La derivada del producto de dos funciones diferenciables se define mediante una fórmula. Fórmulas para derivadas. Protección de datos personales

11.11.2020

DE corrección de materiales sobre el tema "derivado". Nivel escolar básico.
Información teórica para estudiantes, profesores y tutores en matemáticas. Para ayudar con las lecciones.

Definición: la derivada de una función en un punto se llama límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable, es decir

Tabla de derivadas de funciones matemáticas básicas:

Reglas para el cálculo de derivados

Derivado de la suma de dos expresiones cualesquiera es igual a la suma de las derivadas de estas expresiones (la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas)

Derivada de diferencia de dos expresiones cualesquiera es igual a la diferencia de las derivadas de estos términos (la derivada de la diferencia es igual a la diferencia de las derivadas).

Derivado del producto dos factores es igual al producto de la derivada del primer factor por el segundo más el producto del primer factor por la derivada del segundo (la suma de las derivadas de los factores tomadas a su vez).
Comentario del tutor de matemáticas: cuando le recuerdo al alumno en frases cortas la regla para calcular la derivada del producto, digo esto: la derivada del primer factor por el segundo más intercambio de golpes!

Derivada del cociente de dos expresiones es igual al cociente de la diferencia de las derivadas tomadas alternativamente de los factores y el cuadrado del denominador.

Derivada del producto de un número y una función. Para encontrar la derivada del producto de un número y una expresión literal (una función), necesitas multiplicar este número por la derivada de esta expresión literal.

Derivada de una función compleja:

Para calcular la derivada de una función compleja, necesitas encontrar la derivada de la función externa y multiplicarla por la derivada de la función interna.

Sus comentarios y retroalimentación en la página con derivados:
Alejandro S.
Realmente necesitaba una mesa. Uno de los más en internet. Muchas gracias por las explicaciones y las reglas. Al menos un ejemplo más para ellos y en general sería genial. Gracias de nuevo.

Kolpakov A.N., tutor de matemáticas: ok, intentaré actualizar la página con ejemplos pronto.

Libro virtual de referencia matemática.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, tutor de matemáticas.

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La operación de encontrar una derivada se llama diferenciación.

Como resultado de resolver problemas de encontrar derivadas de las funciones más simples (y no muy simples) definiendo la derivada como el límite de la relación del incremento al incremento del argumento, apareció una tabla de derivadas y reglas de diferenciación definidas con precisión. . Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fueron los primeros en trabajar en el campo de la búsqueda de derivadas.

Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar la derivada de cualquier función, no es necesario calcular el límite mencionado anteriormente de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, sino que solo es necesario usar la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación. El siguiente algoritmo es adecuado para encontrar la derivada.

Para encontrar la derivada, necesitas una expresión debajo del signo de trazo desglosar funciones simples y determinar qué acciones (producto, suma, cociente) estas funciones están relacionadas. Además, encontramos las derivadas de funciones elementales en la tabla de derivadas y las fórmulas para las derivadas del producto, la suma y el cociente, en las reglas de diferenciación. La tabla de derivadas y las reglas de derivación se dan después de los dos primeros ejemplos.

Ejemplo 1 Encontrar la derivada de una función

Solución. A partir de las reglas de derivación encontramos que la derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de funciones, es decir

De la tabla de derivadas, encontramos que la derivada de "X" es igual a uno, y la derivada del seno es igual al coseno. Sustituimos estos valores en la suma de derivadas y encontramos la derivada requerida por la condición del problema:

Ejemplo 2 Encontrar la derivada de una función

Solución. Derivamos como derivada de la suma, en la que del signo de la derivada se puede sacar el segundo término con factor constante:

Si todavía hay preguntas sobre de dónde viene algo, por regla general, se aclaran después de leer la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación más simples. Vamos a ellos ahora mismo.

