ֆունկցիան վերլուծական է և ոչ զրոյական: Այնուհետև այս հարևանությամբ սահմանվում է վերլուծական ֆունկցիա, և, հետևաբար, zq կետը ֆունկցիայի շարժական եզակի կետն է (զրո), կամ որտեղ h(z)-ն անալիտիկ ֆունկցիա է, h(z0) ∩ 0. վերլուծական է հարևանությամբ: zq կետը, և, հետևաբար, որտեղից մենք ստանում ենք, որ հիմա ենթադրենք, որ f(z) ֆունկցիան ունի (24) ձևի տարրալուծում zo կետի ծակված հարևանությամբ: Սա նշանակում է, որ այս հարևանությամբ f(z) ֆունկցիան ֆունկցիայի հետ միասին վերլուծական է: g(z) ֆունկցիայի համար վավեր է այն ընդլայնումը, որից պարզ է, որ zq-ը g(z) ֆունկցիայի շարժական եզակի կետն է և գոյություն ունի: Այնուհետև ֆունկցիան հակված է 0-ի վրա - ֆունկցիայի բևեռը: Կա ևս մեկ պարզ. փաստ. Zq կետը f(z) ֆունկցիայի բևեռ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե g(z) = y ֆունկցիան կարող է տարածվել zq կետի հարևանությամբ գտնվող վերլուծական ֆունկցիայի վրա՝ սահմանելով g(z0) = 0: Կարգը: f(z) ֆունկցիայի բևեռը կոչվում է jfa ֆունկցիայի զրոյի կարգ։ 16-րդ և 18-րդ թեորեմները ենթադրում են հետևյալ պնդումը. Թեորեմ 19. Մեկուսացված եզակի նոսրը ըստ էության եզակի է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այս կետի ծակված հարևանությամբ Լորանի ընդլայնման հիմնական մասը պարունակում է անսահման շատ ոչ զրոյական անդամներ: Օրինակ 5. Ֆունկցիայի եզակի կետը zo = 0 է: Մենք ունենք Laurent Series մեկուսացված եզակի կետեր և դրանց դասակարգումը Հետևաբար, zo = 0-ը շարժական եզակի կետ է: Լորանի շարքի /(z) ֆունկցիայի ընդլայնումը զրոյական կետի շրջակայքում պարունակում է միայն ճիշտ մասը՝ Օրինակ 7։ f(z) = f(z) ֆունկցիայի եզակի կետը zq = 0 է: Դիտարկենք այս ֆունկցիայի պահվածքը իրական և երևակայական առանցքների վրա. իրական առանցքի վրա x 0, երևակայական առանցքի վրա Հետևաբար, ոչ վերջավոր է, ոչ էլ երևակայական: անսահման սահման f(z) z -* 0-ում գոյություն չունի: Այսպիսով, r0 = 0 կետը f(z) ֆունկցիայի էապես եզակի կետն է: Եկեք գտնենք f(z) ֆունկցիայի Laurent ընդլայնումը զրոյական կետի հարևանությամբ: Ցանկացած բարդ C-ի համար մենք սահմանել ենք: Այնուհետև Laurent-ի ընդլայնումը պարունակում է անսահման թվով անդամներ z-ի բացասական հզորություններով:

Սահմանում.Ֆունկցիայի եզակի կետը կոչվում է մեկուսացված, եթե այս կետի ինչ-որ հարեւանությամբ վերլուծական ֆունկցիա է (այսինքն՝ վերլուծական ռինգում):

Ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետերի դասակարգումը կապված է այս ֆունկցիայի վարքագծի հետ եզակի կետի հարևանությամբ:

Սահմանում.Կետը կոչվում է միանգամյա օգտագործման ֆունկցիայի եզակի կետ, եթե կա այս ֆունկցիայի վերջավոր սահմանը ժամը .

Օրինակ 5Ցույց տալ, որ ֆունկցիան մի կետում ունի շարժական եզակիություն:

Որոշում.Հիշեցնելով առաջին ուշագրավ սահմանը՝ հաշվում ենք

Սա նշանակում է, որ տվյալ ֆունկցիան կետում ունի շարժական եզակիություն։

Առաջադրանք 4.Ցույց տվեք, որ կետը շարժական է .

Սահմանում.Կետը կոչվում է բեւեռ ֆունկցիան, եթե այս ֆունկցիան անորոշ ժամանակով մեծանում է, այսինքն.

Ուշադրություն դարձնենք վերլուծական ֆունկցիայի զրո և բևեռ հասկացությունների կապին։ Ներկայացնենք ֆունկցիան որպես .

Եթե ​​կետը ֆունկցիայի պարզ զրո է, ապա ֆունկցիան ունի պարզ բևեռ

Եթե ​​կետը ֆունկցիայի զրոյական կարգն է, ապա ֆունկցիայի համար այն բևեռն է պատվեր.

