Ushbu maqola tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi mavzusini davom ettiradi: ushbu turdagi tenglamani ko'rib chiqing, umumiy tenglama To'g'riga. Teoremani aniqlab, uning isbotini keltiramiz; Keling, to'g'ri chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasi nima ekanligini va umumiy tenglamadan to'g'ri chiziqning boshqa turdagi tenglamalariga qanday o'tishni aniqlaymiz. Biz butun nazariyani illyustratsiyalar va amaliy muammolarni hal qilish bilan birlashtiramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tekislikda O x y to rtburchak koordinatalar sistemasi berilgan bo lsin.

Teorema 1

A x + B y + C \u003d 0 ko'rinishidagi birinchi darajali har qanday tenglama, bu erda A, B, C ba'zi haqiqiy sonlar (A va B bir vaqtning o'zida nolga teng emas) to'g'ri chiziqni aniqlaydi. tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. O'z navbatida, tekislikdagi to'rtburchaklar koordinata tizimidagi har qanday chiziq A, B, C qiymatlarining ma'lum bir to'plami uchun A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega bo'lgan tenglama bilan aniqlanadi.

Isbot

Bu teorema ikkita nuqtadan iborat, biz ularning har birini isbotlaymiz.

1. A x + B y + C = 0 tenglama tekislikdagi chiziqni aniqlashini isbotlaylik.

Koordinatalari A x + B y + C = 0 tenglamasiga mos keladigan qandaydir M 0 (x 0, y 0) nuqta bo'lsin. Shunday qilib: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 tenglamalarining chap va o'ng tomonlaridan A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 tenglamasining chap va o'ng tomonlarini ayirsak, biz A ga o'xshash yangi tenglamani olamiz. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Bu A x + B y + C = 0 ga teng.

Natijada A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x) vektorlarining perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartdir. 0, y - y 0 ). Shunday qilib, M (x, y) nuqtalar to'plami to'rtburchaklar koordinatalar tizimida vektor yo'nalishiga perpendikulyar to'g'ri chiziqni aniqlaydi n → = (A, B) . Bu shunday emas deb taxmin qilishimiz mumkin, lekin u holda n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorlari perpendikulyar bo'lmaydi va tenglik A (x -) x 0 ) + B (y - y 0) = 0 to'g'ri bo'lmaydi.

Shuning uchun A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 tenglamasi tekislikdagi to'rtburchaklar koordinata tizimidagi ba'zi bir chiziqni aniqlaydi va shuning uchun A x + B y + C \u003d 0 ekvivalent tenglamasi aniqlaydi. bir xil chiziq. Shunday qilib, biz teoremaning birinchi qismini isbotladik.

1. Tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi darajali A x + B y + C = 0 tenglama bilan berilishi mumkinligini isbotlaylik.

Tekislikda to'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasida a to'g'ri chiziqni o'rnatamiz; bu chiziq o'tadigan M 0 (x 0, y 0) nuqtasi, shuningdek, ushbu chiziqning normal vektori n → = (A , B) .

M (x , y) nuqta - chiziqning suzuvchi nuqtasi ham mavjud bo'lsin. Bunda n → = (A , B) va M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorlari bir-biriga perpendikulyar bo'lib, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 tenglamani qayta yozamiz, C: C = - A x 0 - B y 0 ni aniqlaymiz va nihoyat A x + B y + C = 0 tenglamani olamiz.

Shunday qilib, biz teoremaning ikkinchi qismini isbotladik va biz butun teoremani bir butun sifatida isbotladik.

Ta'rif 1

O'xshash tenglama A x + B y + C = 0 - Bu to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdaO x y.

Isbotlangan teoremaga asoslanib, qo‘zg‘almas to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislikda berilgan to‘g‘ri chiziq va uning umumiy tenglamasi uzviy bog‘langan degan xulosaga kelishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, asl chiziq uning umumiy tenglamasiga mos keladi; to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan to'g'ri chiziqqa mos keladi.

Teoremani isbotlashdan ham shunday chiqadiki, x va y o‘zgaruvchilar uchun A va B koeffitsientlari to‘g‘ri chiziqning normal vektorining koordinatalari bo‘lib, u A x+B y+ to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi bilan berilgan. C = 0.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasining aniq misolini ko'rib chiqing.

Berilgan to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi to'g'ri chiziqqa mos keladigan 2 x + 3 y - 2 = 0 tenglama berilsin. Bu chiziqning normal vektori vektor hisoblanadi n → = (2, 3) . Chizmada berilgan to‘g‘ri chiziqni chizing.

Quyidagilarni ham bahslash mumkin: biz chizmada ko'rib turgan to'g'ri chiziq 2 x + 3 y - 2 = 0 umumiy tenglama bilan aniqlanadi, chunki berilgan to'g'ri chiziqning barcha nuqtalarining koordinatalari ushbu tenglamaga mos keladi.

Umumiy to’g’ri chiziq tenglamasining ikkala tomonini nolga teng bo’lmagan l soniga ko’paytirish orqali l · A x + l · B y + l · C = 0 tenglamani olishimiz mumkin. Olingan tenglama asl umumiy tenglamaga teng, shuning uchun u tekislikdagi bir xil chiziqni tasvirlaydi.

Ta'rif 2

To'g'ri chiziqning to'liq umumiy tenglamasi- A x + B y + C \u003d 0 chizig'ining bunday umumiy tenglamasi, unda A, B, C raqamlari nolga teng emas. Aks holda, tenglama bo'ladi to'liqsiz.

To'g'ri chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasining barcha o'zgarishlarini tahlil qilaylik.

1. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 bo'lganda, umumiy tenglama B y + C \u003d 0 ga aylanadi. Bunday toʻliq boʻlmagan umumiy tenglama O x oʻqiga parallel boʻlgan toʻrtburchaklar koordinatalar sistemasidagi toʻgʻri chiziqni aniqlaydi, chunki x ning har qanday haqiqiy qiymati uchun y oʻzgaruvchisi qiymatni oladi. - C B. Boshqacha qilib aytganda, A x + B y + C \u003d 0 chizig'ining umumiy tenglamasi, A \u003d 0, B ≠ 0 bo'lganda, koordinatalari bir xil raqamga teng bo'lgan nuqtalarning (x, y) joylashishini aniqlaydi. - C B.
2. Agar A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 bo'lsa, umumiy tenglama y \u003d 0 bo'ladi. Bunday to'liq bo'lmagan tenglama x o'qini O x aniqlaydi.
3. A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 bo'lganda, biz y o'qiga parallel to'g'ri chiziqni aniqlaydigan to'liq bo'lmagan umumiy A x + C \u003d 0 tenglamasini olamiz.
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 bo'lsin, keyin to'liq bo'lmagan umumiy tenglama x \u003d 0 ko'rinishini oladi va bu O y koordinata chizig'ining tenglamasi.
5. Va nihoyat, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 bo'lganda, to'liq bo'lmagan umumiy tenglama A x + B y \u003d 0 ko'rinishini oladi. Va bu tenglama koordinata boshidan o'tadigan to'g'ri chiziqni tasvirlaydi. Haqiqatan ham, raqamlar juftligi (0, 0) A x + B y = 0 tengligiga mos keladi, chunki A · 0 + B · 0 = 0 .

