Energía cinética durante el movimiento de rotación. Momento de inercia. Ley de conservación del momento angular. Energía cinética de un cuerpo absolutamente rígido que gira sobre un eje fijo ¿Cuál es el trabajo realizado cuando un cuerpo rígido gira?
Aquí, está el momento angular en relación con el eje de rotación, es decir, la proyección sobre el eje del momento angular, definido en relación con algún punto perteneciente al eje (ver lección 2). - este es el momento de las fuerzas externas con respecto al eje de rotación, es decir, la proyección sobre el eje del momento resultante de las fuerzas externas, definido en relación con algún punto perteneciente al eje, y la elección de este punto en el eje , como en el caso de c, no importa. De hecho (Fig. 3.4), 
donde es la componente de la fuerza aplicada al cuerpo rígido, perpendicular al eje de rotación, es el hombro de la fuerza con respecto al eje.
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| Arroz. 3.4. |
Dado que ( es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación), entonces en lugar de podemos escribir
| (3.8) |
El vector siempre está dirigido a lo largo del eje de rotación y es el componente del vector del momento de la fuerza a lo largo del eje.
En el caso, obtenemos, respectivamente, y se conserva el momento angular alrededor del eje. Al mismo tiempo, el propio vector L, definido en relación con algún punto en el eje de rotación, puede variar. Un ejemplo de tal movimiento se muestra en la Fig. 3.5.
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| Arroz. 3.5. |
La barra AB, articulada en el punto A, gira por inercia alrededor de un eje vertical de tal manera que el ángulo entre el eje y la barra permanece constante. Vector de impulso L, con respecto al punto A se mueve a lo largo de una superficie cónica con un ángulo de media apertura, sin embargo, la proyección L sobre el eje vertical permanece constante, ya que el momento de gravedad alrededor de este eje es cero.
Energía cinética de un cuerpo en rotación y el trabajo de fuerzas externas (el eje de rotación es estacionario).
Velocidad de la i-ésima partícula del cuerpo
| (3.11) |
donde es la distancia de la partícula al eje de rotación Energía cinética
| (3.12) |
como velocidad angular la rotación para todos los puntos es la misma.
De acuerdo con la ley del cambio de la energía mecánica sistema, el trabajo elemental de todas las fuerzas externas es igual al incremento de la energía cinética del cuerpo:
omitamos que el disco de la muela gira por inercia con velocidad angular y lo detenemos presionando algún objeto contra el borde del disco con una fuerza constante. En este caso, una fuerza de magnitud constante dirigida perpendicularmente a su eje actuará sobre el disco. El trabajo de esta fuerza
donde es el momento de inercia del disco afilado junto con la armadura del motor eléctrico.
Comentario. Si las fuerzas son tales que no producen trabajo.
ejes libres. Estabilidad de rotación libre.
Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, este eje se mantiene en una posición constante mediante rodamientos. Cuando las partes desequilibradas de los mecanismos giran, los ejes (ejes) experimentan una cierta carga dinámica, se producen vibraciones, sacudidas y los mecanismos pueden colapsar.
Si un cuerpo rígido gira alrededor de un eje arbitrario, conectado rígidamente al cuerpo, y el eje se libera de los cojinetes, entonces su dirección en el espacio, en términos generales, cambiará. Para que un eje arbitrario de rotación del cuerpo mantenga su dirección sin cambios, se le deben aplicar ciertas fuerzas. Las situaciones resultantes se muestran en la Fig. 3.6.
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| Arroz. 3.6. |
Una barra masiva homogénea AB se usa aquí como un cuerpo giratorio, unido a un eje suficientemente elástico (representado por líneas discontinuas dobles). La elasticidad del eje permite visualizar las cargas dinámicas que experimenta. En todos los casos, el eje de rotación es vertical, rígidamente conectado a la varilla y fijado en cojinetes; la varilla se hace girar alrededor de este eje y se deja sola.
En el caso mostrado en la Fig. 3.6a, el eje de rotación es el principal para el punto B de la varilla, pero no el central, el eje se dobla, desde el lado del eje actúa sobre la varilla la fuerza que asegura su rotación (en el NISO asociado con la varilla, esta fuerza equilibra la fuerza centrífuga de inercia). Del lado de la varilla, una fuerza actúa sobre el eje balanceada por las fuerzas del lado de los cojinetes.
En el caso de la Fig. 3.6b, el eje de rotación pasa por el centro de masa de la varilla y es central para ella, pero no el principal. El momento angular alrededor del centro de masa O no se conserva y describe una superficie cónica. El eje se deforma (rompe) de forma compleja, sobre la varilla actúan fuerzas del lado del eje y cuyo momento proporciona un incremento (En el NISO asociado a la varilla, el momento de las fuerzas elásticas compensa el momento de fuerzas centrífugas de inercia que actúan sobre una y otra mitad de la barra). Desde el lado de la varilla, las fuerzas actúan sobre el eje y se dirigen en dirección opuesta a las fuerzas y El momento de las fuerzas y se equilibra con el momento de las fuerzas y que surgen en los cojinetes.
