fracciones

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material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

Las fracciones en la secundaria no son muy molestas. Siendo por el momento. Hasta que te encuentras con exponentes con exponentes racionales y logaritmos. Y ahí…. Presionas, presionas la calculadora, y te muestra todo el marcador completo de algunos números. Tienes que pensar con la cabeza, como en tercer grado.

¡Tratemos con las fracciones, finalmente! Bueno, ¿¡cuánto puedes confundirte con ellos!? Además, todo es simple y lógico. Asi que, ¿Qué son las fracciones?

Tipos de fracciones. Transformaciones.

Las fracciones suceden tres tipos.

1. fracciones comunes , Por ejemplo:

A veces, en lugar de una línea horizontal, ponen una barra oblicua: 1/2, 3/4, 19/5, bueno, etc. Aquí usaremos a menudo esta ortografía. El número de arriba se llama numerador, más bajo - denominador. Si constantemente confunde estos nombres (sucede ...), dígase la frase con la expresión: " Zzzzz¡recordar! Zzzzz denominador - fuera zzzz u!" Mira, todo será recordado.)

Un guión, que es horizontal, que es oblicuo, significa división número de arriba (numerador) al número de abajo (denominador). ¡Y eso es! En lugar de un guión, es muy posible colocar un signo de división: dos puntos.

Cuando la división es posible por completo, debe hacerse. Entonces, en lugar de la fracción "32/8", es mucho más agradable escribir el número "4". Aquellas. 32 se divide simplemente por 8.

32/8 = 32: 8 = 4

No estoy hablando de la fracción "4/1". Que también es solo "4". Y si no se divide por completo, lo dejamos como una fracción. A veces hay que hacer lo contrario. Hacer una fracción de un número entero. Pero más sobre eso más adelante.

2. decimales , Por ejemplo:

Es de esta forma que será necesario anotar las respuestas a las tareas "B".

3. Numeros mezclados , Por ejemplo:

Los números mixtos prácticamente no se usan en la escuela secundaria. Para poder trabajar con ellos, deben convertirse a fracciones ordinarias. ¡Pero definitivamente necesitas saber cómo hacerlo! Y luego, ese número aparecerá en el rompecabezas y colgará ... Desde cero. ¡Pero recordamos este procedimiento! Un poco más bajo.

Más versátil fracciones comunes. Comencemos con ellos. Por cierto, si hay todo tipo de logaritmos, senos y otras letras en la fracción, esto no cambia nada. En el sentido de que todo las acciones con expresiones fraccionarias no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias!

Propiedad básica de una fracción.

¡Entonces vamos! En primer lugar, te sorprenderé. ¡Toda la variedad de transformaciones de fracciones es proporcionada por una sola propiedad! así se llama propiedad básica de una fracción. Recordar: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, la fracción no cambiará. Aquellas:

Está claro que puedes escribir más, hasta que estés azul en la cara. No dejes que los senos y los logaritmos te confundan, los trataremos más adelante. Lo principal que hay que entender es que todas estas diversas expresiones son la misma fracción . 2/3.

¿Y lo necesitamos, todas estas transformaciones? ¡Y cómo! Ahora lo verás por ti mismo. Primero, usemos la propiedad básica de una fracción para abreviaturas de fracciones. Parecería que la cosa es elemental. Dividimos el numerador y el denominador por el mismo número y ¡listo! ¡Es imposible equivocarse! Pero... el hombre es un ser creativo. ¡Puedes cometer errores en todas partes! Especialmente si tiene que reducir no una fracción como 5/10, sino una expresión fraccionaria con todo tipo de letras.

Puede encontrar cómo reducir fracciones de manera correcta y rápida sin hacer un trabajo innecesario en la Sección especial 555.

¡Un estudiante normal no se molesta en dividir el numerador y el denominador por el mismo número (o expresión)! ¡Simplemente tacha todo lo mismo desde arriba y desde abajo! Aquí es donde se esconde error tipico, disparate si quieres.

Por ejemplo, necesitas simplificar la expresión:

¡No hay nada que pensar, tachamos la letra "a" de arriba y el dos de abajo! Obtenemos:

Todo es correcto. Pero realmente compartiste El conjunto numerador y El conjunto denominador "a". Si está acostumbrado a simplemente tachar, entonces, rápidamente, puede tachar la "a" en la expresión

y obtener de nuevo

Lo cual sería categóricamente incorrecto. porque aquí El conjunto numerador en "a" ya no compartido! Esta fracción no se puede reducir. Por cierto, tal abreviatura es, um... un serio desafío para el maestro. ¡Esto no se perdona! ¿Recordar? Al reducir, es necesario dividir El conjunto numerador y El conjunto ¡denominador!

