Tehtävä tietyn funktion derivaatan löytäminen on yksi tärkeimmistä matematiikan kursseista lukio ja korkeammalla koulutusinstituutiot. On mahdotonta tutkia funktiota täysin, rakentaa sen kaaviota ottamatta sen derivaatta. Funktion derivaatta löytyy helposti, jos tunnet differentioinnin perussäännöt sekä pääfunktioiden derivaatan taulukon. Selvitetään kuinka löytää funktion derivaatta.

Funktion derivaatta kutsutaan funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen rajaksi, kun argumentin inkrementti pyrkii nollaan.

Tämän määritelmän ymmärtäminen on melko vaikeaa, koska rajan käsitettä ei täysin opeteta koulussa. Mutta eri funktioiden johdannaisten löytämiseksi ei ole välttämätöntä ymmärtää määritelmää, jätetään se matemaatikoille ja mennään suoraan derivaatan etsimiseen.

Johdannan löytämisprosessia kutsutaan differentiaatioksi. Kun funktio erotetaan, saamme uuden funktion.

Käytämme niitä merkitsemään kirjaimet f, g jne.

Johdannaisille on monia erilaisia ​​merkintöjä. Käytämme aivohalvausta. Esimerkiksi merkintä g" tarkoittaa, että löydämme funktion g derivaatan.

Johdannaistaulukko

Jotta voidaan vastata kysymykseen, kuinka johdannainen löydetään, on tarpeen tarjota taulukko päätoimintojen johdannaisista. Alkeisfunktioiden johdannaisten laskemiseksi ei ole tarpeen suorittaa monimutkaisia ​​laskelmia. Riittää, kun katsot sen arvoa johdannaistaulukosta.

1. (sinx)"=cosx
2. (cos x)"= -sin x
3. (xn)"=nxn-1
4. (ex)"=esim
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/sin 2 x
10. (kaari x)"= 1/√ (1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Esimerkki 1. Etsi funktion y=500 derivaatta.

Näemme, että se on vakio. Derivaattataulukon mukaan tiedetään, että vakion derivaatta on nolla (kaava 1).

Esimerkki 2. Etsi funktion y=x 100 derivaatta.

Tämä on tehotoiminto jossa eksponentti on 100 ja löytääksesi sen derivaatan, sinun on kerrottava funktio eksponentilla ja alennettava sitä yhdellä (kaava 3).

(x 100)" = 100 x 99

Esimerkki 3. Etsi funktion y=5 x derivaatta

Tämä on eksponentiaalinen funktio, laskemme sen derivaatan kaavalla 4.

Esimerkki 4. Etsi funktion y= log 4 x derivaatta

Löydämme logaritmin derivaatan kaavalla 7.

(log 4 x)"=1/x log 4

Erottamisen säännöt

Selvitetään nyt kuinka löytää funktion derivaatta, jos sitä ei ole taulukossa. Suurin osa tutkituista funktioista ei ole alkeisfunktioita, vaan ne ovat alkeisfunktioiden yhdistelmiä, joissa käytetään yksinkertaisimpia operaatioita (yhteen-, vähennys-, kerto-, jako- ja kertolasku luvulla). Löytääksesi niiden johdannaiset, sinun on tiedettävä erottelusäännöt. Lisäksi kirjaimet f ja g tarkoittavat funktioita ja C on vakio.

1. Derivaatan etumerkistä voidaan ottaa vakiokerroin

Esimerkki 5. Etsi funktion y= 6*x 8 derivaatta

Otetaan pois vakiokerroin 6 ja erotetaan vain x 4 . Tämä on potenssifunktio, jonka derivaatan löydämme derivaattataulukon kaavan 3 mukaan.

(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*x7 =48* x 7

2. Summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa

(f + g)"=f" + g"

Esimerkki 6. Etsi funktion y= x 100 + sin x derivaatta

Funktio on kahden funktion summa, joiden derivaatat löydämme taulukosta. Koska (x 100)"=100 x 99 ja (sin x)"=cos x. Summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden johdannaisten summa:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Eron derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten erotus

(f – g)"=f" - g"

Esimerkki 7. Etsi funktion y= x 100 - cos x derivaatta

Tämä funktio on kahden funktion erotus, joiden derivaatat voimme myös löytää taulukosta. Tällöin erotuksen derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen erotus, ja älä unohda muuttaa etumerkkiä, koska (cos x) "= - sin x.

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x

Esimerkki 8. Etsi funktion y=e x +tg x– x 2 derivaatta.

Tällä funktiolla on sekä summa että ero, löydämme kunkin termin johdannaiset:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Tällöin alkuperäisen funktion derivaatta on:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Tuotteen johdannainen

(f * g)"=f" * g + f * g"

Esimerkki 9. Etsi funktion y= cos x *e x derivaatta

Tätä varten etsi ensin kunkin tekijän derivaatta (cos x)"=–sin x ja (e x)"=e x . Korvataan nyt kaikki tuotteen kaavaan. Kerro ensimmäisen funktion derivaatta toisella ja lisää ensimmäisen funktion tulo toisen derivaatalla.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Osamäärän derivaatta

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

Esimerkki 10. Etsi funktion y= x 50 / sin x derivaatta

Löytääksesi osamäärän derivaatan, etsi ensin osoittajan ja nimittäjän derivaatta erikseen: (x 50)"=50 x 49 ja (sin x)"= cos x. Korvaamalla osamäärän derivaatan kaavassa saamme:

(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Monimutkaisen funktion johdannainen

Monimutkainen funktio on funktio, jota edustaa useiden funktioiden yhdistelmä. Monimutkaisen funktion derivaatan löytämiseksi on myös sääntö:

(u(v))"=u"(v)*v"

Katsotaanpa, kuinka löytää tällaisen funktion derivaatta. Olkoon y= u(v(x)) kompleksifunktio. Funktiota u kutsutaan ulkoiseksi ja v - sisäiseksi.

Esimerkiksi:

y=sin (x 3) on monimutkainen funktio.

Silloin y=sin(t) on ulkofunktio

t=x 3 - sisäinen.

Yritetään laskea tämän funktion derivaatta. Kaavan mukaan on tarpeen kertoa sisäisen ja ulkoisen funktion derivaatat.

(sin t)"=cos (t) - ulomman funktion derivaatta (jossa t = x 3)

(x 3)"=3x 2 - sisemmän funktion derivaatta

Silloin (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 on kompleksifunktion derivaatta.

Ensimmäinen taso

Funktiojohdannainen. Kattava opas (2019)

Kuvittele suora tie, joka kulkee mäkisen alueen läpi. Eli se menee ylös ja alas, mutta ei käänny oikealle tai vasemmalle. Jos akseli on suunnattu vaakasuunnassa tietä pitkin ja pystysuoraan, tieviiva on hyvin samanlainen kuin jonkin jatkuvan funktion kaavio:

Akseli on tietty nollakorkeus, elämässä käytämme merenpintaa sellaisena.

Tällaista tietä eteenpäin liikkuessamme liikumme myös ylös tai alas. Voidaan myös sanoa: kun argumentti muuttuu (liikkuen abskissa-akselia pitkin), funktion arvo muuttuu (liikkuu ordinaatta-akselia pitkin). Mietitään nyt, kuinka tiemme "jyrkkyys" määritetään? Mikä tämä arvo voisi olla? Hyvin yksinkertaista: kuinka paljon korkeus muuttuu liikuttaessa eteenpäin tietyn matkan. Todellakin, eri tienosuuksilla eteenpäin (abskissa-akselia pitkin) yhden kilometrin verran nousemme tai laskemme eri määrä metriä merenpinnan suhteen (y-akselia pitkin).

