Եթե ​​անկյունը սուր է, ապա գործակիցը: Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Նախորդ գլխում ցույց տրվեց, որ հարթության վրա ընտրելով որոշակի կոորդինատային համակարգ, մենք կարող ենք վերլուծական կերպով արտահայտել դիտարկվող գծի կետերը բնութագրող երկրաչափական հատկությունները ընթացիկ կոորդինատների միջև հավասարմամբ: Այսպիսով, մենք ստանում ենք գծի հավասարումը. Այս գլխում կդիտարկվեն ուղիղ գծերի հավասարումները:

Դեկարտյան կոորդինատներում ուղիղ գծի հավասարումը ձևակերպելու համար անհրաժեշտ է ինչ-որ կերպ սահմանել այն պայմանները, որոնք որոշում են դրա դիրքը կոորդինատային առանցքների նկատմամբ:

Նախ ներկայացնում ենք ուղիղ գծի թեքության հասկացությունը, որը հարթության վրա ուղիղ գծի դիրքը բնութագրող մեծություններից մեկն է։

Օքսի առանցքի նկատմամբ ուղիղի թեքության անկյունը կոչենք այն անկյունը, որով պետք է պտտել Ox առանցքը, որպեսզի այն համընկնի տվյալ ուղիղին (կամ ստացվի նրան զուգահեռ)։ Ինչպես միշտ, մենք կդիտարկենք անկյունը՝ հաշվի առնելով նշանը (նշանը որոշվում է պտտման ուղղությամբ՝ հակառակ կամ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ)։ Քանի որ Ox առանցքի լրացուցիչ պտույտը 180 ° անկյան տակ կրկին կմիավորի այն ուղիղ գծի հետ, ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի առանցքը կարող է ընտրվել ոչ միանշանակ (մինչև բազմապատիկ):

Այս անկյան շոշափողը եզակիորեն որոշված ​​է (քանի որ անկյունը փոխելը չի ​​փոխում նրա շոշափողը):

Ուղիղ գծի x առանցքին թեքության անկյան շոշափումը կոչվում է ուղիղ գծի թեքություն։

Լանջինբնութագրում է ուղիղ գծի ուղղությունը (այստեղ մենք չենք տարբերում ուղիղ գծի երկու միմյանց հակադիր ուղղությունները)։ Եթե ​​թեքությունը ուղիղ է զրո, ապա ուղիղը զուգահեռ է x առանցքին։ Դրական թեքության դեպքում ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի x առանցքը կլինի սուր (այստեղ մենք համարում ենք ամենափոքրը. դրական արժեքթեքության անկյուն) (նկ. 39); այս դեպքում որքան մեծ է թեքությունը, այնքան մեծ է նրա թեքության անկյունը դեպի Ox առանցքի: Եթե ​​թեքությունը բացասական է, ապա ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի x առանցքը բութ կլինի (նկ. 40): Նկատի ունեցեք, որ x-ի առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գիծը թեքություն չունի (անկյան շոշափողը գոյություն չունի):

y \u003d f (x) ուղիղը շոշափելի կլինի x0 կետում նկարում ներկայացված գրաֆիկին, եթե այն անցնում է կոորդինատներով կետով (x0; f (x0)) և ունի f "(x0) թեքություն: Գտեք նման գործակիցը, իմանալով շոշափողի հատկանիշները, դժվար չէ։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - մաթեմատիկական տեղեկատու;
• - պարզ մատիտ;
• - տետր;
• - անկյունաչափ;
• - կողմնացույց;
• - գրիչ:

Հրահանգ

Եթե ​​f‘(x0) արժեքը գոյություն չունի, ապա կամ շոշափող չկա, կամ այն ​​անցնում է ուղղահայաց։ Հաշվի առնելով այս հանգամանքը՝ x0 կետում ֆունկցիայի ածանցյալի առկայությունը պայմանավորված է ոչ ուղղահայաց շոշափողի առկայությամբ, որը շփվում է ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ (x0, f(x0) կետում)։ Այս դեպքում շոշափողի թեքությունը հավասար կլինի f "(x0): Այսպիսով պարզ է դառնում. երկրաչափական իմաստածանցյալ - շոշափողի թեքության հաշվարկ:

Գծե՛ք լրացուցիչ շոշափողներ, որոնք շփվելու են ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ x1, x2 և x3 կետերում, ինչպես նաև նշե՛ք այդ շոշափողներով ձևավորված անկյունները աբսցիսային առանցքով (այդպիսի անկյունը հաշվվում է առանցքից դեպի դրական ուղղությամբ. շոշափող գիծ): Օրինակ՝ անկյունը, այսինքն՝ α1, կլինի սուր, երկրորդը (α2) բութ է, իսկ երրորդը (α3)՝ զրո, քանի որ շոշափող ուղիղը զուգահեռ է OX առանցքին։ Այս դեպքում բութ անկյան շոշափողը բացասական է, սուր անկյան շոշափողը դրական է, իսկ tg0-ի դեպքում արդյունքը զրո է:

Նշում

Ճիշտ որոշիր շոշափողով ձևավորված անկյունը: Դա անելու համար օգտագործեք անկյունաչափ:

Օգտակար խորհուրդ

Երկու թեք ուղիղները զուգահեռ կլինեն, եթե դրանց թեքությունները հավասար են միմյանց. ուղղահայաց, եթե այս շոշափողների թեքությունների արտադրյալը -1 է:

Աղբյուրներ:

• Շոշափում է ֆունկցիայի գրաֆիկը

Կոսինուսը, ինչպես սինուսը, կոչվում է «ուղիղ» եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։ Շոշափողը (կոտանգենսի հետ միասին) ավելացվում է մեկ այլ զույգի, որը կոչվում է «ածանցյալներ»: Այս ֆունկցիաների մի քանի սահմանումներ կան, որոնք հնարավորություն են տալիս գտնել տրված շոշափողը հայտնի արժեքնույն արժեքի կոսինուս.

Հրահանգ

Տրված անկյան բարձրացված կոսինուսով միավորից հանե՛ք գործակիցը և ստացվածից հանե՛ք քառակուսի արմատը. սա կլինի շոշափողի արժեքը անկյան տակ՝ արտահայտված նրա կոսինուսով. tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Միաժամանակ ուշադրություն դարձրեք, որ բանաձեւում կոսինուսը կոտորակի հայտարարի մեջ է։ Զրոյի վրա բաժանելու անհնարինությունը բացառում է այս արտահայտության օգտագործումը 90°-ին հավասար անկյունների համար, ինչպես նաև այս արժեքից 180°-ի բազմապատիկներով տարբերվելը (270°, 450°, -90° և այլն):

Կա նաեւ այլընտրանքային ճանապարհհաշվարկելով տանգենսը կոսինուսի հայտնի արժեքից: Այն կարող է օգտագործվել, եթե այլ միջոցների օգտագործման սահմանափակում չկա: Այս մեթոդն իրականացնելու համար նախ որոշեք անկյան արժեքը կոսինուսի հայտնի արժեքից. դա կարելի է անել արկկոսինի ֆունկցիայի միջոցով: Այնուհետև պարզապես հաշվարկեք ստացված արժեքի անկյան շոշափողը: Ընդհանուր առմամբ, այս ալգորիթմը կարելի է գրել հետևյալ կերպ. tg(α)=tg(arccos(cos(α))):

Կա ևս մեկ էկզոտիկ տարբերակ՝ օգտագործելով կոսինուսի և շոշափողի սահմանումը ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններով: Այս սահմանման մեջ կոսինուսը համապատասխանում է դիտարկվող անկյան հարևանությամբ գտնվող ոտքի երկարության և հիպոթենուսի երկարության հարաբերությանը: Իմանալով կոսինուսի արժեքը՝ կարող եք ընտրել դրան համապատասխանող այս երկու կողմերի երկարությունները։ Օրինակ, եթե cos(α)=0,5, ապա կիցը կարելի է հավասար ընդունել 10 սմ, իսկ հիպոթենուսը՝ 20 սմ։ Հատուկ թվերն այստեղ նշանակություն չունեն. դուք կստանաք նույնը և կուղղեք ցանկացած արժեքով, որն ունի նույնը: Այնուհետև, օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, որոշեք բացակայող կողմի երկարությունը՝ հակառակ ոտքը: Նա հավասար կլինի քառակուսի արմատքառակուսի հիպոթենուսի և հայտնի ոտքի երկարությունների տարբերությունից՝ √(20²-10²)=√300: Ըստ սահմանման, շոշափողը համապատասխանում է հակառակ և հարակից ոտքերի երկարությունների հարաբերությանը (√300/10) - հաշվարկեք այն և ստացեք հայտնաբերված շոշափող արժեքը՝ օգտագործելով կոսինուսի դասական սահմանումը:

Աղբյուրներ:

• կոսինուսը շոշափող բանաձևով

Մեկը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, ամենից հաճախ նշվում է tg տառերով, թեև հանդիպում են նաև tan նշանակումները։ Ամենահեշտ ձևը տանգենսը որպես սինուսի հարաբերակցություն ներկայացնելն է անկյունիր կոսինուսին։ Սա կենտ պարբերական և ոչ շարունակական ֆունկցիա է, որի յուրաքանչյուր ցիկլը հավասար է թվին Pi, և ընդմիջման կետը համապատասխանում է այդ թվի կեսին:

Մաթեմատիկայի մեջ դեկարտյան կոորդինատային հարթության վրա ուղիղ գծի դիրքը նկարագրող պարամետրերից մեկն այս ուղիղ գծի թեքությունն է։ Այս պարամետրը բնութագրում է ուղիղ գծի թեքությունը դեպի x առանցքը: Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է գտնել թեքությունը, նախ հիշեք XY կոորդինատային համակարգում ուղիղ գծի հավասարման ընդհանուր ձևը:

Ընդհանրապես, ցանկացած տող կարող է ներկայացվել ax+by=c արտահայտությամբ, որտեղ a, b և c կամայական իրական թվեր են, բայց անպայման a 2 + b 2 ≠ 0:

Պարզ փոխակերպումների օգնությամբ նման հավասարումը կարելի է բերել y=kx+d ձևի, որում k և d-ն իրական թվեր են։ k թիվը թեքություն է, իսկ նման ուղիղ գծի հավասարումը կոչվում է թեքությամբ հավասարում։ Ստացվում է, որ թեքությունը գտնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը բերել վերը նշված ձևին։ Ավելի լավ հասկանալու համար հաշվի առեք կոնկրետ օրինակ.

Առաջադրանք՝ Գտե՛ք 36x - 18y = 108 հավասարմամբ տրված ուղիղի թեքությունը։

Լուծում. Փոխակերպենք սկզբնական հավասարումը:

Պատասխան. Այս գծի ցանկալի թեքությունը 2 է:

Եթե ​​հավասարման փոխակերպման ժամանակ մենք ստացել ենք x = const տիպի արտահայտություն և արդյունքում չենք կարող y-ն ներկայացնել որպես x-ի ֆունկցիա, ապա գործ ունենք X առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի հետ: այդպիսի ուղիղ գիծը հավասար է անսահմանության։

Այն տողերի համար, որոնք արտահայտված են y = const հավասարմամբ, թեքությունը զրո է: Սա բնորոշ է x-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծերին։ Օրինակ:

Առաջադրանք՝ Գտե՛ք 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 հավասարմամբ տրված ուղիղի թեքությունը։

Լուծում՝ սկզբնական հավասարումը բերում ենք ընդհանուր ձևի

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Ստացված արտահայտությունից անհնար է y-ն արտահայտել, հետևաբար, այս ուղիղ գծի թեքությունը հավասար է անսահմանության, իսկ ուղիղ գիծն ինքնին զուգահեռ կլինի Y առանցքին։

երկրաչափական իմաստ

Ավելի լավ հասկանալու համար եկեք նայենք նկարին.

Նկարում մենք տեսնում ենք y = kx տիպի ֆունկցիայի գրաֆիկ: Պարզեցնելու համար վերցնում ենք c = 0 գործակիցը: OAB եռանկյան մեջ BA կողմի և AO-ի հարաբերությունը հավասար կլինի k թեքությանը: Միևնույն ժամանակ, VA/AO հարաբերակցությունը α սուր անկյան շոշափողն է ուղղանկյուն եռանկյուն OAV. Ստացվում է, որ ուղիղ գծի թեքությունը հավասար է այն անկյան շոշափմանը, որը կազմում է այս ուղիղը կոորդինատային ցանցի x առանցքի հետ։

Լուծելով ուղիղ գծի թեքությունը գտնելու խնդիրը՝ մենք գտնում ենք նրա և կոորդինատային ցանցի x առանցքի միջև ընկած անկյան շոշափողը։ Սահմանային դեպքերը, երբ դիտարկվող գիծը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքներին, հաստատում են վերը նշվածը։ Իրոք, y=const հավասարմամբ նկարագրված ուղիղ գծի համար նրա և x առանցքի միջև անկյունը հավասար է զրոյի: Զրոյական անկյան շոշափողը նույնպես զրո է, իսկ թեքությունը նույնպես զրո է։

x-առանցքին ուղղահայաց և x=const հավասարմամբ նկարագրված ուղիղ գծերի համար նրանց և x-առանցքի միջև անկյունը 90 աստիճան է: Շոշափող Աջ անկյունըհավասար է անսահմանության, իսկ նմանատիպ ուղիղ գծերի թեքությունը հավասար է անսահմանության, ինչը հաստատում է վերևում գրվածը։

Շոշափող թեքություն

Գործնականում հաճախ հանդիպող խնդիր է նաև գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությունը ինչ-որ կետում: Շոշափողը ուղիղ գիծ է, հետևաբար դրա համար կիրառելի է նաև թեքություն հասկացությունը։

Պարզելու համար, թե ինչպես կարելի է գտնել շոշափողի թեքությունը, մենք պետք է հիշենք ածանցյալ հասկացությունը: Ցանկացած ֆունկցիայի ածանցյալը որոշակի կետում թվային առումով հաստատուն է հավասար է շոշափողինանկյունը, որը ձևավորվում է այս ֆունկցիայի գրաֆիկի նշված կետում շոշափողի և աբսցիսայի առանցքի միջև: Ստացվում է, որ x 0 կետում շոշափողի թեքությունը որոշելու համար մենք պետք է հաշվարկենք սկզբնական ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը այս կետում k \u003d f "(x 0): Դիտարկենք օրինակ.

