El seno es positivo. círculo trigonométrico. Valores básicos de las funciones trigonométricas
Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. En el tiempo que tarda Aquiles en correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El susto fue tan fuerte que" ... las discusiones continúan en la actualidad, para llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas Comunidad cientifica hasta ahora no ha sido posible... análisis matemático, teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos intervinieron en el estudio del tema; ninguno de ellos se convirtió en una solución universalmente aceptada para el problema...“[Wikipedia, “Aporias de Zeno”]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende cuál es el engaño.
Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Según tengo entendido, el aparato matemático para aplicar unidades de medida variables o aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. La aplicación de nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por la inercia del pensamiento, aplicamos unidades constantes de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece como si el tiempo se detuviera por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.
Si le damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a una velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo empleado en superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápido a la tortuga".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a valores recíprocos. En el lenguaje de Zeno, se ve así:
En el tiempo que tarda Aquiles en correr mil pasos, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la insuperabilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón "Aquiles y la tortuga". Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución hay que buscarla no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra interesante aporía de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento del tiempo está en reposo, y como está en reposo en cada momento del tiempo, siempre está en reposo.
En esta aporía paradoja lógica se supera de manera muy simple, basta aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora reposa en diferentes puntos del espacio, lo que, en realidad, es movimiento. Hay otro punto a señalar aquí. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos, pero no se pueden usar para determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no puede determinar el hecho del movimiento a partir de ellas (naturalmente, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). en que me quiero enfocar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades de exploración.
miércoles, 4 de julio de 2018
Muy bien, las diferencias entre set y multiset se describen en Wikipedia. Miramos.
Como puede ver, "el conjunto no puede tener dos elementos idénticos", pero si hay elementos idénticos en el conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Lógica similar del absurdo seres sensibles nunca entiende. Este es el nivel de los loros que hablan y los monos entrenados, en los que la mente está ausente de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como formadores ordinarios, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente durante las pruebas del puente. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
Por mucho que los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjate, estoy en la casa", o más bien "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien las matemáticas y ahora estamos sentados en la caja, pagando salarios. Aquí un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos la cantidad total y la colocamos en nuestra mesa en diferentes montones, en los que ponemos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su "conjunto de salarios matemáticos". Le explicamos las matemáticas de que recibirá el resto de billetes sólo cuando demuestre que el conjunto sin elementos idénticos no es igual al conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde la diversión comienza.
En primer lugar, la lógica de los diputados funcionará: "¡puedes aplicarlo a otros, pero no a mí!" Además, comenzarán las garantías de que en los billetes de la misma denominación existen números de billetes diferentes, por lo que no pueden considerarse elementos idénticos. Bueno, contamos el salario en monedas, no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar convulsivamente la física: diferentes monedas disponible cantidad diferente la suciedad, la estructura cristalina y la disposición atómica de cada moneda es única...
Y ahora tengo más interés Preguntar: ¿dónde está el límite más allá del cual los elementos de un conjunto múltiple se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia aquí ni siquiera está cerca.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma área de campo. El área de los campos es la misma, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si consideramos los nombres de los mismos estadios, obtenemos mucho, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un conjunto múltiple. ¿Cuánta razón? Y aquí el matemático-chamán-shuller saca un as de triunfo de la manga y comienza a hablarnos sobre un set o un multiset. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo los chamanes modernos operan con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta con responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Les mostraré, sin ningún "concebible como no un todo único" o "no concebible como un todo único".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandereta, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarlo, pero los chamanes son para eso, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario, los chamanes simplemente se extinguirán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". ella no existe No existe una fórmula en matemáticas mediante la cual puedas encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje de las matemáticas, la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo elementalmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número dado. Entonces, digamos que tenemos el número 12345. ¿Qué se necesita hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escriba el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo gráfico numérico. Esto no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen recibida en varias imágenes que contienen números separados. Cortar una imagen no es una operación matemática.
