La pendiente es recta. Cómo encontrar la pendiente de una ecuación

La línea y \u003d f (x) será tangente al gráfico que se muestra en la figura en el punto x0 si pasa por el punto con coordenadas (x0; f (x0)) y tiene una pendiente f "(x0). Encuentra tal coeficiente, conociendo las características de la tangente, no es difícil.

Necesitará

• - libro de referencia matemático;
• - un lápiz simple;
• - computadora portátil;
• - transportador;
• - Brújula;
• - bolígrafo.

Instrucción

Si el valor f‘(x0) no existe, entonces no hay tangente o pasa verticalmente. En vista de esto, la presencia de la derivada de la función en el punto x0 se debe a la existencia de una tangente no vertical que está en contacto con la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso Pendiente la tangente será f "(x0). Por lo tanto, queda claro significado geométrico derivada - cálculo de la pendiente de la tangente.

Dibuja tangentes adicionales que estarían en contacto con la gráfica de la función en los puntos x1, x2 y x3, y también marca los ángulos formados por estas tangentes con el eje de abscisas (tal ángulo se cuenta en la dirección positiva desde el eje hasta la recta tangente). Por ejemplo, el ángulo, es decir, α1, será agudo, el segundo (α2) será obtuso y el tercero (α3) cero, ya que la recta tangente es paralela al eje x. En este caso, la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la tangente de un ángulo agudo es positiva y para tg0 el resultado es cero.

Nota

Determina correctamente el ángulo que forma la tangente. Para hacer esto, use un transportador.

Consejo útil

Dos rectas oblicuas serán paralelas si sus pendientes son iguales entre sí; perpendicular si el producto de las pendientes de estas tangentes es -1.

Fuentes:

• Gráfico de tangente a función

El coseno, como el seno, se conoce como funciones trigonométricas "directas". La tangente (junto con la cotangente) se suma a otro par llamado "derivadas". Existen varias definiciones de estas funciones que permiten encontrar la tangente dada por valor conocido coseno del mismo valor.

Instrucción

Reste el cociente de la unidad por el coseno del ángulo dado elevado al valor y extraiga la raíz cuadrada del resultado: este será el valor de la tangente del ángulo, expresado por su coseno: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Al mismo tiempo, preste atención al hecho de que en la fórmula el coseno está en el denominador de la fracción. La imposibilidad de dividir por cero excluye el uso de esta expresión para ángulos iguales a 90°, así como diferir de este valor por múltiplos de 180° (270°, 450°, -90°, etc.).

También hay manera alternativa calcular la tangente a partir del valor conocido del coseno. Se puede usar si no hay restricción en el uso de otros. Para implementar este método, primero determine el valor del ángulo a partir del valor conocido del coseno; esto se puede hacer usando la función arcocoseno. Luego simplemente calcule la tangente para el ángulo del valor resultante. EN vista general este algoritmo se puede escribir de la siguiente manera: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

También hay una opción exótica usando la definición de coseno y tangente a través de Esquinas filosas triángulo rectángulo. El coseno en esta definición corresponde a la relación entre la longitud del cateto adyacente al ángulo considerado y la longitud de la hipotenusa. Conociendo el valor del coseno, puedes elegir las longitudes de estos dos lados que le corresponden. Por ejemplo, si cos(α)=0.5, entonces el adyacente puede tomarse igual a 10 cm y la hipotenusa - 20 cm. Los números específicos no importan aquí: obtendrá lo mismo y lo corregirá con cualquier valor que tenga lo mismo. Luego, utilizando el teorema de Pitágoras, determine la longitud del lado que falta: el cateto opuesto. ella sera igual raíz cuadrada de la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa al cuadrado y el cateto conocido: √(20²-10²)=√300. Por definición, la tangente corresponde a la relación de las longitudes de los catetos opuestos y adyacentes (√300/10); calcúlela y obtenga el valor de la tangente utilizando la definición clásica de coseno.

