Fórmula de inducción matemática. Desarrollo metódico "método de inducción matemática". El principio de inducción matemática y su demostración.
Se utiliza un método de prueba basado en el axioma 4 de Peano para probar muchas propiedades matemáticas y varias declaraciones. La base para esto es el siguiente teorema.
Teorema. Si la declaración PERO(norte) con variable natural norte cierto para n= 1 y del hecho de que es cierto para n = k, se sigue que también es cierto para el siguiente número n = k, entonces la declaración PERO(norte) norte.
Prueba. Denotamos por METRO el conjunto de aquellos y solo aquellos números naturales para los cuales el enunciado PERO(norte) verdadero. Entonces de la condición del teorema tenemos: 1) 1 METRO; 2) k MkMETRO. Por lo tanto, con base en el Axioma 4, concluimos que METRO =norte, es decir. declaración PERO(norte) cierto para cualquier natural norte.
El método de prueba basado en este teorema se llama método de inducción matemática, y el axioma es el axioma de inducción. Esta prueba tiene dos partes:
1) probar que la declaración PERO(norte) cierto para n= A(1);
2) suponer que la declaración PERO(norte) cierto para n = k, y partiendo de esta suposición, demuestre que el enunciado Un) cierto para n=k+ 1, es decir que la afirmación es verdadera A(k) A(k + 1).
si un PERO( 1) PERO(k) A(k + 1) es un enunciado verdadero, entonces concluyen que el enunciado Un) cierto para cualquier número natural norte.
La prueba por inducción matemática puede comenzar no solo con la confirmación de la verdad del enunciado para n= 1, pero también de cualquier número natural metro. En este caso, la declaración PERO(norte) se probará para todos los números naturales Nuevo Méjico.
Problema Probemos que para cualquier número natural la igualdad 1 + 3 + 5 ... + (2 norte- 1) = norte.
Decisión. Igualdad 1 + 3 + 5 ... + (2 norte- 1) = norte es una fórmula que se puede usar para encontrar la suma de los primeros números naturales impares consecutivos. Por ejemplo, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (la suma contiene 4 términos), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (la suma contiene 6 términos); si esta suma contiene 20 términos del tipo indicado, entonces es igual a 20 = 400, etc. Habiendo probado la verdad de esta igualdad, podremos encontrar la suma de cualquier número de términos del tipo especificado usando la fórmula.
1) Verificar la verdad de esta igualdad para n= 1. cuando n= 1 el lado izquierdo de la igualdad consiste en un término igual a 1, el lado derecho es igual a 1= 1. Como 1 = 1, entonces para n= 1 esta igualdad es verdadera.
2) Suponga que esta igualdad es cierta para n = k, es decir. que 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = k. Con base en esta suposición, demostramos que es cierto para n=k+ 1, es decir 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).
Considere el lado izquierdo de la última igualdad.
Por suposición, la suma de los primeros k términos es k y por lo tanto 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=
= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Expresión k+ 2k + 1 es idénticamente igual a la expresión ( k + 1).
Por lo tanto, la verdad de esta igualdad para n=k+ 1 está probado.
Por lo tanto, esta igualdad se cumple para n= 1 y de su verdad para n = k sigue la verdad por n=k+ 1.
Esto prueba que esta igualdad es verdadera para cualquier número natural.
Usando el método de inducción matemática, uno puede probar la verdad no solo de las igualdades, sino también de las desigualdades.
Tarea. Demuestra que donde nN.
Decisión. Verifiquemos la verdad de la desigualdad para n= 1. Tenemos - una verdadera desigualdad.
Supongamos que la desigualdad es cierta para n = k, aquellas. - verdadera desigualdad. Probemos, basándonos en la suposición, que es cierto para
n=k+ 1, es decir 
(*).
Transformamos el lado izquierdo de la desigualdad (*), teniendo en cuenta que: .
Pero, eso significa 
.
Entonces esta desigualdad es cierta para n= 1, y por el hecho de que la desigualdad es cierta para algunos n= k, encontramos que también es cierto para n= k + 1.
Así, usando el Axioma 4, hemos probado que esta desigualdad es verdadera para cualquier número natural.
Otras afirmaciones también pueden probarse por el método de inducción matemática.
Tarea. Demostrar que el enunciado es verdadero para cualquier número natural.
Decisión. Verifiquemos la verdad del enunciado para n= 1: -afirmación verdadera.
Supongamos que esta afirmación es cierta para n = k: . Demostremos, usando esto, la verdad del enunciado para n=k+ 1: 
.
Transformemos la expresión: . Encontremos la diferencia k y k+ 1 miembros. Si resulta que la diferencia resultante es un múltiplo de 7 y, por supuesto, el sustraendo es divisible por 7, entonces el minuendo también es un múltiplo de 7:
El producto es un múltiplo de 7, por lo tanto, y .
Por lo tanto, esta afirmación es cierta para n= 1 y de su verdad para n = k sigue la verdad por n=k+ 1.
Esto prueba que esta afirmación es verdadera para cualquier número natural.
Tarea. Demostrar que para cualquier número natural norte 2 afirmación (7-1)24 es verdadera.
Decisión. 1) Comprobar la veracidad del enunciado para norte= 2: - afirmación verdadera.
El método de prueba, que se discutirá en esta sección, se basa en uno de los axiomas de la serie natural.
Axioma de inducción. Sea dada una oración que dependa de la variable PAG, en lugar de lo cual puede sustituir cualquier número natural. vamos a denotarlo A(pag). Sea también la oración PERO es cierto para el número 1 y del hecho de que PERO cierto para el número para, se sigue que PERO cierto para el número k+ 1. Entonces oferta PERO cierto para todos los valores naturales PAG.
Notación simbólica del axioma:
Aquí cima- variables sobre el conjunto de los números naturales. Del axioma de inducción se obtiene la siguiente regla de inferencia: 
Entonces, para probar la verdad de la proposición PERO, primero podemos probar dos proposiciones: la verdad de la proposición PERO( 1), así como el corolario Alaska) => A(k+ 1).
Teniendo en cuenta lo anterior, describimos la entidad método
inducción matemática.
Sea necesario probar que la sentencia un(pag) cierto para todos los naturales PAG. La demostración se divide en dos etapas.
- 1ra etapa base de inducción. Tomamos como valor PAG número 1 y comprueba que PERO( 1) es una afirmación verdadera.
- 2da etapa Transición inductiva. Probamos que para cualquier número natural para la implicación es verdadera: si Alaska), entonces A(k+ 1).
El pasaje inductivo comienza con las palabras: “Toma un número natural arbitrario para, tal que Alaska)", o "Sea un número natural para derecho Alaska)". En lugar de la palabra "dejar" suelen decir "supongamos que...".
Después de estas palabras, la carta para denota algún objeto fijo para el cual se cumple la relación Alaska). Procedente de Alaska) deducimos consecuencias, es decir, construimos una cadena de oraciones A (k) 9P, Pi, ..., Rn = A(k+ 1), donde cada frase R, es un enunciado verdadero o una consecuencia de las oraciones anteriores. La última oración R" debe coincidir con A(k+ uno). De esto concluimos: de Alaska) debería A(k+).
La ejecución de una transición inductiva se puede dividir en dos pasos:
- 1) Suposición inductiva. Aquí suponemos que PERO para variable norte.
- 2) Con base en la suposición, demostramos que PERO¿correcto para el número? +1.
Ejemplo 5.5.1. Demostremos que el número p+p es parejo para todo natural PAG.
Aquí un(pag) = "n 2 + n- número par". Se requiere probar que PERO - predicado idénticamente verdadero. Aplicamos el método de inducción matemática.
base de inducción. Tomemos l=1. Sustituir en la expresión PAG+//, obtenemos n 2 + n= I 2 + 1 = 2 es un número par, es decir, /1(1) es un enunciado verdadero.
vamos a formular hipótesis inductiva A(k)= "Número a 2 + a - incluso." Puedes decir esto: "Toma un número natural arbitrario para tal que a 2 + a es un número par.
De aquí deducimos la afirmación A(kA-)= "Número (k+ 1) 2 + (? + 1) - par.
Por las propiedades de las operaciones, realizamos transformaciones:
El primer término de la suma resultante es par por suposición, el segundo es par por definición (porque tiene la forma 2 PAG). Entonces la suma es un número par. Oferta A(k+ 1) probado.
Por el método de inducción matemática, concluimos: la oración un(pag) cierto para todos los naturales PAG.
Por supuesto, no hay necesidad de ingresar la notación cada vez A(pag). Sin embargo, todavía se recomienda formular la suposición inductiva y lo que se requiere deducir de ella en una línea separada.
Tenga en cuenta que la afirmación del ejemplo 5.5.1 se puede probar sin usar el método de inducción matemática. Para ello, basta considerar dos casos: cuando PAG incluso y cuando PAG impar.
Muchos problemas de divisibilidad se resuelven por inducción matemática. Veamos un ejemplo más complejo.
