Los problemas matemáticos encuentran su aplicación en muchas ciencias. Estos incluyen no solo la física, la química, la ingeniería y la economía, sino también la medicina, la ecología y otras disciplinas. Un concepto importante a dominar para encontrar soluciones a dilemas importantes es la derivada de una función. El significado físico de la misma no es tan difícil de explicar como puede parecer a los no iniciados en la esencia de la cuestión. Basta encontrar ejemplos adecuados de esto en vida real y situaciones cotidianas normales. De hecho, cualquier automovilista se enfrenta a una tarea similar todos los días cuando mira el velocímetro, determinando la velocidad de su automóvil en un instante particular de un tiempo fijo. Después de todo, es en este parámetro donde radica la esencia del significado físico de la derivada.

Cómo encontrar la velocidad

Cualquier niño de quinto grado puede determinar fácilmente la velocidad de una persona en la carretera, sabiendo la distancia recorrida y el tiempo de viaje. Para hacer esto, el primero de los valores dados se divide por el segundo. Pero no todos los jóvenes matemáticos saben que en este momento encuentra la razón de incremento de una función y un argumento. De hecho, si imaginamos el movimiento en forma de gráfico, trazando el camino a lo largo del eje y, y el tiempo a lo largo de la abscisa, será solo eso.

Sin embargo, la velocidad de un peatón o de cualquier otro objeto que determinemos en un gran tramo del camino, considerando uniforme el movimiento, sí puede variar. Hay muchas formas de movimiento en la física. Se puede realizar no solo con una aceleración constante, sino también disminuir la velocidad y aumentar de forma arbitraria. Cabe señalar que en este caso la línea que describe el movimiento ya no será una línea recta. Gráficamente, puede asumir las configuraciones más complejas. Pero para cualquiera de los puntos del gráfico, siempre podemos dibujar una tangente representada por una función lineal.

Para refinar el parámetro de cambio de desplazamiento en función del tiempo, es necesario reducir los segmentos medidos. Cuando se vuelven infinitamente pequeños, la velocidad calculada será instantánea. Esta experiencia nos ayuda a definir la derivada. Su significado físico también se sigue lógicamente de tal razonamiento.

En términos de geometría

Se sabe que lo que más velocidad cuerpo, más empinada es la gráfica de la dependencia del desplazamiento con el tiempo y, por lo tanto, el ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica en algún punto particular. Un indicador de tales cambios puede ser la tangente del ángulo entre el eje x y la línea tangente. Es él quien determina el valor de la derivada y se calcula por la relación de las longitudes del lado opuesto al cateto adyacente en triángulo rectángulo, formada por una perpendicular caída desde algún punto al eje x.

Este es significado geométrico primera derivada. El físico se revela en el hecho de que el valor del tramo opuesto en nuestro caso es la distancia recorrida, y el adyacente es el tiempo. Su relación es la velocidad. Y nuevamente llegamos a la conclusión de que la velocidad instantánea, determinada cuando ambos espacios tienden a ser infinitamente pequeños, es la esencia, apuntando a su significado físico. La segunda derivada en este ejemplo será la aceleración del cuerpo, que a su vez demuestra el grado de cambio de velocidad.

Ejemplos de encontrar derivadas en física

La derivada es un indicador de la tasa de cambio de cualquier función, incluso cuando no estamos hablando de movimiento en el sentido literal de la palabra. Para demostrar esto claramente, tomemos algunos ejemplos concretos. Suponga que la intensidad de la corriente, dependiendo del tiempo, cambia de acuerdo con la siguiente ley: yo= 0,4t2. Se requiere encontrar el valor de la tasa a la que cambia este parámetro al final del octavo segundo del proceso. Tenga en cuenta que el valor deseado en sí mismo, como se puede juzgar a partir de la ecuación, aumenta constantemente.