Y solo en el caso de que el eje de rotación coincida con el eje central principal de inercia del cuerpo (Fig. 3.6c), la barra sin torcer y dejada sola no tiene ningún efecto sobre los cojinetes. Dichos ejes se denominan ejes libres, porque si se quitan los cojinetes, mantendrán su dirección en el espacio sin cambios.
Otra cosa es que esta rotación sea estable frente a pequeñas perturbaciones, que siempre se producen en condiciones reales. Los experimentos muestran que la rotación alrededor de los ejes centrales principales con los momentos de inercia más grandes y más pequeños es estable, y la rotación alrededor de un eje con un valor intermedio del momento de inercia es inestable. Esto se puede verificar lanzando hacia arriba un cuerpo en forma de paralelepípedo, sin torcer alrededor de uno de los tres ejes centrales principales mutuamente perpendiculares (Fig. 3.7). El eje AA" corresponde al más grande, el eje BB" - al promedio, y el eje CC" - al momento de inercia más pequeño del paralelepípedo. bastante estable. Los intentos de hacer que el cuerpo gire alrededor del eje BB "no conducen al éxito - el cuerpo se mueve de manera compleja, dando tumbos en vuelo.
- cuerpo rígido - ángulos de Euler
Trabajo y potencia durante la rotación de un cuerpo rígido.
Encontremos una expresión para el trabajo durante la rotación del cuerpo. Deje que la fuerza se aplique en un punto ubicado a una distancia del eje, el ángulo entre la dirección de la fuerza y el radio vector. Dado que el cuerpo es absolutamente rígido, el trabajo de esta fuerza es igual al trabajo invertido en hacer girar todo el cuerpo. Cuando el cuerpo gira en un ángulo infinitamente pequeño, el punto de aplicación pasa la trayectoria y el trabajo es igual al producto de la proyección de la fuerza en la dirección del desplazamiento por la magnitud del desplazamiento:
El módulo del momento de fuerza es igual a:
entonces obtenemos la siguiente fórmula para calcular el trabajo:
Así, el trabajo durante la rotación de un cuerpo rígido es igual al producto del momento de la fuerza que actúa y el ángulo de rotación.
Energía cinética de un cuerpo en rotación.
Momento de inercia mat.t. llamado físico el valor es numéricamente igual al producto de la masa de mat.t. por el cuadrado de la distancia de este punto al eje de rotación W ki \u003d m i V 2 i / 2 V i -Wr i Wi \u003d miw 2 r 2 i / 2 \u003d w 2 / 2 * m i r i 2 I i \u003d m i r 2 i el momento de inercia de un cuerpo rígido es igual a la suma de todos los mat.t I=S i m i r 2 i se llama el momento de inercia de un cuerpo rígido. valor físico igual a la suma de los productos de mat.t. por los cuadrados de las distancias de estos puntos al eje. W i -I i W 2/2 W k \u003d IW 2/2
W k \u003d S i W ki momento de inercia durante el movimiento de rotación yavl. análogo de masa en movimiento de traslación. I=mR 2/2
21. Sistemas de referencia no inerciales. Fuerzas de inercia. El principio de equivalencia. Ecuación de movimiento en marcos de referencia no inerciales.
Marco de referencia no inercial- un sistema de referencia arbitrario que no es inercial. Ejemplos de marcos de referencia no inerciales: un marco que se mueve en línea recta con aceleración constante, así como un marco giratorio.
Al considerar las ecuaciones de movimiento de un cuerpo en un marco de referencia no inercial, es necesario tener en cuenta fuerzas de inercia adicionales. Las leyes de Newton son válidas solo en marcos de referencia inerciales. Para encontrar la ecuación de movimiento en un marco de referencia no inercial, es necesario conocer las leyes de transformación de fuerzas y aceleraciones en la transición de un marco inercial a cualquier marco no inercial.
La mecánica clásica postula los siguientes dos principios:
el tiempo es absoluto, es decir, los intervalos de tiempo entre dos eventos cualesquiera son los mismos en todos los marcos de referencia que se mueven arbitrariamente;
el espacio es absoluto, es decir, la distancia entre dos puntos materiales cualesquiera es la misma en todos los marcos de referencia que se mueven arbitrariamente.
Estos dos principios hacen posible escribir la ecuación de movimiento de un punto material con respecto a cualquier marco de referencia no inercial en el que no se cumple la Primera Ley de Newton.
La ecuación básica de la dinámica del movimiento relativo de un punto material tiene la forma:
donde es la masa del cuerpo, es la aceleración del cuerpo relativa al marco de referencia no inercial, es la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es la aceleración portátil del cuerpo, es la aceleración de Coriolis del cuerpo.