Ejemplo 5.5.2. Probemos que el número 15 2u_| +1 es divisible por 8 para todos los números naturales PAG.
Bacha de inducción. Tomemos /1=1. Tenemos: número 15 2|_| +1 = 15+1 = 16 es divisible por 8.
, que para algunos
número natural para el número 15 2 * '+1 es divisible por 8.
vamos a probar cual es entonces el numero un\u003d 15 2 (ZHN +1 es divisible por 8.
Convirtamos el número un:
Por suposición, el número 15 2A1 +1 es divisible por 8, lo que significa que todo el primer término es divisible por 8. El segundo término 224=8-28 también es divisible por 8. Por lo tanto, el número un ya que la diferencia de dos números que son múltiplos de 8 es divisible por 8. El paso inductivo está justificado.
Con base en el método de inducción matemática, concluimos que para todos los PAG el número 15 2 "-1 -*-1 es divisible por 8.
Hagamos algunas observaciones sobre el problema resuelto.
El enunciado probado se puede formular de manera un poco diferente: "El número 15" "+1 es divisible por 8 para cualquier / y natural impar".
En segundo lugar, a partir del enunciado general probado, se puede sacar una conclusión particular, cuya prueba se puede dar como un problema separado: el número 15 2015 +1 es divisible por 8. Por lo tanto, a veces es útil generalizar el problema denotando un valor particular por una letra, y luego aplicar el método de inducción matemática.
En el sentido más general, el término "inducción" significa que se hacen conclusiones generales sobre la base de ejemplos particulares. Por ejemplo, habiendo considerado algunos ejemplos de sumas de números pares 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38, concluimos que la suma de dos cualesquiera números pares es número par.
En el caso general, tal inducción puede conducir a conclusiones incorrectas. Demos un ejemplo de tal razonamiento incorrecto.
Ejemplo 5.5.3. Considere el número un= /r+n+41 para /? natural.
Encontremos los valores un para algunos valores PAG.
Permitir n= Entonces yo un = 43 es un número primo.
Sea /7=2. Entonces un= 4+2+41 = 47 es primo.
Sea l=3. Entonces un= 9+3+41 = 53 es primo.
Sea /7=4. Entonces un= 16+4+41 = 61 es primo.
Tomar como valores PAG números que siguen al cuadrante, como 5, 6, 7, y asegúrese de que el número un será sencillo.
Concluimos: “Para todo natural /? número un será sencillo".
El resultado es una afirmación falsa. He aquí un contraejemplo: /7=41. Asegúrate de que con esto PAG número un será compuesto.
El término "inducción matemática" tiene un significado más limitado, ya que el uso de este método le permite obtener siempre la conclusión correcta.
Ejemplo 5.5.4. Con base en el razonamiento inductivo, obtenemos una fórmula para el término general de una progresión aritmética. Recuérdese que la profesión de la aritmética es una secuencia numérica, cada miembro de la cual difiere del anterior por el mismo número, llamado diferencia de progresión. Para especificar de forma única una profesión aritmética, debe especificar su primer miembro un y diferencia d.
Así que por definición una pa+ = una n + d, en n> 1.
En el curso escolar de matemáticas, por regla general, la fórmula del término general de la profesión aritmética se establece sobre la base de ejemplos particulares, es decir, precisamente por inducción.
Si /7=1, ENTONCES Con 7| = yo|, ENTONCES yo soy| = tf|+df(l -1).
Si /7=2, entonces i 2 = a + d, es decir un= yo|++/(2-1).
Si /7=3, entonces i 3 = i 2 + = (a+d)+d = a+2d, es decir, i 3 = i|+(3-1).
Si /7=4, entonces i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d\u003d R1 + 3, etc.
Los ejemplos particulares dados nos permiten plantear una hipótesis: el término general fórmula tiene la forma un" = a+(n-)d para todo /7>1.
Probemos esta fórmula por el método de inducción matemática.
inducción básica verificado en discusiones anteriores.
Permitir para - tal número en el que yo * - a+(k-)d (suposición inductiva).
vamos a probar que yo*+! = a+((k+)-)d, es decir, i*+1 = hacha+kd.
Por definición i*+1 = ab + d. un a= yo | +(a-1 )d, significa, ac+\u003d yo yo + (A: -1) ^ / + c / \u003d yo | +(A-1+1 )d= yo yo +kd, que se requería para probar (para justificar la transición inductiva).
Ahora la fórmula i„ = a+(n-)d demostrado para cualquier número natural /;.
Sea una secuencia i b i 2 , i, „ ... (no
necesariamente una progresión aritmética o geométrica). A menudo hay problemas en los que se requiere sumar el primer PAG miembros de esta sucesión, es decir, especifica la suma R|+i 2 +...+i y una fórmula que te permita encontrar los valores de esta suma sin calcular los miembros de la sucesión.
Ejemplo 5.5.5. Demostremos que la suma de los primeros PAG números naturales es
/?(/7 + 1)
Denote la suma 1+2+...+/7 por Sn. Encontremos los valores S norte para algunos /7.
Tenga en cuenta que para encontrar la suma S 4 , puede usar el valor 5 3 calculado anteriormente, ya que 5 4 = 5 3 +4.
n(n +1)
Si sustituimos los valores considerados/? en término --- algo
obtenemos, respectivamente, las mismas sumas 1, 3, 6, 10. Estas observaciones
. _ n(n + 1)
sugiere que la fórmula S„=--- puede usarse cuando
ninguna //. Probemos esta conjetura por el método de inducción matemática.
inducción básica verificado Vamos a hacerlo transición inductiva.
Suponer que la fórmula es cierta para algún número natural
, k(k + 1)
k, entonces la red es la suma de los primeros para los números naturales son ----.
vamos a probar que la suma de los primeros (?+1) números naturales es igual a
- (* + !)(* + 2)
¿Vamos a expresar?*+1 a través de S k . Para ello, en la suma S*+i agrupamos los primeros para términos, y escribe el último término por separado:
Por la hipótesis inductiva S k = Entonces para encontrar
la suma de los primeros (? + 1) números naturales, es suficiente para el ya calculado
. „ k(k + 1) _ .. ..
la suma de los primeros para números iguales a ---, sumar un término (k + 1).
La transición inductiva está justificada. De esta forma, queda demostrada la hipótesis planteada al principio.
Hemos probado la fórmula. S norte = método n ^ n+
inducción matemática. Por supuesto, también hay otras pruebas. Por ejemplo, puedes escribir la suma S, en orden ascendente de términos, y luego en orden descendente de términos:
La suma de los términos en una columna es constante (en una suma, cada término siguiente disminuye en 1 y en la otra aumenta en 1) y es igual a (/r + 1). Por lo tanto, sumando las sumas resultantes, tenemos PAG términos iguales a (u+1). Entonces duplica la cantidad S " es igual a n(n+ 1).
La fórmula que acabamos de demostrar se puede obtener como un caso especial de la fórmula para la suma de los primeros PAG miembros de una progresión aritmética.
Volvamos al método de inducción matemática. Tenga en cuenta que la primera etapa del método de inducción matemática (la base de la inducción) siempre es necesaria. La ausencia de este paso puede conducir a una conclusión incorrecta.
Ejemplo 5.5.6. Vamos a "probar" la oración: "El número 7" + 1 es divisible por 3 para cualquier número natural".
“Supongamos que por algún valor natural para el número 7*+1 es divisible por 3. Probemos que el número 7 x +1 es divisible por 3. Realiza las transformaciones:
El número 6 es obviamente divisible por 3. El número 1 a + es divisible por 3 por la hipótesis inductiva, por lo que el número 7-(7* + 1) también es divisible por 3. Por tanto, la diferencia de números divisibles por 3 también será divisible por 3.
Propuesta probada".
La demostración de la proposición original es incorrecta, a pesar de que el paso inductivo es correcto. De hecho, en n= tengo el numero 8, con n=2 - el número 50,..., y ninguno de estos números es divisible por 3.
Hagamos un comentario importante sobre la notación de un número natural al realizar una transición inductiva. Al formular una propuesta un(pag) carta PAG denotamos una variable, en lugar de la cual se puede sustituir cualquier número natural. Al formular la hipótesis inductiva, denotamos el valor de la variable con la letra para. Sin embargo, muy a menudo en lugar de una nueva letra para use la misma letra que la variable. Esto no afecta la estructura del razonamiento al realizar la transición inductiva.
Consideremos algunos ejemplos más de problemas a los que se puede aplicar el método de inducción matemática.
Ejemplo 5.5.7. Encuentre el valor de la suma
variable en la tarea PAG no aparece. Sin embargo, considere la secuencia de términos:
Denotar S, \u003d a + a 2 + ... + a „. Encontremos S" para algunos PAG. Si /1= 1, entonces S, = un, =-.
si un n= 2. entonces S, = un, + ¿un? = - + - = - = -.
Si /?=3, entonces S-, = a,+a 7+ yo, = - + - + - = - + - = - = -.
