Por lo tanto, para la imagen original, el original tiene la forma

Este resultado coincide con (23).

3. Encuentra una solución a la ecuación diferencial
, satisfaciendo las condiciones iniciales y(0) = y"(0) = 0.

Para resolver este problema, usamos la integral de Duhamel. Primero encontremos una solución
ecuación diferencial
. La ecuación del operador correspondiente para la imagen.
tiene la forma

o
. A partir de aquí encontramos

. Representamos la fracción resultante como una suma de fracciones simples
. Encontremos los coeficientes
. Para ello, reducimos las fracciones del lado derecho a un común denominador y obtenemos la igualdad de los numeradores

Para encontrar los coeficientes, primero usamos el método de valores parciales. Pongamos
. Entonces obtenemos
. Pongamos
. Entonces obtenemos
. Para determinar el valor igualar los coeficientes en el grado izquierda y derecha en (24):
. Por lo tanto,
. Por lo tanto, la imagen parece
. Según la tabla encontramos el original correspondiente
.. de aquí

. (25)

De acuerdo con la fórmula (13), la solución de la ecuación diferencial original
es una integral

, (26)

- (27)

el lado derecho de la ecuación original. Nótese que en (26) se usa la propiedad de simetría de la convolución de dos funciones.

Sustituyendo (25) y (27) en (26), obtenemos

Por lo tanto,

. (28)

Resolvamos este problema usando Mathcad

Denotar
a través de
(recuerde que en Mathcad la variable compleja denotado por )

Busquemos el original
, luego pon
y hallar la derivada con respecto a de la función

Calcular
, donde
es el lado derecho de la ecuación original.

El lado derecho se puede simplificar.

Este resultado coincide con la expresión (28) obtenida anteriormente.

Dado que la convolución de dos funciones no depende de su orden, también podemos calcular
de acuerdo con la fórmula (26) en la forma

El resultado es una expresión bastante engorrosa. Presentamos términos semejantes en esta expresión y simplificamos el resultado

Este resultado también se reduce a la forma (28)

4. Resuelve el problema de Cauchy usando el método operacional:

(29)

(30)

Decisión. Dado que,

,

obtenemos la ecuación del operador en la forma

De aquí la imagen

(31)

Polinomio
tiene raíces
,
, y por lo tanto la expresión para
después de simplificar la suma de la primera y la última fracción, se convierte a la forma

(32)

Para obtener el original
por imagen
, necesitas descomponer las fracciones incluidas en (32) en fracciones simples. Encontremos esta expansión usando Mathcad

En muchos problemas de análisis matemático, se consideran situaciones en las que cada punto de un espacio se asigna a algún punto de otro (o del mismo) espacio. Los espacios pueden ser abstractos, en los que los "puntos" son en realidad funciones. La correspondencia entre dos puntos se establece mediante una transformación u operador. La tarea de la teoría de operadores incluye una descripción y clasificación detalladas de varios tipos de transformaciones y sus propiedades, así como el desarrollo de métodos simbólicos que permitan minimizar y simplificar los cálculos. Por lo general, la teoría de operadores se aplica a espacios en los que se permite la suma o multiplicación de puntos, es decir espacios lineales, grupos, anillos, campos, etc.

Problemas y aplicaciones.

Permitir D y R son espacios reales lineales o vectoriales, no necesariamente distintos. Sus elementos son vectores, por lo que la suma de dos elementos y el producto de un elemento por un escalar están definidos y satisfacen las condiciones habituales de los vectores. La existencia de bases finitas en D y R no es necesario. Permitir r, un vector de R, corresponde al vector d desde D. Denotamos esta correspondencia T(d) = r o Td = r. Entonces T se llama operador de dominio D y rango R. Operador T es distributivo si

donde λ y λ" son números reales y d y d"- cualquier elemento de D. si un D y R son espacios vectoriales topológicos en los que λd y d+d" son operaciones continuas, entonces un operador continuo distributivo se llama operador lineal. si un q contiene D y R, entonces T 2 (d) Se define como T(T(d)) y se define de manera similar T norte(d) si todas estas operaciones tienen sentido.