3. Convierta caracteres gráficos individuales en números. Esto no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Ahora eso es matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los "cursos de corte y costura" de los chamanes utilizados por los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde el punto de vista de las matemáticas, no importa en qué sistema numérico escribimos el número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con un número grande 12345 No quiero engañar a mi cabeza, considere el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binarios, octales, decimales y hexadecimales. No consideraremos cada paso bajo un microscopio, ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es como encontrar el área de un rectángulo en metros y centímetros te daría resultados completamente diferentes.
El cero en todos los sistemas numéricos tiene el mismo aspecto y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que . Una pregunta para los matemáticos: ¿cómo se denota en matemáticas aquello que no es un número? ¿Qué, para los matemáticos, no existe nada más que números? Para los chamanes, puedo permitir esto, pero para los científicos, no. La realidad no se trata solo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de los números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlos, entonces no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una acción matemática no depende del valor del número, la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Ay! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para estudiar la santidad indefinida de las almas al ascender al cielo! Nimbus arriba y flecha arriba. ¿Qué otro baño?
Femenino... Un halo en la parte superior y una flecha hacia abajo es masculino.
Si tiene una obra de arte de diseño de este tipo delante de sus ojos varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo por ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no considero tonta a esta chica que no sabe física. Ella solo tiene un estereotipo de arco de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. Aquí hay un ejemplo.
1A no es "menos cuatro grados" o "una a". Este es un "hombre cagando" o el número "veintiséis" en sistema hexadecimal estimación. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente el número y la letra como un símbolo gráfico.
Le permite establecer una serie de resultados característicos - propiedades del seno, coseno, tangente y cotangente. En este artículo, veremos tres propiedades principales. El primero de ellos indica los signos del seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo α, según qué cuarto de ángulo coordenado sea α. A continuación, consideramos la propiedad de periodicidad, que establece la invariancia de los valores del seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo α cuando este ángulo cambia en un número entero de revoluciones. La tercera propiedad expresa la relación entre los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de los ángulos opuestos α y −α.
Si está interesado en las propiedades de las funciones de seno, coseno, tangente y cotangente, puede estudiarlas en la sección correspondiente del artículo.
Navegación de página.
Signos de seno, coseno, tangente y cotangente en cuartos
A continuación en este párrafo se encontrará la frase "ángulo I, II, III y IV del cuarto coordenado". Vamos a explicar qué son estos rincones.
Tomemos un círculo unitario, marquemos en él el punto inicial A(1, 0) y lo rotemos alrededor del punto O en un ángulo α, mientras asumimos que llegamos al punto A 1 (x, y) .
Ellos dijeron eso el ángulo α es el ángulo I , II , III , IV del cuarto de coordenadas si el punto A 1 se encuentra en los trimestres I, II, III, IV, respectivamente; si el ángulo α es tal que el punto A 1 se encuentra en cualquiera de las líneas de coordenadas Ox u Oy , entonces este ángulo no pertenece a ninguno de los cuatro cuartos.
Para mayor claridad, presentamos una ilustración gráfica. Los dibujos a continuación muestran ángulos de rotación de 30, -210, 585 y -45 grados, que son los ángulos I, II, III y IV de los cuartos de coordenadas, respectivamente.
esquinas 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grados no pertenecen a ninguno de los cuartos de coordenadas.
Ahora averigüemos qué signos tienen los valores de seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación α, dependiendo de qué cuarto de ángulo es α.
Para seno y coseno, esto es fácil de hacer.
Por definición, el seno del ángulo α es la ordenada del punto A 1 . Es obvio que en los cuartos de coordenadas I y II es positivo, y en los cuartos III y IV es negativo. Así, el seno del ángulo α tiene signo más en los cuartos I y II, y signo menos en los cuartos III y VI.
A su vez, el coseno del ángulo α es la abscisa del punto A 1 . En los trimestres I y IV es positivo, y en los trimestres II y III es negativo. Por lo tanto, los valores del coseno del ángulo α en los cuartos I y IV son positivos, y en los cuartos II y III son negativos.
