Trigonometrik bir fonksiyonda bir sayının işareti nasıl belirlenir. trigonometrik daire. Trigonometrik fonksiyonların temel değerleri

Tanjant (tg x) ve kotanjant (ctg x) için referans verileri. Geometrik tanım, özellikler, grafikler, formüller. Teğetler ve kotanjantlar, türevler, integraller, seri açılımları tablosu. Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler. Hiperbolik fonksiyonlarla bağlantı.

geometrik tanım

|BD| - A noktasında ortalanmış bir dairenin yayının uzunluğu.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.

teğet ( tga) hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan trigonometrik bir fonksiyondur, karşı ayağın uzunluğunun oranına |BC| bitişik bacağın uzunluğuna |AB| .

kotanjant ( ctgα) hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan trigonometrik bir fonksiyondur, komşu ayağın uzunluğunun oranına |AB| karşı bacağın uzunluğuna |BC| .

Teğet

Neresi n- tüm.

AT Batı edebiyatı tanjant aşağıdaki gibi tanımlanır:
.
;
;
.

Tanjant fonksiyonunun grafiği, y = tg x

Kotanjant

Neresi n- tüm.

Batı literatüründe, kotanjant şu şekilde gösterilir:
.
Aşağıdaki gösterim de kabul edilmiştir:
;
;
.

Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x

Tanjant ve kotanjantın özellikleri

periyodiklik

fonksiyonlar y= tg x ve y= ctg xπ periyodu ile periyodiktir.

parite

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları tektir.

Tanım ve değer alanları, artan, azalan

Tanjant ve kotanjant işlevleri tanım alanlarında süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Tanjant ve kotanjantın ana özellikleri tabloda sunulmuştur ( n- tamsayı).

formüller

Sinüs ve kosinüs cinsinden ifadeler

; ;
; ;
;

Toplam ve farkın tanjantı ve kotanjantı için formüller

Formüllerin geri kalanının elde edilmesi kolaydır, örneğin

teğetlerin çarpımı

Teğetlerin toplamı ve farkı için formül

Bu tablo, argümanın bazı değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini gösterir.

Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler

Hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifadeler

;
;

türevler

; .

.
Fonksiyonun x değişkenine göre n. mertebenin türevi:
.
Tanjant için formüllerin türetilmesi > > > ; kotanjant için > > >

integraller

Seri genişletmeler

Teğetin x'in kuvvetleri cinsinden genişlemesini elde etmek için, genişlemenin birkaç terimini güç serisi fonksiyonlar için günah x ve çünkü x ve bu polinomları birbirine bölün , . Bu, aşağıdaki formüllerle sonuçlanır.

.

.
nerede ben- Bernoulli sayıları. Bunlar, yineleme bağıntısından belirlenir:
;
;
nerede .
Veya Laplace formülüne göre:

ters fonksiyonlar

Tanjant ve kotanjantın ters fonksiyonları sırasıyla arktanjant ve ark kotanjanttır.

arktanjant, arktg

, nerede n- tüm.

Ark tanjantı, arkctg

, nerede n- tüm.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
G. Korn, Araştırmacılar ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.

Bir dizi karakteristik sonuç oluşturmanıza izin verir - sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın özellikleri. Bu yazıda üç ana özelliğe bakacağız. Bunlardan ilki, hangi koordinat çeyrek açısının α olduğuna bağlı olarak, α açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının işaretlerini gösterir. Daha sonra, bu açı bir tamsayı devir sayısı ile değiştiğinde, α açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin değişmezliğini belirleyen periyodiklik özelliğini ele alıyoruz. Üçüncü özellik, sinüs, kosinüs, tanjant ve zıt açılar α ve −α arasındaki kotanjant değerleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının özellikleriyle ilgileniyorsanız, makalenin ilgili bölümünde incelenebilirler.

Sayfa gezintisi.

Çeyreklerde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant belirtileri

Bu paragrafın altında "koordinat çeyreğinin açı I, II, III ve IV" ifadesi bulunacaktır. Bu köşelerin ne olduğunu açıklayalım.

Bir birim daire alalım, başlangıç ​​noktasını A(1, 0) üzerine işaretleyelim ve A 1 (x, y) noktasına ulaştığımızı varsayarak, onu O noktası etrafında α açısı kadar döndürelim.