Esta ecuación se puede escribir en la forma familiar de la Segunda Ley de Newton introduciendo fuerzas de inercia ficticias:
Fuerza de inercia portátil
fuerza Coriolis
fuerza de inercia- una fuerza ficticia que se puede introducir en un marco de referencia no inercial de modo que las leyes de la mecánica en él coincidan con las leyes de los marcos inerciales.
En cálculos matemáticos, la introducción de esta fuerza se produce transformando la ecuación
F 1 +F 2 +…F n = ma a la forma
F 1 + F 2 + ... F n –ma = 0 Donde F i es la fuerza real y –ma es la “fuerza de inercia”.
Entre las fuerzas de inercia se encuentran las siguientes:
sencillo fuerza de inercia;
la fuerza centrífuga, que explica la tendencia de los cuerpos a volar lejos del centro en marcos de referencia giratorios;
la fuerza de Coriolis, que explica la tendencia de los cuerpos a desviarse del radio durante el movimiento radial en marcos de referencia giratorios;
Desde el punto de vista de la relatividad general, fuerzas gravitatorias en cualquier punto son las fuerzas de inercia en un punto dado en el espacio curvo de Einstein
Fuerza centrífuga- la fuerza de inercia, que se introduce en un marco de referencia giratorio (no inercial) (para aplicar las leyes de Newton, calculadas solo para FR inerciales) y que se dirige desde el eje de rotación (de ahí el nombre).
El principio de equivalencia de las fuerzas de gravedad e inercia- un principio heurístico utilizado por Albert Einstein al derivar la teoría general de la relatividad. Una de las opciones para su presentación: “Las fuerzas de interacción gravitatoria son proporcionales a la masa gravitatoria del cuerpo, mientras que las fuerzas de inercia son proporcionales a la masa inercial del cuerpo. Si las masas inercial y gravitacional son iguales, entonces es imposible distinguir qué fuerza actúa sobre un cuerpo dado: fuerza gravitacional o inercial.
la formulación de einstein
Históricamente, el principio de la relatividad fue formulado por Einstein de la siguiente manera:
Todos los fenómenos en el campo gravitatorio ocurren exactamente de la misma manera que en el correspondiente campo de fuerzas de inercia, si las intensidades de estos campos coinciden y las condiciones iniciales de los cuerpos del sistema son las mismas.
22. Principio de relatividad de Galileo. Transformaciones galileanas. Teorema clásico de la suma de velocidades. Invariancia de las leyes de Newton en marcos de referencia inerciales.
Principio de relatividad de Galileo- este es el principio de igualdad física de los sistemas de referencia de inercia en la mecánica clásica, que se manifiesta en el hecho de que las leyes de la mecánica son las mismas en todos estos sistemas.
Matemáticamente, el principio de relatividad de Galileo expresa la invariancia (invariancia) de las ecuaciones de la mecánica con respecto a las transformaciones de las coordenadas de los puntos en movimiento (y el tiempo) cuando se mueve de un marco inercial a otro: transformaciones de Galileo.
Sean dos marcos de referencia inerciales, uno de los cuales, S, estaremos de acuerdo en considerar en reposo; el segundo sistema, S", se mueve con respecto a S con una velocidad constante u como se muestra en la figura. Entonces las transformaciones de Galileo para las coordenadas de un punto material en los sistemas S y S" tendrán la forma:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(las cantidades con prima se refieren al marco S, las cantidades sin prima se refieren a S.) Por lo tanto, el tiempo en la mecánica clásica, así como la distancia entre los puntos fijos, se considera igual en todos los marcos de referencia.
De las transformaciones de Galileo se puede obtener la relación entre las velocidades de un punto y sus aceleraciones en ambos sistemas:
v" = v - u, (2)
un" = un.
En mecánica clásica, el movimiento de un punto material está determinado por la segunda ley de Newton:
F = ma, (3)
donde m es la masa del punto y F es la resultante de todas las fuerzas que se le aplican.
En este caso, las fuerzas (y las masas) son invariantes en la mecánica clásica, es decir, cantidades que no cambian al pasar de un marco de referencia a otro.
Por lo tanto, bajo transformaciones de Galileo, la ecuación (3) no cambia.
Esta es la expresión matemática del principio galileano de relatividad.
LAS TRANSFORMACIONES DE GALILEO.
En cinemática, todos los marcos de referencia son iguales entre sí y el movimiento se puede describir en cualquiera de ellos. En el estudio de los movimientos, en ocasiones es necesario pasar de un sistema de referencia (con el sistema de coordenadas OXYZ) a otro - (О`Х`У`Z`). Consideremos el caso en que el segundo marco de referencia se mueve con respecto al primero de manera uniforme y rectilínea con la velocidad V=const.