Para la solución, se requiere encontrar la primera derivada, cuyo significado físico se consideró anteriormente. Aquí yo/ dt = 0,8 t. A continuación, lo encontramos en t=8 , obtenemos que la velocidad a la que se produce el cambio en la intensidad de la corriente es igual a 6,4 UN/ C. Aquí se considera que la intensidad de la corriente se mide en amperios y el tiempo, respectivamente, en segundos.

Todo es cambiable

Visible el mundo, que consiste en materia, está constantemente experimentando cambios, estando en movimiento fluyendo en ella varios procesos. Para describirlos, puede utilizar la mayoría diferentes opciones. Si están unidos por dependencia, entonces se escriben matemáticamente como una función que muestra claramente sus cambios. Y donde hay movimiento (en cualquier forma que se exprese), existe también una derivada, cuyo significado físico estamos considerando en este momento.

En este sentido, el siguiente ejemplo. Suponga que la temperatura del cuerpo cambia de acuerdo con la ley T=0,2 t 2 . Debe encontrar la velocidad de su calentamiento al final del décimo segundo. El problema se resuelve de manera similar a la descrita en el caso anterior. Es decir, encontramos la derivada y sustituimos en ella el valor de t= 10 , obtenemos T= 0,4 t= 4. Esto significa que la respuesta final es 4 grados por segundo, es decir, el proceso de calentamiento y el cambio de temperatura, medido en grados, ocurren exactamente a esta velocidad.

Solución de problemas prácticos.

Por supuesto, en la vida real, todo es mucho más complicado que en los problemas teóricos. En la práctica, el valor de las cantidades suele determinarse durante el experimento. En este caso, se utilizan instrumentos que dan lecturas durante las mediciones con cierto error. Por lo tanto, en los cálculos, hay que lidiar con valores aproximados de los parámetros y recurrir al redondeo de números inconvenientes, así como otras simplificaciones. Teniendo esto en cuenta, se procederá de nuevo a los problemas sobre el significado físico de la derivada, dado que no son más que una especie de modelo matemático de los procesos más complejos que ocurren en la naturaleza.

Erupción

Imagina que un volcán entra en erupción. ¿Qué tan peligroso puede ser? Para responder a esta pregunta, es necesario considerar muchos factores. Intentaremos tener en cuenta uno de ellos.

Desde la boca del "monstruo de fuego" se lanzan piedras verticalmente hacia arriba, teniendo una velocidad inicial desde el momento en que salen al exterior, es necesario calcular la altura que pueden alcanzar.

Para encontrar el valor deseado, componemos una ecuación para la dependencia de la altura H, medida en metros, de otras cantidades. Estos incluyen la velocidad inicial y el tiempo. El valor de la aceleración se considera conocido y aproximadamente igual a 10 m/s 2 .

Derivada parcial

Consideremos ahora el significado físico de la derivada de una función desde un ángulo ligeramente diferente, porque la ecuación en sí puede contener no una, sino varias variables. Por ejemplo, en el problema anterior, la dependencia de la altura de la elevación de las piedras expulsadas por la chimenea de un volcán estaba determinada no solo por un cambio en las características temporales, sino también por el valor velocidad inicial. Este último se consideró un valor constante y fijo. Pero en otras tareas con condiciones completamente diferentes, todo podría ser diferente. Si hay varias cantidades de las que depende una función compleja, los cálculos se realizan de acuerdo con las fórmulas a continuación.

El significado físico de la derivada frecuente debe determinarse como en el caso habitual. Esta es la tasa a la que cambia la función en algún punto particular a medida que aumenta el parámetro de la variable. Se calcula de tal manera que todos los demás componentes se toman como constantes, solo uno se considera como variable. Entonces todo sucede de acuerdo con las reglas habituales.

Al comprender el significado físico de la derivada, no es difícil dar ejemplos de cómo resolver problemas intrincados y complejos, cuya respuesta se puede encontrar con dicho conocimiento. Si tenemos una función que describe el consumo de combustible en función de la velocidad del coche, podemos calcular en qué parámetros de este último el consumo de gasolina será mínimo.