El cálculo operativo permite realizar formulaciones abstractas de problemas y generalizar ramas del análisis matemático como la teoría de ecuaciones diferenciales e integrales. Los problemas modernos de la teoría cuántica se han convertido en un poderoso estímulo para el desarrollo de la teoría de operadores. Los resultados más completos se han obtenido para operadores distributivos en los denominados. Espacio de Hilbert. El interés en esta área está asociado en gran medida con la representación de dichos operadores mediante transformaciones integrales.

Dos operadores distributivos importantes son los operadores de diferenciación. pag e integración pag-uno . Elementos de espacios lineales D y R en este caso habrá funciones de la variable X. Tenemos

donde metro y norte son enteros no negativos. Dado que la integración conduce a la aparición de una constante arbitraria, pag –1 pag no es necesariamente la misma operación pag 0 Las reglas formales para combinar dichos operadores se remontan a J. Boole (1815–1864); Por ejemplo,

En el cálculo de Heaviside, desarrollado por O. Heaviside (1850-1925), el espacio D limitado al alcance de las funciones F(X), idénticamente igual a cero para negativo X. El papel principal lo juega la función 1( X), igual a 0 para negativo X y 1 para no negativo X. Aquí hay algunas "reglas" del cálculo de Heaviside:

si un norte! reemplaza la función gamma Ã( norte+ 1), entonces la primera de las reglas sigue siendo válida para números no enteros norte(definición de la función gamma cm. FUNCIÓN).

Se considera que el principal resultado del cálculo operacional es el teorema de composición, o convolución, según el cual, si F 1 (pag)1(X) = F 1 (X) y F 2 (pag)1(X) = F 2 (X), entonces

Aplicando el teorema de convolución a pag en un≠ 0, –1, –2,..., se puede definir integración o diferenciación de orden fraccionario. Por ejemplo, considere la expresión

donde esta la funcion y(X) y su primera norte– 1 derivadas desaparecen cuando X= 0. Sea y(X) = Y(pag)1(X), gramo(X) = GRAMO(pag)1(X). Aceptar

pretendamos que F(X) = F(pag) –1 1(X). Entonces

Las reglas estándar incluyen varios algoritmos relacionados con desarrollos en fracciones elementales de funciones racionales de series asintóticas, etc. en la práctica y(X) = Y(pag)1(X) a menudo se escribe como y(X) ~ Y(pag) o .

La teoría de funciones de ciclo cerrado de W. Volterra (1860-1940) conduce a los mismos resultados generales. Se han construido teorías similares para otros operadores, por ejemplo, para X(d/dx) y para situaciones más generales con varias operaciones, Volterra, Pinkerle y otros Para los matemáticos aplicados, la principal ventaja del cálculo operativo de Heaviside es la reducción de problemas trascendentales con variable independiente X a problemas algebraicos para funciones dependientes de pag. Muy a menudo, el método de Heaviside se usa para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, ecuaciones en diferencias y ecuaciones integrales con un núcleo. k(X, t) = k(X – t). En el caso general, cuando los métodos de cálculo operacional se extienden a ecuaciones más complejas, se pierde el carácter de "pura algebrización".

Justificación rigurosa de la relación F(pag)1(X) = F (X) se ha dado en términos de transformadas integrales de Laplace o Fourier, o de manera abstracta, en términos de operadores en ciertos espacios topológicos lineales, como el espacio de Hilbert. Este enfoque permitió establecer las condiciones para la aplicabilidad de las reglas heurísticas.

Cómo resolver una ecuación diferencial
calculo operacional?

En esta lección, se analizará en detalle una tarea típica y generalizada de análisis complejo: encontrar una solución particular de ED de segundo orden con coeficientes constantes por el método de cálculo operativo. Una y otra vez, los estoy liberando del prejuicio de que el material es inconcebiblemente complejo e inaccesible. Es divertido, pero para dominar los ejemplos, es posible que no puedas diferenciar, integrar e incluso no saber qué números complejos. Requiere habilidad de aplicación método de coeficientes indeterminados, que se analiza en detalle en el artículo Integración de funciones racionales fraccionarias. De hecho, la piedra angular de la tarea son las operaciones algebraicas habituales, y estoy seguro de que el material está disponible incluso para un escolar.