Para determinar los signos por cuartos de tangente y cotangente, debe recordar sus definiciones: tangente es la relación entre la ordenada del punto A 1 y la abscisa, y cotangente es la relación entre la abscisa del punto A 1 y la ordenada. entonces desde reglas de división de números con signos iguales y diferentes, se sigue que la tangente y la cotangente tienen signo más cuando los signos de abscisa y ordenada del punto A 1 son iguales, y tienen signo menos cuando los signos de abscisa y ordenada del punto A 1 son diferentes. Por lo tanto, la tangente y la cotangente del ángulo tienen un signo + en los cuartos de coordenadas I y III, y un signo menos en los cuartos II y IV.
En efecto, por ejemplo, en el primer cuarto, tanto la abscisa x como la ordenada y del punto A 1 son positivas, entonces tanto el cociente x/y como el cociente y/x son positivos, por lo tanto, la tangente y la cotangente tienen signos + . Y en el segundo cuarto de la abscisa, x es negativa, y la ordenada y es positiva, por lo que tanto x / y como y / x son negativas, por lo que la tangente y la cotangente tienen un signo menos.
Pasemos a la siguiente propiedad de seno, coseno, tangente y cotangente.
Propiedad de periodicidad
Ahora analizaremos, quizás, la propiedad más obvia del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo. Consiste en lo siguiente: cuando el ángulo cambia en un número entero de vueltas completas, los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de este ángulo no cambian.
Esto es comprensible: cuando el ángulo cambia en un número entero de revoluciones, siempre llegaremos del punto inicial A al punto A 1 en el círculo unitario, por lo tanto, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente permanecen sin cambios, ya que las coordenadas del punto A 1 no cambian.
Usando fórmulas, la propiedad considerada de seno, coseno, tangente y cotangente se puede escribir de la siguiente manera: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , donde α es el ángulo de rotación en radianes, z es cualquier , cuyo valor absoluto indica el número de revoluciones completas por las que cambia el ángulo α, y el signo de el número z indica la dirección de giro.
Si el ángulo de rotación α se expresa en grados, estas fórmulas se reescribirán como sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .
Pongamos ejemplos del uso de esta propiedad. Por ejemplo, 
, como 
, un 
. Aquí hay otro ejemplo: o .
Esta propiedad, junto con las fórmulas de reducción, se usa con mucha frecuencia al calcular los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos "grandes".
La propiedad considerada de seno, coseno, tangente y cotangente a veces se denomina propiedad de periodicidad.
Propiedades de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos
Sea А 1 el punto obtenido como resultado de la rotación del punto inicial А(1, 0) alrededor del punto O por el ángulo α , y el punto А 2 es el resultado de la rotación del punto А por el ángulo −α opuesto al ángulo α .
La propiedad de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos se basa en un hecho bastante obvio: los puntos A 1 y A 2 mencionados anteriormente o coinciden (en) o están ubicados simétricamente alrededor del eje Ox. Es decir, si el punto A 1 tiene coordenadas (x, y) , entonces el punto A 2 tendrá coordenadas (x, −y) . A partir de aquí, según las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente, anotamos las igualdades y.
Comparándolos llegamos a relaciones entre senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos α y −α de la forma .
Esta es la propiedad considerada en forma de fórmulas.
Pongamos ejemplos del uso de esta propiedad. Por ejemplo, las igualdades y 
.
Solo queda señalar que la propiedad de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos, como la propiedad anterior, se usa a menudo al calcular los valores de seno, coseno, tangente y cotangente, y le permite escapar por completo desde ángulos negativos.
Bibliografía.
- Álgebra: proc. para 9 celdas. promedio escuela / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Ilustración, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Álgebra y el inicio del análisis: Proc. para 10-11 celdas. educación general instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn y otros; ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
- Bashmakov M. I.Álgebra y el comienzo del análisis: Proc. para 10-11 celdas. promedio colegio - 3ra ed. - M.: Ilustración, 1993. - 351 p.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas): Proc. subsidio.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., il.
Diverso. Algunos de ellos tratan sobre en qué cuartos el coseno es positivo y negativo, en qué cuartos el seno es positivo y negativo. Todo resulta ser simple si sabe cómo calcular el valor de estas funciones en diferentes ángulos y está familiarizado con el principio de representar funciones en un gráfico.