En medicina, puedes predecir cómo reaccionará cuerpo humano al medicamento prescrito por el médico. Tomar el medicamento afecta una variedad de parámetros fisiológicos. Estos incluyen cambios presión arterial, pulso, temperatura corporal y mucho más. Todos ellos dependen de la dosis tomada. producto medicinal. Estos cálculos ayudan a predecir el curso del tratamiento, tanto en manifestaciones favorables como en accidentes indeseables que pueden afectar fatalmente los cambios en el cuerpo del paciente.

Sin duda, es importante comprender el significado físico del derivado en cuestiones técnicas, en particular en ingeniería eléctrica, electrónica, diseño y construcción.

Distancias de frenado

Consideremos el siguiente problema. Moviéndose a una velocidad constante, el automóvil, al acercarse al puente, tuvo que reducir la velocidad 10 segundos antes de la entrada, como notó el conductor. Señal de tráfico, prohibiendo la circulación a una velocidad superior a 36 km/h. ¿El conductor violó las reglas si la distancia de frenado se puede describir con la fórmula S = 26t - t 2?

Habiendo calculado la primera derivada, encontramos la fórmula para la velocidad, obtenemos v = 28 - 2t. A continuación, sustituimos el valor t=10 en la expresión especificada.

Como este valor se expresó en segundos, la velocidad resulta ser de 8 m/s, lo que significa 28,8 km/h. Esto permite entender que el conductor comenzó a reducir la velocidad a tiempo y no violó las normas de tránsito y, por lo tanto, el límite indicado en la señal de velocidad.

Esto prueba la importancia del significado físico de la derivada. Un ejemplo de cómo resolver este problema demuestra la amplitud del uso de este concepto en varias esferas de la vida. Incluso en situaciones cotidianas.

Derivado en economía

Antes del siglo XIX, los economistas se ocupaban principalmente de los promedios, ya fuera la productividad laboral o el precio de la producción. Pero a partir de algún momento, los valores límite se hicieron más necesarios para hacer pronósticos efectivos en esta área. Estos incluyen utilidad marginal, ingreso o costo. Comprender esto impulsó la creación de una herramienta completamente nueva en investigacion economica que existe y se desarrolla desde hace más de cien años.

Para hacer tales cálculos, donde predominan conceptos como mínimo y máximo, simplemente es necesario comprender el significado geométrico y físico de la derivada. Entre los creadores bases teóricas Estas disciplinas pueden llamarse economistas ingleses y austriacos tan prominentes como W. S. Jevons, K. Menger y otros. Por supuesto, los valores límite en los cálculos económicos no siempre son convenientes de usar. Y, por ejemplo, los informes trimestrales no necesariamente encajan en esquema existente, pero aún así la aplicación de tal teoría en muchos casos es útil y efectiva.

Objetivos de la lección:

Educativo:

• Crear condiciones para la asimilación significativa por parte de los estudiantes del significado físico de la derivada.
• Promover la formación de destrezas y habilidades del uso práctico de la derivada para la solución de diversos problemas físicos.

Desarrollando:

• Promover el desarrollo de horizontes matemáticos, interés cognitivo entre los estudiantes a través de la divulgación de la necesidad práctica y el significado teórico del tema.
• Brindar condiciones para mejorar las habilidades mentales de los estudiantes: comparar, analizar, generalizar.

Educativo:

• Fomentar el interés por las matemáticas.

Tipo de lección: Una lección para dominar nuevos conocimientos.

Formas de trabajo: frontal, individual, grupal.

Equipo: Computadora, pizarra interactiva, presentación, libro de texto.

Estructura de la lección:

1. organizando el tiempo establecer el objetivo de la lección
2. Aprendiendo nuevo material
3. Fijación primaria de material nuevo
4. Trabajo independiente
5. Resumen de la lección. Reflexión.

durante las clases

YO. Momento organizativo, estableciendo el objetivo de la lección (2 min.)