To'g'ri chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasining yuqoridagi barcha turlarini grafik tarzda tasvirlaylik.

1-misol

Ma'lumki, berilgan to'g'ri chiziq y o'qiga parallel va 2 7 , - 11 nuqtadan o'tadi. Berilgan to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Y o'qiga parallel to'g'ri chiziq A x + C \u003d 0 ko'rinishidagi tenglama bilan berilgan, unda A ≠ 0. Shart shuningdek, chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalarini belgilaydi va bu nuqtaning koordinatalari to'liq bo'lmagan umumiy tenglama A x + C = 0 shartlariga mos keladi, ya'ni. tenglik to'g'ri:

A 2 7 + C = 0

Undan A ni nolga teng bo'lmagan qiymatlarni berish orqali aniqlash mumkin, masalan, A = 7 . Bunday holda, biz olamiz: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Biz A va C koeffitsientlarini bilamiz, ularni A x + C = 0 tenglamasiga almashtiramiz va chiziqning kerakli tenglamasini olamiz: 7 x - 2 = 0

Javob: 7 x - 2 = 0

2-misol

Chizma to'g'ri chiziqni ko'rsatadi, uning tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Berilgan chizma muammoni hal qilish uchun dastlabki ma'lumotlarni osongina olish imkonini beradi. Biz chizmada ko'ramizki, berilgan chiziq O x o'qiga parallel va (0 , 3) ​​nuqtadan o'tadi.

Abtsissaga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq to'liq bo'lmagan umumiy tenglama B y + S = 0 bilan aniqlanadi. B va C qiymatlarini toping. (0, 3) nuqtaning koordinatalari, chunki u orqali berilgan to'g'ri chiziq B y + S = 0 to'g'ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, u holda tenglik o'rinli bo'ladi: V · 3 + S = 0. Keling, B ga noldan boshqa qiymatni o'rnatamiz. Aytaylik, B \u003d 1, bu holda B · 3 + C \u003d 0 tengligidan biz C: C \u003d - 3 ni topishimiz mumkin. Biz foydalanamiz ma'lum qiymatlar B va C, biz chiziqning kerakli tenglamasini olamiz: y - 3 = 0.

Javob: y - 3 = 0.

Tekislikning berilgan nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi

Berilgan chiziq M 0 (x 0, y 0) nuqtadan o'tib ketsin, u holda uning koordinatalari chiziqning umumiy tenglamasiga mos keladi, ya'ni. tenglik to'g'ri: A x 0 + B y 0 + C = 0. Ushbu tenglamaning chap va o'ng tomonlarini umumiyning chap va o'ng tomonlaridan ayirib tashlang to'liq tenglama To'g'riga. Biz olamiz: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, bu tenglama asl umumiy tenglamaga teng, M 0 (x 0, y 0) nuqtasidan o'tadi va normal vektor n → \u003d (A, B) .

Olingan natija to'g'ri chiziqning normal vektorining ma'lum koordinatalari va bu to'g'ri chiziqning ma'lum nuqtasi koordinatalari uchun to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozish imkonini beradi.

3-misol

Chiziq o'tadigan M 0 (- 3, 4) nuqta va bu chiziqning normal vektori berilgan. n → = (1 , - 2) . Berilgan to'g'ri chiziq tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Dastlabki shartlar bizga tenglamani tuzish uchun kerakli ma'lumotlarni olish imkonini beradi: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Keyin:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Muammoni boshqacha hal qilish mumkin edi. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega. Berilgan normal vektor A va B koeffitsientlarining qiymatlarini olishga imkon beradi, keyin:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Endi C ning qiymatini foydalanib toping shart bilan berilgan chiziq o'tadigan muammo nuqtasi M 0 (- 3 , 4). Bu nuqtaning koordinatalari x - 2 · y + C = 0 tenglamasiga to'g'ri keladi, ya'ni. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Demak, C = 11. Kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi shaklni oladi: x - 2 · y + 11 = 0 .

Javob: x - 2 y + 11 = 0.

4-misol

2 3 x - y - 1 2 = 0 chiziq va shu chiziqda yotgan M 0 nuqta berilgan. Bu nuqtaning faqat abssissasi ma'lum va u - 3 ga teng. Berilgan nuqtaning ordinatasini aniqlash kerak.

Qaror

M 0 nuqtaning koordinatalarini belgilashni x 0 va y 0 qilib belgilaymiz. Dastlabki ma'lumotlar shuni ko'rsatadiki, x 0 \u003d - 3. Nuqta berilgan chiziqqa tegishli bo'lganligi sababli, uning koordinatalari ushbu chiziqning umumiy tenglamasiga mos keladi. Keyin quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 ni aniqlang: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Javob: - 5 2

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan to'g'ri chiziqning boshqa turdagi tenglamalariga o'tish va aksincha.

Ma'lumki, tekislikda bir xil to'g'ri chiziq tenglamasining bir necha turlari mavjud. Tenglama turini tanlash masala shartlariga bog'liq; uning yechimi uchun qulayroq bo'lganini tanlash mumkin. Bu erda bir turdagi tenglamani boshqa turdagi tenglamaga aylantirish mahorati juda foydali bo'ladi.

Birinchidan, A x + B y + C = 0 ko'rinishdagi umumiy tenglamadan x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik tenglamaga o'tishni ko'rib chiqing.

Agar A ≠ 0 bo'lsa, u holda B y atamani umumiy tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz. Chap tomonda biz qavs ichidan A ni chiqaramiz. Natijada: A x + C A = - B y ni olamiz.

Bu tenglikni nisbat sifatida yozish mumkin: x + C A - B = y A .

Agar B ≠ 0 bo'lsa, umumiy tenglamaning chap tomonida faqat A x atamasini qoldiramiz, qolganlarini o'ng tomonga o'tkazamiz, biz quyidagilarni olamiz: A x \u003d - B y - C. Qavslar ichidan - B chiqaramiz, keyin: A x \u003d - B y + C B.

Tenglikni proporsiya sifatida qayta yozamiz: x - B = y + C B A .

Albatta, olingan formulalarni yodlashning hojati yo'q. Umumiy tenglamadan kanonik tenglamaga o'tishda harakatlar algoritmini bilish kifoya.

5-misol

3 y - 4 = 0 chiziqning umumiy tenglamasi berilgan. Uni kanonik tenglamaga aylantirish kerak.