Tabla de derivadas de funciones simples

1. Derivada de una constante (número). Cualquier número (1, 2, 5, 200...) que esté en la expresión de la función. Siempre cero. Es muy importante recordar esto, ya que se requiere muy a menudo
2. Derivada de la variable independiente. Más a menudo "x". Siempre igual a uno. Esto también es importante recordar
3. Derivada de grado. Al resolver problemas, debe convertir las raíces no cuadradas en una potencia.
4. Derivada de una variable a la potencia de -1
5. Derivada de la raíz cuadrada
6. Derivada del seno
7. Derivada del coseno
8. Derivada tangente
9. Derivada de cotangente
10. Derivada del arcoseno
11. Derivada del arco coseno
12. Derivada del arco tangente
13. Derivada de la tangente inversa
14. Derivada del logaritmo natural
15. Derivada de una función logarítmica
16. Derivada del exponente
17. Derivada de función exponencial

Reglas de diferenciación

1. Derivada de la suma o diferencia
2. Derivado de un producto
2a. Derivada de una expresión multiplicada por un factor constante
3. Derivada del cociente
4. Derivada de una función compleja

Regla 1si funciones

son diferenciables en algún punto, entonces en el mismo punto las funciones

aquellos. la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones.

Consecuencia. Si dos funciones derivables difieren en una constante, entonces sus derivadas son, es decir.

Regla 2si funciones

son diferenciables en algún punto, entonces su producto también es diferenciable en el mismo punto

aquellos. la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra.

Consecuencia 1. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada:

consecuencia 2. La derivada del producto de varias funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la derivada de cada uno de los factores y todos los demás.

Por ejemplo, para tres multiplicadores:

regla 3si funciones

diferenciable en algún punto y , entonces en este punto su cociente también es derivable.u/v, y

aquellos. la derivada de un cociente de dos funciones es igual a una fraccion cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior .

Dónde buscar en otras páginas

Al encontrar la derivada del producto y el cociente en problemas reales, siempre es necesario aplicar varias reglas de diferenciación a la vez, por lo que hay más ejemplos de estas derivadas en el artículo."La derivada de un producto y un cociente".

Comentario.¡No debe confundir una constante (es decir, un número) como un término en la suma y como un factor constante! En el caso de un término, su derivada es igual a cero, y en el caso de un factor constante, se saca del signo de las derivadas. Este es un error típico que ocurre en la etapa inicial de estudiar derivadas, pero a medida que el estudiante promedio resuelve varios ejemplos de uno y dos componentes, este error ya no se comete.

Y si al derivar un producto o un cociente tienes un término tu"v, en donde tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, entonces la derivada de este número será igual a cero y, por lo tanto, todo el término será igual a cero (tal caso se analiza en el ejemplo 10) .

Otro error común es la solución mecánica de la derivada de una función compleja como derivada de una función simple. Es por eso derivada de una función compleja dedicado a un artículo aparte. Pero primero aprenderemos a encontrar derivadas de funciones simples.

En el camino, no puedes prescindir de las transformaciones de expresiones. Para hacer esto, es posible que deba abrir en nuevos manuales de Windows Acciones con potencias y raíces. y Acciones con fracciones .

Si está buscando soluciones para derivadas con potencias y raíces, es decir, cuando la función se ve como , luego siga la lección " Derivado de la suma de fracciones con potencias y raíces".

Si tienes una tarea como , entonces estás en la lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples".

Ejemplos paso a paso: cómo encontrar la derivada

Ejemplo 3 Encontrar la derivada de una función

Solución. Determinamos las partes de la expresión de la función: la expresión completa representa el producto, y sus factores son sumas, en la segunda de las cuales uno de los términos contiene un factor constante. Aplicamos la regla de diferenciación del producto: la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra:

A continuación, aplicamos la regla de derivación de la suma: la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones. En nuestro caso, en cada suma, el segundo término con signo menos. En cada suma vemos tanto una variable independiente, cuya derivada es igual a uno, como una constante (número), cuya derivada es igual a cero. Entonces, "x" se convierte en uno, y menos 5, en cero. En la segunda expresión, "x" se multiplica por 2, entonces multiplicamos dos por la misma unidad que la derivada de "x". Obtenemos los siguientes valores de derivadas:

Sustituimos las derivadas encontradas en la suma de productos y obtenemos la derivada de toda la función requerida por la condición del problema:

Ejemplo 4 Encontrar la derivada de una función

Solución. Estamos obligados a encontrar la derivada del cociente. Aplicamos la fórmula para diferenciar un cociente: la derivada de un cociente de dos funciones es igual a una fracción cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:

Ya hemos encontrado la derivada de los factores en el numerador en el Ejemplo 2. Tampoco olvidemos que el producto, que es el segundo factor en el numerador en el ejemplo actual, se toma con un signo menos:

Si está buscando soluciones a problemas en los que necesita encontrar la derivada de una función, donde hay una pila continua de raíces y grados, como, por ejemplo, entonces bienvenido a clase "La derivada de la suma de fracciones con potencias y raíces" .

Si necesitas aprender más sobre las derivadas de senos, cosenos, tangentes y otras funciones trigonométricas, es decir, cuando la función se ve como , entonces tienes una lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5 Encontrar la derivada de una función

Solución. En esta función vemos un producto, uno de cuyos factores es la raíz cuadrada de la variable independiente, con cuya derivada nos familiarizamos en la tabla de derivadas. De acuerdo con la regla de diferenciación del producto y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Ejemplo 6 Encontrar la derivada de una función

Solución. En esta función vemos el cociente, cuyo dividendo es la raíz cuadrada de la variable independiente. Según la regla de derivación del cociente, que repetimos y aplicamos en el ejemplo 4, y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Para deshacerse de la fracción en el numerador, multiplique el numerador y el denominador por .

¿Qué es una función derivada? Este es el concepto matemático principal, está en el mismo nivel que las integrales, en el análisis. Esta función en un cierto punto da una característica de la tasa de cambio de la función en un punto dado.
Conceptos tales como diferenciación e integración, el primero representa la acción de encontrar una derivada, el segundo, por el contrario, restituye la función a partir de esta derivada.
Los cálculos derivados juegan un papel importante en los cálculos diferenciales.
Para un ejemplo ilustrativo, representaremos la derivada en el plano de coordenadas.

en la función y \u003d f (x), fijamos los puntos M en los que (x0; f (X0)) y N f (x0 +? x) en cada abscisa hay un incremento en la forma? x. Un incremento es el proceso cuando la abscisa cambia, luego la ordenada también cambia. ¿Designado como?
Encontremos la tangente del ángulo en el triángulo MPN usando los puntos M y N para esto.

tg? = NP/PM = ?y/?x.

Con ?x yendo a 0. La intersección de MN se está acercando a la tangente MT y al ángulo? ¿estarán?. Por lo tanto, tg? valor máximo para tg ?.

tg? = lím de?x-0 tg ? = límite de?x-0 ?y/?x

tabla de derivadas

Si pronuncias las palabras de cada fórmulas derivadas. La tabla será más fácil de recordar.
1) La derivada de un valor constante es 0.
2) X con un trazo es igual a uno.
3) Si hay un factor constante, simplemente quitamos eo para la derivada.
4) Para encontrar la potencia derivada, necesitas multiplicar el exponente de este grado por el exponente con la misma base, en el que el exponente es 1 menos.
5) Encontrar una raíz es uno dividido por 2 de estas raíces.
6) La derivada de uno dividido por X es igual a uno dividido por X al cuadrado, con signo menos.
7) P seno es igual a coseno
8) P coseno es igual al seno con signo menos.
9) P tangente es igual a uno dividido por el coseno al cuadrado.
10) P cotangente es igual a uno con signo menos, dividido por el seno al cuadrado.

En la diferenciación también hay reglas que también son más fáciles de aprender pronunciándolas en voz alta.

1) Muy simple, el número de términos es igual a su suma.
2) La derivada en la multiplicación es igual a la multiplicación del primer valor por el segundo, sumándose a sí misma la multiplicación del segundo valor por el primero.
3) La derivada en división es igual a la multiplicación del primer valor por el segundo, restando de sí misma la multiplicación del segundo valor por el primero. La fracción dividida por el segundo valor al cuadrado.
4) La formulación es un caso especial de la tercera fórmula.