¿Cuáles son los valores del coseno?
Si consideramos entonces tenemos la siguiente relación de aspecto, que lo determina: el coseno del ángulo un es la razón del cateto adyacente BC a la hipotenusa AB (Fig. 1): cos un= BC/AB.
Usando el mismo triángulo, puedes encontrar el seno del ángulo, la tangente y la cotangente. El seno será la razón del ángulo del cateto opuesto AC a la hipotenusa AB. La tangente de un ángulo se encuentra si el seno del ángulo buscado se divide por el coseno del mismo ángulo; sustituyendo las fórmulas correspondientes para encontrar el seno y el coseno, obtenemos que tg un\u003d CA / BC. La cotangente, como función inversa a la tangente, se hallará así: ctg un= BC/AC.
Es decir, para los mismos valores del ángulo, se encontró que en un triángulo rectángulo la relación de aspecto es siempre la misma. Parecería que quedó claro de dónde provienen estos valores, pero ¿por qué se obtienen números negativos?
Para hacer esto, debe considerar el triángulo en el sistema de coordenadas cartesianas, donde hay valores tanto positivos como negativos.
Claramente sobre los cuartos, ¿dónde está cuál?
¿Qué son las coordenadas cartesianas? Si hablamos de espacio bidimensional, tenemos dos líneas dirigidas que se cruzan en el punto O: este es el eje de abscisas (Ox) y el eje de ordenadas (Oy). Desde el punto O en la dirección de la línea recta son números positivos, y en reverso- negativo. En última instancia, depende directamente de esto en qué cuartos el coseno es positivo y en cuáles, respectivamente, es negativo.
Primer cuarto
Si se coloca triángulo rectángulo en el primer cuarto (de 0 o a 90 o), donde los ejes x e y tienen valores positivos(los segmentos AO y VO se encuentran en los ejes donde los valores tienen un signo "+"), entonces tanto el seno como el coseno también tendrán valores positivos, y se les asigna un valor con un signo más. Pero, ¿qué pasa si mueves el triángulo al segundo cuarto (de 90° a 180°)?
Segundo cuarto
Vemos que a lo largo del eje y, la pierna AO recibió significado negativo. Coseno de un ángulo un ahora tiene este lado en relación con el menos, y por lo tanto su valor final se vuelve negativo. Resulta que en qué cuarto el coseno es positivo depende de la ubicación del triángulo en el sistema de coordenadas cartesianas. Y en este caso, el coseno del ángulo obtiene un valor negativo. Pero para el seno, nada ha cambiado, porque para determinar su signo, se necesita el lado del OB, que quedó en este caso con un signo más. Resumamos los dos primeros trimestres.
Para saber en qué cuartos el coseno es positivo y en cuáles negativo (así como el seno y otras funciones trigonométricas), es necesario fijarse en qué signo se le asigna a uno u otro cateto. Para el coseno de un ángulo un la pierna AO es importante, para el seno - OB.
El primer cuarto se ha convertido hasta ahora en el único que responde a la pregunta: "¿En qué cuartos el seno y el coseno son positivos al mismo tiempo?". Veamos además si habrá más coincidencias en el signo de estas dos funciones.
En el segundo cuarto, la pierna AO comenzó a tener un valor negativo, lo que significa que el coseno se volvió negativo. Se almacena un valor positivo para el seno.
tercer cuarto
Ahora ambos lados AO y OB se han vuelto negativos. Recuerda las razones para coseno y seno:
Porque a \u003d AO / AB;
Sin a \u003d BO / AB.
AB siempre tiene signo positivo en un sistema de coordenadas dado, ya que no está dirigido a ninguno de los dos lados definidos por los ejes. Pero las piernas se han vuelto negativas, lo que significa que el resultado de ambas funciones también es negativo, porque si realiza operaciones de multiplicación o división con números, entre los cuales uno y solo uno tiene un signo menos, entonces el resultado también será con este signo .
Resultado en esta etapa:
1) ¿En qué cuarto el coseno es positivo? En el primero de tres.