II. Aprendiendo material nuevo (10 min.)

Maestro: En lecciones anteriores, nos familiarizamos con las reglas para calcular derivadas, aprendimos cómo encontrar derivadas de una potencia lineal, funciones trigonométricas. Aprendimos cuál es el significado geométrico de la derivada. Hoy en la lección aprenderemos dónde se aplica este concepto en física.

Para ello, recordemos la definición de la derivada (Diapositiva 2)

Ahora pasemos al curso de física. (Diapositiva 3)

Los estudiantes discuten y recuerdan conceptos físicos y fórmulas.

Deje que el cuerpo se mueva de acuerdo con la ley S(t)=f(t) Considere la trayectoria recorrida por el cuerpo durante el tiempo de t 0 a t 0 + Δ t, donde Δt es el incremento del argumento. En el momento t 0 el cuerpo pasó por el camino S(t 0), en el momento t 0 +Δt - el camino S(t 0 +Δt). Por lo tanto, durante el tiempo Δt, el cuerpo ha recorrido el camino S(t 0 +Δt) –S(t 0), es decir tenemos un incremento de función. La velocidad promedio del cuerpo para este período de tiempo υ==

Cuanto más corto sea el intervalo de tiempo t, con mayor precisión podremos averiguar con qué velocidad se mueve el cuerpo en el momento t. Haciendo t → 0, obtenemos la velocidad instantánea - valor numérico velocidad en el momento t de este movimiento.

υ= , en Δt→0 la velocidad es la derivada de la distancia con respecto al tiempo.

diapositiva 4

Recuerda la definición de aceleración.

Aplicando el material anterior, podemos concluir que en t a(t)= υ’(t) la aceleración es la derivada de la velocidad.

Además, las fórmulas para la fuerza actual, la velocidad angular, EMF, etc. aparecen en la pizarra interactiva. Los estudiantes completan los valores instantáneos de estas cantidades físicas a través del concepto de derivada. (Con ausencia tablero interactivo usar presentación)

Diapositivas 5-8

La conclusión la hacen los estudiantes.

Conclusión:(Diapositiva 9) La derivada es la tasa de cambio de la función. (Funciones de trayectoria, coordenadas, velocidad, flujo magnético, etc.)

υ (x) \u003d f '(x)

Maestro: Vemos que la relación entre caracteristicas cuantitativas una amplia variedad de procesos investigados por la física, ciencias tecnicas, la química, es análoga a la relación entre la trayectoria y la velocidad. Puede dar muchos problemas, para cuya solución también es necesario encontrar la tasa de cambio de una determinada función, por ejemplo: encontrar la concentración de una solución en un momento determinado, encontrar la velocidad de flujo de un líquido, la velocidad angular de rotación de un cuerpo, la densidad lineal en un punto, etc. Ahora vamos a resolver algunos de estos problemas.

tercero Consolidación de los conocimientos adquiridos (trabajo en grupo) (15 min.)

Con posterior análisis en la pizarra

Antes de resolver problemas, aclarar las unidades de medida de las cantidades físicas.

Velocidad - [m/s]
Aceleración - [m/s 2]
Fuerza - [N]
Energía - [J]

Grupo Tarea 1

El punto se mueve según la ley s(t)=2t³-3t (s es la distancia en metros, t es el tiempo en segundos). Calcular la velocidad del punto, su aceleración en el tiempo 2s

Grupo de la tarea 2

El volante gira alrededor del eje de acuerdo con la ley φ(t)= t 4 -5t. Encuentre su velocidad angular ω en el tiempo 2s (φ es el ángulo de rotación en radianes, ω es la velocidad angular en rad/s)

Grupo de la tarea 3

Un cuerpo con una masa de 2 kg se mueve en línea recta de acuerdo con la ley x (t) \u003d 2-3t + 2t²

Encuentre la velocidad del cuerpo y su energía cinética 3 s después del inicio del movimiento. ¿Qué fuerza actúa sobre el cuerpo en este momento? (t se mide en segundos, x en metros)

Tarea 4

Confirmaciones de punto movimientos oscilatorios de acuerdo con la ley x(t)=2sin3t. Demostrar que la aceleración es proporcional a la coordenada x.