Merkitsemme edistymistä eteenpäin (lue "delta x").

Kreikan kirjainta (delta) käytetään yleisesti matematiikassa etuliitteenä, joka tarkoittaa "muutosta". Eli - tämä on suuruusmuutos, - muutos; mikä se sitten on? Aivan oikein, koon muutos.

Tärkeää: lauseke on yksi entiteetti, yksi muuttuja. Älä koskaan revi pois "deltaa" "x":stä tai mistään muusta kirjaimesta! Eli esimerkiksi.

Olemme siis siirtyneet eteenpäin, vaakatasossa, eteenpäin. Jos vertaamme tien linjaa funktion kuvaajaan, niin miten merkitsemme nousua? Varmasti,. Eli kun kuljemme eteenpäin, nousemme korkeammalle.

Arvo on helppo laskea: jos olimme alussa korkeudessa ja siirron jälkeen olimme korkealla, niin silloin. Jos päätepiste osoittautui alhaisemmaksi kuin aloituspiste, se on negatiivinen - tämä tarkoittaa, että emme ole nouseva, vaan laskeva.

Takaisin "jyrkkyyteen": tämä on arvo, joka osoittaa kuinka paljon (jyrkästi) korkeus kasvaa liikuttaessa eteenpäin matkan yksikköä kohti:

Oletetaan, että jollain polun osuudella kilometriä eteenpäin tie nousee km. Silloin jyrkkyys tässä paikassa on yhtä suuri. Ja jos tie uppoaa km:llä eteneessään? Silloin kaltevuus on yhtä suuri.

Mieti nyt mäen huippua. Kun ottaa osuuden alkua puoli kilometriä huipulle ja loppu - puoli kilometriä sen jälkeen, huomaa, että korkeus on melkein sama.

Eli logiikkamme mukaan käy ilmi, että kaltevuus on melkein yhtä suuri kuin nolla, mikä ei selvästikään ole totta. Paljon voi muuttua vain muutaman kilometrin päässä. Pienempiä alueita on harkittava riittävän ja tarkemman jyrkkyyden arvioimiseksi. Jos esimerkiksi mittaat korkeuden muutoksen metrin liikuttaessa, tulos on paljon tarkempi. Mutta tämäkään tarkkuus ei välttämättä riitä meille - loppujen lopuksi, jos keskellä tietä on pylväs, voimme yksinkertaisesti liukua sen läpi. Mikä etäisyys meidän sitten pitäisi valita? Senttimetri? Millimetri? Vähemmän on parempi!

AT oikea elämä etäisyyden mittaaminen lähimpään millimetriin on enemmän kuin tarpeeksi. Mutta matemaatikot pyrkivät aina täydellisyyteen. Siksi konsepti oli äärettömän pieni, eli modulo-arvo on pienempi kuin mikään numero, jonka voimme nimetä. Sanot esimerkiksi: biljoonasosa! Kuinka paljon vähemmän? Ja jaat tämän luvun - ja se on vielä pienempi. Jne. Jos haluamme kirjoittaa, että arvo on äärettömän pieni, kirjoitamme näin: (luetaan "x pyrkii nollaan"). On erittäin tärkeää ymmärtää että tämä luku ei ole nolla! Mutta hyvin lähellä sitä. Tämä tarkoittaa, että se voidaan jakaa.

Käsite äärettömän pienen vastakohta on äärettömän suuri (). Olet luultavasti kohdannut sen jo työskennellessäsi eriarvoisuuksien parissa: tämä luku on moduuliltaan suurempi kuin mikään luku, jota voit ajatella. Jos saat suurimman mahdollisen luvun, kerro se kahdella ja saat vielä enemmän. Ja äärettömyys on vielä enemmän kuin mitä tapahtuu. Itse asiassa äärettömän suuret ja äärettömän pienet ovat käänteisiä toisilleen, eli at ja päinvastoin: at.

Nyt takaisin tiellemme. Ihannetapauksessa laskettu kaltevuus on kaltevuus, joka on laskettu polun äärettömän pienelle osalle, eli:

Huomaan, että äärettömän pienellä siirtymällä myös korkeuden muutos on äärettömän pieni. Mutta haluan muistuttaa, että äärettömän pieni ei tarkoita nolla. Jos jaat äärettömän pienet luvut keskenään, saat esimerkiksi täysin tavallisen luvun. Eli yksi pieni arvo voi olla täsmälleen kaksi kertaa niin suuri kuin toinen.

Miksi tämä kaikki? Tie, jyrkkyys... Emme ole menossa ralliin, mutta opettelemme matematiikkaa. Ja matematiikassa kaikki on täsmälleen samaa, vain kutsutaan eri tavalla.

Johdannaisen käsite

Funktion derivaatta on funktion inkrementin suhde argumentin inkrementin inkrementin äärettömällä pienellä lisäyksellä.

Lisäys matematiikassa sitä kutsutaan muutokseksi. Kutsutaan kuinka paljon argumentti () on muuttunut liikkuessaan akselia pitkin argumentin lisäys ja sitä kutsutaan kuinka paljon funktio (korkeus) on muuttunut etäisyyden akselia pitkin eteenpäin liikkuessa funktion lisäys ja on merkitty.

Joten funktion derivaatta on suhde milloin. Merkitsemme derivaatta samalla kirjaimella kuin funktio, vain vedolla oikeasta yläkulmasta: tai yksinkertaisesti. Joten kirjoitetaan johdannaiskaava käyttämällä näitä merkintöjä:

Kuten analogisesti tien kanssa, tässä, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen.

Mutta onko derivaatta yhtä suuri kuin nolla? Varmasti. Jos esimerkiksi ajat tasaisella vaakatasolla, jyrkkyys on nolla. Itse asiassa korkeus ei muutu ollenkaan. Joten derivaatan kanssa: vakiofunktion derivaatta (vakio) on yhtä suuri kuin nolla:

koska tällaisen funktion inkrementti on nolla mille tahansa.

Otetaan esimerkki kukkulan huipulta. Kävi ilmi, että segmentin päät oli mahdollista järjestää kärjen vastakkaisille puolille siten, että korkeus päissä on sama, eli segmentti on yhdensuuntainen akselin kanssa:

Mutta suuret segmentit ovat merkki epätarkoista mittauksista. Nostamme segmenttiämme yhdensuuntaisesti itsensä kanssa, sitten sen pituus pienenee.

Lopulta, kun olemme äärettömän lähellä huippua, segmentin pituus tulee äärettömän pieneksi. Mutta samaan aikaan se pysyi yhdensuuntaisena akselin kanssa, eli korkeusero sen päissä on yhtä suuri kuin nolla (ei taipu, mutta on yhtä suuri). Siis johdannainen

Tämä voidaan ymmärtää seuraavasti: kun seisomme aivan huipulla, pieni siirtymä vasemmalle tai oikealle muuttaa korkeuttamme merkityksettömästi.

On myös puhtaasti algebrallinen selitys: yläosan vasemmalla puolella funktio kasvaa ja oikealla pienenee. Kuten olemme jo aiemmin havainneet, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen. Mutta se muuttuu sujuvasti, ilman hyppyjä (koska tie ei muuta kaltevuuttaan jyrkästi missään). Siksi negatiivisen ja välillä positiiviset arvot täytyy olla. Se on paikka, jossa funktio ei kasva eikä pienene - kärkipisteessä.

