Käytännössä ei useinkaan ole yhtä tärkeää löytää sarjan summa kuin vastata kysymykseen sarjan konvergenssista. Tätä tarkoitusta varten käytetään sarjan yhteisen termin ominaisuuksiin perustuvia konvergenssikriteerejä.

Sarjan konvergenssin välttämätön kriteeri

LAUSE 1

Jos rivikonvergoi, sitten sen yhteinen termi yleensä nollaan
, nuo.
.

Lyhyesti: jos sarja konvergoi, niin sen yhteinen termi on yleensä nolla.

Todiste. Olkoon sarja suppeneva ja sen summa on yhtä suuri . Kenelle tahansa osasumma

.

Sitten . 

Konvergenssin tarpeelliseksi osoittautuneesta kriteeristä seuraa riittävä kriteeri sarjan erolle: jos klo
sarjan yhteinen termi ei yleensä ole nolla, silloin sarja eroaa.

Esimerkki 4

Tälle sarjalle yleinen termi
ja
.

Siksi tämä sarja eroaa.

Esimerkki 5 Tutki konvergenssisarjoja

On ilmeistä, että tämän sarjan yhteinen termi, jonka muotoa ei ilmoiteta hankalan lausekkeen vuoksi, pyrkii nollaan
, eli sarjan konvergenssin välttämätön kriteeri täyttyy, mutta tämä sarja poikkeaa, koska sen summa taipumus äärettömyyteen.

Positiivisten merkkien sarja

Kutsutaan lukusarja, jonka kaikki jäsenet ovat positiivisia merkkipositiivinen.

LAUSE 2 (Positiivisen sarjan konvergenssikriteeri)

Jotta positiivinen sarja lähentyisi, on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki sen osasummat on rajoitettu edellä samalla luvulla.

Todiste. Koska mille tahansa
, sitten, ts. jatkojakso
- monotonisesti kasvava, joten rajan olemassaololle on välttämätöntä ja riittävää rajoittaa sekvenssiä ylhäältä jollain numerolla.

Tämä lause on enemmän teoreettinen kuin käytännöllinen. Seuraavat ovat muita lähentymiskriteerejä, joista on enemmän hyötyä.

Riittävät edellytykset merkkipositiivisten sarjojen konvergenssille

LAUSE 3 (Ensimmäinen vertailukoe)

Olkoon kaksi positiivista sarjaa:

(1)

(2)

ja jostain numerosta alkaen
, kenelle tahansa
epätasa-arvoa
Sitten:

Ensimmäisen vertailumerkin kaavamainen merkintä:

laskeutuminen  laskeutuminen.

virtausvirtaus

Todiste. 1) Koska sarjan äärellisen lukumäärän termien eliminointi ei vaikuta sen konvergenssiin, todistamme lauseen tapaukselle
. Anna kenelle tahansa
meillä on

, (3)

missä
ja
ovat sarjan (1) ja (2) osasummat.

Jos sarja (2) suppenee, on olemassa luku
. Sarjasta lähtien
- kasvaa, sen raja on suurempi kuin mikään sen jäsenistä, ts.
kenelle tahansa . Tästä seuraa epätasa-arvosta (3).
. Siten sarjan (1) kaikki osasummat ovat ylhäältä päin numeron rajoittamia . Lauseen 2 mukaan tämä sarja konvergoi.

2) Todellakin, jos sarja (2) lähentyisi, sarja (1) myös lähentyisi vertailussa. 

Tämän ominaisuuden soveltamiseksi käytetään usein sellaisia ​​​​standardisarjoja, joiden lähentyminen tai hajoaminen tiedetään etukäteen, esimerkiksi:

3) - Dirichlet-sarja (se konvergoi
ja eroaa klo
).

Lisäksi käytetään usein sarjoja, jotka voidaan saada käyttämällä seuraavia ilmeisiä epätasa-arvoja:

,

,
,
.

Tarkastellaan erityisiä esimerkkejä käyttäen kaaviota konvergenssin positiivisen merkkisarjan tutkimiseksi käyttämällä ensimmäistä vertailukriteeriä.

Esimerkki 6 Tutustu numeroon
lähentymistä varten.

Vaihe 1. Tarkistetaan sarjan positiivinen merkki:
varten

Vaihe 2. Tarkistetaan sarjan konvergenssin välttämättömän kriteerin täyttyminen:
. Kuten
, sitten

(jos rajan laskeminen on vaikeaa, tämä vaihe voidaan ohittaa).

Vaihe 3. Käytämme ensimmäistä vertailumerkkiä. Tätä varten valitsemme tälle sarjalle vakiosarjan. Kuten
, sitten voimme ottaa sarjan vakiona
, eli Dirichlet rivi. Tämä sarja konvergoi, koska eksponentti
. Siksi myös tutkittava sarja konvergoi ensimmäisen vertailukriteerin mukaan.

Esimerkki 7 Tutustu numeroon
lähentymistä varten.

1) Tämä sarja on merkkipositiivinen, koska
varten

2) Sarjan konvergenssin välttämätön kriteeri täyttyy, koska

3) Valitaan sarjastandardi. Kuten
, sitten voidaan ottaa vakiona geometrinen sarja

. Tämä sarja konvergoi, joten myös tutkittava sarja konvergoi.

LAUSE 4 (toinen vertailukoe)

Jos kyseessä on merkkipositiivinen sarja ja on nollasta poikkeava äärellinen raja
, sitten rivit lähentyvät tai eroavat samaan aikaan.

Todiste. Olkoon sarja (2) suppeneva; Osoittakaamme, että silloin myös sarja (1) suppenee. Valitaan joku numero , enemmän kuin . Tilanteesta
tällaisen numeron olemassaolosta että kaikille
epätasa-arvoa
, tai mikä on sama,

(4)

Hylkääminen riveillä (1) ja (2) ensimmäinen termillä (mikä ei vaikuta konvergenssiin), voidaan olettaa, että epäyhtälö (4) pätee kaikille
Mutta sarja, jolla on yhteinen termi
konvergoituu sarjojen (2) lähentymisen vuoksi. Ensimmäisen vertailukriteerin mukaan epäyhtälö (4) tarkoittaa sarjan (1) konvergenssia.

Anna nyt sarjan (1) konvergoida; Todistakaamme sarjan (2) konvergenssi. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti vaihtamalla annettujen rivien roolit. Kuten

silloin, kuten edellä on todistettu, sarjan (1) konvergenssi merkitsee sarjan (2) konvergenssia. 

Jos
klo
(välttämätön konvergenssin kriteeri), sitten ehdosta
, seuraa sitä ja ovat infinitesimaalit samaa pienuusluokkaa (vastaa at
). Siksi, jos annetaan sarja , missä
klo
, niin tälle sarjalle voidaan ottaa vakiosarja , jossa yleinen termi on sama pienuusaste kuin annetun sarjan yhteinen termi.

Kun valitset viitesarjan, voit käyttää seuraavaa vastaavan äärettömän pienen taulukkoa
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Esimerkki 8 Tutki konvergenssisarjoja

.

kenelle tahansa
.