Օրինակ 6Ցույց տվեք, որ ֆունկցիան մի կետում ունի երրորդ կարգի բևեռ:

Որոշում.Ենթադրելով, մենք ստանում ենք. Քանի որ մենք հակված ենք զրոյի, ցանկացած օրենքի համաձայն, ունենք . Այնուհետև, և դրա հետ մեկտեղ գործառույթն ինքնին ավելանում է անորոշ ժամանակով: Հետևաբար, , այսինքն՝ եզակի կետը բևեռ է։ Ֆունկցիայի համար այս կետն ակնհայտորեն եռակի զրո է: Այսպիսով, այս ֆունկցիայի համար կետը երրորդ կարգի բևեռ է:

Առաջադրանք 5.Ցույց տվեք, որ կետն ունի պարզ բևեռ:

Սահմանում.Կետը կոչվում է ըստ էության հատուկ ֆունկցիայի կետը, եթե այս կետում չկա ֆունկցիայի ոչ վերջավոր, ոչ էլ անսահման սահման (ֆունկցիայի վարքագիծը սահմանված չէ):

Թող լինի ֆունկցիայի էական եզակի կետը: Այնուհետև ցանկացած նախապես նշանակված կոմպլեքս թվի համար կա կետերի այնպիսի հաջորդականություն, որը համընկնում է դեպի , որի երկայնքով արժեքները հակված են. Սոչոկկիի թեորեմ):

Օրինակ 7Ցույց տվեք, որ մի կետում ֆունկցիան ունի էական եզակիություն:

Որոշում.Դիտարկենք տվյալ ֆունկցիայի պահվածքը կետի մոտակայքում: Քանի որ իրական առանցքի դրական մասի երկայնքով (այսինքն) ունենք և ; եթե իրական առանցքի բացասական մասի երկայնքով (այսինքն), ապա և . Այսպիսով, սահմանափակում չկա: Ըստ սահմանման՝ ֆունկցիան մի կետում ունի էական եզակիություն:

Դիտարկենք զրոյական ֆունկցիայի պահվածքը Սոչոկկու թեորեմի տեսանկյունից։ Թող լինի ցանկացած բարդ թիվ, բացի զրոյից և անսահմանությունից:

Հավասարությունից մենք գտնում ենք. Ենթադրելով, մենք ստանում ենք կետերի հաջորդականություն, . Ակնհայտորեն, . Այս հաջորդականության յուրաքանչյուր կետում ֆունկցիան հավասար է և հետևաբար

Առաջադրանք 6.Ցույց տվեք, որ ֆունկցիան մի կետում ունի էական եզակիություն:

Անսահմանության կետը միշտ համարվում է հատուկ ֆունկցիայի համար. Կետը կոչվում է ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետ, եթե այս ֆունկցիան չունի այլ եզակի կետեր սկզբնակետում կենտրոնացած ինչ-որ շրջանից դուրս:

Մեկուսացված եզակի կետերի դասակարգումը կարող է տարածվել նաև դեպքի վրա:

Օրինակ 8Ցույց տվեք, որ ֆունկցիան ունի կրկնակի բևեռ անսահմանության վրա:

Որոշում.Դիտարկենք ֆունկցիան, որտեղ է վերլուծական ֆունկցիան կետի հարեւանությամբ, և. Սա նշանակում է, որ ֆունկցիան ունի կրկնակի զրո անվերջության դեպքում, բայց հետո ֆունկցիայի համար կետը կրկնակի բևեռ է:

Օրինակ 9Ցույց տվեք, որ ֆունկցիան ունի էական եզակիություն անսահմանության մեջ:

Որոշում.Նմանատիպ խնդիր դիտարկվում է պր.7-ում: Դիտարկենք ֆունկցիայի պահվածքը անսահման հեռավոր կետի հարևանությամբ: Իրական առանցքի դրական մասի երկայնքով, իսկ իրական առանցքի բացասական մասի երկայնքով: Սա նշանակում է, որ մի կետում ֆունկցիայի սահմանափակում չկա և, ըստ սահմանման, այս կետը ըստ էության եզակի է:

Մի կետում ֆունկցիայի եզակիության բնույթը կարելի է դատել՝ ելնելով հիմնական մասը Laurent-ի ընդլայնում այս կետի հարեւանությամբ:

Թեորեմ 1.Որպեսզի կետը լինի միանգամյա օգտագործման ֆունկցիայի եզակի կետ, անհրաժեշտ և բավարար է, որ համապատասխան Laurent ընդլայնումը հիմնական մասը չէր պարունակում։