Primero, información teórica concisa sobre la sección de análisis matemático bajo consideración. Punto principal calculo operacional consiste en lo siguiente: función válido variable usando el llamado Transformadas de Laplace mostrado en función integrado variable :

Terminología y notación:
la funcion se llama original;
la funcion se llama imagen;
letra mayúscula denota Transformada de Laplace.

En términos simples, según ciertas reglas, una función real (original) debe convertirse en una función compleja (imagen). La flecha indica esta transformación. Y las "ciertas reglas" mismas son Transformada de Laplace, que consideraremos solo formalmente, que será suficiente para resolver problemas.

La transformada inversa de Laplace también es factible, cuando la imagen se convierte al original:

¿Por qué es necesario todo esto? En una serie de problemas de matemáticas superiores, puede ser muy beneficioso cambiar de originales a imágenes, ya que en este caso se simplifica mucho la solución al problema (es broma). Y solo uno de estos problemas lo consideraremos. Si ha vivido para ver el cálculo operativo, entonces la formulación le resultará familiar:

Encuentre una solución particular de una ecuación de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes para condiciones iniciales dadas.

Nota: a veces la ecuación diferencial puede ser homogénea: , para ello en la formulación anterior también es aplicable el método del cálculo operacional. Sin embargo, en ejemplos prácticos ED homogénea de segundo orden es extremadamente raro, y más adelante hablaremos de ecuaciones no homogéneas.

Y ahora se analizará el tercer método: la solución de DE utilizando cálculo operativo. Una vez más hago hincapié en el hecho de que se trata de encontrar una solución particular, además, las condiciones iniciales tienen estrictamente la forma("X" son iguales a cero).

Por cierto, sobre la "X". La ecuación se puede reescribir de la siguiente forma:
, donde "x" es una variable independiente e "y" es una función. No estoy hablando de esto por casualidad, ya que otras letras se usan con mayor frecuencia en el problema en consideración:

Es decir, el papel de la variable independiente lo juega la variable "te" (en lugar de "x"), y el papel de la función lo juega la variable "x" (en lugar de "y")

Entiendo que es un inconveniente, por supuesto, pero es mejor ceñirse a la notación que se encuentra en la mayoría de los libros y manuales de problemas.

Entonces, nuestra tarea con otras letras se escribe de la siguiente manera:

Encuentre una solución particular de una ecuación de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes para condiciones iniciales dadas .

El significado de la tarea no ha cambiado en absoluto, solo han cambiado las letras.

¿Cómo resolver este problema por el método del cálculo operacional?

En primer lugar, necesitarás tabla de originales e imágenes. Esta es una herramienta de decisión clave, y no puede prescindir de ella. Por lo tanto, si es posible, intente imprimir el material de referencia especificado. Inmediatamente explicaré lo que significa la letra "pe": una variable compleja (en lugar del habitual "ze"). Aunque este hecho no tiene especial importancia para la resolución de problemas, “pe” es tan “pe”.

Usando la mesa, los originales deben convertirse en algunas imágenes. A esto le sigue una serie de acciones típicas y se usa la transformada inversa de Laplace (también en la tabla). Así, se encontrará la solución particular deseada.

Todas las tareas, lo cual es bueno, se resuelven de acuerdo con un algoritmo bastante rígido.

Ejemplo 1

, ,

Decisión: En el primer paso, pasaremos de los originales a las imágenes correspondientes. Usemos el lado izquierdo.

Primero tratemos con el lado izquierdo de la ecuación original. Para la transformada de Laplace, reglas de linealidad, por lo que ignoramos todas las constantes y trabajamos por separado con la función y sus derivadas.