Reducir fracciones hace la vida mucho más fácil. Obtendrá una fracción en alguna parte, por ejemplo 375/1000. ¿Y cómo trabajar con ella ahora? ¿Sin calculadora? ¿¡Multiplicar, decir, sumar, cuadrar!? Y si no eres demasiado perezoso, pero reduce con cuidado en cinco, e incluso en cinco, e incluso ... mientras se reduce, en resumen. ¡Obtenemos 3/8! Mucho más agradable, ¿verdad?

La propiedad básica de una fracción le permite convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa sin calculadora! Esto es importante para el examen, ¿verdad?

Cómo convertir fracciones de una forma a otra.

Es fácil con decimales. ¡Como se oye, así se escribe! Digamos 0,25. Es punto cero, veinticinco centésimas. Entonces escribimos: 25/100. Reducimos (dividemos el numerador y el denominador por 25), obtenemos la fracción habitual: 1/4. Todo. Sucede, y nada se reduce. Como 0.3. Esto es tres décimas, es decir, 3/10.

¿Qué pasa si los números enteros son distintos de cero? Está bien. Escribe la fracción entera sin comas en el numerador y en el denominador, lo que se escucha. Por ejemplo: 3.17. Esto es tres enteros, diecisiete centésimas. En el numerador escribimos 317 y en el denominador 100. Obtenemos 317/100. Nada se reduce, eso significa todo. Esta es la respuesta. ¡Watson elemental! De todo lo anterior, una conclusión útil: cualquier fracción decimal se puede convertir en una fracción común .

Pero la conversión inversa, ordinaria a decimal, algunos no pueden prescindir de una calculadora. ¡Pero debes hacerlo! ¿¡Cómo vas a escribir la respuesta en el examen!? Leemos cuidadosamente y dominamos este proceso.

¿Qué es una fracción decimal? ella tiene en el denominador siempre vale 10 o 100 o 1000 o 10000 y así sucesivamente. Si tu fracción habitual tiene ese denominador, no hay problema. Por ejemplo, 4/10 = 0,4. O 7/100 = 0,07. O 12/10 = 1,2. ¿Y si en la respuesta a la tarea de la sección "B" resultó 1/2? ¿Qué escribiremos en respuesta? Se requieren decimales...

Recordamos propiedad básica de una fracción ! Las matemáticas te permiten multiplicar favorablemente el numerador y el denominador por el mismo número. Para cualquiera, por cierto! Excepto cero, por supuesto. ¡Usemos esta función a nuestro favor! ¿Por qué se puede multiplicar el denominador, es decir, 2 para que se convierta en 10, o 100, o 1000 (más pequeño es mejor, por supuesto...)? 5, obviamente. Siéntete libre de multiplicar el denominador (esto es a nosotros necesario) por 5. Pero, entonces el numerador también debe ser multiplicado por 5. Esto ya es matemáticas¡demandas! Obtenemos 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5. Eso es todo.

Sin embargo, todo tipo de denominadores aparecen. Por ejemplo, la fracción 3/16 caerá. Pruébelo, descubra por qué multiplicar 16 para obtener 100 o 1000... ¿No funciona? Entonces simplemente puedes dividir 3 entre 16. A falta de una calculadora, tendrás que dividir en una esquina, en una hoja de papel, como enseñaban en los grados de primaria. Obtenemos 0.1875.

Y hay algunos denominadores muy malos. Por ejemplo, la fracción 1/3 no se puede convertir en un buen decimal. Tanto en una calculadora como en una hoja de papel, obtenemos 0.3333333... Esto significa que 1/3 en una fracción decimal exacta no traduce. Al igual que 1/7, 5/6 y así sucesivamente. Muchos de ellos son intraducibles. De ahí otra conclusión útil. No todas las fracciones comunes se convierten en decimales. !

Por cierto, esto informacion util para autodiagnóstico. En la sección "B" en respuesta, debe escribir una fracción decimal. Y tienes, por ejemplo, 4/3. Esta fracción no se convierte a decimal. ¡Esto significa que en algún momento cometiste un error! Vuelve, comprueba la solución.

Entonces, con las fracciones ordinarias y decimales resueltas. Queda por tratar con números mixtos. Para trabajar con ellos, todos deben convertirse a fracciones ordinarias. ¿Cómo hacerlo? Puedes atrapar a un alumno de sexto grado y preguntarle. Pero no siempre habrá un alumno de sexto grado a la mano ... Tendremos que hacerlo nosotros mismos. No es dificil. Multiplica el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y suma el numerador de la parte fraccionaria. Este será el numerador de una fracción común. ¿Qué pasa con el denominador? El denominador seguirá siendo el mismo. Suena complicado, pero en realidad es bastante simple. Veamos un ejemplo.