3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4
Puedes calcular los valores tú mismo. S " en /7 = 4; 5. Surge
conjetura natural: S norte= -- para cualquier /7 natural. vamos a probar
Esto es por inducción matemática.
inducción básica marcado arriba.
Vamos a hacerlo transición inductiva, que denota una arbitraria
valor variable PAG la misma letra, es decir, demostramos que de la igualdad
0 /7 _ /7 +1
S norte=-sigue la igualdad S, =-.
/7+1 /7 + 2
Suponer que la igualdad es verdadera S= - PAG -.
Vamos a asignar en total S„+ primero PAG términos:
Aplicando el supuesto inductivo, obtenemos:
Reduciendo la fracción por (/7+1), tendremos la igualdad S n +1 - , L
La transición inductiva está justificada.
Esto prueba que la suma de los primeros PAG términos
- 1 1 1 /7 ^
- - +-+...+- es igual a -. Ahora volvamos al original.
- 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1
tarea. Para resolverlo, basta con tomar como valor PAG numero 99
Entonces la suma -!- + -!- + -!- + ...+ --- será igual al número 0.99.
1-2 2-3 3-4 99100
Trate de calcular esta cantidad de una manera diferente.
Ejemplo 5.5.8. Probemos que la derivada de la suma de cualquier número finito de funciones derivables es igual a la suma de las derivadas de estas funciones.
Sea la variable /? denota el número de características dadas. En el caso de que solo se dé una función, es esta función la que se entiende como la suma. Por lo tanto, si /7=1, entonces la declaración es obviamente verdadera: /" = /".
Suponer que el enunciado es verdadero para un conjunto de PAG funciones (aquí de nuevo en lugar de la letra para carta tomada PAG), es decir, la derivada de la suma PAG funciones es igual a la suma de las derivadas.
vamos a probar que la derivada de la suma de (n + 1) funciones es igual a la suma de las derivadas. Tome un conjunto arbitrario que consiste en n+ función diferenciable: /1,/2, . Representemos la suma de estas funciones
como g+f„+ 1, donde g = f +/g + ... +/t- suma PAG funciones Por la hipótesis inductiva, la derivada de la función gramo es igual a la suma de las derivadas: g" = pies + pies + ... +pies Por lo tanto, se cumple la siguiente cadena de igualdades:
La transición inductiva se completa.
Por lo tanto, la proposición original se prueba para cualquier número finito de funciones.
En algunos casos, se requiere probar la verdad de la proposición. un(pag) para todo i natural, a partir de algún valor con. La demostración por inducción matemática en tales casos se realiza según el siguiente esquema.
base de inducción. Probamos que la propuesta PERO cierto por valor PAG, igual con.
Transición inductiva. 1) Suponemos que la propuesta PERO verdadero por algún valor para variable /?, que es mayor o igual que con.
2) Probamos que la proposición PERO verdadero para /? igual a
Tenga en cuenta de nuevo que en lugar de la letra para a menudo dejan la designación variable PAG. En este caso, la transición inductiva comienza con las palabras: “Supongamos que para algún valor n>s derecho A(pag). Demostremos que entonces A(n+ uno)".
Ejemplo 5.5.9. Probemos que para todo natural n> 5 la desigualdad 2” > y 2 es verdadera.
base de inducción. Permitir n= 5. Entonces 2 5 =32, 5 2 =25. La desigualdad 32>25 es verdadera.
Transición inductiva. Suponer, que la desigualdad 2 P>n 2 para algún número natural n> 5. vamos a probar, que es entonces 2" +| > (n+1) 2 .
Por propiedades de potencias 2” +| = 2-2". Como 2" > n 2 (por la hipótesis inductiva), entonces 2-2" > 2n 2 (I).
Justifiquemos que 2 pág. 2 mayor que (i+1) 2 . Esto se puede hacer de muchas maneras. Basta con resolver la desigualdad cuadrática 2x 2 >(x+) 2 en el conjunto de los números reales y ver que todos los números naturales mayores o iguales a 5 son sus soluciones.
Procederemos de la siguiente manera. Encontremos la diferencia de los números 2 pág. 2 y (i+1) 2:
Desde y > 5, entonces i + 1 > 6, lo que significa (i + 1) 2 > 36. Por lo tanto, la diferencia es mayor que 0. Entonces, 2i 2 > (i + 1) 2 (2).
Por las propiedades de las desigualdades, se sigue de (I) y (2) que 2*2" > (n + 1) 2 , que se requería probar para justificar la transición inductiva.
Con base en el método de inducción matemática, concluimos que la desigualdad 2" > i 2 es cierto para cualquier número natural i.
Considere otra forma del método de inducción matemática. La diferencia radica en la transición inductiva. Para implementarlo, se requieren dos pasos:
- 1) asumir que la oferta un(pag) cierto para todos los valores de la variable i menores que algún número R;
- 2) de la suposición hecha, deducir que la propuesta un(pag) cierto para el número r
Así, el paso inductivo requiere prueba del corolario: [(¿Ui?) A(n)] => A(p). Tenga en cuenta que el corolario se puede reescribir como: [(Yn^p) A(n)] => A(p+ 1).
En la formulación original del método de inducción matemática para demostrar la proposición un(pag) nos basamos solo en la propuesta "anterior" A(p- uno). La formulación del método dada aquí permite derivar A(pag), suponiendo que todas las propuestas Un), donde estoy menos R, son verdaderas.
Ejemplo 5.5.10. Demostremos el teorema: "La suma de los ángulos interiores de cualquier i-ágono es 180°(i-2)".
Para un polígono convexo, el teorema es fácil de probar si se divide por diagonales dibujadas desde un vértice en triángulos. Sin embargo, para un polígono no convexo, tal procedimiento puede no ser posible.
Demostremos el teorema para un polígono arbitrario por inducción matemática. Suponemos que se conoce la siguiente afirmación, que, estrictamente hablando, requiere una prueba separada: "En cualquier //-gon, hay una diagonal que se encuentra completamente en su parte interior".
En lugar de una variable //, puede sustituir cualquier número natural que sea mayor o igual a 3. Para n = segundo El teorema es verdadero porque la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Toma un poco de /7-gon (pag> 4) y supongamos que la suma de los ángulos de cualquier //-ágono, donde // p, es igual a 180°(//-2). Probemos que la suma de los ángulos del //-ágono es igual a 180°(//-2).
Dibujemos un //-ágono diagonal dentro de él. Dividirá el //-gon en dos polígonos. Que uno de ellos tenga para lados, el otro a 2 lados Entonces k + k 2 -2 \u003d p, ya que los polígonos resultantes tienen un lado común dibujado en diagonal, que no es un lado del //-gon original.
Ambos números para y a 2 más pequeño //. Apliquemos la suposición inductiva a los polígonos resultantes: la suma de los ángulos del A]-ágono es 180°-(?i-2), y la suma de los ángulos? 2-gon es igual a 180°- (Ar 2 -2). Entonces la suma de los ángulos del //-ágono será igual a la suma de estos números:
180 ° * (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) \u003d 180 o (Ar, -Ar 2 -2-2) \u003d 180 ° - (//-2).
La transición inductiva está justificada. Basado en el método de inducción matemática, el teorema se prueba para cualquier //-gon (//>3).
Método de inducción matemática
Introducción
Parte principal
- Inducción completa e incompleta
- Principio de inducción matemática
- Método de inducción matemática
- Solución de ejemplos
- Igualdad
- división de números
- desigualdades
Conclusión
Lista de literatura usada
Introducción
Los métodos deductivos e inductivos son la base de cualquier investigación matemática. El método deductivo de razonamiento es razonar de lo general a lo particular, es decir, razonamiento, cuyo punto de partida es el resultado general, y el punto final es el resultado particular. La inducción se aplica al pasar de resultados particulares a generales, es decir. es lo opuesto al método deductivo.
El método de inducción matemática se puede comparar con el progreso. Partimos de lo más bajo, como resultado del pensamiento lógico llegamos a lo más alto. El hombre siempre ha buscado el progreso, la capacidad de desarrollar su pensamiento lógicamente, lo que significa que la naturaleza misma lo ha destinado a pensar inductivamente.
Aunque el campo de aplicación del método de inducción matemática ha crecido, se le dedica poco tiempo en el currículo escolar. Bueno, digamos que una persona útil será atraída por esas dos o tres lecciones por las que escucha cinco palabras de teoría, resuelve cinco problemas primitivos y, como resultado, obtiene un cinco por no saber nada.
Pero esto es muy importante: poder pensar inductivamente.
Parte principal
En su significado original, la palabra "inducción" se aplica al razonamiento mediante el cual se obtienen conclusiones generales a partir de una serie de enunciados particulares. El método más simple de razonamiento de este tipo es la inducción completa. He aquí un ejemplo de tal razonamiento.
Sea necesario establecer que todo número par natural n dentro de 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:
4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;
14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.
Estas nueve igualdades muestran que cada uno de los números que nos interesan se representa de hecho como la suma de dos términos primos.