IV. Solución independiente de problemas No. 272, 274, 275, 277

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov et al. "Álgebra y el comienzo del análisis grados 10-11"] 12 min

Dado:	Decisión:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=x’(t); υ(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s Respuesta: t=6c; υ(6)= 18m/s

La derivada de la función f (x) en el punto x0 es el límite (si existe) de la razón del incremento de la función en el punto x0 al incremento del argumento Δx, si el incremento del argumento tiende a cero y se denota por f '(x0). La acción de encontrar la derivada de una función se llama diferenciación.
La derivada de una función tiene el siguiente significado físico: la derivada de una función en Punto dado- la tasa de cambio de la función en un punto dado.

El significado geométrico de la derivada.. La derivada en el punto x0 es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función y=f(x) en ese punto.

El significado físico de la derivada. Si un punto se mueve a lo largo del eje x y su coordenada cambia de acuerdo con la ley x(t), entonces la velocidad instantánea del punto:

El concepto de diferencial, sus propiedades. Reglas de diferenciación. Ejemplos.

Definición. La diferencial de una función en algún punto x es la parte lineal principal del incremento de la función.La diferencial de la función y = f(x) es igual al producto de su derivada y el incremento de la variable independiente x ( argumento).

Está escrito así:

o

O


Propiedades diferenciales
La diferencial tiene propiedades similares a las de la derivada:





Para reglas básicas de diferenciación incluir:
1) sacando el factor constante del signo de la derivada
2) derivada de la suma, derivada de la diferencia
3) derivada del producto de funciones
4) derivada de un cociente de dos funciones (derivada de una fracción)

Ejemplos.
Probemos la fórmula: Por la definición de la derivada, tenemos:

Se puede sacar un factor arbitrario del signo del paso al límite (esto se conoce por las propiedades del límite), por lo tanto

Por ejemplo: Encontrar la derivada de una función
Decisión: Usamos la regla de sacar el multiplicador del signo de la derivada :

Muy a menudo, primero tiene que simplificar la forma de una función diferenciable para usar la tabla de derivadas y las reglas para encontrar derivadas. Los siguientes ejemplos lo confirman claramente.

Fórmulas de diferenciación. Aplicación del diferencial en cálculos aproximados. Ejemplos.

El uso del diferencial en cálculos aproximados permite el uso del diferencial para cálculos aproximados de valores de funciones.
Ejemplos.
Usando el diferencial, calcule aproximadamente
Calcular valor dado aplicar la formula de la teoria
Introduzcamos una función y representemos el valor dado en la forma
luego calcular

Sustituyendo todo en la fórmula, finalmente obtenemos
Responder:

16. Regla de L'Hopital para la revelación de incertidumbres de la forma 0/0 O ∞/∞. Ejemplos.
El límite de la razón de dos cantidades infinitesimales o infinitamente grandes es igual al límite de la razón de sus derivadas.

1)

17. Función creciente y decreciente. extremo de la función. Algoritmo para el estudio de una función por monotonicidad y extremum. Ejemplos.

Función aumenta en un intervalo si para dos puntos cualesquiera de este intervalo, relación relacionada, la desigualdad es verdadera. Es decir, mayor valor argumento corresponde a un valor mayor de la función, y su gráfico va "de abajo hacia arriba". La función de demostración crece a lo largo del intervalo.

Así mismo, la función decreciente en un intervalo si para cualesquiera dos puntos del intervalo dado, tal que , la desigualdad es verdadera. Es decir, un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función, y su gráfica va “de arriba hacia abajo”. El nuestro disminuye en intervalos disminuye en intervalos .

extremos El punto se llama el punto máximo de la función y=f(x) si la desigualdad es verdadera para todo x desde su vecindad. El valor de la función en el punto máximo se llama función máxima y denota.
El punto se llama punto mínimo de la función y=f(x) si la desigualdad es verdadera para todo x desde su vecindad. El valor de la función en el punto mínimo se llama función mínima y denota.
La vecindad de un punto se entiende como el intervalo , donde es un número positivo suficientemente pequeño.
Los puntos mínimo y máximo se denominan puntos extremos, y los valores de la función correspondientes a los puntos extremos se denominan función extrema.