Deja en el problema que viste con horror el número:

Con calma, sin pánico, entendemos. La parte entera es 1. Uno. La parte fraccionaria es 3/7. Por tanto, el denominador de la parte fraccionaria es 7. Este denominador será el denominador de la fracción ordinaria. Contamos el numerador. Multiplicamos 7 por 1 (la parte entera) y sumamos 3 (el numerador de la parte fraccionaria). Obtenemos 10. Este será el numerador de una fracción ordinaria. Eso es todo. Parece aún más simple en notación matemática:

¿Claramente? ¡Entonces asegure su éxito! Convierte a fracciones comunes. Debería obtener 10/7, 7/2, 23/10 y 21/4.

La operación inversa, convertir una fracción impropia en un número mixto, rara vez se requiere en la escuela secundaria. Bueno, si... Y si no estás en la escuela secundaria, puedes buscar en la Sección 555 especial. En el mismo lugar, por cierto, aprenderás sobre fracciones impropias.

Bueno, casi todo. Recordaste los tipos de fracciones y entendiste como convertirlos de un tipo a otro. La pregunta sigue siendo: por qué ¿hazlo? ¿Dónde y cuándo aplicar este profundo conocimiento?

Contesto. Cualquier ejemplo en sí mismo sugiere las acciones necesarias. Si en el ejemplo se mezclan fracciones ordinarias, decimales e incluso números mixtos, traducimos todo a fracciones ordinarias. siempre se puede hacer. Bueno, si se escribe algo como 0.8 + 0.3, entonces creemos que sí, sin ninguna traducción. ¿Por qué necesitamos trabajo extra? Elegimos la solución que sea conveniente a nosotros !

Si la tarea está llena de fracciones decimales, pero um ... algún tipo de maldad, ve a las ordinarias, ¡pruébalo! Mira, todo estará bien. Por ejemplo, tienes que elevar al cuadrado el número 0,125. ¡No es tan fácil si no has perdido el hábito de la calculadora! ¡No solo necesita multiplicar los números en una columna, sino también pensar dónde insertar la coma! ¡Ciertamente no funciona en mi mente! ¿Y si vas a una fracción ordinaria?

0,125 = 125/1000. Reducimos en 5 (esto es para empezar). Obtenemos 25/200. Una vez más en 5. Obtenemos 5/40. ¡Oh, se está encogiendo! ¡De vuelta a 5! Obtenemos 1/8. Cuadre fácilmente (¡en su mente!) y obtenga 1/64. ¡Todo!

Resumamos esta lección.

1. Hay tres tipos de fracciones. Números ordinarios, decimales y mixtos.

2. Decimales y números mixtos siempre se puede convertir a fracciones comunes. Traducción inversa no siempre disponible.

3. La elección del tipo de fracciones para trabajar con la tarea depende de esta misma tarea. En la presencia de diferentes tipos fracciones en una tarea, lo más confiable es cambiar a fracciones ordinarias.

Ahora puedes practicar. Primero, convierte estas fracciones decimales a fracciones ordinarias:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Debería obtener respuestas como esta (¡en un lío!):

Sobre esto terminaremos. En esta lección, repasamos los puntos clave de las fracciones. Sucede, sin embargo, que no hay nada especial para refrescar...) Si alguien lo ha olvidado por completo, o aún no lo ha dominado... Esos pueden ir a una Sección 555 especial. Todos los conceptos básicos están detallados allí. muchos de repente entender todo están empezando. Y resuelven fracciones sobre la marcha).

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Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Sucede que, por conveniencia de los cálculos, es necesario convertir una fracción ordinaria en un decimal y viceversa. Hablaremos sobre cómo hacer esto en este artículo. Analizaremos las reglas para convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa, y también daremos ejemplos.

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Consideraremos la conversión de fracciones ordinarias a decimales, siguiendo una secuencia determinada. Primero, considere cómo las fracciones ordinarias con un denominador que es un múltiplo de 10 se convierten en decimales: 10, 100, 1000, etc. Las fracciones con tales denominadores, de hecho, son una notación más engorrosa de las fracciones decimales.

A continuación, veremos cómo convertir fracciones ordinarias en fracciones decimales con cualquier denominador, no solo un múltiplo de 10. Tenga en cuenta que al convertir fracciones ordinarias a fracciones decimales, no solo se obtienen fracciones decimales finitas, sino también fracciones decimales periódicas infinitas.

¡Empecemos!