En esta lección, continuamos estudiando las derivadas de funciones y pasamos a un tema más complejo, a saber, las derivadas del producto y el cociente. Si vio la lección anterior, probablemente entendió que consideramos solo las construcciones más simples, es decir, la derivada de una función de potencia, sumas y diferencias. En particular, aprendimos que la derivada de la suma es igual a su suma, y la derivada de la diferencia es igual, respectivamente, a su diferencia. Lamentablemente, en el caso de las derivadas del cociente y del producto, las fórmulas serán mucho más complicadas. Comencemos con la fórmula para la derivada de un producto de funciones.

Derivadas de funciones trigonométricas

Para empezar, me permitiré una pequeña digresión lírica. El hecho es que además de la función de potencia estándar - $y=((x)^(n))$, en esta lección habrá otras funciones, a saber, $y=\sin x$, así como $y =\ cos x$ y otra trigonometría - $y=tgx$ y, por supuesto, $y=ctgx$.

Si todos conocemos perfectamente la derivada de una función potencia, a saber, $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, entonces, como para funciones trigonométricas debe mencionarse por separado. Vamos a escribir:

\[\begin(alinear)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sen x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Pero estas fórmulas las conoces muy bien, vayamos más allá.

¿Qué es un derivado de un producto?

Primero, lo más importante: si una función es producto de otras dos funciones, por ejemplo, $f\cdot g$, entonces la derivada de esta construcción será igual a la siguiente expresión:

Como puede ver, esta fórmula es significativamente diferente y más compleja que las fórmulas que consideramos anteriormente. Por ejemplo, la derivada de la suma se considera elemental — $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, o la derivada de la diferencia, que también se considera elemental — $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Intentemos aplicar la primera fórmula para calcular las derivadas de dos funciones que nos dan en el problema. Comencemos con el primer ejemplo:

Obviamente, la siguiente construcción actúa como un producto, más precisamente como un factor: $((x)^(3))$, podemos considerarlo como $f$, y $\left(x-5 \right)$ podemos considerar como $g$. Entonces su producto será solo el producto de dos funciones. Nosotros decidimos:

\[\begin(alinear)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ derecha))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \fin(alinear)\].

Ahora echemos un vistazo más de cerca a cada uno de nuestros términos. Vemos que tanto el primer como el segundo término contienen la potencia $x$: en el primer caso es $((x)^(2))$, y en el segundo es $((x)^(3)) ps Saquemos el grado más pequeño de los paréntesis, permanecerá en el paréntesis:

\[\begin(alinear)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15) \\\end(alinear)\]

Todos encontramos la respuesta.

Volvemos a nuestras tareas y tratamos de resolver:

Así que reescribamos:

De nuevo, notamos que estamos hablando del producto del producto de dos funciones: $x$, que se puede denotar como $f$, y $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, que se puede ser denotado por $g$.

Por lo tanto, nuevamente tenemos el producto de dos funciones. Para encontrar la derivada de la función $f\left(x \right)$, nuevamente usamos nuestra fórmula. Obtenemos:

\[\begin(alinear)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Respuesta encontrada.

¿Por qué factorizar derivadas?

Acabamos de usar algunos hechos matemáticos muy importantes, que en sí mismos no están relacionados con las derivadas, pero sin su conocimiento, todo estudio adicional de este tema simplemente no tiene sentido.

En primer lugar, resolviendo el primer problema y deshaciéndonos de todos los signos de las derivadas, por alguna razón comenzamos a factorizar esta expresión.

En segundo lugar, al resolver el siguiente problema, pasamos varias veces de la raíz al grado con un exponente racional y viceversa, mientras usamos la fórmula del grado 8-9, que debe repetirse por separado.