Para facilitar la descripción matemática, asumimos que los ejes de coordenadas correspondientes son paralelos entre sí, que la velocidad está dirigida a lo largo del eje X y que en el tiempo inicial (t=0) los orígenes de ambos sistemas coinciden entre sí. Usando la suposición, que es justa en la física clásica, sobre el mismo flujo de tiempo en ambos sistemas, es posible escribir las relaciones que conectan las coordenadas de algún punto A(x, y, z) y A (x`, y `, z`) en ambos sistemas. Tal transición de un sistema de referencia a otro se llama transformación de Galileo):
OXYZ O`X`U`Z`
x = x` + V x t x` = x - V x t
x = v` x + V x v` x = v x - V x
a x = a` x a` x = a x
La aceleración en ambos sistemas es la misma (V=const). El significado profundo de las transformaciones de Galileo se aclarará en la dinámica. La transformación de velocidades de Galileo refleja el principio de independencia de los desplazamientos que tiene lugar en la física clásica.
Adición de velocidades en SRT
La ley clásica de la suma de velocidades no puede ser válida, porque contradice la afirmación sobre la constancia de la velocidad de la luz en el vacío. Si el tren se mueve a una velocidad v y una onda de luz se propaga en el vagón en la dirección del tren, entonces su velocidad relativa a la Tierra sigue siendo C, pero no v+c.
Consideremos dos sistemas de referencia.
en sistema k 0 el cuerpo se mueve a una velocidad v uno . En cuanto al sistema k se mueve a una velocidad v 2. Según la ley de la suma de velocidades en SRT: 
si un v<<C y v 1 << C, entonces se puede despreciar el término y se obtiene la ley clásica de la suma de velocidades: v 2 = v 1 + v.
En v 1 = C velocidad v 2 es igual C, como exige el segundo postulado de la teoría de la relatividad: 
En v 1 = C y en v = C velocidad v 2 de nuevo es igual a la velocidad C. 
Una propiedad notable de la ley de la suma es que a cualquier velocidad v 1 y v(no mas C), velocidad resultante v 2 no excede C. La velocidad de movimiento de los cuerpos reales es mayor que la velocidad de la luz, es imposible.
Adición de velocidades
Al considerar un movimiento complejo (es decir, cuando un punto o cuerpo se mueve en un marco de referencia y se mueve en relación con otro), surge la pregunta sobre la relación de velocidades en 2 marcos de referencia.
mecanica clasica
En mecánica clásica, la velocidad absoluta de un punto es igual a la suma vectorial de sus velocidades relativas y de traslación:
En lenguaje sencillo: La velocidad de un cuerpo con respecto a un marco de referencia fijo es igual a la suma vectorial de la velocidad de este cuerpo con respecto a un marco de referencia en movimiento y la velocidad del marco de referencia más móvil con respecto a un marco fijo.
Energía cinética- el valor es aditivo. Por lo tanto, la energía cinética de un cuerpo que se mueve arbitrariamente es igual a la suma de las energías cinéticas de todos PAG puntos materiales en los que este cuerpo se puede dividir mentalmente: Si el cuerpo gira alrededor de un eje fijo z con una velocidad angular de 1 m I 1 ...(FÍSICA. MECÁNICA)
Energía cinética de un cuerpo rígido en rotación
La energía cinética de un cuerpo que se mueve arbitrariamente es igual a la suma de las energías cinéticas de todos PAG puntos materiales (partículas) en los que este cuerpo se puede dividir mentalmente (Fig. 6.8) Si el cuerpo gira alrededor del eje fijo Oz con una velocidad angular ω, entonces la velocidad lineal de cualquier /-ésima partícula, ...(MECÁNICA CLÁSICA Y RELATIVISTA)
(MECÁNICA TEÓRICA.)
Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo
Deje que el cuerpo sólido en el tiempo ck hizo una rotación infinitesimal a través del ángulo s/f relativo al eje fijo en el marco de referencia dado. Este ángulo de rotación c/cp es una medida del cambio de posición de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo. Por analogía con c/r, llamaremos desplazamiento angular c/f....(FÍSICA: MECÁNICA, ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO)
Analogía entre movimiento de traslación y rotación.
Esta analogía se discutió anteriormente y se deriva de la similitud de las ecuaciones básicas de los movimientos de traslación y rotación. Así como la aceleración viene dada por la derivada temporal de la velocidad y la segunda derivada del desplazamiento, la aceleración angular viene dada por la derivada temporal de la velocidad angular y la segunda derivada del desplazamiento angular...(FÍSICA)
Movimiento de traslación y rotación.
Movimiento de traslación El movimiento de traslación es el movimiento de un cuerpo rígido en el que cualquier línea recta dibujada en este cuerpo se mueve mientras permanece paralela a su posición original. Las propiedades del movimiento de traslación están determinadas por el siguiente teorema: en el movimiento de traslación de un cuerpo...(MECÁNICA APLICADA)
Considere un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje de rotación fijo en el espacio.