Para explorar una función por monotonía use el siguiente diagrama:
- Encontrar el alcance de la función;
- Encontrar la derivada de la función y el dominio de la derivada;
- Encuentra los ceros de la derivada, es decir el valor del argumento en el que la derivada es igual a cero;
- Marcar en la recta numérica parte general el dominio de la función y el dominio de su derivada, y sobre él, los ceros de la derivada;
- Determinar los signos de la derivada en cada uno de los intervalos obtenidos;
- Por los signos de la derivada, determine en qué intervalos la función crece y en cuáles decrece;
- Registrar los espacios correspondientes separados por punto y coma.

Algoritmo para estudiar una función continua y = f(x) para monotonicidad y extremos:
1) Encuentra la derivada f ′(x).
2) Encontrar puntos estacionarios (f ′(x) = 0) y críticos (f ′(x) no existe) de la función y = f(x).
3) Marcar los puntos estacionario y crítico sobre la recta real y determinar los signos de la derivada sobre los intervalos resultantes.
4) Sacar conclusiones sobre la monotonicidad de la función y sus puntos extremos.

18. Convexidad de una función. Puntos de inflexión. Algoritmo para examinar una función para la convexidad (Concavidad) Ejemplos.

convexo hacia abajo en el intervalo X, si su gráfica no se encuentra más abajo que la tangente a él en cualquier punto del intervalo X.

La función derivable se llama convexo hacia arriba en el intervalo X, si su gráfica no se encuentra más alta que la tangente a él en cualquier punto del intervalo X.

La fórmula del punto se llama punto de inflexión del gráfico función y \u003d f (x), si en un punto dado hay una tangente a la gráfica de la función (puede ser paralela al eje Oy) y existe tal vecindad de la fórmula del punto, dentro de la cual la gráfica de la función tiene diferentes direcciones de convexidad a la izquierda y a la derecha del punto M.

Encontrar intervalos para la convexidad:

Si la función y=f(x) tiene una segunda derivada finita en el intervalo X y si la desigualdad (), entonces la gráfica de la función tiene una convexidad dirigida hacia abajo (hacia arriba) en X.
Este teorema te permite encontrar los intervalos de concavidad y convexidad de una función, solo necesitas resolver las desigualdades y, respectivamente, en el dominio de definición de la función original.

Ejemplo: Averigüe los intervalos en los que la gráfica de la función Averigüe los intervalos en los que la gráfica de la función tiene una convexidad dirigida hacia arriba y una convexidad dirigida hacia abajo. tiene una convexidad dirigida hacia arriba y una convexidad dirigida hacia abajo.
Decisión: El dominio de esta función es el conjunto completo de números reales.
Encontremos la segunda derivada.

El dominio de definición de la segunda derivada coincide con el dominio de definición de la función original, por lo tanto, para encontrar los intervalos de concavidad y convexidad basta con resolver y respectivamente. Por lo tanto, la función es convexa hacia abajo en la fórmula del intervalo y convexa hacia arriba en la fórmula del intervalo.

19) Asíntotas de una función. Ejemplos.

Llamada directa asíntota vertical gráfica de la función si al menos uno de los valores límite o es igual a o .

Comentario. La línea no puede ser una asíntota vertical si la función es continua en . Por lo tanto, las asíntotas verticales deben buscarse en los puntos de discontinuidad de la función.

Llamada directa asíntota horizontal gráfica de la función si al menos uno de los valores límite o es igual a .

Comentario. Un gráfico de función solo puede tener una asíntota horizontal derecha o solo una izquierda.