Qaror

Asl tenglamani 3 y - 4 = 0 deb yozamiz. Keyinchalik, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz: 0 x atamasi chap tomonda qoladi; va o'ng tomonda biz olib tashlaymiz - 3 ta qavsdan; olamiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Olingan tenglikni proporsiya sifatida yozamiz: x - 3 = y - 4 3 0 . Shunday qilib, biz kanonik shaklning tenglamasini oldik.

Javob: x - 3 = y - 4 3 0.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini parametrik tenglamaga aylantirish uchun avval ga o'tiladi kanonik shakl, so'ngra to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasidan parametrik tenglamalarga o'tish.

6-misol

To'g'ri chiziq 2 x - 5 y - 1 = 0 tenglama bilan berilgan. Ushbu chiziqning parametrik tenglamalarini yozing.

Qaror

Keling, umumiy tenglamadan kanonik tenglamaga o'tamiz:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Endi l ga teng kanonik tenglamaning ikkala qismini olaylik, keyin:

x 5 = l y + 1 5 2 = l ⇔ x = 5 l y = - 1 5 + 2 l , l ∈ R

Javob:x = 5 l y = - 1 5 + 2 l , l ∈ R

Umumiy tenglamani to'g'ri chiziq tenglamasiga aylantirish mumkin qiyalik omili y \u003d k x + b, lekin faqat B ≠ 0 bo'lganda. Chap tarafdagi o'tish uchun biz B y atamasini qoldiramiz, qolganlari o'ngga o'tkaziladi. Biz olamiz: B y = - A x - C . Olingan tenglikning ikkala qismini noldan farq qiluvchi B ga ajratamiz: y = - A B x - C B .

7-misol

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan: 2 x + 7 y = 0 . Bu tenglamani qiyalik tenglamasiga aylantirishingiz kerak.

Qaror

Keling, algoritmga muvofiq kerakli amallarni bajaramiz:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Javob: y = - 2 7 x.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan shunchaki x a + y b \u003d 1 ko'rinishdagi segmentlarda tenglamani olish kifoya. Bunday o'tishni amalga oshirish uchun biz C raqamini tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz, hosil bo'lgan tenglikning ikkala qismini - S ga bo'lamiz va nihoyat, x va y o'zgaruvchilari uchun koeffitsientlarni maxrajlarga o'tkazamiz:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8-misol

X - 7 y + 1 2 = 0 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasiga aylantirish kerak.

Qaror

1 2 ni o'ng tomonga o'tkazamiz: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Tenglamaning har ikki tomonini -1/2 ga bo'ling: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Javob: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Umuman olganda, teskari o'tish ham oson: boshqa turdagi tenglamalardan umumiy tenglamaga.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasini va qiyalikli tenglamani tenglamaning chap tomonidagi barcha shartlarni yig'ish orqali osongina umumiyga aylantirish mumkin:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonik tenglama quyidagi sxema bo'yicha umumiy tenglamaga aylantiriladi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrikdan o'tish uchun avval kanonikga, keyin esa umumiyga o'tish amalga oshiriladi:

x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9-misol

x = - 1 + 2 · l y = 4 to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari berilgan. Bu chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Parametrik tenglamalardan kanonik tenglamalarga o'tamiz:

x = - 1 + 2 l y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 l y = 4 + 0 l ⇔ l = x + 1 2 l = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Keling, kanonikdan umumiyga o'tamiz:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Javob: y - 4 = 0

10-misol

x 3 + y 1 2 = 1 segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan. ga o'tish kerak umumiy ko'rinish tenglamalar.

Qaror:

Keling, tenglamani kerakli shaklda qayta yozamiz:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Javob: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini tuzish

Yuqorida biz umumiy tenglamani normal vektorning ma'lum koordinatalari va chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari bilan yozish mumkinligini aytdik. Bunday to'g'ri chiziq A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama bilan aniqlanadi. Xuddi shu joyda biz tegishli misolni tahlil qildik.

Endi, avvalo, normal vektorning koordinatalarini aniqlash kerak bo'lgan murakkabroq misollarni ko'rib chiqaylik.

11-misol

2 x - 3 y + 3 3 = 0 chiziqqa parallel chiziq berilgan. Berilgan chiziq o'tadigan M 0 (4 , 1) nuqtasi ham ma'lum. Berilgan to'g'ri chiziq tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Dastlabki shartlar bizga chiziqlar parallel ekanligini aytadi, holbuki, tenglamasi yozilishi kerak bo'lgan chiziqning normal vektori sifatida biz chiziqning yo'naltiruvchi vektorini olamiz n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Endi biz to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini tuzish uchun barcha kerakli ma'lumotlarni bilamiz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Javob: 2 x - 3 y - 5 = 0.

12-misol

Berilgan chiziq koordinata boshi orqali x - 2 3 = y + 4 5 chiziqqa perpendikulyar o'tadi. Berilgan to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Berilgan chiziqning normal vektori x - 2 3 = y + 4 5 chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi.

Keyin n → = (3 , 5) . To'g'ri chiziq boshlang'ichdan o'tadi, ya'ni. O nuqta orqali (0, 0) . Berilgan to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini tuzamiz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Javob: 3 x + 5 y = 0.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ikki ball berilsin M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2). To'g'ri chiziq tenglamasini (5) ko'rinishda yozamiz, bu erda k Hali noma'lum koeffitsient:

Gap shundaki M 2 berilgan chiziqqa tegishli bo'lsa, uning koordinatalari (5) tenglamani qanoatlantiradi: . Bu yerdan ifodalab, uni (5) tenglamaga almashtirib, kerakli tenglamani olamiz:

Agar a Ushbu tenglamani eslab qolish osonroq bo'lgan shaklda qayta yozish mumkin:

(6)

Misol. M 1 (1.2) va M 2 (-2.3) nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing.

Qaror. . Proporsiya xususiyatidan foydalanib, kerakli o'zgartirishlarni amalga oshirib, biz to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini olamiz:

Ikki chiziq orasidagi burchak

Ikki qatorni ko'rib chiqing l 1 va l 2:

l 1: , , va

l 2: , ,

ph - ular orasidagi burchak (). 4-rasmda ko'rsatilgan: .

Bu yerdan , yoki

Formuladan (7) foydalanib, chiziqlar orasidagi burchaklardan birini aniqlash mumkin. Ikkinchi burchak - bu.

Misol. Ikki to'g'ri chiziq y=2x+3 va y=-3x+2 tenglamalar bilan berilgan. bu chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Qaror. Tenglamalardan k 1 \u003d 2 va k 2 \u003d-3 ekanligini ko'rish mumkin. bu qiymatlarni (7) formulaga almashtirib, topamiz

. Demak, bu chiziqlar orasidagi burchak .

Ikki chiziqning parallelligi va perpendikulyarligi shartlari

To'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 u holda parallel bo'ladi φ=0 va tgph=0. (7) formuladan kelib chiqadiki, , qaerdan k 2 \u003d k 1. Shunday qilib, ikkita chiziq parallelligining sharti ularning qiyaliklarining tengligidir.