Kuten
, niin otamme vertailusarjaksi harmonisen divergentin sarjan
. Yleisten termien suhteen rajasta lähtien ja on äärellinen ja eri kuin nolla (se on yhtä kuin 1), niin toisen vertailukriteerin perusteella tämä sarja hajoaa.

Esimerkki 9
kahdella vertailuperusteella.

Tämä sarja on positiivinen, koska
, ja
. Sikäli kuin
, silloin harmonista sarjaa voidaan pitää vertailusarjana . Tämä sarja eroaa ja siten ensimmäisen vertailumerkin mukaan myös tutkittava sarja poikkeaa.

Koska tietylle sarjalle ja vertailusarjalle ehto
(tässä käytetään 1. merkittävää rajaa), sitten perustuu toiseen vertailukriteeriin, sarjaan
- poikkeaa.

LAUSE 5 (D'Alembert-testi)

on rajallinen raja
, sitten sarja konvergoi klo
ja eroaa klo
.

Todiste. Anna olla
. Otetaan mikä tahansa numero , välillä tehty ja 1:
. Tilanteesta
tästä seuraa, että jostain numerosta alkaen epätasa-arvoa

;
;
(5)

Harkitse sarjaa

Kohdan (5) mukaan sarjan (6) kaikki termit eivät ylitä äärettömän geometrisen progression vastaavia termejä
Sikäli kuin
, tämä eteneminen on konvergenttia. Tästä seuraa ensimmäisen vertailumerkin perusteella sarjan lähentyminen

Tapahtuu
harkitse itse.

Huomautukset :

tästä seuraa, että sarjan loppuosa

.

D'Alembert-testi on kätevä käytännössä, kun sarjan yhteinen termi sisältää eksponentiaalisen funktion tai faktoriaalin.

Esimerkki 10 Tutki konvergenssisarjoja d'Alembertin mukaan.

Tämä sarja on positiivinen ja

.

(Tässä laskennassa L'Hopital-sääntöä sovelletaan kahdesti).

sitten tämä sarja konvergoi d'Alembert-kriteerin mukaan.

Esimerkki 11..

Tämä sarja on positiivinen ja
. Sikäli kuin

sitten sarja lähentyy.

LAUSE 6 (Cauchyn testi)

Jos kyseessä on merkkipositiivinen sarja on rajallinen raja
, sitten klo
sarja konvergoi ja
rivi eroaa.

Todistus on samanlainen kuin Lause 5.

Huomautukset :

Esimerkki 12. Tutki konvergenssisarjoja
.

Tämä sarja on positiivinen, koska
kenelle tahansa
. Rajan laskemisesta lähtien
aiheuttaa tiettyjä vaikeuksia, jätämme pois sarjan konvergenssin välttämättömän kriteerin toteutettavuuden tarkistamisen.

silloin annettu sarja eroaa Cauchyn kriteerin mukaan.

LAUSE 7 (Maklaurin-Cauchyn konvergenssin integraalitesti)

Olkoon rivi annettu

joiden ehdot ovat positiivisia eivätkä kasva:

Anna pidemmälle
on funktio, joka on määritelty kaikille reaaleille
, on jatkuva, ei kasva ja

Ennen kuin aloitat työskentelyn tämän aiheen parissa, suosittelen tutustumaan numerosarjojen terminologiaan liittyvään osioon. Erityisesti kannattaa kiinnittää huomiota sarjan yhteisen termin käsitteeseen. Jos sinulla on epäilyksiä lähentymismerkin oikeasta valinnasta, suosittelen tutustumaan aiheeseen "Numeeristen sarjojen konvergenssimerkin valinta".

Lähentymisen välttämätön kriteeri numerosarjalla on yksinkertainen muotoilu: suppenevan sarjan yhteinen termi pyrkii nollaan. Voit kirjoittaa tämän ominaisuuden muodollisemmin:

Jos sarja $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ konvergoi, niin $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Usein kirjallisuudessa ilmaisun "konvergenssin välttämätön kriteeri" sijaan he kirjoittavat "konvergenssin välttämätön ehto". Mutta mennään asiaan: mitä tämä merkki tarkoittaa? Ja se tarkoittaa seuraavaa: jos $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, niin sarja voi olla lähentyä. Jos $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (tai rajaa ei yksinkertaisesti ole olemassa), sarja $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ eroaa.

On syytä huomata, että yhtälö $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ei tarkoita, että sarja suppenee ollenkaan. Sarja voi joko lähentyä tai erota. Mutta jos $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, sarja taatusti eroaa. Jos nämä vivahteet vaativat yksityiskohtaisia ​​selityksiä, avaa huomautus.

Mitä ilmaus "välttämätön ehto" tarkoittaa? näytä piilota

Selvennetään välttämättömän ehdon käsitettä esimerkin avulla. Ostetaan kynä opiskelijalle tarpeellista on 10 ruplaa. Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti: jos opiskelija ostaa kynän, hänellä on 10 ruplaa. Kymmenen ruplan läsnäolo on välttämätön edellytys kynän ostamiselle.

Tämä ehto täyttyy, ts. Opiskelijalla on kymmenen. Tarkoittaako tämä sitä, että hän ostaa kynän? Ei lainkaan. Hän voi ostaa kynän tai säästää rahat myöhempää käyttöä varten. Tai ostaa jotain muuta. Tai anna ne jollekin - vaihtoehtoja on monia :) Toisin sanoen kynän ostoehdon täyttäminen (eli rahan saaminen) ei takaa tämän kynän ostoa.

Vastaavasti numeerisen sarjan $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ konvergenssin välttämätön ehto ei lainkaan takaa itse tämän sarjan konvergenssia. Yksinkertainen analogia: jos on rahaa, opiskelija voi ostaa kynän tai olla ostamatta. Jos $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, sarja voi joko lähentyä tai erota.

Mutta mitä tapahtuu, jos kynän ostoehto ei täyty, ts. ei rahaa? Silloin opiskelija ei varmasti osta kynää. Sama pätee sarjoihin: jos välttämätön konvergenssiehto ei täyty, ts. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, niin sarja poikkeaa varmasti.

Lyhyesti sanottuna, jos välttämätön ehto täyttyy, seuraus voi tapahtua tai ei. Jos välttämätön ehto ei kuitenkaan täyty, seurausta ei varmasti tapahdu.

Selvyyden vuoksi annan esimerkin kahdesta sarjasta: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ja $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Ensimmäisen sarjan yhteinen termi $u_n=\frac(1)(n)$ ja toisen sarjan yhteinen termi $v_n=\frac(1)(n^2)$ pyrkivät nollaan, ts.

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

Kuitenkin harmoninen sarja $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ eroaa, kun taas sarja $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ konvergoi. Tarvittavan konvergenssiehdon täyttyminen ei takaa sarjan lähentymistä ollenkaan.

Sarjan konvergenssin välttämättömän ehdon perusteella voimme muotoilla riittävä merkki erosta numerorivi:

Jos $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, sarja $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ eroaa.

Useimmiten standardiesimerkeissä tarvittava konvergenssikriteeri tarkistetaan, jos sarjan yhteistä termiä edustaa murtoluku, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat joitain polynomeja. Esimerkiksi $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (katso esimerkki #1). Tai voi olla juuria polynomeista (katso esimerkki nro 2). On esimerkkejä, jotka poikkeavat hieman tästä kaaviosta, mutta tämä on harvinaista standarditesteissä (katso esimerkit tämän aiheen toisesta osasta). Korostan tärkeintä: tarvittavan kriteerin avulla on mahdotonta todistaa sarjan lähentymistä. Tätä kriteeriä käytetään, kun on tarpeen osoittaa, että sarja poikkeaa.