Llamada directa asíntota oblicua gráfica de la función si

EJEMPLO:

Ejercicio. Hallar las asíntotas de la gráfica de una función

Decisión. Alcance de la función:

a) asíntotas verticales: una recta es una asíntota vertical, ya que

b) asíntotas horizontales: encontramos el límite de la función en el infinito:

es decir, no hay asíntotas horizontales.

c) asíntotas oblicuas:

Así, la asíntota oblicua es: .

Responder. La asíntota vertical es una línea recta.

La asíntota oblicua es una línea recta.

20) esquema general estudios de funciones y trazados. Ejemplo.

una.
Encuentre la ODZ y los puntos de ruptura de la función.

b. Encuentra los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.

2. Realizar un estudio de la función utilizando la primera derivada, es decir, encontrar los puntos extremos de la función y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3. Investiga la función usando la derivada de segundo orden, es decir, encuentra los puntos de inflexión de la función gráfica y los intervalos de su convexidad y concavidad.

4. Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función: a) vertical, b) oblicua.

5. Con base en el estudio, construya un gráfico de la función.

Tenga en cuenta que antes de graficar, es útil establecer si una función determinada es par o impar.

Recuerde que se llama a una función incluso si el valor de la función no cambia cuando cambia el signo del argumento: f(-x) = f(x) y una función se llama impar si f(-x) = -f(x).

En este caso, basta con estudiar la función y trazar su gráfica para valores positivos argumento perteneciente a la ODZ. En valores negativos argumento, el gráfico se completa sobre la base de que para una función par es simétrica con respecto al eje Oye, y para impar con respecto al origen.

Ejemplos. Explore funciones y construya sus gráficos.

Alcance de la función D(y)= (–∞; +∞). No hay puntos de quiebre.

Intersección del eje Buey: X = 0,y= 0.

La función es impar, por lo tanto, solo se puede estudiar en el intervalo , y su argumento está en unidades de [x], luego la derivada (velocidad) se mide en unidades de .

Tarea 6

X(t) = 6t 2 − 48t+ 17, donde X t t= 9 s.

Encontrar la derivada
X"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Así, hemos obtenido la dependencia de la velocidad con el tiempo. Para encontrar la velocidad en un momento dado, debe sustituir su valor en la fórmula resultante:
X"(t) = 12t − 48.
X"(9) = 12 9 − 48 = 60.

Responder: 60

Comentario: Asegurémonos de no cometer un error con las dimensiones de las cantidades. Aquí, la unidad de distancia (función) [x] = metro, la unidad de tiempo (argumento de función) [t] = segundo, por lo tanto, la unidad de derivada = [m/s], es decir la derivada da la velocidad solo en aquellas unidades que se mencionan en la pregunta del problema.

Tarea 7

El punto material se mueve en línea recta de acuerdo con la ley X(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, donde X- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en ese momento t= 3 s.

Encontrar la derivada
X"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Sustituimos el momento de tiempo dado en la fórmula resultante
X"(3) = −4 3 3 + 18 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Responder: 59

Tarea 8

El punto material se mueve en línea recta de acuerdo con la ley X(t) = t 2 − 13t+ 23, donde X- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su velocidad fue igual a 3 m/s?

Encontrar la derivada
X"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Igualamos la velocidad dada por la fórmula obtenida al valor de 3 m/s.
2t − 13 = 3.
Resolviendo esta ecuación, determinamos en qué momento se cumple la igualdad.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Responder: 8

Tarea 9

El punto material se mueve en línea recta de acuerdo con la ley X(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, donde X- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su velocidad fue igual a 2 m/s?

Encontrar la derivada
X"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
También hacemos una ecuación:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Esta es una ecuación cuadrática que se puede resolver usando el discriminante o el teorema de Vieta. Aquí, en mi opinión, la segunda forma es más fácil:
t 1 + t 2 = 6; t uno · t 2 = −7.
Es fácil adivinar que t 1 = −1; t 2 = 7.
Ponemos solo la raíz positiva en la respuesta, porque el tiempo no puede ser negativo.