Por lo tanto, la inducción completa es que el enunciado general se prueba por separado en cada uno de un número finito de casos posibles.
A veces, el resultado general se puede predecir después de considerar no todos, sino una gran cantidad de casos especiales (la llamada inducción incompleta).
Sin embargo, el resultado obtenido por inducción incompleta sigue siendo sólo una hipótesis hasta que se prueba mediante un razonamiento matemático exacto, que abarque todos los casos especiales. En otras palabras, la inducción incompleta en matemáticas no se considera un método legítimo de prueba rigurosa, pero es un método poderoso para descubrir nuevas verdades.
Supongamos, por ejemplo, que se requiere encontrar la suma de los primeros n números impares consecutivos. Considere casos especiales:
1+3+5+7+9=25=5 2
Después de considerar estos pocos casos especiales, se sugiere la siguiente conclusión general:
1+3+5+…+(2n-1)=n 2
aquellas. la suma de los primeros n numeros impares consecutivos es n 2
Por supuesto, la observación realizada aún no puede servir como prueba de la validez de la fórmula anterior.
La inducción completa solo tiene aplicaciones limitadas en matemáticas. Muchos enunciados matemáticos interesantes cubren un número infinito de casos especiales y no podemos probar para un número infinito de casos. La inducción incompleta a menudo conduce a resultados erróneos.
En muchos casos, la salida de este tipo de dificultad es recurrir a un método especial de razonamiento, llamado método de inducción matemática. Es como sigue.
Sea necesario demostrar la validez de un determinado enunciado para cualquier número natural n (por ejemplo, es necesario demostrar que la suma de los n primeros números impares es igual a n 2). Una verificación directa de esta afirmación para cada valor de n es imposible, ya que el conjunto de los números naturales es infinito. Para probar esta afirmación, primero verifique su validez para n=1. Entonces se prueba que para cualquier valor natural de k, la validez del enunciado bajo consideración para n=k implica su validez también para n=k+1.
Entonces la afirmación se considera probada para todo n. De hecho, la afirmación es verdadera para n=1. Pero entonces también es válido para el siguiente número n=1+1=2. La validez de la afirmación para n=2 implica su validez para n=2+
1=3. Esto implica la validez del enunciado para n=4, y así sucesivamente. Está claro que, al final, llegaremos a cualquier número natural n. Por tanto, el enunciado es verdadero para cualquier n.
Resumiendo lo dicho, formulamos el siguiente principio general.
El principio de inducción matemática.
Si el enunciado A(n), que depende de un número natural n, es verdadero para n=1, y del hecho de que es verdadero para n=k (donde k es cualquier número natural), se sigue que también es cierto para el siguiente número n=k +1, entonces la Suposición A(n) es cierta para cualquier número natural n.
En varios casos, puede ser necesario probar la validez de un determinado enunciado no para todos los números naturales, sino solo para n>p, donde p es un número natural fijo. En este caso, el principio de inducción matemática se formula de la siguiente manera.
Si la proposición A(n) es verdadera para n=p y si A(k)ÞA(k+1) para cualquier k>p, entonces la proposición A(n) es verdadera para cualquier n>p.
La demostración por el método de inducción matemática se realiza de la siguiente manera. Primero, la afirmación a probar se verifica para n = 1, es decir, se establece la verdad del enunciado A(1). Esta parte de la demostración se llama base de inducción. A esto le sigue una parte de la prueba llamada paso de inducción. En esta parte, la validez del enunciado para n=k+1 se prueba bajo el supuesto de que el enunciado es verdadero para n=k (el supuesto inductivo), es decir Demuestre que A(k)ÞA(k+1).
Demostrar que 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .
Solución: 1) Tenemos n=1=1 2 . Por lo tanto,
la afirmación es verdadera para n=1, es decir, A(1) es verdadero.
2) Probemos que A(k)ÞA(k+1).
Sea k cualquier número natural y sea cierto el enunciado para n=k, es decir
1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .
Probemos que entonces la afirmación también es cierta para el siguiente número natural n=k+1, es decir qué
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .
En efecto,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .
Entonces A(k)ÞA(k+1). Basándonos en el principio de inducción matemática, concluimos que el Supuesto A(n) es cierto para cualquier nОN.
Pruebalo
1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), donde x¹1
Solución: 1) Para n=1 obtenemos
1+x=(x2-1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1
por lo tanto, para n=1 la fórmula es verdadera; A(1) es verdadero.
2) Sea k cualquier número natural y la fórmula sea verdadera para n=k, es decir
1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).
Probemos que entonces la igualdad
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).
En efecto
1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =
=(xk+1 -1)/(x-1)+xk+1 =(xk+2 -1)/(x-1).
Entonces A(k)ÞA(k+1). Con base en el principio de inducción matemática, concluimos que la fórmula es verdadera para cualquier número natural n.
Demuestra que el número de diagonales de un n-ágono convexo es n(n-3)/2.
Solución: 1) Para n=3, la afirmación es verdadera
Y 3 es correcto, porque en un triángulo
A 3 =3(3-3)/2=0 diagonales;
A 2 A(3) es verdadera.
2) Supongamos que en cualquier
k-gon convexo tiene-
A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 diagonales.
A k Probemos que entonces en una convexa
(k+1)-número gon
diagonales A k+1 =(k+1)(k-2)/2.
Sea А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -ángulo convexo (k+1). Dibujemos una diagonal A 1 A k en ella. Para contar el número total de diagonales de este (k + 1)-gon, debe contar el número de diagonales en el k-gon A 1 A 2 ...A k , agregue k-2 al número resultante, es decir se debe tener en cuenta el número de diagonales del (k+1)-ágono que emana del vértice A k+1 y, además, la diagonal A 1 A k.
Por lo tanto,
k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.
Entonces A(k)ÞA(k+1). Debido al principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para cualquier n-ágono convexo.
Demostrar que para cualquier n el enunciado es verdadero:
1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.
Solución: 1) Sea n=1, entonces
X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.
Por lo tanto, para n=1 la afirmación es verdadera.
2) Suponga que n=k
X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.
3) Considere esta afirmación para n=k+1
Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+
6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+
2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
Hemos probado la validez de la igualdad para n=k+1, por tanto, en virtud del método de inducción matemática, el enunciado es verdadero para cualquier n natural.
Demostrar que para cualquier n natural la igualdad es verdadera:
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.
Solución: 1) Sea n=1.
Entonces X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.
Vemos que para n=1 la afirmación es verdadera.
2) Suponga que la igualdad es cierta para n=k
X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4.
3) Probemos la verdad de este enunciado para n=k+1, es decir
Xk+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.
De la prueba anterior es claro que el enunciado es verdadero para n=k+1, por lo tanto, la igualdad es verdadera para cualquier n natural.
Pruebalo
((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), donde n>2.
Solución: 1) Para n=2 la identidad se ve así: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),
aquellas. es correcto.
2) Suponga que la expresión es verdadera para n=k
(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).
3) Probaremos la corrección de la expresión para n=k+1.
(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))´(((k+1) 3 +
1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+
1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´
´((k+1) 2 +(k+1)+1).
Hemos probado la validez de la igualdad para n=k+1, por lo tanto, por el método de inducción matemática, la afirmación es verdadera para cualquier n>2
Pruebalo
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)
para cualquier n natural.
Solución: 1) Sea n=1, entonces
1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.
2) Suponga que n=k, entonces
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).
3) Probemos la verdad de esta afirmación para n=k+1
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+
+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).
También se prueba la validez de la igualdad para n=k+1, por lo tanto el enunciado es verdadero para cualquier número natural n.
Demostrar la validez de la identidad.
(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)
para cualquier n natural.
1) Para n=1 la identidad es verdadera 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).
2) Supongamos que para n=k
(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).
3) Demostremos que la identidad es verdadera para n=k+1.
(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).
De la prueba anterior se puede ver que la afirmación es verdadera para cualquier número natural n.
Demostrar que (11 n+2 +12 2n+1) es divisible por 133 sin resto.
Solución: 1) Sea n=1, entonces
11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133.
Pero (23´133) es divisible por 133 sin resto, por lo que para n=1 el enunciado es verdadero; A(1) es verdadero.
2) Supongamos que (11 k+2 +12 2k+1) es divisible por 133 sin resto.
3) Probemos que en este caso
(11 k+3 +12 2k+3) es divisible por 133 sin resto. En efecto, 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +
+(11+133)´12 2k+1 =11(11k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .
La suma resultante es divisible por 133 sin resto, ya que su primer término es divisible por 133 sin resto por supuesto, y en el segundo de los factores es 133. Entonces, А(k)ÞА(k+1). En virtud del método de inducción matemática, la afirmación queda probada.
Demostrar que para cualquier n 7 n -1 es divisible por 6 sin resto.
Solución: 1) Sea n=1, entonces X 1 =7 1 -1=6 se divide por 6 sin resto. Entonces para n=1 la afirmación es verdadera.