öyle diyorlar α açısı koordinat çeyreğinin I, II, III, IV açısıdır A 1 noktası sırasıyla I, II, III, IV çeyreklerinde yer alıyorsa; α açısı, A1 noktasının Ox veya Oy koordinat çizgilerinden herhangi biri üzerinde uzanacağı şekildeyse, bu açı dört çeyrekten herhangi birine ait değildir.

Anlaşılır olması için grafik bir çizim sunuyoruz. Aşağıdaki çizimler, koordinat çeyreklerinin sırasıyla I, II, III ve IV açıları olan 30, -210, 585 ve -45 derecelik dönüş açılarını göstermektedir.

köşeler 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … derece koordinat çeyreklerinin hiçbirine ait değildir.

Şimdi, hangi çeyrek açının α olduğuna bağlı olarak, hangi işaretlerin α dönüş açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerine sahip olduğunu anlayalım.

Sinüs ve kosinüs için bunu yapmak kolaydır.

Tanım olarak, α açısının sinüsü, A1 noktasının ordinatıdır. I ve II koordinat çeyreklerinde pozitif, III ve IV çeyreklerde negatif olduğu açıktır. Böylece, α açısının sinüsü I ve II çeyreklerinde artı işaretine ve III ve VI çeyreklerinde eksi işaretine sahiptir.

Sırayla, α açısının kosinüsü, A1 noktasının apsisidir. I ve IV çeyreklerde pozitif, II ve III çeyreklerde negatiftir. Bu nedenle, I ve IV çeyreklerinde α açısının kosinüs değerleri pozitif, II ve III çeyreklerde ise negatiftir.

İşaretleri teğet ve kotanjant çeyreklerine göre belirlemek için tanımlarını hatırlamanız gerekir: teğet, A 1 noktasının ordinatının apsise oranıdır ve kotanjant, A 1 noktasının apsisinin ordinata oranıdır. sonra sayı bölme kuralları ile aynı ve farklı işaretler A1 noktasının apsis ve ordinat işaretleri aynı olduğunda tanjant ve kotanjantın artı işaretine ve A1 noktasının apsis ve ordinat işaretleri farklı olduğunda eksi işaretine sahip olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, açının tanjantı ve kotanjantı, I ve III koordinat çeyreklerinde + işaretine ve II ve IV çeyreklerinde eksi işaretine sahiptir.

Gerçekten de, örneğin, ilk çeyrekte, A1 noktasının hem apsisi x hem de ordinatı y pozitiftir, o zaman hem x/y bölümü hem de y/x bölümü pozitiftir, bu nedenle, tanjant ve kotanjant + işaretlerine sahiptir. . Ve ikinci çeyrekte, apsis x negatiftir ve ordinat y pozitiftir, bu nedenle hem x / y hem de y / x negatiftir, bu nedenle tanjant ve kotanjant eksi işaretine sahiptir.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın bir sonraki özelliğine geçelim.

periyodiklik özelliği

Şimdi bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının belki de en belirgin özelliğini analiz edeceğiz. Aşağıdakilerden oluşur: açı bir tamsayı tam devir sayısı ile değiştiğinde, bu açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri değişmez.

Bu anlaşılabilir bir durumdur: açı bir tamsayı devir sayısı ile değiştiğinde, her zaman birim çember üzerindeki A başlangıç ​​noktasından A 1 noktasına gideceğiz, bu nedenle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri değişmeden kalır, A 1 noktasının koordinatları değişmediğinden.

Formüller kullanılarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın dikkate alınan özelliği şu şekilde yazılabilir: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , burada α radyan cinsinden dönme açısıdır, z herhangi bir değerdir, mutlak değeri α açısının değiştiği tam devir sayısını ve işaretidir. z sayısı dönüş yönünü gösterir.

Dönme açısı α derece olarak verilirse, bu formüller sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα olarak yeniden yazılacaktır, ctg(α+360° z)=ctgα .

Bu özelliğin kullanımına örnekler verelim. Örneğin, , gibi , a . İşte başka bir örnek: veya .

Bu özellik, indirgeme formülleriyle birlikte, "büyük" açıların sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini hesaplarken çok sık kullanılır.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın dikkate alınan özelliğine bazen periyodiklik özelliği denir.

Zıt açıların sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantlarının özellikleri

А1 başlangıç ​​noktasının А(1, 0) O noktası etrafında α açısı kadar döndürülmesi sonucu elde edilen nokta olsun ve А2 noktası А noktasının açıyla döndürülmesinin sonucu olsun. −α açısının tersi α .

