¿En cuántos puntos es positiva la derivada de una función? ¿En qué punto el valor de la derivada es mayor?

Mostrando la relación del signo de la derivada con la naturaleza de la monotonicidad de la función.

Tenga mucho cuidado con lo siguiente. ¡Mira, el horario de QUÉ te está dando! Función o su derivada

Dada una gráfica de la derivada, entonces solo nos interesan los signos y ceros de función. En principio, ¡no nos interesan los "montículos" ni los "huecos"!

Tarea 1.

La figura muestra la gráfica de una función definida en un intervalo. Determine el número de puntos enteros donde la derivada de la función es negativa.

Decisión:

En la figura, las áreas de función decreciente están resaltadas en color:

4 valores enteros caen en estas áreas de función decreciente.

Tarea 2.

La figura muestra la gráfica de una función definida en un intervalo. Encuentra el número de puntos donde la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincidente con la línea.

Decisión:

Como la tangente a la función gráfica es paralela (o coincide) con una recta (o lo que es lo mismo) que tiene Pendiente , cero, entonces la tangente tiene pendiente .

Esto a su vez significa que la tangente es paralela al eje, ya que la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje.

Por lo tanto, encontramos puntos extremos en el gráfico (puntos máximos y mínimos), - es en ellos donde las funciones tangentes al gráfico serán paralelas al eje.

Hay 4 de esos puntos.

Tarea 3.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo . Encuentra el número de puntos donde la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincidente con la línea.

Decisión:

Como la tangente a la gráfica de la función es paralela (o coincide) con una recta, que tiene pendiente, entonces la tangente tiene pendiente.

Esto a su vez significa que en los puntos de contacto.

Por lo tanto, miramos cuántos puntos en el gráfico tienen una ordenada igual a .

Como puede ver, hay cuatro puntos de este tipo.

Tarea 4.

La figura muestra la gráfica de una función definida en un intervalo. Encuentra el número de puntos donde la derivada de la función es 0.

Decisión:

La derivada es cero en los puntos extremos. Tenemos 4 de ellos:

Tarea 5.

La figura muestra el gráfico de una función y once puntos en el eje x:. ¿En cuántos de estos puntos la derivada de la función es negativa?

Decisión:

En intervalos de función decreciente, su derivada toma valores negativos. Y la función decrece en los puntos. Hay 4 de esos puntos.

Tarea 6.

La figura muestra la gráfica de una función definida en un intervalo. Encuentra la suma de los puntos extremos de la función.

Decisión:

puntos extremos son los puntos máximos (-3, -1, 1) y los puntos mínimos (-2, 0, 3).

La suma de los puntos extremos: -3-1+1-2+0+3=-2.

Tarea 7.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo . Encuentre los intervalos de la función creciente. En su respuesta, indique la suma de los puntos enteros incluidos en estos intervalos.

Decisión:

La figura destaca los intervalos en los que la derivada de la función no es negativa.

No hay puntos enteros en el pequeño intervalo de aumento, en el intervalo de aumento hay cuatro valores enteros: , y .

Su suma:

Tarea 8.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo . Encuentre los intervalos de la función creciente. En tu respuesta, escribe la longitud del mayor de ellos.

Decisión:

En la figura, se resaltan todos los intervalos en los que la derivada es positiva, lo que significa que la función misma crece en estos intervalos.

La longitud del mayor de ellos es 6.

Tarea 9.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo . ¿En qué punto del segmento valor más alto.

Decisión:

Observamos cómo se comporta el gráfico en el segmento, es decir, estamos interesados ​​en signo derivado solamente .

El signo de la derivada de es menos, ya que la gráfica de este segmento está debajo del eje.

La derivada de una función es una de temas dificiles en el currículo escolar. No todos los graduados responderán a la pregunta de qué es un derivado.

Este artículo explica de manera simple y clara qué es un derivado y por qué es necesario.. No lucharemos ahora por el rigor matemático de la presentación. Lo más importante es entender el significado.

Recordemos la definición:

La derivada es la tasa de cambio de la función.

La figura muestra gráficas de tres funciones. ¿Cuál crees que crece más rápido?