2) Supongamos que para n=k
7 k -1 es divisible por 6 sin resto.
3) Probemos que el enunciado es verdadero para n=k+1.
Xk+1 =7k+1 -1=7´7k -7+6=7(7k -1)+6.
El primer término es divisible por 6, ya que 7 k -1 es divisible por 6 por suposición, y el segundo término es 6. Entonces 7 n -1 es un múltiplo de 6 para cualquier n natural. En virtud del método de inducción matemática, la afirmación queda probada.
Demuestre que 3 3n-1 +2 4n-3 para un n natural arbitrario es divisible por 11.
Solución: 1) Sea n=1, entonces
X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 se divide por 11 sin resto. Por lo tanto, para n=1 la afirmación es verdadera.
2) Supongamos que para n=k
X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 es divisible por 11 sin resto.
3) Probemos que el enunciado es verdadero para n=k+1.
X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =
27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +
11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .
El primer término es divisible por 11 sin resto, ya que 3 3k-1 +2 4k-3 es divisible por 11 por suposición, el segundo es divisible por 11, porque uno de sus factores es el número 11. Por lo tanto, la suma es también divisible por 11 sin resto para cualquier n natural. En virtud del método de inducción matemática, la afirmación queda probada.
Demuestre que 11 2n -1 para un entero positivo arbitrario n es divisible por 6 sin resto.
Solución: 1) Sea n=1, entonces 11 2 -1=120 es divisible por 6 sin resto. Entonces para n=1 la afirmación es verdadera.
2) Supongamos que para n=k
11 2k -1 es divisible por 6 sin resto.
11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).
Ambos términos son divisibles por 6 sin resto: el primero contiene un múltiplo de 6 número 120, y el segundo es divisible por 6 sin resto por suposición. Entonces la suma es divisible por 6 sin resto. En virtud del método de inducción matemática, la afirmación queda probada.
Demuestre que 3 3n+3 -26n-27 para un entero positivo arbitrario n es divisible por 26 2 (676) sin resto.
Solución: Probemos primero que 3 3n+3 -1 es divisible por 26 sin resto.
- Para n=0
- Supongamos que para n=k
- Probemos que el enunciado
3 3 -1=26 es divisible por 26
3 3k+3 -1 es divisible por 26
cierto para n=k+1.
3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3k+3 -1) – divisible por 26
Probemos ahora la afirmación formulada en la condición del problema.
1) Es obvio que para n=1 la afirmación es verdadera
3 3+3 -26-27=676
2) Supongamos que para n=k
la expresión 3 3k+3 -26k-27 es divisible por 26 2 sin resto.
3) Probemos que el enunciado es verdadero para n=k+1
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).
Ambos términos son divisibles por 26 2 ; la primera es divisible por 26 2 porque hemos probado que la expresión entre paréntesis es divisible por 26, y la segunda es divisible por la hipótesis inductiva. En virtud del método de inducción matemática, la afirmación queda probada.
Demuestre que si n>2 y x>0, entonces la desigualdad
(1+x) n >1+n´x.
Solución: 1) Para n=2, la desigualdad es verdadera, ya que
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.
Entonces A(2) es verdadera.
2) Probemos que A(k)ÞA(k+1) si k> 2. Supongamos que A(k) es verdadera, es decir, que la desigualdad
(1+x) k >1+k´x. (3)
Probemos que entonces A(k+1) también es verdadera, es decir, que la desigualdad
(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.
De hecho, multiplicando ambos lados de la desigualdad (3) por un número positivo 1+x, obtenemos
(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).
Considere el lado derecho del último desigual
stva; tenemos
(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.
Como resultado, obtenemos que
(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.
Entonces A(k)ÞA(k+1). Con base en el principio de inducción matemática, se puede argumentar que la desigualdad de Bernoulli es válida para cualquier
Demostrar que la desigualdad es verdadera
(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 para a> 0.
Solución: 1) Para m=1
(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 ambas partes son iguales.
2) Supongamos que para m=k
(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2
3) Probemos que para m=k+1 la desigualdad es verdadera
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+
+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +
+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+
+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .
Hemos probado la validez de la desigualdad para m=k+1, por lo tanto, en virtud del método de inducción matemática, la desigualdad es verdadera para cualquier m natural.
Demostrar que para n>6 la desigualdad
3 n >n´2 n+1 .
Solución: Reescribamos la desigualdad en la forma
- Para n=7 tenemos
- Supongamos que para n=k
3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7
la desigualdad es verdadera.
3) Probemos la corrección de la desigualdad para n=k+1.
3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).
Como k>7, la última desigualdad es obvia.
En virtud del método de inducción matemática, la desigualdad es válida para cualquier n natural.
Demostrar que para n>2 la desigualdad
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).
Solución: 1) Para n=3 la desigualdad es verdadera
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).
- Supongamos que para n=k
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).
3) Probaremos la validez de la no-
igualdades para n=k+1
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).
Probemos que 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û
w(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ
Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k Esto último es obvio, y por lo tanto 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1). En virtud del método de inducción matemática, se prueba la no igualdad. Conclusión En particular, habiendo estudiado el método de inducción matemática, mejoré mis conocimientos en esta área de las matemáticas y también aprendí a resolver problemas que antes estaban fuera de mi alcance. Básicamente, estas eran tareas lógicas y entretenidas, es decir. solo aquellos que aumentan el interés en las matemáticas como ciencia. La solución de tales problemas se convierte en una actividad entretenida y puede atraer a más y más curiosos a los laberintos matemáticos. En mi opinión, esta es la base de cualquier ciencia. Continuando con el estudio del método de inducción matemática, intentaré aprender a aplicarlo no solo en matemáticas, sino también en la resolución de problemas de física, química y la vida misma. MATEMÁTICAS: CONFERENCIAS, TAREAS, SOLUCIONES Libro de texto / V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunin. Popurrí LLC 1996. ÁLGEBRA Y LOS PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS Libro de texto / I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits. "Ilustración" 1975. En muchas áreas de las matemáticas, uno tiene que probar la verdad de un enunciado que depende de , es decir, verdad de la proposición p(n) por " norteíN (para cualquier norte SOBRE p(n) derecho). Esto a menudo se puede probar método de inducción matemática. Este método se basa en el principio de inducción matemática. Por lo general, se elige como uno de los axiomas de la aritmética y, por lo tanto, se acepta sin prueba. Según el principio de inducción matemática, la oración p(n) se considera verdadero para todos los valores naturales de la variable si se cumplen dos condiciones: 1 oferta p(n) cierto para norte= 1. 2. De la oración que p(n) cierto para norte =k (k- número natural arbitrario) se sigue que es cierto para norte =k+ 1. El método de inducción matemática se entiende como el siguiente método de prueba 1. Verifique la verdad de la declaración para norte= 1 es la base de la inducción. 2. Suponga que el enunciado es verdadero para norte = k- supuesto inductivo. 3. Demuestre que entonces también es cierto para norte =k+ 1 transición inductiva. A veces una sugerencia p(n) resulta ser verdad no para todo natural norte, y partiendo de algunos para norte = norte 0. En este caso se comprueba la verdad en la base de inducción p(n) en norte = norte 0. Ejemplo 1 Permitir . Pruebalo 1. Base de inducción: cuando norte= 1 por definición S 1 = 1 y por la fórmula obtenemos un resultado. La afirmación es correcta. n = k y . n = k+ 1. Probemos que . De hecho, por la suposición inductiva Transformemos esta expresión Se demuestra la transición inductiva. Comentario.¡Es útil anotar lo que se da (una suposición inductiva) y lo que necesita ser probado! Ejemplo 2 Demostrar 1. Base de inducción. En norte= 1, la afirmación es obviamente verdadera. 2. Suposición inductiva. Permitir n = k y 3. Transición inductiva. Permitir n = k+ 1. Probemos: De hecho, elevemos al cuadrado el lado derecho como la suma de dos números: Usando el supuesto inductivo y la fórmula para la suma de una progresión aritmética: , obtenemos Ejemplo 3 Demostrar la desigualdad 1. La base de la inducción en este caso es la verificación de la verdad del enunciado para , es decir Hay que controlar la desigualdad. Para ello, basta con elevar al cuadrado la desigualdad: o 63< 64 – неравенство верно. 2. Sea cierta la desigualdad para , es decir 3. Sea , demuestre: Usamos la hipótesis de inducción Sabiendo cómo debe verse el lado derecho en la desigualdad que se está demostrando, seleccionamos esta parte Queda por establecer que el factor extra no exceda la unidad. En realidad, Ejemplo 4 Demostrar que para cualquier número natural termina en un dígito. 1. El número natural más pequeño a partir del cual el enunciado es verdadero es igual a . . 2. Deje que el número para termine en . Esto significa que este número se puede escribir como , donde es un número natural. Entonces . 