Esimerkki #1

Tutki sarjan $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ konvergenssia.

Koska summauksen alaraja on 1, sarjan yhteinen termi kirjoitetaan summamerkin alle: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Etsi sarjan yhteisen termin raja:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$

"Kahden polynomin suhteen raja". Koska sarjan yhteisen termin raja ei ole nolla, ts. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, silloin konvergenssin välttämätön kriteeri ei täyty. Siksi sarja eroaa.

Ratkaisu on kuitenkin ohi, mutta uskon, että lukijalla on varsin perusteltu kysymys: kuinka me edes huomasimme, että tarvittavan konvergenssiehdon täyttyminen on tarpeen tarkistaa? Numeeristen sarjojen lähentymisestä on monia merkkejä, joten miksi he ottivat tämän? Tämä kysymys ei ole ollenkaan tyhjä. Mutta koska vastaus siihen ei ehkä kiinnosta kaikkia lukijoita, olen piilottanut sen muistiinpanon alle.

Miksi aloimme käyttää tarvittavaa konvergenssikriteeriä? näytä piilota

Löyhästi puhuen, kysymys tämän sarjan lähentymisestä ratkaistaan ​​jo ennen muodollista tutkimusta. En koske sellaiseen aiheeseen kuin kasvujärjestys, annan vain yleisiä perusteluja. Katsotaanpa tarkemmin yleistä termiä $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Katsotaanpa ensin osoittajaa. Osoittimessa oleva numero (-1) voidaan hylätä välittömästi: jos $n\to\infty$, tämä luku on merkityksetön verrattuna muihin termeihin.

Katsotaanpa potenssit $n^2$ ja $n$ osoittajassa. Kysymys: mikä elementti ($n^2$ tai $n$) kasvaa muita nopeammin?

Vastaus tähän on yksinkertainen: $n^2$ kasvattaa arvojaan nopeimmin. Esimerkiksi kun $n=100$, silloin $n^2=10\;000$. Ja tämä ero $n$ ja $n^2$ välillä kasvaa ja kasvaa. Siksi hylkäämme mielessämme kaikki termit, paitsi ne, jotka sisältävät $n^2$. Tällaisen "pudotuksen" jälkeen osoittajalla on $3n^2$. Ja kun nimittäjälle on suoritettu samanlainen toimenpide, $5n^2$ jää sinne. Ja murtoluvusta $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ tulee nyt: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Nuo. äärettömyydessä yhteinen termi ei tietenkään yleensä ole nolla. Jää vain näyttää tämä muodollisesti, mikä tehtiin edellä.

Usein sarjan yhteisen jäsenen tietueessa käytetään sellaisia ​​elementtejä kuin esimerkiksi $\sin\alpha$ tai $\arctg\alpha$ ja vastaavia. Sinun on vain muistettava, että tällaisten määrien arvot eivät voi ylittää tiettyjä numeerisia rajoja. Esimerkiksi $\alpha$:n arvosta riippumatta $\sin\alpha$:n arvo pysyy arvossa $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Eli esimerkiksi voidaan kirjoittaa, että $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Kuvittele nyt, että sarjan yhteisen termin merkintätapa sisältää lausekkeen kuten $5n+\sin(n!e^n)$. Onko sinillä, joka voi "värähtää" vain -1:stä 1:een, mitään merkittävää roolia? Loppujen lopuksi $n $: n arvot ryntäävät äärettömään, eikä sini voi ylittää edes yhtä! Siksi lausekkeen $5n+\sin(n!e^n)$ alustavassa tarkastelussa sini voidaan yksinkertaisesti hylätä.

Tai esimerkiksi ota arctangentti. Riippumatta argumentin $\alpha$ arvosta, $\arctg\alpha$:n arvot täyttävät epäyhtälön $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Tarvitset vähän taitoa määrittääksesi, mitkä elementit voidaan "hylätä" ja mitkä ei. Useimmiten sarjan konvergenssikysymys voidaan ratkaista jo ennen muodollista tutkimusta. Ja muodollinen tutkimus vakioesimerkeissä toimii vain vahvistuksena intuitiivisesti saadusta tuloksesta.

Vastaus: sarja eroaa.

Esimerkki #2

Tutki sarjaa $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ konvergenssia varten.

Koska summauksen alaraja on 1, sarjan yhteinen termi kirjoitetaan summamerkin alle: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12) $. Etsi sarjan yhteisen termin raja:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ vasen|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+) \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

Jos tämän rajan ratkaisutapa herättää kysymyksiä, suosittelen tutustumaan aiheeseen "Rajat irrationaalisuuden kanssa. Kolmas osa" (esimerkki nro 7). Koska sarjan yhteisen termin raja ei ole nolla, ts. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, silloin konvergenssin välttämätön kriteeri ei täyty. Siksi sarja eroaa.

Puhutaanpa vähän intuitiivisen päättelyn puolelta. Periaatteessa tässä on totta kaikki, mitä esimerkin 1 ratkaisun huomautuksessa sanottiin. Jos "hylkäämme" mielessämme kaikki "epäolennaiset" termit sarjan yhteisen termin osoittajassa ja nimittäjässä, niin murto-osa $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ saa muotoa $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Nuo. jo ennen muodollista tutkimusta käy selväksi, että $n\to\infty$ sarjan yhteinen termi ei yleensä ole nolla. Äärettömään - tulee, nollaan - ei. Siksi on vain osoitettava tämä tiukasti, mikä tehtiin edellä.

Vastaus: sarja eroaa.

Esimerkki #3

Tutki sarjan $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$ konvergenssia.

Koska summauksen alaraja on 1, sarjan yhteinen termi kirjoitetaan summamerkin alle: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Etsi sarjan yhteisen termin raja:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(tasattu)&\frac(8)(3^n)\arvoon 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(tasattu)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$

Koska sarjan yhteisen termin raja ei ole nolla, ts. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, silloin konvergenssin välttämätön kriteeri ei täyty. Siksi sarja eroaa.

Muutama sana muutoksista, jotka suoritettiin rajaa laskettaessa. Lauseke $5^n$ on sijoitettu osoittajaan niin, että sekä osoittajan että nimittäjän lausekkeet tulevat äärettömän pieniksi. Nuo. $n\to\infty$:lle: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ ja $\frac(1)(5^n)\to 0$. Ja jos meillä on äärettömän pieni suhde, voimme turvallisesti käyttää kaavoja, jotka on ilmoitettu asiakirjassa "Ekvivalentit infinitesimaalifunktiot" (katso asiakirjan lopussa oleva taulukko). Yhden näistä kaavoista, jos $x\to 0$, niin $\sin x\sim x$. Ja meillä on juuri tällainen tapaus: koska $\frac(8)(3^n)\-0$, sitten $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Toisin sanoen yksinkertaisesti korvaamme lausekkeen $\sin\frac(8)(3^n)$ lausekkeella $\frac(8)(3^n)$.