2) ¿En qué cuarto es positivo el seno? En el primero y segundo de tres.
Cuarto trimestre (de 270 o a 360 o)
Aquí, el lado AO vuelve a adquirir el signo más y, por lo tanto, también el coseno.
Para el seno, las cosas siguen siendo "negativas", porque el tramo OB permaneció por debajo del punto de partida O.
recomendaciones
Para comprender en qué cuartos el coseno es positivo, negativo, etc., debe recordar la proporción para calcular el coseno: el cateto adyacente al ángulo, dividido por la hipotenusa. Algunos maestros sugieren recordar esto: k (osine) \u003d (k) esquina. Si recuerdas este "truco", automáticamente entiendes que el seno es la relación del opuesto al ángulo del cateto a la hipotenusa.
Recordar en qué cuartos el coseno es positivo y cuál es negativo es bastante difícil. Hay muchas funciones trigonométricas, y todas tienen sus propios valores. Pero aún así, como resultado: valores positivos para el seno: 1, 2 cuartos (de 0 o a 180 o); para el coseno 1, 4 cuartos (de 0 o a 90 o y de 270 o a 360 o). En los cuartos restantes, las funciones tienen valores con un menos.
Tal vez sea más fácil para alguien recordar dónde está qué signo, según la imagen de la función.
Para el seno, se puede ver que de cero a 180 o la cresta está por encima de la línea de valores de sen (x), lo que significa que la función es positiva aquí. Para el coseno es lo mismo: en que cuarto el coseno es positivo (foto 7), y en cual es negativo, se puede ver moviendo la línea arriba y abajo del eje del coseno (x). Como resultado, podemos recordar dos formas de determinar el signo de las funciones seno, coseno:
1. En un círculo imaginario con un radio igual a uno (aunque, de hecho, no importa cuál sea el radio del círculo, pero los libros de texto suelen dar ese ejemplo; esto hace que sea más fácil de percibir, pero al mismo tiempo al mismo tiempo, si no especifica que esto no importa, los niños pueden confundirse).
2. Según la imagen de la dependencia de la función en (x) en el argumento x mismo, como en la última figura.
Usando el primer método, puede COMPRENDER de qué depende exactamente el signo, y lo explicamos en detalle anteriormente. La Figura 7, construida sobre estos datos, visualiza la función resultante y su signo de pertenencia de la mejor manera posible.
Este artículo cubrirá tres propiedades principales funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente y cotangente.
La primera propiedad es el signo de la función, dependiendo de a qué cuarto del círculo unitario pertenece el ángulo α. La segunda propiedad es la periodicidad. De acuerdo con esta propiedad, la función tigonométrica no cambia su valor cuando el ángulo cambia en un número entero de revoluciones. La tercera propiedad determina cómo cambian los valores de las funciones sen, cos, tg, ctg en ángulos opuestos α y -α.
Yandex.RTB R-A-339285-1
A menudo, en un texto matemático o en el contexto de un problema, puede encontrar la frase: "el ángulo del primer, segundo, tercer o cuarto cuarto de coordenadas". ¿Lo que es?
Veamos el círculo unitario. Se divide en cuatro cuartos. Marcamos el punto inicial A 0 (1, 0) en el círculo y, girándolo alrededor del punto O en un ángulo α, llegamos al punto A 1 (x, y) . Dependiendo de en qué cuarto estará el punto A 1 (x, y), el ángulo α se llamará el ángulo del primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, respectivamente.
Para mayor claridad, damos una ilustración.
El ángulo α = 30° se encuentra en el primer cuadrante. Ángulo: 210° es el segundo cuarto de ángulo. El ángulo 585° es el ángulo del tercer cuarto. Ángulo - 45° es el ángulo del cuarto cuarto.
En este caso, los ángulos ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° no pertenecen a ningún cuarto, ya que se encuentran en los ejes de coordenadas.
Ahora considere los signos que toman seno, coseno, tangente y cotangente, según en qué cuarto se encuentre el ángulo.