Առաջադրանք՝ Գտե՛ք y = 12x 2 + 2x x ֆունկցիային շոշափող ուղիղի թեքությունը x = 0.1-ում:

Լուծում. Գտե՛ք սկզբնական ֆունկցիայի ածանցյալը ընդհանուր տեսքով

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Պատասխան. Ցանկալի թեքությունը x \u003d 0.1 կետում 4.831 է

Հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարման թեմայի շարունակությունը հիմնված է հանրահաշվի դասերից ուղիղ գծի ուսումնասիրության վրա։ Այս հոդվածը տալիս է ընդհանրացված տեղեկատվություն թեքության հետ ուղիղ գծի հավասարման թեմայի վերաբերյալ: Մտածեք սահմանումները, ստացեք բուն հավասարումը, բացահայտեք կապը այլ տեսակի հավասարումների հետ: Ամեն ինչ կքննարկվի խնդրի լուծման օրինակներով։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Նման հավասարում գրելուց առաջ անհրաժեշտ է սահմանել ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի O x առանցքը իրենց թեքությամբ։ Ենթադրենք, որ հարթության վրա տրված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգ:

Սահմանում 1

Ուղիղ գծի թեքության անկյունը O x առանցքի նկատմամբ,գտնվում է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում O x y հարթության վրա, սա այն անկյունն է, որը չափվում է O x դրական ուղղությունից դեպի ուղիղ գիծ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Երբ ուղիղը զուգահեռ է Ox-ին կամ դրանում պատահում է, թեքության անկյունը 0 է։ Այնուհետև տրված α ուղիղ գծի թեքության անկյունը սահմանվում է [ 0, π) միջակայքի վրա։

Սահմանում 2

Ուղիղ գծի թեքությունտրված ուղիղի թեքության շոշափողն է։

Ստանդարտ նշումը k է: Սահմանումից ստանում ենք, որ k = t g α : Երբ ուղիղը զուգահեռ է Ox-ին, ասում են, որ թեքությունը գոյություն չունի, քանի որ այն գնում է դեպի անսահմանություն:

Թեքությունը դրական է, երբ ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծանում է և հակառակը։ Նկարը ցույց է տալիս կոորդինատային համակարգի համեմատ ճիշտ անկյան դիրքի տարբեր տատանումներ՝ գործակցի արժեքով:

Այս անկյունը գտնելու համար անհրաժեշտ է կիրառել թեքության գործակիցի սահմանումը և հաշվարկել թեքության անկյան շոշափումը հարթության մեջ։

Որոշում

Պայմանից ունենք, որ α = 120 °: Ըստ սահմանման, դուք պետք է հաշվարկեք թեքությունը: Գտնենք այն k = t g α = 120 = - 3 բանաձեւից:

Պատասխան. k = - 3 .

Եթե ​​անկյունային գործակիցը հայտնի է, բայց անհրաժեշտ է գտնել x-առանցքի թեքության անկյունը, ապա պետք է հաշվի առնել անկյունային գործակիցի արժեքը։ Եթե ​​k > 0, ապա ուղիղ անկյունը սուր է և հայտնաբերվում է α = a r c t g k բանաձևով: Եթե ​​կ< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Օրինակ 2

Որոշի՛ր տրված ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի O x՝ 3-ի հավասար թեքությամբ։

Որոշում

Պայմանից ունենք, որ թեքությունը դրական է, ինչը նշանակում է, որ դեպի O x թեքության անկյունը 90 աստիճանից պակաս է։ Հաշվարկները կատարվում են α = a r c t g k = a r c t g 3 բանաձեւով:

Պատասխան՝ α = a r c t g 3:

Օրինակ 3

Գտե՛ք ուղիղ գծի թեքության անկյունը O x առանցքի նկատմամբ, եթե թեքությունը = - 1 3:

Որոշում

Եթե ​​որպես թեքության նշան վերցնենք k տառը, ապա α-ն տրված ուղիղ գծի թեքության անկյունն է O x դրական ուղղությամբ։ Այսպիսով, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6:

Պատասխան. 5 pi 6.

y \u003d k x + b ձևի հավասարումը, որտեղ k-ը թեքություն է, իսկ b-ն ինչ-որ իրական թիվ է, կոչվում է թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարում: Հավասարումը բնորոշ է ցանկացած ուղիղ գծի համար, որը զուգահեռ չէ O y առանցքին:

Եթե ​​մանրամասն դիտարկենք հարթության վրա ուղիղ գիծը հաստատուն կոորդինատային համակարգում, որը տրված է y = k · x + b թեքությամբ հավասարմամբ: Այս դեպքում նշանակում է, որ գծի ցանկացած կետի կոորդինատները համապատասխանում են հավասարմանը։ Եթե ​​M, M 1 (x 1, y 1) կետի կոորդինատները փոխարինենք y \u003d k x + b հավասարման մեջ, ապա այս դեպքում ուղիղը կանցնի այս կետով, հակառակ դեպքում կետը չի պատկանում. տող.