La respuesta es obvia: la tercera. ella tiene la mayoria alta velocidad cambia, es decir, la derivada más grande.

Aquí hay otro ejemplo.

Kostya, Grisha y Matvey consiguieron trabajo al mismo tiempo. Veamos cómo cambiaron sus ingresos durante el año:

Puedes ver todo en el gráfico de inmediato, ¿verdad? Los ingresos de Kostya se han más que duplicado en seis meses. Y los ingresos de Grisha también aumentaron, pero solo un poco. Y los ingresos de Matthew se redujeron a cero. Las condiciones iniciales son las mismas, pero la tasa de cambio de la función, es decir, derivado, - diferente. En cuanto a Matvey, la derivada de su ingreso es generalmente negativa.

Intuitivamente, podemos estimar fácilmente la tasa de cambio de una función. Pero, ¿cómo lo hacemos?

Lo que realmente estamos viendo es qué tan abruptamente sube (o baja) la gráfica de la función. En otras palabras, qué tan rápido cambia y con x. Obviamente, la misma función en diferentes puntos puede tener significado diferente derivado - es decir, puede cambiar más rápido o más lento.

La derivada de una función se denota por .

Vamos a mostrar cómo encontrar usando la gráfica.

Se dibuja una gráfica de alguna función. Tome un punto en él con una abscisa. Dibuja una tangente a la gráfica de la función en este punto. Queremos evaluar qué tan abruptamente sube la gráfica de la función. Un valor útil para esto es tangente de la pendiente de la tangente.

La derivada de una función en un punto es igual a la tangente de la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en ese punto.

Tenga en cuenta: como ángulo de inclinación de la tangente, tomamos el ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje.

A veces los estudiantes preguntan cuál es la tangente a la gráfica de una función. Esta es una línea recta, que tiene el único punto común con un gráfico, y como se muestra en nuestra figura. Parece una tangente a un círculo.

Encontremos . Recordemos que la tangente de un ángulo agudo en triángulo rectángulo igual a la razón del cateto opuesto al adyacente. Del triangulo:

Encontramos la derivada usando la gráfica sin siquiera saber la fórmula de la función. Tales tareas se encuentran a menudo en el examen de matemáticas bajo el número.

Hay otra correlación importante. Recuerda que la recta viene dada por la ecuación

La cantidad en esta ecuación se llama pendiente de una recta. Es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje.

.

eso lo conseguimos

Recordemos esta fórmula. ella expresa significado geométrico derivado.

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en ese punto.

En otras palabras, la derivada es igual a la tangente de la pendiente de la tangente.

Ya hemos dicho que una misma función puede tener diferentes derivadas en diferentes puntos. Veamos cómo se relaciona la derivada con el comportamiento de la función.

Dibujemos una gráfica de alguna función. Que esta función aumente en algunas áreas, disminuya en otras, y con velocidad diferente. Y que esta función tenga puntos máximos y mínimos.

En un punto, la función es creciente. La tangente a la gráfica trazada en el punto forma esquina filosa; con dirección de eje positiva. Entonces la derivada es positiva en el punto.

En el punto, nuestra función es decreciente. La tangente en este punto forma un ángulo obtuso; con dirección de eje positiva. Como la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la derivada en el punto es negativa.

Esto es lo que sucede:

Si una función es creciente, su derivada es positiva.

Si decrece, su derivada es negativa.

¿Y qué pasará en los puntos máximo y mínimo? Vemos que en (punto máximo) y (punto mínimo) la tangente es horizontal. Por lo tanto, la tangente de la pendiente de la tangente en estos puntos es cero y la derivada también es cero.

El punto es el punto máximo. En este punto, el aumento de la función se reemplaza por una disminución. En consecuencia, el signo de la derivada cambia en el punto de "más" a "menos".

En el punto, el punto mínimo, la derivada también es igual a cero, pero su signo cambia de "menos" a "más".

Conclusión: con la ayuda de la derivada se puede averiguar todo lo que nos interesa sobre el comportamiento de la función.

Si la derivada es positiva, entonces la función es creciente.

Si la derivada es negativa, entonces la función es decreciente.