Fuentes:

• fórmula del coseno a través de la tangente

Uno de funciones trigonométricas, más a menudo denotado por las letras tg, aunque también se encuentran las designaciones tan. La forma más fácil es representar la tangente como la razón del seno ángulo a su coseno. Esta es una función periódica impar y no continua, cada ciclo de la cual es igual al numero Pi, y el punto de quiebre corresponde a la mitad de ese número.

El tema "El coeficiente angular de la tangente como la tangente del ángulo de inclinación" en el examen de certificación recibe varias tareas a la vez. Dependiendo de su condición, se le puede solicitar al graduado que proporcione una respuesta completa y una respuesta breve. En preparación para pasando el examen en matemáticas, el estudiante definitivamente debe repetir las tareas en las que se requiere calcular la pendiente de la tangente.

Hacer esto te ayudará portal educativo"Shkolkovo". Nuestros expertos han preparado y presentado material teórico y práctico lo más accesible posible. Al familiarizarse con él, los graduados con cualquier nivel de capacitación podrán resolver con éxito problemas relacionados con las derivadas, en los que se requiere encontrar la tangente de la pendiente de la tangente.

Momentos basicos

Para encontrar la solución correcta y racional a tales tareas en el examen, debe recordar definición básica: la derivada es la tasa de cambio de la función; es igual a la tangente de la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en un punto determinado. Es igualmente importante completar el dibujo. Te permitirá encontrar solucion correcta USE problemas sobre la derivada, en los que se requiere calcular la tangente de la pendiente de la tangente. Para mayor claridad, es mejor trazar un gráfico en el plano OXY.

Si ya se ha familiarizado con el material básico sobre el tema de la derivada y está listo para comenzar a resolver problemas para calcular la tangente del ángulo de inclinación de una tangente, similar a USAR asignaciones Lo puedes hacer en linea. Para cada tarea, por ejemplo, tareas sobre el tema "Relación de la derivada con la velocidad y la aceleración del cuerpo", escribimos la respuesta correcta y el algoritmo de solución. En este caso, los estudiantes pueden practicar la realización de tareas. niveles diferentes dificultades. Si es necesario, el ejercicio se puede guardar en la sección "Favoritos", para que luego puedas discutir la decisión con el profesor.

La figura muestra el ángulo de inclinación de la línea recta y el valor del coeficiente de pendiente para varias opciones para la ubicación de la línea recta en relación con el sistema de coordenadas rectangulares.

Encontrar la pendiente de una línea recta en un ángulo de inclinación conocido con respecto al eje Ox no presenta ninguna dificultad. Para hacer esto, es suficiente recordar la definición del coeficiente de pendiente y calcular la tangente del ángulo de pendiente.

Ejemplo.

Encuentra la pendiente de la recta si el ángulo de su inclinación con el eje x es igual a .

Decisión.

Por condición. Entonces, por definición de la pendiente de la recta, calculamos .

Responder:

La tarea de encontrar el ángulo de inclinación de una línea recta con el eje x con una pendiente conocida es un poco más difícil. Aquí es necesario tener en cuenta el signo del coeficiente de pendiente. Cuando el ángulo de inclinación de la recta es agudo y se encuentra como . Cuando el ángulo de inclinación de una recta es obtuso y puede determinarse por la fórmula .

Ejemplo.

Determine el ángulo de inclinación de una línea recta con respecto al eje x si su pendiente es 3.

Decisión.

Como por condición la pendiente es positiva, el ángulo de inclinación de la recta al eje Ox es agudo. Lo calculamos según la fórmula.

Responder:

Ejemplo.

La pendiente de la recta es . Determinar el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje Ox.

Decisión.

Denotar k es la pendiente de la recta, es el ángulo de inclinación de esta recta al sentido positivo del eje Ox. Como , entonces usamos la fórmula para encontrar el ángulo de inclinación de una línea recta de la siguiente forma . Sustituimos los datos de la condición en ella: .

Responder:

Ecuación de una recta con una pendiente.