Օրինակ 4

Տրվում է ուղիղ գիծ y = 1 3 x - 1 թեքությամբ: Հաշվիր՝ M 1 (3 , 0) և M 2 (2, - 2) կետերը պատկանում են արդյոք տվյալ ուղիղին։

Որոշում

Անհրաժեշտ է M 1 (3, 0) կետի կոորդինատները փոխարինել տրված հավասարման մեջ, ապա ստանում ենք 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 ։ Հավասարությունը ճիշտ է, ուստի կետը պատկանում է գծին:

Եթե ​​փոխարինենք M 2 (2, - 2) կետի կոորդինատները, ապա կստանանք ձևի սխալ հավասարություն - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3: Կարելի է եզրակացնել, որ M 2 կետը չի պատկանում ուղիղին։

Պատասխան. M 1-ը պատկանում է գծին, իսկ M 2-ը՝ ոչ:

Հայտնի է, որ ուղիղ գիծը սահմանվում է y = k · x + b հավասարմամբ՝ անցնելով M 1 (0 , b) միջով, փոխարինումը տվել է b = k · 0 + b ⇔ b = b ձևի հավասարություն: Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ հարթության վրա y = k · x + b թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է 0, b կետով: Այն կազմում է α անկյուն O x առանցքի դրական ուղղությամբ, որտեղ k = t g α :

Դիտարկենք, օրինակ, ուղիղ գիծ, ​​որը սահմանվում է y = 3 · x - 1 ձևով տրված թեքության միջոցով: Ստանում ենք, որ ուղիղ գիծը կանցնի 0, - 1 կոորդինատ ունեցող կետով α = a r c t g 3 = π 3 ռադիանների թեքությամբ O x առանցքի դրական ուղղությամբ։ Այստեղից երեւում է, որ գործակիցը 3 է։

Տրված կետով անցնող թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը

Անհրաժեշտ է լուծել խնդիր, որտեղ անհրաժեշտ է ստանալ M 1 (x 1, y 1) կետով անցնող տրված թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը:

y 1 = k · x + b հավասարությունը կարելի է վավեր համարել, քանի որ ուղիղն անցնում է M 1 կետով (x 1 , y 1) ։ b թիվը հանելու համար անհրաժեշտ է ձախ և աջ կողմերից հանել թեքության գործակիցով հավասարումը։ Այստեղից հետևում է, որ y - y 1 = k · (x - x 1) . Այս հավասարությունը կոչվում է M 1 (x 1, y 1) կետի կոորդինատներով անցնող տրված թեքությամբ k ուղիղ գծի հավասարում։

Օրինակ 5

Կազմե՛ք M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը կոորդինատներով (4, - 1), - 2-ի թեքությամբ։

Որոշում

Պայմանով մենք ունենք x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2: Այստեղից ուղիղ գծի հավասարումը կգրվի այսպես y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x. + 7.

Պատասխան. y = - 2 x + 7:

Օրինակ 6

Գրեք ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ, որն անցնում է M 1 կետով (3, 5) կոորդինատներով, y \u003d 2 x - 2 ուղիղ գծին զուգահեռ:

Որոշում

Պայմանով ունենք, որ զուգահեռ ուղիղներն ունեն թեքության համընկնող անկյուններ, հետևաբար թեքության գործակիցները հավասար են։ Լանջը գտնելու համար տրված հավասարումը, անհրաժեշտ է հիշել դրա հիմնական բանաձևը y = 2 x - 2, հետևաբար հետևում է, որ k = 2: Կազմում ենք թեքության գործակցով հավասարում և ստանում.

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Պատասխան. y = 2 x - 1 .

Անցում թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումից ուղիղ գծի այլ տիպի հավասարումների և հակառակը.

Նման հավասարումը միշտ չէ, որ կիրառելի է խնդիրներ լուծելու համար, քանի որ այն ունի ոչ այնքան հարմար նշում: Դա անելու համար այն պետք է ներկայացվի այլ ձևով: Օրինակ, y = k · x + b ձևի հավասարումը թույլ չի տալիս գրել ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները կամ նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ Դա անելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես ներկայացնել տարբեր տեսակի հավասարումներ:

Մենք կարող ենք ստանալ հարթության ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը` օգտագործելով թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը: Մենք ստանում ենք x - x 1 a x = y - y 1 a y: Անհրաժեշտ է b տերմինը տեղափոխել ձախ կողմ և բաժանել ստացված անհավասարության արտահայտությամբ։ Այնուհետև մենք ստանում ենք y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k ձևի հավասարումը:

Թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը դարձել է տրված ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը։

Օրինակ 7

y = - 3 x + 12 թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը բերեք կանոնական ձևի:

Որոշում

Մենք հաշվարկում և ներկայացնում ենք ուղիղ գծի կանոնական հավասարման տեսքով։ Մենք ստանում ենք ձևի հավասարում.