Sama pätee laaksoon (alue, jossa funktio pienenee vasemmalla ja kasvaa oikealla):

Hieman lisää lisäyksistä.

Muutamme siis argumentin arvoksi. Mistä arvosta muutetaan? Mikä hänestä (argumentista) on nyt tullut? Voimme valita minkä tahansa pisteen, ja nyt tanssimme siitä.

Harkitse pistettä, jolla on koordinaatti. Siinä olevan funktion arvo on yhtä suuri. Sitten teemme saman lisäyksen: lisää koordinaattia. Mikä nyt on argumentti? Erittäin helppoa: . Mikä on funktion arvo nyt? Minne argumentti menee, sinne menee funktio: . Entä funktion lisäys? Ei mitään uutta: tämä on edelleen määrä, jolla toiminto on muuttunut:

Harjoittele lisäysten etsimistä:

1. Etsi funktion lisäys pisteestä, jonka argumentin lisäys on yhtä suuri kuin.
2. Sama funktiolle pisteessä.

Ratkaisut:

Eri kohdissa, samalla argumentin lisäyksellä, funktion kasvu on erilainen. Tämä tarkoittaa, että derivaatalla jokaisessa pisteessä on omansa (keskustelimme tästä aivan alussa - tien jyrkkyys eri kohdissa on erilainen). Siksi, kun kirjoitamme johdannaista, meidän on ilmoitettava, missä vaiheessa:

Virtatoiminto.

Tehofunktiota kutsutaan funktioksi, jossa argumentti on jossain määrin (looginen, eikö?).

Ja - missä tahansa määrin: .

Yksinkertaisin tapaus on, kun eksponentti on:

Etsitään sen johdannainen pisteestä. Muista johdannaisen määritelmä:

Joten argumentti muuttuu arvosta toiseen. Mikä on funktion lisäys?

Lisäys on. Mutta funktio missä tahansa kohdassa on yhtä suuri kuin sen argumentti. Niin:

Johdannainen on:

Johdannainen on:

b) Tarkastellaan nyt neliöfunktiota (): .

Muistetaan nyt se. Tämä tarkoittaa, että lisäyksen arvo voidaan jättää huomiotta, koska se on äärettömän pieni ja siksi merkityksetön toisen termin taustalla:

Joten meillä on toinen sääntö:

c) Jatkamme loogista sarjaa: .

Tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa eri tavoilla: avaa ensimmäinen hakasulke summan kuution lyhennetyn kertolaskukaavan avulla tai jaa koko lauseke tekijöiksi käyttämällä kuutioiden erotuskaavaa. Yritä tehdä se itse millä tahansa ehdotetuista tavoista.

Sain siis seuraavan:

Ja muistellaanpa se taas. Tämä tarkoittaa, että voimme jättää huomiotta kaikki termit, jotka sisältävät:

Saamme: .

d) Samat säännöt voidaan saada suurille tehoille:

e) Osoittautuu, että tämä sääntö voidaan yleistää potenssifunktiolle, jolla on mielivaltainen eksponentti, ei edes kokonaisluku:

(2)

Voit muotoilla säännön sanoilla: "aste tuodaan eteenpäin kertoimena ja laskee sitten".

Todistamme tämän säännön myöhemmin (melkein aivan lopussa). Katsotaanpa nyt muutamia esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatta:

1. (kahdella tavalla: kaavalla ja käyttämällä derivaatan määritelmää - laskemalla funktion inkrementti);

1. . Usko tai älä, tämä on tehotoiminto. Jos sinulla on kysymyksiä, kuten "Miten se menee? Ja missä on tutkinto? ”, Muista aihe" "!
   Kyllä, kyllä, juuri on myös aste, vain murto-osa:.
   Joten meidän Neliöjuuri on vain tutkinto eksponentin kanssa:
   .
   Etsimme johdannaista käyttämällä äskettäin opittua kaavaa:

   Jos tässä vaiheessa asia jäi taas epäselväksi, toista aihe "" !!! (noin aste negatiivisella indikaattorilla)

2. . Nyt eksponentti:

   Ja nyt määritelmän kautta (oletko unohtanut?):
   ;
   .
   Nyt, kuten tavallista, jätämme huomiotta termin, joka sisältää:
   .

3. . Aiempien tapausten yhdistelmä: .

trigonometriset funktiot.

Tässä käytämme yhtä faktaa korkeammasta matematiikasta:

Kun ilmaisu.

Todistuksen opit instituutin ensimmäisenä vuonna (ja päästäksesi sinne, sinun on läpäistävä tentti hyvin). Näytän sen nyt vain graafisesti:

Näemme, että kun funktiota ei ole olemassa - kaavion piste on punkturoitu. Mutta mitä lähempänä arvoa, sitä lähempänä funktio on.Tämä on juuri se "pyrkimys".

Lisäksi voit tarkistaa tämän säännön laskimella. Kyllä, kyllä, älä ole ujo, ota laskin, emme ole vielä kokeessa.

Joten kokeillaan: ;

Älä unohda vaihtaa laskinta radiaanitilaan!

jne. Näemme, että mitä pienempi, sitä lähempänä suhdeluku on.

a) Tarkastellaan funktiota. Kuten tavallista, löydämme sen lisäyksen:

Käännetään sinien ero tuotteeksi. Tätä varten käytämme kaavaa (muista aihe ""):.

Nyt johdannainen:

Tehdään vaihto: . Sitten äärettömän pienelle se on myös äärettömän pieni: . Ilmaisu for saa muotoa:

Ja nyt muistamme sen ilmauksella. Ja myös, entä jos äärettömän pieni arvo voidaan jättää huomiotta summassa (eli at).

Joten saamme seuraava sääntö:sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini:

Nämä ovat perusjohdannaisia ​​("taulukko"). Tässä ne ovat yhdessä listassa:

Myöhemmin lisäämme niihin muutaman lisää, mutta nämä ovat tärkeimmät, koska niitä käytetään useimmin.

Harjoitella:

1. Etsi funktion derivaatta pisteessä;
2. Etsi funktion derivaatta.

Ratkaisut:

1. Ensin löydämme johdannaisen sisään yleisnäkymä, ja korvaa se sitten sen arvolla:
   ;
   .
2. Tässä meillä on jotain samanlaista kuin tehofunktio. Yritetään tuoda hänet luokse
   normaali näkymä:
   .
   Ok, nyt voit käyttää kaavaa:
   .
   .
3. . Eeeeeee… Mikä se on????

Okei, olet oikeassa, emme vieläkään tiedä, kuinka löytää tällaisia ​​johdannaisia. Tässä meillä on useiden erityyppisten toimintojen yhdistelmä. Jotta voit työskennellä heidän kanssaan, sinun on opittava vielä muutama sääntö:

Eksponentti ja luonnollinen logaritmi.

Matematiikassa on sellainen funktio, jonka derivaatta mille tahansa on yhtä suuri kuin itse funktion arvo samalle. Sitä kutsutaan "eksponentiksi" ja se on eksponentiaalinen funktio

Tämän funktion kanta on vakio - se on ääretön desimaali, eli irrationaalinen luku (kuten). Sitä kutsutaan "Euler-numeroksi", minkä vuoksi se on merkitty kirjaimella.

Joten sääntö on:

Se on erittäin helppo muistaa.