3. Deja . Probemos que termina en . Usando la representación resultante, obtenemos El último número tiene exactamente unos. Apéndice 1.4. Método de inducción matemática Como saben, las declaraciones matemáticas (teoremas) deben ser fundamentadas, probadas. Ahora nos familiarizaremos con uno de los métodos de prueba: el método de inducción matemática. En un sentido amplio, la inducción es una forma de razonamiento que permite pasar de enunciados particulares a enunciados generales. La transición inversa, de los enunciados generales a los particulares, se llama deducción. La deducción siempre conduce a conclusiones correctas. Por ejemplo, conocemos el resultado general: todos los números enteros que terminan en cero son divisibles por 5. A partir de esto, por supuesto, podemos concluir que cualquier número específico que termine en 0, como 180, es divisible por 5. Al mismo tiempo, la inducción puede conducir a conclusiones incorrectas. Por ejemplo, al notar que el número 60 es divisible por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, no tenemos derecho a concluir que 60 es divisible por ningún número. El método de inducción matemática permite en muchos casos probar rigurosamente la validez de la afirmación general P(n), cuya formulación incluye un número natural n. La aplicación del método incluye 3 etapas. 1) Base de inducción: comprobamos la validez del enunciado P(n) para n = 1 (o para otro valor privado de n, a partir del cual se asume la validez de P(n)). 2) Supuesto de inducción: suponemos que P(n) es cierto para n = k. 3) Paso de inducción: usando la suposición, demostramos que P(n) es cierto para n = k + 1. Como resultado, podemos concluir que P(n) es válida para cualquier n ∈ N. De hecho, para n = 1 la afirmación es verdadera (la base de la inducción). Y por tanto, también es cierto para n = 2, ya que se justifica el paso de n = 1 a n = 2 (paso de inducción). Aplicando el paso de inducción una y otra vez, obtenemos la validez de P(n) para n = 3, 4, 5, . . ., es decir, la validez de P(n) para todo n. Ejemplo 14. La suma de los n primeros números naturales impares es n2: 1 + 3 + 5 +... + (2n - 1) = n2. La demostración se realizará por el método de inducción matemática. 1) Base: para n=1, solo hay un término a la izquierda, obtenemos: 1 = 1. La afirmación es correcta. 2) Supuesto: suponemos que para algún k la igualdad es verdadera: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2. El enunciado general del problema es el siguiente: La probabilidad de dar en el blanco de un tiro es igual a $p$. $n$ disparos. Encuentre la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado exactamente $k$ veces (habrá $k$ aciertos). Aplicamos la fórmula de Bernoulli y obtenemos: $$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k). Aquí $C_n^k$ es el número de combinaciones de $n$ a $k$. Si el problema implica varias flechas con diferentes probabilidades dar en el blanco, teoría, ejemplos de solución y una calculadora que puedes encontrar aquí. Mire nuestro video sobre cómo resolver problemas con tomas de Bernoulli, aprenda a usar Excel para resolver problemas comunes.
El archivo de cálculo de Excel del video se puede descargar de forma gratuita y usarse para resolver sus problemas. Veamos algunos ejemplos típicos. Ejemplo 1 Disparó 7 tiros. La probabilidad de acertar de un tiro es 0,705. Encuentre la probabilidad de que haya exactamente 5 aciertos. Obtenemos que el problema trata de pruebas independientes repetidas (disparos al blanco), $n=7$ disparos en total, la probabilidad de acertar con cada $p=0.705$, la probabilidad de fallar $q=1-p =1-0.705=0.295 $. Necesitamos encontrar que habrá exactamente $k=5$ hits. Sustituimos todo en la fórmula (1) y obtenemos: $$ P_7(5)=C_(7)^5 \cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2 = 21\cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2= 0.318. $$ Ejemplo 2 La probabilidad de dar en el blanco de un tiro es 0,4. Se disparan cuatro tiros independientes al blanco. Encuentre la probabilidad de que haya al menos un golpe en el objetivo. Estudiamos el problema y anotamos los parámetros: $n=4$ (disparo), $p=0.4$ (probabilidad de acierto), $k \ge 1$ (habrá al menos un acierto). Usamos la fórmula para la probabilidad del evento opuesto (no hay acierto): $$ P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)= $$ $$ =1-C_(4)^0 \cdot 0.4^0 \cdot 0 ,6 ^4 =1- 0,6^4=1- 0,13=0,87. $$ La probabilidad de acertar al menos una de cada cuatro es 0,87 u 87%. Ejemplo 3 La probabilidad de que el tirador dé en el blanco es de 0,3. Encuentre la probabilidad de que con 6 disparos el objetivo sea alcanzado de tres a seis veces. A diferencia de los problemas anteriores, aquí debe encontrar la probabilidad de que el número de aciertos esté en un cierto intervalo (y no exactamente igual a algún número). Pero la fórmula es la misma. Encontremos la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado de tres a seis veces, es decir, habrá 3, 4, 5 o 6 impactos. Estas probabilidades se calculan mediante la fórmula (1): $$ P_6(3)=C_(6)^3 \cdot 0.3^3\cdot 0.7^3 = 0.185. $$ $$ P_6(4)=C_(6)^4 \cdot 0.3^4\cdot 0.7^2 = 0.06. $$ $$ P_6(5)=C_(6)^5 \cdot 0.3^5\cdot 0.7^1 = 0.01. $$ $$ P_6(6)=C_(6)^6 \cdot 0.3^6\cdot 0.7^0 = 0.001. Dado que los eventos son incompatibles, la probabilidad deseada se puede encontrar usando la fórmula de suma de probabilidades: $$ P_6(3 \le k \le 6)=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6) =$$ $$ = 0.185+0.06+0.01+0.001=0.256.$$ Ejemplo 4 La probabilidad de al menos un acierto en el blanco con cuatro disparos es 0,9984. Encuentre la probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo. Denotemos la probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo. Ingresemos un evento: Escribamos la fórmula para la probabilidad del evento $A$. Anotemos los valores conocidos: $n=4$, $P(A)=0.9984$. Sustituya en la fórmula (1) y obtenga: $$ P(A)=1-P(\overline(A))=1-P_4(0)=1-C_(4)^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^4=1- (1-p)^4=0,9984. Resolvemos la ecuación resultante: $$ 1-(1-p)^4=0.9984,\\ (1-p)^4=0.0016,\\ 1-p=0.2,\\ p=0.8. $$ Entonces, la probabilidad de dar en el blanco con un tiro es 0.8. Gracias por leer y compartir con los demás. Encuentre tareas preparadas en la solución: Cálculos en línea utilizando la fórmula de Bernoulli La desigualdad en matemáticas se aplica a todas las ecuaciones donde "=" se reemplaza por cualquiera de los siguientes caracteres: \ [> \] \ [\geq \] \ [ * lineal; * cuadrado; * fraccionario; * indicativo; * trigonométrico; * logarítmico. Dependiendo de esto, las desigualdades se denominan lineales, parciales, etc. Debes estar atento a estas señales: * desigualdades con mayor que (>) o menor que ( * Las desigualdades con iconos que son mayores o iguales a \[\geq\] menores o iguales a [\leq\] se denominan no profesionales; * el ícono no es el mismo \[\ne\] solo, pero los casos con este ícono deben resolverse todo el tiempo. Tal desigualdad se resuelve mediante transformaciones de identidades. Lea también nuestro artículo "Resolver la solución completa para una ecuación en línea" Supongamos que se cumple la siguiente desigualdad: Lo resolvemos de la misma manera que una ecuación lineal, pero debemos controlar cuidadosamente el signo de la desigualdad. Primero, movemos los términos de lo desconocido a la izquierda, de lo conocido a la derecha, invirtiendo los símbolos: Luego dividimos ambos lados por -4 e invertimos el signo de desigualdad: Esta es la respuesta a esta ecuación. Puede resolver la ecuación en nuestro sitio web pocketteacher.ru. En segundos, una solución gratuita de rescate en línea resolverá una ecuación en línea de cualquier complejidad. Todo lo que tienes que hacer es ingresar tus datos en el rescate. También puede ver instrucciones en video y aprender a resolver la ecuación en nuestro sitio web. Y si tiene preguntas, puede hacerlas en nuestro grupo Vkontakte: Pocketteacher. Únete a nuestro grupo, estaremos encantados de ayudarte. Resolución de ecuaciones / Ecuaciones diferenciales © Prueba RU - calculadoras en línea la ecuacion: Con la calculadora puedes resolver ecuaciones diferenciales de diversa complejidad. MBOU Liceo "Técnico y Económico"
MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
NOTA EXPLICATIVA
Se compiló el desarrollo metodológico “Método de inducción matemática” para estudiantes del 10° grado del perfil matemático. Objetivos principales: familiarizar a los estudiantes con el método de inducción matemática y enseñar cómo aplicarlo para resolver varios problemas. En el desarrollo metodológico se consideran cuestiones de matemática elemental: problemas de divisibilidad, prueba de identidades, prueba de desigualdades, se proponen problemas de diversa complejidad, incluso problemas ofrecidos en olimpiadas. El papel de las inferencias inductivas en las ciencias experimentales es muy grande. Ellos dan esas provisiones, de las cuales luego se sacan conclusiones adicionales por deducción. Nombre método de inducción matemática engañosamente - de hecho, este método es deductivo y da una prueba rigurosa de las afirmaciones adivinadas por inducción. El método de inducción matemática ayuda a identificar vínculos entre diferentes secciones de las matemáticas, ayuda a desarrollar la cultura matemática del estudiante. Definición del método de inducción matemática. Inducción completa e incompleta. Prueba de desigualdades. Prueba de identidades. Resolución de problemas de divisibilidad. Resolver varios problemas sobre el tema "Método de inducción matemática". LITERATURA PARA EL MAESTRO
1. ML Galitsky. Estudio en profundidad del curso de álgebra y análisis matemático. - M. Ilustración. 1986. 2. L. I. Zvavich. El álgebra y los comienzos del análisis. Materiales didácticos. Drofa M. 2001. 3. NY Vilenkin. Álgebra y análisis matemático. Ilustración M. 1995. 4. Yu. V. Mikheev. Método de inducción matemática. NGU.1995. LITERATURA PARA ESTUDIANTES
1. NY Vilenkin. Álgebra y análisis matemático. Ilustración M. 1995. 2. Yu. V. Mikheev. Método de inducción matemática. NGU.1995. PALABRAS CLAVE
Inducción, axioma, principio de inducción matemática, inducción completa, inducción incompleta, afirmación, identidad, desigualdad, divisibilidad. APÉNDICE DIDÁCTICO DEL TEMA
"MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA".