Ecuación de línea con pendiente tiene la forma , donde k es la pendiente de la recta, b es un número real. La ecuación de una línea recta con pendiente se puede usar para especificar cualquier línea recta que no sea paralela al eje Oy (para una línea recta paralela al eje y, la pendiente no está definida).

Veamos el significado de la frase: "una línea en un plano en un sistema de coordenadas fijo está dada por una ecuación con una pendiente de la forma". Esto significa que la ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto de la recta y no con las coordenadas de ningún otro punto del plano. Así, si se obtiene la igualdad correcta al sustituir las coordenadas de un punto, entonces la recta pasa por este punto. De lo contrario, el punto no se encuentra en una línea.

Ejemplo.

La recta viene dada por una ecuación con pendiente . ¿Los puntos también pertenecen a esta línea?

Decisión.

Sustituye las coordenadas del punto en la ecuación original de una recta con pendiente: . Hemos obtenido la igualdad correcta, por lo tanto, el punto M 1 se encuentra en una línea recta.

Al sustituir las coordenadas del punto, obtenemos la igualdad incorrecta: . Por lo tanto, el punto M 2 no se encuentra en una línea recta.

Responder:

Punto M 1 pertenece a la línea, M 2 no.

Cabe señalar que la recta, definida por la ecuación de una recta con pendiente , pasa por el punto, ya que al sustituir sus coordenadas en la ecuación, obtenemos la igualdad correcta: .

Así, la ecuación de una recta con pendiente determina una recta sobre un plano que pasa por un punto y forma un ángulo con la dirección positiva del eje de abscisas, y .

Como ejemplo, dibujemos una línea recta definida por la ecuación de una línea recta con una pendiente de la forma . Esta recta pasa por el punto y tiene pendiente radianes (60 grados) a la dirección positiva del eje Ox. Su pendiente es .

La ecuación de una línea recta con una pendiente que pasa por un punto dado.

Ahora vamos a resolver un problema muy importante: obtendremos la ecuación de una recta con una pendiente k dada y que pasa por el punto .

Como la recta pasa por el punto, entonces la igualdad . El número b nos es desconocido. Para deshacernos de ella, restamos de las partes izquierda y derecha de la ecuación de una recta con pendiente, respectivamente, las partes izquierda y derecha de la última igualdad. Al hacerlo, obtenemos . Esta igualdad es ecuación de una línea recta con una pendiente dada k que pasa por un punto dado.

Considere un ejemplo.

Ejemplo.

Escribe la ecuación de una recta que pasa por el punto, la pendiente de esta recta es -2.

Decisión.

De la condición que tenemos . Entonces la ecuación de una recta con pendiente tomará la forma .

Responder:

Ejemplo.

Escribe la ecuación de una recta si se sabe que pasa por un punto y el ángulo de inclinación con el sentido positivo del eje Ox es .

Decisión.

Primero, calculamos la pendiente de la línea recta cuya ecuación estamos buscando (resolvimos este problema en el párrafo anterior de este artículo). un priorato . Ahora tenemos todos los datos para escribir la ecuación de una recta con pendiente:

Responder:

Ejemplo.

Escribe la ecuación de una recta con pendiente que pasa por un punto paralelo a la recta.

Decisión.

Es obvio que los ángulos de inclinación de las rectas paralelas al eje Ox coinciden (si es necesario, véase el artículo rectas paralelas), por lo tanto, los coeficientes de pendiente de las rectas paralelas son iguales. Entonces la pendiente de la recta, cuya ecuación necesitamos obtener, es igual a 2, ya que la pendiente de la recta es 2. Ahora podemos componer la ecuación requerida de una línea recta con una pendiente:

Responder:

La transición de la ecuación de una línea recta con un coeficiente de pendiente a otros tipos de la ecuación de una línea recta y viceversa.

Con toda la familiaridad, la ecuación de una línea recta con una pendiente está lejos de ser siempre conveniente para usar cuando se resuelven problemas. En algunos casos, los problemas son más fáciles de resolver cuando la ecuación de una línea recta se presenta en una forma diferente. Por ejemplo, la ecuación de una línea recta con una pendiente no le permite escribir inmediatamente las coordenadas del vector director de la línea recta o las coordenadas del vector normal de la línea recta. Por lo tanto, uno debe aprender a pasar de la ecuación de una línea recta con pendiente a otros tipos de la ecuación de esta línea recta.

