Kotanjant hangi çeyreklerde pozitiftir? Trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri: düzgünlük, teklik, periyodiklik. Çeyreklere göre trigonometrik fonksiyonların değerlerinin işaretleri

11.10.2019

Trigonometrik bir daire üzerinde açıları sayma.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Bir önceki dersle hemen hemen aynı. Eksenler var, daire var, açı var, her şey çin-çin. Çeyrek sayıları eklendi (büyük bir karenin köşelerinde) - birinciden dördüncüye. Ve sonra aniden kim bilmiyor? Gördüğünüz gibi, çeyrekler (aynı zamanda denir güzel dünya"çeyrekler") harekete karşı numaralandırılmıştır saat yönünde. Eksenlerde açı değerleri eklendi. Her şey açık, fırfırlar yok.

Ve yeşil bir ok ekledi. Bir artı ile. Ne demek istiyor? Köşenin sabit tarafını hatırlatayım her zaman OH pozitif eksenine çivilenmiş. Yani köşenin hareketli tarafını bükersek artı ok, yani artan çeyrek sayılarda, açı pozitif kabul edilecektir.Örneğin, resim +60°'lik bir pozitif açı gösterir.

Kornerleri ertelersek içinde ters taraf, saat yönünde, açı negatif kabul edilecektir. Resmin üzerine gelin (veya tabletteki resme dokunun), eksi ile mavi bir ok göreceksiniz. Bu, açıların negatif okuma yönüdür. Örnek olarak negatif bir açı (-60°) gösterilmiştir. Ve eksenlerdeki sayıların nasıl değiştiğini de göreceksiniz... Ben de onları eksi açılara çevirdim. Çeyreklerin numaralandırması değişmez.

Burada genellikle ilk yanlış anlamalar başlar. Nasıl yani!? Ve daire üzerindeki negatif açı pozitif ile çakışırsa!? Ve genel olarak, hareketli tarafın (veya sayısal dairedeki bir noktanın) aynı pozisyonunun hem negatif açı hem de pozitif olarak adlandırılabileceği ortaya çıktı!?

Evet. Aynen öyle. Diyelim ki 90 derecelik pozitif bir açı bir çember üzerinde olsun tam olarak aynı eksi 270 derece negatif açı olarak konumlandırın. Pozitif bir açı, örneğin +110° derece, tam olarak aynı negatif açı olarak konum -250°'dir.

Sorun yok. Her şey doğru.) Açının pozitif veya negatif hesaplanmasının seçimi, atamanın durumuna bağlıdır. Durum hiçbir şey söylemiyorsa düz metin açının işareti hakkında, ("en küçük olanı belirle" gibi) pozitif açı" vb.), o zaman bizim için uygun olan değerlerle çalışırız.

Bir istisna (ve onlarsız nasıl ?!) trigonometrik eşitsizliklerdir, ancak orada bu numarada ustalaşacağız.

Ve şimdi size bir soru. 110° açının konumunun -250° açının konumuyla aynı olduğunu nasıl bilebilirim?
Bunun tam ciro nedeniyle olduğunu ima edeceğim. 360°'de... Net değil mi? Sonra bir daire çiziyoruz. Kağıt üzerine çiziyoruz. köşeyi işaretleme hakkında 110°. Ve inanmak tam bir dönüşe kadar ne kadar kalır. Sadece 250° kaldı...

Anladım? Ve şimdi - dikkat! 110° ve -250° açıları daireyi kaplıyorsa aynı pozisyon, sonra ne? Evet, açıların 110° ve -250° olması tam olarak aynı sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant!
Onlar. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) vb. Şimdi bu gerçekten önemli! Ve kendi içinde - ifadeleri basitleştirmenin gerekli olduğu ve daha sonra indirgeme formüllerinin ve diğer trigonometri karmaşıklıklarının geliştirilmesi için bir temel olarak birçok görev vardır.

Tabii ki 110 ° ve -250 ° 'yi rastgele, tamamen örneğin aldım. Bütün bu eşitlikler, çember üzerinde aynı konumu işgal eden açılar için geçerlidir. 60° ve -300°, -75° ve 285°, vb. Hemen not ediyorum ki bu çiftlerdeki köşeler - çeşitli. Ama trigonometrik fonksiyonları var - aynısı.

Negatif açıların ne olduğunu anladığınızı düşünüyorum. Oldukça basit. Saat yönünün tersi pozitif bir sayıdır. Yol boyunca, olumsuz. Açıyı pozitif veya negatif olarak düşünün bize bağlı. Arzumuzdan. Eh, ve görevden daha fazlası, elbette ... Trigonometrik fonksiyonlarda negatiften pozitife ve tersi yönde nasıl hareket edeceğinizi anladığınızı umuyorum. Bir daire, yaklaşık bir açı çizin ve tam bir dönüş yapmadan önce ne kadarının eksik olduğunu görün, yani. 360 ° 'ye kadar.

360°'den büyük açılar.

360 ° 'den büyük açılarla ilgilenelim. Ve böyle şeyler olur mu? Elbette var. Onları bir daireye nasıl çizebilirim? Problem değil! 1000 ° 'lik bir açının hangi çeyreğe düşeceğini anlamamız gerektiğini varsayalım? Kolayca! Saat yönünün tersine bir tam dönüş yapıyoruz (açı bize pozitif verildi!). 360° geri sar. Pekala, devam edelim! Başka bir dönüş - zaten 720 ° çıktı. Ne kadar kaldı? 280°. Tam bir dönüş için yeterli değil ... Ancak açı 270 ° 'den fazla - ve bu üçüncü ve dördüncü çeyrek arasındaki sınır. Yani 1000°'lik açımız dördüncü çeyreğe düşüyor. Her şey.

Gördüğünüz gibi, oldukça basit. "Ekstra" tam dönüşleri atarak elde ettiğimiz 1000° açı ve 280° açının kesinlikle söylemek gerekirse, çeşitli köşeler. Ancak bu açıların trigonometrik fonksiyonları tam olarak aynı! Onlar. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° vb. Sinüs olsaydım, bu iki açı arasındaki farkı fark etmezdim...

Bütün bunlar neden gerekli? Neden açıları birinden diğerine çevirmemiz gerekiyor? Evet, hepsi aynı.) İfadeleri sadeleştirmek için. İfadelerin basitleştirilmesi, aslında, okul matematiğinin ana görevidir. Eh, yol boyunca, kafa antrenman yapıyor.)

Peki, pratik yapalım mı?)

Soruları cevaplıyoruz. İlk başta basit.

1. -325 ° açısı hangi çeyrekte düşer?

2. 3000° açısı hangi çeyrekte düşer?

3. -3000° açısı hangi çeyrekte düşer?

Bir sorun var? Yoksa güvensizlik mi? Bölüm 555'e gidiyoruz, Trigonometrik çemberle pratik çalışma. Orada, bunun ilk dersinde çok " pratik iş..." her şey ayrıntılı ... İçinde çok belirsizlik soruları olmamalı!

4. sin555°'nin işareti nedir?

5. tg555°'nin işareti nedir?

Belirlenen? İyi! Şüphe? Bölüm 555'e ihtiyaç var ... Bu arada, orada trigonometrik bir daire üzerinde teğet ve kotanjant çizmeyi öğreneceksiniz. Çok faydalı bir şey.

Ve şimdi daha akıllı sorular.

6. sin777° ifadesini en küçük pozitif açının sinüsüne getirin.

7. cos777° ifadesini en büyük negatif açının kosinüsüne getirin.

8. cos(-777°) ifadesini en küçük pozitif açının kosinüsüne dönüştürün.

9. sin777° ifadesini en büyük negatif açının sinüsüne getirin.

Ne, sorular 6-9 şaşkın mı? Alışın, sınavda öyle formülasyonlar yok... Öyle olsun, tercüme edeyim. Sadece senin için!

"İfadeyi ..." olarak azaltmak kelimeleri, ifadeyi değeri olacak şekilde dönüştürmek anlamına gelir. değişmedi a görünüm göreve göre değiştirilir. Bu nedenle, görev 6 ve 9'da, içinde bir sinüs almalıyız. en küçük pozitif açı Diğer her şey önemli değil.

Cevapları sırayla vereceğim (kurallarımıza aykırı olarak). Ama ne yapmalı, sadece iki işaret var ve sadece dört çeyrek ... Seçeneklere dağılmayacaksınız.

6. günah57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9. günah(-57°)

Sanırım 6-9. soruların cevapları bazılarının kafasını karıştırdı. Özellikle -günah(-57°), değil mi?) Aslında, açıları saymak için temel kurallarda hatalara yer var ... Bu yüzden bir ders yapmak zorunda kaldım: "Fonksiyonların işaretleri nasıl belirlenir ve trigonometrik bir daire üzerinde açılar nasıl verilir?" Bölüm 555'te. 4 - 9 arası görevler sıralanmıştır. Tüm tuzaklarla birlikte iyi sıralanmış. Ve buradalar.)

Bir sonraki dersimizde gizemli radyanlar ve "Pi" sayısı ile ilgileneceğiz. Dereceleri radyana ve tam tersine nasıl kolayca ve doğru bir şekilde dönüştüreceğinizi öğrenin. Ve sitede bu temel bilgilerin olduğunu görünce şaşıracağız. zaten yeterli bazı standart olmayan trigonometri bulmacalarını çözmek için!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Ders türü: bilginin sistemleştirilmesi ve ara kontrol.

Teçhizat: trigonometrik daire, testler, görevleri olan kartlar.

Dersin Hedefleri:çalışılanları sistematize etmek teorik malzeme sinüs, kosinüs, açının tanjantı tanımlarına göre; Bu konudaki bilgilerin asimilasyon derecesini ve pratikte uygulamayı kontrol edin.

Görevler:

Bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantı kavramlarını genelleştirir ve pekiştirir.
Trigonometrik fonksiyonların karmaşık bir fikrini oluşturmak.
Öğrencilerin trigonometrik materyalleri inceleme istek ve ihtiyacının gelişimine katkıda bulunmak; bir iletişim kültürü, gruplar halinde çalışma yeteneği ve kendi kendine eğitim ihtiyacı geliştirmek.

“Gençliğinden beri yapan ve düşünen,
o zaman daha güvenilir, daha güçlü, daha akıllı olur.

(V. Shukshin)

DERSLER SIRASINDA

I. Organizasyonel an

Sınıf üç grupla temsil edilir. Her grubun bir danışmanı vardır.
Öğretmen dersin konusunu, amaçlarını ve hedeflerini bildirir.

II. Bilginin gerçekleştirilmesi (sınıfla ön çalışma)

1) Gruplar halinde ödevler üzerinde çalışın:

1. Günah açısının tanımını formüle edin.

– Her bir koordinat çeyreğinde sin α hangi işaretlere sahiptir?
– sin α ifadesi hangi değerlerde anlamlıdır ve hangi değerleri alabilir?

2. İkinci grup, cos α için aynı sorulardır.

3. Üçüncü grup, aynı sorular tg α ve ctg α için cevaplar hazırlar.

Şu anda, üç öğrenci kartlarda (farklı grupların temsilcileri) tahtada bağımsız olarak çalışır.

Kart numarası 1.

Pratik iş.
Birim çemberi kullanarak 50, 210 ve -210 açısı için sin α, cos α ve tg α değerlerini hesaplayın.

Kart numarası 2.

İfadenin işaretini belirleyin: tg 275; çünkü 370; günah 790; tg 4.1 ve günah 2.

Kart numarası 3.

1) Hesaplayın:
2) Karşılaştırın: cos 60 ve cos 2 30 - sin 2 30

2) Ağızdan:

a) Bir dizi sayı önerilmiştir: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. Bazıları gereksiz. Bu sayıları hangi özellik sin α veya cos α ifade edebilir (sin α veya cos α bu değerleri alabilir mi).
b) İfade anlamlı mı: cos (-); günah2; tg3:ctg(-5); ; ctg0;
ctg(-π). Niye ya?
c) En az var mı ve en yüksek değer günah veya cos, tg, ctg.
d) Doğru mu?
1) α = 1000, II çeyreğinin açısıdır;
2) α \u003d - 330, IV çeyreğinin açısıdır.
e) Sayılar birim çember üzerinde aynı noktaya karşılık gelir.

3) Beyaz tahta çalışması

#567 (2; 4) - Bir ifadenin değerini bulun
#583 (1-3) İfadenin işaretini belirleyin

Ödev: bir defterde tablo. 567(1, 3) No. 578

III. Ek bilgi edinme. Avucunuzun içinde trigonometri

Öğretmen: Açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin avucunuzda "olduğu" ortaya çıktı. Elinizi (herhangi bir) uzatın ve parmaklarınızı mümkün olduğunca açın (posterdeki gibi). Bir öğrenci davet edilir. Parmaklarımızın arasındaki açıları ölçüyoruz.
Açısının 30, 45 ve 60 90 olduğu bir üçgen alınıyor ve açının tepesini avucumuzun içindeki Ay tepeciğine uyguluyoruz. Ay Dağı, küçük parmağın uzantılarının kesiştiği yerde bulunur ve baş parmak. Bir tarafı küçük parmakla, diğer tarafı diğer parmaklardan biriyle birleştiriyoruz.
Küçük parmak ile başparmak arasındaki açının 90, küçük parmak ile yüzük parmağı arasında - 30, küçük parmak ile orta parmak arasında - 45, küçük parmak ile işaret parmağı arasında - 60 olduğu ortaya çıktı. Ve bu istisnasız tüm insanlar içindir

küçük parmak numarası 0 - 0'a karşılık gelir,
isimsiz sayı 1 - 30'a karşılık gelir,
orta sayı 2 - 45'e karşılık gelir,
dizin numarası 3 - 60'a karşılık gelir,
büyük sayı 4 - 90'a karşılık gelir.

Böylece elimizde 4 parmağımız var ve formülü hatırlıyoruz:

parmak numarası	Enjeksiyon	Anlam

Bu sadece anımsatıcı bir kuraldır. Genel olarak, sin α veya cos α'nın değeri ezbere bilinmelidir, ancak bazen bu kural zor zamanlarda yardımcı olacaktır.
Cos için bir kural bulun (değişmeyen açılar, ancak başparmaktan sayılıyor). sin α veya cos α işaretleri ile ilişkili fiziksel bir duraklama.

IV. ZUN'un asimilasyonunun kontrol edilmesi

Geri bildirim ile bağımsız çalışma

Her öğrenciye bir test (4 seçenek) verilir ve cevap kağıdı herkes için aynıdır.

Ölçek

seçenek 1

1) Yarıçap hangi dönme açısında 50 derecelik bir açıyla döndürüldüğündeki konumu alır.
2) 4cos 60 - 3sin 90 ifadesinin değerini bulun.
3) Sayılardan hangisi sıfırdan küçüktür: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

seçenek 2

1) Yarıçap hangi dönme açısında 10'luk bir açıyla döndürüldüğündeki konumu alır.
2) 4cos 90 - 6sin 30 ifadesinin değerini bulun.
3) Sayılardan hangisi sıfırdan büyüktür: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240).

Seçenek 3

1) İfadenin değerini bulun: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) Sayılardan hangisi sıfırdan küçüktür: sin 40, cos (- 10), tg 210, sin 140.
3) sin α > 0 ise, cos α ise, α açısı çeyreği olan açı< 0.

Seçenek 4

1) Şu ifadenin değerini bulun: tg 60 - 6ctg 90.
2) Sayılardan hangisi sıfırdan küçüktür: sin (- 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) ctg α ise çeyreği α açısı olan açı< 0, cos α> 0.

ANCAK 0	B günah50	AT 1	G – 350	D – 1	E çünkü(– 140)
F 3	W 310	Ve çünkü 140		L 350	M 2
H çünkü 340	Ö – 3	P çünkü 250	R	İle günah 140	T – 310
saat – 2	F 2	X Tg50	W 250	YU günah 340	İ 4

(kelime trigonometri anahtardır)

V. Trigonometri tarihinden bilgiler

Öğretmen: Trigonometri, insan yaşamı için oldukça önemli bir matematiğin dalıdır. Modern görünüm trigonometri, doğuştan İsviçreli olan 18. yüzyılın en büyük matematikçisi Leonhard Euler tarafından verildi. uzun yıllar Rusya'da çalıştı ve St. Petersburg Bilimler Akademisi üyesiydi. Tanıttı ünlü tanımlar trigonometrik fonksiyonlar formüle edilmiş ve kanıtlanmış iyi bilinen formüller, bunları daha sonra öğreneceğiz. Euler'in hayatı çok ilginç ve onu Yakovlev'in "Leonard Euler" kitabından tanımanızı tavsiye ederim.

(Bu konu hakkında mesaj atın arkadaşlar)

VI. Dersi özetlemek

Tic-tac-toe oyunu

En aktif iki öğrenci katılır. Gruplar tarafından desteklenirler. Görevlerin çözümü bir deftere kaydedilir.

Görevler

1) hatayı bulun

a) günah 225 = - 1.1 c) günah 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Açıyı derece olarak ifade edin
3) 300 açısını radyan cinsinden ifade edin
4) En büyüğü nedir ve en küçük değerşu ifadeye sahip olabilir: 1+ sin α;
5) sin 260, cos 300 ifadesinin işaretini belirleyin.
6) Nokta, sayı çemberinin hangi çeyreğindedir?
7) Aşağıdaki ifadenin işaretlerini belirleyin: cos 0.3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Hesaplayın:
9) Karşılaştır: günah 2 ve günah 350

VII. ders yansıması

Öğretmen: Trigonometri ile nerede tanışabiliriz?
9. sınıfta hangi derslerde ve hatta şimdi bile sin α, cos α kavramlarını kullanıyorsunuz; tga; ctg α ve ne amaçla?

Trigonometrik fonksiyonun işareti yalnızca sayısal argümanın bulunduğu koordinat çeyreğine bağlıdır. Geçen sefer, argümanları bir radyan ölçüsünden derece ölçüsüne nasıl çevireceğimizi öğrendik (bkz. “ Bir açının radyan ve derece ölçüsü” dersine bakın) ve sonra aynı koordinat çeyreğini belirleyin. Şimdi aslında sinüs, kosinüs ve tanjantın işaretinin tanımıyla ilgilenelim.

α açısının sinüsü, yarıçap α açısı boyunca döndürüldüğünde meydana gelen, trigonometrik bir daire üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (y koordinatı).

α açısının kosinüsü, yarıçap α açısı boyunca döndüğünde meydana gelen, trigonometrik bir daire üzerindeki bir noktanın apsisidir (x koordinatı).

α açısının tanjantı, sinüsün kosinüs oranına oranıdır. Veya eşdeğer olarak, y-koordinatının x-koordinatına oranı.

Gösterim: günah α = y ; cosα = x; tga = y : x .

Tüm bu tanımlar size lise cebir dersinden aşinadır. Bununla birlikte, tanımların kendisiyle değil, trigonometrik çember üzerinde ortaya çıkan sonuçlarla ilgileniyoruz. Bir göz at:

Mavi renk OY ekseninin (ordinat ekseni) pozitif yönünü, kırmızı renk OX ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönünü gösterir. Bu "radarda" trigonometrik fonksiyonların işaretleri belirginleşir. Özellikle:

sin α > 0, eğer α açısı I veya II koordinat çeyreğinde bulunuyorsa. Bunun nedeni, tanım gereği sinüsün bir ordinat (y koordinatı) olmasıdır. Ve y koordinatı tam olarak I ve II koordinat çeyreklerinde pozitif olacaktır;
cos α > 0 eğer α açısı I veya IV koordinat çeyreğinde bulunuyorsa. Çünkü sadece orada x koordinatı (aynı zamanda apsistir) sıfırdan büyük olacaktır;
tg α > 0, eğer α açısı I veya III koordinat çeyreğinde bulunuyorsa. Bu şu tanımdan çıkar: sonuçta, tg α = y : x , bu nedenle yalnızca x ve y'nin işaretlerinin çakıştığı yerde pozitiftir. Bu, 1. koordinat çeyreğinde (burada x > 0, y > 0) ve 3. koordinat çeyreğinde (x) olur.< 0, y < 0).

Açıklık sağlamak için, her trigonometrik fonksiyonun - sinüs, kosinüs ve tanjant - işaretlerini ayrı "radar" üzerinde not ediyoruz. Aşağıdaki resmi alıyoruz:

Not: Akıl yürütmemde, dördüncü trigonometrik fonksiyondan - kotanjanttan hiç bahsetmedim. Gerçek şu ki, kotanjantın işaretleri tanjantın işaretleri ile çakışıyor - orada özel kurallar yok.

Şimdi, B11 problemlerine benzer örnekleri ele almayı öneriyorum. deneme sınavı 27 Eylül 2011'de gerçekleşen matematikte. Sonuçta En iyi yol teoriyi anlamak pratiktir. Tercihen çok pratik. Tabii ki, görevlerin koşulları biraz değişti.

Görev. Trigonometrik fonksiyonların ve ifadelerin işaretlerini belirleyin (fonksiyonların değerlerinin dikkate alınması gerekmez):

günah(3π/4);

cos(7π/6);

tan (5π/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Eylem planı şu şekildedir: önce tüm açıları radyan ölçüsünden derece ölçüsüne çeviririz (π → 180°) ve sonra ortaya çıkan sayının hangi koordinat çeyreğinde bulunduğuna bakarız. Çeyrekleri bilerek, işaretleri kolayca bulabiliriz - az önce açıklanan kurallara göre. Sahibiz:

günah (3π/4) = günah (3 180°/4) = günah 135°. 135° ∈ olduğundan, bu II koordinat çeyreğinden bir açıdır. Ancak ikinci çeyrekteki sinüs pozitiftir, yani sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Çünkü 210° ∈ , bu, tüm kosinüslerin negatif olduğu III koordinat çeyreğinden bir açıdır. Bu nedenle, cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ olduğundan, teğetin alındığı dördüncü kadrandayız negatif değerler. Bu nedenle tg (5π/3)< 0;
günah (3π/4) cos (5π/6) = günah (3 180°/4) cos (5 180°/6) = günah 135° cos 150°. Sinüsle ilgilenelim: çünkü 135° ∈ , bu sinüslerin pozitif olduğu ikinci çeyrek, yani. sin (3π/4) > 0. Şimdi kosinüsle çalışıyoruz: 150° ∈ - yine ikinci çeyrek, oradaki kosinüsler negatif. Bu nedenle cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Kosinüs'e bakıyoruz: 120° ∈, II koordinat çeyreğidir, yani cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Yine faktörlerin farklı işaretlere sahip olduğu bir ürün elde ettik. “Eksi çarpı artı bir eksi verdiği için” elimizde: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
günah (5π/6) cos (7π/4) = günah (5 180°/6) cos (7 180°/4) = günah 150° cos 315°. Sinüs ile çalışıyoruz: 150° ∈'den beri, Konuşuyoruz sinüslerin pozitif olduğu II koordinat çeyreği hakkında. Bu nedenle, sin (5π/6) > 0. Benzer şekilde, 315° ∈ IV koordinat çeyreğidir, oradaki kosinüsler pozitiftir. Bu nedenle, cos (7π/4) > 0. İki pozitif sayının çarpımını elde ettik - böyle bir ifade her zaman pozitiftir. Şu sonuca varıyoruz: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ancak 135 ° ∈ açısı ikinci çeyrektir, yani. bronz (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. “Eksi artı eksi işareti verdiğinden”, elimizde: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Kotanjant argümanına bakıyoruz: 240° ∈ III koordinat çeyreğidir, dolayısıyla ctg (4π/3) > 0'dır. Benzer şekilde, tanjant için elimizdeki: 30° ∈ I koordinat çeyreğidir, yani. en kolay köşe Bu nedenle, tg (π/6) > 0. Yine iki pozitif ifademiz var - bunların çarpımı da pozitif olacak. Bu nedenle ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Son olarak, birkaç tane daha bakalım zorlu görevler. Trigonometrik fonksiyonun işaretini bulmaya ek olarak, burada küçük bir hesaplama yapmanız gerekiyor - tıpkı B11 gerçek problemlerinde olduğu gibi. Prensip olarak, bunlar matematikte sınavda gerçekten bulunan neredeyse gerçek görevlerdir.

Görev. sin 2 α = 0.64 ve α ∈ [π/2; π].

sin 2 α = 0.64 olduğundan, elimizde: sin α = ±0.8. Karar vermek için kalır: artı mı eksi mi? Varsayım olarak, açı α ∈ [π/2; π], tüm sinüslerin pozitif olduğu II koordinat çeyreğidir. Bu nedenle, sin α = 0.8 - işaretlerle ilgili belirsizlik ortadan kalkar.

Görev. cos 2 α = 0.04 ve α ∈ [π; ise cos α'yı bulun; 3π/2.

Benzer şekilde hareket ediyoruz, yani. Ayıkla Kare kök: çünkü 2 α = 0,04 ⇒ çünkü α = ±0,2. Varsayım olarak, açı α ∈ [π; 3π/2], yani III koordinat çeyreğinden bahsediyoruz. Orada, tüm kosinüsler negatiftir, dolayısıyla cos α = −0.2.

Görev. sin 2 α = 0.25 ve α ∈ ise sin α'yı bulun.

Şunlara sahibiz: günah 2 α = 0,25 ⇒ günah α = ±0,5. Yine açıya bakıyoruz: α ∈, bildiğiniz gibi sinüsün negatif olacağı IV koordinat çeyreğidir. Böylece şu sonuca varırız: sin α = −0.5.

Görev. tg 2 α = 9 ve α ∈ ise tg α'yı bulun.

Her şey aynı, sadece teğet için. Karekök alıyoruz: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ancak koşula göre, α ∈ açısı I koordinat çeyreğidir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar, dahil. teğet, pozitif var, yani tg α = 3. İşte bu kadar!

MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elealı Zeno, en ünlüsü "Aşil ve kaplumbağa" aporia olan ünlü aporlarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Akhilleus yüz adım koştuğunda, kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Akhilleus kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıklı bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Hepsi bir şekilde Zeno'nun açmazlarını düşündüler. Şok o kadar güçlüydü ki" ... tartışmalar şu anda devam ediyor, paradoksların özü hakkında ortak bir görüşe varmak bilimsel toplulukşimdiye kadar mümkün olmadı ... matematiksel analiz, küme teorisi, konunun çalışmasına yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi; hiçbiri soruna evrensel olarak kabul edilmiş bir çözüm olmadı ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın ne olduğunu anlamıyor.

Matematiğin bakış açısından, Zeno aporia'sında değerden değere geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, sabitler yerine uygulama anlamına gelir. Anladığım kadarıyla, değişken ölçü birimlerini uygulamak için matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun aporia'sına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızın uygulanması bizi bir tuzağa düşürür. Biz, düşünmenin ataleti ile karşılıklı olana sabit zaman birimleri uygularız. Fiziksel bir bakış açısıyla, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda zamanın yavaşlayarak tamamen durması gibi görünüyor. Zaman durursa, Aşil artık kaplumbağayı geçemez.

Alıştığımız mantığı çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit bir hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan zaman öncekinden on kat daha azdır. Bu durumda "sonsuzluk" kavramını uygularsak, "Aşil kaplumbağayı sonsuz hızla geçecektir" demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı değerlere geçiş yapmayın. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Akhilleus'un bin adım koştuğu süre içinde kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Bir sonraki zaman aralığında, birincisine eşit, Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım sürünecek. Şimdi Aşil, kaplumbağadan sekiz yüz adım önde.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmadan gerçekliği yeterince açıklar. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının aşılmazlığı hakkındaki ifadesi Zeno'nun "Aşil ve kaplumbağa" açmazına çok benzer. Henüz bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz sayıda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oku anlatır:

Uçan ok hareketsizdir, çünkü zamanın her anında hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan, daima hareketsizdir.

bu çıkmazda mantıksal paradoksçok basit bir şekilde üstesinden gelinir - her an uçan okun uzayda farklı noktalarda durduğunu ve aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta daha var. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından, hareketinin gerçeğini veya ona olan mesafesini belirlemek imkansızdır. Arabanın hareket gerçeğini belirlemek için, aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyaç vardır, ancak bunlar mesafeyi belirlemek için kullanılamaz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, aynı anda uzayda farklı noktalardan çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız var, ancak onlardan hareket gerçeğini belirleyemezsiniz (elbette, hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) . neye odaklanmak istiyorum Özel dikkat Zamandaki iki nokta ve uzaydaki iki nokta, karıştırılmaması gereken farklı şeylerdir, çünkü bunlar keşif için farklı fırsatlar sunar.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Çok iyi set ve multiset arasındaki farklar Wikipedia'da açıklanmıştır. bakıyoruz.

Gördüğünüz gibi, "küme iki özdeş öğeye sahip olamaz", ancak kümede özdeş öğeler varsa, böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Benzer bir saçmalık mantığı duyarlı varlıklar asla anlama. Bu, zihnin "tamamen" kelimesinden yoksun olduğu konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler, saçma fikirlerini bize vaaz ederek sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü yapan mühendisler, köprünün testleri sırasında köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis yarattığı molozun altında öldü. Köprü yüke dayanabilirse, yetenekli mühendis başka köprüler inşa etti.

Matematikçiler "bana bak, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansın, onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Çok iyi matematik çalıştık ve şimdi kasada oturuyoruz, maaş ödüyoruz. Burada bir matematikçi bize parası için geliyor. Tüm tutarı ona sayarız ve aynı değerdeki faturaları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamıza koyarız. Sonra her yığından bir fatura alıp matematikçiye "matematiksel maaş setini" veriyoruz. Sadece özdeş elemanları olmayan kümenin aynı elemanlara sahip kümeye eşit olmadığını kanıtladığı zaman kalan faturaları alacağının matematiğini açıklıyoruz. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: "Başkalarına uygulayabilirsiniz ama bana değil!" Ayrıca, aynı değerdeki banknotların üzerinde farklı banknot numaralarının bulunduğuna dair güvenceler başlayacaktır, bu da bunların özdeş unsurlar olarak kabul edilemeyeceği anlamına gelir. Pekala, maaşı madeni para olarak sayıyoruz - madeni paralarda sayı yok. Burada matematikçi fiziği sarsıcı bir şekilde hatırlamaya başlayacak: farklı paralar mevcut farklı miktar her madalyonun kir, kristal yapısı ve atomik düzeni benzersizdir...

Ve şimdi en fazlasına sahibim faiz sor: ötesinde bir çoklu kümenin öğelerinin bir kümenin öğelerine dönüştüğü ve bunun tersinin sınırı nerededir? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, buradaki bilim yakın bile değil.

Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumları seçiyoruz. Alanların alanı aynıdır, yani bir multisetimiz var. Ama aynı statların isimlerini düşünürsek çok şey alırız çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi, aynı eleman kümesi aynı anda hem küme hem de çoklu kümedir. Nasıl doğru? Ve burada matematikçi-şaman-shuller kolundan bir koz ası çıkarır ve bize ya bir set ya da bir multiset hakkında bilgi vermeye başlar. Her durumda, bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların onu gerçeğe bağlayarak küme teorisiyle nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri diğer kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadığını göstereceğim.

18 Mart 2018 Pazar

Bir sayının rakamlarının toplamı, matematikle ilgisi olmayan bir tef ile şamanların dansıdır. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve onu kullanmamız öğretiliyor, ama onlar bunun için, torunlarına becerilerini ve bilgeliklerini öğretmek için şamanlar, aksi takdirde şamanlar basitçe ölürler.

Kanıta ihtiyacınız var mı? Wikipedia'yı açın ve "Bir Sayının Rakamlarının Toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulabileceğiniz bir formül yoktur. Sonuçta, sayılar sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şöyle görünür: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu sorunu çözemezler, ancak şamanlar bunu basit bir şekilde yapabilirler.

Verilen bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yaptığımızı bulalım. Ve diyelim ki 12345 sayımız var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapmak gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.

1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı bir sayı grafiği sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değildir.

2. Alınan bir resmi, ayrı sayılar içeren birkaç resme böldük. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.

3. Bireysel grafik karakterlerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değildir.

4. Ortaya çıkan sayıları toplayın. Şimdi bu matematik.

12345 sayısının rakamları toplamı 15'tir. Bunlar, matematikçiler tarafından kullanılan şamanlara ait "kesme ve dikme kursları"dır. Ama hepsi bu kadar değil.

Matematik açısından, sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımızın bir önemi yoktur. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi, sayının sağında bir alt simge olarak gösterilir. İle Büyük bir sayı 12345 Kafamı kandırmak istemiyorum, hakkındaki makaledeki 26 sayısını düşünün. Bu sayıyı ikili, sekizli, ondalık ve onaltılık sayı sistemlerinde yazalım. Her adımı mikroskop altında ele almayacağız, bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.

Görüldüğü gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle ilgisi yoktur. Bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre cinsinden belirlerken tamamen farklı sonuçlar almanızla aynı şey.

Tüm sayı sistemlerinde sıfır aynı görünür ve rakamların toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehinde başka bir argümandır. Matematikçiler için bir soru: Sayı olmayan matematikte nasıl gösterilir? Ne, matematikçiler için sayılardan başka bir şey yok mu? Şamanlar için buna izin verebilirim ama bilim adamları için hayır. Gerçeklik sadece rakamlardan ibaret değildir.

Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak kabul edilmelidir. Sonuçta, sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle aynı eylemler aşağıdaki sonuçlara yol açarsa: farklı sonuçlar onları karşılaştırdıktan sonra, matematikle ilgisi yok.

Gerçek matematik nedir? Bu, matematiksel bir eylemin sonucunun sayının değerine, kullanılan ölçü birimine ve bu eylemi kimin yaptığına bağlı olmadığı zamandır.

Kapıyı imzala Kapıyı açar ve der ki:

Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Bu, cennete yükselirken ruhların sınırsız kutsallığını incelemek için bir laboratuvardır! Nimbus üstte ve yukarı ok. Başka ne tuvaleti?

Dişi... Üstte hale ve aşağı ok erkektir.

Günde birkaç kez gözünüzün önünde yanıp sönen böyle bir tasarım sanat eseriniz varsa,

O zaman arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Şahsen, kaka yapan bir insanda eksi dört derece görmek için çaba sarf ediyorum (bir resim) (birkaç resmin bileşimi: eksi işareti, dört numara, derece tanımı). Ve ben bu kızı fizik bilmeyen bir aptal olarak görmüyorum. Sadece grafik görüntülerin bir yay klişesine sahip. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretirler. İşte bir örnek.

1A, "eksi dört derece" veya "bir a" değildir. Bu, "kaka yapan bir adam" ya da "yirmi altı" sayısıdır. onaltılık sistem hesaplaşma. Bu sayı sisteminde sürekli çalışan kişiler, sayı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembolü olarak algılarlar.

Tanjant (tg x) ve kotanjant (ctg x) için referans verileri. Geometrik tanım, özellikler, grafikler, formüller. Teğetler ve kotanjantlar, türevler, integraller, seri açılımları tablosu. Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler. Hiperbolik fonksiyonlarla bağlantı.

geometrik tanım

|BD| - A noktasında ortalanmış bir dairenin yayının uzunluğu.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.

teğet ( tga) hipotenüs ve bacak arasındaki α açısına bağlı trigonometrik bir fonksiyondur sağ üçgen, karşı bacağın uzunluğunun oranına eşittir |BC| bitişik bacağın uzunluğuna |AB| .

kotanjant ( ctgα) hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan trigonometrik bir fonksiyondur, komşu ayağın uzunluğunun oranına |AB| karşı bacağın uzunluğuna |BC| .

Teğet

Neresi n- tüm.

AT Batı edebiyatı tanjant aşağıdaki gibi tanımlanır:
.
;
;
.

Tanjant fonksiyonunun grafiği, y = tg x

Kotanjant

Neresi n- tüm.

Batı literatüründe, kotanjant şu şekilde gösterilir:
.
Aşağıdaki gösterim de kabul edilmiştir:
;
;
.

Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x

Tanjant ve kotanjantın özellikleri

periyodiklik

fonksiyonlar y= tg x ve y= ctg xπ periyodu ile periyodiktir.

parite

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları tektir.

Tanım ve değer alanları, artan, azalan

Tanjant ve kotanjant işlevleri tanım alanlarında süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Tanjant ve kotanjantın ana özellikleri tabloda sunulmuştur ( n- tamsayı).

	y= tg x	y= ctg x
Kapsam ve süreklilik
Değer aralığı	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
artan		-
Azalan	-
aşırılıklar	-	-
sıfırlar, y= 0
y ekseni ile kesişme noktaları, x = 0	y= 0	-

formüller

Sinüs ve kosinüs cinsinden ifadeler

; ;
; ;
;

Toplam ve farkın tanjantı ve kotanjantı için formüller

Formüllerin geri kalanının elde edilmesi kolaydır, örneğin

teğetlerin çarpımı

Teğetlerin toplamı ve farkı için formül

Bu tablo, argümanın bazı değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini gösterir.

Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler

Hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifadeler

;
;

türevler

; .

.
Fonksiyonun x değişkenine göre n. mertebenin türevi:
.
Tanjant için formüllerin türetilmesi > > > ; kotanjant için > > >

integraller

Seri genişletmeler

Teğetin x'in kuvvetleri cinsinden genişlemesini elde etmek için, genişlemenin birkaç terimini güç serisi fonksiyonlar için günah x ve çünkü x ve bu polinomları birbirine bölün , . Bu, aşağıdaki formüllerle sonuçlanır.

.

.
nerede ben- Bernoulli sayıları. Bunlar, yineleme bağıntısından belirlenir:
;
;
nerede .
Veya Laplace formülüne göre:

ters fonksiyonlar

Tanjant ve kotanjantın ters fonksiyonları sırasıyla arktanjant ve ark kotanjanttır.

arktanjant, arktg

, nerede n- tüm.

Ark tanjantı, arkctg