To'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 perpendikulyar, keyin ph=p/2, a 2 = p/2+ a 1 . . Demak, ikkita toʻgʻri chiziqning perpendikulyar boʻlishi sharti shundaki, ularning qiyaligi kattaligi boʻyicha oʻzaro va ishorasi boʻyicha qarama-qarshi boʻladi.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Teorema. Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + Vy + C \u003d 0 chizig'igacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.

Isbot. M nuqtadan berilgan chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo'lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:

x 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan nuqta M 0 berilgan chiziqqa perpendikulyar.

Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Misol. 3x - 5y + 7 = 0 va 10x + 6y - 3 = 0 chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko'rsating.

Biz topamiz: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, shuning uchun chiziqlar perpendikulyar.

Misol. Uchburchakning A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.

AB tomonining tenglamasini topamiz: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Kerakli balandlik tenglamasi: Ax + By + C = 0 yoki y = kx + b.

k=. Keyin y =. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, keyin uning koordinatalari qanoatlanadi bu tenglama: bundan b = 17. Jami: .

Javob: 3x + 2y - 34 = 0.

Nuqtadan chiziqqa masofa nuqtadan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi bilan aniqlanadi.

Agar chiziq proyeksiya tekisligiga parallel bo'lsa (h | | P 1), keyin nuqtadan masofani aniqlash uchun LEKIN to'g'riga h nuqtadan perpendikulyar tushirish kerak LEKIN gorizontalga h.

Ko'proq o'ylab ko'ring murakkab misol chiziq egallaganda umumiy pozitsiya. Nuqtadan masofani aniqlash kerak bo'lsin M to'g'riga a umumiy pozitsiya.

Ta'rif vazifasi parallel chiziqlar orasidagi masofalar oldingisiga o'xshash tarzda hal qilinadi. Bir chiziqda nuqta olinadi va undan boshqa chiziqqa perpendikulyar o'tkaziladi. Perpendikulyarning uzunligi parallel chiziqlar orasidagi masofaga teng.

Ikkinchi tartibli egri chiziq joriy dekart koordinatalariga nisbatan ikkinchi darajali tenglama bilan aniqlangan chiziq. Umumiy holatda, Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

bu yerda A, B, C, D, E, F haqiqiy sonlar va A 2 + B 2 + C 2 ≠0 raqamlaridan kamida bittasi.

Doira

Doira markazi- bu C (a, b) tekislik nuqtasidan teng masofada joylashgan tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi.

Doira quyidagi tenglama bilan berilgan:

Bu yerda x, y aylanadagi ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari, R aylananing radiusi.

Doira tenglamasining belgisi

1. X, y bilan atama mavjud emas

2. x 2 va y 2 da koeffitsientlar teng

Ellips

Ellips tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi deyiladi, ularning har birining ushbu tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan masofalari yig'indisi fokuslar (doimiy qiymat) deb ataladi.

Ellipsning kanonik tenglamasi:

X va y ellipsga tegishli.

a - ellipsning asosiy yarim o'qi

b - ellipsning kichik yarim o'qi

Ellips 2 simmetriya o'qiga ega OX va OY. Ellipsning simmetriya o'qlari uning o'qlari, ularning kesishish nuqtasi ellipsning markazidir. Fokuslar joylashgan o'q deyiladi fokus o'qi. Ellipsning o'qlari bilan kesishish nuqtasi ellipsning cho'qqisidir.

Siqish (cho'zish) nisbati: e = c/a- ekssentriklik (ellips shaklini xarakterlaydi), u qanchalik kichik bo'lsa, ellips fokus o'qi bo'ylab kamroq cho'ziladi.

Agar ellips markazlari markazda bo'lmasa S(a, b)

Giperbola

Giperbola tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi deyiladi, masofalar farqining mutlaq qiymati, bu tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan, fokuslar deb ataladigan har biri noldan boshqa doimiy qiymatdir.

Giperbolaning kanonik tenglamasi

Giperbolada ikkita simmetriya o'qi mavjud:

a - simmetriyaning haqiqiy yarim o'qi

b - simmetriyaning xayoliy yarim o'qi

Giperbolaning asimptotalari:

Parabola

parabola- tekislikdagi nuqtalarning fokus deb ataladigan ma'lum F nuqtadan va direktrisa deb ataladigan to'g'ri chiziqdan teng masofadagi nuqtalarning joylashuvi.

Kanonik parabola tenglamasi:

Y 2 \u003d 2px, bu erda p - fokusdan direktrisagacha bo'lgan masofa (parabola parametri)

Agar parabolaning tepasi C (a, b) bo'lsa, u holda parabolaning tenglamasi (y-b) 2 \u003d 2p (x-a)

Agar fokus o'qi y o'qi sifatida qabul qilinsa, parabola tenglamasi quyidagi shaklni oladi: x 2 \u003d 2qy

To'g'ri chiziq M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalardan o'tadi. M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi y- y 1 \u003d ko'rinishga ega. k (x - x 1), (10.6)

qayerda k - hali noma'lum koeffitsient.

To'g'ri chiziq M 2 (x 2 y 2) nuqtasidan o'tganligi sababli, bu nuqtaning koordinatalari (10.6) tenglamani qondirishi kerak: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Bu yerdan topilgan qiymatni almashtirishni topamiz k (10.6) tenglamaga kirib, M 1 va M 2 nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz:

Bu tenglamada x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 deb faraz qilinadi.

Agar x 1 \u003d x 2 bo'lsa, u holda M 1 (x 1, y I) va M 2 (x 2, y 2) nuqtalaridan o'tadigan to'g'ri chiziq y o'qiga parallel bo'ladi. Uning tenglamasi x = x 1 .

Agar y 2 \u003d y I bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini y \u003d y 1 shaklida yozish mumkin, M 1 M 2 to'g'ri chiziq x o'qiga parallel.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi

Toʻgʻri chiziq Oʻq oʻqini M 1 (a; 0) nuqtada, Oy oʻqi esa M 2 (0; b) nuqtada kesishsin. Tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:
bular.
. Bu tenglama deyiladi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, chunki a va b raqamlari to'g'ri chiziq koordinata o'qlarida qaysi segmentlarni kesib tashlashini ko'rsatadi.

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

Berilgan nolga teng bo‘lmagan n = (A; B) vektorga perpendikulyar Mo (x O; y o) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi topilsin.

To'g'ri chiziqning ixtiyoriy M(x; y) nuqtasini oling va M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorini ko'rib chiqing (1-rasmga qarang). n va M o M vektorlar perpendikulyar bo'lganligi uchun ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng: ya'ni,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) tenglama chaqiriladi berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi .

Chiziqga perpendikulyar n = (A; B) vektor normal deyiladi bu chiziqning normal vektori .

(10.8) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

bu erda A va B normal vektorning koordinatalari, C \u003d -Ax o - Vu o - erkin a'zo. Tenglama (10.9) toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasidir(2-rasmga qarang).