Lección 1
Definición del método de inducción matemática.
El método de inducción matemática es uno de los métodos altamente efectivos para encontrar nuevos resultados y probar la verdad de los supuestos propuestos. Aunque este método no es nuevo en matemáticas, el interés por él no decae. Por primera vez en una presentación clara, el método de inducción matemática fue aplicado en el siglo XVII por el destacado científico francés Blaise Pascal para demostrar las propiedades de un triángulo numérico, que desde entonces lleva su nombre. Sin embargo, la idea de la inducción matemática era conocida por los antiguos griegos. El método de inducción matemática se basa en el principio de inducción matemática, que se acepta como un axioma. Consideraremos la idea de inducción matemática con ejemplos. Ejemplo 1.
El cuadrado se divide por un segmento en dos partes, luego una de las partes resultantes se divide en dos partes, y así sucesivamente. Determina en cuantas partes se divide el cuadrado PAG¿pasos? Decisión. Después del primer paso, por condición, obtenemos 2 partes. En el segundo paso, dejamos una parte sin cambios y dividimos la segunda en 2 partes y obtenemos 3 partes. En el tercer paso, dejamos 2 partes sin cambios, y dividimos el tercero en dos partes y obtenemos 4 partes. En el cuarto paso, dejamos 3 partes sin cambios, y dividimos la última parte en dos partes y obtenemos 5 partes. En el quinto paso, obtendremos 6 partes. Se sugiere que a través de PAG pasos que obtenemos (n+1) parte. Pero esta proposición necesita ser probada. Supongamos que a través de para escalones en que se divide la plaza (k+1) parte. entonces en (k+1) paso nosotros para partes se mantendrán sin cambios, y (k+1) dividir la parte en dos partes y obtener (k+2) partes. Te das cuenta de que puedes discutir así todo el tiempo que quieras, hasta el infinito. Es decir, nuestra suposición es que PAG el cuadrado de pasos se dividirá en (n+1) parte, se prueba. Ejemplo #2.
Mi abuela tenía una nieta a la que le gustaba mucho la mermelada, y en especial la de tarro de litro. Pero la abuela no le permitió tocar. Y las nietas decidieron engañar a su abuela. Decidió comer todos los días 1/10 de litro de este frasco y llenarlo con agua, mezclándolo bien. ¿Después de cuántos días la abuela descubrirá el engaño si la mermelada sigue siendo la misma cuando se diluye con agua a la mitad? Decisión. Halla la cantidad de mermelada pura que quedará en el frasco después de PAG dias. Pasado el primer día, quedará la mezcla en el tarro, compuesta por 9/10 de mermelada y 1/10 de agua. Después de dos días, 1/10 de la mezcla de agua y mermelada desaparecerá del frasco y permanecerá (1 litro de la mezcla contiene 9/10 litros de mermelada, 1/10 litro de la mezcla contiene 9/100 litros de mermelada) 9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 litros de mermelada. Al tercer día desaparecerá de la jarra 1/10 litro de una mezcla compuesta por 81/100 de mermelada y 19/100 de agua. En 1 litro de la mezcla hay 81/100 litros de mermelada, en 1/10 litros de la mezcla 81/1000 litros de mermelada. 81/100 – 81/1000= 729/1000=(9/10) Al cabo de 3 días quedarán 3 litros de mermelada y el resto se lo llevará el agua. Surge un patrón. A través de PAG días que quedan en el banco (9/10) PAG me atasco. Pero de nuevo, esto es solo nuestra suposición. Permitir para es un número natural arbitrario. Supongamos que a través de para Permanecerán días en el banco (9/10) a l atasco. A ver qué habrá en el banco dentro de otro día, es decir, en (k+1) día. Desaparecerá del banco. 1/10l Una mezcla de (9/10)
para yo mermelada y agua. EN 1l la mezcla es (9/10)
para yo mermelada, en 1/10l mezclas (9/10)
k+1 yo mermelada. Ahora podemos decir con seguridad que a través de PAG días que quedan en el banco (9/10)
PAG yo mermelada. En 6 días el banco tendrá 531444/1000000l mermeladas, después de 7 días - 4782969/10000000l mermelada, es decir, menos de la mitad. Responder: después de 7 días, la abuela descubrirá el engaño. Tratemos de destacar lo más básico en las soluciones de los problemas considerados. Comenzamos a resolver cada uno de ellos considerando casos separados o, como se suele decir, especiales. Luego, basándonos en nuestras observaciones, hicimos algunas suposiciones P(n), dependiendo de la naturaleza PAG.
la afirmación fue comprobada, es decir, probada P(1), P(2), P(3);
sugerido que P(n) valido para n = k y dedujo que entonces será válido para el próximo n, n=k+1.
Y luego argumentaron algo como esto: P(1) derecho, P(2) derecho, P(3) derecho, P(4) cierto... así es P(n).
El principio de inducción matemática.
Declaración P(n), dependiendo de la naturaleza PAG, es válido para todos los naturales PAG, Si 1) la validez de la afirmación para n=1;
2) de la suposición de la validez de la declaración P(n) en n = k debería justicia P(n) en n=k+1.
En matemáticas, el principio de inducción matemática se elige, por regla general, como uno de los axiomas que definen la serie natural de los números, y, por tanto, se acepta sin demostración. El método de demostración por el principio de inducción matemática se suele denominar método de inducción matemática. Tenga en cuenta que este método se usa ampliamente para probar teoremas, identidades, desigualdades en la resolución de problemas de divisibilidad y muchos otros problemas. Lección 2
Inducción completa e incompleta.
En el caso de que un enunciado matemático se refiera a un número finito de objetos, se puede probar verificando cada objeto, por ejemplo, el enunciado "Todo número par de dos dígitos es la suma de dos números primos". El método de prueba en el que probamos un enunciado para un número finito de casos se llama inducción matemática completa. Este método se usa relativamente raramente, ya que las declaraciones se consideran con mayor frecuencia en conjuntos infinitos. Por ejemplo, el teorema "Todo número par es igual a la suma de dos números primos" no ha sido probado ni refutado hasta el momento. Incluso si probamos este teorema para los primeros mil millones, no nos acercaría ni un paso más a probarlo. En las ciencias naturales se utiliza la inducción incompleta, probando el experimento varias veces, trasladando el resultado a todos los casos. Ejemplo #3
Adivina usando la fórmula de inducción incompleta para la suma de cubos de números naturales. Decisión. 1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;
1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 . Prueba. Que sea cierto para n = k.
Probemos que eso es cierto para n=k+1.
Conclusión: la fórmula para la suma de cubos de números naturales es verdadera para cualquier natural PAG.
Ejemplo #4
Considere las igualdades y adivine a qué ley general conducen estos ejemplos. Decisión. 1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125
……………………………………………………………..
Ejemplo #5
Escribe las siguientes expresiones como una suma: 1) Ejemplo #6.
Escribe las siguientes sumas usando el signo 2) Ejemplo #7.
Escribe las siguientes expresiones como productos: 1) 3) Ejemplo #8.
Escribe las siguientes obras usando el signo (letra griega mayúscula "pi") 1) Ejemplo #9.