Supongamos que yo es una fuerza externa aplicada a alguna masa elemental ∆m yo cuerpo rígido y provocando la rotación. En un corto período de tiempo, la masa elemental se moverá a y, por lo tanto, el trabajo será realizado por la fuerza.
donde a es el ángulo entre la dirección de la fuerza y el desplazamiento. pero igual F t son las proyecciones de la fuerza sobre la tangente a la trayectoria del movimiento de masas, y el valor. Por lo tanto
Es fácil ver que el producto es el momento de la fuerza sobre un eje de rotación dado z y actuando sobre el cuerpo elemento D yo. Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza será
Resumiendo el trabajo de los momentos de las fuerzas aplicadas a todos los elementos del cuerpo, obtenemos para una energía elementalmente pequeña gastada en una rotación del cuerpo elementalmente pequeña d j:
, (2.4.27)
donde es el momento resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido en relación con un eje de rotación dado z.
Trabajar por un tiempo finito t
. (2.4.28)
Ley de conservación del momento angular e isotropía del espacio
La ley de conservación del momento angular es una consecuencia de la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación. en el sistema de PAG partículas que interactúan (cuerpos), la suma vectorial de todas las fuerzas internas y, por lo tanto, los momentos de las fuerzas, es igual a cero, y la ecuación diferencial de momentos tiene la forma
donde – el momento angular total de todo el sistema es el momento resultante de las fuerzas externas.
Si el sistema está cerrado
de donde se sigue
lo que es posible con
Ley de conservación del momento angular: El momento angular de un sistema cerrado de partículas (cuerpos) permanece constante.
La ley de conservación del momento angular es una consecuencia de la propiedad de la isotropía del espacio, que se manifiesta en el hecho de que las propiedades físicas y las leyes de movimiento de un sistema cerrado no dependen de la elección de direcciones de los ejes de coordenadas de marcos de referencia inerciales.
Hay tres cantidades físicas en un sistema cerrado: energía, impulso y momento angular(que son funciones de coordenadas y velocidades) se conservan. Tales funciones se llaman integrales de movimiento. en el sistema de PAG hay 6 partículas norte–1 integrales de movimiento, pero solo tres de ellas tienen la propiedad de aditividad: energía, cantidad de movimiento y cantidad de movimiento angular.
Efecto giroscópico
Un cuerpo simétrico masivo que gira a una velocidad angular alta alrededor del eje de simetría se llama giroscopio.
El giroscopio, puesto en rotación, tiende a mantener invariable la dirección de su eje en el espacio, lo cual es una manifestación de ley de conservación del momento angular. El giroscopio es más estable cuanto mayor es la velocidad angular de rotación y mayor el momento de inercia del giroscopio con respecto al eje de rotación.
Sin embargo, si se aplica un par de fuerzas a un giroscopio giratorio, tendiendo a girarlo alrededor de un eje perpendicular al eje de rotación del giroscopio, entonces comenzará a girar, pero solo alrededor del tercer eje, perpendicular al primero. dos (Fig. 21). Este efecto se llama efecto giroscópico. El movimiento resultante se llama movimiento de precesión o precesión.
Cualquier cuerpo que gira alrededor de un eje sufre una precesión si sobre él actúa un momento de fuerzas perpendiculares al eje de rotación.
Un ejemplo de movimiento de precesión es el comportamiento de un juguete para niños llamado peonza o peonza. La Tierra también sufre una precesión bajo la influencia del campo gravitatorio de la Luna. El momento de las fuerzas que actúan sobre la Tierra desde el lado de la Luna está determinado por la forma geométrica de la Tierra: la ausencia de simetría esférica, es decir. con su "aplanamiento".
Giroscopio*
Consideremos el movimiento de precesión con más detalle. Tal movimiento es realizado por un disco masivo empalado en vertical el eje alrededor del cual gira. El disco tiene un momento angular dirigido a lo largo del eje de rotación del disco (Fig. 22).
En un giroscopio, cuyo elemento principal es un disco. D, girando a una velocidad alrededor horizontal hachas OO"habrá un par sobre el punto C y el momento angular se dirige a lo largo del eje de rotación del disco D.
El eje del giroscopio está articulado en el punto C. El dispositivo está equipado con un contrapeso K. Si el contrapeso se instala de modo que el punto C es el centro de masa del sistema ( metro es la masa del giroscopio; metro 0 - masa de contrapeso Para; la masa de la barra es despreciable), entonces sin fricción escribimos:
es decir, el momento resultante de las fuerzas que actúan sobre el sistema es cero.
Entonces la ley de conservación del momento angular es válida:
En otras palabras, en este caso const; donde j es el momento de inercia del giroscopio, es la velocidad angular intrínseca del giroscopio.
 |
Dado que el momento de inercia del disco con respecto a su eje de simetría es un valor constante, el vector de velocidad angular también permanece constante tanto en magnitud como en dirección.
El vector está dirigido a lo largo del eje de rotación de acuerdo con la regla del tornillo derecho. Así, el eje de un giroscopio libre mantiene invariable su posición en el espacio.