1-rasm 2-rasm

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari

,

Qayerda
- chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari va
- yo'nalish vektori.

Ikkinchi tartibli aylana egri chiziqlari

Doira - berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, u markaz deb ataladi.

Radiusli aylananing kanonik tenglamasi R nuqtaga markazlashtirilgan
:

Xususan, agar qoziqning markazi boshlang'ichga to'g'ri kelsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Ellips

Ellips - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami, ularning har biridan berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi. va fokuslar deb ataladigan , doimiy qiymatdir
, fokuslar orasidagi masofadan kattaroq
.

Fokuslari Ox o'qida joylashgan va kelib chiqishi fokuslar orasidagi o'rtada joylashgan ellipsning kanonik tenglamasi shaklga ega.
G de a asosiy yarim o'qning uzunligi; b - kichik yarim o'qning uzunligi (2-rasm).

Fazodagi toʻgʻri chiziqning kanonik tenglamalari berilgan nuqtadan yoʻnalish vektoriga kollinear oʻtuvchi toʻgʻri chiziqni aniqlovchi tenglamalardir.

Nuqta va yo'nalish vektori berilgan bo'lsin. Ixtiyoriy nuqta chiziq ustida yotadi l faqat va vektorlari kollinear bo'lsa, ya'ni ular shartni qondirsa:

.

Yuqoridagi tenglamalar chiziqning kanonik tenglamalaridir.

Raqamlar m , n va p yo‘nalish vektorining koordinata o‘qlariga proyeksiyalaridir. Vektor nolga teng bo'lmagani uchun barcha raqamlar m , n va p bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas. Ammo ulardan bir yoki ikkitasi nolga teng bo'lishi mumkin. DA analitik geometriya Masalan, quyidagi yozuvga ruxsat beriladi:

,

demak, vektorning o'qlarga proyeksiyalari Oy va Oz nolga teng. Demak, kanonik tenglamalar orqali berilgan vektor ham, to‘g‘ri chiziq ham o‘qlarga perpendikulyar Oy va Oz, ya'ni samolyotlar yOz .

1-misol Tekislikka perpendikulyar bo'lgan fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalarini tuzing va bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasidan o'tish Oz .

Qaror. Berilgan tekislikning o‘q bilan kesishish nuqtasini toping Oz. O'qning istalgan nuqtasidan boshlab Oz, tekislikning berilgan tenglamasida faraz qilsak, koordinatalariga ega x=y= 0, biz 4 ni olamiz z- 8 = 0 yoki z= 2 . Demak, berilgan tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasi Oz koordinatalariga ega (0; 0; 2) . Kerakli chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgani uchun u normal vektoriga parallel. Shuning uchun normal vektor to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'lib xizmat qilishi mumkin berilgan samolyot.

Endi nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini yozamiz A= (0; 0; 2) vektor yo'nalishi bo'yicha:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalari

To'g'ri chiziqni uning ustida joylashgan ikkita nuqta bilan aniqlash mumkin va Bunday holda, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori vektor bo'lishi mumkin. Keyin chiziqning kanonik tenglamalari shaklni oladi

.

Yuqoridagi tenglamalar ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni aniqlaydi.

2-misol va nuqtalardan o'tuvchi fazodagi to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Qaror. To'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini nazariy ma'lumotnomada yuqorida keltirilgan shaklda yozamiz:

.

Chunki , u holda kerakli chiziq o'qga perpendikulyar Oy .

To'g'ri tekisliklarning kesishish chizig'i sifatida

Kosmosdagi to'g'ri chiziqni ikkita parallel bo'lmagan tekisliklarning kesishish chizig'i va, ya'ni ikkita chiziqli tenglamalar tizimini qanoatlantiradigan nuqtalar to'plami sifatida aniqlash mumkin.

Tizim tenglamalari fazodagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamalari deb ham ataladi.

3-misol Umumiy tenglamalar bilan berilgan fazoda to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing

Qaror. To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini yoki ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozish uchun to'g'ri chiziqdagi istalgan ikkita nuqtaning koordinatalarini topish kerak. Ular, masalan, har qanday ikkita koordinatali tekislik bilan to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalari bo'lishi mumkin yOz va xOz .

Chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasi yOz abtsissaga ega x= 0. Shuning uchun, bu tenglamalar tizimida faraz qilish x= 0, biz ikkita o'zgaruvchiga ega tizimni olamiz:

Uning qarori y = 2 , z= 6 bilan birga x= 0 nuqtani belgilaydi A(0; 2; 6) kerakli chiziq. U holda berilgan tenglamalar tizimida faraz qilsak y= 0, biz tizimni olamiz

Uning qarori x = -2 , z= 0 bilan birga y= 0 nuqtani belgilaydi B(-2; 0; 0) chiziqning tekislik bilan kesishishi xOz .

Endi nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalarini yozamiz A(0; 2; 6) va B (-2; 0; 0) :

,

yoki maxrajlarni -2 ga bo'lgandan keyin:

,

Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.
Yo'nalish vektori to'g'ri. Oddiy vektor

Tekislikdagi to'g'ri chiziq sizga boshlang'ich sinflardan beri tanish bo'lgan eng oddiy geometrik shakllardan biri bo'lib, bugun biz analitik geometriya usullaridan foydalangan holda u bilan qanday kurashishni o'rganamiz. Materialni o'zlashtirish uchun to'g'ri chiziq qura olish kerak; Qaysi tenglama to‘g‘ri chiziqni, xususan, koordinata o‘qlariga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlarni va koordinatalarning bosh nuqtasidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni aniqlashini biling. Ushbu ma'lumotni qo'llanmada topish mumkin. Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari, Men uni matan uchun yaratdim, lekin chiziqli funktsiya bo'limi juda muvaffaqiyatli va batafsil bo'lib chiqdi. Shuning uchun, aziz choynaklar, avval u erda isinib turing. Bundan tashqari, sizda bo'lishi kerak asosiy bilim haqida vektorlar aks holda materialni tushunish to'liq bo'lmaydi.

Ushbu darsda biz tekislikda to'g'ri chiziq tenglamasini yozish usullarini ko'rib chiqamiz. Amaliy misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikni tavsiya qilaman (hatto bu juda oddiy bo'lib tuyulsa ham), chunki men ularni boshlang'ich va muhim faktlar, kelajakda talab qilinadigan texnik usullar, shu jumladan oliy matematikaning boshqa bo'limlarida.

• Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?
• Qanday ?
• To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bo'yicha yo'nalish vektorini qanday topish mumkin?
• Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

va biz boshlaymiz:

Nishab bilan chiziqli tenglama

To'g'ri chiziq tenglamasining mashhur "maktab" shakli deyiladi qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi. Masalan, tenglama bilan to'g'ri chiziq berilgan bo'lsa, uning qiyaligi: . O'ylab ko'ring geometrik ma'no berilgan koeffitsient va uning qiymati chiziqning joylashishiga qanday ta'sir qiladi:

Bu geometriya kursida isbotlangan to'g'ri chiziqning qiyaligi burchak tangensi musbat o'q yo'nalishi o'rtasidava berilgan qator: , va burchak soat sohasi farqli ravishda "ochiladi".