En el punto máximo, la derivada es cero y cambia de signo de más a menos.

En el punto mínimo, la derivada también es cero y cambia de signo de menos a más.

Escribimos estos hallazgos en forma de tabla:

Hagamos dos pequeñas aclaraciones. Necesitará uno de ellos cuando resuelva el problema. Otro - en el primer año, con un estudio más serio de funciones y derivadas.

Un caso es posible cuando la derivada de una función en algún punto es igual a cero, pero la función no tiene un máximo ni un mínimo en este punto. Este llamado :

En un punto, la tangente a la gráfica es horizontal y la derivada es cero. Sin embargo, antes del punto, la función aumentó, y después del punto continúa aumentando. El signo de la derivada no cambia, se ha mantenido tan positivo como antes.

También sucede que en el punto de máximo o mínimo, la derivada no existe. En el gráfico, esto corresponde a una ruptura brusca, cuando es imposible trazar una tangente en un punto dado.

Pero, ¿cómo encontrar la derivada si la función no está dada por un gráfico, sino por una fórmula? En este caso, se aplica

¡Hola! ¡Golpeemos el USO que se aproxima con entrenamiento sistemático de alta calidad y perseverancia para moler el granito de la ciencia! ENAl final de la publicación hay una tarea competitiva, ¡sé el primero! En uno de los artículos de esta sección, tú y yo, en el que se dio la gráfica de la función y se estableció varias preguntas en cuanto a extremos, intervalos de aumento (decremento) y otros.

En este artículo consideraremos las tareas incluidas en el USE en matemáticas, en las que se da la gráfica de la derivada de una función y se plantean las siguientes preguntas:

1. ¿En qué punto de un segmento dado la función toma el valor más grande (o más pequeño)?

2. Encuentra el número de puntos máximos (o mínimos) de la función que pertenecen a un segmento dado.

3. Encuentra el número de puntos extremos de la función que pertenecen a un segmento dado.

4. Encuentra el punto extremo de la función que pertenece al segmento dado.

5. Encuentra los intervalos de crecimiento (o disminución) de la función y en la respuesta indica la suma de los puntos enteros incluidos en estos intervalos.

6. Encuentra intervalos de aumento (o disminución) de la función. En su respuesta, indique la longitud del mayor de estos intervalos.

7. Halla el número de puntos donde la tangente a la gráfica de la función es paralela a la recta y = kx + b o coincide con ella.

8. Encuentra la abscisa del punto en el que la tangente a la gráfica de la función es paralela al eje de abscisas o coincide con él.

Puede haber otras preguntas, pero no le causarán ninguna dificultad si comprende y (se proporcionan enlaces a artículos que brindan la información necesaria para resolver, recomiendo repetir).

Información básica (brevemente):

1. La derivada en intervalos crecientes tiene signo positivo.

Si la derivada en un cierto punto de algún intervalo tiene valor positivo, entonces la gráfica de la función en este intervalo aumenta.

2. En los intervalos decrecientes, la derivada tiene signo negativo.

Si la derivada en un cierto punto de algún intervalo tiene significado negativo, entonces la gráfica de la función decrece en este intervalo.

3. La derivada en el punto x es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en el mismo punto.

4. En los puntos extremos (máximo-mínimo) de la función, la derivada es igual a cero. La tangente a la gráfica de la función en este punto es paralela al eje x.

¡Esto debe ser claramente entendido y recordado!

La gráfica de la derivada "confunde" a mucha gente. Algunos, sin darse cuenta, lo toman por el gráfico de la función misma. Por lo tanto, en tales edificios, donde ves que se da un gráfico, enfoca inmediatamente tu atención en la condición sobre lo que se da: ¿un gráfico de una función o un gráfico de una derivada de una función?

Si es un gráfico de la derivada de una función, trátelo como un "reflejo" de la función misma, que simplemente le brinda información sobre esta función.

Considere la tarea:

La figura muestra un gráfico y=F'(X)- función derivada F(X), definido en el intervalo (–2;21).

Responderemos a las siguientes preguntas:

1. ¿En qué punto del segmento se encuentra la función F(X) toma el mayor valor.