Si para contrarrestar Para agregar uno más con masa metro 1, entonces el centro de masa del sistema se desplazará y aparecerá un par relativo al punto C. De acuerdo con la ecuación del momento, . Bajo la acción de este momento de torsión, el vector momento angular recibirá un incremento que coincide en dirección con el vector:
Los vectores de gravedad y están dirigidos verticalmente hacia abajo. Por lo tanto, los vectores , y , se encuentran en el plano horizontal. Después de un tiempo, el momento angular del giroscopio cambiará en un valor y será igual a
Así, el vector cambia de dirección en el espacio, permaneciendo todo el tiempo en el plano horizontal. Teniendo en cuenta que el vector de momento angular del giroscopio está dirigido a lo largo del eje de rotación, la rotación del vector en algún ángulo da durante dt significa girar el eje de rotación en el mismo ángulo. Como resultado, el eje de simetría del giroscopio comenzará a girar alrededor de un eje vertical fijo cama y desayuno" con velocidad angular:
Tal movimiento se llama precesión regular, y el valor es la velocidad angular de precesión. Si en el momento inicial el eje OO"El giroscopio no está instalado horizontalmente, luego, durante la precesión, describirá un cono en el espacio en relación con el eje vertical. La presencia de fuerzas de fricción conduce al hecho de que el ángulo de inclinación del eje del giroscopio cambiará constantemente. Este movimiento se llama inclinación.
Averigüemos la dependencia de la velocidad angular de la precesión del giroscopio con los parámetros principales del sistema. Proyectemos la igualdad (123) sobre el eje horizontal perpendicular a OO"
A partir de consideraciones geométricas (ver Fig. 22) para ángulos de rotación pequeños, entonces, y la velocidad angular de precesión se expresa:
Esto significa que si se aplica una fuerza externa constante al giroscopio, comenzará a girar alrededor del tercer eje, que no coincide en dirección con el eje principal de rotación del rotor.
La precesión, cuya magnitud es proporcional a la magnitud de la fuerza que actúa, mantiene el dispositivo orientado en la dirección vertical, y se puede medir el ángulo de inclinación con respecto a la superficie de apoyo. Una vez que gira, un dispositivo tiende a resistir cambios en su orientación debido al momento angular. Este efecto también se conoce en física como inercia giroscópica. En caso de terminación de la influencia externa, la precesión termina instantáneamente, pero el rotor continúa girando.
El disco recibe la acción de la gravedad, provocando un momento de fuerza alrededor del fulcro. O. Este momento está dirigido perpendicular al eje de rotación del disco y es igual a
donde el 0- distancia desde el centro de gravedad del disco hasta el fulcro O.
Con base en la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación, el momento de la fuerza causará en un intervalo de tiempo dt cambio en el momento angular
Los vectores y están dirigidos a lo largo de una línea recta y son perpendiculares al eje de rotación.
De la fig. 22 muestra que el final del vector en el tiempo dt muévete a la esquina
Sustituyendo en esta relación los valores L, dL y METRO, obtenemos
. (2.4.43)
Por lo tanto, velocidad angular de desplazamiento del extremo del vector :
y el extremo superior del eje de rotación del disco describirá un círculo en el plano horizontal (Fig. 21). Tal movimiento del cuerpo se llama precesión y el efecto en si efecto giroscópico.
DEFORMACIONES DE UN CUERPO MACIZO
Los cuerpos reales no son absolutamente elásticos, por lo tanto, al considerar problemas reales, se debe tener en cuenta la posibilidad de cambiar su forma en el proceso de movimiento, es decir, tener en cuenta las deformaciones. Deformación- este es un cambio en la forma y el tamaño de los cuerpos sólidos bajo la influencia de fuerzas externas.
Deformación plastica- esta es la deformación que persiste en el cuerpo después de la terminación de la acción de las fuerzas externas. La deformación se llama elástico, si, después de la terminación de la acción de las fuerzas externas, el cuerpo vuelve a su tamaño y forma originales.
Todos los tipos de deformaciones (tracción, compresión, flexión, torsión, cortante) pueden reducirse a deformaciones de tensión (o compresión) y cortante que ocurren simultáneamente.
Voltajeσ es una cantidad física numéricamente igual a la fuerza elástica por unidad de área de sección del cuerpo (medida en Pa):
Si la fuerza se dirige a lo largo de la normal a la superficie, entonces el esfuerzo normal, si - tangencialmente, entonces el voltaje tangencial.
Deformación relativa- una medida cuantitativa que caracteriza el grado de deformación y está determinada por la relación de deformación absoluta Δ X al valor original X que caracterizan la forma o el tamaño del cuerpo: .
- cambio relativo en la longitudyo varilla(deformación longitudinal) ε:
- tensión transversal relativa (compresión)ε', donde d- diámetro de la varilla.
Las deformaciones ε y ε' siempre tienen signos diferentes: ε' = −με donde μ es un coeficiente positivo que depende de las propiedades del material y se llama el coeficiente de Poisson.