No, emme mene pitkälle, harkitsemme heti käänteisfunktiota. Mikä on eksponentiaalisen funktion käänteisarvo? Logaritmi:

Meidän tapauksessamme kanta on numero:

Tällaista logaritmia (eli logaritmia, jossa on kanta) kutsutaan "luonnolliseksi" ja käytämme sille erityistä merkintää: kirjoitamme sen sijaan.

Mikä on yhtä suuri? Tietysti, .

Luonnollisen logaritmin derivaatta on myös hyvin yksinkertainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Mikä on funktion derivaatta?

Vastaukset: Eksponentti ja luonnollinen logaritmi ovat funktioita, jotka ovat derivaatan suhteen ainutlaatuisen yksinkertaisia. Eksponentiaalisilla ja logaritmisilla funktioilla minkä tahansa muun emäksen kanssa on erilainen derivaatta, josta keskustelemme myöhemmin, kun käydään läpi säännöt erilaistuminen.

Erottamisen säännöt

mitkä säännöt? Taas uusi termi?!...

Erilaistuminen on johdannaisen löytämisprosessi.

Vain ja kaikki. Mikä toinen sana on tälle prosessille? Ei proizvodnovanie... Matematiikan differentiaalia kutsutaan funktion erittäin lisäykseksi. Tämä termi tulee latinan sanasta differentia - differentia. Tässä.

Kaikkia näitä sääntöjä johdettaessa käytämme kahta funktiota, esimerkiksi ja. Tarvitsemme myös kaavoja niiden lisäyksille:

Sääntöjä on yhteensä 5.

Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä.

Jos - jokin vakioluku (vakio), niin.

Ilmeisesti tämä sääntö toimii myös eron suhteen: .

Todistetaan se. Anna, tai helpompaa.

Esimerkkejä.

Etsi funktioiden johdannaiset:

1. pisteessä;
2. pisteessä;
3. pisteessä;
4. pisteessä.

Ratkaisut:

1. (derivaata on sama kaikissa pisteissä, koska se on lineaarinen funktio, muistatko?);

Tuotteen johdannainen

Kaikki on samanlaista täällä: esittelemme uuden toiminnon ja löydämme sen lisäyksen:

Johdannainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi derivaatat funktioista ja;
2. Etsi funktion derivaatta pisteessä.

Ratkaisut:

Eksponentiaalifunktion johdannainen

Nyt tietosi riittää oppiaksesi löytämään minkä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatan, ei vain eksponenttia (oletko unohtanut, mikä se on?).

Joten missä on joku numero.

Tiedämme jo funktion derivaatan, joten yritetään tuoda funktiomme uudelle perustalle:

Tätä varten käytämme yksinkertainen sääntö: . Sitten:

No, se toimi. Yritä nyt löytää johdannainen, äläkä unohda, että tämä funktio on monimutkainen.

Tapahtui?

Tässä, tarkista itse:

Kaava osoittautui hyvin samankaltaiseksi kuin eksponentin derivaatta: sellaisenaan se pysyy, vain tekijä ilmestyi, joka on vain numero, mutta ei muuttuja.

Esimerkkejä:
Etsi funktioiden johdannaiset:

Vastaukset:

Tämä on vain luku, jota ei voi laskea ilman laskinta, eli sitä ei voi kirjoittaa enempää yksinkertainen muoto. Siksi vastauksessa se jätetään tähän muotoon.

Logaritmisen funktion derivaatta

Tässä se on samanlainen: tiedät jo luonnollisen logaritmin derivaatan:

Siksi, jos haluat löytää logaritmista mielivaltaisen, jolla on eri kanta, esimerkiksi:

Meidän on saatettava tämä logaritmi perustalle. Kuinka muutat logaritmin kantaa? Toivottavasti muistat tämän kaavan:

Vasta nyt sen sijaan kirjoitamme:

Nimittäjä osoittautui vain vakioksi (vakioluku, ilman muuttujaa). Johdannainen on hyvin yksinkertainen:

Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaisia ​​ei kokeesta löydy juuri koskaan, mutta niiden tunteminen ei ole tarpeetonta.

Monimutkaisen funktion johdannainen.

Mikä on "monimutkainen funktio"? Ei, tämä ei ole logaritmi eikä arkitangentti. Näitä toimintoja voi olla vaikea ymmärtää (vaikka jos logaritmi näyttää vaikealta, lue aihe "Logaritmit" ja kaikki selviää), mutta matematiikan kannalta sana "monimutkainen" ei tarkoita "vaikeaa".

Kuvittele pieni kuljetin: kaksi ihmistä istuu ja tekevät joitain toimintoja joidenkin esineiden kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kääri suklaapatukan kääreeseen ja toinen sitoo sen nauhalla. Sellainen yhdistelmäesine osoittautuu: suklaapatukka, joka on kääritty ja sidottu nauhalla. Jos haluat syödä suklaapatukkaa, sinun on suoritettava päinvastaiset vaiheet käänteisessä järjestyksessä.

Luodaan samanlainen matemaattinen liukuhihna: ensin etsitään luvun kosini ja sitten neliötetään tuloksena oleva luku. Joten, he antavat meille numeron (suklaa), löydän sen kosinin (kääre), ja sitten neliötät sen, minkä sain (sido se nauhalla). Mitä tapahtui? Toiminto. Tämä on esimerkki monimutkaisesta funktiosta: kun sen arvon löytämiseksi teemme ensimmäisen toiminnon suoraan muuttujalla ja sitten toisen toisen toiminnon sillä, mitä tapahtui ensimmäisen seurauksena.

Voimme hyvinkin tehdä samat toimet käänteisessä järjestyksessä: ensin neliö, ja sitten etsin tuloksena olevan luvun kosinia:. On helppo arvata, että lopputulos on lähes aina erilainen. Tärkeä ominaisuus monimutkaiset funktiot: kun muutat toimintojen järjestystä, funktio muuttuu.

Toisin sanoen, Monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on toinen funktio: .

Ensimmäisessä esimerkissä .

Toinen esimerkki: (sama). .

Viimeinen toimintamme on nimeltään "ulkoinen" toiminto, ja ensin suoritettu toiminto - vastaavasti "sisäinen" toiminto(nämä ovat epävirallisia nimiä, käytän niitä vain selventämään materiaalia yksinkertaisella kielellä).

Yritä määrittää itse, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen:

Vastaukset: Sisäisten ja ulkoisten funktioiden erottaminen on hyvin samanlaista kuin muuttujien muuttaminen: esimerkiksi funktiossa

1. Mihin toimiin ryhdymme ensin? Ensin laskemme sinin ja vasta sitten nostamme sen kuutioksi. Se on siis sisäinen toiminto, ei ulkoinen.
   Ja alkuperäinen tehtävä on niiden koostumus: .
2. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
3. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
4. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
5. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .

muutamme muuttujia ja saamme funktion.

No, nyt puramme suklaamme - etsi johdannainen. Proseduuri on aina päinvastainen: ensin etsitään ulkofunktion derivaatta, sitten kerrotaan tulos sisäisen funktion derivaatalla. Alkuperäisessä esimerkissä se näyttää tältä:

Toinen esimerkki:

Joten muotoillaan lopuksi virallinen sääntö:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

Kaikki näyttää olevan yksinkertaista, eikö?

Tarkastellaanpa esimerkeillä:

Ratkaisut:

1) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

2) Sisäinen: ;

(älä vain yritä vähentää tähän mennessä! Kosinin alta ei oteta mitään, muistatko?)

3) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

On heti selvää, että tässä on kolmitasoinen monimutkainen toiminto: tämä on jo itsessään monimutkainen toiminto, ja silti poimimme siitä juuren, eli suoritamme kolmannen toiminnon (laita suklaa kääreeseen ja salkussa oleva nauha). Mutta ei ole syytä pelätä: joka tapauksessa "purkamme" tämän toiminnon samassa järjestyksessä kuin tavallisesti: lopusta.

Eli ensin erotetaan juuri, sitten kosini ja vasta sitten lauseke suluissa. Ja sitten kerromme kaiken.

Tällaisissa tapauksissa on kätevää numeroida toimet. Eli kuvitellaan mitä tiedämme. Missä järjestyksessä suoritamme toiminnot laskeaksemme tämän lausekkeen arvon? Katsotaanpa esimerkkiä:

Mitä myöhemmin toiminto suoritetaan, sitä "ulkoisempi" vastaava toiminto on. Toimintojen järjestys - kuten aiemmin:

Täällä pesimä on yleensä 4-tasoinen. Päätetään toimintatapa.

1. Radikaali ilmaisu. .

2. Juuri. .

3. Sinus. .

4. Neliö. .

5. Laita kaikki yhteen:

JOHDANNAIS. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Funktiojohdannainen- funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen äärettömän pienellä argumentin lisäyksellä:

Perusjohdannaiset:

Erottamisen säännöt:

Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä:

Summan johdannainen:

Johdannainen tuote:

Osamäärän johdannainen:

Monimutkaisen funktion johdannainen:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

1. Määrittelemme "sisäisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
2. Määrittelemme "ulkoisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
3. Kerromme ensimmäisen ja toisen pisteen tulokset.

Jolla analysoimme yksinkertaisimpia derivaattoja ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin tekniikoihin johdannaisten löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selviä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvä ja viritä vakavaan tunnelmaan - materiaali ei ole helppoa, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.

Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.

Katsomme taulukosta sääntöä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Me ymmärrämme. Ensinnäkin, katsotaanpa merkintää. Tässä on kaksi funktiota - ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäinen funktioon . Tällaista funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.

Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto, ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.

! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja "ulkoinen toiminto", "sisäinen" toiminto vain helpottaakseni materiaalin ymmärtämistä.

Selvittääksesi tilannetta, harkitse:

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

Sinin alla ei ole vain kirjain "x", vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen heti taulukosta ei toimi. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä on mahdotonta "repiä":

Tässä esimerkissä selityksistäni on jo intuitiivisesti selvää, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen toiminto(upotus) ja - ulkoinen toiminto.

Ensimmäinen askel, joka on suoritettava, kun löydetään kompleksisen funktion derivaatta ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.

Yksinkertaisten esimerkkien tapauksessa näyttää selvältä, että polynomi on sisäkkäin sinin alle. Mutta entä jos se ei ole ilmeistä? Kuinka määrittää tarkalleen, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan suorittaa henkisesti tai luonnoksessa.

Kuvitellaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo laskimella (yksien sijaan voi olla mikä tahansa luku).

Mitä laskemme ensin? Ensisijaisesti sinun on suoritettava seuraava toiminto: , joten polynomi on sisäinen funktio:

toiseksi sinun on löydettävä, joten sini - on ulkoinen funktio:

Meidän jälkeen YMMÄRTÄÄ sisäisten ja ulkoisten funktioiden kanssa on aika soveltaa yhdistefunktioiden erottelusääntöä .

Alamme päättää. Oppitunnilta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa derivaatan ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme vedon oikeaan yläkulmaan:

Ensiksi löydämme ulkoisen funktion derivaatan (sini), katsomme alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa ja huomaamme, että . Kaikki taulukkokaavat ovat käyttökelpoisia, vaikka "x" korvattaisiin monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:

Huomaa, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.

No sehän on aivan ilmeistä

Kaavan soveltamisen tulos puhdas näyttää tältä:

Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:

Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita päätös paperille ja lue selitykset uudelleen.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Kuten aina, kirjoitamme:

Selvitämme, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä on sisäinen. Tätä varten yritämme (mielisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä pitää tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri:, mikä tarkoittaa, että polynomi on sisäinen funktio:

Ja vasta sitten suoritetaan eksponentio, joten tehofunktio on ulkoinen toiminto:

Kaavan mukaan , sinun on ensin löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme haluttua kaavaa taulukosta:. Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "x:lle", vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Siten monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos Seuraava:

Korostan jälleen, että kun otamme ulkofunktion derivaatan, sisäfunktio ei muutu:

Nyt on vielä löydettävä hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja "kampattava" tulos hieman:

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Monimutkaisen funktion derivaatan ymmärtämisen vahvistamiseksi annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, syy, missä on ulkoinen ja missä on sisäinen funktio, miksi tehtävät ratkaistaan ​​tällä tavalla?

Esimerkki 5

a) Etsi funktion derivaatta

b) Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä asteena. Joten tuomme ensin funktion oikeaan muotoon erottamista varten:

Funktiota analysoimalla tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja eksponentio on ulkoinen funktio. Sovellamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä :

Aste esitetään jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:

Valmis. Voit silti tuoda lausekkeen yhteiseen nimittäjään suluissa ja kirjoittaa kaiken muistiin yhtenä murtolukuna. Se on tietysti kaunista, mutta kun hankalia pitkiä johdannaisia ​​saadaan, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeeton virhe, ja opettajan on hankala tarkistaa).

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voidaan käyttää osamäärän erottamissääntöä , mutta tällainen ratkaisu näyttää epätavalliselta perversiolta. Tässä on tyypillinen esimerkki:

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön avulla:

Valmistelemme funktion differentiaatiota varten - poistamme derivaatan miinusmerkin ja nostamme kosinin osoittajaan:

Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme :

Löydämme sisäisen funktion derivaatan, nollaamme kosinin alaspäin:

Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää olla hämmentymättä merkkejä. Muuten, yritä ratkaista se säännöllä , vastausten on oltava samat.

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Toistaiseksi olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Ymmärrämme tämän toiminnon liitteet. Pyrimme arvioimaan lausekkeen kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?

Ensin sinun on löydettävä, mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin pesä:

Tämä yksikköarsini tulee sitten neliöidä:

Ja lopuksi nostamme seitsemän valtaan:

Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi sisäkkäistä funktiota, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.

Alamme päättää

Säännön mukaan Ensin sinun on otettava ulomman funktion johdannainen. Katsomme derivaattataulukkoa ja löydämme eksponentiaalisen funktion derivaatan: Ainoa ero on, että "x":n sijasta meillä on kompleksilauseke, joka ei kumoa tämän kaavan pätevyyttä. Eli monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos Seuraava.

Kuinka löytää johdannainen, miten ottaa johdannainen? Tällä oppitunnilla opimme löytämään funktioiden johdannaisia. Mutta ennen tämän sivun tutkimista suosittelen, että tutustut metodologiseen materiaaliin.Kuumat kaavat koulun kurssi matematiikka. Ohjekirjan voi avata tai ladata sivulta Matemaattiset kaavat ja taulukot . Myös sieltä tarvitsemmeJohdannaistaulukko, on parempi tulostaa se, sinun on usein viitattava siihen, eikä vain nyt, vaan myös offline-tilassa.