Para determinar los signos del seno en cuartos, recuerda la definición. El seno es la ordenada del punto A 1 (x , y) . La figura muestra que en el primer y segundo trimestre es positivo, y en el tercero y cuádruple es negativo.
El coseno es la abscisa del punto A 1 (x, y) . De acuerdo con esto, determinamos los signos del coseno en el círculo. El coseno es positivo en el primer y cuarto trimestre y negativo en el segundo y tercer trimestre.
Para determinar los signos de la tangente y la cotangente por cuartos, también recordamos las definiciones de estas funciones trigonométricas. Tangente - la razón de la ordenada del punto a la abscisa. Esto significa que de acuerdo con la regla para dividir números con signos diferentes, cuando la ordenada y la abscisa tienen el mismo signo, el signo de la tangente en el círculo será positivo, y cuando la ordenada y la abscisa tienen el mismo signo. diferentes signos- negativo. De igual forma se determinan los signos de la cotangente en cuartos.
Importante recordar!
- El seno del ángulo α tiene un signo más en el 1.° y 2.° trimestre, un signo menos en el 3.° y 4.° trimestre.
- El coseno del ángulo α tiene un signo más en los cuartos 1 y 4, un signo menos en los cuartos 2 y 3.
- La tangente del ángulo α tiene un signo más en los cuartos 1 y 3, un signo menos en los cuartos 2 y 4.
- La cotangente del ángulo α tiene un signo más en los cuartos 1 y 3, un signo menos en los cuartos 2 y 4.
Propiedad de periodicidad
La propiedad de periodicidad es una de las propiedades más obvias de las funciones trigonométricas.
Propiedad de periodicidad
Cuando el ángulo cambia en un número entero de revoluciones completas, los valores del seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo dado permanecen sin cambios.
En efecto, al cambiar el ángulo por un número entero de revoluciones, siempre llegaremos desde el punto inicial A en el círculo unitario al punto A 1 con las mismas coordenadas. En consecuencia, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente no cambiarán.
Matemáticamente propiedad dada se escribe asi:
sen α + 2 π z = sen α cos α + 2 π z = cos α t gramo α + 2 π z = t gramo α c t gramo α + 2 π z = c t gramo α
¿Cuál es la aplicación práctica de esta propiedad? La propiedad de periodicidad, al igual que las fórmulas de reducción, se usa a menudo para calcular los valores de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos grandes.
Demos ejemplos.
sen 13 π 5 \u003d sen 3 π 5 + 2 π \u003d sen 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Veamos de nuevo el círculo unitario.
El punto A 1 (x, y) es el resultado de girar el punto inicial A 0 (1, 0) alrededor del centro del círculo en un ángulo α. El punto A 2 (x, - y) es el resultado de girar el punto inicial en un ángulo - α.
Los puntos A 1 y A 2 son simétricos con respecto al eje x. En el caso de que α = 0°, ± 180°, ± 360° los puntos A 1 y A 2 coinciden. Deje que un punto tenga coordenadas (x , y) , y el segundo - (x , - y) . Recuerda las definiciones de seno, coseno, tangente, cotangente y escribe:
sen α = y , cos α = x , t gramo α = y x , c t gramo α = x y sen - α = - y , cos - α = x , t gramo - α = - y x , c t gramo - α = x - y
Esto implica la propiedad de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos.
Propiedad de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos
sen - α = - sen α cos - α = cos α t gramo - α = - t gramo α c t gramo - α = - c t gramo α
De acuerdo con esta propiedad, las igualdades
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t gramo π 9 = - c t gramo - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
La propiedad considerada se usa a menudo para resolver problemas prácticos en los casos en que es necesario deshacerse de los signos negativos de los ángulos en los argumentos de las funciones trigonométricas.
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
Contar ángulos en un círculo trigonométrico.
¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")
Es casi lo mismo que en la lección anterior. Hay hachas, un círculo, un ángulo, todo es chin-china. Números agregados de cuartos (en las esquinas de un cuadrado grande), desde el primero hasta el cuarto. Y entonces, de repente, ¿quién no lo sabe? Como puedes ver, los cuartos (también se les llama hermosa palabra"cuadrantes") están numerados contra el movimiento agujas del reloj. Se agregaron valores de ángulo en los ejes. Todo está claro, sin lujos.