Con respecto a la factorización, ¿por qué necesitamos todos estos esfuerzos y transformaciones adicionales? De hecho, si el problema simplemente dice "encontrar la derivada de una función", entonces estos pasos adicionales no son necesarios. Sin embargo, en problemas reales que le esperan en varios exámenes y pruebas, encontrar la derivada a menudo no es suficiente. El caso es que la derivada es solo una herramienta con la que puedes averiguar, por ejemplo, un aumento o disminución de una función, y para ello necesitas resolver la ecuación, factorizarla. Y aquí esta técnica será muy apropiada. Y en general, con una función descompuesta en factores, es mucho más conveniente y agradable trabajar en el futuro si se requieren transformaciones. Por lo tanto, regla número 1: si la derivada se puede factorizar, eso es exactamente lo que debes hacer. E inmediatamente la regla número 2 (de hecho, este es el material del grado 8-9): si la raíz está en el problema norte-ésimo grado, además, la raíz es claramente mayor que dos, entonces esta raíz puede ser reemplazada por un grado ordinario con un exponente racional, y aparecerá una fracción en el exponente, donde norte- el mismo grado - estará en el denominador de esta fracción.

Por supuesto, si hay algún grado debajo de la raíz (en nuestro caso, este es el grado k), entonces no va a ninguna parte, sino que simplemente aparece en el numerador de este mismo grado.

Y ahora que entiendes todo esto, volvamos a las derivadas del producto y calculemos algunas ecuaciones más.

Pero antes de pasar directamente a los cálculos, me gustaría recordar los siguientes patrones:

\[\begin(alinear)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sen x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(alinear)\]

Considere el primer ejemplo:

Nuevamente tenemos un producto de dos funciones: la primera es $f$, la segunda es $g$. Déjame recordarte la fórmula:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Vamos a decidir:

\[\begin(alinear)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Pasemos a la segunda función:

De nuevo, $\left(3x-2 \right)$ es una función de $f$, $\cos x$ es una función de $g$. La derivada total del producto de dos funciones será igual a:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ izquierda(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\principal))\]

Escribamos por separado:

\[\begin(alinear)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

No factorizamos esta expresión en factores, porque esta aún no es la respuesta final. Ahora tenemos que resolver la segunda parte. Escribámoslo:

\[\begin(alinear)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Y ahora volvemos a nuestra tarea original y reunimos todo en una sola estructura:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

Eso es todo, esta es la respuesta final.

Pasemos al último ejemplo: será el más complejo y voluminoso en términos de cálculos. Así que un ejemplo:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Contamos cada parte por separado:

\[\begin(alinear)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(alinear)\]

\[\begin(alinear)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(alinear)\]

Volviendo a la función original, calculamos su derivada como un todo:

\[\begin(alinear)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(alinear)\]

Eso, de hecho, es todo lo que quería contar sobre los derivados de la obra. Como ves, el principal problema de la fórmula no es memorizarla, sino que se obtiene una cantidad bastante grande de cálculos. Pero está bien, porque ahora estamos pasando a la derivada del cociente, donde tenemos que trabajar muy duro.

¿Qué es la derivada de un cociente?

Entonces, la fórmula para la derivada de un cociente. Quizás esta sea la fórmula más difícil en el curso de derivados de la escuela. Supongamos que tenemos una función de la forma $\frac(f)(g)$, donde $f$ y $g$ también son funciones que también pueden estar inconclusas. Luego se calculará de acuerdo con la siguiente fórmula:

El numerador nos recuerda un poco a la fórmula de la derivada del producto, sin embargo, hay un signo menos entre los términos y el cuadrado del denominador original también se ha agregado al denominador. Veamos cómo funciona esto en la práctica:

Tratemos de resolver:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Propongo escribir cada parte por separado y anotar:

\[\begin(alinear)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ derecha))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(alinear)\]

Reescribimos nuestra expresión:

\[\begin(alinear)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right ))^(2))) \\\end(alinear)\]

Hemos encontrado la respuesta. Pasemos a la segunda función:

A juzgar por el hecho de que su numerador es solo uno, aquí los cálculos serán un poco más simples. Así que escribamos:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\izquierda(((x)^(2))+4 \derecha))^(2)))\]

Contemos cada parte del ejemplo por separado:

\[\begin(alinear)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Reescribimos nuestra expresión:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Hemos encontrado la respuesta. Como era de esperar, la cantidad de cálculo resultó ser significativamente menor que para la primera función.