De acuerdo con la fórmula tabular No. 1, transformamos la función:

Según fórmula No. 2 , teniendo en cuenta la condición inicial , convertimos la derivada:

De acuerdo con la fórmula No. 3, dadas las condiciones iniciales, convertimos la segunda derivada:

¡No te confundas con las señales!

Confieso que es más correcto decir no "fórmulas", sino "transformaciones", pero por simplicidad, de vez en cuando llamaré fórmulas al llenado de la tabla.

Ahora tratemos con el lado derecho, que contiene el polinomio. debido a lo mismo reglas de linealidad Transformadas de Laplace, trabajamos con cada término por separado.

Nos fijamos en el primer término: - esta es la variable independiente "te", multiplicada por una constante. Ignore la constante y, utilizando el elemento No. 4 de la tabla, realice la transformación:

Nos fijamos en el segundo término: -5. Cuando una constante se encuentra sola, ya no es posible omitirla. Con una sola constante, hacen esto: para mayor claridad, se puede representar como un producto: y se aplica una transformación a la unidad:

Así, para todos los elementos (originales) de la ecuación diferencial, usando la tabla, se encuentran las imágenes correspondientes:

Sustituye las imágenes encontradas en la ecuación original:

La siguiente tarea es expresar decisión del operador a través de todo lo demás, es decir, a través de una fracción. En este caso, es recomendable seguir el siguiente procedimiento:

Primero, abra los soportes del lado izquierdo:

Damos términos similares en el lado izquierdo (si los hay). En este caso, suma los números -2 y -3. Dummies recomienda encarecidamente no saltarse esta etapa:

A la izquierda, dejamos los términos en los que está presente, trasladamos los términos restantes a la derecha con un cambio de signo:

Del lado izquierdo sacamos el operador solución, del lado derecho llevamos la expresión a común denominador:

El polinomio de la izquierda debe factorizarse (si es posible). Resolvemos la ecuación cuadrática:

Por lo tanto:

Restablecemos al denominador del lado derecho:

El objetivo se logra: la solución del operador se expresa en términos de una fracción.

Acción dos. Utilizando método de coeficientes indeterminados, la solución del operador de la ecuación debe expandirse a una suma de fracciones elementales:

Igualar los coeficientes a las potencias correspondientes y resolver el sistema:

Si hay alguna dificultad con por favor póngase al día con los artículos Integración de una función fraccionaria-racional y ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones? Esto es muy importante porque el fraccionamiento es esencialmente la parte más importante del problema.

Entonces, se encuentran los coeficientes: , y la solución del operador aparece ante nosotros en forma desensamblada:

Tenga en cuenta que las constantes no se escriben en numeradores de fracciones. Esta forma de escribir es mejor que . Y es más rentable, porque la acción final se llevará a cabo sin confusiones ni errores:

El paso final de la tarea es pasar de las imágenes a los originales correspondientes utilizando la transformada inversa de Laplace. Usa la columna de la derecha tablas de originales e imágenes.

Quizás no todos entiendan la transformación. Aquí se utiliza la fórmula del párrafo No. 5 de la tabla:. Si con más detalle: . En realidad, para casos similares, se puede modificar la fórmula: . Sí, y todas las fórmulas tabulares del párrafo No. 5 son muy fáciles de reescribir de manera similar.

Después de la transición inversa, la solución particular deseada de la ED se obtiene en bandeja de plata con un borde azul:

Fue:

Se convirtió:

Responder: solución privada:

Cuando el tiempo lo permite, siempre es recomendable realizar una comprobación. La verificación se realiza de acuerdo con el esquema estándar, que ya se ha considerado en la lección. Ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden. Repitamos:

Comprobemos el cumplimiento de la condición inicial:
- hecho.

Encontremos la primera derivada:

Comprobemos el cumplimiento de la segunda condición inicial:
- hecho.

Hallemos la segunda derivada:

Sustituto , y al lado izquierdo de la ecuación original:

Se obtiene el lado derecho de la ecuación original.

Conclusión: la tarea se completó correctamente.