Traducción de fracciones ordinarias con denominadores 10, 100, 1000, etc. a decimales

En primer lugar, digamos que algunas fracciones necesitan alguna preparación antes de convertirse a forma decimal. ¿Qué es? Antes del número en el numerador, es necesario agregar tantos ceros para que el número de dígitos en el numerador sea igual al número de ceros en el denominador. Por ejemplo, para la fracción 3100, el número 0 debe agregarse una vez a la izquierda de 3 en el numerador. La fracción 610, de acuerdo con la regla anterior, no necesita ser mejorada.

Considere otro ejemplo, después del cual formulamos una regla que es especialmente conveniente de usar al principio, mientras que no hay mucha experiencia en el manejo de fracciones. Entonces, la fracción 1610000 después de agregar ceros en el numerador se verá como 001510000.

Cómo traducir una fracción ordinaria con denominador 10, 100, 1000, etc. a decimal?

La regla para convertir fracciones propias ordinarias a decimales

1. Escribe 0 y pon una coma después.
2. Anotamos el número del numerador, que resultó después de agregar ceros.

Ahora pasemos a los ejemplos.

Ejemplo 1. Convertir fracciones ordinarias a decimales

Convierte la fracción común 39100 a decimal.

Primero, observamos la fracción y vemos que no se necesitan acciones preparatorias: la cantidad de dígitos en el numerador coincide con la cantidad de ceros en el denominador.

Siguiendo la regla, escribe 0, ponle un punto decimal y escribe el número del numerador. Obtenemos la fracción decimal 0, 39.

Analicemos la solución de otro ejemplo sobre este tema.

Ejemplo 2. Convertir fracciones ordinarias a decimales

Escribamos la fracción 105 10000000 como una fracción decimal.

El número de ceros en el denominador es 7 y el numerador tiene solo tres dígitos. Agreguemos 4 ceros más delante del número en el numerador:

0000105 10000000

Ahora escribimos 0, ponemos un punto decimal después y escribimos el número del numerador. Obtenemos la fracción decimal 0, 0000105.

Las fracciones consideradas en todos los ejemplos son fracciones propias ordinarias. Pero, ¿cómo convertir una fracción común impropia a un decimal? Digamos de inmediato que no hay necesidad de preparación al agregar ceros para tales fracciones. Formulemos una regla.

La regla para convertir fracciones impropias ordinarias a decimales

1. Anotamos el número que está en el numerador.
2. Con un punto decimal, separamos tantos dígitos a la derecha como ceros hay en el denominador de la fracción ordinaria original.

A continuación se muestra un ejemplo del uso de esta regla.

Ejemplo 3. Convertir fracciones ordinarias a decimales

Convirtamos la fracción 56888038009 100000 de irregular ordinaria a decimal.

Primero, escribe el número del numerador:

Ahora, a la derecha, separamos cinco dígitos con punto decimal (el número de ceros en el denominador es cinco). Obtenemos:

La siguiente pregunta que surge naturalmente es cómo convertir un número mixto en una fracción decimal si el denominador de su parte fraccionaria es el número 10, 100, 1000, etc. Para convertir a una fracción decimal de dicho número, puede usar la siguiente regla.

Regla para convertir números mixtos a decimales

1. Preparamos la parte fraccionaria del número, si es necesario.
2. Anotamos la parte entera del número original y le ponemos una coma.
3. Escribimos el número del numerador de la parte fraccionaria junto con los ceros adjuntos.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 4. Convertir números mixtos a decimales

Convierte el número mixto 23 17 10000 a decimal.

En la parte fraccionaria tenemos la expresión 17 10000. Preparémoslo y agreguemos dos ceros más a la izquierda del numerador. Obtenemos: 0017 10000 .

Ahora escribimos la parte entera del número y le ponemos una coma: 23,. .

Después de la coma, escribimos el número del numerador junto con ceros. Obtenemos el resultado:

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversión de fracciones ordinarias a fracciones periódicas finitas e infinitas

Por supuesto, puede convertir a fracciones decimales y fracciones ordinarias con un denominador que no sea igual a 10, 100, 1000, etc.

A menudo, una fracción se puede reducir fácilmente a un nuevo denominador y luego usar la regla descrita en el primer párrafo de este artículo. Por ejemplo, basta con multiplicar el numerador y el denominador de la fracción 25 por 2, y obtenemos la fracción 410, que se reduce fácilmente a la forma decimal 0,4.

Sin embargo, este método de convertir una fracción ordinaria a un decimal no siempre se puede utilizar. A continuación, consideraremos qué hacer si es imposible aplicar el método considerado.

Fundamentalmente nueva manera convertir una fracción ordinaria a un decimal se reduce a dividir el numerador por el denominador por una columna. Esta operación es muy similar a la división de números naturales por una columna, pero tiene sus propias características.