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Պատասխան՝ x 1 = y - 12 - 3:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը ամենահեշտն է ստանալ y = k x + b-ից, սակայն դրա համար անհրաժեշտ են փոխակերպումներ՝ y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0: Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից անցում է կատարվում այլ տեսակի հավասարումների:

Օրինակ 8

Տրված է y = 1 7 x - 2 ձևի ուղիղ գծի հավասարում։ Պարզեք, արդյոք a → = (- 1 , 7) կոորդինատներով վեկտորը նորմալ ուղիղ գծի վեկտոր է:

Որոշում

Այն լուծելու համար անհրաժեշտ է անցնել այս հավասարման այլ ձևի, դրա համար գրում ենք.

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Փոփոխականների դիմաց գործակիցները ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են։ Գրենք այսպես n → = 1 7 , - 1 , հետևաբար 1 7 x - y - 2 = 0: Հասկանալի է, որ a → = (- 1 , 7) վեկտորը համագիծ է n → = 1 7, - 1 վեկտորին, քանի որ մենք ունենք a → = - 7 · n → արդար հարաբերություն: Հետևում է, որ a → = - 1, 7 սկզբնական վեկտորը 1 7 x - y - 2 = 0 տողի նորմալ վեկտորն է, ինչը նշանակում է, որ այն համարվում է նորմալ վեկտոր y = 1 7 x - 2 տողի համար։

Պատասխան.Է ան

Եկեք խնդիրը լուծենք այս մեկի հակառակը:

Պետք է տեղափոխել ընդհանուր տեսարան A x + B y + C = 0 հավասարումը, որտեղ B ≠ 0, թեքության հավասարմանը: Դա անելու համար մենք լուծում ենք y-ի հավասարումը: Մենք ստանում ենք A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B:

Արդյունքը հավասարություն է, որի թեքությունը հավասար է - A B-ին:

Օրինակ 9

Տրված է 2 3 x - 4 y + 1 = 0 ձևի ուղիղ գծի հավասարումը։ Ստացեք թեքությամբ տրված ուղիղի հավասարումը.

Որոշում

Ելնելով պայմանից՝ անհրաժեշտ է լուծել y-ը, այնուհետև ստանում ենք ձևի հավասարում.

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4:

Պատասխան՝ y = 1 6 x + 1 4:

Նմանապես լուծվում է x a + y b \u003d 1 ձևի հավասարումը, որը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարում հատվածներով, կամ կանոնական ձև x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y: Հարկավոր է լուծել այն y-ի նկատմամբ, միայն դրանից հետո ստանում ենք թեքությամբ հավասարում.

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b.

Կանոնական հավասարումը կարող է կրճատվել թեքություն ունեցող ձևի: Սրա համար:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x1 +

Օրինակ 10

Կա ուղիղ գիծ, ​​որը տրված է x 2 + y - 3 = 1 հավասարմամբ: Հավասարման ձևի բերեք թեքությամբ:

Որոշում.

Ելնելով պայմանից՝ անհրաժեշտ է վերափոխել, այնուհետև ստանում ենք _բանաձև_ ձևի հավասարում։ Հավասարման երկու կողմերը պետք է բազմապատկել -3-ով, որպեսզի ստացվի թեքության պահանջվող հավասարումը: Փոխակերպվելով՝ մենք ստանում ենք.

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3:

Պատասխան. y = 3 2 x - 3:

Օրինակ 11

x - 2 2 \u003d y + 1 5 ձևի ուղիղ գծի հավասարումը բերվում է թեքությամբ:

Որոշում

Անհրաժեշտ է համամասնությամբ հաշվարկել x - 2 2 = y + 1 5 արտահայտությունը։ Մենք ստանում ենք, որ 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Այժմ դուք պետք է լիովին միացնեք այն, դրա համար.

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Պատասխան՝ y = 5 2 x - 6:

Նման առաջադրանքները լուծելու համար պետք է բերել x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ուղիղ գծի պարամետրական հավասարումներ. կանոնական հավասարումուղիղ գիծ, ​​միայն դրանից հետո կարող եք անցնել թեքության գործակցի հավասարմանը։

Օրինակ 12

Գտե՛ք ուղիղ գծի թեքությունը, եթե այն տրված է պարամետրական հավասարումներով x = λ y = - 1 + 2 · λ :

Որոշում

Դուք պետք է անցում կատարեք պարամետրային տեսքից դեպի թեքություն: Դա անելու համար մենք գտնում ենք կանոնական հավասարումը տրված պարամետրայինից.

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2:

Այժմ անհրաժեշտ է լուծել այս հավասարությունը y-ի նկատմամբ, որպեսզի ստացվի թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը: Դա անելու համար մենք գրում ենք այսպես.

