Biçimsel mantık ve mantıksal hatalar paradoksları. Eğlenceli mantıksal paradokslar Mantıktaki paradokslar

14.08.2020

Bilim adamları ve düşünürler, çözülemez problemler kurarak ve her türlü paradoksları formüle ederek kendilerini ve meslektaşlarını eğlendirmeye uzun zamandır düşkündürler. Bu düşünce deneylerinden bazıları binlerce yıldır geçerliliğini koruyor, bu da birçok popüler bilimsel modelin kusurlu olduğunu ve uzun süredir temel kabul edilen genel kabul görmüş teorilerdeki "deliklerin" olduğunu gösteriyor. Sizi, şimdi dedikleri gibi, birden fazla nesil mantıkçı, filozof ve matematikçinin "beynini uçuran" en ilginç ve şaşırtıcı paradokslar üzerinde düşünmeye davet ediyoruz.

1. Aporia "Aşil ve kaplumbağa"

Aşil ve kaplumbağa paradoksu, MÖ 5. yüzyılda antik Yunan filozofu Elea Zeno tarafından formüle edilen paradokslardan (mantıksal olarak doğru, ancak çelişkili ifadelerden) biridir. Özü şu şekildedir: efsanevi kahraman Aşil, bir kaplumbağa ile koşmak için yarışmaya karar verdi. Bildiğiniz gibi kaplumbağalar çabukluk bakımından farklılık göstermezler, bu yüzden Aşil rakibe 500 m önde start verdi.Kaplumbağa bu mesafeyi aştığında kahraman 10 kat daha hızlı kovalamaya başlar yani kaplumbağa 50 m sürünürken Aşil verilen 500 m önde koşmayı başarır. Sonra koşucu sonraki 50 m'yi aşar, ancak bu sırada kaplumbağa 5 m daha geriye sürünür, Aşil onu yakalamak üzere gibi görünüyor, ancak rakip hala önde ve 5 m koşarken, o başarıyor yarım metre daha ilerleyin vb. Aralarındaki mesafe sonsuz olarak azalır, ancak teoride kahraman yavaş kaplumbağayı asla yakalamayı başaramaz, çok fazla değil, her zaman ondan öndedir.

Tabii ki, fizik açısından, paradoks mantıklı değil - Aşil çok daha hızlı hareket ederse, yine de öne geçecektir, ancak Zeno, her şeyden önce, idealize matematiksel kavramların idealize edildiğini göstermek istedi. "uzaydaki nokta" ve "zamanın anı" gerçek harekete doğru uygulama için çok uygun değildir. Aporia, sıfır olmayan uzay ve zaman aralıklarının süresiz olarak bölünebileceği (dolayısıyla kaplumbağa her zaman önde kalmalıdır) matematiksel olarak sağlam fikir ile kahramanın elbette yarışı kazandığı gerçeklik arasındaki çelişkiyi ortaya koymaktadır.

2. Zaman döngüsü paradoksu

Zaman yolculuğunu tanımlayan paradokslar, uzun zamandır bilim kurgu yazarları ve bilim kurgu filmleri ve TV şovlarının yaratıcıları için bir ilham kaynağı olmuştur. Zaman döngüsü paradokslarının birkaç çeşidi vardır, böyle bir sorunun en basit ve en açıklayıcı örneklerinden biri, Massachusetts Üniversitesi'nde profesör olan David Toomey tarafından The New Time Travellers adlı kitabında verilmiştir.

Bir zaman yolcusunun bir kitapçıdan Shakespeare'in Hamlet'inin bir kopyasını satın aldığını hayal edin. Sonra Bakire Kraliçe Elizabeth I döneminde İngiltere'ye gitti ve William Shakespeare'i bulduktan sonra ona bir kitap verdi. Yeniden yazdı ve kendi eseri olarak yayınladı. Yüzlerce yıl geçer, Hamlet düzinelerce dile çevrilir, durmadan yeniden basılır ve nüshalardan biri tam da zaman yolcusunun alıp Shakespeare'e verdiği kitapçıda biter, o da bir nüsha yapar ve bu böyle devam eder... Bu durumda kim sayılmalı, ölümsüz bir trajedinin yazarı mı?

3. Bir kız ve bir oğlanın paradoksu

Olasılık teorisinde bu paradoks, "Bay Smith'in Çocukları" veya "Bayan Smith'in Problemleri" olarak da adlandırılır. İlk olarak Amerikalı matematikçi Martin Gardner tarafından Scientific American dergisinin sayılarından birinde formüle edildi. Bilim adamları onlarca yıldır paradoksu tartışıyorlar ve bunu çözmenin birkaç yolu var. Sorunu düşündükten sonra kendi versiyonunuzu sunabilirsiniz.

