Önce iki değişkenli bir fonksiyonun durumunu ele alalım. $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $M_0(x_0;y_0)$ noktasındaki koşullu ekstremi, bu fonksiyonun ekstremumudur ve $x$ ve $y$ değişkenlerinin bu noktanın çevresi $\ varphi(x,y)=0$ kısıt denklemini sağlar.

"Koşullu" ekstremum adı, değişkenlere $\varphi(x,y)=0$ ek koşulunun uygulanması gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bağlantı denkleminden bir değişkeni bir başkası cinsinden ifade etmek mümkünse, o zaman koşullu uç noktayı belirleme sorunu, bir değişkenin bir fonksiyonunun olağan uç noktası sorununa indirgenir. Örneğin, $y=\psi(x)$ kısıtlama denkleminden geliyorsa, o zaman $y=\psi(x)$ yerine $z=f(x,y)$ koyarsak, bir değişken $ fonksiyonu elde ederiz. z=f\sol (x,\psi(x)\sağ)$. Ancak genel durumda, bu yöntem çok az kullanılır, bu nedenle yeni bir algoritma gereklidir.

İki değişkenli fonksiyonlar için Lagrange çarpanları yöntemi.

Lagrange çarpanlarının yöntemi, koşullu ekstremumu bulmak için Lagrange fonksiyonunun şu şekilde oluşturulmasıdır: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda parametresi $, Lagrange çarpanı olarak adlandırılır). Gerekli ekstremum koşulları, durağan noktaların belirlendiği bir denklem sistemi tarafından verilir:

$$ \left \( \begin(hizalanmış) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(hizalanmış)\sağ.$$

$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$ işareti. Durağan bir $d^2F > 0$ noktasındaysa, $z=f(x,y)$ işlevinin bu noktada koşullu bir minimumu vardır, ancak $d^2F ise< 0$, то условный максимум.

Ekstremumun doğasını belirlemenin başka bir yolu var. Kısıtlama denkleminden şunu elde ederiz: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, yani herhangi bir durağan noktada:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\sol(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\sağ)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\sağ)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \sağ)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\sağ)$$

İkinci faktör (parantez içinde verilmiştir) şu biçimde gösterilebilir:

$\left| \begin(dizi) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (dizi) \right|$, bu, Lagrange işlevinin Hessian'ıdır. $H > 0$ ise, o zaman $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0, yani $z=f(x,y)$ fonksiyonunun koşullu minimumu var.

$H$ determinantının formuna dikkat edin. göster/gizle

$$ H=-\left|\begin(dizi) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ bitiş(dizi) \sağ| $$

Bu durumda, yukarıda formüle edilen kural şu ​​şekilde değişir: $H > 0$ ise, fonksiyonun koşullu bir minimumu vardır ve $H için< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Koşullu ekstremum için iki değişkenli bir fonksiyonu incelemek için algoritma

1. $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ Lagrange işlevini oluşturun
2. Sistemi çöz $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(hizalanmış)\sağ.$
3. Önceki paragrafta bulunan durağan noktaların her birinde ekstremumun yapısını belirleyin. Bunu yapmak için aşağıdaki yöntemlerden birini kullanın:
   • $H$ determinantını oluşturun ve işaretini bulun
   • Kısıt denklemini dikkate alarak $d^2F$ işaretini hesaplayın

n değişkenli fonksiyonlar için Lagrange çarpanı yöntemi

$n$ değişkenleri $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ve $m$ kısıtlama denklemlerinden ($n > m$) oluşan bir fonksiyonumuz olduğunu varsayalım:

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Lagrange çarpanlarını $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ olarak belirterek Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Koşullu bir ekstremumun varlığı için gerekli koşullar, durağan noktaların koordinatlarının ve Lagrange çarpanlarının değerlerinin bulunduğu bir denklem sistemi tarafından verilir:

$$\left\(\begin(hizalanmış) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ üzerini çiz(1,m)) \end(hizalanmış) \sağ.$$

Daha önce olduğu gibi, $d^2F$ işaretini kullanarak, bir fonksiyonun bulunan noktada koşullu minimumu mu yoksa koşullu maksimumu mu olduğunu bulmak mümkündür. Bulunan noktada $d^2F > 0$ ise, fonksiyonun koşullu bir minimumu vardır, ancak $d^2F ise< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matris determinantı $\left| \begin(dizi) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\kısmi x_(3) \kısmi x_(1)) & \frac(\kısmi^2F)(\kısmi x_(3)\kısmi x_(2)) & \frac(\kısmi^2F)(\kısmi x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\kısmi^2F)(\kısmi x_(n)\kısmi x_(1)) & \frac(\kısmi^2F)(\kısmi x_(n)\kısmi x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( dizi) \right|$, $L$ matrisinde kırmızı ile vurgulanan Lagrange fonksiyonunun Hessian'ıdır. Aşağıdaki kuralı kullanıyoruz:

• Korner minörlerin işaretleri $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ $L$ matrisleri $(-1)^m$ işaretiyle çakışıyorsa, çalışılan durağan nokta $ fonksiyonunun koşullu minimum noktasıdır z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Korner minörlerin işaretleri $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternatif ve minör $H_(2m+1)$ işaretinin işareti $(-1)^(m+1) sayısının işaretiyle çakışıyor )$, sonra çalışılan durağan nokta, $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ fonksiyonunun koşullu maksimum noktasıdır.

Örnek 1

$z(x,y)=x+3y$ fonksiyonunun koşullu ekstremumunu $x^2+y^2=10$ koşulu altında bulun.

Bu problemin geometrik yorumu şu şekildedir: $z=x+3y$ düzleminin $x^2+y^2 silindiri ile kesiştiği noktalar için uygulamasının en büyük ve en küçük değerini bulmak gerekir. =10$.

Kısıtlama denkleminden bir değişkeni bir başkası cinsinden ifade etmek ve onu $z(x,y)=x+3y$ fonksiyonunda ikame etmek biraz zordur, bu yüzden Lagrange yöntemini kullanacağız.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$'ı ifade ederek Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\kısmi x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını belirlemek için denklem sistemini yazalım:

$$ \left \( \begin(hizalanmış) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (hizalanmış)\sağ.$$

$\lambda=0$ varsayarsak, ilk denklem şöyle olur: $1=0$. Ortaya çıkan çelişki, $\lambda\neq 0$ olduğunu söylüyor. $\lambda\neq 0$ koşulu altında, birinci ve ikinci denklemlerden elde ederiz: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Elde edilen değerleri üçüncü denklemde değiştirerek şunu elde ederiz:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \sağ)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \sağ)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(hizalanmış) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(hizalanmış) \sağ.\\ \begin(hizalanmış) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(hizalanmış) $$

Yani sistemin iki çözümü var: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ve $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Her durağan noktada ekstremumun doğasını bulalım: $M_1(1;3)$ ve $M_2(-1;-3)$. Bunu yapmak için, noktaların her birinde $H$ determinantını hesaplıyoruz.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\sol| \begin(dizi) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(dizi) \sağ|= \sol| \begin(dizi) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(dizi) \right|= 8\cdot\left| \begin(dizi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(dizi) \sağ| $$

$M_1(1;3)$ noktasında şunu elde ederiz: $H=8\cdot\left| \begin(dizi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(dizi) \right|= 8\cdot\left| \begin(dizi) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(dizi) \right|=40 > 0$, yani noktada $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ işlevinin koşullu bir maksimumu vardır, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Benzer şekilde, $M_2(-1;-3)$ noktasında şunu buluruz: $H=8\cdot\left| \begin(dizi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(dizi) \right|= 8\cdot\left| \begin(dizi) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(dizi) \right|=-40$. $H'den beri< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

$H$ determinantının değerini her noktada hesaplamak yerine genel bir şekilde açmanın çok daha uygun olduğunu belirtelim. Metni ayrıntılarla karıştırmamak için bu yöntemi bir not altına gizleyeceğim.

Genel formda determinant $H$ gösterimi. göster/gizle

$$ H=8\cdot\left|\begin(dizi)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(dizi)\sağ| =8\cdot\sol(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\sağ) =-8\lambda\cdot\sol(y^2+x^2\sağ). $$

Prensipte, $H$'ın hangi işaretine sahip olduğu zaten açıktır. $M_1$ veya $M_2$ noktalarından hiçbiri başlangıç ​​noktasıyla çakışmadığından, $y^2+x^2>0$. Bu nedenle, $H$'ın işareti, $\lambda$'ın işaretinin tersidir. Hesaplamaları da tamamlayabilirsiniz:

$$ \begin(hizalanmış) &H(M_1)=-8\cdot\sol(-\frac(1)(2)\sağ)\cdot\sol(3^2+1^2\sağ)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\sol((-3)^2+(-1)^2\sağ)=-40. \end(hizalanmış) $$

$M_1(1;3)$ ve $M_2(-1;-3)$ durağan noktalarındaki ekstremumun doğası ile ilgili soru, $H$ determinantı kullanılmadan çözülebilir. Her durağan noktada $d^2F$ işaretini bulun:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\sağ) $$

$dx^2$ gösteriminin tam olarak ikinci güce yükseltilmiş $dx$ anlamına geldiğini not ediyorum, yani. $\sol(dx\sağ)^2$. Dolayısıyla: $dx^2+dy^2>0$ var, yani $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ için $d^2F elde ederiz< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Cevap: $(-1;-3)$ noktasında, fonksiyonun koşullu bir minimumu vardır, $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ noktasında, fonksiyonun koşullu bir maksimumu vardır, $z_(\max)=10$

Örnek #2

$z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ fonksiyonunun koşullu ekstremumunu $x+y=0$ koşulu altında bulun.

İlk yol (Lagrange çarpanları yöntemi)

$\varphi(x,y)=x+y$'ı ifade ederek Lagrange fonksiyonunu oluştururuz: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(hizalanmış) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(hizalanmış)\sağ.$$

Sistemi çözerek şunu elde ederiz: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ve $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. İki durağan noktamız var: $M_1(0;0)$ ve $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. $H$ determinantını kullanarak her durağan noktada ekstremumun doğasını bulalım.

$$ H=\sol| \begin(dizi) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(dizi) \sağ|= \sol| \begin(dizi) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(dizi) \right|=-10-18y $$

$M_1(0;0)$ noktasında $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, yani bu noktada işlevin koşullu bir maksimumu vardır, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

$d^2F$ işaretine dayalı olarak, noktaların her birinde ekstremumun doğasını farklı bir yöntemle araştırıyoruz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

$x+y=0$ kısıtlama denkleminden şunu elde ederiz: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ olduğundan, $M_1(0;0)$ $z(x,y)=3y^3+ işlevinin koşullu minimum noktasıdır 4x^ 2-xy$. Benzer şekilde, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

ikinci yol

$x+y=0$ kısıtlama denkleminden şunu elde ederiz: $y=-x$. $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ fonksiyonuna $y=-x$ koyarak, $x$ değişkeninin bir fonksiyonunu elde ederiz. Bu işlevi $u(x)$ olarak gösterelim:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Böylece, iki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulma problemini, bir değişkenli fonksiyonun ekstremumunu belirleme problemine indirgedik.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

$M_1(0;0)$ ve $M_2\left(\frac(10)(9)); -\frac(10)(9)\right)$ puanları var. Tek değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabının seyrinden daha fazla araştırma bilinmektedir. Her durağan noktada $u_(xx)^("")$ işaretini inceleyerek veya bulunan noktalarda $u_(x)^(")$ işaret değişimini kontrol ederek, ilkini çözerken elde ettiğimiz sonuçların aynısını elde ederiz. Örneğin, $u_(xx)^("")$ işaretini kontrol edin:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

$u_(xx)^("")(M_1)>0$ olduğundan, $M_1$ $u(x)$ fonksiyonunun minimum noktasıdır, $u_(\min)=u(0)=0 ise $ . $u_(xx)^("")(M_2)'den beri<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Verilen bağlantı koşulu altındaki $u(x)$ fonksiyonunun değerleri, $z(x,y)$ fonksiyonunun değerleri ile örtüşür, yani. $u(x)$ fonksiyonunun bulunan ekstremi, $z(x,y)$ fonksiyonunun istenen koşullu ekstremidir.

Cevap: $(0;0)$ noktasında işlevin koşullu bir minimumu vardır, $z_(\min)=0$. $\left(\frac(10)(9)); -\frac(10)(9) \right)$ noktasında, fonksiyonun koşullu bir maksimumu vardır, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

$d^2F$ işaretini belirleyerek ekstremumun doğasını bulduğumuz bir örneği daha ele alalım.

Örnek 3

$x$ ve $y$ değişkenleri pozitifse ve $\frac(x^2)(8)+\frac( kısıtlama denklemini sağlıyorsa, $z=5xy-4$ işlevinin maksimum ve minimum değerlerini bulun y^2)(2) -1=0$.

Lagrange işlevini oluşturun: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını bulun:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(hizalanmış) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(hizalanmış) \sağ.$$

Tüm diğer dönüşümler $x > 0 dikkate alınarak gerçekleştirilir; \; y > 0$ (bu, problemin durumunda belirtilmiştir). İkinci denklemden, $\lambda=-\frac(5x)(y)$'ı ifade ediyoruz ve bulunan değeri ilk denklemde yerine koyuyoruz: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. $x=2y$'ı üçüncü denklemde yerine koyarsak, şunu elde ederiz: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

$y=1$ olduğundan, o zaman $x=2$, $\lambda=-10$. $(2;1)$ noktasındaki ekstremumun doğası $d^2F$ işaretinden belirlenir.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ olduğundan, o zaman:

$$ d\sol(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\sağ)=0; \; d\sol(\frac(x^2)(8) \sağ)+d\sol(\frac(y^2)(2) \sağ)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Prensipte, burada $x=2$, $y=1$ sabit noktasının koordinatlarını ve $\lambda=-10$ parametresini hemen değiştirebilirsiniz, böylece şunları elde edebilirsiniz:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \sağ)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \sağ)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Ancak, bir koşullu ekstremum için diğer problemlerde, birkaç durağan nokta olabilir. Bu gibi durumlarda, $d^2F$'ı genel bir biçimde temsil etmek ve ardından bulunan durağan noktaların her birinin koordinatlarını elde edilen ifadeye ikame etmek daha iyidir:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \sol(-\frac(xdx)(4y) \sağ)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \sağ)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \sağ)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2'den beri< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Cevap: $(2;1)$ noktasında, fonksiyonun koşullu bir maksimumu vardır, $z_(\max)=6$.

Bir sonraki bölümde, çok sayıda değişkenli fonksiyonlar için Lagrange yönteminin uygulamasını ele alacağız.

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşul

1. Fonksiyonun noktanın bazı komşuluklarında sürekli türevlenebilir olmasına ve sürekli ikinci mertebeden kısmi türevlere (saf ve karışık) sahip olmasına izin verin.

2. İkinci dereceden determinant ile gösteriniz

ekstremum değişken ders fonksiyonu

teorem

Koordinatları olan nokta, fonksiyon için durağan bir noktaysa, o zaman:

A) Bir yerel ekstremum noktası olduğunda ve yerel bir maksimumda, - yerel bir minimumda;

C) nokta yerel bir ekstremum noktası olmadığında;

C) eğer, belki her ikisi de.

Kanıt

Kendimizi iki üye ile sınırlayarak, fonksiyon için Taylor formülünü yazıyoruz:

Teoremin koşuluna göre nokta durağan olduğundan, ikinci dereceden kısmi türevler sıfıra eşittir, yani. ve. Sonra

belirtmek

Daha sonra fonksiyonun artışı şu şekilde olacaktır:

İkinci mertebeden (saf ve karışık) kısmi türevlerin sürekliliğinden dolayı teoremin bir noktadaki durumuna göre şöyle yazabiliriz:

Nerede veya; ,

1. Let ve, yani, veya.

2. Fonksiyonun artışını çarparız ve böleriz, şunu elde ederiz:

3. Kıvrımlı parantez içindeki ifadeyi toplamın tam karesiyle tamamlayın:

4. Kıvrımlı parantez içindeki ifade negatif değildir, çünkü

5. Bu nedenle, eğer ve dolayısıyla ve, o zaman ve bu nedenle, tanıma göre, nokta bir yerel minimum noktasıdır.

6. Eğer ve anlamına gelir ve, o zaman, tanıma göre, koordinatları olan bir nokta yerel bir maksimum noktadır.

2. Diskriminantı olan bir kare üç terimliyi ele alalım.

3. Eğer, o zaman öyle noktalar var ki, polinom

4. I'de elde edilen ifadeye göre bir noktada fonksiyonun toplam artışı, şu şekilde yazıyoruz:

5. İkinci mertebeden kısmi türevlerin sürekliliğinden dolayı, teoremin bir noktadaki koşuluna göre şunu yazabiliriz:

bu nedenle, herhangi bir nokta için kare üçlü terim sıfırdan büyük olacak şekilde bir noktanın komşuluğu vardır:

6. Düşünün - noktanın komşuluğu.

Herhangi bir değeri seçelim, mesele bu. Fonksiyonun artış formülünde olduğunu varsayarsak

Ne elde ederiz:

7. O zamandan beri.

8. Benzer şekilde kök için tartışarak, noktanın herhangi bir komşuluğunda bir nokta olduğunu, bu nedenle, noktanın komşuluğunda işaretini korumadığını, bu nedenle noktada ekstremum olmadığını elde ederiz.

İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumu

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu ararken, genellikle koşullu ekstremum ile ilgili problemler ortaya çıkar. Bu kavram, iki değişkenli bir fonksiyon örneği ile açıklanabilir.

0xy düzleminde bir fonksiyon ve bir L doğrusu verilsin. Görev, L hattı üzerinde, fonksiyonun değerinin, yakınlarda bulunan L hattının noktalarında bu fonksiyonun değerlerine kıyasla en büyük veya en küçük olduğu böyle bir P (x, y) noktası bulmaktır. P noktası. Bu tür P noktalarına L hattı üzerinde koşullu ekstremum noktaları fonksiyonları denir. Olağan ekstremum noktasının aksine, fonksiyonun şartlı ekstremum noktasındaki değeri, fonksiyonun tüm noktalarda olmayan değerleri ile karşılaştırılır. bazı mahallelerinde, ancak yalnızca L hattında bulunanlarda.

Bu noktadan geçen herhangi bir doğru için olağan ekstremumun noktasının (koşulsuz ekstremum da derler) aynı zamanda şartlı ekstremumun noktası olduğu oldukça açıktır. Elbette bunun tersi doğru değildir: koşullu bir ekstremum noktası, geleneksel bir ekstremum noktası olmayabilir. Söylenenleri bir örnekle açıklayalım.

Örnek 1. Fonksiyonun grafiği üst yarım küredir (Şekil 2).

Pirinç. 2.

Bu fonksiyonun başlangıç ​​noktasında bir maksimumu vardır; yarım kürenin M köşesine karşılık gelir. L çizgisi A ve B noktalarından geçen düz bir çizgi ise (denklem), o zaman geometrik olarak açıktır ki bu çizginin noktaları için fonksiyonun maksimum değerine A ve B noktaları arasında ortada uzanan noktada ulaşılır. B. Bu, bu satırdaki koşullu ekstremum (maksimum) nokta fonksiyonlarıdır; yarım küredeki M1 noktasına tekabül eder ve burada herhangi bir olağan ekstremumun söz konusu olamayacağı şekilden görülebilir.

Kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma probleminin son bölümünde, fonksiyonun uç değerlerinin bu bölgenin sınırında bulunması gerektiğini, yani. bir satırda ve böylece koşullu bir ekstremum için sorunu çözer.

Tanım 1. Denklemi karşılayan bir noktada koşullu veya göreli bir maksimuma (minimum) sahip olduğunu söylüyorlar: denklemi sağlayan herhangi biri için eşitsizlik

Tanım 2. Formun denklemine kısıt denklemi denir.

teorem

Fonksiyonlar ve bir noktanın komşuluğunda sürekli olarak türevlenebilirlerse ve kısmi türev ve nokta, fonksiyonun kısıtlama denklemine göre koşullu ekstremumunun noktasıysa, ikinci dereceden determinant sıfıra eşittir:

Kanıt

1. Teoremin koşuluna göre, kısmi türev ve fonksiyonun değerine göre, o zaman bir dikdörtgende

örtük fonksiyon tanımlı

Bir noktada iki değişkenli karmaşık bir fonksiyon yerel bir ekstremum değerine sahip olacaktır, bu nedenle veya.

2. Gerçekten de, birinci mertebeden diferansiyel formülün değişmezlik özelliğine göre

3. Bağlantı denklemi bu formda gösterilebilir, yani

4. Denklemi (2) ile ve (3) ile çarpın ve ekleyin

Bu nedenle,

keyfi. h.t.d.

Sonuç

Pratikte iki değişkenli bir fonksiyonun koşullu uç noktalarının aranması, bir denklem sistemi çözülerek gerçekleştirilir.

Yani, yukarıdaki örnekte 1 numaralı iletişim denklemimiz var. Buradan maksimuma neyin ulaştığını kontrol etmek kolaydır. Ama sonra iletişim denkleminden. Geometrik olarak bulunan P noktasını elde ederiz.

Örnek #2. Kısıt denklemine göre fonksiyonun koşullu ekstremum noktalarını bulun.

Verilen fonksiyonun kısmi türevlerini ve bağlantı denklemini bulalım:

İkinci dereceden bir determinant yapalım:

Koşullu ekstremum noktalarını bulmak için denklem sistemini yazalım:

bu nedenle, fonksiyonun koordinatları olan dört koşullu ekstremum noktası vardır: .

Örnek #3. Fonksiyonun uç noktalarını bulun.

Kısmi türevleri sıfıra eşitleyerek: , bir durağan nokta buluruz - orijin. Burada,. Bu nedenle (0, 0) noktası da bir ekstremum noktası değildir. Denklem bir hiperbolik paraboloidin denklemidir (Şekil 3), şekil (0, 0) noktasının bir ekstremum noktası olmadığını göstermektedir.

Pirinç. 3.

Kapalı bir alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

1. Fonksiyonun sınırlı kapalı bir D bölgesinde tanımlı ve sürekli olmasına izin verin.

2. Bölgenin tek tek noktaları hariç, fonksiyonun bu bölgede sonlu kısmi türevleri olsun.

3. Weierstrass teoremine göre, bu alanda fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri aldığı bir nokta vardır.

4. Bu noktalar D bölgesinin iç noktaları ise, maksimum veya minimuma sahip olacakları açıktır.

5. Bu durumda bizi ilgilendiren noktalar ekstremumdaki şüpheli noktalar arasındadır.

6. Bununla birlikte, fonksiyon D bölgesinin sınırındaki maksimum veya minimum değeri de alabilir.

7. D alanındaki fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulmak için, bir ekstremum için şüpheli tüm dahili noktaları bulmanız, içlerindeki fonksiyonun değerini hesaplamanız ve ardından fonksiyonun değeri ile karşılaştırmanız gerekir. alanın sınır noktaları ve bulunan tüm değerlerin en büyüğü kapalı D bölgesinde en büyüğü olacaktır.

8. Yerel bir maksimum veya minimum bulma yöntemi Bölüm 1.2'de daha önce ele alınmıştı. ve 1.3.

9. Bölge sınırındaki fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulma yöntemini dikkate almaya devam ediyor.

10. İki değişkenli bir fonksiyon durumunda, alan genellikle bir eğri veya birkaç eğri ile sınırlandırılır.

11. Böyle bir eğri (veya birkaç eğri) boyunca, değişkenler ve ya birbirine bağlıdır ya da her ikisi de bir parametreye bağlıdır.

12. Böylece, sınırda, fonksiyonun bir değişkene bağlı olduğu ortaya çıkıyor.

13. Bir değişkenli fonksiyonun en büyük değerini bulma yöntemi daha önce tartışılmıştı.

14. D bölgesinin sınırı parametrik denklemlerle verilsin:

O zaman bu eğri üzerinde iki değişkenli fonksiyon, parametrenin karmaşık bir fonksiyonu olacaktır: . Böyle bir fonksiyon için en büyük ve en küçük değer, tek değişkenli bir fonksiyon için en büyük ve en küçük değerleri belirleme yöntemiyle belirlenir.

Misal

Sağlanan fonksiyonun ekstremumunu bulun. X ve de oranı ile ilişkilidir: . Geometrik olarak, problem şu anlama gelir: bir elips üzerinde
uçak
.

Bu problem şu şekilde çözülebilir: denklemden
bulmak
X:

şartıyla
, segment üzerinde bir değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulma problemine indirgenmiştir.
.

Geometrik olarak, problem şu anlama gelir: bir elips üzerinde silindiri geçerek elde edilir
uçak
, uygulamanın maksimum veya minimum değerinin bulunması gerekir. (Şek. 9). Bu problem şu şekilde çözülebilir: denklemden
bulmak
. Bulunan y değerini düzlem denklemine koyarak, tek değişkenli bir fonksiyon elde ederiz. X:

Böylece fonksiyonun ekstremumunu bulma problemi
şartıyla
, bir segment üzerinde bir değişkenin bir fonksiyonunun ekstremumunu bulma problemine indirgenmiştir.

Böyle, koşullu ekstremum bulma sorunu amaç fonksiyonunun ekstremumunu bulma problemidir.
değişkenlerin olması şartıyla X ve de kısıtlamaya tabi
isminde bağlantı denklemi.

bunu söyleyeceğiz nokta
, kısıtlama denkleminin sağlanması, yerel koşullu maksimumun bir noktasıdır (minimum) mahalle varsa
öyle ki herhangi bir puan için
, koordinatları kısıtlama denklemini karşılayan eşitsizlik geçerlidir.

İletişim denkleminden için bir ifade bulmak mümkünse de, sonra, bu ifadeyi orijinal fonksiyonla değiştirerek, ikincisini tek değişkenli karmaşık bir fonksiyona dönüştürüyoruz. X.

Koşullu ekstremum problemini çözmek için genel yöntem, Lagrange çarpan yöntemi. Yardımcı bir fonksiyon oluşturalım, burada ─ bir sayı. Bu işlev denir Lagrange işlevi, a ─ Lagrange çarpanı. Böylece, koşullu bir ekstremum bulma sorunu, Lagrange fonksiyonu için yerel ekstremum noktalarını bulmaya indirgenmiştir. Olası bir ekstremumun noktalarını bulmak için, üç bilinmeyenli 3 denklemli bir sistemi çözmek gerekir. x, y ve.

O zaman aşağıdaki yeterli ekstremum koşulu kullanılmalıdır.

TEOREM. Nokta, Lagrange fonksiyonu için olası bir ekstremum noktası olsun. noktasının yakınında olduğunu varsayıyoruz.
fonksiyonların sürekli ikinci dereceden kısmi türevleri vardır ve . belirtmek

O zaman eğer
, o zamanlar
─ fonksiyonun koşullu ekstremum noktası
kısıtlama denkleminde
bu arada, eğer
, o zamanlar
─ koşullu minimum nokta, eğer
, o zamanlar
─ koşullu maksimum noktası.

§sekiz. Gradyan ve yönlü türev

fonksiyon olsun
bazı (açık) etki alanlarında tanımlanmıştır. Herhangi bir noktayı düşünün
bu alan ve herhangi bir yönlendirilmiş düz çizgi (eksen) bu noktadan geçen (Şekil 1). İzin vermek
- bu eksenin başka bir noktası,
- arasındaki segmentin uzunluğu
ve
, artı işareti ile alınırsa, yön
eksenin yönü ile çakışıyor ve yönleri zıtsa eksi işaretiyle.

İzin vermek
süresiz olarak yaklaşır
. sınır

isminde fonksiyon türevi
karşı (veya eksen boyunca ) ve aşağıdaki gibi gösterilir:

.

Bu türev, fonksiyonun noktadaki "değişim oranını" karakterize eder.
karşı . Özellikle ve adi kısmi türevler ,"yönüne göre" türevler olarak da düşünülebilir.

Diyelim ki şimdi fonksiyon
incelenen bölgede sürekli kısmi türevlere sahiptir. Eksene izin ver koordinat eksenleriyle açı oluşturur
ve . Yapılan varsayımlar altında, yönlü türev var ve formülle ifade ediliyor

.

eğer vektör
koordinatları tarafından belirlenir
, sonra fonksiyonun türevi
vektör yönünde
formül kullanılarak hesaplanabilir:

.

koordinatları ile vektör
isminde gradyan vektör fonksiyonlar
noktada
. Gradyan vektörü, belirli bir noktada fonksiyonun en hızlı artış yönünü gösterir.

Misal

Verilen bir fonksiyon, bir A(1, 1) noktası ve bir vektör
. Bul: 1) A noktasında z derecesi; 2) vektör yönünde A noktasındaki türev .

Belirli bir fonksiyonun bir noktada kısmi türevleri
:

;
.

O halde bu noktadaki fonksiyonun gradyan vektörü:
. Gradyan vektörü, bir vektör açılımı kullanılarak da yazılabilir. ve :

. fonksiyon türevi vektör yönünde :

Böyle,
,
.◄

tanım1: Herhangi bir nokta için noktanın komşuluğu varsa, fonksiyonun bir noktada yerel maksimumu olduğu söylenir. M koordinatlarla (x, y) eşitsizlik sağlanır: . Bu durumda, yani fonksiyonun artışı< 0.

Tanım2: Herhangi bir nokta için noktanın komşuluğu varsa, fonksiyonun bir noktada yerel minimumu olduğu söylenir. M koordinatlarla (x, y) eşitsizlik sağlanır: . Bu durumda, yani fonksiyonun artışı > 0.

tanım 3: Yerel minimum ve maksimum noktalara denir uç noktalar.

Koşullu Uçlar

Birçok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu ararken, genellikle sözde ile ilgili problemler ortaya çıkar. koşullu aşırı Bu kavram, iki değişkenli bir fonksiyon örneği ile açıklanabilir.

Bir fonksiyon ve bir çizgi verilsin L yüzeyde 0xy. Görev sıraya koymak L böyle bir nokta bul P(x, y), fonksiyonun değerinin, çizginin noktalarında bu fonksiyonun değerlerine kıyasla en büyük veya en küçük olduğu L noktasının yakınında bulunan P. Bu tür noktalar P isminde koşullu ekstremum noktaları hat fonksiyonları L. Olağan ekstremum noktasından farklı olarak, koşullu ekstremum noktasındaki fonksiyon değeri, bazı komşularının tüm noktalarında değil, sadece çizgi üzerinde bulunanlarda fonksiyon değerleri ile karşılaştırılır. L.

Her zamanki ekstremumun noktasının (ayrıca derler ki) olduğu oldukça açıktır. koşulsuz ekstremum) ayrıca bu noktadan geçen herhangi bir doğru için koşullu bir ekstremum noktasıdır. Elbette bunun tersi doğru değildir: koşullu bir ekstremum noktası, geleneksel bir ekstremum noktası olmayabilir. Bunu basit bir örnekle açıklayayım. Fonksiyonun grafiği üst yarım küredir (Ek 3 (Şekil 3)).

Bu fonksiyonun başlangıç ​​noktasında bir maksimumu vardır; yukarıya tekabül ediyor M yarım küreler. eğer çizgi L noktalardan geçen bir çizgi var ANCAK ve AT(onun denklemi x+y-1=0), o zaman geometrik olarak açıktır ki, bu çizginin noktaları için, noktaların ortasında bulunan noktada fonksiyonun maksimum değerine ulaşılır. ANCAK ve AT. Bu, verilen doğrudaki fonksiyonun koşullu ekstremumunun (maksimum) noktasıdır; yarım küredeki M1 noktasına tekabül eder ve burada herhangi bir olağan ekstremumun söz konusu olamayacağı şekilden görülebilir.

Kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma probleminin son kısmında, fonksiyonun uç değerlerini bu bölgenin sınırında yani bu bölgenin sınırında bulmamız gerektiğini unutmayın. bir satırda ve böylece koşullu bir ekstremum için sorunu çözer.

Şimdi, x ve y değişkenlerinin (x, y) = 0 denklemiyle ilişkili olması koşuluyla, Z= f(x, y) fonksiyonunun koşullu ekstremumunun noktalarını pratik aramaya geçelim. Bu bağıntı şöyle olacaktır: kısıt denklemi denir. Bağlantı denkleminden y, x: y \u003d (x) cinsinden açıkça ifade edilebilirse, bir değişken Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) işlevini alırız.

Bu fonksiyonun bir ekstremuma ulaştığı x değerini bulduktan ve ardından bağlantı denkleminden y'nin karşılık gelen değerlerini belirledikten sonra, koşullu ekstremin istenen noktalarını elde edeceğiz.

Dolayısıyla, yukarıdaki örnekte, x+y-1=0 iletişim denkleminden y=1-x elde ederiz. Buradan

z'nin maksimum değerine x = 0,5'te ulaştığını kontrol etmek kolaydır; ama sonra y = 0.5 bağlantı denkleminden ve geometrik değerlendirmelerden bulunan tam olarak P noktasını elde ederiz.

Koşullu ekstremum problemi, kısıt denklemi x=x(t), y=y(t) parametrik denklemleriyle temsil edilebildiğinde bile çok basit bir şekilde çözülür. Bu fonksiyonda x ve y ifadelerini değiştirerek, yine bir değişkenli fonksiyonun ekstremumunu bulma sorununa geliyoruz.

Kısıt denklemi daha karmaşık bir forma sahipse ve ne bir değişkeni başka bir değişken cinsinden açıkça ifade edebiliyor ne de onu parametrik denklemlerle değiştiremiyorsak, o zaman koşullu bir ekstremum bulma sorunu daha zor hale gelir. z= f(x, y) fonksiyonunun ifadesinde (x, y) = 0 değişkeninin olduğunu varsaymaya devam edeceğiz. z= f(x, y) fonksiyonunun toplam türevi şuna eşittir:

Örtük fonksiyonun türev kuralı ile bulunan y` türevi nerededir. Koşullu ekstremum noktalarında bulunan toplam türev sıfıra eşit olmalıdır; bu, x ve y ile ilgili bir denklem verir. Kısıt denklemini de sağlamaları gerektiğinden, iki bilinmeyenli iki denklem sistemi elde ederiz.

İlk denklemi orantı olarak yazıp yeni bir yardımcı bilinmeyen ekleyerek bu sistemi çok daha uygun bir sisteme dönüştürelim:

(kolaylık olması için önüne bir eksi işareti yerleştirilir). Bu eşitliklerden aşağıdaki sisteme geçmek kolaydır:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

(x, y) = 0 kısıt denklemi ile birlikte, x, y ve bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem oluşturur.

Bu denklemler (*) aşağıdaki kuralı kullanarak en kolay şekilde hatırlanır: fonksiyonun koşullu ekstremumunun noktaları olabilecek noktaları bulmak için

Z= f(x, y) kısıtlama denklemi ile (x, y) = 0, yardımcı bir fonksiyon oluşturmanız gerekir

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Bazı sabit nerede ve bu fonksiyonun uç noktalarını bulmak için denklemler yazın.

Belirtilen denklem sistemi, kural olarak, yalnızca gerekli koşulları sağlar, yani. Bu sistemi karşılayan her x ve y değeri çifti mutlaka koşullu bir ekstremum noktası değildir. Koşullu ekstremum noktaları için yeterli koşulları vermeyeceğim; çoğu zaman sorunun özel içeriği bulunan noktanın ne olduğunu gösterir. Koşullu bir ekstremum için problemleri çözmek için açıklanan tekniğe Lagrange çarpanları yöntemi denir.

z - f(x, y) fonksiyonu bir D bölgesinde tanımlansın ve Mo(xo, y0) bu bölgenin bir iç noktası olsun. Tanım. Koşulları sağlayan her şey için eşitsizliğin doğru olduğu bir sayı varsa, o zaman Mo(xo, yo) noktasına f(x, y) fonksiyonunun yerel maksimum noktası denir; ancak, tüm Dx için, Du koşulları sağlıyorsa | daha sonra Mo(x0, y0) noktasına iyi yerel minimum denir. Başka bir deyişle, A/o(x0, y0) noktasının 6 komşuluğu varsa, M0(x0, y0) noktası f(x, y) fonksiyonunun maksimum veya minimum noktasıdır. M(x, y) noktalarında bu komşuluk, fonksiyonun artım işaretini korur. Örnekler 1. Bir fonksiyon için bir nokta bir minimum noktadır (Şekil 17). 2. Fonksiyon için 0(0,0) noktası maksimum noktadır (Şekil 18). 3. Fonksiyon için 0(0,0) noktası yerel maksimum noktadır. 4 Gerçekten de, 0(0, 0) noktasının bir komşuluğu vardır, örneğin, herhangi bir noktasında 0(0, 0) noktasından farklı olan, j yarıçaplı bir daire (bkz. Şekil 19) vardır. f(x, y) fonksiyonunun değeri 1'den küçük = Katı eşitsizlik veya katı eşitsizlik, bazı delinmiş 6 komşuluğundaki tüm M(x) y) noktaları için geçerli olduğunda, fonksiyonların yalnızca katı maksimum ve minimum noktalarını dikkate alacağız. nokta Mq. Fonksiyonun maksimum noktadaki değerine maksimum, minimum noktadaki fonksiyonun değerine bu fonksiyonun minimumu denir. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına fonksiyonun ekstremum noktaları denir ve fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına fonksiyonun ekstremumu denir. Teorem 11 (bir ekstremum için gerekli koşul). If fonksiyonu Birkaç değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Birkaç değişkenli bir fonksiyonun ekstremum kavramı. Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar Koşullu ekstremum Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerinin bir ekstremumu vardır, o zaman bu noktada her kısmi türev ve u ya yok olur ya da yoktur. z = f(x) y) fonksiyonunun M0(x0, y0) noktasında bir ekstremumu olsun. y değişkenine yo değerini verelim. O zaman z = /(x, y) fonksiyonu bir x değişkeninin fonksiyonu olacaktır\ çünkü x = xo'da bir ekstremumu (maksimum veya minimum, Şekil 20) olduğundan, x = “o'ya göre türevi, | (*o,l>)" Sıfıra eşit veya yok. Benzer şekilde, bunu doğrularız) veya sıfıra eşit veya yok. = 0 ve u = 0 olan veya olmayan noktalar z = Dx, y fonksiyonunun kritik noktaları olarak adlandırılır.$£ = u = 0 olan noktalara da fonksiyonun durağan noktaları denir.Teorem 11, sadece bir ekstremum için yeterli olmayan gerekli koşulları ifade eder. 18 Şekil 20'de kaybolan immt türevleri. Fakat bu fonksiyon imvat “straumum” üzerinde oldukça incedir. Gerçekten de, fonksiyon 0(0, 0) noktasında sıfıra eşittir ve M(x, y) noktalarını, 0(0, 0) noktasına istediğiniz kadar yakın, kkk pozitif ve negatif değerler alır. Bunun için, rastgele küçük noktalar için (0, y) noktalarında, bu tipteki 0(0, 0) noktasına mini-maks noktası denir (Şekil 21). İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşullar aşağıdaki teorem ile ifade edilir. Teorem 12 (bulanık değişkenlerin aşırılığı için yeterli koşullar). Mo(xo, y0) noktası, f(x, y) fonksiyonunun durağan bir noktası olsun ve noktanın bir komşuluğunda / Mo noktasının kendisi de dahil olmak üzere, f(r, y) fonksiyonunun sürekli kısmi türevleri vardır. dahil ikinci sıraya. Sonra "1) Mq(xq, V0) noktasında f(x, y) fonksiyonunun determinantı bu noktada ise bir maksimumu vardır 2) Mo(x0, V0) noktasında fonksiyon f(x, y) Mo(xo, yo) noktasında f(x, y) fonksiyonunun bir ekstremumu yoksa D(xo, yo) noktasında minimuma sahiptir< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) f(x, y) fonksiyonunun ekstremumu olabilir veya olmayabilir. Bu durumda, daha fazla araştırma gereklidir. Kendimizi teoremin 1) ve 2) iddialarını kanıtlamakla sınırlıyoruz. /(i, y) fonksiyonunun ikinci mertebesinin Taylor formülünü yazalım: nerede. Varsayım yoluyla, D/ artışının işaretinin (1)'in sağ tarafındaki üç terimlinin işaretiyle, yani ikinci diferansiyel d2f'nin işaretiyle belirlendiği açıktır. Kısa olması için belirtelim. O halde eşitlik (l) şu şekilde yazılabilir: MQ(s0,yo) noktasında MQ(s0,yo) noktasının komşuluğu olsun. Eğer koşul (A/0 noktasında) sağlanırsa ve süreklilik nedeniyle /,z(s, y) türevi Af0 noktasının bazı komşuluklarında işaretini koruyacaktır.A ∆ 0 olan bölgede, M0(x0) y0) noktasının bazı komşuluklarında 0 var, o zaman AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 üç terimlisinin işareti, C noktasındaki A işaretiyle çakışıyor, farklı işaretlere sahip olamaz). AA2 + 2BAxAy + CAy2 toplamının (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) noktasındaki işareti farkın işaretini belirlediğinden, şu sonuca varıyoruz: f(s, y) fonksiyonu durağan nokta (s0, yo) koşulu sağlar, o zaman yeterince küçük || eşitsizlik geçerli olacaktır. Böylece, (sq, y0) noktasında /(s, y) fonksiyonunun bir maksimumu vardır. Ama eğer koşul durağan noktada (s0, yo) sağlanıyorsa, o zaman yeterince küçük |Ar| ve |Yap| eşitsizlik doğrudur, bu, /(s, y) fonksiyonunun (so, yo) noktasında bir minimuma sahip olduğu anlamına gelir. Örnekler 1. Bir ekstremum için fonksiyon 4'ü araştırın Bir ekstremum için gerekli koşulları kullanarak, fonksiyonun durağan noktalarını ararız. Bunu yapmak için kısmi türevleri buluruz, u ve onları sıfıra eşitleriz. Nereden bir denklem sistemi alıyoruz - sabit bir nokta. Şimdi Teorem 12'yi kullanalım. Buna göre Ml noktasında bir ekstremum var. Çünkü bu minimumdur. g fonksiyonunu forma dönüştürürsek, bu fonksiyonun mutlak minimumu olduğunda sağ tarafın ("")" minimum olacağını görmek kolaydır. 2. Bir ekstremum için fonksiyonu araştırın, bir denklem sistemi oluşturduğumuz fonksiyonun durağan noktalarını buradan buluruz, böylece nokta durağan olur. Teorem 12'ye göre M noktasında ekstremum olmadığı için. * 3. Bir ekstremum için fonksiyonu araştırın Fonksiyonun durağan noktalarını bulun. Denklem sisteminden bunu elde ederiz, böylece nokta durağan olur. Ayrıca, Teorem 12'nin bir ekstremumun varlığı veya yokluğu sorusuna bir cevap vermemesi için elimizde. Bu şekilde yapalım. Tanımı gereği A/o(0,0) noktasında r fonksiyonunun mutlak bir minimumu olacak şekilde, bir nokta dışındaki tüm noktalar hakkında bir fonksiyon için. Benzer kurutma ile, fonksiyonun noktada bir maksimuma sahip olduğunu, ancak fonksiyonun bu noktada bir ekstremumu olmadığını tespit ederiz. Bir noktada η bağımsız değişkenlerin bir fonksiyonu türevlenebilir olsun.Mo noktasına if fonksiyonunun durağan noktası denir Teorem 13 (bir ekstremum için yeterli koşullar). Durağan bir ince fonksiyon olan Mc(xi...) ince çizgisinin bazı komşuluklarında ikinci dereceden sürekli kısmi türevleri olan bir fonksiyon tanımlansın, ikinci dereceden form (f fonksiyonunun incedeki ikinci diferansiyeli) noktası pozitif-tanımlı (negatif-tanımlı), f fonksiyonunun minimum noktası (sırasıyla, iyi maksimum) iyidir İkinci dereceden form (4) işaret-değişken ise, o zaman LG0'da ekstremum yoktur. ekstremum Şimdiye kadar, fonksiyon argümanları herhangi bir ek koşula bağlı olmadığında, tanımının tüm alanında bir fonksiyonun yerel ekstremumunu bulmakla ilgilendik. D bölgesinde z \u003d / (x, y) fonksiyonunun tanımlanmasına izin verin. L eğrisinin bu bölgede verildiğini ve sadece f (x> y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak gerektiğini varsayalım. L eğrisinin noktalarına karşılık gelen değerleri arasında. Aynı ekstrema, L eğrisi üzerinde z = f(x) y) fonksiyonunun koşullu ekstremi olarak adlandırılır. Tanım L eğrisi üzerinde, f(x, y) fonksiyonu, eşitsizlik sırasıyla tüm M (s, y) noktalarında sağlanırsa koşullu bir maksimuma (minimum) sahiptir, L eğrisi M0(x0,) noktasının bazı komşularına aittir Yo) ve M0 noktasından farklı (L eğrisi bir denklemle verilmişse, o zaman eğri üzerinde r - f(x, y) fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulma problemi! aşağıdaki gibi formüle edilebilir: x = /(z, y) fonksiyonunun ekstremumunu D bölgesinde bulun, şu şartla ki, z = y fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulurken, zn argümanları artık dikkate alınamaz bağımsız değişkenler olarak: kısıtlama denklemi olarak adlandırılan y ) = 0 ilişkisi ile birbirine bağlanırlar. Koşulsuz ve koşullu ekstremum olarak m «* D y arasındaki farkı netleştirmek için, başka bir örneğe, fonksiyonun koşulsuz maksimumuna bakalım (Şek. 23) bire eşittir ve (0,0) noktasında ulaşılır. Tam olarak M - pvvboloidin tepe noktasına karşılık gelir, y = j kısıtlama denklemini ekleyelim. O zaman koşullu maksimum açıkça eşit olacaktır.(o, |) noktasında ulaşılır ve pvvboloidin y = j düzlemi ile kesişme çizgisi olan pvvboloidin Afj tepe noktasına karşılık gelir. Koşulsuz minimum s durumunda, yüzeyin tüm açıklamaları arasında en küçük uygulamaya sahibiz * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv koşullu - yalnızca xOy düzleminin değil y = j düz çizgisinin bir * noktasına karşılık gelen vllkvt noktaları pvrboloidv arasında. Varlık ve bağlantıda bir fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulma yöntemlerinden biri aşağıdaki gibidir. Bağlantı denklemi y)-0, y'yi x argümanının tek değerli türevlenebilir bir fonksiyonu olarak tanımlasın: Fonksiyona y yerine bir fonksiyon koyarak, bağlantı koşulunun zaten dikkate alındığı bir argümanın fonksiyonunu elde ederiz. . Fonksiyonun (koşulsuz) ekstremumu, istenen şartlı ekstremumdur. Misal. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun ekstremum koşulu altında bir fonksiyonun ekstremumunu bulun Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum kavramı. Ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar Koşullu ekstrem Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri A \u003d 1 - kritik nokta;, böylece r fonksiyonunun koşullu bir minimumunu sağlar (Şekil 24).Çözmenin başka bir yolunu gösterelim Lagrange çarpanı yöntemi olarak adlandırılan koşullu ekstremum problemi.Bir bağlantının varlığında fonksiyonun bir şartlı ekstremum noktası olsun.Diyelim ki, bağlantı denkleminin, noktanın bazı komşuluklarında benzersiz bir sürekli türevlenebilir fonksiyonu tanımladığını varsayalım. xq noktasındaki /(r, ip(x)) fonksiyonunun x'e göre türevinin sıfıra eşit olması gerektiğini veya buna eşdeğer olan f (x, y)'nin diferansiyeli elde ettiğimizi varsayarsak ) Mo "O noktasında) Bağlantı denkleminden (5) Daha sonra, dx'in keyfiliğinden dolayı, Eşitlikler (6) ve (7), Lagrange işlevi adı verilen bir fonksiyonun bir noktasında koşulsuz bir ekstremum için gerekli koşulları ifade eder. Bu nedenle, / (x, y) fonksiyonunun koşullu ekstremumunun noktası, eğer, A'nın bir sayısal katsayı olduğu Lagrange fonksiyonunun durağan bir noktasıdır. Buradan koşullu ekstremum bulmak için bir kural elde ederiz: bir bağlantının varlığında bir fonksiyonun mutlak ekstremumunun noktaları olabilecek noktaları bulmak için, 1) Lagrange fonksiyonunu oluştururuz, 2) bu fonksiyonun türevlerini ve W'yi eşitleriz. sıfıra ve bağlantı denklemini ortaya çıkan denklemlere ekleyerek, A değerlerini ve olası ekstremum noktalarının x, y koordinatlarını bulduğumuz üç denklemden oluşan bir sistem elde ederiz. Koşullu ekstremin varlığı ve doğası sorunu, koşul altında (8)'den elde edilen, dikkate alınan x0, Yo, A değerleri sistemi için Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin işaretinin incelenmesi temelinde çözülür. eğer, o zaman (x0, Yo) noktasında f(x, y ) fonksiyonunun bir koşullu maksimumu vardır; d2F > 0 ise - o zaman koşullu minimum. Özellikle, durağan bir noktada (xo, J/o) F(x, y) fonksiyonu için D determinantı pozitifse, (®o, V0) noktasında fonksiyonun koşullu bir maksimumu vardır /( x, y) if ve /(x, y), if fonksiyonunun koşullu minimumu Örnek. Tekrar önceki örneğin koşullarına dönelim: x + y \u003d 1 olması koşuluyla fonksiyonun ekstremumunu bulun. Problemi Lagrange çarpanı yöntemini kullanarak çözeceğiz. Bu durumda Lagrange fonksiyonu, durağan noktaları bulmak için bir sistem oluştururuz. Sistemin ilk iki denkleminden x = y'yi elde ederiz. Ardından, sistemin üçüncü denkleminden (birleştirme denklemi), x - y = j - olası bir ekstremum noktasının koordinatlarını buluruz. Bu durumda (A \u003d -1 olduğu belirtilir. Dolayısıyla, Lagrange işlevi., Lagrange işlevi için koşulsuz bir ekstremum olmaması koşuluyla * \u003d x2 + y2 işlevinin koşullu minimum noktasıdır. P ( x, y) henüz bir bağlantının varlığında /(x, y) işlevi için koşullu bir ekstremumun olmadığı anlamına gelmez Örnek: y koşulunda fonksiyonun ekstremumunu bulun 4 Lagrange fonksiyonunu oluşturur ve yazarız A'yı ve olası ekstremum noktalarının koordinatlarını belirlemek için bir sistem: İlk iki denklemden x + y = 0 elde ederiz ve y = A = 0 sistemine geliriz. Böylece, karşılık gelen Lagrange işlevi şu şekildedir: noktasında (0 , 0)), F(x, y; 0) fonksiyonunun koşulsuz bir ekstremumu yoktur, ancak r = xy fonksiyonunun şartlı ekstremumu vardır. y = x olduğunda, "Gerçekten, bu durumda r = x2 vardır. burada (0,0) noktasında koşullu bir minimum olduğu açıktır. "Lagrange çarpanları yöntemi, herhangi bir sayıda argümanın fonksiyonlarının durumuna aktarılır / Varlığında fonksiyonun ekstremi aransın. bağlantı denklemleri Sostaalyaem Lagrange fonksiyonu burada A|, Az,..., A„, - değil belirli sabit faktörler. F fonksiyonunun birinci mertebesinin tüm kısmi türevlerini sıfıra eşitleyerek ve elde edilen denklemlere bağlantı denklemlerini (9) ekleyerek, Ab A3|..., Am'ı belirlediğimiz bir n + m denklem sistemi elde ederiz. koordinatlar x\) x2) . » xn koşullu ekstremumun olası noktaları. Lagrange yöntemiyle bulunan noktaların gerçekten koşullu ekstremum noktaları olup olmadığı sorusu, genellikle fiziksel veya geometrik bir yapı dikkate alınarak çözülebilir. 15.3. Sürekli fonksiyonların maksimum ve minimum değerleri Bazı genişletilmiş sınırlı D alanında z = /(x, y) sürekli fonksiyonunun maksimum (en küçük) değerini bulmak istensin. Teorem 3'e göre, bu bölgede fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri aldığı bir nokta (xo, V0) vardır. Eğer (xo, y0) noktası D alanı içindeyse, o zaman / fonksiyonunun içinde bir maksimum (minimum) vardır, böylece bu durumda ilgilendiğimiz nokta /(x) fonksiyonunun kritik noktaları arasında yer alır. , y). Ancak /(x, y) fonksiyonu maksimum (en küçük) değerine bölge sınırında da ulaşabilir. Bu nedenle, sınırlı bir kapalı alanda 2) z = /(x, y) fonksiyonunun aldığı en büyük (en küçük) değeri bulmak için, bu alan içinde elde edilen fonksiyonun tüm maksimumlarını (minimumlarını) bulmak gerekir. , ve bu alanın sınırındaki işlevin en büyük (en küçük) değeri. Tüm bu sayıların en büyüğü (en küçüğü) z = /(x, y) fonksiyonunun 27 bölgesinde istenen maksimum (en küçük) değeri olacaktır. Diferansiyellenebilir bir fonksiyon durumunda bunun nasıl yapıldığını gösterelim. Pmmr. Alan 4'ün fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun. D alanı içindeki fonksiyonun kritik noktalarını buluyoruz. Bunu yapmak için bir denklem sistemi oluşturuyoruz.Buradan x \u003d y \u003e 0 elde ederiz. , böylece 0 (0,0) noktası x fonksiyonunun kritik noktasıdır. Şimdi fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini D bölgesinin Г sınırında bulalım. Sınırın kısmında, y \u003d 0 kritik bir nokta olacak ve \u003d o zamandan beri z \u003d 1 + y2 fonksiyonunun minimum bire eşit olduğu nokta. G" segmentinin sonunda, noktalarda (, var. Simetri değerlendirmelerini kullanarak, sınırın diğer kısımları için aynı sonuçları elde ederiz. Son olarak, şunu elde ederiz: z \u003d x2 + y2 fonksiyonunun en küçük değeri "B" bölgesi sıfıra eşittir ve 0( 0, 0) alanının iç noktasında ulaşılır ve bu fonksiyonun ikiye eşit maksimum değerine sınırın dört noktasında ulaşılır (Şekil 25). Şekil 25 Fonksiyonların alıştırmaları: Fonksiyonların kısmi türevlerini ve toplam diferansiyellerini bulun: Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulun: 3 Çok değişkenli bir fonksiyonun J. ekstremumunu bulun Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum kavramı için gerekli ve yeterli koşullar bir ekstremum Koşullu ekstrem Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri 34. Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü kullanma, iki değişken, bulma ve fonksiyonlar: 35. Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü kullanma iki değişkende |J ve fonksiyonları bulun: jj örtük fonksiyonlarını bulun: 40. X = 3 doğrusu ile kesişim noktasındaki teğet eğrinin eğimini bulun. 41. x eğrisinin tanjantının x eksenine paralel olduğu noktaları bulun. . Aşağıdaki görevlerde, bulun ve Z: Teğet düzlemin denklemlerini ve yüzeyin normalini yazın: 49. x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21 yüzeyinin teğet düzlemlerinin denklemlerini x + düzlemine paralel olarak yazın 4y + 6z \u003d 0. Taylor formülünü kullanarak açılımın ilk üç ila dört terimini bulun: 50. y (0, 0) noktasının bir komşuluğunda. Bir fonksiyonun ekstremumunun tanımını kullanarak, bir ekstremum için aşağıdaki fonksiyonları araştırın :). İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşulları kullanarak, fonksiyonun ekstremumunu araştırın: 84. Kapalı bir daire içinde z \u003d x2 - y2 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun 85. En büyük ve en küçüğü bulun x \u003d 0, y = 0, x + y = b ile sınırlandırılmış bir üçgende * \u003d x2y (4-x-y) fonksiyonunun değerleri. 88. Hacmi V'ye eşit olmak koşuluyla, en küçük yüzeye sahip dikdörtgen bir açık havuzun boyutlarını belirleyin. 87. Verilen toplam yüzeyi maksimum 5 olan bir dikdörtgen paralel borunun boyutlarını bulun. 1. ve | Kenarları dahil x doğru parçalarının oluşturduğu kare. 3. Eşmerkezli halka ailesi 2= 0,1,2,... .4. Düz y doğrularının noktaları hariç tüm düzlem. Düzlemin y \u003d -x? parabolünün üzerinde bulunan kısmı. 8. Daire noktaları x. Düz çizgiler x hariç tüm düzlem Köklü ifade, sırasıyla sonsuz bir eşitsizlik serisine eşdeğer olan j * ^ veya j x ^ ^ iki durumda negatif değildir.Tanım alanı gölgeli karelerdir (Şekil 26). ; Sonsuz bir seriye eşdeğer olan l Fonksiyon noktalarda tanımlanır. a) x doğrusuna paralel doğrular b) Orijinde merkezlenmiş eşmerkezli daireler. 10. a) paraboller y) paraboller y a) paraboller b) hiperboller | .Uçaklar xc. 13.Prim - Oz ekseni etrafında devrimin tek boşluklu hiperboloidleri; Oz ekseni etrafında dönen iki tabakalı hiperboloidler için ve bunlardır, her iki yüzey ailesi bir koni ile ayrılmıştır; Limit yok, b) 0. 18. y = kxt olsun, sonra z lim z = -2 olsun, böylece (0,0) noktasında verilen fonksiyonun limiti olmaz. 19. a) Nokta (0.0); b) (0,0) noktası. 20. a) Kesme çizgisi - daire x2 + y2 = 1; b) kesme çizgisi düz bir çizgidir y \u003d x. 21. a) Kesme çizgileri - Ox ve Oy eksenlerini koordine edin; b) 0 (boş küme). 22. Tüm noktalar (m, n), burada ve n tam sayılardır