Y agregó una flecha verde. Con un plus. ¿Qué quiere decir ella? Déjame recordarte que el lado fijo de la esquina siempre clavado al eje positivo OH. Entonces, si giramos el lado móvil de la esquina más flecha, es decir. en cuartos ascendentes, el ángulo se considerará positivo. Por ejemplo, la imagen muestra un ángulo positivo de +60°.
Si posponemos las esquinas en sentido contrario, en el sentido de las agujas del reloj, el ángulo se considerará negativo. Pase el cursor sobre la imagen (o toque la imagen en la tableta), verá una flecha azul con un signo menos. Esta es la dirección de la lectura negativa de los ángulos. Un ángulo negativo (-60°) se muestra como ejemplo. Y también verás como han cambiado los números de los ejes... También los traduje a ángulos negativos. La numeración de los cuadrantes no cambia.
Aquí, por lo general, comienzan los primeros malentendidos. ¿¡Cómo es eso!? ¿¡Y si el ángulo negativo en el círculo coincide con el positivo!? Y, en general, resulta que la misma posición del lado móvil (o un punto en el círculo numérico) puede llamarse tanto ángulo negativo como positivo.
Sí. Exactamente. Digamos que un ángulo positivo de 90 grados toma un círculo exactamente lo mismo posición como un ángulo negativo de menos 270 grados. Un ángulo positivo, por ejemplo +110° grados, toma exactamente lo mismo posición ya que el ángulo negativo es -250°.
No hay problema. Todo es correcto.) La elección de un cálculo positivo o negativo del ángulo depende de la condición de la asignación. Si la condición no dice nada Texto sin formato sobre el signo del ángulo, (como "determinar el menor positivoángulo", etc.), luego trabajamos con valores que nos convengan.
Una excepción (¡¿y cómo sin ellas?!) son las desigualdades trigonométricas, pero ahí dominaremos este truco.
Y ahora una pregunta para ti. ¿Cómo sé que la posición del ángulo de 110° es la misma que la posición del ángulo de -250°?
Insinuaré que esto se debe a la rotación completa. En 360°... ¿No está claro? Luego dibujamos un círculo. Dibujamos en papel. marcando la esquina acerca de 110°. Y creer cuanto queda hasta una vuelta completa. Solo quedan 250°...
¿Entiendo? Y ahora, ¡atención! Si los ángulos 110° y -250° ocupan el círculo mismo
posición, ¿entonces qué? Sí, el hecho de que los ángulos sean de 110° y -250° exactamente lo mismo
seno, coseno, tangente y cotangente!
Aquellas. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) y así sucesivamente. ¡Ahora esto es realmente importante! Y en sí mismo, hay muchas tareas en las que es necesario simplificar expresiones y como base para el desarrollo posterior de fórmulas de reducción y otras complejidades de la trigonometría.
Por supuesto, tomé 110 ° y -250 ° al azar, puramente por ejemplo. Todas estas igualdades funcionan para cualquier ángulo que ocupe la misma posición en el círculo. 60° y -300°, -75° y 285°, y así sucesivamente. Noto de inmediato que las esquinas en estas parejas: varios. Pero tienen funciones trigonométricas - lo mismo.
Creo que entiendes lo que son los ángulos negativos. Es bastante simple. En sentido contrario a las agujas del reloj es un conteo positivo. En el camino, es negativo. Considere el ángulo positivo o negativo depende de nosotros. De nuestro deseo. Bueno, y más de la tarea, claro… Espero que entiendas cómo moverte en funciones trigonométricas de ángulos negativos a positivos y viceversa. Dibuje un círculo, un ángulo aproximado y vea cuánto falta antes de una vuelta completa, es decir. hasta 360°.
Ángulos mayores de 360°.