En un segmento dado, la derivada de la función es negativa, lo que significa que la función decrece en este segmento (decrece desde el límite izquierdo del intervalo hacia la derecha). Así, el valor máximo de la función se alcanza en el límite izquierdo del segmento, es decir, en el punto 7.

Respuesta: 7

2. ¿En qué punto del segmento se encuentra la función F(X)

De esta gráfica de la derivada, podemos decir lo siguiente. En un segmento dado, la derivada de la función es positiva, lo que significa que la función crece en ese segmento (crece desde el borde izquierdo del intervalo hacia el derecho). Por lo tanto, valor más pequeño La función se alcanza en el límite izquierdo del segmento, es decir, en el punto x = 3.

Respuesta: 3

3. Encuentra el número de puntos máximos de la función F(X)

Los puntos máximos corresponden a los puntos donde el signo de la derivada cambia de positivo a negativo. Considere dónde cambia el signo de esta manera.

En el segmento (3;6) la derivada es positiva, en el segmento (6;16) es negativa.

En el segmento (16;18) la derivada es positiva, en el segmento (18;20) es negativa.

Así, en un segmento dado, la función tiene dos puntos máximos x = 6 y x = 18.

Respuesta: 2

4. Encuentra el número de puntos mínimos de la función F(X) perteneciente al segmento.

Los puntos mínimos corresponden a los puntos donde el signo de la derivada cambia de negativo a positivo. Tenemos una derivada negativa en el intervalo (0; 3) y positiva en el intervalo (3; 4).

Así, en el segmento, la función tiene solo un punto mínimo x = 3.

*Tenga cuidado al escribir la respuesta: se registra la cantidad de puntos, no el valor de x, ya que se puede cometer un error por falta de atención.

Respuesta 1

5. Encuentra el número de puntos extremos de la función F(X) perteneciente al segmento.

Tenga en cuenta que necesita encontrar Monto puntos extremos (estos son puntos máximos y mínimos).

Los puntos extremos corresponden a los puntos donde cambia el signo de la derivada (de positivo a negativo o viceversa). En el gráfico dado en la condición, estos son los ceros de la función. La derivada se anula en los puntos 3, 6, 16, 18.

Por lo tanto, la función tiene 4 puntos extremos en el segmento.

Respuesta: 4

6. Encuentra los intervalos de la función creciente F(X)

Intervalos de incremento de esta función F(X) corresponden a los intervalos en los que su derivada es positiva, es decir, los intervalos (3;6) y (16;18). Tenga en cuenta que los límites del intervalo no están incluidos en él (corchetes: los límites no están incluidos en el intervalo, los corchetes están incluidos). Estos intervalos contienen puntos enteros 4, 5, 17. Su suma es: 4 + 5 + 17 = 26

Respuesta: 26

7. Encuentra los intervalos de la función decreciente F(X) en un intervalo dado. En su respuesta, indique la suma de los puntos enteros incluidos en estos intervalos.

Función Intervalos decrecientes F(X) corresponden a intervalos en los que la derivada de la función es negativa. En este problema, estos son los intervalos (–2;3), (6;16), (18;21).

Estos intervalos contienen los siguientes puntos enteros: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Su suma es:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Respuesta: 140

*Presta atención en la condición: si los límites están incluidos en el intervalo o no. Si se incluyen los límites, entonces estos límites también deben tenerse en cuenta en los intervalos considerados en el proceso de solución.

8. Encuentra los intervalos de la función creciente F(X)

Intervalos de aumento de función F(X) corresponden a los intervalos en los que la derivada de la función es positiva. Ya las hemos señalado: (3;6) y (16;18). El mayor de ellos es el intervalo (3;6), su longitud es 3.

Respuesta: 3

9. Encuentra los intervalos de la función decreciente F(X). En tu respuesta, escribe la longitud del mayor de ellos.

Función Intervalos decrecientes F(X) corresponden a intervalos en los que la derivada de la función es negativa. Ya los hemos indicado, estos son los intervalos (–2; 3), (6; 16), (18; 21), sus longitudes son respectivamente iguales a 5, 10, 3.

La longitud del mayor es 10.

