Desigualdades lineales con una variable. Ecuaciones y desigualdades con una variable. teoremas de equivalencia
Con una variable: cuáles son las desigualdades equivalentes; qué transformaciones de desigualdades son equivalentes y cuáles no. Discutimos estas preguntas en el curso de álgebra, a partir del 8º grado, y en este libro de texto ya se han discutido, por ejemplo, al resolver desigualdades exponenciales y logarítmicas. Volvemos a estas cuestiones de nuevo porque, completando el estudio curso escolarálgebra, es aconsejable, por así decirlo, repensar ideas generales y métodos.
1. Equivalencia de desigualdades
Recuerda que la solución de la desigualdad a(x) > n(x) es cualquier valor variable x, que convierte la desigualdad dada con una variable en una desigualdad numérica válida. A veces se utiliza el término solución parcial. El conjunto de todas las soluciones particulares de una desigualdad se llama solución general, pero el término solución se usa más comúnmente. Por lo tanto, el término decisión se usa en tres sentidos: tanto como una decisión general, como una decisión particular, y como un proceso, pero generalmente queda claro por el significado lo que está en juego.
Definición 1. Dos desigualdades con una variable f(x)>g(x) y p(x)>h(x) se llaman equivalentes si sus soluciones (es decir, conjuntos de soluciones particulares) coinciden.
Por supuesto, entiende que el uso del signo > en la definición no tiene principios. Es posible utilizar cualquier otro signo de desigualdad, tanto estricto como no estricto, tanto en esta definición como en todas las declaraciones de esta sección.
Definición 2. Si la solución de la desigualdad
está contenido en la solución de la desigualdad
entonces la desigualdad (2) se llama consecuencia de la desigualdad (1)
Por ejemplo, la desigualdad x 2 >9 es consecuencia de la desigualdad 2x>6. De hecho, al convertir la primera desigualdad a la forma x 2 -9 > 0 y luego a la forma (x-3) (x + 3) > 0 y aplicando el método del intervalo (Fig. 245), encontramos que la solución a la desigualdad es la unión de dos rayos abiertos: 
La solución de la segunda desigualdad 2x>6 tiene la forma x>3, es decir es un rayo abierto La solución de la segunda desigualdad es parte de la solución de la primera desigualdad, y por tanto la primera desigualdad es consecuencia de la segunda.
Curiosamente, la situación cambia radicalmente si se cambia el signo de la desigualdad en ambas desigualdades. Desigualdad 2x< 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
Valor variable X desde muchos X, en el que la desigualdad se convierte en una verdadera desigualdad numérica, se llama su decisión. Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de sus soluciones.
El concepto de equivalencia subyace a la solución de desigualdades con una variable.
Las dos desigualdades se llaman equivalente si sus conjuntos solución son iguales.
Los teoremas de equivalencia de desigualdades y sus consecuencias son similares a los correspondientes teoremas de equivalencia de ecuaciones. Al demostrarlas, se utilizan las propiedades de las desigualdades numéricas verdaderas.
Teorema 1. Deja que la desigualdad F(X) > gramo(X) se define en el conjunto X y h(X) es una expresión definida en el mismo conjunto. Entonces las desigualdades F(X) > gramo(X) y F(X) + h(X) > gramo(X)+h(X) son equivalentes en el conjunto X.
De este teorema se sigue Consecuencias, que se utilizan a menudo al resolver desigualdades:
1) Si ambas partes de la desigualdad F(X) > gramo(X) suma el mismo número d, entonces obtenemos la desigualdad F(X) + d > gramo(X)+d, que es equivalente al original.
2) Si se traslada cualquier término (o expresión con variable) de una parte de la desigualdad a otra, cambiando el signo del término al contrario, entonces obtenemos una desigualdad equivalente a la dada.
Teorema 2. Deja que la desigualdad F(X) > gramo(X) se define en el conjunto X y h(X X desde muchos X expresión h(X) acepta valores positivos. Entonces las desigualdades F(X) > gramo(X) y F(X) × h(X) > gramo(X) × hora(X) son equivalentes en el conjunto X.
El corolario se sigue de este teorema: si ambos lados de la desigualdad F(X) > gramo(X) multiplicar por el mismo número positivo d, entonces obtenemos la desigualdad F(X) × d > gramo(X) × re, que es equivalente al dado.
Teorema 3. Deja que la desigualdad F(X) > gramo(X) se define en el conjunto X y h(X) es una expresión definida en el mismo conjunto, y para todo X desde muchos X expresión h(X) acepta valores negativos. Entonces las desigualdades F(X) > gramo(X) y F(X) × h(X) < gramo(X) × hora(X) son equivalentes en el conjunto X.