On? Aloitetaan. Minulla on sinulle kaksi uutista: hyvä ja erittäin hyvä. Hyvä uutinen on, että johdannaisten löytämisen oppimiseksi ei ole ollenkaan välttämätöntä tietää ja ymmärtää, mikä johdannainen on. Lisäksi funktion derivaatan määritelmä, derivaatan matemaattinen, fyysinen, geometrinen merkitys on tarkoituksenmukaisempi sulattaa myöhemmin, koska teorian kvalitatiivinen tutkiminen vaatii mielestäni useiden muiden aiheiden tutkimista, sekä käytännön kokemusta.

Ja nyt meidän tehtävämme on hallita nämä johdannaiset teknisesti. Erittäin hyvä uutinen on, että derivaattojen ottaminen ei ole niin vaikeaa, tämän tehtävän ratkaisemiseen (ja selittämiseen) on olemassa melko selkeä algoritmi, esimerkiksi integraalit tai rajat ovat vaikeampia hallita.

Suosittelen seuraavaa aiheen opiskelujärjestystä: ensin, Tämä artikkeli. Sitten sinun on luettava tärkein oppitunti Monimutkaisen funktion johdannainen . Nämä kaksi perusluokkaa antavat sinun nostaa taitojasi tyhjästä. Lisäksi on mahdollista tutustua artikkelin monimutkaisempiin johdannaisiin. monimutkaiset johdannaiset.

logaritminen derivaatta. Jos palkki on liian korkealla, lue kohta ensin Alkueläimet tyypillisiä tehtäviä johdannaisen kanssa. Uuden materiaalin lisäksi tunnilla käsiteltiin muutakin yksinkertaisia ​​tyyppejä johdannaisia, ja sinulla on loistava tilaisuus parantaa erilaistumistekniikkaasi. Lisäksi sisään valvoa työtä lähes aina on tehtäviä implisiittisesti tai parametrisesti määriteltyjen funktioiden derivaattojen löytämiseksi. Tätä varten on myös opetusohjelma: Implisiittisten ja parametrisesti määriteltyjen funktioiden johdannaiset.

Yritän esteettömässä muodossa, askel askeleelta, opettaa sinulle kuinka löytää funktioiden johdannaisia. Kaikki tiedot esitetään yksityiskohtaisesti, yksinkertaisin sanoin.

Itse asiassa, harkitse heti esimerkkiä: Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta Ratkaisu:

Tämä on yksinkertaisin esimerkki, löydät sen alkeisfunktioiden derivaattataulukosta. Katsotaan nyt ratkaisua ja analysoidaan mitä tapahtui? Ja seuraava asia tapahtui:

meillä oli funktio , joka ratkaisun seurauksena muuttui funktioksi.

Melko yksinkertainen, johdannaisen löytämiseksi

funktioita, sinun on muutettava se toiseksi funktioksi tiettyjen sääntöjen mukaisesti . Katso uudelleen johdannaisten taulukkoa - siellä funktiot muuttuvat muiksi funktioiksi. ainoa

poikkeus on eksponentiaalinen funktio, joka

muuttuu itsestään. Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaanerilaistuminen.

Merkintä: Johdannainen on merkitty tai.

HUOMIO, TÄRKEÄÄ! Vedon unohtaminen (jos tarpeen) tai ylimääräisen vedon piirtäminen (jos se ei ole välttämätöntä) on SUURI VIRHE! Funktio ja sen derivaatta ovat kaksi eri funktiota!

Palataan johdannaistaulukkoomme. Tästä taulukosta se on toivottavaa muistaa: differentiaatiosäännöt ja joidenkin perusfunktioiden derivaatat, erityisesti:

vakion derivaatta:

Missä on vakioluku; tehofunktion derivaatta:

Erityisesti:,,.

Miksi muistaa? Tämä tieto on alkeellista tietoa johdannaisista. Ja jos et pysty vastaamaan opettajan kysymykseen "Mikä on luvun johdannainen?", niin opinnot yliopistossa voivat päättyä sinulle (tunnen henkilökohtaisesti kaksi todellisia tapauksia elämästä). Lisäksi nämä ovat yleisimmät kaavat, joita joudumme käyttämään melkein joka kerta kun kohtaamme johdannaisia.

AT Todellisuudessa yksinkertaiset taulukkoesimerkit ovat harvinaisia, yleensä derivaattoja löydettäessä käytetään ensin differentiaatiosääntöjä ja sitten alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa.

AT Tältä osin siirrymme harkintaaneriyttämissäännöt:

1) Vakioluku voidaan (ja pitäisi) ottaa pois derivaatan etumerkistä

Missä on vakioluku (vakio) Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Katsomme johdannaisten taulukkoa. Kosinin johdannainen on olemassa, mutta meillä on .

On aika käyttää sääntöä, poistamme vakiotekijän derivaatan etumerkin takaa:

Ja nyt käännämme kosiniamme taulukon mukaan:

No, on toivottavaa "kampata" tulosta hieman - laita miinus ensimmäiseksi, samalla päästä eroon kiinnikkeistä:

2) Summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa

Etsi funktion derivaatta

Me päätämme. Kuten luultavasti jo huomasit, ensimmäinen toiminto, joka suoritetaan aina johdannaista etsittäessä, on se, että laitamme koko lausekkeen suluihin ja laitamme viivan oikeaan yläkulmaan:

Sovellamme toista sääntöä:

Huomaa, että eriyttämistä varten kaikki juuret, asteet on esitettävä muodossa , ja jos ne ovat nimittäjässä, niin

siirrä ne ylös. Kuinka tämä tehdään, kerrotaan metodologisissa materiaaleissani.

Nyt muistamme ensimmäisen differentiaatiosäännön - otamme pois vakiotekijät (luvut) derivaatan merkin ulkopuolelta:

Yleensä ratkaisun aikana näitä kahta sääntöä sovelletaan samanaikaisesti (jotta ei kirjoitettaisi pitkää lauseketta uudestaan).

Kaikki viivojen alla olevat funktiot ovat perustaulukkofunktioita, taulukon avulla suoritamme muunnoksen:

Voit jättää kaiken tähän muotoon, koska vetoja ei ole enää ja johdannainen on löydetty. Tällaiset ilmaisut kuitenkin yleensä yksinkertaistavat:

On toivottavaa edustaa lajin kaikkia asteita uudelleen juurina,

astetta negatiivisilla eksponenteilla - palauta nimittäjään. Vaikka et voi tehdä tätä, se ei ole virhe.

Etsi funktion derivaatta

Yritä ratkaista tämä esimerkki itse (vastaa oppitunnin lopussa).

3) Johdannainen funktioiden tulosta

Näyttää siltä, ​​​​että analogisesti kaava ehdottaa itseään .... mutta yllätys on, että:

Tämä epätavallinen sääntö(kuten itse asiassa muutkin) seuraa siitä johdannaisen määritelmät. Mutta teorian kanssa odotellaan toistaiseksi - nyt on tärkeämpää oppia ratkaisemaan:

Etsi funktion derivaatta

Tässä on kahden funktion tulos riippuen . Ensin sovelletaan outoa sääntöämme ja sitten muunnamme funktiot derivaattataulukon mukaan:

Monimutkainen? Ei ollenkaan, melko edullinen jopa teekannulle.

Etsi funktion derivaatta

Tämä funktio sisältää kahden funktion - neliötrinomin ja logaritmin - summan ja tulon. Muistamme koulusta, että kerto- ja jakolasku menevät yhteen- ja vähennyslaskujen edelle.