Considere una línea recta arbitraria que pasa por el punto del gráfico de la función: el punto A (x 0, F (x 0)) y cortando la gráfica en algún punto B(x; f(x )). Tal línea recta (AB) se llama secante. De ∆ABC: ​​AC = ∆ X; BC \u003d ∆y; tgβ =∆y/∆x.

Desde AC || Ox , entonces Р ALO = Р BAC = β (en correspondencia con el paralelo). PeroÐ ALO es el ángulo de inclinación de la secante AB con respecto a la dirección positiva del eje Ox. Significa, tgβ = k - Pendiente AB directo.

Ahora disminuiremos ∆x, es decir ∆x→ 0. En este caso, el punto B se aproximará al punto A según la gráfica, y la secante AB rotará. La posición límite de la secante AB en ∆х→ 0 será una línea recta ( un ), llamada tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto A.

Si pasamos al límite como ∆х → 0 en la igualdad tg β =∆ y /∆ x , entonces obtenemos

o tg a \u003d f "(x 0), ya que
un - ángulo de inclinación de la tangente a la dirección positiva del eje Ox

, por definición de derivada. Pero tg un = k es la pendiente de la tangente, entonces k = tg a \u003d f "(x 0).

Entonces, el significado geométrico de la derivada es el siguiente:

La derivada de la función en el punto x 0 es igual a la pendiente tangente a la gráfica de la función trazada en el punto de abscisa x 0 .

El significado físico de la derivada.

Considere el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. Sea la coordenada del punto en cualquier instante de tiempo x(t ). Se sabe (por el curso de física) que velocidad media por un periodo de tiempo [ t0; t0 + ∆t ] es igual a la relación entre la distancia recorrida durante este período de tiempo y el tiempo, es decir

Vav = ∆x /∆t . Pasemos al límite en la última igualdad como ∆ t → 0.

lím V cf (t) = n (t 0 ) - velocidad instantánea en el tiempo t 0 , ∆t → 0.

y lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (por definición de un derivado).

Entonces, n(t) = x "(t).

El significado físico de la derivada es el siguiente: la derivada de la función y = F( X) en el puntoX 0 es la tasa de cambio de la función F(x) en el puntoX 0

La derivada se usa en física para encontrar la velocidad a partir de una función conocida de coordenadas a partir del tiempo, la aceleración a partir de una función conocida de velocidad a partir del tiempo.

u (t) \u003d x "(t) - velocidad,

a(f) = n "(t ) - aceleración, o

a (t) \u003d x "(t).

Si se conoce la ley de movimiento de un punto material a lo largo de un círculo, entonces es posible encontrar la velocidad angular y la aceleración angular durante el movimiento de rotación:

φ = φ (t ) - cambio de ángulo desde el tiempo,

ω = φ "(t ) - velocidad angular,

ε = φ "(t ) - aceleración angular, oε \u003d φ "(t).

Si se conoce la ley de distribución de la masa de una barra no homogénea, entonces se puede encontrar la densidad lineal de la barra no homogénea:

m \u003d m (x) - masa,

x í , l - longitud de la varilla,

pag = metro "(x) - densidad lineal.

Con la ayuda de la derivada se resuelven problemas de la teoría de la elasticidad y vibraciones armónicas. Sí, según la ley de Hooke.

F = - kx , x - coordenada variable, k - coeficiente de elasticidad del resorte. Poniendoω 2 = k / metro , obtenemos ecuación diferencial péndulo de resorte x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

donde ω = √k /√m frecuencia de oscilación ( l/c ), k - rigidez del resorte ( H/m).

Una ecuación de la forma y" +ω 2 años = 0 se llama la ecuación de las oscilaciones armónicas (mecánicas, eléctricas, electromagnéticas). La solución de tales ecuaciones es la función

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) o y \u003d Acos (ωt + φ 0 ), donde

A es la amplitud de las oscilaciones,ω - frecuencia cíclica,

φ 0 - fase inicial.