A partir de la ecuación de una recta con pendiente, es fácil obtener la ecuación canónica de una recta en un plano de la forma . Para ello, trasladamos el término b del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo con signo opuesto, luego dividimos ambas partes de la igualdad resultante por la pendiente k:. Estas acciones nos llevan de la ecuación de una recta con pendiente a ecuación canónica derecho.

Ejemplo.

Dar la ecuación de una recta con pendiente a la forma canónica.

Decisión.

Realicemos las transformaciones necesarias: .

Responder:

Ejemplo.

La recta viene dada por la ecuación de una recta con pendiente . ¿Es el vector un vector normal de esta recta?

Decisión.

Para resolver este problema, pasemos de la ecuación de una recta con pendiente a la ecuación general de esta recta: . Sabemos que los coeficientes delante de las variables x e y en la ecuación general de una recta son las coordenadas correspondientes del vector normal de esta recta, es decir, el vector normal de la recta . Obviamente, el vector es colineal al vector , ya que la relación es verdadera (si es necesario, consulte el artículo). Por tanto, el vector original es también un vector normal de la recta , y, por lo tanto, es un vector normal y la recta original .

Responder:

Sí, lo es.

Y ahora resolveremos el problema inverso: el problema de convertir la ecuación de una línea recta en un plano en la ecuación de una línea recta con pendiente.

De la ecuación general de la línea recta , donde , es muy fácil pasar a la ecuación de la pendiente. Para esto necesitas ecuación general resolución directa con respecto a y . Al mismo tiempo, obtenemos . La igualdad resultante es la ecuación de una recta con pendiente igual a .

El coeficiente de la pendiente es recto. En este artículo, consideraremos tareas relacionadas con el plano de coordenadas incluidas en el examen de matemáticas. Estas son tareas para:

- determinación de la pendiente de una línea recta, cuando se conocen dos puntos por los que pasa;
- determinación de la abscisa o de la ordenada del punto de intersección de dos rectas en el plano.

Lo que es la abscisa y la ordenada de un punto se describió en esta sección. En él, ya hemos considerado varios problemas relacionados con el plano de coordenadas. ¿Qué debe entenderse para el tipo de tareas bajo consideración? Un poco de teoría.

La ecuación de una recta en el plano de coordenadas tiene la forma:

donde k – esta es la pendiente de la recta.

¡Próximo momento! Pendiente de una recta igual a la tangenteángulo de inclinación de una recta. Este es el ángulo entre la línea dada y el eje.Oh.

Se encuentra entre 0 y 180 grados.

Es decir, si reducimos la ecuación de una recta a la forma y = kx + b, luego, además, siempre podemos determinar el coeficiente k (coeficiente de pendiente).

Además, si podemos determinar la tangente de la pendiente de la línea recta según la condición, entonces encontraremos su pendiente.

¡El próximo momento teórico!Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.La fórmula se parece a:

Considere problemas (similares a los de banco abierto asignaciones):

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (–6; 0) y (0; 6).

En este problema, la forma más racional de resolver esto es encontrar la tangente del ángulo entre el eje x y la línea recta dada. Se sabe que es igual al coeficiente angular. Considere un triángulo rectángulo formado por una línea recta y los ejes x e y:

La tangente de un ángulo en triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al adyacente:

* Ambas piernas son iguales a seis (estas son sus longitudes).

Ciertamente, esta tarea se puede resolver usando la fórmula para encontrar la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados. Pero será un camino de solución más largo.

Respuesta 1

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (5;0) y (0;5).

Nuestros puntos tienen coordenadas (5;0) y (0;5). Significa,

Llevemos la fórmula a la forma. y = kx + b

Tenemos que el coeficiente angular k = – 1.