Respuesta: 10

10. Encuentra el número de puntos donde la tangente a la gráfica de la función F(X) paralela a la línea y \u003d 2x + 3 o coincide con ella.

El valor de la derivada en el punto de contacto es igual a la pendiente de la tangente. Dado que la tangente es paralela a la línea recta y \u003d 2x + 3 o coincide con ella, entonces sus pendientes son iguales a 2. Por lo tanto, es necesario encontrar la cantidad de puntos en los que y (x 0) \u003d 2. Geométricamente, esto corresponde al número de puntos de intersección del gráfico derivado con la línea recta y = 2. Hay 4 puntos de este tipo en este intervalo.

Respuesta: 4

11. Encuentra el punto extremo de la función F(X) perteneciente al segmento.

Un punto extremo de una función es un punto en el que su derivada es igual a cero, y en la vecindad de este punto, la derivada cambia de signo (de positivo a negativo o viceversa). En el segmento, la gráfica de la derivada cruza el eje x, la derivada cambia de signo de negativo a positivo. Por tanto, el punto x = 3 es un punto extremo.

Respuesta: 3

12. Encuentre las abscisas de los puntos donde las tangentes al gráfico y \u003d f (x) son paralelas al eje de abscisas o coinciden con él. En su respuesta, indique el mayor de ellos.

La tangente al gráfico y \u003d f (x) puede ser paralela al eje x o coincidir con él, solo en los puntos donde la derivada es cero (estos pueden ser puntos extremos o puntos estacionarios, cerca de los cuales la derivada no cambia de signo). Este gráfico muestra que la derivada es cero en los puntos 3, 6, 16,18. El mayor tiene 18.

El argumento se puede estructurar así:

El valor de la derivada en el punto de contacto es igual a la pendiente de la tangente. Dado que la tangente es paralela o coincidente con el eje x, su pendiente es 0 (de hecho, la tangente de un ángulo de cero grados es cero). Por lo tanto, estamos buscando un punto donde la pendiente sea igual a cero y, por lo tanto, la derivada sea igual a cero. La derivada es igual a cero en el punto donde su gráfica cruza el eje x, y estos son los puntos 3, 6, 16,18.

Respuesta: 18

La figura muestra un gráfico y=F'(X)- función derivada F(X) definido en el intervalo (–8;4). ¿En qué punto del segmento [–7;–3] se encuentra la función F(X) toma el valor más pequeño.

La figura muestra un gráfico y=F'(X)- función derivada F(X), definido en el intervalo (–7;14). Encuentra el número de puntos máximos de una función F(X) perteneciente al segmento [–6;9].

La figura muestra un gráfico y=F'(X)- función derivada F(X) definido en el intervalo (–18;6). Encuentra el número de puntos mínimos de una función. F(X) perteneciente al segmento [–13;1].

La figura muestra un gráfico y=F'(X)- función derivada F(X), definido en el intervalo (–11; –11). Encontrar el número de puntos extremos de una función F(X), perteneciente al segmento [–10; -diez].

La figura muestra un gráfico y=F'(X)- función derivada F(X) definido en el intervalo (–7;4). Encuentre los intervalos de la función creciente F(X). En su respuesta, indique la suma de los puntos enteros incluidos en estos intervalos.

La figura muestra un gráfico y=F'(X)- función derivada F(X), definido en el intervalo (–5; 7). Encuentre los intervalos de la función decreciente F(X). En su respuesta, indique la suma de los puntos enteros incluidos en estos intervalos.

La figura muestra un gráfico y=F'(X)- función derivada F(X) definido en el intervalo (–11;3). Encuentre los intervalos de la función creciente F(X). En tu respuesta, escribe la longitud del mayor de ellos.

F La figura muestra un gráfico

La condición del problema es la misma (la que consideramos). Encuentra la suma de tres números:

1. La suma de los cuadrados de los extremos de la función f (x).

2. La diferencia de los cuadrados de la suma de los puntos máximos y la suma de los puntos mínimos de la función f (x).

3. El número de tangentes a f (x) paralelas a la línea recta y \u003d -3x + 5.

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Atentamente, Alexander Krutitsikh.

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