¿Cuál es la diferencia entre las notaciones?

Los estudiantes atentos probablemente ya tengan una pregunta: ¿por qué en algunos casos denotamos la función como $f\left(x \right)$, mientras que en otros casos simplemente escribimos $y$? De hecho, desde el punto de vista de las matemáticas, no hay absolutamente ninguna diferencia: tiene derecho a usar tanto la primera designación como la segunda, y no habrá sanciones por exámenes y pruebas. Para aquellos que todavía estén interesados, explicaré por qué los autores de libros de texto y problemas en algunos casos escriben $f\left(x \right)$, y en otros (mucho más frecuentes) solo $y$. El caso es que al escribir una función en la forma \, implícitamente insinuamos a quien leerá nuestros cálculos que estamos hablando de la interpretación algebraica de la dependencia funcional. Es decir, hay alguna variable $x$, consideramos la dependencia de esta variable y la denotamos $f\left(x \right)$. Al mismo tiempo, después de haber visto tal designación, el que lee sus cálculos, por ejemplo, el inspector, esperará inconscientemente que en el futuro solo le esperan transformaciones algebraicas, sin gráficos ni geometría.

Por otro lado, usando la notación de la forma \, es decir, denotando la variable con una sola letra, inmediatamente aclaramos que en el futuro estamos interesados precisamente en la interpretación geométrica de la función, es decir, nos interesa principalmente en su gráfico. En consecuencia, ante un registro de la forma \, el lector tiene derecho a esperar cálculos gráficos, es decir, grafos, construcciones, etc., pero, en ningún caso, transformaciones analíticas.

También me gustaría llamar su atención sobre una característica del diseño de las tareas que estamos considerando hoy. Muchos estudiantes piensan que doy cálculos demasiado detallados, y muchos de ellos podrían omitirse o simplemente resolverse en mi cabeza. Sin embargo, es precisamente un registro tan detallado que le permitirá deshacerse de los errores ofensivos y aumentar significativamente el porcentaje de problemas resueltos correctamente, por ejemplo, en el caso de la autopreparación para pruebas o exámenes. Por lo tanto, si aún no está seguro de sus habilidades, si recién está comenzando a estudiar este tema, no se apresure: describa en detalle cada paso, escriba cada multiplicador, cada trazo y muy pronto aprenderá a resolver tales ejemplos. mejor que muchos maestros de escuela. Espero que esto sea entendible. Contemos algunos ejemplos más.

Varios retos interesantes

Esta vez, como vemos, la trigonometría está presente en la composición de las derivadas calculadas. Así que déjame recordarte lo siguiente:

\[\begin(alinear)& (senx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(alinear )\]

Por supuesto, no podemos prescindir de la derivada del cociente, a saber:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Considere la primera función:

\[\begin(alinear)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\fin(alinear)\]

Así que hemos encontrado la solución a esta expresión.

Pasemos al segundo ejemplo:

Es obvio que su derivada será más compleja aunque solo sea porque la trigonometría está presente tanto en el numerador como en el denominador de esta función. Nosotros decidimos:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Tenga en cuenta que tenemos un derivado del producto. En este caso, será igual a:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ derecha))^(\prime ))= \\& =\sen x+x\cos x \\\end(align)\]

Volvemos a nuestros cálculos. Anotamos:

\[\begin(alinear)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(alinear)\]

¡Eso es todo! contamos

¿Cómo reducir la derivada de un cociente a una fórmula simple para la derivada de un producto?

Y aquí me gustaría hacer un comentario muy importante sobre funciones específicamente trigonométricas. El punto es que nuestra construcción original contiene una expresión de la forma $\frac(\sin x)(\cos x)$, que se puede reemplazar fácilmente por $tgx$. Así, reduciremos la derivada del cociente a una fórmula más sencilla para la derivada del producto. Calculemos este ejemplo nuevamente y comparemos los resultados.