Minusta saattaa herätä kysymys, miksi muunnosimme lausekkeen $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ murtoluvun muotoon, koska korvaus olisi voitu tehdä ilman tällaista muunnosta. Vastaus on tämä: korvaaminen voidaan tehdä, mutta onko se laillista? Vastaavien äärettömän pienten funktioiden lause antaa yksiselitteisen osoituksen siitä, että tällaiset korvaukset ovat mahdollisia vain lausekkeissa, jotka ovat muotoa $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (kun taas $\alpha(x)$ ja $ \beta (x)$ - äärettömän pieni), joka sijaitsee rajamerkin alla. Olemme siis muuntaneet lausekkeemme murtoluvun muotoon sovittamalla sen lauseen vaatimuksiin.

Vastaus: sarja eroaa.

Esimerkki #4

Tutki sarjan $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$ konvergenssia.

Koska alempi summausraja on 1, sarjan yhteinen termi kirjoitetaan summamerkin alle: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. Itse asiassa tämän sarjan konvergenssikysymys on helppo ratkaista käyttämällä D "Alembert-merkkiä. Tarvittavaa konvergenssimerkkiä voidaan kuitenkin käyttää myös.

Katsotaanpa tarkemmin sarjan yleistä termiä. Osoittaja sisältää lausekkeen $3^n$, joka kasvaa paljon nopeammin $n$ kasvaessa kuin nimittäjässä $n^2$. Vertaa itseäsi: esimerkiksi jos $n=10$, niin $3^n=59049$ ja $n^2=100$. Ja tämä ero kasvaa nopeasti $n $:n kasvun myötä.

On aivan loogista olettaa, että jos $n\to\infty$, niin $u_n$ ei yleensä ole nolla, ts. välttämätön lähentymisehto ei täyty. On vain testattava tämä uskottava hypoteesi ja laskettava $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Ennen tämän rajan laskemista on kuitenkin löydettävä funktion $y=\frac(3^x)(x^2)$ apuraja arvolle $x\to +\infty$, ts. laske $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Miksi teemme näin: tosiasia on, että lausekkeessa $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ parametri $n$ ottaa vain luonnolliset arvot ($n=1,2,3, \ldots$) , ja funktion $y=\frac(3^x)(x^2)$ argumentti $x$ saa todellisia arvoja. Kun löydämme $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$, voimme soveltaa L'Hopitalin sääntöä:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (käytä L'Hopital'sia sääntö) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(käytä L'Hopitalin sääntöä)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

Koska $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, niin $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Koska $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, sarjan konvergenssin välttämätön ehto ei täyty, ts. annettu sarja eroaa.

Vastaus: sarja eroaa.

Muita esimerkkejä sarjoista, joiden konvergenssi tarkistetaan tarvittavalla konvergenssitestillä, on tämän aiheen toisessa osassa.

Rivit teekannuille. Ratkaisuesimerkkejä

Kaikki selviytyneet tervetuloa toiselle vuodelle! Tällä oppitunnilla tai pikemminkin oppituntien sarjassa opimme hallitsemaan rivejä. Aihe ei ole kovin vaikea, mutta sen hallitsemiseksi tarvitset tietoa ensimmäiseltä kurssilta, erityisesti sinun on ymmärrettävä mikä on raja ja pystyä löytämään yksinkertaisimmat rajat. Se ei kuitenkaan haittaa, selitysten yhteydessä annan sopivat linkit tarvittaviin oppitunteihin. Joillekin lukijoille aihe matemaattisista sarjoista, ratkaisumenetelmistä, merkeistä, lauseista voi tuntua omituiselta ja jopa järjettömältä. Tässä tapauksessa sinun ei tarvitse "lataa" paljoa, hyväksymme tosiasiat sellaisina kuin ne ovat ja opimme ratkaisemaan tyypillisiä, yleisiä tehtäviä.

1) Rivit teekannuille, ja samovaareille heti tyytyväisyyttä :)

Aiheen huippunopeaan valmisteluun on pdf-muodossa pikakurssi, jonka avulla on todella mahdollista "nostaa" harjoittelua vain päivässä.

Numerosarjan käsite

Yleisesti numerosarja voidaan kirjoittaa näin:
Tässä:
- summan matemaattinen kuvake;
– sarjan yleinen termi(muista tämä yksinkertainen termi);
- muuttuja - "laskuri". Tietue tarkoittaa, että summaus suoritetaan yhdestä "plus äärettömyyteen", eli ensin meillä on, sitten, sitten ja niin edelleen - äärettömyyteen. Muuttuja tai sitä käytetään joskus muuttujan sijasta. Summaus ei välttämättä aloita yhdestä, vaan joissain tapauksissa se voi alkaa nollasta, kahdesta tai mistä tahansa luonnollinen luku.

"Laskuri"-muuttujan mukaisesti mikä tahansa sarja voidaan maalata yksityiskohtaisesti:
– ja niin edelleen loputtomiin.

Ehdot - Tämä NUMEROT, joita kutsutaan jäsenet rivi. Jos ne kaikki eivät ole negatiivisia (suurempi tai yhtä suuri kuin nolla), niin tällaista sarjaa kutsutaan positiivinen lukuviiva.

Esimerkki 1

Muuten, tämä on jo "taistelu" -tehtävä - käytännössä usein vaaditaan useita sarjan jäseniä.

Ensin sitten:
Sitten, sitten:
Sitten, sitten:

Prosessia voidaan jatkaa loputtomiin, mutta ehdon mukaan jouduttiin kirjoittamaan sarjan kolme ensimmäistä termiä, joten kirjoitamme vastauksen:

Huomaa perustavanlaatuinen ero numerosarja,
jossa termejä ei lasketa yhteen, vaan niitä käsitellään sellaisina.

Esimerkki 2

Kirjoita muistiin sarjan kolme ensimmäistä termiä

Tämä on esimerkki itseratkaisusta, vastaus on oppitunnin lopussa.

Jopa näennäisesti monimutkaiselta sarjalta ei ole vaikeaa kuvata sitä laajennetussa muodossa:

Esimerkki 3

Kirjoita muistiin sarjan kolme ensimmäistä termiä

Itse asiassa tehtävä suoritetaan suullisesti: henkisesti korvike sarjan yleisessä termissä ensin, sitten ja. Lopulta:

Jätä vastaus näin on parempi olla yksinkertaistamatta sarjan saatuja ehtoja, eli älä noudata Toiminnot: , , . Miksi? Vastaa lomakkeella paljon helpompi ja kätevämpi opettajan tarkistaa.

Joskus on päinvastainen

Esimerkki 4

Tässä ei ole selkeää ratkaisualgoritmia. sinun täytyy vain nähdä kuvio.
Tässä tapauksessa:

Varmennusta varten tuloksena oleva sarja voidaan "maalata takaisin" laajennetussa muodossa.