Se on sama täällä. ENSIN käytämme tuotteiden erottelusääntöä:

Käytämme nyt kahta ensimmäistä sääntöä suluissa:

Vetojen alla olevien differentiaatiosääntöjen soveltamisen seurauksena meille jää vain alkeisfunktioita, jotka derivaattataulukon mukaan muunnetaan muiksi funktioiksi:

Koska on kokemusta johdannaisten löytämisestä, yksinkertaisia ​​johdannaisia ​​ei näytä tarvitsevan kuvata niin yksityiskohtaisesti. Yleensä ne ratkaistaan ​​suullisesti, ja se kirjataan välittömästi .

Etsi funktion derivaatta Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa)

4) Yksityisten toimintojen johdannainen

Kattoon on avautunut luukku, älä pelkää, se on häiriö. Ja tässä on karu todellisuus:

Etsi funktion derivaatta

Mitä tässä ei ole - summa, erotus, tulo, murto-osa .... Mistä aloittaa?! On epäilyksiä, ei epäilyksiä, mutta MILLOIN TAPAUKSISSA piirrämme ensin hakasulkeet ja laitamme vedon oikeaan yläkulmaan:

Katsomme nyt suluissa olevaa lauseketta, kuinka yksinkertaistaisimme sitä? Tässä tapauksessa huomaamme tekijän, joka ensimmäisen säännön mukaan on suositeltavaa ottaa pois derivaatan merkistä:

Samalla pääsemme eroon osoittajan suluista, joita ei enää tarvita. Yleisesti ottaen vakiotekijät johdannaisen löytämisessä