Առաջադրանք 6.Օգտագործելով Թեյլորի ֆունկցիայի ընդլայնումը կետի հարևանությամբ, ցույց տվեք, որ այն ունի շարժական եզակիություն զրոյի վրա:

Թեորեմ 2.Որպեսզի կետը լինի բեւեռ գործառույթներ, անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի հիմնական մասը համապատասխան Laurent ընդլայնումը պարունակում էր սահմանափակ թվով անդամներ :

Ամենաբարձր բացասական անդամի թիվը որոշում է բևեռի կարգը:

Այս դեպքում ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես

որտեղ է վերլուծական ֆունկցիան կետում, , բևեռի կարգն է:

Օրինակ 10Ցույց տվեք, որ ֆունկցիան կետերում ունի պարզ բևեռներ:

Որոշում.Դիտարկենք մի կետ. Մենք օգտագործում ենք այս ֆունկցիայի Laurent ընդլայնումը այս կետի մոտակայքում, որը ստացվել է Օրինակ 2-ում.

Քանի որ այս ընդլայնման հիմնական մասում ամենաբարձր (և միակ) բացասական ուժը հավասար է մեկի, կետը այս ֆունկցիայի պարզ բևեռն է:

Այս արդյունքը կարելի էր այլ կերպ ստանալ։ Եկեք ներկայացնենք ձևով և դրենք - սա ֆունկցիա է, որը վերլուծական է կետում և . Հետևաբար, (8) շնորհիվ այս ֆունկցիան կետում ունի պարզ բևեռ:

Մեկ այլ եղանակ՝ դիտարկենք մի ֆունկցիա, որը կետում ունի պարզ զրո: Հետևաբար, այս պահին այն ունի պարզ բևեռ:

Նմանապես, եթե ֆունկցիան գրենք ձևով, որտեղ կա ֆունկցիայի վերլուծական կետում և , ապա անմիջապես պարզ է դառնում, որ կետը ֆունկցիայի պարզ բևեռ է:

Առաջադրանք 7.Ցույց տվեք, որ ֆունկցիան կետում ունի 2-րդ կարգի բևեռ, իսկ կետում՝ 4-րդ կարգի բևեռ:

Թեորեմ 3.Որպեսզի կետը լինի ըստ էության հատուկ ֆունկցիայի կետը, անհրաժեշտ և բավարար է, որ հիմնական մասը Laurent-ի ընդլայնում կետի հարեւանությամբ պարունակում էր անսահման թվով անդամներ .

Օրինակ 11.Որոշե՛ք ֆունկցիայի կետում եզակիության բնույթը

Որոշում.Կոսինուսի հայտնի ընդլայնման մեջ մենք դնում ենք.

Հետևաբար, Laurent-ի ընդլայնումը կետի հարևանությամբ ունի ձև

Այստեղ ճիշտ մասը մեկ տերմին է։ Իսկ հիմնական մասը պարունակում է անսահման թվով անդամներ, ուստի կետը ըստ էության եզակի է։

Առաջադրանք 8.Ցույց տվեք, որ մի կետում ֆունկցիան ունի էական եզակիություն:

Դիտարկենք որոշ ֆունկցիա և գրի առեք դրա Laurent ընդլայնումը այն կետում.

Եկեք փոխարինում կատարենք, մինչդեռ կետը գնում է դեպի կետը: Այժմ, անսահմանության կետի հարեւանությամբ, մենք ունենք

Մնում է նոր անվանում մտցնել։ Մենք ստանում ենք

որտեղ է հիմնական մասը, և դա ֆունկցիայի Laurent-ի ընդլայնման կանոնավոր մասն է անսահման հեռավոր կետի հարևանությամբ: Այսպիսով, կետի հարևանությամբ ֆունկցիայի Laurent ընդլայնման դեպքում հիմնական մասը դրական հզորություններով շարք է, մինչդեռ ճիշտ մասը բացասական հզորությունների շարք է: Սա հաշվի առնելով

Այնուամենայնիվ, եզակիության բնույթը որոշելու վերը նշված չափանիշները գործում են անսահման հեռավոր կետի համար:

Օրինակ 12.Պարզեք կետում ֆունկցիայի եզակիության բնույթը: , ապա մի կետում կարող է պարզվել, որ այն ոչ մեկուսացված է:

Օրինակ 15Անսահման հեռավոր կետում ֆունկցիան ունի էական եզակիություն: Ցույց տվեք, որ ֆունկցիայի կետը մեկուսացված եզակի կետ չէ:

Որոշում.Ֆունկցիան ունի անսահման թվով բևեռներ հայտարարի զրոներում, այսինքն՝ , կետերում: Քանի որ, ուրեմն, կետը, որի ցանկացած հարևանությամբ կան բևեռներ, բևեռների սահմանային կետն է: