Okul dersinden geometride en ilginç konulardan biri "Dörtgenler" (8. sınıf). Ne tür figürler var, hangi özel özelliklere sahipler? Doksan derecelik köşeleri olan dörtgenler hakkında benzersiz olan nedir? Tüm bunlara bir göz atalım.

Hangi geometrik şekle dörtgen denir

Dört kenar ve buna bağlı olarak dört köşeden (köşelerden) oluşan çokgenlere Öklid geometrisinde dörtgenler denir.

Bu tür figürlerin adının tarihi ilginçtir. Rus dilinde, "dörtgen" ismi "dört köşe" ifadesinden oluşur ("üçgen" gibi - üç köşe, "pentagon" - beş köşe vb.).

Bununla birlikte, Latince'de (dünyanın çoğu diline birçok geometrik terimin geldiği), buna dörtgen denir. Bu kelime, sayısal dörtlü (dört) ve latus (yan) adından oluşur. Bu nedenle, eskiler arasında bu çokgenin yalnızca "dört kenarlı" olarak adlandırıldığı sonucuna varabiliriz.

Bu arada, böyle bir isim (bu tip şekillerde köşelerden ziyade dört kenarın varlığına vurgu yaparak) bazı modern dillerde korunmuştur. Örneğin, İngilizce - dörtgen ve Fransızca - quadrilatère.

Aynı zamanda, çoğu Slav dilinde, dikkate alınan şekil türü, kenar sayısıyla değil, hala açı sayısıyla tanımlanır. Örneğin, Slovakça'da (štvoruholník), Bulgarca'da ("chetirigalnik"), Beyaz Rusça'da ("chatyrokhkutnik"), Ukraynaca'da ("chotirikutnik"), Çekçe'de (čtyřúhelník), ancak Lehçe'de dörtgen, taraflar - czworoboczny.

Okul müfredatında ne tür dörtgenler incelenir?

Modern geometride dört kenarlı 4 tip çokgen vardır.

Ancak, bazılarının çok karmaşık özellikleri nedeniyle, geometri derslerinde okul çocukları sadece iki türle tanışır.

• Paralelkenar. Böyle bir dörtgenin karşılıklı kenarları çift olarak birbirine paraleldir ve buna göre çiftler halinde de eşittir.
• Trapez (yamuk veya yamuk). Bu dörtgen birbirine paralel iki zıt kenardan oluşur. Ancak diğer kenar çiftinde bu özellik yoktur.

Okul geometri dersinde işlenmeyen dörtgen türleri

Yukarıdakilere ek olarak, karmaşıklıkları nedeniyle öğrencilerin geometri derslerinde tanıtılmadıkları iki tür dörtgen daha vardır.

• Deltoid (uçurtma)- iki bitişik kenar çiftinin her birinin uzunluk olarak birbirine eşit olduğu bir şekil. Böyle bir dörtgen, görünüşte Yunan alfabesinin "delta" harfine oldukça benzemesi nedeniyle adını aldı.
• antiparalelogram- bu rakam adı kadar karmaşıktır. İçinde iki zıt taraf eşittir, ancak aynı zamanda birbirine paralel değildir. Ek olarak, bu dörtgenin uzun karşılıklı kenarları, diğer iki kısa kenarın uzantıları gibi birbirini keser.

paralelkenar türleri

Ana dörtgen türlerini ele aldıktan sonra, alt türlerine dikkat etmeye değer. Böylece, tüm paralelkenarlar da dört gruba ayrılır.

• Klasik paralelkenar.
• eşkenar dörtgen (eşkenar dörtgen)- eşit kenarları olan dörtgen bir şekil. Köşegenleri dik açılarda kesişerek eşkenar dörtgeni dört eşit dik üçgene böler.
• Dikdörtgen. Adı kendisi için konuşur. Dik açılı bir dörtgen olduğu için (her biri doksan dereceye eşittir). Karşılıklı kenarları sadece birbirine paralel değil, aynı zamanda eşittir.
• Kare kare). Dikdörtgen gibi, dik açıları olan bir dörtgendir, ancak tüm kenarları birbirine eşittir. Bu rakam bir eşkenar dörtgene yakındır. Bu nedenle, bir karenin bir eşkenar dörtgen ile bir dikdörtgenin çarpımı olduğu söylenebilir.

Dikdörtgen Özel Özellikleri

Kenarlar arasındaki açıların her birinin doksan dereceye eşit olduğu rakamlar göz önüne alındığında, dikdörtgen üzerinde daha yakından durmakta fayda var. Peki, onu diğer paralelkenarlardan ayıran hangi özelliklere sahiptir?

Söz konusu paralelkenarın bir dikdörtgen olduğunu iddia etmek için köşegenlerinin birbirine eşit olması ve açıların her birinin doğru olması gerekir. Ayrıca, köşegenlerinin karesi, bu şeklin bitişik iki kenarının karelerinin toplamına karşılık gelmelidir. Başka bir deyişle, klasik dikdörtgen iki dik açılı üçgenden oluşur ve içlerinde bilindiği gibi, söz konusu dörtgenin köşegeni hipotenüs görevi görür.

Bu rakamın listelenen işaretlerinin sonuncusu da özel özelliğidir. Bunun yanında başkaları da var. Örneğin, incelenen dik açılı dörtgenin tüm kenarlarının aynı anda yükseklikleri olması.

Ek olarak, herhangi bir dikdörtgenin etrafına bir daire çizilirse, çapı yazılı şeklin köşegenine eşit olacaktır.

Bu dörtgenin diğer özellikleri arasında düz olması ve Öklid dışı geometride bulunmamasıdır. Bunun nedeni, böyle bir sistemde, açılarının toplamı üç yüz altmış dereceye eşit olan dörtgen şekillerin olmamasıdır.

Kare ve özellikleri

Dikdörtgenin işaretlerini ve özelliklerini ele aldıktan sonra, bilim tarafından dik açılarla bilinen ikinci dörtgene (bu bir kare) dikkat etmeye değer.

Aslında aynı dikdörtgen olmakla birlikte kenarları eşit olan bu figürün tüm özellikleri vardır. Ama aksine, kare Öklid dışı geometride mevcuttur.

Ayrıca, bu figürün kendine has başka ayırt edici özellikleri vardır. Örneğin, bir karenin köşegenlerinin sadece birbirine eşit olması değil, aynı zamanda dik açıyla kesişmesi gerçeği. Böylece, bir eşkenar dörtgen gibi, bir kare köşegenlerle bölündüğü dört dik açılı üçgenden oluşur.

Ayrıca, bu şekil tüm dörtgenler arasında en simetrik olanıdır.

bir dörtgenin açıları toplamı kaçtır

Öklid geometrisi dörtgenlerinin özellikleri göz önüne alındığında açılarına dikkat etmekte fayda vardır.

Dolayısıyla, yukarıdaki şekillerin her birinde, dik açıları olup olmadığına bakılmaksızın, toplamları her zaman aynıdır - üç yüz altmış derece. Bu, bu tür figürün benzersiz bir ayırt edici özelliğidir.

dörtgenlerin çevresi

Bir dörtgenin açılarının toplamının ne olduğunu ve bu tür şekillerin diğer özel özelliklerini bulduktan sonra, çevrelerini ve alanlarını hesaplamak için en iyi hangi formüllerin kullanıldığını bilmeye değer.

Herhangi bir dörtgenin çevresini belirlemek için, tüm kenarlarının uzunluğunu toplamanız yeterlidir.

Örneğin, KLMN şeklinde, çevresi şu formül kullanılarak hesaplanabilir: P \u003d KL + LM + MN + KN. Buradaki sayıları değiştirirseniz, şunu elde edersiniz: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Söz konusu şeklin bir eşkenar dörtgen veya kare olması durumunda, çevreyi bulmak için, yanlarından birinin uzunluğunu dört ile çarparak formülü basitleştirebilirsiniz: P \u003d KL x 4. Örneğin: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Alan dörtgen formülleri

Dört köşesi ve kenarı olan herhangi bir şeklin çevresini nasıl bulacağınızı anladıktan sonra, alanını bulmanın en popüler ve basit yollarını düşünmeye değer.

Dörtgenlerin diğer özellikleri: yazılı ve çevrelenmiş çemberler

Bir dörtgenin özelliklerini ve özelliklerini Öklid geometrisinin bir figürü olarak değerlendirdikten sonra, çevresini tanımlama veya içine daire çizme yeteneğine dikkat etmeye değer:

• Şeklin karşılıklı açılarının toplamı yüz seksen derece ise ve çift olarak birbirine eşitse, böyle bir dörtgen etrafında bir daire serbestçe tanımlanabilir.
• Ptolemy'nin teoremine göre, dört kenarlı bir çokgenin dışında bir daire çizilirse, köşegenlerinin çarpımı, verilen şeklin zıt kenarlarının ürünlerinin toplamına eşittir. Böylece formül şöyle görünecektir: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Karşılıklı kenarların toplamı birbirine eşit olan bir dörtgen oluşturursanız, içine bir daire yazılabilir.

Dörtgenin ne olduğunu, ne tür olduğunu, hangilerinin sadece kenarlar arasında dik açılara sahip olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduklarını anladıktan sonra, tüm bu materyali hatırlamaya değer. Özellikle, dikkate alınan çokgenlerin çevresini ve alanını bulmak için formüller. Sonuçta, bu formun rakamları en yaygın olanlardan biridir ve bu bilgi gerçek hayatta hesaplamalar için faydalı olabilir.

Tanım. Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir.

Mülk. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve zıt açılar eşittir.

Mülk. Bir paralelkenarın köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölünür.

1 paralelkenar işareti. Bir dörtgenin iki kenarı eşit ve paralel ise, bu dörtgen bir paralelkenardır.

2 paralelkenarın işareti. Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çiftler halinde eşitse, bu dörtgen bir paralelkenardır.

3 paralelkenar işareti. Bir dörtgende köşegenler kesişiyorsa ve kesişme noktası ikiye bölünüyorsa, bu dörtgen bir paralelkenardır.

Tanım. Bir yamuk, iki kenarı paralel ve diğer iki kenarı paralel olmayan bir dörtgendir. Paralel kenarlara denir gerekçesiyle.

yamuk denir ikizkenar (ikizkenar) kenarları eşitse. İkizkenar yamukta taban açıları eşittir.

dikdörtgen.

yamuk orta hattı. Ortadaki çizgi tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.

Dikdörtgen

Tanım.

Mülk. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir.

Dikdörtgen işareti. Paralelkenarın köşegenleri eşitse, paralelkenar bir dikdörtgendir.

Tanım.

Mülk. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri karşılıklı olarak diktir ve açılarını ikiye böler.

Tanım.

Kare, belirli bir dikdörtgen türüdür ve ayrıca belirli bir eşkenar dörtgen türüdür. Bu nedenle, tüm özelliklerine sahiptir.

Özellikleri:
1. Karenin tüm köşeleri doğru

Tüm kuralları dörtgenler

Anahtar Kelimeler:
dörtgen, dışbükey, açıların toplamı, dörtgenin alanı

dörtgen Dört nokta ve bunları seri olarak birbirine bağlayan dört parçadan oluşan bir şekil denir. Bu durumda, bu noktalardan üçü tek bir doğru üzerinde bulunmamalı ve bunları birleştiren parçalar kesişmemelidir.

• Dörtgenin köşelerine denir komşu eğer taraflarından birinin uçları ise.
• Komşu olmayan köşeler , isminde zıt .
• Bir dörtgenin zıt köşelerini birleştiren doğru parçalarına denir. köşegenler .
• Dörtgenin aynı köşeden gelen kenarlarına denir. komşu partiler.
• Sonu ortak olmayan kenarlara denir zıt partiler.
• dörtgen denir dışbükey , kenarlarından herhangi birini içeren düz çizgiye göre bir yarım düzlemde bulunuyorsa.

dörtgen türleri

1. Paralelkenar Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgen
   • Dikdörtgen tüm açıları olan bir paralelkenar
   • Eşkenar dörtgen - tüm kenarları eşit olan bir paralelkenar
   • Kare - tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgen
2. Trapez - iki kenarı paralel, diğer iki kenarı paralel olmayan dörtgen
3. deltoid İki çift komşu kenarı birbirine eşit olan dörtgen

dörtgenler

dörtgen Dört nokta ve bunları seri olarak birbirine bağlayan dört parçadan oluşan bir şekil denir. Bu durumda, bu noktalardan üçü aynı doğru üzerinde bulunmaz ve bunları birleştiren parçalar kesişmez.

zıt. zıt.

dörtgen türleri

Paralelkenar

Paralelkenar karşılıklı kenarları paralel olan dörtgen denir.

Paralelkenar Özellikleri

• karşılıklı taraflar eşittir;
• zıt açılar eşittir;
• köşegenlerin karelerinin toplamı tüm kenarların karelerinin toplamına eşittir:

paralelkenar özellikleri

Trapez Karşılıklı iki kenarı paralel, diğer ikisi paralel olmayan dörtgen denir.

Bir yamuğun paralel kenarlarına onun adı verilir. zemin ve paralel olmayan taraflar taraf. Kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına denir. orta hat.

yamuk denir ikizkenar(veya ikizkenar) kenarları eşitse.

Bir dik açılı yamuk denir dikdörtgen.

yamuk Özellikleri

Bir yamuk belirtileri

Dikdörtgen

Dikdörtgen Tüm açılar dik açıysa paralelkenar denir.

dikdörtgen özellikleri

Dikdörtgen Özellikleri

Paralelkenar, aşağıdaki durumlarda bir dikdörtgendir:

1. Köşelerinden biri doğru.
2. Köşegenleri eşittir.

Eşkenar dörtgen Tüm kenarları eşitse paralelkenar denir.

Eşkenar Dörtgen Özellikleri

• paralelkenarın tüm özellikleri;
• köşegenler diktir;

Bir eşkenar dörtgen belirtileri

Kare Bütün kenarları eşit olan dikdörtgene denir.

Kare özellikleri

• karenin tüm köşeleri doğru;
• karenin köşegenleri eşittir, karşılıklı olarak diktir, kesişme noktası yarıya bölünür ve karenin köşeleri yarıya bölünür.

Kare işaretler

Temel Formüller

S=d 1 d 2 günah

Paralelkenar
a ve b- bitişik taraflar; - aralarındaki açı; h bir - yan yükseklik a.

S = ab günah

S=d 1 d 2 günah

Trapez
a ve b- zemin; h- aralarındaki mesafe; ben- orta hat .

Dikdörtgen

S=d 1 d 2 günah

S = 2 günah

S=d 1 d 2

Kare
d- diyagonal.

www.univer.omsk.su

Dörtgenlerin özellikleri. Dörtgen türleri. Rasgele dörtgenlerin özellikleri. Paralelkenar özellikleri. Eşkenar dörtgen özellikleri. Dikdörtgen özellikleri. Kare özellikleri. yamuk özellikleri. Yaklaşık 7-9 sınıf (13-15 yaş)

Dörtgenlerin özellikleri. Dörtgen türleri. Rasgele dörtgenlerin özellikleri.
Paralelkenar özellikleri. Eşkenar dörtgen özellikleri. Dikdörtgen özellikleri. Kare özellikleri. yamuk özellikleri.

Dörtgen türleri:

• Paralelkenar karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir

• Eşkenar dörtgen tüm kenarları eşit olan bir paralelkenardır.

• Dikdörtgen tüm açıları dik olan bir paralelkenardır.

• Kare tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir.

Keyfi dörtgenlerin özellikleri:

Paralelkenar özellikleri:

Eşkenar dörtgen özellikleri:

Dikdörtgen özellikleri:

Kare özellikleri:

Trapez özellikleri:

Danışmanlık ve teknik
site desteği: Zavarka Ekibi

Tüm kuralları dörtgenler

Öklid dışı geometri, geometriye benzer geometri Öklidşekillerin hareketini tanımlamasıyla, ancak Öklid geometrisinden, beş önermesinden birinin (ikinci veya beşinci) olumsuzlanmasıyla değiştirilmesiyle farklıdır. Öklidci postülalardan birinin (1825) inkarı, düşünce tarihinde önemli bir olaydı, çünkü doğruya doğru ilk adım olarak hizmet etti. görecelilik teorisi.

Öklid'in ikinci önermesi şunu belirtir: herhangi bir çizgi parçası süresiz olarak uzatılabilir. Öklid görünüşe göre bu postülatın aynı zamanda düz çizginin sonsuz uzunluğa sahip olduğu ifadesini içerdiğine inanıyordu. Yine de "eliptik" geometride herhangi bir düz çizgi sonludur ve bir daire gibi kapalıdır.

Beşinci varsayım, bir doğrunun verilen iki doğruyu, bir tarafındaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçük olacak şekilde keserse, bu iki doğru, süresiz olarak uzatılırsa, uzatıldığı tarafta kesişeceğini belirtir. bu açıların toplamı iki doğrunun toplamından küçüktür. Fakat "hiperbolik" geometride, C noktasında belirli bir r doğrusuna dik olan ve B noktasında dar bir açıyla başka bir s doğrusuyla kesişen bir CB doğrusu olabilir (bkz. Şekil). s asla kesişmez.

Bu revize edilmiş varsayımlardan, Öklid geometrisinde 180°'ye eşit olan bir üçgenin açılarının toplamının, eliptik geometride 180°'den büyük ve hiperbolik geometride 180°'den küçük olduğu sonucu çıktı.

dörtgen

dörtgen dört köşesi ve dört kenarı olan bir çokgendir.

dörtgen, geometrik bir şekil - dört köşeli bir çokgen ve herhangi bir nesne, bu formun bir cihazı.

Bir dörtgenin bitişik olmayan iki kenarına denir zıt. Bitişik olmayan iki köşeye de denir. zıt.

Dörtgenler dışbükeydir (ABCD gibi) ve
dışbükey olmayan (A 1 B 1 C 1 D 1).

dörtgen türleri

• Paralelkenar- tüm karşı tarafların paralel olduğu bir dörtgen;
• Dikdörtgen- tüm açıları dik olan bir dörtgen;
• Eşkenar dörtgen- tüm kenarların eşit olduğu bir dörtgen;
• Kare- tüm açıları dik ve tüm kenarları eşit olan bir dörtgen;
• Trapez- karşılıklı iki kenarı paralel olan bir dörtgen;
• deltoidİki çift komşu kenarı birbirine eşit olan dörtgen.

Paralelkenar

Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir.

Paralelkenar (Yunanca parallelos - paralel ve grame - çizgiden) yani paralel çizgiler üzerinde uzanır. Paralelkenarın özel durumları dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgendir.

• karşılıklı taraflar eşittir;
• zıt açılar eşittir;
• kesişme noktasının köşegenleri ikiye bölünür;
• bir tarafa bitişik açıların toplamı 180°'dir;
• köşegenlerin karelerinin toplamı tüm kenarların karelerinin toplamına eşittir.

Dörtgen, aşağıdaki durumlarda bir paralelkenardır:

1. Karşılıklı iki kenarı eşit ve paraleldir.
2. Karşılıklı taraflar çiftler halinde eşittir.
3. Karşılıklı açılar çiftler halinde eşittir.
4. Kesişme noktasının köşegenleri ikiye bölünür.

Dikdörtgen

Dikdörtgen, tüm açıları dik olan bir paralelkenardır.

• karşılıklı taraflar eşittir;
• zıt açılar eşittir;
• kesişme noktasının köşegenleri ikiye bölünür;
• bir tarafa bitişik açıların toplamı 180°'dir;
• köşegenler eşittir.

Paralelkenar, aşağıdaki durumlarda bir dikdörtgendir:

1. Köşelerinden biri doğru.
2. Köşegenleri eşittir.

Bir eşkenar dörtgen, tüm kenarların eşit olduğu bir paralelkenardır.

• karşılıklı taraflar eşittir;
• zıt açılar eşittir;
• kesişme noktasının köşegenleri ikiye bölünür;
• bir tarafa bitişik açıların toplamı 180°'dir;
• köşegenlerin karelerinin toplamı, tüm kenarların karelerinin toplamına eşittir;
• köşegenler diktir;
• köşegenler açılarının açıortaylarıdır.

Aşağıdaki durumlarda bir paralelkenar eşkenar dörtgendir:

1. Bitişik iki kenarı eşittir.
2. Köşegenleri diktir.
3. Köşegenlerden biri açısının açıortayıdır.

Kare, tüm kenarlarının eşit olduğu bir dikdörtgendir.

• karenin tüm köşeleri doğru;
• karenin köşegenleri eşittir, karşılıklı olarak diktir, kesişme noktası yarıya bölünür ve karenin köşeleri yarıya bölünür.

1. Dikdörtgen, bir eşkenar dörtgen özelliği taşıyorsa karedir.

Bir yamuk, iki zıt kenarı paralel ve diğer ikisinin paralel olmadığı bir dörtgendir.

Bir yamuğun paralel kenarlarına tabanları, paralel olmayan kenarlarına kenarları denir. Kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta çizgi denir.

Bir yamuk, kenarları eşitse ikizkenar (veya ikizkenar) olarak adlandırılır.

Bir dik açılı yamuğa dik açılı yamuk denir.

• orta çizgisi tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir;
• yamuk ikizkenar ise, köşegenleri eşittir ve tabandaki açılar eşittir;
• yamuk ikizkenar ise, çevresinde bir daire tanımlanabilir;
• tabanların toplamı kenarların toplamına eşitse, içine bir daire yazılabilir.

1. Dörtgen, paralel kenarları eşit değilse yamuktur

deltoid Aynı uzunlukta iki çift kenarı olan bir dörtgen. Paralelkenardan farklı olarak, iki çift bitişik kenar eşit değildir, iki çift bitişik kenar eşittir. Deltoid uçurtma şeklindedir.

• Eşit uzunlukta olmayan kenarlar arasındaki açılar eşittir.
• Deltoidin (veya uzantılarının) köşegenleri dik açılarda kesişir.
• Herhangi bir dışbükey deltoidde bir daire yazılabilir, bunun yanı sıra deltoid bir eşkenar dörtgen değilse, dört tarafın da uzantılarına dokunan başka bir daire vardır. Dışbükey olmayan bir deltoid için, iki büyük kenara ve iki küçük kenarın uzantılarına teğet bir daire ve iki küçük kenara ve iki büyük kenarın uzantılarına teğet bir daire oluşturulabilir.

• Deltoidin eşit olmayan kenarları arasındaki açı düz bir çizgi ise, içine bir daire yazılabilir (açıklanan deltoid).
• Bir deltoidin bir çift zıt tarafı eşitse, böyle bir deltoid bir eşkenar dörtgendir.
• Bir deltoidin bir çift zıt kenarı ve her iki köşegeni eşitse, deltoid bir karedir. Eşit köşegenlere sahip yazılı bir deltoid de bir karedir.

Geometrinin ortaya çıkışı eski zamanlara kadar uzanır ve insan faaliyetinin pratik ihtiyaçlarından (toprağı ölçme, çeşitli cisimlerin hacimlerini ölçme vb.)

En basit geometrik bilgi ve kavramlar eski Mısır'da biliniyordu. Bu dönemde geometrik ifadeler ispatsız olarak verilen kurallar şeklinde formüle edilmiştir.

MÖ 7. yüzyıldan e. 1. yüzyıla kadar e. Bir bilim olarak geometri, antik Yunanistan'da hızla gelişti. Bu dönemde, sadece çeşitli geometrik bilgilerin birikimi gerçekleşmedi, aynı zamanda geometrik ifadeleri kanıtlama metodolojisi üzerinde çalışıldı ve birçok farklı geometrinin kullanıldığı geometrinin temel temel hükümlerini (aksiyomları) formüle etmek için ilk girişimlerde bulunuldu. ifadeler tamamen mantıksal akıl yürütme ile türetilir. Antik Yunanistan'da geometrinin gelişme düzeyi, Öklid'in "Başlangıçlar" çalışmasına yansır.

Bu kitapta, ilk kez, temel tanımsız geometrik kavramlar ve aksiyomlar (varsayımlar) temelinde planimetrinin sistematik bir inşası verilmeye çalışıldı.

Matematik tarihinde özel bir yer, Öklid'in beşinci önermesi (paralel doğrular aksiyomu) tarafından işgal edilmiştir. Uzun bir süre boyunca, matematikçiler başarısız bir şekilde Öklid'in diğer postülalarından beşinci postülayı türetmeye çalıştılar ve sadece 19. yüzyılın ortalarında, N. I. Lobachevsky, B. Riemann ve J. Boyai'nin çalışmaları sayesinde, açıkça ortaya çıktı. beşinci postüla diğerlerinden türetilemez ve Öklid tarafından önerilen aksiyomlar sistemi tek olası değildir.

Öklid'in "Elementleri" matematiğin gelişimi üzerinde büyük bir etkiye sahipti. İki bin yıldan fazla bir süredir bu kitap sadece geometri üzerine bir ders kitabı olmakla kalmadı, aynı zamanda birçok matematiksel çalışma için bir başlangıç ​​noktası olarak hizmet etti ve bunun sonucunda matematiğin yeni bağımsız dalları ortaya çıktı.

Geometrinin sistematik yapısı genellikle aşağıdaki plana göre gerçekleştirilir:

İ. Tanımlar olmadan tanıtılan ana geometrik kavramlar listelenmiştir.

II. Geometri aksiyomlarının bir formülasyonu verilmiştir.

III. Aksiyomlar ve temel geometrik kavramlar temelinde, diğer geometrik kavram ve teoremler formüle edilir.

1. Öklid dışı geometri adının kökeni?
2. Hangi şekillere dörtgen denir?
3. Paralelkenarın özellikleri?
4. Dörtgen türleri?

Kullanılan kaynakların listesi

1. AG Tsypkin. Matematik El Kitabı
2. “Birleşik devlet sınavı 2006. Matematik. Öğrencilerin hazırlanması için eğitim ve öğretim materyalleri / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "M. I. Scanavi tarafından düzenlenen koleksiyonun matematikteki temel rekabet problemlerini çözme"

ders çalışmak

Modern eğitim hakkında bir soru sorabilir, bir fikir ifade edebilir veya acil bir sorunu çözebilirsiniz. Eğitim Forumu taze düşünce ve eylemden oluşan bir eğitim konseyinin uluslararası düzeyde buluştuğu yer. yarattıktan sonra Blog, Sadece yetkin bir öğretmen olarak statünüzü geliştirmekle kalmayacak, aynı zamanda geleceğin okulunun gelişimine de önemli katkılarda bulunacaksınız. Eğitim Liderleri Birliğiüst düzey uzmanlara kapı açar ve sizi dünyanın en iyi okullarını yaratma yönünde işbirliğine davet eder.

Popüler:

• Madde 282. Nefret veya düşmanlığın kışkırtılmasının yanı sıra insan onurunun aşağılanması
• Kurumsal emlak vergisi hesaplayıcı Kurumlar emlak vergisi nasıl hesaplanır Peşin ödeme hesaplama formu değişti. 2017 yılının ilk yarısına ilişkin raporlamadan başlayarak, kurumlar vergisi hesaplaması […]
• Ekoloji yasaları Nüfuslar ve topluluklar hakkında 100 yılı aşkın kapsamlı bir çalışma için, büyük miktarda gerçek birikmiştir. Bunların arasında - rastgele veya düzensiz fenomenleri ve süreçleri yansıtan çok sayıda. Ama değil […]
• Zorunlu emeklilik sigortası sisteminde emekli maaşı seçenekleri 2015 yılı sonuna kadar 1967 doğumlu ve daha genç vatandaşlar emekli maaşı oluşturmaya devam edip etmemeyi seçebilirler […]
• Tarım Bakanlığı Emri 549 5 Mart 2009 tarihinde Rusya Federasyonu Adalet Bakanlığı'na kayıtlı N 13476 16 Aralık 2008 tarihli RUSYA FEDERASYONU TARIM BAKANLIĞI N 532 ORMANLARIN DOĞAL YANGIN TEHLİKESİ SINIFLANDIRMASININ ONAYLANMASI HAKKINDA VE […]
• 1 Ocak 2018 tarihinden itibaren engelli çocukların emekli maaşlarının artırılması Vatandaşlara emeklilik sağlanması devletin üzerine düşen bir yükümlülüktür. Bu, ülkenin kanunlarında belirtilmiştir - Anayasa'da. İhtiyacı olan engelliler arasında […]
• JSC RZD JSC'nin iç düzeninin kuralı 26 Temmuz 2012 tarihli N 87 YOLCU İLETİŞİMLERİNİN GELİŞTİRİLMESİ BÖLGESEL HİZMETLER (BÖLÜMÜ) İÇ ÇALIŞMA YÖNETMELİKLERİNİN ONAYLANMASI VE […]
• Comte'un 3 aşaması yasası Felsefi bir hareket olarak Pozitivizm, dünya, insan ve toplum hakkındaki bilgilerin büyük kısmının özel bilimlerde elde edildiği, "pozitif" bilimin girişimlerden vazgeçmesi gerektiği fikrinden hareket eder […]

Dört köşeli ve dört kenarlı. Bir dörtgen, dört bağlantıdan oluşan kapalı bir çoklu çizgi ve düzlemin çoklu çizginin içindeki kısmı tarafından oluşturulur.

Bir dörtgenin tanımı, köşelerindeki harflerin sırayla adlandırılmasından oluşur. Örneğin, derler veya yazarlar: dörtgen ABCD :

bir dörtgende ABCD puan A, B, C ve D- Bu dörtgen köşeler, segmentler AB, M.Ö, CD ve DA - taraf.

Aynı tarafa ait olan köşelere denir komşu, bitişik olmayan köşelere denir zıt:

bir dörtgende ABCD zirveler A ve B, B ve C, C ve D, D ve A bitişiktir ve köşeler A ve C, B ve D- zıt. Bitişik köşelerde yatan açılara komşu ve zıt köşelerde - zıt olarak da adlandırılır.

Bir dörtgenin kenarları da çiftler halinde bitişik ve karşıt taraflara ayrılabilir: ortak bir köşeye sahip olan kenarlara denir. komşu(veya ilişkili), ortak köşeleri olmayan taraflar - zıt:

partiler AB ve M.Ö, M.Ö ve CD, CD ve DA, DA ve AB bitişik ve yanlar AB ve DC, AD ve M.Ö- zıt.

Zıt köşeler bir segmentle bağlanırsa, böyle bir segment denir. dörtgenin köşegeni. Dörtgende sadece iki çift zıt köşe olduğu düşünüldüğünde, sadece iki köşegen olabilir:

Segmentler AC ve BD- köşegenler.

Ana dışbükey dörtgen türlerini düşünün:

• Trapez- bir çift karşılıklı kenarın birbirine paralel olduğu ve diğer çiftin paralel olmadığı bir dörtgen.
  • ikizkenar yamuk- kenarları eşit olan bir yamuk.
  • dikdörtgen yamuk Dik açılardan birine sahip bir yamuk.
• Paralelkenar Karşılıklı kenarların her ikisinin de birbirine paralel olduğu bir dörtgen.
  • Dikdörtgen Tüm açıların eşit olduğu bir paralelkenar.
  • Eşkenar dörtgen Tüm kenarları eşit olan bir paralelkenar.
  • Kare Kenarları ve açıları eşit olan paralelkenar. Hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgen kare olabilir.

Dışbükey dörtgenlerin köşe özellikleri

Tüm dışbükey dörtgenler aşağıdaki iki özelliğe sahiptir:

1. 180°'den küçük herhangi bir iç açı.
2. İç açıları toplamı 360°'dir.

ders konusu

• Dörtgen tanımı.

Dersin Hedefleri

• Eğitim - konuyla ilgili bilginin tekrarı, genelleştirilmesi ve test edilmesi: “Dörtgenler”; temel becerilerin geliştirilmesi.
• Geliştirme - öğrencilerin dikkatini, azim, azim, mantıksal düşünme, matematiksel konuşma geliştirmek.
• Eğitim - ders boyunca birbirlerine karşı özenli bir tutum geliştirme, yoldaşları dinleme, karşılıklı yardımlaşma, bağımsızlık yeteneğini aşılama.

Dersin Hedefleri

• Ölçek çubuğu ve çizim üçgeni kullanarak dörtgen oluşturma becerileri oluşturmak.
• Öğrencilerin problem çözme yeteneklerini kontrol edin.

Ders planı

1. Tarih referansı. Öklidyen olmayan geometri.
2. Dörtgen.
3. Dörtgen türleri.

Öklidyen olmayan geometri

Öklid dışı geometri, geometriye benzer geometri Öklidşekillerin hareketini tanımlamasıyla, ancak Öklid geometrisinden, beş önermesinden birinin (ikinci veya beşinci) olumsuzlanmasıyla değiştirilmesiyle farklıdır. Öklidci postülalardan birinin (1825) inkarı, düşünce tarihinde önemli bir olaydı, çünkü doğruya doğru ilk adım olarak hizmet etti. görecelilik teorisi.

Öklid'in ikinci önermesi şunu belirtir: herhangi bir çizgi parçası süresiz olarak uzatılabilir. Öklid görünüşe göre bu postülatın aynı zamanda düz çizginin sonsuz uzunluğa sahip olduğu ifadesini içerdiğine inanıyordu. Yine de "eliptik" geometride herhangi bir düz çizgi sonludur ve bir daire gibi kapalıdır.

Beşinci varsayım, bir doğrunun verilen iki doğruyu, bir tarafındaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçük olacak şekilde keserse, bu iki doğru, süresiz olarak uzatılırsa, uzatıldığı tarafta kesişeceğini belirtir. bu açıların toplamı iki doğrunun toplamından küçüktür. Fakat "hiperbolik" geometride, C noktasında belirli bir r doğrusuna dik olan ve B noktasında dar bir açıyla başka bir s doğrusuyla kesişen bir CB doğrusu olabilir (bkz. Şekil). s asla kesişmez.

Bu revize edilmiş varsayımlardan, Öklid geometrisinde 180°'ye eşit olan bir üçgenin açılarının toplamının, eliptik geometride 180°'den büyük ve hiperbolik geometride 180°'den küçük olduğu sonucu çıktı.

dörtgen

Konular > Matematik > Matematik 8. Sınıf

Dışbükey bir dörtgen, köşelerde birbirine bağlı dört kenardan oluşan ve kenarlarla birlikte dört açı oluşturan bir şekildir, dörtgenin kendisi ise kenarlarından birinin üzerinde bulunduğu düz çizgiye göre her zaman aynı düzlemdedir. Başka bir deyişle, figürün tamamı yanlarından birinin bir tarafındadır.

Temas halinde

Gördüğünüz gibi, tanımı hatırlamak oldukça kolaydır.

Temel özellikler ve türler

Dört köşe ve kenardan oluşan bildiğimiz hemen hemen tüm şekiller dışbükey dörtgenlere atfedilebilir. Aşağıdakiler ayırt edilebilir:

1. paralelkenar;
2. Meydan;
3. dikdörtgen;
4. yamuk;
5. eşkenar dörtgen.

Tüm bu rakamlar, yalnızca dörtgen olmalarıyla değil, aynı zamanda dışbükey olmalarıyla da birleşiyor. Sadece şemaya bakın:

Şekil bir dışbükey yamuk gösterir. Burada yamuğun aynı düzlemde veya parçanın bir tarafında olduğunu görebilirsiniz. Benzer eylemler gerçekleştirirseniz, diğer tüm taraflarda yamuğun dışbükey olduğunu öğrenebilirsiniz.

Paralelkenar dışbükey bir dörtgen midir?

Yukarıda paralelkenarın bir görüntüsü var. Şekilden de anlaşılacağı üzere, paralelkenar da dışbükeydir. Şekle AB, BC, CD ve AD doğrularının bulunduğu doğrulara bakarsanız, bu doğrulardan her zaman aynı düzlemde olduğu anlaşılır. Paralelkenarın temel özelliği, kenarlarının paralel olması ve karşı açıların birbirine eşit olması gibi eşit olmasıdır.

Şimdi bir kare veya dikdörtgen hayal edin. Ana özelliklerine göre, aynı zamanda paralelkenarlardır, yani tüm kenarları paralel olarak çiftler halinde düzenlenmiştir. Sadece bir dikdörtgen söz konusu olduğunda, kenarların uzunluğu farklı olabilir ve açılar diktir (90 dereceye eşittir), kare tüm kenarların eşit olduğu ve açıların da dik olduğu bir dikdörtgendir, ancak uzunlukları Paralelkenarın kenarları ve açıları farklı olabilir.

Sonuç olarak, dörtgenin dört köşesinin toplamı 360 dereceye eşit olmalıdır. Bunu belirlemenin en kolay yolu bir dikdörtgendir: dikdörtgenin dört köşesi de doğrudur, yani 90 dereceye eşittir. Bu 90 derecelik açıların toplamı 360 derece verir yani 4 defa 90 derece eklerseniz istediğiniz sonucu alırsınız.

Dışbükey bir dörtgenin köşegenlerinin özelliği

Dışbükey bir dörtgenin köşegenleri kesişir. Gerçekten de, bu fenomen görsel olarak gözlemlenebilir, sadece şekle bakın:

Soldaki şekil dışbükey olmayan bir dörtgeni veya dörtgeni gösterir. Nasıl istersen. Gördüğünüz gibi köşegenler kesişmiyor, en azından hepsi değil. Sağda dışbükey bir dörtgen var. Burada köşegenlerin kesişme özelliği zaten gözlenmiştir. Aynı özellik, dörtgenin dışbükeyliğinin bir işareti olarak kabul edilebilir.

Bir dörtgenin dışbükeyliğinin diğer özellikleri ve işaretleri

Spesifik olarak, bu terime göre, belirli özellikleri ve özellikleri adlandırmak çok zordur. Bu tip dörtgenlerin farklı türlerine göre izole etmek daha kolaydır. Bir paralelkenar ile başlayabilirsiniz. Bunun, kenarları çift paralel ve eşit olan dörtgen bir şekil olduğunu zaten biliyoruz. Aynı zamanda, paralelkenarın köşegenlerinin birbiriyle kesişme özelliği ve şeklin kendisinin dışbükeyliğinin işareti de buraya dahil edilir: paralelkenar her zaman aynı düzlemde ve bir tarafta görecelidir herhangi bir tarafına.

Böyle, ana özellikleri ve özellikleri bilinmektedir:

1. bir dörtgenin açılarının toplamı 360 derecedir;
2. şekillerin köşegenleri bir noktada kesişir.

Dikdörtgen. Bu şekil bir paralelkenar ile aynı özelliklere ve özelliklere sahiptir, ancak tüm açıları 90 dereceye eşittir. Bu nedenle adı, dikdörtgen.

Kare, aynı paralelkenar, ancak köşeleri bir dikdörtgen gibi sağda. Bu nedenle, bir kareye nadiren dikdörtgen denir. Ancak bir karenin yukarıda sıralananlara ek olarak ana ayırt edici özelliği, dört kenarının da eşit olmasıdır.

Yamuk çok ilginç bir figür.. Bu aynı zamanda bir dörtgen ve aynı zamanda dışbükeydir. Bu makalede, yamuk zaten bir çizim örneği kullanılarak ele alınmıştır. Onun da dışbükey olduğu açıktır. Ana fark ve buna bağlı olarak, bir yamuğun işareti, kenarlarının kesinlikle uzunluk olarak birbirine eşit olmamasının yanı sıra, açılarının değerine eşit olmamasıdır. Bu durumda, şekil, şekli oluşturan parçalar boyunca herhangi iki köşesini birleştiren herhangi bir düz çizgiye göre her zaman aynı düzlemde kalır.

Rhombus eşit derecede ilginç bir figür. Kısmen eşkenar dörtgen bir kare olarak kabul edilebilir. Bir eşkenar dörtgen işareti, köşegenlerinin yalnızca kesişmesi değil, aynı zamanda eşkenar dörtgenin köşelerini de ikiye böldüğü ve köşegenlerin kendilerinin dik açılarda kesiştiği, yani dik oldukları gerçeğidir. Eşkenar dörtgenin kenar uzunlukları eşitse, köşegenler de kesişme noktasında ikiye bölünür.

Deltoidler veya dışbükey eşkenar dörtgenler (eşkenar dörtgenler) farklı kenar uzunluklarına sahip olabilir. Ancak aynı zamanda, eşkenar dörtgenin kendisinin ana özellikleri ve özellikleri ile dışbükeyliğin özellikleri ve özellikleri hala korunmaktadır. Yani köşegenlerin köşeleri ikiye böldüğünü ve dik açılarda kesiştiğini gözlemleyebiliriz.

Bugünün görevi, dışbükey dörtgenlerin ne olduğunu, ne olduklarını ve temel özelliklerini ve özelliklerini düşünmek ve anlamaktı. Dikkat! Bir dışbükey dörtgenin açılarının toplamının 360 derece olduğunu bir kez daha hatırlamakta fayda var. Örneğin şekillerin çevresi, şekli oluşturan tüm parçaların uzunluklarının toplamına eşittir. Dörtgenlerin çevresini ve alanını hesaplamak için formüller aşağıdaki makalelerde tartışılacaktır.

Dışbükey dörtgen türleri