Un pequeño ejemplo para resolver por tu cuenta:

Ejemplo 2

Usando cálculo operacional, encuentre una solución particular de una ecuación diferencial para condiciones iniciales dadas.

Un ejemplo de una tarea final al final de la lección.

El invitado más frecuente en las ecuaciones diferenciales, como muchos han notado durante mucho tiempo, son los exponentes, así que veamos algunos ejemplos con ellos, familiares:

Ejemplo 3

, ,

Decisión: Con la ayuda de la tabla de transformadas de Laplace (lado izquierdo de la tabla), pasaremos de los originales a las imágenes correspondientes.

Veamos primero el lado izquierdo de la ecuación. No hay primera derivada. Bueno, ¿y qué? Bien. Menos trabajo. Considerando las condiciones iniciales, según las fórmulas tabulares No. 1,3 encontramos imágenes:

Ahora miramos el lado derecho: - el producto de dos funciones. Para aprovechar propiedades de linealidad Transformada de Laplace, necesitas abrir los corchetes: . Dado que las constantes están en productos, las calificamos y, utilizando el grupo No. 5 de fórmulas tabulares, encontramos imágenes:

Sustituye las imágenes encontradas en la ecuación original:

Les recuerdo que la siguiente tarea es expresar la solución del operador en términos de una sola fracción.

En el lado izquierdo, dejamos los términos en los que está presente, trasladamos los términos restantes al lado derecho. Al mismo tiempo, en el lado derecho, comenzamos a llevar lentamente las fracciones a un denominador común:

Lo ponemos fuera de paréntesis a la izquierda, a la derecha llevamos la expresión a un denominador común:

Del lado izquierdo se obtiene un polinomio indescomponible. Si el polinomio no se factoriza, entonces él, el pobre hombre, debe ser arrojado inmediatamente al fondo del lado derecho, habiendo hormigonado sus piernas en una palangana. Y en el numerador, abre los paréntesis y da términos semejantes:

Ha llegado la etapa más laboriosa: método de coeficientes inciertos expandimos la solución del operador de la ecuación en una suma de fracciones elementales:


Por lo tanto:

Presta atención a cómo se descompone la fracción: Pronto explicaré por qué esto es así.

Finalizar: pasar de las imágenes a los originales correspondientes, utilizar la columna derecha de la tabla:

En las dos transformaciones inferiores se utilizaron las fórmulas N° 6 y 7 de la tabla, y se expandió preliminarmente la fracción solo para “ajuste” a las transformaciones de la tabla.

Como resultado, una solución particular:

Responder: solución particular deseada:

Un ejemplo similar para una solución de bricolaje:

Ejemplo 4

Encuentre una solución particular de la ecuación diferencial por el método de cálculo operacional.

Solución corta y respuesta al final de la lección.

En el Ejemplo 4, una de las condiciones iniciales es cero. Esto ciertamente simplifica la solución, y la opción más ideal es cuando ambas condiciones iniciales son cero: . En este caso, las derivadas se convierten en imágenes sin colas:

Como ya se señaló, el aspecto técnico más difícil del problema es la expansión de la fracción método de coeficientes inciertos, y tengo bastante tiempo de ejemplos a mi disposición. Sin embargo, no intimidaré a nadie con monstruos, consideremos un par de variedades más típicas de la ecuación:

Ejemplo 5

Usando el método de cálculo operacional, encuentre una solución particular de la ecuación diferencial que satisfaga las condiciones iniciales dadas.
, ,

Decisión: Usando la tabla de transformación de Laplace, pasemos de los originales a las imágenes correspondientes. Dadas las condiciones iniciales :

Tampoco hay problemas con el lado derecho:

(recuerdo que se ignoran las constantes multiplicadoras)

Sustituyamos las imágenes resultantes en la ecuación original y realicemos las acciones estándar que, espero, ya hayan resuelto bien:

Sacamos la constante en el denominador fuera de la fracción, lo más importante, entonces no lo olvides:

Pensé si sacar un dos adicional del numerador, sin embargo, después de haber estimado, llegué a la conclusión de que este paso prácticamente no simplificaría la decisión posterior.