Al dividir, el numerador se representa como una fracción decimal: se coloca una coma a la derecha del último dígito del numerador y se agregan ceros. En el cociente resultante, se coloca el punto decimal cuando finaliza la división de la parte entera del numerador. Cómo funciona exactamente este método quedará claro después de considerar los ejemplos.

Ejemplo 5. Convertir fracciones ordinarias a decimales

Traduzcamos la fracción ordinaria 621 4 a forma decimal.

Representemos el número 621 del numerador como una fracción decimal, agregando algunos ceros después del punto decimal. 621 = 621 00

Ahora dividiremos la columna 621, 00 por 4. Los primeros tres pasos de división serán los mismos que cuando se dividen números naturales, y obtenemos.

Cuando llegamos al punto decimal en el dividendo y el resto no es cero, ponemos el punto decimal en el cociente y seguimos dividiendo, sin prestar más atención a la coma en el dividendo.

Como resultado, obtenemos la fracción decimal 155 , 25 , que es el resultado de la inversión de la fracción ordinaria 621 4

621 4 = 155 , 25

Considere resolver otro ejemplo para arreglar el material.

Ejemplo 6. Convertir fracciones ordinarias a decimales

Invirtamos la fracción ordinaria 21 800 .

Para hacer esto, divide la fracción 21, 000 por 800 en una columna. La división de la parte entera terminará en el primer paso, por lo que inmediatamente después ponemos un punto decimal en el cociente y continuamos la división ignorando la coma en el dividendo hasta que el resto sea igual a cero.

Como resultado, obtuvimos: 21 800 = 0,02625.

Pero, ¿qué pasa si, al dividir, nunca obtenemos un resto de 0? En tales casos, la división puede continuar indefinidamente. Sin embargo, a partir de un cierto paso, los residuos se repetirán periódicamente. En consecuencia, los números en el cociente también se repetirán. Esto significa que una fracción ordinaria se traduce en una fracción periódica infinita decimal. Ilustremos lo dicho con un ejemplo.

Ejemplo 7. Convertir fracciones ordinarias a decimales

Convirtamos la fracción ordinaria 1944 en un decimal. Para ello, realizamos la división por una columna.

Vemos que al dividir se repiten los restos 8 y 36. Al mismo tiempo, los números 1 y 8 se repiten en el cociente. Este es el período en decimal. Al escribir, estos números se toman entre paréntesis.

Así, la fracción ordinaria original se traduce en una fracción decimal periódica infinita.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Tengamos una fracción ordinaria irreducible. ¿Qué forma tomará? ¿Qué fracciones ordinarias se convierten en decimales finitos y cuáles en infinitas periódicas?

Primero, digamos que si una fracción se puede reducir a uno de los denominadores 10, 100, 1000 .., entonces se verá como una fracción decimal final. Para que una fracción se reduzca a uno de estos denominadores, su denominador debe ser divisor de al menos uno de los números 10, 100, 1000, etc. De las reglas para descomponer números en factores primos se sigue que el divisor de los números 10, 100, 1000, etc. debería, cuando se descompone en factores primos, contener solo los números 2 y 5.

Resumamos lo dicho:

1. Una fracción ordinaria se puede reducir a la forma de una fracción decimal final si su denominador se puede descomponer en factores primos de 2 y 5.
2. Si, además de los números 2 y 5, hay otros números primos en la expansión del denominador, la fracción se reduce a la forma de una fracción decimal periódica infinita.

Tomemos un ejemplo.

Ejemplo 8. Conversión de fracciones ordinarias a decimales

¿Cuál de las fracciones dadas 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 se convierte en una fracción decimal final y cuál, solo en una periódica? Daremos una respuesta a esta pregunta sin convertir directamente una fracción ordinaria en un decimal.

La fracción 47 20 , como puedes ver fácilmente, al multiplicar el numerador y el denominador por 5 se reduce a un nuevo denominador 100 .

4720 = 235100. De esto concluimos que esta fracción se traduce en una fracción decimal final.

Factorizar el denominador de la fracción 7 12 da 12 = 2 2 3 . Como el factor simple 3 es diferente de 2 y de 5, esta fracción no puede representarse como una fracción decimal finita, sino que tendrá la forma de una fracción periódica infinita.

Fracción 21 56, en primer lugar, debe reducir. Después de la reducción por 7, obtenemos una fracción irreducible 3 8 , cuya expansión del denominador en factores da 8 = 2 · 2 · 2 . Por lo tanto, es un decimal terminador.

En el caso de la fracción 31 17, la factorización del denominador es el mismo número primo 17. En consecuencia, esta fracción se puede convertir en una fracción decimal periódica infinita.

Una fracción ordinaria no se puede convertir en una fracción decimal infinita y no periódica

Arriba, solo hablamos de fracciones periódicas finitas e infinitas. Pero, ¿cualquier fracción ordinaria se puede convertir en una fracción infinita no periódica?