Ailenin iki çocuğu var ve bunlardan birinin erkek olduğu kesin olarak biliniyor. İkinci çocuğun da erkek olma olasılığı nedir? İlk bakışta, cevap oldukça açıktır - 50'ye 50, ya gerçekten erkek ya da kız, şansları eşit olmalı. Sorun şu ki, iki çocuklu ailelerde çocukların cinsiyetlerinin dört olası kombinasyonu vardır - iki kız, iki erkek, daha büyük bir erkek ve bir küçük kız ve bunun tersi - daha büyük bir kız ve bir küçük erkek. Çocuklardan biri kesinlikle erkek olduğu için birincisi hariç tutulabilir, ancak bu durumda iki değil üç olası seçenek vardır ve ikinci çocuğun da erkek olma olasılığı üçte bir şanstır.

4. Jourdain'in kart paradoksu

İngiliz mantıkçı ve matematikçi Philippe Jourdain tarafından 20. yüzyılın başında ortaya atılan problem, ünlü yalancı paradoksunun çeşitlerinden biri olarak kabul edilebilir.

Düşünün - elinizde bir kartpostal tutuyorsunuz, şöyle diyor: "Kartpostalın arkasındaki ifade doğrudur." Kartın ters çevrilmesi, "Karşı taraftaki ifade yanlıştır" ifadesini ortaya çıkarır. Anladığınız gibi, bir çelişki var: İlk ifade doğruysa, ikincisi de doğrudur, ancak bu durumda ilki yanlış olmalıdır. Kartpostalın ilk tarafı yanlışsa, ikincideki ifade de doğru kabul edilemez, bu da ilk ifadenin tekrar doğru olduğu anlamına gelir… Yalancı paradoksunun daha da ilginç bir versiyonu bir sonraki paragrafta.

5. Sofizm "Timsah"

Çocuklu bir anne nehir kıyısında duruyor, aniden bir timsah onlara doğru yüzüyor ve çocuğu suya sürüklüyor. Teselli edilemeyen anne çocuğunu geri göndermesini ister; timsah, eğer kadın onun sorusuna doğru cevap verirse onu sağ salim geri vermeyi kabul ettiğini söyler: “Çocuğunu geri verecek mi?” Bir kadının iki cevabı olduğu açıktır - evet veya hayır. Timsahın ona çocuğu vereceğini iddia ederse, o zaman her şey hayvana bağlıdır - cevabın doğru olduğunu düşünürsek, kaçıran çocuğu bırakacaktır, ancak annenin yanıldığını söylerse, o zaman görmeyecektir. çocuk, sözleşmenin tüm kurallarına göre.

Kadının olumsuz cevabı işleri oldukça karmaşık hale getirir - eğer doğru çıkarsa, kaçıran anlaşmanın şartlarını yerine getirmeli ve çocuğu serbest bırakmalıdır, ancak bu şekilde annenin cevabı gerçekle örtüşmeyecektir. Böyle bir cevabın yanlışlığından emin olmak için, timsahın çocuğu anneye iade etmesi gerekir, ancak bu sözleşmeye aykırıdır, çünkü onun hatası çocuğu timsahla bırakmalıdır.

Timsahın sunduğu anlaşmanın mantıksal bir çelişki içerdiğini, dolayısıyla sözünün yerine getirilemeyeceğini belirtmekte fayda var. MÖ 5. yüzyılda yaşayan Syracuse'lu hatip, düşünür ve politikacı Corax, bu klasik safsatanın yazarı olarak kabul edilir.

6. Aporia "İkilik"

İdealleştirilmiş matematiksel hareket modelinin yanlışlığını gösteren Elea'lı Zeno'dan bir başka paradoks. Sorun şu şekilde ifade edilebilir - diyelim ki şehrinizdeki bir caddeden baştan sona geçmeye karar verdiniz. Bunu yapmak için, ilk yarısını, ardından kalan yarısını, ardından bir sonraki bölümün yarısını vb. Başka bir deyişle - tüm mesafenin yarısını yürürsünüz, sonra çeyrek, sekizde bir, on altıda bir - yolun azalan bölümlerinin sayısı sonsuz olma eğilimindedir, çünkü kalan kısım ikiye bölünebilir, bu da imkansız olduğu anlamına gelir. tüm yolu git. İlk bakışta biraz zoraki bir paradoks formüle eden Zeno, matematiksel yasaların gerçeklikle çeliştiğini göstermek istedi, çünkü aslında tüm mesafeyi iz bırakmadan kolayca kat edebilirsiniz.

7. Aporia "Uçan Ok"

Elealı Zeno'nun ünlü paradoksu, bilim adamlarının hareket ve zamanın doğası hakkındaki fikirlerindeki en derin çelişkilere değiniyor. Aporia şu şekilde formüle edilmiştir: Yaydan atılan bir ok hareketsiz kalır, çünkü zamanın herhangi bir anında hareket etmeden durur. Ok zamanın her anında hareketsizse, o zaman her zaman hareketsizdir ve okun uzayda hareket ettiği bir an olmadığı için hiç hareket etmez.

İnsanlığın seçkin zihinleri yüzyıllardır uçan ok paradoksunu çözmeye çalışıyor, ancak mantıksal açıdan bakıldığında bu kesinlikle doğru. Bunu çürütmek için, sonlu bir zaman aralığının nasıl sonsuz sayıda zamandan oluşabileceğini açıklamak gerekir - Zeno'nun açmazını ikna edici bir şekilde eleştiren Aristoteles bile bunu kanıtlayamadı. Aristoteles haklı olarak, bir zaman diliminin bölünemez izole edilmiş anların toplamı olarak düşünülemeyeceğini belirtti, ancak birçok bilim adamı yaklaşımının derinlikte farklılık göstermediğine ve bir paradoksun varlığını reddetmediğine inanıyor. Zeno'nun uçan ok problemini ortaya koyarak hareket olasılığını reddetmeye değil, idealist matematiksel kavramlardaki çelişkileri ortaya çıkarmaya çalıştığını belirtmekte fayda var.

8. Galileo'nun paradoksu

Galileo Galilei, İki Yeni Bilim Dalına İlişkin Konuşmalar ve Matematiksel Kanıtlar'ında, sonsuz kümelerin ilginç özelliklerini gösteren bir paradoks önerdi. Bilim adamı iki çelişkili yargı formüle etti. İlk olarak, 1, 9, 16, 25, 36 vb. gibi diğer tam sayıların kareleri olan sayılar vardır. Bu özelliğe sahip olmayan başka sayılar da var - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 ve benzeri. Bu nedenle, tam karelerin ve adi sayıların toplam sayısı, tek başına tam karelerin sayısından büyük olmalıdır. İkinci yargı: Her doğal sayının tam karesi vardır ve her kare için bir tamsayı karekökü vardır, yani kare sayısı doğal sayıların sayısına eşittir.

Bu çelişkiye dayanarak, Galileo, daha sonraki matematikçiler bir kümenin gücü kavramını ortaya koymalarına rağmen, eleman sayısı hakkındaki akıl yürütmenin yalnızca sonlu kümelere uygulandığı sonucuna vardı - onun yardımıyla, Galileo'nun ikinci kararının doğruluğu da sonsuz kümeler için kanıtlandı. .

9. Patates çuvalı paradoksu

Diyelim ki bir çiftçinin tam olarak 100 kg ağırlığında bir torba patatesi var. Çiftçi içeriğini inceledikten sonra, torbanın nemli bir ortamda saklandığını keşfeder - kütlesinin %99'u sudur ve kalan maddelerin %1'i patateslerde bulunur. Patatesleri su içeriği %98'e düşecek şekilde biraz kurutmaya karar verir ve torbayı kuru bir yere taşır. Ertesi gün, bir litre (1 kg) suyun gerçekten buharlaştığı ortaya çıktı, ancak torbanın ağırlığı 100 kg'dan 50 kg'a düştü, bu nasıl olabilir? Hesaplayalım - 100 kg'ın %99'u 99 kg'dır, bu, kuru kalıntı kütlesinin ve su kütlesinin oranının başlangıçta 1/99 olduğu anlamına gelir. Kurutulduktan sonra su, torbanın toplam kütlesinin %98'ini içerir; bu, kuru kalıntı kütlesinin su kütlesine oranının şimdi 1/49 olduğu anlamına gelir. Kalıntının kütlesi değişmediği için kalan su 49 kg ağırlığındadır.