Una característica de la tarea es la fracción resultante. Parece que su descomposición será larga y difícil, pero la impresión es engañosa. Naturalmente, hay cosas difíciles, pero en cualquier caso, adelante, sin miedo ni duda:

El hecho de que algunos coeficientes resultaron ser fraccionarios no debería ser vergonzoso, esta situación no es infrecuente. Si tan solo la técnica de la computación no fallara. Además, siempre es posible comprobar la respuesta.

Como resultado, la solución del operador:

Pasemos de las imágenes a los originales correspondientes:

Así que una solución privada:

CÁLCULO OPERATIVO- un conjunto de métodos de análisis matemático aplicado, que permiten alcanzar de forma económica y directa el objetivo de obtener soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales, así como a las diferencias y algunos tipos de ecuaciones integrales. En este sentido, los métodos de cálculo operacional son muy utilizados en mecánica, ingeniería eléctrica, automatización y en otras muy diversas ramas de la ciencia y la tecnología. El cálculo operacional se basa en la idea de una transformación funcional: una función de una variable real t, definida para valores positivos del argumento, llamada función inicial u original, se asocia a una función de otra variable p, llamada la imagen, utilizando una transformación integral lineal. Se puede realizar una transformación similar "original - imagen" para que las operaciones de diferenciación e integración de las funciones iniciales correspondan a operaciones algebraicas en el área de la imagen. Esto permite encontrar, usando las operaciones algebraicas más simples, imágenes de soluciones a las ecuaciones diferenciales originales, luego buscar la función inicial correspondiente, es decir, la solución se lleva a cabo usando algunas reglas simples y un "catálogo" de las más imágenes que ocurren con frecuencia. En tareas más complejas, hay que recurrir a la transformación funcional inversa: la imagen es el original. Los primeros trabajos dedicados al cálculo operativo aparecieron a mediados del siglo pasado. El matemático ruso M. E. Vashchenko-Zakharchenko en la monografía “Cálculo simbólico y su aplicación a la integración de ecuaciones diferenciales lineales”, publicada en Kiev en 1862, planteó y resolvió parcialmente los principales problemas del método, que más tarde se conocería como operacional. . La aplicación sistemática del cálculo operacional a la solución de problemas físicos y técnicos comenzó con la aparición en 1892 del trabajo del científico inglés O. Heaviside. La esencia del cálculo operacional se puede ilustrar con un ejemplo con la clase de funciones iniciales continuas por tramos f(t) de una variable real t, que se encuentra con mayor frecuencia en problemas aplicados, definida en tt<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)|< Ме s o t , где М и s o son números independientes de t. Si p=s+iσ es un número complejo, entonces bajo las restricciones indicadas impuestas a la función f(t), la integral

existe y representa una función regular de p en el semiplano Re p>s o, llamada integral de Laplace de la función f(t).
La función F (p) introducida por la ley:

se llama imagen de la función inicial u original f(t). Una serie de propiedades de imagen (**), por ejemplo, la imagen de la derivada f’ (t):

e imágenes de la integral

hacer evidente que la transformación (*) traduce las operaciones de diferenciación e integración en operaciones de multiplicación y división por la variable compleja p. Usando las propiedades básicas de la imagen, se compilan imágenes de algunas de las funciones más simples: un "catálogo" de imágenes. El "catálogo" de imágenes de las funciones más simples y los teoremas de descomposición de Heaviside, que permiten encontrar la función inicial cuando la imagen F (p) es un polinomio o una relación de dos polinomios, permiten encontrar la forma más sencilla de encontrar una solución a un gran grupo de ecuaciones diferenciales y en diferencias lineales ordinarias con coeficientes constantes. Pero numerosas tareas conducen a imágenes que no son reducibles a las del "catálogo". Existe un medio general para construir una función inicial a partir de su imagen: la llamada fórmula de inversión de Riemann-Mellin.