Respondemos: ¡no!

¡Importante!

Cuando conviertes una fracción infinita en un decimal, obtienes una fracción decimal finita o una fracción decimal periódica infinita.

El resto de una división siempre es menor que el divisor. En otras palabras, según el teorema de la divisibilidad, si dividimos algún número natural por el número q, entonces el resto de la división en ningún caso puede ser mayor que q-1. Después del final de la división, una de las siguientes situaciones es posible:

1. Obtenemos un resto de 0, y aquí es donde termina la división.
2. Obtenemos un resto, que se repite durante la subsiguiente división, como resultado tenemos una fracción periódica infinita.

No puede haber otras opciones al convertir una fracción ordinaria a un decimal. Digamos también que la longitud del período (el número de dígitos) en una fracción periódica infinita es siempre menor que el número de dígitos en el denominador de la fracción ordinaria correspondiente.

Convertir decimales a fracciones comunes

Ahora es el momento de considerar el proceso inverso de convertir una fracción decimal en una ordinaria. Formulemos una regla de traducción que incluya tres etapas. ¿Cómo convertir un decimal a una fracción común?

Regla para convertir fracciones decimales a fracciones comunes

1. En el numerador escribimos el número de la fracción decimal original, descartando la coma y todos los ceros a la izquierda, si los hay.
2. En el denominador escribimos uno y después tantos ceros como dígitos hay en la fracción decimal original después del punto decimal.
3. Si es necesario, reduce la fracción ordinaria resultante.

Considere la aplicación de esta regla con ejemplos.

Ejemplo 8. Conversión de decimales a ordinarios

Representemos el número 3, 025 como una fracción ordinaria.

1. En el numerador escribimos la propia fracción decimal, descartando la coma: 3025.
2. En el denominador escribimos uno, y después tres ceros: esa es la cantidad de dígitos que contiene la fracción original después del punto decimal: 3025 1000.
3. La fracción resultante 3025 1000 se puede reducir en 25 , como resultado obtenemos: 3025 1000 = 121 40 .

Ejemplo 9. Conversión de decimales a ordinarios

Convirtamos la fracción 0, 0017 de decimal a ordinaria.

1. En el numerador escribimos la fracción 0, 0017, descartando la coma y los ceros de la izquierda. Obtener 17 .
2. Escribimos uno en el denominador, y después escribimos cuatro ceros: 17 10000. Esta fracción es irreducible.

Si hay una parte entera en una fracción decimal, dicha fracción se puede convertir inmediatamente en un número mixto. ¿Cómo hacerlo?

Formulemos una regla más.

La regla para convertir fracciones decimales a números mixtos.

1. El número hasta el punto decimal se escribe como la parte entera del número mixto.
2. En el numerador, escribimos el número que está en la fracción después del punto decimal, descartando los ceros a la izquierda, si los hay.
3. En el denominador de la parte fraccionaria, le sumamos uno y tantos ceros como dígitos haya en la parte fraccionaria después del punto decimal.

Veamos un ejemplo

Ejemplo 10: Conversión de un decimal a un número mixto

Representemos la fracción 155, 06005 como un número mixto.

1. Escribimos el número 155 como parte entera.
2. En el numerador escribimos los números después del punto decimal, descartando el cero.
3. En el denominador escribimos uno y cinco ceros

Enseñando un número mixto: 155 6005 100000

La parte fraccionaria se puede reducir en 5 . Reducimos, y obtenemos el resultado final:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversión de decimales periódicos infinitos a fracciones comunes

Veamos ejemplos de cómo traducir fracciones decimales periódicas a fracciones ordinarias. Antes de comenzar, aclaremos: cualquier fracción decimal periódica se puede convertir en una ordinaria.

El caso más simple es el período de la fracción cero. Una fracción periódica con un período cero se reemplaza por una fracción decimal final, y el proceso de inversión de dicha fracción se reduce a invertir una fracción decimal final.

Ejemplo 11. Convertir un decimal periódico en una fracción común

Invirtamos la fracción periódica 3, 75 (0) .

Quitando los ceros a la derecha, obtenemos la fracción decimal final 3, 75.

Convirtiendo esta fracción en una ordinaria de acuerdo con el algoritmo discutido en los párrafos anteriores, obtenemos:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

¿Qué pasa si el período de una fracción es distinto de cero? La parte periódica debe considerarse como la suma de los miembros de una progresión geométrica, que es decreciente. Expliquemos esto con un ejemplo:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Existe una fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente infinita. Si el primer término de la progresión es b y el denominador de q es tal que 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Veamos algunos ejemplos usando esta fórmula.