Chizmani chalkashtirib yubormaslik uchun men faqat ikkita to'g'ri chiziq uchun burchaklar chizdim. "Qizil" to'g'ri chiziqni va uning qiyaligini ko'rib chiqing. Yuqoridagilarga ko'ra: ("alfa" burchagi yashil yoy bilan ko'rsatilgan). Nishab bilan "ko'k" to'g'ri chiziq uchun tenglik haqiqatdir ("beta" burchagi jigarrang yoy bilan ko'rsatilgan). Va agar burchakning tangensi ma'lum bo'lsa, agar kerak bo'lsa, uni topish oson va burchak teskari funksiya yordamida - yoy tangensi. Ular aytganidek, trigonometrik jadval yoki qo'lda kalkulyator. Shunday qilib, qiyalik to'g'ri chiziqning x o'qiga moyillik darajasini tavsiflaydi.

Bunday holda, quyidagi holatlar mumkin:

1) Nishab manfiy bo'lsa: , u holda chiziq, taxminan aytganda, yuqoridan pastga o'tadi. Masalan, chizmadagi "ko'k" va "qizil" to'g'ri chiziqlar.

2) Nishab musbat bo'lsa: , u holda chiziq pastdan yuqoriga o'tadi. Masalan, chizmadagi "qora" va "qizil" to'g'ri chiziqlar.

3) Nishab bo'lsa nol:, keyin tenglama shaklni oladi va mos keladigan to'g'ri chiziq o'qga parallel bo'ladi. Masalan, "sariq" chiziq.

4) O'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar oilasi uchun (chizmada o'qning o'zidan tashqari hech qanday misol yo'q), qiyalik mavjud emas (90 daraja tangensi aniqlanmagan).

Nishab moduli qanchalik katta bo'lsa, chiziq chizig'i shunchalik tiklanadi.

Masalan, ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. Bu erda, shuning uchun to'g'ri chiziq keskinroq nishabga ega. Sizga eslatib o'tamanki, modul sizga belgini e'tiborsiz qoldirishga imkon beradi, biz faqat qiziqamiz mutlaq qiymatlar burchak koeffitsientlari.

O'z navbatida, to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqlarga qaraganda tikroqdir. .

Aksincha: Nishab moduli qanchalik kichik bo'lsa, to'g'ri chiziq tekisroq bo'ladi.

To'g'ri chiziqlar uchun tengsizlik to'g'ri, shuning uchun to'g'ri chiziq soyabondan ko'ra ko'proq. Ko'karishlar va zarbalarni o'tqazmaslik uchun bolalar slaydlari.

Bu nima uchun kerak?

Qiynoqlaringizni uzaytiring Yuqoridagi faktlarni bilish sizning xatolaringizni, xususan, grafiklarni tuzishda xatolaringizni darhol ko'rish imkonini beradi - agar chizma "aniq bir narsa noto'g'ri" bo'lib chiqsa. Siz bo'lishingiz ma'qul to'g'ridan-to'g'ri masalan, to'g'ri chiziq juda tik va pastdan tepaga, to'g'ri chiziq esa juda tekis, o'qga yaqin va yuqoridan pastgacha borishi aniq edi.

Geometrik masalalarda ko'pincha bir nechta to'g'ri chiziqlar paydo bo'ladi, shuning uchun ularni qandaydir tarzda belgilash qulay.

Belgilash: to'g'ri chiziqlar kichik bilan ko'rsatilgan lotin harflari bilan: . Ommabop variant - bu tabiiy pastki belgilar bilan bir xil harfning belgilanishi. Masalan, biz ko'rib chiqqan besh qatorni bilan belgilash mumkin .

Har qanday to'g'ri chiziq yagona ikkita nuqta bilan aniqlanganligi sababli, uni quyidagi nuqtalar bilan belgilash mumkin: va hokazo. Belgilanish nuqtalar chiziqqa tegishli ekanligini aniq ko'rsatadi.

Biroz bo'shash vaqti keldi:

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar ma'lum bir chiziqqa tegishli nuqta va bu chiziqning qiyaligi ma'lum bo'lsa, bu chiziq tenglamasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

1-misol

Agar nuqta shu to'g'ri chiziqqa tegishli ekanligi ma'lum bo'lsa, qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.

Qaror: Formula bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz . Ushbu holatda:

Javob:

Imtihon elementar tarzda amalga oshiriladi. Birinchidan, biz hosil bo'lgan tenglamani ko'rib chiqamiz va nishabimiz o'z o'rnida ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Ikkinchidan, nuqtaning koordinatalari berilgan tenglamani qanoatlantirishi kerak. Keling, ularni tenglamaga kiritamiz:

To'g'ri tenglik olinadi, ya'ni nuqta hosil bo'lgan tenglamani qanoatlantiradi.

Xulosa: Tenglama to'g'ri topildi.

O'z-o'zidan hal qilish uchun yanada murakkab misol:

2-misol

To'g'ri chiziq tenglamasini yozing, agar uning o'qning musbat yo'nalishiga moyillik burchagi ga teng bo'lsa va nuqta shu to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lsa.

Agar muammoga duch kelsangiz, qayta o'qing nazariy material. Aniqrog'i, amaliyroq, ko'p dalillarni sog'indim.

jiringladi oxirgi qo `ng` iroq, Balo tugadi va darvoza tashqarisida uy maktabi biz kutamiz, aslida, analitik geometriya. Hazillar tugadi... Balki endigina boshlanayotgandir =)

Nostaljik tarzda biz tutqichni tanishga silkitamiz va to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bilan tanishamiz. Chunki analitik geometriyada aynan shu narsa qo'llaniladi:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi shaklga ega: , ba'zi raqamlar qayerda. Shu bilan birga, koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng emas, chunki tenglama o'z ma'nosini yo'qotadi.

Keling, kostyum kiyib, nishab bilan tenglamani bog'laymiz. Birinchidan, biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:

"X" bilan atama birinchi o'ringa qo'yilishi kerak:

Asos sifatida, tenglama allaqachon shaklga ega, ammo matematik odob-axloq qoidalariga ko'ra, birinchi atama koeffitsienti (bu holda ) ijobiy bo'lishi kerak. O'zgaruvchan belgilar:

Buni eslab qoling texnik xususiyat! Biz birinchi koeffitsientni (ko'pincha) ijobiy qilamiz!

Analitik geometriyada to'g'ri chiziq tenglamasi deyarli har doim beriladi umumiy shakl. Xo'sh, agar kerak bo'lsa, uni qiyalik bilan "maktab" shakliga keltirish oson (y o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar bundan mustasno).