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Դրանից բխում է, որ ուղիղ գծի թեքությունը հավասար է 2-ի։ Սա գրված է որպես k = 2:

Պատասխան. k = 2.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Նկարը ցույց է տալիս ուղիղ գծի թեքության անկյունը և թեքության գործակիցի արժեքը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի համեմատ ուղիղ գծի գտնվելու վայրի տարբեր տարբերակների համար:

Ուղիղ գծի թեքությունը դեպի Ox առանցքի թեքության հայտնի անկյան տակ գտնելը որևէ դժվարություն չի ներկայացնում: Դա անելու համար բավական է հիշել թեքության գործակիցի սահմանումը և հաշվարկել թեքության անկյան շոշափողը։

Օրինակ.

Գտե՛ք ուղիղի թեքությունը, եթե նրա թեքության անկյունը դեպի x առանցքը հավասար է .

Որոշում.

Ըստ պայմանի. Այնուհետև ուղիղ գծի թեքության սահմանմամբ հաշվում ենք .

Պատասխան.

Հայտնի թեքությամբ դեպի x առանցքի ուղիղ գծի թեքության անկյունը գտնելու խնդիրը մի փոքր ավելի բարդ է։ Այստեղ անհրաժեշտ է հաշվի առնել թեքության գործակցի նշանը։ Երբ ուղիղ գծի թեքության անկյունը սուր է և հայտնաբերվում է որպես. Երբ ուղիղ գծի թեքության անկյունը բութ է և կարող է որոշվել բանաձևով .

Օրինակ.

Որոշե՛ք ուղիղ գծի x առանցքի թեքության անկյունը, եթե դրա թեքությունը 3 է:

Որոշում.

Քանի որ, ըստ պայմանի, թեքությունը դրական է, ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի Ox առանցքը սուր է: Մենք հաշվարկում ենք այն բանաձևով.

Պատասխան.

Օրինակ.

Ուղիղ գծի թեքությունը . Որոշե՛ք ուղիղ գծի թեքության անկյունը Ox առանցքի նկատմամբ։

Որոշում.

Նշանակել k-ն ուղիղ գծի թեքությունն է, այս ուղիղ գծի թեքության անկյունն է Ox առանցքի դրական ուղղությամբ: Ինչպես , ապա օգտագործում ենք հետևյալ ձևի ուղիղ գծի թեքության անկյունը գտնելու բանաձևը . Մենք պայմանի տվյալները փոխարինում ենք դրա մեջ.

Պատասխան.

Ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ.

Գծի հավասարում թեքությամբունի ձև, որտեղ k-ն ուղիղ գծի թեքությունն է, b-ն իրական թիվ է: Լանջով ուղիղ գծի հավասարումը կարող է օգտագործվել ցանկացած ուղիղ գիծ նշելու համար, որը զուգահեռ չէ Oy առանցքին (y-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի համար թեքությունը սահմանված չէ):

Դիտարկենք արտահայտության իմաստը՝ «հաստատուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա ուղիղը տրված է ձևի թեքությամբ հավասարմամբ»։ Սա նշանակում է, որ հավասարումը բավարարվում է գծի ցանկացած կետի կոորդինատներով և ոչ թե հարթության որևէ այլ կետի կոորդինատներով: Այսպիսով, եթե ճիշտ հավասարություն է ստացվում կետի կոորդինատները փոխարինելիս, ապա ուղիղն անցնում է այս կետով։ Հակառակ դեպքում, կետը գծի վրա չի ընկած:

Օրինակ.

Ուղիղ գիծը տրվում է թեքության հետ հավասարմամբ: Արդյո՞ք կետերը նույնպես պատկանում են այս գծին:

Որոշում.

Կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր թեքությամբ ուղիղ գծի սկզբնական հավասարման մեջ. . Մենք ստացել ենք ճիշտ հավասարություն, հետևաբար, M 1 կետը գտնվում է ուղիղ գծի վրա:

Կետի կոորդինատները փոխարինելիս ստանում ենք սխալ հավասարություն. . Այսպիսով, M 2 կետը չի գտնվում ուղիղ գծի վրա:

Պատասխան.

Կետ M 1-ը պատկանում է տողին, M 2-ը՝ ոչ:

Հարկ է նշել, որ ուղիղ գիծը, որը սահմանվում է թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարմամբ, անցնում է կետով, քանի որ դրա կոորդինատները հավասարման մեջ փոխարինելիս ստանում ենք ճիշտ հավասարություն.

Այսպիսով, թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը որոշում է ուղիղ գիծ հարթության վրա, որն անցնում է կետով և անկյուն է կազմում աբսցիսային առանցքի դրական ուղղությամբ, և .

Որպես օրինակ՝ գծենք ուղիղ գիծ, ​​որը սահմանվում է ձևի թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարմամբ: Այս գիծն անցնում է կետով և ունի թեքություն ռադիաններ (60 աստիճան) դեպի Ox առանցքի դրական ուղղությունը: Նրա թեքությունն է.

Տրված կետով անցնող թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը.