Ejemplo 12. Convertir un decimal periódico en una fracción común

Supongamos que tenemos una fracción periódica 0, (8) y necesitamos convertirla en una ordinaria.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Aquí tenemos una progresión geométrica decreciente infinita con el primer término 0, 8 y el denominador 0, 1.

Apliquemos la fórmula:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Esta es la fracción ordinaria deseada.

Para consolidar el material, considere otro ejemplo.

Ejemplo 13. Conversión de un decimal periódico a ordinario

Invierte la fracción 0 , 43 (18) .

Primero, escribimos la fracción como una suma infinita:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Considere los términos entre paréntesis. Esta progresión geométrica se puede representar de la siguiente manera:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Agregamos la fracción resultante a la fracción final 0, 43 \u003d 43 100 y obtenemos el resultado:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Después de sumar estas fracciones y reducirlas, obtenemos la respuesta final:

0 , 43 (18) = 19 44

Al final de este artículo, diremos que las fracciones decimales infinitas no periódicas no se pueden convertir en fracciones ordinarias.

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Un número suficiente de personas se preguntan cómo convertir una fracción ordinaria en una fracción decimal. Hay varias formas. La elección de un método específico depende del tipo de fracción que necesita convertirse a otra forma, o más bien, del número en su denominador. Sin embargo, por confiabilidad, es necesario indicar que una fracción ordinaria es una fracción que se escribe con un numerador y un denominador, por ejemplo, 1/2. Más a menudo, la línea entre el numerador y el denominador se dibuja horizontalmente en lugar de oblicuamente. La fracción decimal se escribe como un número ordinario con una coma: por ejemplo, 1,25; 0,35 etc

Entonces, para convertir una fracción ordinaria a un decimal sin una calculadora, necesitas:

Presta atención al denominador de una fracción ordinaria. Si el denominador se puede multiplicar fácilmente hasta 10 por el mismo número que el numerador, entonces se debe usar este método, ya que es el más simple. Por ejemplo, la fracción ordinaria 1/2 se multiplica fácilmente en el numerador y denominador por 5, dando como resultado el número 5/10, que ya se puede escribir como fracción decimal: 0,5. Esta regla se basa en que la fracción decimal siempre tiene un número redondo en el denominador: 10, 100, 1000 y similares. Por lo tanto, si multiplica el numerador y el denominador de una fracción, entonces es necesario lograr exactamente ese número en el denominador como resultado de la multiplicación, independientemente de lo que se obtenga en el numerador.

Hay fracciones ordinarias, cuyo cálculo después de la multiplicación presenta ciertas dificultades. Por ejemplo, es bastante difícil determinar por cuánto se debe multiplicar la fracción 5/16 para obtener uno de los números anteriores en el denominador. En este caso, debe usar la división habitual, que se realiza por una columna. La respuesta debe ser una fracción decimal, que marcará el final de la operación de transferencia. En el ejemplo anterior, el resultado es un número igual a 0,3125. Si los cálculos en una columna presentan dificultades, entonces no puede prescindir de la ayuda de una calculadora.

Finalmente, hay fracciones ordinarias que no se convierten a decimales. Por ejemplo, al traducir la fracción común 4/3, el resultado es 1.33333, donde el tres se repite hasta el infinito. La calculadora tampoco se deshará de los tres repetidos. Hay varias fracciones de este tipo, solo necesitas conocerlas. La salida a la situación anterior puede ser el redondeo, si las condiciones del ejemplo o problema que se está resolviendo permiten el redondeo. Si las condiciones no lo permiten y la respuesta debe escribirse exactamente en forma de fracción decimal, entonces el ejemplo o problema se resolvió incorrectamente y debe retroceder varios pasos para encontrar el error.

Por lo tanto, convertir una fracción ordinaria en un decimal es bastante fácil, no es difícil hacer frente a esta tarea sin la ayuda de una calculadora. Parece aún más fácil traducir fracciones decimales a fracciones ordinarias realizando los pasos inversos descritos en el método 1.

Vídeo: 6to grado. Conversión de una fracción ordinaria a una fracción decimal.