Tratemos con ángulos que son mayores a 360°. ¿Y esas cosas pasan? Los hay, por supuesto. ¿Cómo dibujarlos en un círculo? ¡No es un problema! Supongamos que necesitamos entender en qué cuarto caerá un ángulo de 1000 °. ¡Fácilmente! Damos una vuelta completa en sentido antihorario (¡el ángulo nos fue dado positivo!). Rebobinar 360°. Bueno, ¡sigamos adelante! Otro giro: ya ha resultado 720 °. ¿Cuanto queda? 280°. No es suficiente para un giro completo ... Pero el ángulo es de más de 270 °, y este es el límite entre el tercer y cuarto cuarto. Entonces nuestro ángulo de 1000° cae en el cuarto cuarto. Todo.
Como puedes ver, es bastante simple. Permítanme recordarles una vez más que el ángulo de 1000° y el ángulo de 280°, que obtuvimos al descartar las vueltas completas "extra", son, estrictamente hablando, varios esquinas Pero las funciones trigonométricas de estos ángulos exactamente lo mismo! Aquellas. sen1000° = sen280°, cos1000° = cos280° etc. Si yo fuera un seno, no notaría la diferencia entre estos dos ángulos...
¿Por qué es necesario todo esto? ¿Por qué necesitamos trasladar ángulos de uno a otro? Sí, todo por lo mismo.) Para simplificar expresiones. La simplificación de expresiones, de hecho, es la tarea principal de las matemáticas escolares. Bueno, en el camino, la cabeza está entrenando).
Bueno, ¿practicamos?)
Respondemos preguntas. Sencillo al principio.
1. ¿En qué cuarto cae el ángulo -325°?
2. ¿En qué cuarto cae el ángulo de 3000°?
3. ¿En qué cuarto cae el ángulo -3000°?
¿Hay un problema? ¿O la inseguridad? Pasamos a la Sección 555, Trabajo práctico con un círculo trigonométrico. Allí, en la primera lección de este mismo " trabajo practico..." todo está detallado ... En tal preguntas de incertidumbre ¡no debería!
4. ¿Cuál es el signo de sin555°?
5. ¿Cuál es el signo de tg555°?
¿Determinado? ¡Bien! ¿Duda? Es necesario la Sección 555 ... Por cierto, allí aprenderá a dibujar tangentes y cotangentes en un círculo trigonométrico. Una cosa muy útil.
Y ahora las preguntas más inteligentes.
6. Lleve la expresión sin777° al seno del ángulo positivo más pequeño.
7. Lleva la expresión cos777° al coseno del ángulo negativo más grande.
8. Convierte la expresión cos(-777°) al coseno del ángulo positivo más pequeño.
9. Lleva la expresión sin777° al seno del ángulo negativo más grande.
¿Qué, las preguntas 6-9 desconcertadas? Acostúmbrate, no hay tales formulaciones en el examen ... Que así sea, lo traduciré. ¡Solo para ti!
Las palabras "reducir la expresión a..." significan transformar la expresión para que su valor no ha cambiado un apariencia cambiado de acuerdo con la tarea. Entonces, en las tareas 6 y 9, debemos obtener un seno, dentro del cual está el ángulo positivo más pequeño. Todo lo demás no importa.
Daré las respuestas en orden (en violación de nuestras reglas). Pero qué hacer, solo hay dos signos y solo cuatro cuartos ... No se dispersará en las opciones.
6. sen57°.
7.cos(-57°).
8.cos57°.
9.-pecado(-57°)
Supongo que las respuestas a las preguntas 6-9 confundieron a algunas personas. Especialmente -pecado(-57°), ¿verdad?) De hecho, en las reglas elementales para contar ángulos hay lugar para errores ... Es por eso que tuve que hacer una lección: "¿Cómo determinar los signos de funciones y dar ángulos en un círculo trigonométrico?" En la Sección 555. Allí se resuelven las tareas 4 - 9. Bien ordenado, con todas las trampas. Y están aquí.)
En la próxima lección, trataremos los misteriosos radianes y el número "Pi". Aprende cómo convertir fácil y correctamente grados a radianes y viceversa. Y nos sorprenderá encontrar que esta información elemental en el sitio ya basta para resolver algunos acertijos de trigonometría no estándar!
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.