Keling, o'zimizga nima deb so'raylik yetarli to'g'ri chiziq qurishni bilasizmi? Ikki ball. Ammo bu bolalik ishi haqida keyinroq, endi o'qlar qoidasiga amal qiladi. Har bir to'g'ri chiziq aniq belgilangan qiyalikga ega, unga "moslashish" oson. vektor.

Chiziqqa parallel bo'lgan vektor shu chiziqning yo'nalishi vektori deyiladi.. Shubhasiz, har qanday to'g'ri chiziq cheksiz ko'p yo'nalish vektorlariga ega va ularning barchasi kollinear bo'ladi (birga yo'naltirilgan yoki yo'q - bu muhim emas).

Yo'nalish vektorini quyidagicha belgilayman: .

Ammo to'g'ri chiziq qurish uchun bitta vektor etarli emas, vektor erkin va tekislikning biron bir nuqtasiga biriktirilmagan. Shuning uchun, chiziqqa tegishli bo'lgan ba'zi bir nuqtani bilish qo'shimcha ravishda zarur.

Nuqta va yo‘nalish vektori berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar chiziqqa tegishli ma'lum nuqta va bu chiziqning yo'naltiruvchi vektori ma'lum bo'lsa, u holda bu chiziq tenglamasini quyidagi formula bilan tuzish mumkin:

Ba'zan deyiladi chiziqning kanonik tenglamasi .

Qachon nima qilish kerak koordinatalaridan biri nolga teng, biz quyida amaliy misollarni ko'rib chiqamiz. Aytgancha, e'tibor bering - ikkalasi birdan koordinatalar nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki nol vektor ma'lum bir yo'nalishni belgilamaydi.

3-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing

Qaror: Formula bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz. Ushbu holatda:

Proportsional xususiyatlardan foydalanib, biz kasrlardan xalos bo'lamiz:

Va biz tenglamani umumiy shaklga keltiramiz:

Javob:

Bunday misollarni chizish, qoida tariqasida, kerak emas, lekin tushunish uchun:

Chizmada biz boshlang'ich nuqtani, asl yo'nalish vektorini (u tekislikning istalgan nuqtasidan kechiktirish mumkin) va qurilgan chiziqni ko'ramiz. Aytgancha, ko'p hollarda to'g'ri chiziqni qurish eng qulay tarzda qiyalik tenglamasi yordamida amalga oshiriladi. Bizning tenglamani shaklga aylantirish oson va hech qanday muammosiz to'g'ri chiziq qurish uchun yana bitta nuqtani oling.

Bo'lim boshida ta'kidlanganidek, chiziq cheksiz ko'p yo'nalish vektorlariga ega va ularning barchasi kollineardir. Masalan, men uchta vektorni chizdim: . Qaysi yo'nalish vektorini tanlasak, natija har doim bir xil to'g'ri chiziq tenglamasi bo'ladi.

Nuqta va yo‘naltiruvchi vektor bo‘yicha to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Proporsiyani taqsimlash:

Ikkala tomonni -2 ga bo'ling va tanish tenglamani oling:

Xohlaganlar xuddi shunday vektorlarni sinab ko'rishlari mumkin yoki boshqa har qanday kollinear vektor.

Endi teskari masalani yechamiz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bo'yicha yo'nalish vektorini qanday topish mumkin?

Juda onson:

Agar to'g'ri chiziq to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda vektor bu to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori bo'ladi.

To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topishga misollar:

Ushbu bayonot cheksiz to'plamdan faqat bitta yo'nalish vektorini topishga imkon beradi, ammo bizga ko'proq kerak emas. Ba'zi hollarda yo'nalish vektorlarining koordinatalarini kamaytirish tavsiya etiladi:

Shunday qilib, tenglama o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni belgilaydi va natijada paydo bo'lgan boshqariladigan vektorning koordinatalari -2 ga qulay tarzda bo'linadi va Rulda vektori sifatida aynan bazis vektorini oladi. Mantiqan.

Xuddi shunday, tenglama o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni aniqlaydi va vektorning koordinatalarini 5 ga bo'lib, biz yo'nalish vektori sifatida ortni olamiz.

Endi bajaramiz 3-misolni tekshiring. Misol yuqoriga ko'tarildi, shuning uchun eslataman, unda biz nuqta va yo'nalish vektoridan foydalangan holda to'g'ri chiziq tenglamasini tuzdik.

Birinchidan, to'g'ri chiziq tenglamasiga ko'ra, biz uning yo'naltiruvchi vektorini tiklaymiz: - hamma narsa yaxshi, biz asl vektorni oldik (ba'zi hollarda u asl vektorga to'g'ri kelishi mumkin va buni odatda mos keladigan koordinatalarning mutanosibligi bilan ko'rish oson).

Ikkinchidan, nuqtaning koordinatalari tenglamani qondirishi kerak. Biz ularni tenglamaga almashtiramiz:

To'g'ri tenglik olindi, biz bundan juda mamnunmiz.

Xulosa: Ish toʻgʻri bajarildi.

4-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Dars oxirida yechim va javob. Ko'rib chiqilgan algoritm bo'yicha tekshirishni amalga oshirish juda ma'qul. Har doim (agar iloji bo'lsa) qoralamani tekshirishga harakat qiling. 100% oldini olish mumkin bo'lgan xatolarga yo'l qo'yish ahmoqlikdir.

Yo'nalish vektorining koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, buni qilish juda oddiy:

5-misol

Qaror: Formula noto'g'ri, chunki o'ng tomondagi maxraj nolga teng. Chiqish bor! Proportsional xususiyatlardan foydalanib, biz formulani shaklda qayta yozamiz, qolganlari esa chuqur yo'l bo'ylab o'raladi:

Javob:

Imtihon:

1) To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini tiklang:
- olingan vektor dastlabki yo'nalish vektoriga kollinear.

2) Tenglamadagi nuqta koordinatalarini almashtiring:

To'g'ri tenglik olinadi

Xulosa: ish to'g'ri bajarildi

Savol tug'iladi, agar baribir ishlaydigan universal versiya mavjud bo'lsa, nima uchun formula bilan bezovta qilish kerak? Buning ikkita sababi bor. Birinchidan, kasr formulasi eslash yaxshiroq. Ikkinchidan, universal formulaning kamchiligi shundaki chalkashlik xavfi sezilarli darajada oshdi koordinatalarni almashtirganda.

6-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

Keling, hamma joyda mavjud bo'lgan ikkita nuqtaga qaytaylik:

Ikki nuqta berilgan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar ikkita nuqta ma'lum bo'lsa, u holda ushbu nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi formula yordamida tuzish mumkin:

Aslida, bu formulaning bir turi va buning sababi: agar ikkita nuqta ma'lum bo'lsa, vektor bu chiziqning yo'nalishi vektori bo'ladi. Darsda Dummies uchun vektorlar biz eng oddiy masalani ko'rib chiqdik - ikkita nuqtadan vektorning koordinatalarini qanday topish mumkin. Ushbu masala bo'yicha yo'nalish vektorining koordinatalari:

Eslatma : nuqtalarni "almashtirish" mumkin va formuladan foydalaning . Bunday qaror teng bo'ladi.