Un decimal tiene dos partes separadas por comas. La primera parte es una unidad entera, la segunda parte son decenas (si el número después del punto decimal es uno), centenas (dos números después del punto decimal, como dos ceros en una centena), milésimas, etc. Veamos ejemplos de decimales: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0.5. Estos son todos decimales. ¿Cómo convertir un decimal a una fracción común?

ejemplo uno

Tenemos una fracción, por ejemplo, 0,5. Como se mencionó anteriormente, consta de dos partes. El primer número, 0, muestra cuántas unidades enteras tiene la fracción. En nuestro caso, no lo son. El segundo número muestra decenas. La fracción incluso se lee cero punto cinco décimos. Número decimal convertir a fracción ahora no será difícil, escribimos 5/10. Si ves que los números tienen un divisor común, puedes reducir la fracción. Tenemos este número 5, dividiendo ambas partes de la fracción por 5, obtenemos - 1/2.

ejemplo dos

Tomemos una fracción más compleja - 2.25. Se lee así: dos enteros y veinticinco centésimas. Preste atención: centésimas, ya que hay dos números después del punto decimal. Ahora puedes convertir a una fracción común. Anotamos - 2 25/100. La parte entera es 2, la parte fraccionaria es 25/100. Como en el primer ejemplo, esta parte se puede acortar. El divisor común de 25 y 100 es 25. Ten en cuenta que siempre elegimos el máximo común divisor. Dividiendo ambas partes de la fracción por MCD, obtuvimos 1/4. Entonces 2, 25 es 2 1/4.

ejemplo tres

Y para consolidar el material, tomemos la fracción decimal 4.112: cuatro enteros y ciento doce milésimas. Por qué milésimas, creo, está claro. Ahora anotamos 4 112/1000. Según el algoritmo, encontramos el MCD de los números 112 y 1000. En nuestro caso, este es el número 6. Obtenemos 4 14/125.

Conclusión

1. Descomponemos la fracción en partes enteras y fraccionarias.
2. Miramos cuántos dígitos después del punto decimal. Si uno es decenas, dos son centenas, tres son milésimas, etc.
3. Escribimos la fracción en la forma habitual.
4. Reducimos el numerador y el denominador de la fracción.
5. Escribe la fracción resultante.
6. Comprobación, división parte superior fracciones en la parte inferior. Si hay una parte entera, suma a la fracción decimal resultante. Resultó la versión original: genial, así que hiciste todo bien.

Usando ejemplos, mostré cómo puedes convertir una fracción decimal en una ordinaria. Como puedes ver, es muy fácil y sencillo hacer esto.

Una fracción se puede convertir en un número entero o en un decimal. Una fracción impropia, cuyo numerador es mayor que el denominador y es divisible por él sin resto, se convierte en un número entero, por ejemplo: 20/5. Divide 20 entre 5 y obtén el número 4. Si la fracción es correcta, es decir, el numerador es menor que el denominador, entonces conviértela en un número (fracción decimal). Puedes aprender más sobre fracciones en nuestra sección -.

Maneras de convertir una fracción a un número

• La primera forma de convertir una fracción en un número es adecuada para una fracción que se puede convertir en un número que es una fracción decimal. Primero, averigüemos si es posible convertir una fracción dada en una fracción decimal. Para ello, presta atención al denominador (el número que está debajo de la línea o a la derecha del oblicuo). Si el denominador se puede descomponer en factores (en nuestro ejemplo, 2 y 5), que se pueden repetir, entonces esta fracción realmente se puede convertir en una fracción decimal final. Por ejemplo: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Esta fracción común se convertirá en un número (fracción decimal) con un número finito de decimales. Pero la fracción 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) se traducirá a un número con un número infinito de lugares decimales. Es decir, cuando se calcula con precisión un valor numérico, es bastante difícil determinar el punto decimal final, ya que tales signos conjunto infinito. Por lo tanto, para resolver problemas, generalmente necesita redondear el valor a centésimas o milésimas. Además, es necesario multiplicar tanto el numerador como el denominador por un número tal que el denominador tenga los números 10, 100, 1000, etc. Por ejemplo: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• La segunda forma de convertir una fracción en un número es más simple: necesitas dividir el numerador por el denominador. Para aplicar este método, simplemente realizamos la división, y el número resultante será la fracción decimal deseada. Por ejemplo, necesitas convertir la fracción 2/15 a un número. Dividimos 2 por 15. Obtenemos 0, 1333 ... - una fracción infinita. Lo escribimos así: 0.13(3). Si la fracción es incorrecta, es decir, el numerador es mayor que el denominador (por ejemplo, 345/100), luego, como resultado de convertirlo en un número, obtienes un número entero valor numérico o un decimal con una parte fraccionaria entera. En nuestro ejemplo, será 3,45. Para convertir una fracción mixta como 3 2 / 7 en un número, primero debes convertirla en una fracción impropia: (3∙7+2)/7 =23/7. A continuación, dividimos 23 entre 7 y obtenemos el número 3,2857143, que reducimos a 3,29.

La forma más fácil de convertir una fracción en un número es usar una calculadora u otro dispositivo informático. Primero indicamos el numerador de la fracción, luego presionamos el botón con el icono de "dividir" y escribimos el denominador. Después de presionar la tecla "=", obtenemos el número deseado.