Zıt açıların sinüslerinin, kosinüslerinin, tanjantlarının ve kotanjantlarının özelliği oldukça açık bir gerçeğe dayanmaktadır: Yukarıda bahsedilen A 1 ve A 2 noktaları ya çakışır (at) ya da Ox ekseni etrafında simetrik olarak yer alır. Yani, A 1 noktasının (x, y) koordinatları varsa, o zaman A 2 noktasının (x, −y) koordinatları olacaktır. Buradan sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarına göre ve eşitliklerini yazıyoruz.
Bunları karşılaştırarak, formun α ve −α karşı açılarının sinüsleri, kosinüsleri, tanjantları ve kotanjantları arasındaki ilişkilere ulaşırız.
Bu, formüller biçiminde dikkate alınan özelliktir.

Bu özelliğin kullanımına örnekler verelim. Örneğin, eşitlikler ve .

Sadece sinüs, kosinüs, tanjant ve zıt açıların kotanjantlarının özelliğinin, önceki özellik gibi, sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini hesaplarken sıklıkla kullanıldığını ve tamamen uzaklaşmanıza izin verdiğini not etmek için kalır. negatif açılardan.

Bibliyografya.

• Cebir: Proc. 9 hücre için. ort. okul / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Aydınlanma, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A.N. Kolmogorova.- 14. baskı.- M.: Aydınlanma, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 hücre için. ort. okul - 3. baskı. - M.: Aydınlanma, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Türlü. Bazıları kosinüsün hangi çeyreklerde pozitif ve negatif, hangi çeyreklerde sinüs pozitif ve negatif olduğu ile ilgili. Bu fonksiyonların değerini nasıl hesaplayacağınızı biliyorsanız, her şey basit görünüyor. farklı açılar ve fonksiyonları bir grafik üzerinde çizme ilkesine aşinadır.

kosinüs değerleri nelerdir

Düşünürsek, bunu belirleyen aşağıdaki en boy oranına sahibiz: açının kosinüsü a bitişik BC ayağının AB hipotenüsüne oranıdır (Şekil 1): cos a= M.Ö./AB.

Aynı üçgeni kullanarak açının sinüsünü, tanjantını ve kotanjantını bulabilirsiniz. Sinüs, AC karşı bacak açısının AB hipotenüsüne oranı olacaktır. Bir açının tanjantı, istenen açının sinüsünün aynı açının kosinüsüne bölünmesiyle bulunur; sinüs ve kosinüsü bulmak için karşılık gelen formülleri değiştirerek, tg'yi elde ederiz. a\u003d AC / BC. Kotanjant, tanjantın tersi bir fonksiyon olarak şu şekilde bulunur: ctg a= M.Ö./AC.

Yani, açının aynı değerleri için, bir dik üçgende en boy oranının her zaman aynı olduğu bulundu. Görünüşe göre bu değerlerin nereden geldiği belli oldu ama neden negatif sayılar elde ediliyor?

Bunu yapmak için, Kartezyen koordinat sisteminde hem pozitif hem de pozitif olan bir üçgeni göz önünde bulundurmanız gerekir. negatif değerler.

Açıkça mahalleler hakkında, nerede

Kartezyen koordinatlar nelerdir? İki boyutlu uzay hakkında konuşursak, O noktasında kesişen iki yönlendirilmiş çizgimiz var - bu apsis ekseni (Ox) ve ordinat eksenidir (Oy). O noktasından düz çizgi yönünde pozitif sayılar vardır ve ters taraf- olumsuz. Sonuçta, kosinüsün hangi çeyreklerde pozitif ve sırasıyla hangi çeyreklerde negatif olduğuna doğrudan bağlıdır.

İlk çeyrek

yerleştirildiyse sağ üçgen x ve y eksenlerinin olduğu ilk çeyrekte (0 o ile 90 o arası), pozitif değerler(AO ve VO segmentleri, değerlerin "+" işaretine sahip olduğu eksenlerde bulunur), o zaman hem sinüs hem de kosinüs de pozitif değerlere sahip olacaktır ve bunlara artı işaretli bir değer atanır. Ama üçgeni ikinci çeyreğe taşırsanız (90 o'dan 180 o'ya) ne olur?

İkinci çeyrek

Y ekseni boyunca AO'nun negatif bir değer aldığını görüyoruz. bir açının kosinüsü aşimdi eksi ile ilgili olarak bu tarafa sahiptir ve bu nedenle nihai değeri negatif olur. Kosinüsün hangi çeyrekte pozitif olduğu, üçgenin Kartezyen koordinat sistemindeki yerleşimine bağlı olduğu ortaya çıktı. Ve bu durumda açının kosinüsü negatif bir değer alır. Ancak sinüs için hiçbir şey değişmedi, çünkü işaretini belirlemek için, bu durumda artı işaretiyle kalan OB'nin tarafına ihtiyaç var. İlk iki çeyreği özetleyelim.

Kosinüsün hangi çeyreklerde pozitif ve hangilerinde negatif olduğunu (sinüs ve diğer trigonometrik fonksiyonların yanı sıra) bulmak için, bir veya başka bir bacağa hangi işaretin atandığına bakmak gerekir. Bir açının kosinüsü için a AO bacağı sinüs - OB için önemlidir.

İlk çeyrek şimdiye kadar “Sinüs ve kosinüs aynı anda hangi çeyreklerde pozitif?” sorusuna cevap veren tek çeyrek oldu. Bu iki fonksiyonun işaretinde daha fazla tesadüf olup olmayacağını daha fazla görelim.

İkinci çeyrekte, AO bacağı negatif bir değere sahip olmaya başladı, bu da kosinüsün negatif olduğu anlamına geliyor. Sinüs için pozitif bir değer saklanır.

üçüncü çeyrek

Şimdi hem AO hem de OB bacakları negatif oldu. Kosinüs ve sinüs oranlarını hatırlayın:

Çünkü bir \u003d AO / AB;

Günah bir \u003d BO / AB.

AB, eksenler tarafından tanımlanan iki taraftan birine yönlendirilmediğinden, verilen bir koordinat sisteminde her zaman pozitif bir işarete sahiptir. Ancak bacaklar negatif hale geldi, bu her iki fonksiyonun sonucunun da negatif olduğu anlamına gelir, çünkü aralarında sadece birinin eksi işareti olan sayılarla çarpma veya bölme işlemleri yaparsanız, sonuç da bu işaretle olacaktır. .

Bu aşamadaki sonuç:

1) Kosinüs hangi çeyrekte pozitiftir? Üçün ilkinde.

2) Sinüs hangi çeyrekte pozitiftir? Üçün birinci ve ikincisinde.

Dördüncü çeyrek (270 o ile 360 ​​o arası)

Burada AO ayağı tekrar artı işaretini ve dolayısıyla kosinüsü de alır.

Sinüs için işler hala "negatif", çünkü OB bacağı, O başlangıç ​​noktasının altında kaldı.

bulgular

Kosinüsün hangi çeyreklerde pozitif, negatif vb. olduğunu anlamak için, kosinüsü hesaplama oranını hatırlamanız gerekir: açıya bitişik bacak, hipotenüse bölünür. Bazı öğretmenler şunu hatırlamanızı önerir: k (osine) \u003d (k) köşesi. Bu "hileyi" hatırlarsanız, otomatik olarak sinüsün, bacağın açısının tersinin hipotenüse oranı olduğunu anlarsınız.

Kosinüsün hangi çeyreklerde pozitif, hangisinin negatif olduğunu hatırlamak oldukça zordur. Birçok trigonometrik fonksiyon vardır ve hepsinin kendi değerleri vardır. Ama yine de sonuç olarak: sinüs için pozitif değerler - 1, 2 çeyrek (0 o ile 180 o arası); kosinüs 1, 4 çeyrek (0 o ila 90 o ve 270 o ila 360 o). Kalan çeyreklerde, fonksiyonların eksi değerleri vardır.

Belki de fonksiyonun görüntüsüne göre birisinin hangi işaretin nerede olduğunu hatırlaması daha kolay olacaktır.

Sinüs için sıfırdan 180 o kretinin sin (x) değerleri çizgisinin üzerinde olduğu görülebilir, bu da fonksiyonun burada pozitif olduğu anlamına gelir. Kosinüs için aynıdır: kosinüsün hangi çeyrekte pozitif olduğu (fotoğraf 7) ve hangi çeyrekte negatif olduğu, çizgiyi cos (x) ekseninin üstünde ve altında hareket ettirerek görülebilir. Sonuç olarak, sinüs, kosinüs fonksiyonlarının işaretini belirlemenin iki yolunu hatırlayabiliriz:

1. Yarıçapı bire eşit olan hayali bir daireye göre (aslında, dairenin yarıçapının ne olduğu önemli değil, ancak ders kitaplarında bu örnek en sık verilir; bu algılamayı kolaylaştırır, ancak Aynı zamanda bunun önemli olmadığını belirtmezseniz çocukların kafası karışabilir).

2. Fonksiyonun (x) üzerindeki bağımlılığının görüntüsüne göre, son şekilde olduğu gibi, x argümanının kendisine.

İlk yöntemi kullanarak, işaretin tam olarak neye bağlı olduğunu ANLAYABİLİRSİNİZ ve bunu yukarıda ayrıntılı olarak açıkladık. Bu veriler üzerine inşa edilen Şekil 7, ortaya çıkan işlevi ve işaret üyeliğini mümkün olan en iyi şekilde görselleştirir.

zaten aşina iseniz trigonometrik daire , ve sadece hafızanızdaki öğeleri tek tek yenilemek istiyorsunuz veya tamamen sabırsızsınız, o zaman işte burada:

Burada her şeyi adım adım ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Trigonometrik daire bir lüks değil, bir zorunluluktur

Trigonometri çoğu geçilmez bir çalılık ile ilişkilidir. Pek çok anlam birdenbire birikiyor trigonometrik fonksiyonlar, pek çok formül ... Ama sanki, - ilk başta işe yaramadı ve ... tekrar tekrar ... tamamen yanlış anlama ...

el sallamamak çok önemli trigonometrik fonksiyonların değerleri, - derler ki, mahmuza her zaman bir değerler tablosu ile bakabilirsiniz.

Tabloya sürekli trigonometrik formüllerin değerleriyle bakıyorsanız bu alışkanlıktan kurtulalım!

Bizi kurtaracak! Onunla birkaç kez çalışacaksın ve sonra kendi başına kafanda belirecek. Neden bir masadan daha iyidir? Evet, tabloda sınırlı sayıda değer bulacaksınız, ancak daire üzerinde - HER ŞEY!

Örneğin, bakarak söyle trigonometrik formüllerin standart değer tablosu , bu, diyelim ki, 300 derece veya -45'in sinüsüdür.

Olmaz mı? .. elbette bağlanabilirsin azaltma formülleri... Ve trigonometrik daireye bakarak bu tür soruları kolayca cevaplayabilirsiniz. Ve yakında nasıl olduğunu bileceksin!

Ve trigonometrik daire olmadan trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken - hiçbir yerde.

trigonometrik daireye giriş

Sırayla gidelim.

İlk önce, aşağıdaki sayı dizisini yazın:

Ve şimdi bu:

Ve son olarak bu:

Tabii ki, aslında, ilk sırada, ikinci sırada ve son olarak - olduğu açıktır. Yani zincirle daha çok ilgileneceğiz.

Ama ne kadar güzel çıktı! Bu durumda, bu “harika merdiveni” restore edeceğiz.

Ve neden buna ihtiyacımız var?

Bu zincir, ilk çeyrekte sinüs ve kosinüs ana değerleridir.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde birim yarıçaplı bir daire çizelim (yani, uzunluk boyunca herhangi bir yarıçapı alıyoruz ve uzunluğunu birim olarak ilan ediyoruz).

“0-Start” kirişinden ok yönünde (bkz. Şekil) köşeleri ayırıyoruz.

Çemberde karşılık gelen noktaları alıyoruz. Yani noktaları eksenlerin her birine yansıtırsak, yukarıdaki zincirden tam olarak değerleri alacağız.

Neden sordun ki?

Her şeyi ayırmayalım. Düşünmek prensip, bu da diğer benzer durumlarla başa çıkmanıza izin verecek.

AOB üçgeni ile bir dik üçgendir. Ve açının karşısında hipotenüsün iki katı kadar küçük bir bacak bulunduğunu biliyoruz (hipotenüsümüz = dairenin yarıçapı, yani 1).

Dolayısıyla, AB= (ve dolayısıyla OM=). Ve Pisagor teoremi ile

Umarım şimdi bir şeyler açıktır.

Böylece B noktası değere, M noktası da değere karşılık gelecektir.

Benzer şekilde, ilk çeyreğin değerlerinin geri kalanıyla.