Así que ahora tenemos que considerar lo siguiente:

\[\frac(\sen x)(\cos x)=tgx\]

Reescribamos nuestra función original $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ con este hecho en mente. Obtenemos:

Contemos:

\[\begin(alinear)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(alinear) \]

Ahora, si comparamos el resultado con lo que obtuvimos antes, al calcular de una manera diferente, nos aseguraremos de que obtuvimos la misma expresión. Por lo tanto, no importa qué camino tomemos al calcular la derivada, si todo se calcula correctamente, la respuesta será la misma.

Matices importantes en la resolución de problemas.

Para concluir, me gustaría contarles una sutileza más relacionada con el cálculo de la derivada de un cociente. Lo que les voy a contar ahora no estaba en el guión original del videotutorial. Sin embargo, un par de horas antes de filmar, estaba estudiando con uno de mis alumnos y estábamos resolviendo el tema de las derivadas del cociente. Y, como se vio después, muchos estudiantes no entienden este punto. Entonces, digamos que necesitamos contar los números impares de la siguiente función:

En principio, no hay nada sobrenatural en él a primera vista. Sin embargo, en el proceso de cálculo, podemos cometer muchos errores estúpidos y ofensivos, que me gustaría analizar ahora.

Entonces, consideramos esta derivada. En primer lugar, tenga en cuenta que tenemos el término $3((x)^(2))$, por lo que conviene recordar la siguiente fórmula:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Además, tenemos el término $\frac(48)(x)$ — lo trataremos a través de la derivada del cociente, a saber:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Así que decidamos:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\principal))+10(0)"\]

No hay problemas con el primer término, ver:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\principal))=3k.2x=6x\]

Pero con el primer término, $\frac(48)(x)$, necesitas trabajar por separado. El hecho es que muchos estudiantes confunden la situación cuando necesitan encontrar $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ y cuando necesitan encontrar $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Es decir, se confunden cuando la constante está en el denominador y cuando la constante está en el numerador, respectivamente, cuando la variable está en el numerador o en el denominador.

Comencemos con la primera opción:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Por otro lado, si intentamos hacer lo mismo con la segunda fracción, obtenemos lo siguiente:

\[\begin(alinear)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(alinear)\]

Sin embargo, el mismo ejemplo podría calcularse de otra manera: en la etapa en que pasamos a la derivada del cociente, podemos considerar $\frac(1)(x)$ como una potencia con exponente negativo, es decir, obtenemos lo siguiente :

\[\begin(alinear)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(alinear)\]

Y así, y así obtuvimos la misma respuesta.

Así, una vez más estamos convencidos de dos hechos importantes. Primero, la misma derivada se puede calcular de formas completamente diferentes. Por ejemplo, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ se puede considerar tanto como una derivada de un cociente como una derivada de una función de potencia. Además, si todos los cálculos se realizan correctamente, la respuesta siempre será la misma. En segundo lugar, cuando se calculan derivadas que contienen tanto una variable como una constante, es fundamentalmente importante dónde se ubica la variable: en el numerador o en el denominador. En el primer caso, cuando la variable está en el numerador, obtenemos una función lineal simple que simplemente cuenta. Y si la variable está en el denominador, obtenemos una expresión más compleja con los cálculos que la acompañan dados anteriormente.

Esta lección puede considerarse completa, por lo que si no comprende algo sobre los derivados de un producto o privado y, de hecho, si tiene alguna pregunta sobre este tema, no lo dude: visite mi sitio web, escriba, llame y yo Definitivamente lo intentaré, ¿puedo ayudarte?

Los derivados en sí mismos no son un tema difícil, pero son muy voluminosos, y lo que estamos estudiando ahora se utilizará en el futuro para resolver problemas más complejos. Por eso es mejor identificar todos los malentendidos relacionados con los cálculos de derivadas de un cociente o un producto inmediatamente, ahora mismo. No cuando son una enorme bola de nieve de malentendidos, sino cuando son una pequeña pelota de tenis fácil de manejar.