7-misol

Ikki nuqtadan toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing .

Qaror: Formuladan foydalaning:

Biz maxrajlarni taraymiz:

Va pastki qismni aralashtiramiz:

Endi qutulish vaqti keldi kasr sonlar. Bunday holda, siz ikkala qismni 6 ga ko'paytirishingiz kerak:

Qavslarni oching va tenglamani yodda tuting:

Javob:

Imtihon aniq - boshlang'ich nuqtalarning koordinatalari hosil bo'lgan tenglamani qondirishi kerak:

1) Nuqta koordinatalarini almashtiring:

Haqiqiy tenglik.

2) Nuqta koordinatalarini almashtiring:

Haqiqiy tenglik.

Xulosa: to'g'ri chiziq tenglamasi to'g'ri.

Agar a kamida bitta ballar soni tenglamani qanoatlantirmaydi, xatoni qidiring.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda grafik tekshirish qiyin, chunki chiziq qurish va nuqtalar unga tegishli yoki yo'qligini ko'rish. , unchalik oson emas.

Men yechimning bir nechta texnik nuqtalarini qayd etaman. Ehtimol, bu muammoda oyna formulasidan foydalanish foydaliroqdir va, xuddi shu nuqtalar uchun tenglama tuzing:

Kamroq fraktsiyalar mavjud. Agar xohlasangiz, yechimni oxirigacha bajarishingiz mumkin, natijada bir xil tenglama bo'lishi kerak.

Ikkinchi nuqta - yakuniy javobga qarash va uni yanada soddalashtirish mumkinmi? Misol uchun, agar tenglama olingan bo'lsa, uni ikkiga qisqartirish tavsiya etiladi: - tenglama bir xil to'g'ri chiziqni o'rnatadi. Biroq, bu allaqachon suhbat mavzusi to'g'ri chiziqlarning o'zaro joylashishi.

Javob olgandan keyin 7-misolda, har qanday holatda, men tenglamaning HAMMA koeffitsientlari 2, 3 yoki 7 ga bo'linishini tekshirdim. Garchi ko'pincha bunday qisqartirishlar yechim jarayonida amalga oshiriladi.

8-misol

Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing .

Bu mustaqil yechim uchun misol bo'lib, bu sizga hisoblash texnikasini yaxshiroq tushunish va ishlab chiqish imkonini beradi.

Oldingi paragrafga o'xshash: formulada bo'lsa maxrajlardan biri (yo'nalish vektori koordinatasi) yo'qoladi, keyin uni qayta yozamiz. Va yana e'tibor bering, u qanchalik noqulay va sarosimaga tushdi. Amaliy misollar keltirishda men unchalik ma'no ko'rmayapman, chunki biz allaqachon bunday muammoni hal qilganmiz (5, 6-sonlarga qarang).

To'g'ri chiziqli normal vektor (normal vektor)

Oddiy nima? Oddiy so'zlar bilan aytganda, normal - perpendikulyar. Ya'ni, chiziqning normal vektori berilgan chiziqqa perpendikulyar. Ko'rinib turibdiki, har qanday to'g'ri chiziqda ularning cheksiz soni (shuningdek, yo'naltiruvchi vektorlar) mavjud va to'g'ri chiziqning barcha normal vektorlari kollinear bo'ladi (ko'p yo'nalishli yoki yo'q - muhim emas).

Ular bilan ishlash yo'nalish vektorlariga qaraganda osonroq bo'ladi:

Agar to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasida umumiy tenglama bilan berilgan bo‘lsa, vektor bu to‘g‘ri chiziqning normal vektori bo‘ladi.

Agar yo'nalish vektorining koordinatalarini tenglamadan ehtiyotkorlik bilan "chiqarib tashlash" kerak bo'lsa, u holda oddiy vektorning koordinatalarini oddiygina "olib tashlash" mumkin.

Oddiy vektor har doim chiziqning yo'nalishi vektoriga ortogonal bo'ladi. Biz ushbu vektorlarning ortogonalligini tekshiramiz nuqta mahsuloti:

Men yo'nalish vektori bilan bir xil tenglamalar bilan misollar keltiraman:

Bir nuqta va normal vektorni bilgan holda to'g'ri chiziq tenglamasini yozish mumkinmi? Bu mumkindek tuyuladi. Agar normal vektor ma'lum bo'lsa, unda eng to'g'ri chiziqning yo'nalishi ham noyob tarzda aniqlanadi - bu 90 graduslik burchakka ega "qattiq struktura".

Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar chiziqqa tegishli biron bir nuqta va bu chiziqning normal vektori ma'lum bo'lsa, bu chiziqning tenglamasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Bu erda hamma narsa kasrlarsiz va boshqa kutilmagan hodisalarsiz o'tdi. Bu bizning oddiy vektorimiz. Juda yoqtirdim. Va hurmat =)

9-misol

Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini toping.

Qaror: Formuladan foydalaning:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi olinadi, tekshiramiz:

1) Oddiy vektorning koordinatalarini tenglamadan "olib tashlang": - ha, albatta, asl vektor shartdan olinadi (yoki vektor asl vektorga kollinear bo'lishi kerak).

2) Nuqta tenglamani qanoatlantirishini tekshiring:

Haqiqiy tenglik.

Tenglama to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilganimizdan so'ng, vazifaning ikkinchi, osonroq qismini bajaramiz. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini chiqaramiz:

Javob:

Chizmada vaziyat quyidagicha:

O'qitish maqsadlarida mustaqil hal qilish uchun shunga o'xshash vazifa:

10-misol

Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini toping.

Darsning yakuniy qismi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamalarining kamroq tarqalgan, ammo muhim turlariga bag'ishlangan.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.
To'g'ri chiziqning parametrik ko'rinishdagi tenglamasi

Segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega , bu erda nolga teng bo'lmagan doimiylar. Ba'zi turdagi tenglamalarni bu shaklda ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik (chunki erkin atama nolga teng va o'ng tomonda bittasini olishning imkoni yo'q).

Bu, obrazli qilib aytganda, tenglamaning “texnik” turi. Odatiy vazifa - to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini segmentlarda to'g'ri chiziq tenglamasi sifatida ifodalash. Nima uchun qulay? To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi to'g'ri chiziqning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini tezda topish imkonini beradi, bu oliy matematikaning ba'zi masalalarida juda muhimdir.

Chiziqning o'q bilan kesishgan nuqtasini toping. Biz "y" ni tiklaymiz va tenglama shaklni oladi. Istalgan nuqta avtomatik ravishda olinadi: .

O'q bilan bir xil chiziqning y o'qini kesishgan nuqtasidir.