Anladığınız gibi, bize tanıdık eksen (öküz) olacaktır. kosinüs ekseni, ve eksen (oy) - sinüs ekseni . sonra.

Kosinüs ekseninde sıfırın solunda (sinüs ekseninde sıfırın altında) elbette negatif değerler olacaktır.

Yani, işte burada, TÜM GÜÇLÜ, onsuz trigonometride hiçbir yer yok.

Ama trigonometrik çemberin nasıl kullanılacağından bahsedeceğiz.

Trigonometrik fonksiyonun işareti yalnızca sayısal argümanın bulunduğu koordinat çeyreğine bağlıdır. Geçen sefer, argümanları bir radyan ölçüsünden derece ölçüsüne nasıl çevireceğimizi öğrendik (bkz. “ Bir açının radyan ve derece ölçüsü” dersine bakın) ve sonra aynı koordinat çeyreğini belirleyin. Şimdi aslında sinüs, kosinüs ve tanjantın işaretinin tanımıyla ilgilenelim.

α açısının sinüsü, yarıçap α açısı boyunca döndürüldüğünde meydana gelen, trigonometrik bir daire üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (y koordinatı).

α açısının kosinüsü, yarıçap α açısı boyunca döndüğünde meydana gelen, trigonometrik bir daire üzerindeki bir noktanın apsisidir (x koordinatı).

α açısının tanjantı, sinüsün kosinüs oranına oranıdır. Veya eşdeğer olarak, y-koordinatının x-koordinatına oranı.

Gösterim: günah α = y ; cosα = x; tga = y : x .

Tüm bu tanımlar size lise cebir dersinden aşinadır. Bununla birlikte, tanımların kendisiyle değil, trigonometrik çember üzerinde ortaya çıkan sonuçlarla ilgileniyoruz. Bir göz at:

Mavi renk OY ekseninin (ordinat ekseni) pozitif yönünü, kırmızı renk OX ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönünü gösterir. Bu "radarda" trigonometrik fonksiyonların işaretleri belirginleşir. Özellikle:

1. sin α > 0, eğer α açısı I veya II koordinat çeyreğinde bulunuyorsa. Bunun nedeni, tanım gereği sinüsün bir ordinat (y koordinatı) olmasıdır. Ve y koordinatı tam olarak I ve II koordinat çeyreklerinde pozitif olacaktır;
2. cos α > 0 eğer α açısı I veya IV koordinat çeyreğinde bulunuyorsa. Çünkü sadece orada x koordinatı (aynı zamanda apsistir) sıfırdan büyük olacaktır;
3. tg α > 0, eğer α açısı I veya III koordinat çeyreğinde bulunuyorsa. Bu şu tanımdan çıkar: sonuçta, tg α = y : x , bu nedenle yalnızca x ve y'nin işaretlerinin çakıştığı yerde pozitiftir. Bu, 1. koordinat çeyreğinde (burada x > 0, y > 0) ve 3. koordinat çeyreğinde (x) olur.< 0, y < 0).

Açıklık sağlamak için, her trigonometrik fonksiyonun - sinüs, kosinüs ve tanjant - işaretlerini ayrı "radar" üzerinde not ediyoruz. Aşağıdaki resmi alıyoruz:

Not: Akıl yürütmemde, dördüncü trigonometrik fonksiyondan - kotanjanttan hiç bahsetmedim. Gerçek şu ki, kotanjantın işaretleri tanjantın işaretleri ile çakışıyor - orada özel kurallar yok.

Şimdi, B11 problemlerine benzer örnekleri ele almayı öneriyorum. deneme sınavı 27 Eylül 2011'de gerçekleşen matematikte. Sonuçta En iyi yol teoriyi anlamak pratiktir. Tercihen çok pratik. Tabii ki, görevlerin koşulları biraz değişti.

Görev. Trigonometrik fonksiyonların ve ifadelerin işaretlerini belirleyin (fonksiyonların değerlerinin dikkate alınması gerekmez):

1. günah(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tan (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Eylem planı şu şekildedir: önce tüm açıları radyan ölçüsünden derece ölçüsüne çeviririz (π → 180°) ve sonra ortaya çıkan sayının hangi koordinat çeyreğinde bulunduğuna bakarız. Çeyrekleri bilerek, işaretleri kolayca bulabiliriz - az önce açıklanan kurallara göre. Sahibiz:

1. günah (3π/4) = günah (3 180°/4) = günah 135°. 135° ∈ olduğundan, bu II koordinat çeyreğinden bir açıdır. Ancak ikinci çeyrekteki sinüs pozitiftir, yani sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Çünkü 210° ∈ , bu, tüm kosinüslerin negatif olduğu III koordinat çeyreğinden bir açıdır. Bu nedenle, cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ olduğundan, teğetin negatif değerler aldığı IV. kadrandayız. Bu nedenle tg (5π/3)< 0;
4. günah (3π/4) cos (5π/6) = günah (3 180°/4) cos (5 180°/6) = günah 135° cos 150°. Sinüsle ilgilenelim: çünkü 135° ∈ , bu sinüslerin pozitif olduğu ikinci çeyrek, yani. sin (3π/4) > 0. Şimdi kosinüsle çalışıyoruz: 150° ∈ - yine ikinci çeyrek, oradaki kosinüsler negatif. Bu nedenle cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Kosinüs'e bakıyoruz: 120° ∈, II koordinat çeyreğidir, yani cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Yine faktörlerin farklı işaretlere sahip olduğu bir ürün elde ettik. “Eksi çarpı artı bir eksi verdiği için” elimizde: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. günah (5π/6) cos (7π/4) = günah (5 180°/6) cos (7 180°/4) = günah 150° cos 315°. Sinüs ile çalışıyoruz: 150° ∈'den beri, Konuşuyoruz sinüslerin pozitif olduğu II koordinat çeyreği hakkında. Bu nedenle, sin (5π/6) > 0. Benzer şekilde, 315° ∈ IV koordinat çeyreğidir, oradaki kosinüsler pozitiftir. Bu nedenle, cos (7π/4) > 0. İki pozitif sayının çarpımını elde ettik - böyle bir ifade her zaman pozitiftir. Şu sonuca varıyoruz: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ancak 135 ° ∈ açısı ikinci çeyrektir, yani. bronz (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. “Eksi artı eksi işareti verdiğinden”, elimizde: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Kotanjant argümanına bakıyoruz: 240° ∈ III koordinat çeyreğidir, dolayısıyla ctg (4π/3) > 0'dır. Benzer şekilde, tanjant için elimizdeki: 30° ∈ I koordinat çeyreğidir, yani. en kolay köşe Bu nedenle, tg (π/6) > 0. Yine iki pozitif ifade aldık - bunların çarpımı da pozitif olacak. Bu nedenle ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Son olarak, birkaç tane daha bakalım zorlu görevler. Trigonometrik fonksiyonun işaretini bulmaya ek olarak, burada küçük bir hesaplama yapmanız gerekiyor - tıpkı B11 gerçek problemlerinde olduğu gibi. Prensip olarak, bunlar matematikte sınavda gerçekten bulunan neredeyse gerçek görevlerdir.

Görev. sin 2 α = 0.64 ve α ∈ [π/2; π].

sin 2 α = 0.64 olduğundan, elimizde: sin α = ±0.8. Karar vermek için kalır: artı mı eksi mi? Varsayım olarak, açı α ∈ [π/2; π], tüm sinüslerin pozitif olduğu II koordinat çeyreğidir. Bu nedenle, sin α = 0.8 - işaretlerle ilgili belirsizlik ortadan kalkar.

Görev. cos 2 α = 0.04 ve α ∈ [π; ise cos α'yı bulun; 3π/2.

Benzer şekilde hareket ediyoruz, yani. Ayıkla Kare kök: çünkü 2 α = 0,04 ⇒ çünkü α = ±0,2. Varsayım olarak, açı α ∈ [π; 3π/2], yani III koordinat çeyreğinden bahsediyoruz. Orada, tüm kosinüsler negatiftir, dolayısıyla cos α = −0.2.

Görev. sin 2 α = 0.25 ve α ∈ ise sin α'yı bulun.

Şunlara sahibiz: günah 2 α = 0,25 ⇒ günah α = ±0,5. Yine açıya bakıyoruz: α ∈, bildiğiniz gibi sinüsün negatif olacağı IV koordinat çeyreğidir. Böylece şu sonuca varırız: sin α = −0.5.

Görev. tg 2 α = 9 ve α ∈ ise tg α'yı bulun.

Her şey aynı, sadece teğet için. Karekök alıyoruz: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ancak koşula göre, α ∈ açısı I koordinat çeyreğidir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar, dahil. teğet, pozitif var, yani tg α = 3. İşte bu kadar!