Cálculo del valor de un polinomio ¿Es correcta esta suposición? Decisión. Si cada sumando es divisible por un número, entonces la suma es divisible por ese número, El análisis de un número finito de casos juega un papel importante en las matemáticas: sin dar una prueba de uno u otro enunciado, ayuda a adivinar la formulación correcta de este enunciado, si aún no se conoce. Así fue como Goldbach, miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, llegó a la conjetura de que cualquier número natural, a partir de dos, es la suma de no más de tres números primos. Lección 3
El método de inducción matemática nos permite probar varias identidades. Ejemplo #10. Probemos que para todos PAG la identidad Decisión. Pongamos Necesitamos demostrar que Probemos que Entonces de la verdad de la identidad Por el principio de inducción matemática, la verdad de la identidad para todo PAG.
Ejemplo #11.
Probemos la identidad Prueba. igualdades término a término. Lección número 4.
Prueba de identidades por inducción matemática.
Ejemplo #12.
Probemos la identidad Prueba. Aplicando el principio de inducción matemática, probamos que la igualdad es verdadera para todo PAG.
Ejemplo #13.
Probemos la identidad Prueba. Aplicando el principio de inducción matemática, demostramos que el enunciado es verdadero para cualquier PAG.
Ejemplo #14.
Probemos la identidad Prueba. Ejemplo #15.
Probemos la identidad 1)
n=1;
2) para n = k
igualdad 3) probar que la igualdad se cumple para n=k+1:
Conclusión: la identidad es válida para cualquier natural PAG.
Ejemplo #16. Probemos la identidad Prueba. si un n=1
, entonces Deje que la identidad se mantenga durante n = k.
Probemos que la identidad se cumple para n=k+1.
Entonces la identidad es válida para cualquier natural PAG.
Lección número 5.
Prueba de identidades por inducción matemática.
Ejemplo #17. Probemos la identidad Prueba. si un n=2
, entonces obtenemos la igualdad correcta: Sea cierta la igualdad paran = k:
Probemos la validez de la afirmación para n=k+1.
Según el principio de inducción matemática, se prueba la identidad. Ejemplo #18.
Probemos la identidad En n=2
esta identidad se puede reescribir en una forma muy simple y obviamente cierto. dejar en n = k De Verdad Probemos la validez de la afirmación paran=k+1,
es decir, se satisface la igualdad: . Entonces, hemos probado que la identidad es verdadera para cualquier natural n≥2.
Ejemplo #19.
Probemos la identidad En n=1
obtenemos la igualdad correcta: Supongamos que en n = k también obtenemos la igualdad correcta: Probemos que la validez de la igualdad se cumple para n=k+1:
Entonces la identidad es válida para cualquier natural PAG.
Lección número 6.
Resolución de problemas de divisibilidad.
Ejemplo #20. Demostrar por inducción matemática que Prueba. En n=1
hay una división en6
sin rastro, dejar en n = k
expresión Demostremos que cuando n=k+1
expresión Cada término es un múltiplo 6
, por lo que la suma es un múltiplo de 6
.
Ejemplo número 21.
Prueba. En n=1
la expresion es divisible dejar en n = k
expresión En n=k+1 dividido por 5
.
Ejemplo #22.
Demostrar la divisibilidad de una expresión. Prueba. En n=1 múltiple 16
.
dejar en n = k
En n=k+1
Todos los términos son divisibles por 16:
el primero es obviamente el segundo por suposición, y el tercero tiene un número par entre paréntesis. Ejemplo #23.
Demostrar divisibilidad Prueba. Probemos primero que En n=0
dejar en n = k
entonces en n=k+1 dividido por 26
.
Probemos ahora la afirmación formulada en la condición del problema. En n=1 dividido por 676.
En n = k
es cierto que En n=k+1
.
Ambos términos son divisibles por 676
; la primera es porque hemos probado la divisibilidad por 26
expresión entre paréntesis, y la segunda es divisible por la hipótesis inductiva. Lección número 7.
Resolución de problemas de divisibilidad.
Ejemplo número 24.
Pruebalo Prueba. En n=1
En n = k
En n=k+1
cada término es divisible por5
sin rastro. Ejemplo #25.
Pruebalo Prueba. En n=1
dejar en n = k
En n=k+1 dividido por 6
sin resto, ya que cada término es divisible por6
sin resto: el primer término, por la suposición inductiva, el segundo, obviamente, el tercero, porque Ejemplo #26.
Pruebalo Prueba. Probemos que En n=1 En n=k+1 dividido por 9
.
Ejemplo número 27.
Demostrar que es divisible por15
sin rastro. Prueba. En n=1 dividido por 15
.
dejar en n = k dividido por 15
sin rastro. En n=k+1
El primer término es un múltiplo.15
por la hipótesis de inducción, el segundo término es un múltiplo de15
– obviamente, el tercer término es un múltiplo de15
, como Lección número 8-9.
Demostración de desigualdades por inducción matemática
Ejemplo #28. En n=1 tenemos dejar en n = k En n=k+1 Entonces la desigualdad es válida para cualquier natural PAG. Ejemplo #29. Demostrar que la desigualdad es verdadera En n=1 obtenemos la desigualdad correcta 4 >1.
dejar en n = k la desigualdad Demostremos que cuando n=k+1 la desigualdad Para cualquier natural para se observa desigualdad. si un Ejemplo #30. Permitir n=1 Supongamos que la desigualdad se cumple para n = k: En n=k+1 Ejemplo número 31. Demostrar la validez de la desigualdad Probemos primero que para cualquier natural t la desigualdad En n=1 la desigualdad original es verdadera Sea la desigualdad válida para n = k: En n=k+1 Lección número 10.
Resolver problemas sobre el tema.
Método de inducción matemática.
Ejemplo #32. Demostrar la desigualdad de Bernoulli. si un Prueba. En n=1
la desigualdad que se prueba toma la forma Ya que según la condición Como Entonces la desigualdad es cierta para n=1, y de su verdad en n = k se sigue que es verdad y n=k+1. Por lo tanto, por inducción matemática se cumple para todos los naturales PAG.
Por ejemplo, Ejemplo número 33.
Encuentra todos los valores naturalesPAG
, para lo cual la desigualdad Decisión. En n=1 la desigualdad es correcta. En n=2 la desigualdad también es cierta. En n=3 la desigualdad ya no se satisface. Sólo cuando n=6 la desigualdad se cumple, de modo que para la base de inducción podemos tomar n=6.
Suponga que la desigualdad es verdadera para algunos para:
La última desigualdad se cumple si Resolución de problemas sobre la probabilidad de aciertos durante los tiros
Video Tutorial y Plantilla de Excel
Ejemplos de resolución de problemas de dar en el blanco en una serie de tiros
$A = $ (De cuatro disparos, al menos uno dará en el blanco),
así como su evento opuesto, que se puede escribir como:
$\overline(A) = $ (Los 4 disparos fallarán en el objetivo, sin aciertos).Enlaces útiles
Resolver una desigualdad con una calculadora
¿Dónde puedo resolver la desigualdad en Internet?
Calculadora de Desigualdad de Bernoulli
Método completo de inducción matemática
Solución de ecuaciones diferenciales
Introducir diferencia
Ejemplos de ecuaciones diferenciales resueltas
2) 
3)
; 4) 
.
Letra griega "sigma".
:
4) 
2)
F
(
norte
)=
norte
2
+
norte
+11
, en n=1,2,3,4,5,6,7
se puede suponer que para cualquier naturalPAG número F
(
norte
)
sencillo.
no es un número primo para ningún número naturalPAG.
la verdad de la identidad sigue 
; 
. Así que esta identidad es verdadera para todos.PAG
.
para n≥2.
.
dividido por 6
sin rastro.
.
múltiple6.
múltiple6
.
sobre el5
sin rastro.
.
también dividido en5
sin rastro.
sobre el16.
múltiple16.
sobre el676.
dividido por 
.
.
dividido por26
.
dividido por26
2
.
dividido por5
sin rastro.
dividido por5.
dividido por5
sin rastro.
dividido por6
sin rastro.
dividido por6
sin rastro.
dividido por6
sin rastro.
número par.
al dividir por9
da el resto 1
.
dividido por9
.
dividido por 9
. dejar en n = k
dividido por9
.
múltiple5
(probado en el ejemplo No. 21), los términos cuarto y quinto también son múltiplos5
, lo cual es obvio, entonces la suma es un múltiplo de15
.
.
- derecho.
es una verdadera desigualdad.
para cualquier PAG.
.
en 
entonces
para cualquier natural PAG y cualquier 
, derecho.
.
para cualquier natural PAG.
Multiplica ambos lados de la desigualdad por 
. Obtenemos una desigualdad equivalente o 
; 
; - esta desigualdad se cumple para cualquier natural t.
; 
; 
.
.
, entonces para todos los valores naturalesPAG
la desigualdad
y obviamente tiene razón. Supongamos que es cierto paran = k
, eso es lo que 
.
, entonces 
, y por lo tanto la desigualdad no cambia de significado cuando sus dos partes se multiplican por 
:
, entonces obtenemos que
.
Considere la desigualdad
El trabajo de prueba sobre el tema n=1 se da de forma recurrente: n≥5 , donde PAG- -número natural.