Mutta esimerkki on hieman vaikeampi itsenäiselle ratkaisulle:

Esimerkki 5

Kirjoita summa tiivistetyssä muodossa sarjan yhteisellä termillä

Tarkista uudelleen kirjoittamalla sarja laajennetussa muodossa

Lukusarjojen konvergenssi

Yksi aiheen tärkeimmistä tavoitteista on lähentymissarjojen tutkiminen. Tässä tapauksessa kaksi tapausta on mahdollista:

1) Rivieroaa. Tämä tarkoittaa, että ääretön summa on yhtä suuri kuin ääretön: joko summat yleensä ei ole olemassa, kuten esimerkiksi sarjassa
(muuten, tässä on esimerkki sarjasta, jossa on negatiivisia termejä). Hyvä esimerkki poikkeavasta numerosarjasta löytyi oppitunnin alussa: . Tässä on aivan ilmeistä, että sarjan jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen, ja siksi sarja eroaa. Vielä triviaalimpi esimerkki: .

2) Rivilähentyy. Tämä tarkoittaa, että ääretön summa on yhtä suuri kuin jokin lopullinen numero: . Olet tervetullut: Tämä sarja konvergoi ja sen summa on nolla. Merkittävämpi esimerkki on loputtomasti vähenevä geometrinen progressio, joka on meille tuttu koulusta asti: . Äärettömän pienenevän geometrisen progression jäsenten summa lasketaan kaavalla: , jossa on progression ensimmäinen jäsen ja sen kanta, joka yleensä kirjoitetaan oikea murto-osia. Tässä tapauksessa: , . Siten: Saadaan äärellinen luku, mikä tarkoittaa, että sarja konvergoi, mikä oli todistettava.

Suurimmassa osassa tapauksia kuitenkin etsi sarjan summa ei ole niin yksinkertaista, ja siksi käytännössä sarjan konvergenssin tutkimiseen käytetään erityisiä merkkejä, jotka on todistettu teoreettisesti.

Sarjan lähentymisestä on useita merkkejä: välttämätön kriteeri sarjan lähentymiselle, vertailukriteerit, d'Alembertin kriteerit, Cauchyn kriteerit, Leibnizin merkki ja joitain muita merkkejä. Milloin mitä merkkiä tulee käyttää? Se riippuu sarjan yleisestä termistä, kuvaannollisesti puhuen - sarjan "täytteestä". Ja pian laitamme kaiken hyllyille.

! Lisäoppimista varten tarvitset ymmärtää hyvin, mikä on raja ja on hyvä pystyä paljastamaan muodon epävarmuus. Jos haluat toistaa tai tutkia materiaalia, katso artikkeli Rajoitukset. Ratkaisuesimerkkejä.

Sarjan konvergenssin välttämätön kriteeri

Jos sarja konvergoi, sen yhteinen termi on yleensä nolla: .

Päinvastoin ei pidä paikkaansa yleisessä tapauksessa, eli jos , niin sarja voi sekä konvergoida että hajota. Ja niin tätä merkkiä käytetään perustelemaan eroa rivi:

Jos sarjan yhteinen termi ei mene nollaan, sitten sarja eroaa

Tai lyhyesti: jos , niin sarja eroaa. Erityisesti tilanne on mahdollinen, kun rajaa ei ole ollenkaan, kuten esim. raja. Täällä he heti perustelivat yhden sarjan eroa :)

Mutta paljon useammin divergentin sarjan raja on yhtä suuri kuin ääretön, kun taas "x":n sijasta se toimii "dynaamisena" muuttujana. Päivitetään tietomme: rajoja "x" kutsutaan funktioiden rajoituksiksi ja rajoja muuttujalla "en" - numeeristen sarjojen rajoituksiksi. Ilmeinen ero on, että muuttuja "en" ottaa diskreettejä (epäjatkuvia) luonnollisia arvoja: 1, 2, 3 jne. Mutta tällä tosiasialla on vain vähän vaikutusta rajojen ratkaisumenetelmiin ja epävarmuustekijöiden paljastamisen menetelmiin.

Osoittakaamme, että sarjat ensimmäisestä esimerkistä poikkeavat toisistaan.
Sarjan yhteinen jäsen:

Johtopäätös: rivi eroaa

Tarvittavaa ominaisuutta käytetään usein todellisissa käytännön tehtävissä:

Esimerkki 6

Meillä on polynomit osoittajassa ja nimittäjässä. Hän, joka luki huolellisesti ja ymmärsi artikkelin epävarmuuden paljastamismenetelmän Rajoitukset. Ratkaisuesimerkkejä, varmasti kiinni siitä kun osoittajan ja nimittäjän suurimmat potenssit yhtä suuri, niin raja on lopullinen numero .

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Opintosarja eroaa, koska sarjan konvergenssin välttämätön kriteeri ei täyty.

Esimerkki 7

Tarkista sarjan konvergenssi

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa

Joten kun meille annetaan MITÄ tahansa numerosarja, ensisijaisesti tarkistamme (mielisesti tai luonnoksen perusteella): onko sen yleinen termi yleensä nolla? Jos se ei pyri, teemme ratkaisun esimerkkien 6, 7 esimerkin mukaisesti ja annamme vastauksen, että sarja poikkeaa.

Millaisia ​​näennäisesti poikkeavia sarjoja olemme harkinneet? On heti selvää, että rivit pitävät tai eroavat toisistaan. Myös esimerkkien nro 6, 7 sarjat poikkeavat toisistaan: kun osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja ja osoittajan korkein aste on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjän suurin aste. Kaikissa näissä tapauksissa esimerkkien ratkaisussa ja suunnittelussa käytetään sarjan konvergenssin edellyttämää kriteeriä.

Miksi merkkiä kutsutaan tarpeellista? Ymmärrä luonnollisimmalla tavalla: jotta sarja lähentyisi, tarpeellista niin, että sen yhteinen termi on yleensä nolla. Ja kaikki olisi hyvin, mutta tämä ei tarpeeksi. Toisin sanoen, jos sarjan yhteinen termi pyrkii nollaan, TÄMÄ EI TARKOITA, että sarja konvergoi- Se voi sekä lähentyä että erota!

Tavata:

Tätä riviä kutsutaan harmoninen sarja. Ole hyvä ja muista! Numeerisista sarjoista hän on primabalerina. Tarkemmin sanottuna balerina =)

Se on helppo nähdä , MUTTA. Matemaattisen analyysin teoriassa se on todistettu harmoninen sarja hajoaa.

Muista myös yleisen harmonisen sarjan käsite:

1) Tämä rivi eroaa osoitteessa . Esimerkiksi sarjat eroavat, , .
2) Tämä rivi lähentyy osoitteessa . Esimerkiksi sarja , , . Korostan vielä kerran, että melkein kaikissa käytännön tehtävissä meille ei ole ollenkaan väliä, mikä on esimerkiksi sarjan summa, itse sen lähentyminen on tärkeää.

Nämä ovat jo todistettuja alkeellisia faktoja sarjateoriasta ja joitain käytännön esimerkkiä ratkaistaessa voidaan turvallisesti viitata esimerkiksi sarjan hajaannukseen tai sarjan konvergenssiin.

Yleensä tarkasteltava materiaali on hyvin samanlainen väärien integraalien tutkiminen, ja ne, jotka ovat tutkineet tätä aihetta, löytävät sen helpommaksi. No niille, jotka eivät ole opiskelleet, se on tuplasti helpompaa :)

Joten mitä tehdä, jos sarjan yhteinen termi MENEE nollaan? Tällaisissa tapauksissa esimerkkien ratkaisemiseksi sinun on käytettävä muita, riittävä merkit konvergenssista/hajoamisesta:

Positiivisten lukusarjojen vertailukriteerit

Kiinnitän huomiosi että tässä puhutaan vain positiivisista numeerisista sarjoista (ei-negatiivisten jäsenten kanssa).