Liite

Sivuston johdannaisen ratkaisu yhdistää opiskelijoiden ja koululaisten käsittelemää materiaalia. Funktion derivaatan laskeminen muutamassa sekunnissa ei ole vaikeaa, jos käytät online-ongelmanratkaisupalveluamme. Johtaa yksityiskohtainen analyysi perusteellinen tutkimus käytännön oppitunti joka kolmas opiskelija voi. Usein meihin kääntyy asianomaisen osaston osasto matematiikan edistämiseksi maan oppilaitoksissa. Tässä tapauksessa kuinka puhumattakaan derivaatan ratkaisusta online-tilassa suljetulle numeeristen sekvenssien avaruudelle. Monet varakkaat ihmiset saavat ilmaista hämmennyksensä. Mutta sillä välin matemaatikot eivät istu paikallaan ja työskentelevät kovasti. Syöttöparametrien muuttaminen: lineaariset ominaisuudet hyväksyy johdannaisten laskurin pääasiassa kuutioiden laskevien paikkojen ylivoiman vuoksi. Tulos on väistämätön pintana. Alkutietona online-johdannainen eliminoi tarpeen ottaa tarpeettomia toimia. Paitsi kuvitteelliset kotitehtävät. Sen lisäksi, että johdannaisten ratkaisu verkossa on välttämätöntä ja tärkeä näkökohta matematiikkaa opiskelevat opiskelijat eivät usein muista tehtäviä menneisyydessä. Opiskelija, laiska olento, ymmärtää tämän. Mutta opiskelijat ovat hauskoja ihmisiä! Joko tehdä se sääntöjen mukaan tai funktion derivaatta vinossa tasossa voi antaa kiihtyvyyden aineelliselle pisteelle. Ohjataan laskeutuvan spatiaalisen säteen vektori jonnekin. Halutussa vastauksessa derivaatan löytäminen näyttää olevan abstrakti teoreettinen suunta matemaattisen järjestelmän epävakauden vuoksi. Ajattele lukujen suhdetta käyttämättömien vaihtoehtojen sarjana. Viestintäkanavaa täydennettiin viidennellä rivillä laskevaa vektoria pitkin kuution suljetun haaroittumisen pisteestä. Kaarevien tilojen tasolla johdannaisen ratkaiseminen verkossa johtaa meidät johtopäätökseen, joka sai planeetan suurimmat mielet ajattelemaan viime vuosisadalla. Matematiikan alan tapahtumien aikana julkiseen keskusteluun tuotiin viisi olennaisesti tärkeää muuttujan valinnan aseman parantamiseen vaikuttavaa tekijää. Pistelaki siis sanoo, että online-johdannaista ei joka tapauksessa lasketa tarkasti, vain uskollisesti etenevä hetki voi olla poikkeus. Ennuste johti meidät siihen uusi kierros kehitystä. Tarvitsemme tuloksen. Pinnan alta kuljetetun matemaattisen kaltevuuden linjalla moodiderivaataiden laskin on taivutusjoukon tuotteiden leikkauskohdan alueella. On vielä analysoitava funktion erilaistumista sen itsenäisessä pisteessä lähellä epsilonin naapurustoa. Tämän näkee kaikki käytännössä. Tämän seurauksena ohjelmoinnin seuraavassa vaiheessa on jotain päätettävää. Opiskelija tarvitsee verkkojohdannaisen kuten aina, riippumatta siitä, mitä imaginaariopintoja harjoitetaan. Osoittautuu, että funktio kerrottuna vakiolla ei muuta derivaatan ratkaisua verkossa yleinen suunta aineellisen pisteen liikettä, mutta se kuvaa nopeuden kasvua suorassa. Tässä mielessä on hyödyllistä käyttää johdannaislaskuriamme ja laskea kaikki funktion arvot sen määritelmän koko joukossa. Painovoimakentän voimaaaltoja ei vain tarvitse tutkia. Online-johdannaisratkaisu ei missään tapauksessa näytä lähtevän säteen kaltevuutta, mutta vain harvoissa tapauksissa, kun se on todella tarpeen, yliopisto-opiskelijat voivat kuvitella tämän. Tutkimme rehtoria. Pienimmän roottorin arvo on ennakoitavissa. Levitä tulokseen oikealle osoittavat viivat, jotka kuvaavat palloa, mutta online-laskin johdannaisia, tämä on perusta erityislujuuksille ja epälineaarisille riippuvuuksille. Matematiikan projektiraportti on valmis. Henkilökohtaiset ominaisuudet pienimpien lukujen ero ja funktion derivaatta y-akselia pitkin tuo saman funktion koveruuden korkeuteen. On suunta - on johtopäätös. Teoriaa on helpompi toteuttaa käytännössä. Opiskelijat tekevät ehdotuksen opintojen alkamisajankohdasta. Tarvitaan opettajan vastaus. Kuten edellisessäkin kohdassa, matemaattista järjestelmää ei säädetä derivaatan löytämistä auttavan toiminnon perusteella. Kuten alempi semi-lineaarinen versio, online-derivaata osoittaa yksityiskohtaisesti ratkaisun tunnisteen rappeutunut ehdollinen laki. Esitä vain ajatus kaavojen laskemisesta. Funktion lineaarinen differentiointi hylkää ratkaisun totuuden yksinkertaisesti esittämällä merkityksettömiä positiivisia variaatioita. Vertailumerkkien tärkeyttä pidetään funktion jatkuvana katkeamisena akselin suuntaisesti. Tämä on opiskelijan mukaan tietoisimman johtopäätöksen tärkeys, jossa online-johdannainen on jotain muuta kuin uskollinen esimerkki matemaattisesta analyysistä. Kaarevan ympyrän säde euklidisessa avaruudessa päinvastoin antoi derivaatan laskimelle luonnollisen esityksen ratkaisevien ongelmien vaihdosta stabiilisuuteen. paras tapa löytyi. Tehtävää oli helpompi tasoittaa. Olkoon riippumattoman erosuhteen sovellettavuus johdattava johdannaisten ratkaisuun verkossa. Ratkaisu pyörii x-akselin ympäri ja kuvaa ympyrän muotoa. Ulospääsy on olemassa, ja se perustuu yliopisto-opiskelijoiden teoreettisesti tukemaan tutkimukseen, josta jokainen oppii, ja noillakin hetkillä funktiosta on johdannainen. Löysimme tavan edistyä ja opiskelijat vahvistivat sen. Meillä on varaa löytää derivaatta menemättä pidemmälle kuin luonnoton tapa muuttaa matemaattista järjestelmää. Vasen suhteellisuuden merkki kasvaa geometrisen sekvenssin as matemaattinen esitys johdannaisten online-laskin äärettömän y-akselin lineaaristen tekijöiden tuntemattoman tilanteen vuoksi. Matemaatikot ympäri maailmaa ovat osoittautuneet poikkeuksellisiksi tuotantoprosessi. Ympyrän sisällä on pienin neliö teorian kuvauksen mukaan. Jälleen online-johdannainen tarkentaa arvauksemme siitä, mikä on saattanut vaikuttaa teoreettisesti jalostettuun mielipiteeseen. Siinä esitettiin erilaisia ​​mielipiteitä kuin analysoimassamme raportissa. Erillistä huomiota ei välttämättä tapahdu tiedekuntamme opiskelijoille, mutta ei vain älykkäille ja edistyneille matemaatikoille, joille funktion eriyttäminen on vain tekosyy. Johdannan mekaaninen merkitys on hyvin yksinkertainen. nostovoima lasketaan online-johdannaisena ylöspäin tasaisesti laskevista avaruudesta ajassa. On selvää, että johdannaislaskin on tiukka prosessi, joka kuvaa keinotekoisen muunnoksen rappeutumista amorfisena kappaleena. Ensimmäinen derivaatta puhuu muutoksesta aineellisen pisteen liikkeessä. Kolmiulotteinen avaruus on ilmeisesti havaittu erityisesti koulutettujen tekniikoiden yhteydessä johdannaisten ratkaisemiseksi verkossa, itse asiassa se on jokaisessa kollokviossa matemaattisen tieteenalan aiheesta. Toinen derivaatta luonnehtii materiaalipisteen nopeuden muutosta ja määrittää kiihtyvyyden. Affiinimuunnoksen käyttöön perustuva meridiaanilähestymistapa vie funktion derivaatan pisteessä tämän funktion alueelta uudelle tasolle. Johdannaisten online-laskin ei voi joissain tapauksissa olla ilman numeroita ja symboleja oikeaa suoritushetkeä varten, lukuun ottamatta tehtävän asioiden muunnettavissa olevaa järjestelyä. Yllättäen aineellisessa pisteessä on toinen kiihtyvyys, tämä luonnehtii kiihtyvyyden muutosta. Lyhyesti aikakehykset Aloitetaan derivaatan ratkaisun opiskelu verkossa, mutta heti kun tiedossa on saavutettu tietty virstanpylväs, opiskelijamme lopettaa tämän prosessin. Paras lääke verkostoituminen on elävää viestintää matemaattisesta aiheesta. On periaatteita, joita ei saa rikkoa missään olosuhteissa, olipa tehtävä kuinka vaikea tahansa. Johdannainen on hyödyllistä löytää verkosta ajoissa ja ilman virheitä. Tämä johtaa matemaattisen lausekkeen uuteen asemaan. Järjestelmä on vakaa. fyysinen merkitys johdannainen ei ole yhtä suosittu kuin mekaaninen. On epätodennäköistä, että kukaan muistaa, kuinka online-derivaata toi tasossa yksityiskohtaisesti esiin funktion viivojen ääriviivat normaaliin x-akselin vieressä olevasta kolmiosta. Ihminen ansaitsee suuren roolin viime vuosisadan tutkimuksessa. Suoritetaan kolmessa alkeisvaiheessa funktion differentiointi pisteissä, sekä määritelmäalueelta että äärettömässä. Se tulee olemaan kirjallinen vain opiskelualalla, mutta se voi korvata matematiikan ja lukuteorian päävektorin, heti kun tapahtumat yhdistävät online-johdannaislaskurin ongelmaan. Olisi syytä, mutta on syytä laatia yhtälö. On erittäin tärkeää pitää mielessä kaikki syöttöparametrit. Parasta ei aina oteta suoraan vastaan, tämän takana on valtava määrä parhaiden mielien työtä, jotka tiesivät kuinka online-johdannainen lasketaan avaruudessa. Siitä lähtien kuperaa on pidetty jatkuvan funktion ominaisuutena. Silti on parempi asettaa johdannaisten ratkaisemisen ongelma ensin verkossa niin pian kuin mahdollista. Siten ratkaisu on valmis. Täyttämättömien normien lisäksi tätä ei pidetä riittävänä. Aluksi melkein jokainen opiskelija ehdottaa yksinkertaista menetelmää siitä, kuinka funktion derivaatta aiheuttaa kiistanalaisen kasvualgoritmin. Nousevan säteen suuntaan. Se on järkevää kuin yleinen asema. Aiemmin ne merkitsivät tietyn matemaattisen toiminnon valmistumisen alkua, mutta tänään se on päinvastoin. Ehkäpä johdannaisen online-ratkaisu nostaa asian taas esille ja hyväksymme yhteisen mielipiteen sen säilyttämisestä opettajakokouksen keskustelussa. Toivomme ymmärrystä kokoukseen osallistuvilta kaikilta tahoilta. Looginen merkitys sisältyy johdannaisten laskimen kuvaukseen numeroiden resonanssissa ongelman ajatuksen esityssekvenssistä, johon maailman suuret tiedemiehet vastasivat viime vuosisadalla. Se auttaa poimimaan monimutkaisen muuttujan muunnetusta lausekkeesta ja löytämään johdannaisen verkossa suorittamaan samantyyppisen massiivisen toiminnon. Totuus on paljon parempi kuin arvailu. Alin arvo trendissä. Tulosta ei odoteta kauaa, kun käytetään ainutlaatuista palvelua tarkimpaan sijaintiin, josta on olemassa yksityiskohtainen online-johdannainen. Epäsuorasti, mutta täsmällisesti, kuten eräs viisas sanoi, online-johdannaislaskin luotiin monien liiton eri kaupungeista tulevien opiskelijoiden pyynnöstä. Jos ero on, niin miksi päättää kahdesti. Annettu vektori on samalla puolella kuin normaali. Viime vuosisadan puolivälissä funktion erilaistumista ei suinkaan käsitetty niin kuin nykyään. Käynnissä olevan kehityksen ansiosta verkkomatematiikka on ilmestynyt. Ajan myötä opiskelijat unohtavat antaa tunnustusta matemaattisille oppiaineille. Johdannan online-ratkaisu haastaa opinnäytetyömme oikeutetusti teorian soveltamiseen käytännön tiedon tukemana. Menee pidemmälle olemassa olevaa arvoa esitystekijä ja kirjoita funktion kaava eksplisiittisesti. Sattuu niin, että joudut löytämään johdannaisen verkosta juuri nyt ilman laskinta, mutta voit aina turvautua opiskelijan temppuun ja silti käyttää tällaista palvelua verkkosivustona. Näin opiskelija säästää paljon aikaa kopioimalla esimerkkejä muistivihkon luonnoksista lopulliseen muotoon. Jos ristiriitoja ei ole, käytä vaiheittaista ratkaisupalvelua tällaisissa monimutkaisissa esimerkeissä.