De este teorema se sigue consecuencia: si ambos lados de la desigualdad F(X) > gramo(X) multiplicar por el mismo un numero negativo d e invertimos el signo de la desigualdad, obtenemos la desigualdad F(X) × d < gramo(X) × re, que es equivalente al dado.
Tarea. es el numero X= 5 solución de la desigualdad 2 X+ 7 > 10 - x, xО R? Encuentre un conjunto de soluciones para esta desigualdad.
Decisión. Número X= 5 es una solución a la desigualdad
2X + 7 > 10 - X, ya que 2×5 + 7 > 10 - 5 es una verdadera desigualdad numérica. Y el conjunto de sus soluciones es el intervalo (1; ¥), que se encuentra realizando la transformación de la desigualdad 2 X+ 7 > 10 - XÞ
3X> 3 Þ X > 1.
Tarea. Resolver la desigualdad 5 X- 5 < 2X+ 16 y justifique todas las transformaciones que se realizarán en el proceso de solución.
Decisión.
Transformaciones | Justificación de las transformaciones |
1. Vamos a mover la expresión 2 X a la izquierda, y el número -5 a la derecha, cambiando sus signos al contrario: 5 X- 2X < 16 + 5. | Usamos el Corolario 2 del Teorema 3 y obtuvimos una desigualdad equivalente a la original. |
2. Presentamos términos similares en los lados izquierdo y derecho de la desigualdad: 3 X < 21. | Realizó transformaciones idénticas de expresiones en las partes izquierda y derecha de la desigualdad; no violaron la equivalencia de desigualdades: dada y original. |
3. Divide ambos lados de la desigualdad por 3: X < 7. | Usamos el corolario del Teorema 4 y obtuvimos una desigualdad equivalente a la original. |
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LECCIÓN: "RESOLVIENDO DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE"
Cosa:Álgebra
Asunto: Resolver desigualdades con una variable
Objetivos de la lección:
Educativo:
organizar las actividades de los estudiantes en la percepción, comprensión y consolidación primaria de conceptos tales como solución de desigualdades de una variable, desigualdad equivalente, resolución de desigualdades; para comprobar la capacidad de los alumnos para aplicar los conocimientos y habilidades adquiridos en lecciones anteriores para resolver las tareas de esta lección.
Educativo:
desarrollar el interés por las matemáticas mediante el uso de las TIC en la práctica; educar las necesidades cognitivas de los estudiantes; para formar cualidades personales tales como responsabilidad, perseverancia en el logro de objetivos, independencia.
durante las clases
I. Momento organizacional
II. Examen tarea(Actualización de conocimientos básicos)
1. Usando la línea de coordenadas, encuentre la intersección de los espacios: a) (1;8) y (5;10); b) (-4;4) y [-6;6]; c) (5;+∞) y [-∞;4]
Respuesta: a) (1; 5); b) (-4; 4); c) no hay intersecciones
2. Anote los espacios que se muestran en la figura:
2) 
3) 
Respuesta: 1) (2; 6); b) (-1; 7]; c) .
Ejemplo3, resuelve la desigualdad 3(x-1)<-4+3х.
Abramos los paréntesis del lado izquierdo de la desigualdad: 3x-3<-4+3х.
Pasamos el término 3x con signos opuestos del lado derecho al lado izquierdo, y el término -3 del lado izquierdo al lado derecho y damos términos similares: 3x-3x<-4+3,
Como puede ver, esta desigualdad numérica no es cierta para ningún valor de x. Esto significa que nuestra desigualdad con una variable no tiene solución.
aparato de entrenamiento
Resuelve la desigualdad y marca su solución:
f) 7x-2.4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Respuesta: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); yo) (3; +∞); j); l) (2; +∞).
IV. recomendaciones
La solución de una desigualdad con una variable es el valor de la variable que la convierte en una verdadera desigualdad numérica. Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones o probar que no hay soluciones. Las desigualdades que tienen las mismas soluciones se llaman equivalentes. Las desigualdades que no tienen solución también se consideran equivalentes. Si ambas partes de la desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número negativo, cambiando el signo de la desigualdad al contrario. En otros casos, sigue siendo el mismo.
V. Pruebas finales
1) La solución de una desigualdad con una variable se llama...
a) el valor de la variable, que la convierte en una verdadera desigualdad;
b) el valor de una variable que la convierte en un valor numérico válido
desigualdad;
c) una variable que la convierte en una verdadera desigualdad numérica.
2) ¿Cuál de los números es la solución de la desigualdad 8+5y>21+6y:
a) 2 y 5 b) -1 y 8 c) -12 y 1 d) -15 y -30?
3) Indique el conjunto de soluciones de la desigualdad 4(x+1)>20:
a) (-∞; 4); b) (4; +∞); en) )