Vertailussa on kaksi merkkiä, joista toista yksinkertaisesti kutsun vertailun merkki, toinen - vertailua rajoittava merkki.

Harkitse ensin vertailumerkki tai pikemminkin sen ensimmäinen osa:

Harkitse kahta positiivista numeerista sarjaa ja . Jos tunnettu, että rivi on lähentyy, ja jostain numerosta alkaen epäyhtälö pätee, sitten sarja myös lähentyy.

Toisin sanoen: Suurempien termien sarjan konvergenssi tarkoittaa pienempien termien sarjan konvergenssia. Käytännössä epätasa-arvo yleensä tyydytetään kaikille arvoille:

Esimerkki 8

Tarkista sarjan konvergenssi

Ensin tarkistamme(henkisesti tai luonnoksena) toteutus:
, mikä tarkoittaa, ettei ollut mahdollista "vähällä verellä päästä pois".

Tutkimme yleistetyn harmonisen sarjan ”pakettia” ja korkeimpaan asteeseen keskittyen löydämme samanlaisen sarjan: Teoriasta tiedetään, että se konvergoi.

Kaikille luonnollisille luvuille pätee ilmeinen epäyhtälö:

ja suuremmat nimittäjät vastaavat pienempiä murto-osia:
, mikä tarkoittaa, että vertailukriteerin mukaan tutkittava sarja lähentyy yhdessä vieressä .

Jos sinulla on epäilyksiä, epätasa-arvo voidaan aina maalata yksityiskohtaisesti! Kirjataan ylös rakennettu epäyhtälö useille luvuille "en":
Jos sitten
Jos sitten
Jos sitten
Jos sitten
….
ja nyt on aivan selvää, että eriarvoisuus pätee kaikille luonnollisille luvuille "en".

Analysoidaanpa vertailukriteeriä ja ratkaistua esimerkkiä epävirallisesta näkökulmasta. Miksi sarja kuitenkin lähentyy? Tässä on syy. Jos sarja lähentyy, niin siinä on joitain lopullinen määrä: . Ja koska kaikki sarjan jäsenet pienempi Sarjan vastaavat jäsenet, silloin kanto on selvä, että sarjan summa ei voi olla suurempi kuin luku , ja vielä enemmän, se ei voi olla yhtä suuri kuin ääretön!

Samalla tavalla voimme todistaa "samankaltaisten" sarjojen lähentymisen: , , jne.

! Huomautus että kaikissa tapauksissa meillä on "plussia" nimittäjissä. Vähintään yhden miinuksen läsnäolo voi vaikeuttaa vakavasti harkitun käytön vertailuominaisuus. Esimerkiksi jos sarjaa verrataan samalla tavalla suppenevaan sarjaan (kirjoita useita epäyhtälöitä ensimmäisille termeille), niin ehto ei täyty ollenkaan! Täällä voit väistää ja valita vertailuksi toisen konvergentin sarjan, esimerkiksi , mutta tämä aiheuttaa tarpeettomia varauksia ja muita tarpeettomia vaikeuksia. Siksi sarjan konvergenssin todistamiseksi sitä on paljon helpompi käyttää marginaalinen vertailukriteeri(katso seuraava kappale).

Esimerkki 9

Tarkista sarjan konvergenssi

Ja tässä esimerkissä ehdotan, että harkitset itse vertailuominaisuuden toinen osa:

Jos tunnettu, että rivi on eroaa, ja alkaen jostain numerosta (usein heti ensimmäisestä) epätasa-arvo pätee, sitten sarja myös eroaa.

Toisin sanoen: Pienemmällä termillä olevien sarjojen erotus merkitsee suurempien termien sarjan eroa.

Mitä pitäisi tehdä?
On tarpeen verrata tutkittavaa sarjaa hajoavaan harmoniseen sarjaan. Paremman ymmärryksen saamiseksi muodosta tiettyjä eriarvoisuuksia ja varmista, että eriarvoisuus on totta.

Ratkaisu ja mallisuunnittelu oppitunnin lopussa.

Kuten jo todettiin, käytännössä juuri tarkasteltua vertailuominaisuutta käytetään harvoin. Numerosarjan todellinen "työhevonen" on marginaalinen vertailukriteeri, ja vain käyttötiheyden suhteen d'Alembertin merkki.

Numeeristen positiivisten sarjojen vertailun rajamerkki

Harkitse kahta positiivista numeerista sarjaa ja . Jos näiden sarjojen yhteisten jäsenten suhteen raja on yhtä suuri äärellinen nollasta poikkeava luku: , silloin molemmat sarjat suppenevat tai eroavat samaan aikaan.

Milloin rajavertailukriteeriä käytetään? Vertailun rajamerkkiä käytetään, kun sarjan "täyte" on polynomi. Joko yksi polynomi nimittäjässä tai polynomit sekä osoittajassa että nimittäjässä. Valinnaisesti polynomit voivat olla juurien alla.

Käsitellään sarjaa, jolle edellinen vertailumerkki pysähtyi.

Esimerkki 10

Tarkista sarjan konvergenssi

Vertaa tätä sarjaa suppeneviin sarjoihin. Käytämme vertailun rajatestiä. Sarjan tiedetään lähentyvän. Jos voimme osoittaa, että se on lopullinen nollasta poikkeava numero, todistetaan, että sarja myös konvergoi.

Saadaan äärellinen, nollasta poikkeava luku, mikä tarkoittaa, että tutkittava sarja lähentyy yhdessä vieressä .

Miksi sarja valittiin vertailuksi? Jos olisimme valinneet jonkin muun sarjan yleistetyn harmonisen sarjan "leikeestä", emme olisi onnistuneet rajassa lopullinen nollasta poikkeava numerot (voit kokeilla).

Huomautus: kun käytämme marginaalivertailuominaisuutta, merkityksetöntä, missä järjestyksessä yhteisten jäsenten suhde muodostetaan, tarkastelussa esimerkissä relaatio voitaisiin piirtää käänteisesti: - tämä ei muuttaisi asian ydintä.

Liite

Verkkopalvelusivusto auttaa sinua löytämään verkossa sekä numeerisen sekvenssin että funktionaalisen sarjan sarjan summan. Sarjan summa matemaatikoille on jotain erityistä numeeristen suureiden analyysin ja rajan ylittämisen ymmärtämisessä. Sarjojen yleisestä ratkaisusta on sanottu ja kirjoitettu paljon hyödyllisiä töitä viime vuosisatojen aikana. Jokaiselle opettajalle henkilökohtaisesti on tärkeä velvollisuus välittää kertynyt matematiikan tietonsa lopulliselle kuuntelijalle eli opiskelijalle. Sellaista summaa sarjasta 1/n on helpompi etsiä. Sarjan 1/n^2 summa esitetään sinulle lyhyessä merkinnässä. Online-numeerisen sekvenssin sarjan summan määrittämisen ohella sivusto voi löytää sarjan ns. osasumman verkosta. Tästä on varmasti apua analyyttisissä esityksissä, kun online-sarjojen summa on ilmaistava ja löydettävä ratkaisuksi sarjan osasummien numeerisen sarjan rajaan. Periaatteessa sarjan summa ei ole muuta kuin käänteinen operaatio funktion laajentamiseksi sarjaksi. Toiminta on luonteeltaan lähes vastavuoroista. On käynyt niin, että sarjan konvergenssia tutkitaan matemaattisen analyysin luentokurssin suorittamisen jälkeen rajojen jälkeen. Sarjan löydetty ratkaisu tarkoittaa sen konvergenssi- tai divergenssitutkimuksen tulosta. Tämä tulos on yksilöllisesti määritetty. Analogeihin verrattuna sivustolla on kiistattomat edut, koska se pystyy löytämään sarjan summan verkosta sekä numeerisesta että toiminnallisesta sarjasta, jonka avulla voit yksiselitteisesti määrittää alkuperäisen alkusarjan lähentymisalueen , käyttäen lähes kaikkia tieteessä tunnettuja menetelmiä. Sarjojen teorian perusteella numeerisen sekvenssin konvergenssin välttämätön ehto on kaikkina aikoina numeerisen sarjan yhteisen termin rajan yhtäläisyys nollaan äärettömässä. Mutta tämä ehto ei riitä määritettäessä numeerisen sarjan konvergenssi verkossa. Poikkekaamme hieman kiireellisestä ongelmasta ja väittelemme erilaisesta filosofisesta kannasta matematiikan sarjoista. Sinulle tästä online-sarjaratkaisusta tulee paras laskin ja avustaja joka päivälle. Ei ole ollenkaan halua istua kauniina talvipäivinä oppitunneille, kun rivin summa on kahdessa tilissä aivan silmiesi edessä. Jos jonkun on määritettävä rivin mittarilukema, se kestää muutaman sekunnin oikeiden tietojen alustavan syöttämisen jälkeen. Vaikka vastaavat sivustot vaativat palveluistaan ​​korvauksen, pyrimme olemaan hyödyllisiä kaikille, jotka haluavat yrittää oppia ratkaisemaan esimerkkejä itse yksinkertaisen palvelumme avulla. Harkinnan mukaan voimme esitellä sarjan ratkaisun verkossa millä tahansa nykyaikaisella laitteella, eli millä tahansa selaimella, joten sarjan 1/n summan äärettömyydessä hajaantumisen löytäminen ja todistaminen on yksinkertaista. Muista aina, kuinka sarjan 1/n^2 summa konvergoi ja sillä on valtava semanttinen merkitys matematiikassa. Mutta loppusarjan summa määräytyy yleensä käyttämällä esimerkiksi integraalimerkkiä tai Raabe-merkkiä, josta harva tietää tavallisissa yliopistoissa. Määrittämällä sarjojen konvergenssin verkossa, tutkijat ovat johtaneet useita riittäviä merkkejä sarjan lähentymisestä tai hajaantumisesta. Tunnetuimpia ja useammin käytettyjä menetelmiä ovat D'Alembert-merkit, Cauchyn konvergenssimerkki, Raaben konvergenssimerkki, numeeristen sarjojen vertailumerkki ja lukusarjan konvergenssimerkki. sellaiset lukusarjat, joissa termien etumerkkien on vaihdettava tiukasti peräkkäin miinuksesta plussaan ja päinvastoin ja näiden numeeristen sarjojen itseisarvot pienenevät monotonisesti eli tasaisesti. Käytännössä sarjan tutkiminen kääntyi selville, että tällaisille numeerisille sarjoille riittää välttämätön kriteeri etumerkkien vuorottelevan sarjan konvergenssille verkossa, eli yhteinen termiraja on yhtä suuri kuin nolla lukusarja äärettömässä. Tällä tavalla löydettyjen sarjojen summa on ekvivalentti muihin käytettyihin menetelmiin. Sarjojen lähentäminen vie valtavasti ajanhukkaa, koska itse prosessiin kuuluu funktion täydellinen tutkimus. On olemassa monia erilaisia ​​sivustoja, jotka tarjoavat palveluita sarjan summan laskemiseen verkossa, sekä toimintojen laajentaminen peräkkäin dir olla verkossa missä tahansa vaiheessa tutkittavan toiminnon määrittelyalueelta. Funktio on helppo laajentaa sarjaksi näissä palveluissa, koska derivaatan laskemiseen käytetään funktionaalia, mutta käänteistä operaatiota - funktionaalisen online-sarjan summan löytämiseksi, jonka jäsenet eivät ole lukuja, vaan funktioita. , on usein mahdotonta käytännössä johtuen tarvittavien laskentaresurssien puutteesta johtuvista vaikeuksista.. Käytä resurssiamme sarjan summan laskemiseen verkossa, tarkista ja vahvista tietosi. Jos sarjan summa poikkeaa, emme saa toivottua tulosta jatkotoimenpiteille jossain yhteisessä tehtävässä. Tämä voidaan välttää etukäteen soveltamalla tietämystäsi asiantuntijana. Lopuksi on mahdotonta olla mainitsematta, kuinka sarjan 1/n summa on lausekkeen yksinkertaisin ja sitä usein mainitaan esimerkkinä. Silloinkin, kun he haluavat näyttää jonkinlaisen konvergenssin merkin tapauksessa, he todistavat sen sarjan 1/n^2 summalle, koska tällainen esitys on opiskelijoille läpinäkyvä, eivätkä opiskelijat hämmenny. Koska meillä on lauseke sarjan monimutkaiselle yleistermille, niin äärellisten sarjojen summa olisi hyödyllinen, jos pääsääntösarjalle (alkuperäiseen nähden) osoitetaan, että se konvergoi. Toisaalta sarjan konvergenssi tapahtuu riippumatta ongelman alkuolosuhteista. Vain palvelusivustomme voi tarjota parhaan riviratkaisun, koska vain me takaamme ajansäästösi vertaamalla laskennan kustannuksia tuloksen hyödyllisyyteen ja tarkkuuteen. Koska sarjan haluttu summa voidaan useimmissa tapauksissa esittää suurella sarjalla, on vain tarkoituksenmukaisempaa tutkia sitä. Näin ollen sarjan konvergenssi päälauseen yleistermistä osoittaa yksiselitteisesti päälausekkeen lähentymisen ja ongelma ratkeaa heti itsestään. Korkeakoulujen opettajat voivat myös käyttää sarjan ratkaisuamme verkossa ja tarkistaa kadettien työstä. Jossain tapauksessa sarjan summa voidaan laskea fysiikan, kemian tai sovelletun