Այժմ մենք կլուծենք մի շատ կարևոր խնդիր՝ կստանանք տրված k թեքությամբ և կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Քանի որ ուղիղը անցնում է կետով, ուրեմն հավասարությունը . b թիվը մեզ անհայտ է։ Դրանից ազատվելու համար թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարման ձախ և աջ մասերից հանում ենք, համապատասխանաբար, վերջին հավասարության ձախ և աջ մասերը։ Դրանով մենք ստանում ենք . Այս հավասարությունն է տրված թեքությամբ k ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է տվյալ կետով.

Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ.

Գրի՛ր կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը, այս ուղիղ գծի թեքությունը -2 է:

Որոշում.

Մեր ունեցած վիճակից . Այնուհետև թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը կձևավորվի:

Պատասխան.

Օրինակ.

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը, եթե հայտնի է, որ այն անցնում է կետով և թեքության անկյունը դեպի Ox առանցքի դրական ուղղությունը հավասար է:

Որոշում.

Նախ, մենք հաշվարկում ենք այն ուղիղ գծի թեքությունը, որի հավասարումը մենք փնտրում ենք (նման խնդիր լուծեցինք այս հոդվածի նախորդ պարբերությունում): A-priory . Այժմ մենք ունենք բոլոր տվյալները թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը գրելու համար.

Պատասխան.

Օրինակ.

Գրի՛ր թեքությամբ ուղիղի հավասարումը, որն անցնում է ուղիղին զուգահեռ կետով։

Որոշում.

Ակնհայտ է, որ Ox առանցքի նկատմամբ զուգահեռ ուղիղների թեքության անկյունները համընկնում են (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածի զուգահեռ գծերը), հետևաբար, զուգահեռ ուղիղների թեքության գործակիցները հավասար են։ Այնուհետև ուղիղ գծի թեքությունը, որի հավասարումը պետք է ստանանք, հավասար է 2-ի, քանի որ ուղիղ գծի թեքությունը 2 է։ Այժմ մենք կարող ենք կազմել թեքությամբ ուղիղ գծի պահանջվող հավասարումը.

Պատասխան.

Թեքության գործակցով ուղիղ գծի հավասարումից անցում ուղիղ գծի հավասարման այլ տեսակների և հակառակը։

Ամբողջ ծանոթությամբ՝ թեքության հետ ուղիղ գծի հավասարումը հեռու է միշտ հարմար լինելուց՝ խնդիրներ լուծելիս: Որոշ դեպքերում խնդիրներն ավելի հեշտ է լուծել, երբ ուղիղ գծի հավասարումը ներկայացվում է այլ ձևով: Օրինակ, թեքության հետ ուղիղ գծի հավասարումը թույլ չի տալիս անմիջապես գրել ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները կամ ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ Հետևաբար, պետք է սովորել թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումից անցնել այս ուղիղ գծի հավասարման այլ տեսակներ:

Լանջով ուղիղ գծի հավասարումից հեշտ է ստանալ ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը ձևի հարթության վրա. . Դրա համար b տերմինը հավասարման աջ կողմից հակառակ նշանով տեղափոխում ենք ձախ կողմ, այնուհետև ստացված հավասարության երկու մասերը բաժանում ենք k:-ի թեքությամբ: Այս գործողությունները մեզ տանում են թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումից դեպի ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը:

Օրինակ.

Տրե՛ք թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը կանոնական ձևին.

Որոշում.

Կատարենք անհրաժեշտ փոխակերպումները.

Պատասխան.

Օրինակ.

Ուղիղ գիծը տրվում է թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարմամբ: Արդյո՞ք վեկտորը այս ուղղի նորմալ վեկտորն է:

Որոշում.

Այս խնդիրը լուծելու համար թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումից անցնենք այս ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմանը. . Մենք գիտենք, որ ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ x և y փոփոխականների դիմաց գործակիցները այս ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի համապատասխան կոորդինատներն են, այսինքն՝ ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը։ . Ակնհայտ է, որ վեկտորը համագիծ է վեկտորի հետ, քանի որ կապը ճշմարիտ է (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը): Այսպիսով, սկզբնական վեկտորը նույնպես գծի նորմալ վեկտոր է , և, հետևաբար, նորմալ վեկտոր է և սկզբնական գիծ:

Պատասխան.

Այո այդպես է.

Իսկ հիմա մենք կլուծենք հակադարձ խնդիրը՝ հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարմանը բերելու խնդիրը։

Ընդհանուր ուղիղ հավասարումից , որտեղ , շատ հեշտ է անցնել թեքության հավասարմանը։ Դրա համար անհրաժեշտ է ընդհանուր հավասարումըուղղակի լուծում y-ի նկատմամբ: Միևնույն ժամանակ մենք ստանում ենք. Ստացված հավասարությունը ուղիղ գծի հավասարումն է, որի թեքությունը հավասար է .