Respuesta 1

Derecho un pasa por puntos con coordenadas (0;6) y (8;0). Derecho b pasa por el punto de coordenadas (0;10) y es paralela a la recta un b con eje buey.

En este problema, puedes encontrar la ecuación de una línea recta. un, determine su pendiente. Línea recta b la pendiente será la misma ya que son paralelas. A continuación, puedes encontrar la ecuación de una línea recta. b. Y luego, sustituyendo el valor y = 0 en él, encuentre la abscisa. ¡PERO!

En este caso, es más fácil usar la propiedad de similitud de triángulos.

Los triángulos rectángulos formados por las líneas de coordenadas (paralelas) dadas son similares, lo que significa que las proporciones de sus respectivos lados son iguales.

La abscisa buscada es 40/3.

Respuesta: 40/3

Derecho un pasa por puntos con coordenadas (0;8) y (–12;0). Derecho b pasa por el punto de coordenadas (0; -12) y es paralela a la recta un. Encuentre la abscisa del punto de intersección de la recta b con eje buey.

Para este problema, la forma más racional de resolverlo es usar la propiedad de semejanza de los triángulos. Pero lo resolveremos de otra manera.

Conocemos los puntos por donde pasa la recta un. Podemos escribir la ecuación de una línea recta. La fórmula de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados es:

Por condición, los puntos tienen coordenadas (0;8) y (–12;0). Significa,

vamos a traer a la mente y = kx + b:

Tengo esa esquina k = 2/3.

*El coeficiente angular se puede encontrar a través de la tangente del ángulo en un triángulo rectángulo con catetos 8 y 12.

Sabemos que las rectas paralelas tienen pendientes iguales. Entonces la ecuación de una recta que pasa por el punto (0;-12) tiene la forma:

Encuentra valor b podemos sustituir la abscisa y la ordenada en la ecuación:

Así que la línea se ve así:

Ahora, para encontrar la abscisa deseada del punto de intersección de la línea con el eje x, debe sustituir y \u003d 0:

Respuesta: 18

Encuentre la ordenada del punto de intersección del eje oye y una recta que pasa por el punto B(10;12) y una paralela que pasa por el origen y el punto A(10;24).

Encontremos la ecuación de una recta que pasa por los puntos de coordenadas (0;0) y (10;24).

La fórmula de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados es:

Nuestros puntos tienen coordenadas (0;0) y (10;24). Significa,

vamos a traer a la mente y = kx + b

Las pendientes de las rectas paralelas son iguales. Por tanto, la ecuación de una recta que pasa por el punto B (10; 12) tiene la forma:

Significado b encontramos sustituyendo las coordenadas del punto B (10; 12) en esta ecuación:

Obtuvimos la ecuación de una recta:

Para hallar la ordenada del punto de intersección de esta recta con el eje UNED debe ser sustituido en la ecuación encontrada X= 0:

* La solución más fácil. Con la ayuda de la traslación paralela, desplazamos esta línea hacia abajo a lo largo del eje UNED al punto (10;12). El desplazamiento se produce en 12 unidades, es decir, el punto A(10;24) "pasó" al punto B(10;12), y el punto O(0;0) "pasó" al punto (0;– 12). Así que la línea resultante intersecará el eje. UNED en el punto (0;–12).

La ordenada deseada es -12.

Respuesta: -12

Encuentra la ordenada del punto de intersección de la recta dada por la ecuación

3x + 2 años = 6, con eje Oye.

Coordenada del punto de intersección de la recta dada con el eje UNED tiene la forma (0; en). Sustituir la abscisa en la ecuación X= 0, y encuentra la ordenada:

Ordenada del punto de intersección de una recta con un eje UNED es igual a 3

*El sistema se está resolviendo:

Respuesta: 3

Encuentra la ordenada del punto de intersección de las rectas dadas por las ecuaciones

3x + 2y = 6 y y = - x.

Cuando se dan dos rectas, y se trata de encontrar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas, se resuelve el sistema de estas ecuaciones:

En la primera ecuación sustituimos - X en vez de en:

La ordenada es menos seis.