Para pequeñas deformaciones, la deformación relativa ε es proporcional a la tensión σ:
donde mi- coeficiente de proporcionalidad (módulo de elasticidad), numéricamente igual a la tensión que se produce a una deformación relativa igual a la unidad.
Para el caso de tensión unilateral (compresión), el módulo de elasticidad se denomina El módulo de Young. El módulo de Young se mide en Pa.
Habiendo anotado 
, obtenemos 
- ley de Hooke:
el alargamiento de una barra bajo deformación elástica es proporcional a la fuerza que actúa sobre la barra(aquí k- coeficiente de elasticidad). La ley de Hooke es válida solo para pequeñas deformaciones.
A diferencia del factor de dureza k, que es una propiedad sólo del cuerpo, el módulo de Young caracteriza las propiedades de la materia.
Para cualquier cuerpo, a partir de un cierto valor, la deformación deja de ser elástica, pasando a ser plástica. Los materiales dúctiles son materiales que no colapsan bajo esfuerzos que exceden significativamente el límite elástico. Debido a la propiedad de plasticidad, los metales (aluminio, cobre, acero) pueden someterse a diversos procesos mecánicos: estampado, forjado, doblado, estiramiento. Con un mayor aumento de la deformación, el material se destruye.
Resistencia a la tracción: la tensión máxima que se produce en el cuerpo antes de su destrucción.
La diferencia en los límites de resistencia a la compresión y a la tracción se explica por la diferencia en los procesos de interacción de moléculas y átomos en los sólidos durante estos procesos.
El módulo de Young y la relación de Poisson caracterizan completamente las propiedades elásticas de un material isotrópico. Todas las demás constantes elásticas se pueden expresar en términos de mi y µ.
Numerosos experimentos muestran que a pequeñas deformaciones, la tensión es directamente proporcional al alargamiento relativo ε (sección OA diagramas) - Se cumple la ley de Hooke.
El experimento muestra que las pequeñas deformaciones desaparecen por completo después de retirar la carga (se observa una deformación elástica). Para pequeñas deformaciones se cumple la ley de Hooke. El voltaje máximo al que se mantiene la ley de Hooke se llama límite de proporcionalidad σ p. Corresponde al punto PERO diagramas
Si continúa aumentando la carga de tracción y excede el límite proporcional, entonces la deformación se vuelve no lineal (línea ABC DEK). Sin embargo, con pequeñas deformaciones no lineales, después de retirar la carga, la forma y las dimensiones del cuerpo prácticamente se restablecen (sección AB Artes graficas). El esfuerzo máximo en el que no hay deformaciones residuales perceptibles se llama Límite elástico paquete σ. Corresponde al punto EN diagramas El límite elástico supera el límite proporcional en no más del 0,33%. En la mayoría de los casos, pueden considerarse iguales.
Si la carga externa es tal que surgen tensiones en el cuerpo que exceden el límite elástico, entonces la naturaleza de la deformación cambia (sección BCDEK). Una vez retirada la carga, la muestra no vuelve a sus dimensiones anteriores, sino que permanece deformada, aunque con un alargamiento menor que bajo carga (deformación plástica).
Más allá del límite elástico en un cierto valor de tensión correspondiente al punto Con diagramas, el alargamiento aumenta casi sin aumentar la carga (sección CD los diagramas son casi horizontales). Este fenómeno se llama flujo de materiales.
Con un aumento adicional en la carga, el voltaje aumenta (desde el punto D), después de lo cual aparece un estrechamiento ("cuello") en la parte menos duradera de la muestra. Debido a la disminución del área de la sección transversal (punto mi) para un mayor alargamiento, se necesita menos tensión, pero, al final, se produce la destrucción de la muestra (punto Para). El esfuerzo máximo que una muestra puede soportar sin romperse se llama Fuerza de Tensión - σ pc (corresponde al punto mi diagramas). Su valor depende en gran medida de la naturaleza del material y su procesamiento.
Considerar deformación por cizallamiento. Para hacer esto, tomamos un cuerpo homogéneo que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular y aplicamos a sus caras opuestas fuerzas dirigidas paralelamente a estas caras. Si la acción de las fuerzas se distribuye uniformemente sobre toda la superficie de la cara correspondiente S, entonces en cualquier sección paralela a estas caras, surgirá una tensión tangencial
Con pequeñas deformaciones, el volumen del cuerpo prácticamente no cambiará, y la deformación consiste en el hecho de que las "capas" del paralelepípedo se desplazan entre sí. Por lo tanto, esta deformación se llama deformación por cizallamiento.
Bajo deformación por cortante, cualquier línea recta, inicialmente perpendicular a las capas horizontales, rotará algún ángulo. Esto satisfará la relación
,
donde - módulo de corte, que depende únicamente de las propiedades materiales del cuerpo.
La deformación por corte se refiere a deformaciones homogéneas, es decir, cuando todos los elementos de volumen infinitesimal del cuerpo se deforman de la misma manera.