tieteenalan tehtävässä ilman rutiinilaskelmien jumiutumista, jotta ei poikkeaisi pääsuunnasta tutkittaessa jotakin luonnollista prosessia. Aluksi he kirjoittavat yleensä eniten, etteivät he voi syödä yksinkertaistettua lauseketta 1 / n -sarjan summan muodossa, ja tämä lähestymistapa on perusteltu. Luku Pi esiintyy monissa laskentaoperaatioissa, mutta sarjan 1/n^2 summan voidaan sanoa olevan klassinen esimerkki harmonisen sarjan konvergenssista äärettömässä. Mitä ilmaus "äärellisen sarjan summa" muuten tarkoittaa? Ja tämä tarkoittaa vain sitä, että se konvergoi ja sen osasummien rajalla on tietty numeerinen arvo. Jos sarjan konvergenssi varmistuu ja tämä vaikuttaa järjestelmän lopulliseen vakauteen, on mahdollista muuttaa ongelman syöttöparametreja ja yrittää tehdä se uudelleen. Lopuksi haluamme antaa neuvoja, jotka ovat ensi silmäyksellä implisiittisiä, mutta erittäin hyödyllisiä käytännössä. Vaikka sinulla olisi riittävästi kokemusta sarjojen ratkaisemisesta, etkä tarvitse tällaisia ​​palveluita sarjojen ratkaisemiseen verkossa, suosittelemme, että aloitat sarjan summan etsimisen sarjan konvergenssin määrittämisestä. Vietä vain minuutti tähän toimintoon käyttämällä sivustoa, jotta pidät tämän tosiasian mielessä koko sarjan summan laskennassa. Se ei tule olemaan turhaa! Sarjan summasta on kirjoitettu paljon verkossa matematiikan sivustoilla, monia kuvia on liitetty, kuten viime vuosisadalla tiedemiehet merkitsivät sarjan summan lausekkeita symboleilla. Yleisesti ottaen vähän on muuttunut, mutta mielenkiintoisia hetkiä on. Jos sarjan lähentyminen verkossa näyttää mahdottomalta, tarkista vain syötetyt tiedot ja toista pyyntö rauhallisesti. Silti on parempi tarkistaa ensin sarjan yhteinen termi. Ja kaikki sarjan online-ratkaisut näkyvät heti sivustolla, sinun ei tarvitse klikata muita linkkejä saadaksesi vastauksen tehtävään. Paras tekee asiantuntijoiden mukaan opiskelijoista vaativampia sarjaratkaisulaskimen valinnassa. Sarjan konvergenssin käsite eli äärellisen summan olemassaolo panostetaan sarjan summaan verkkopalveluna. Tämän osion yhteydessä esitellään perusaiheita, kuten integraalit ja derivaatat, koska ne kaikki liittyvät läheisesti toisiinsa. Keskustellaan yhdessä kanssamme kuinka sarjan 1/n summa hajoaa muuttujan taipuessa äärettömyyteen. Kuitenkin toinen sellaisen sarjan summa, kuten 1/n^2, päinvastoin konvergoi ja saa äärellisen numeerisen lausekkeen. On mielenkiintoista tutkia tapauksia, joissa äärellisen sarjan summa esitetään vähitellen sarjan väliosina, jolloin muuttuja kasvaa asteittain yhden tai ehkä usean yksikön verran kerralla. Suosittelemme, että tarkistat sarjan konvergenssin verkossa omien tehtävien ratkaisujen jälkeen. Tämän avulla voit ymmärtää aiheen yksityiskohtaisesti ja parantaa tietämystäsi. Älä koskaan unohda sitä, yritämme vain sinua varten. Kerran tunnilla opettaja näytti sarjan ratkaisun verkossa tietotekniikan avulla. Täytyy sanoa, että kaikki pitivät siitä aika paljon. Tämän tapauksen jälkeen laskimella oli kysyntää koko matematiikan opiskelun ajan. Ei ole tarpeetonta tarkistaa, kuinka laskin laskee sarjan summan verkossa muutamassa sekunnissa tuloksen näyttämisen pyytämisen jälkeen. Heti käy selväksi, mihin suuntaan ongelman ratkaisun kulkua kannattaa jatkaa. Koska joissakin kalliissa oppikirjoissa ei ole paljon kirjoitettu sarjan lähentymisestä, on parempi ladata useita hyviä raportteja merkittäviltä tutkijoilta Internetistä ja käydä heidän metodologiansa kurssi. Tulos on hyvä. Sarjoja ratkottaessa ei voida sulkea pois aivan ensimmäistä konvergenssin merkkiä, nimittäin pyrkimystä nollaan sen yhteisen termin rajasta. Vaikka tämä ei ole riittävä ehto, se on aina välttämätöntä. Ratkaistun esimerkin eheys saa opiskelijassa miellyttävän tunteen, kun hän ymmärtää, että sarjan summa on laskettu ilman vihjeitä. Oppikirjat on tarkoitettu oppaaksi taitojen toteuttamiseen käytännössä. Kun unohdat käsitellyn materiaalin, sinun tulee käyttää vähintään viisi minuuttia joka torstai luentojen alustavaan tarkasteluun, muuten unohdat kaiken istunnon alkuun mennessä ja unohdat vielä enemmän kuinka sarjan konvergenssi lasketaan. . Aloita kerran ja voita sitten laiskuudestasi. Ei ihme, että opettajat joutuvat todistamaan kuinka sarjan 1/n summa eroaa. Mutta jos kuitenkin sarjan 1/n ^ 2 summa esitetään vuorottelevana sarjana, mitään kauheaa ei tapahdu - loppujen lopuksi absoluuttinen sarja konvergoi! Ja tietysti äärellisen sarjan summa voi kiinnostaa sinua erityisesti, kun opiskelet tätä tieteenalaa yksin. Leijonanosa esimerkeistä on ratkaistu d'Alembert-menetelmällä, ja sarjan ratkaisu tässä tapauksessa pelkistetään raja-arvojen laskemiseen, sen naapuritermien, nimittäin seuraavan, suhteeksi edelliseen. Siksi toivotamme sinulle onnea matematiikan ratkaisemiseen ja et koskaan tee virheitä! Otetaan peruslähtökohdaksi ns. online-sarjaratkaisu tutkimuksen erimielisyyden suuntaan, perusperiaatteiden ja tieteellisten poikkitieteellisten suuntausten mukaan ottaminen. Etsitään sinulle vastaus ja kerrotaan myöntävästi, että sarjan summa ratkaistaan ​​useilla pohjimmiltaan erilaisilla menetelmillä, mutta lopputulos on sama. Vihje sarjan lähentymisestä ei aina ole opiskelijoille ilmeinen, vaikka vastaus kerrottaisiin heille etukäteen, vaikka tämä tietysti työntää heidät oikeaan ratkaisuun. Abstraktio matematiikassa, vaikka se onkin ensimmäinen paikka, se tukee teoriaa ja todistaa hetkessä joitain kiistattomia tosiasioita. Sellaista näkökohtaa sarjoja verkossa ratkaistaessa ei voi jättää huomiotta, kuten lukusarjan konvergenssin teoreettisten perusperiaatteiden soveltuvuus tai soveltumattomuus ja sarjan monimutkaisen summan esittäminen jossain yksinkertaistetussa versiossa miellyttävämmän ilmeen saamiseksi. Mutta on tapauksia, joissa sarjan 1 / n summa lähentyy, emmekä häiritse sinua tällä tapauksella, koska sinun tarvitsee vain korvata jokin kokonaisluku äärettömyyden symbolin sijaan ja sitten koko summa pienennetään tavallinen aritmeettinen sarja. Harmoninen sarja on sarjan 1/n^2 summa, jolloin verkko on mihin tahansa korotettuun tehoon.