Responder: – 6

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (–2; 0) y (0; 2).

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2;0) y (0;2).

La recta a pasa por los puntos de coordenadas (0;4) y (6;0). La línea b pasa por el punto de coordenadas (0;8) y es paralela a la línea a. Encuentre la abscisa del punto de intersección de la línea b con el eje x.

Encuentra la ordenada del punto de intersección del eje y y la recta que pasa por el punto B (6;4) y la recta paralela que pasa por el origen y el punto A (6;8).

1. Es necesario entender claramente que la pendiente de la recta es igual a la tangente de la pendiente de la recta. Esto le ayudará a resolver muchos problemas de este tipo.

2. Debe entenderse la fórmula para encontrar una línea recta que pase por dos puntos dados. Con su ayuda, siempre puedes encontrar la ecuación de una línea recta si se dan las coordenadas de dos de sus puntos.

3. Recuerda que las pendientes de las rectas paralelas son iguales.

4. Como comprenderás, en algunos problemas conviene utilizar el signo de semejanza de triángulos. Los problemas se resuelven prácticamente de forma oral.

5. Las tareas en las que se dan dos líneas y se requiere encontrar la abscisa o la ordenada de su punto de intersección se pueden resolver gráficamente. Es decir, constrúyalos en el plano de coordenadas (en una hoja en una celda) y determine visualmente el punto de intersección. *Pero este método no siempre es aplicable.

6. Y el último. Si se dan una línea recta y las coordenadas de los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas, en tales problemas es conveniente encontrar el coeficiente angular al encontrar la tangente del ángulo en el triángulo rectángulo formado. A continuación se muestra esquemáticamente cómo "ver" este triángulo para varios arreglos de líneas en el plano:

>> Ángulo de inclinación de línea de 0 a 90 grados<<

>> Ángulo de línea recta de 90 a 180 grados<<

Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alejandro.

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.

En el capítulo anterior se mostró que, eligiendo un cierto sistema de coordenadas en el plano, podemos expresar analíticamente las propiedades geométricas que caracterizan los puntos de la línea en consideración mediante la ecuación entre las coordenadas actuales. Así, obtenemos la ecuación de la recta. En este capítulo, se considerarán las ecuaciones de líneas rectas.

Para formular la ecuación de una línea recta en coordenadas cartesianas, debe establecer de alguna manera las condiciones que determinan su posición en relación con los ejes de coordenadas.

Primero, introducimos el concepto de pendiente de una línea recta, que es una de las cantidades que caracterizan la posición de una línea recta en un plano.

Llamemos ángulo de inclinación de la línea al eje Ox el ángulo por el cual se debe girar el eje Ox para que coincida con la línea dada (o resulte ser paralelo a ella). Como de costumbre, consideraremos el ángulo teniendo en cuenta el signo (el signo está determinado por la dirección de rotación: en sentido antihorario o en sentido horario). Dado que una rotación adicional del eje Ox en un ángulo de 180 ° lo combinará nuevamente con la línea recta, el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje se puede elegir de manera ambigua (hasta un múltiplo de ).

La tangente de este ángulo está determinada de forma única (ya que cambiar el ángulo a no cambia su tangente).

La tangente del ángulo de inclinación de una línea recta al eje x se llama pendiente de la línea recta.

La pendiente caracteriza la dirección de la línea recta (aquí no distinguimos entre dos direcciones de la línea recta mutuamente opuestas). Si la pendiente de la línea es cero, entonces la línea es paralela al eje x. Con una pendiente positiva, el ángulo de inclinación de la línea recta al eje Ox será agudo (estamos considerando aquí el valor positivo más pequeño del ángulo de inclinación) (Fig. 39); en este caso, cuanto mayor sea la pendiente, mayor será el ángulo de su inclinación con respecto al eje Ox. Si la pendiente es negativa, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje x será obtuso (Fig. 40). Tenga en cuenta que una línea recta perpendicular al eje x no tiene pendiente (la tangente de un ángulo no existe).