Sin embargo, hay deformaciones no homogéneas - doblando y torciendo.
Tomemos un cable homogéneo, fijemos su extremo superior y apliquemos una fuerza de torsión en el extremo inferior, creando un par METRO con respecto al eje longitudinal del alambre. El cable girará: cada radio de su base inferior girará alrededor del eje longitudinal en un ángulo. Esta deformación se llama torsión. La ley de Hooke para la deformación por torsión se escribe como
donde es un valor constante para un alambre dado, llamado su módulo de torsión. A diferencia de los módulos anteriores, no solo depende del material, sino también de las dimensiones geométricas del cable.
Trabajo rotativo. Momento de poder
Considere el trabajo realizado durante la rotación de un punto material alrededor de un círculo bajo la acción de la proyección de la fuerza que actúa sobre el desplazamiento (la componente tangencial de la fuerza). De acuerdo con (3.1) y la Fig. 4.4, pasando de los parámetros del movimiento de traslación a los parámetros del movimiento de rotación (dS = Rdcp)
Aquí, el concepto de momento de fuerza alrededor del eje de rotación OOi se introduce como el producto de la fuerza Fs en el hombro de la fuerza R:
Como puede verse en la relación (4.8), el momento de la fuerza en el movimiento de rotación es análogo a la fuerza en el movimiento de traslación, ya que ambos parámetros cuando se multiplican por análogos dcp y dS dar trabajo Obviamente, el momento de la fuerza también debe especificarse vectorialmente, y con respecto al punto O, su definición viene dada por el producto vectorial y tiene la forma
Por fin: el trabajo durante el movimiento de rotación es igual al producto escalar del momento de la fuerza y el desplazamiento angular:
Energía cinética durante el movimiento de rotación. Momento de inercia
Considere un cuerpo absolutamente rígido que gira alrededor de un eje fijo. Dividamos mentalmente este cuerpo en piezas infinitamente pequeñas con tamaños y masas infinitamente pequeñas mi, m2, Shz..., ubicadas a una distancia R b R 2 , R3 ... del eje. Encontramos la energía cinética de un cuerpo giratorio como la suma de las energías cinéticas de sus partes pequeñas
donde Y es el momento de inercia de un cuerpo rígido, relativo a un eje dado OOj.
De una comparación de las fórmulas para la energía cinética de los movimientos de traslación y rotación, se puede ver que el momento de inercia en el movimiento de rotación es análogo a la masa en el movimiento de traslación. La fórmula (4.12) es conveniente para calcular el momento de inercia de los sistemas que consisten en puntos materiales individuales. Para calcular el momento de inercia de los cuerpos sólidos, usando la definición de la integral, podemos transformar (4.12) a la forma
Es fácil ver que el momento de inercia depende de la elección del eje y cambia con su traslación y rotación paralelas. Presentamos los valores de los momentos de inercia para algunos cuerpos homogéneos.
De (4.12) se ve que momento de inercia de un punto material es igual
donde t- masa puntual;
R- distancia al eje de rotación.
Es fácil calcular el momento de inercia para cilindro hueco de paredes delgadas(o un caso especial de un cilindro con una pequeña altura - anillo delgado) radio R sobre el eje de simetría. La distancia al eje de rotación de todos los puntos para tal cuerpo es la misma, igual al radio y se puede sacar de debajo del signo de la suma (4.12):
cilindro macizo(o un caso especial de un cilindro con una pequeña altura - disco) radio R para calcular el momento de inercia con respecto al eje de simetría se requiere el cálculo de la integral (4.13). La masa en este caso está, en promedio, concentrada algo más cerca que en el caso de un cilindro hueco, y la fórmula será similar a (4.15), pero en ella aparecerá un coeficiente menor que uno. Encontremos este coeficiente.
Deje que un cilindro sólido tenga una densidad R y altura H. Vamos a dividirlo en
cilindros huecos (superficies cilíndricas delgadas) de espesor dr.(Fig. 4.5) muestra una proyección perpendicular al eje de simetría). El volumen de tal cilindro hueco de radio GRAMO es igual al área superficial multiplicada por el espesor: 
peso: 
y el momento
inercia según (4.15): Momento total
de inercia de un cilindro macizo se obtiene integrando (sumando) los momentos de inercia de los cilindros huecos: 
. Considerando que la masa de un cilindro sólido está relacionada con
fórmula de densidad t = 7iR 2 hp finalmente tenemos el momento de inercia de un cilindro macizo:
Búsqueda similar momento de inercia de una varilla delgada largo L y las masas yo, si el eje de rotación es perpendicular a la varilla y pasa por su centro. Dividamos tal barra de acuerdo con la Fig. 4.6
en trozos gruesos dl. La masa de tal pieza es dm=m dl/L, y el momento de inercia según Paul
El nuevo momento de inercia de una varilla delgada se obtiene integrando (sumando) los momentos de inercia de las piezas: 