Tabii ki, dikkatli bir okuyucu hesaplamalarda büyük bir matematiksel hatayı hemen tespit edecektir - hayali komik “bir patates çuvalı paradoksu”, ilk bakışta “mantıksal” ve “bilimsel olarak desteklenen” kullanmanın mükemmel bir örneği olarak kabul edilebilir. muhakeme yaparak, sağduyuyla çelişen, kelimenin tam anlamıyla sıfırdan bir teori oluşturabilirsiniz.

10 Kuzgun Paradoksu

Sorun, Hempel'in paradoksu olarak da bilinir - ikinci adını klasik versiyonunun yazarı olan Alman matematikçi Carl Gustav Hempel'in onuruna aldı. Sorun oldukça basit bir şekilde formüle edilmiştir: her kuzgun siyahtır. Bundan siyah olmayan hiçbir şeyin kuzgun olamayacağı sonucu çıkar. Bu yasaya mantıksal karşı koyma denir, yani belirli bir "A" öncülü "B" sonucunu doğuruyorsa, o zaman "B"nin olumsuzlanması "A"nın olumsuzlanmasıyla eşdeğerdir. Bir kişi siyah bir kuzgun görürse, bu, tüm kuzgunların siyah olduğu inancını güçlendirir, ki bu oldukça mantıklıdır, ancak, çelişki ve tümevarım ilkesine uygun olarak, siyah olmayan nesnelerin gözlemlenmesinin (diyelim ki) mantıklı olduğunu iddia etmek mantıklıdır. , kırmızı elmalar) ayrıca tüm kargaların siyaha boyandığını kanıtlar. Başka bir deyişle, bir kişinin St. Petersburg'da yaşıyor olması, Moskova'da yaşamadığını kanıtlıyor.

Mantık açısından, paradoks mükemmel görünüyor, ancak gerçek hayatla çelişiyor - kırmızı elmalar hiçbir şekilde tüm kargaların siyah olduğu gerçeğini doğrulayamaz.

Beyin postası nasıl çalışır - mesajların beyinden beyine İnternet üzerinden iletilmesi

Bilimin sonunda ortaya çıkardığı dünyanın 10 gizemi

Bilim adamlarının şu anda cevap aradığı evrenle ilgili en önemli 10 soru

Bilimin Açıklayamadığı 8 Şey

2500 yıllık bilimsel sır: neden esniyoruz

Evrim Teorisi karşıtlarının cehaletlerini haklı çıkardıkları en aptalca 3 argüman

Modern teknolojinin yardımıyla süper kahramanların yeteneklerini gerçekleştirmek mümkün mü?

Mantık yasalarına göre Ivin Alexander Arkhipovich

MANTIK PARADOKS NEDİR?

Mantıksal paradoksların kapsamlı bir listesi yoktur ve bu imkansızdır.

Dikkate alınan paradokslar, şimdiye kadar keşfedilenlerin sadece bir kısmı. Gelecekte birçok başka ve hatta tamamen yeni türün keşfedilmesi muhtemeldir. Bir paradoks kavramının kendisi o kadar kesin değildir ki, en azından halihazırda bilinen paradoksların bir listesini derlemek mümkün olacaktır.

Avusturyalı matematikçi ve mantıkçı K. Gödel, "Küme-teorik paradokslar matematik için değil, daha çok mantık ve epistemoloji için çok ciddi bir problemdir" diye yazıyor. "Mantık tutarsız. Mantıksal paradokslar yok, - diyor Sovyet matematikçi D. Bochvar. - Bu tür tutarsızlıklar bazen önemli, bazen sözlü olabilir. Mesele büyük ölçüde "mantıksal paradoks" ile tam olarak ne kastedildiğidir.

Mantıksal paradoksların gerekli bir özelliği mantıksal sözlüktür. Mantıksal olan paradokslar mantıksal terimlerle formüle edilmelidir. Bununla birlikte, mantıkta, terimleri mantıksal ve mantıksal olmayan olarak ayırmak için net bir kriter yoktur. Akıl yürütmenin doğruluğu ile ilgilenen mantık, pratik olarak uygulanan sonuçların doğruluğunun bağlı olduğu kavramları en aza indirmeye çalışır. Ancak bu minimum, açık bir şekilde önceden belirlenmemiştir. Ek olarak, mantıksal olmayan ifadeler de mantıksal terimlerle formüle edilebilir. Belirli bir paradoksun yalnızca salt mantıksal öncülleri kullanıp kullanmadığını kesin olarak belirlemek her zaman mümkün değildir.

Mantıksal paradokslar diğer tüm paradokslardan katı bir şekilde ayrılmazlar, tıpkı paradoksal olmayan ve hakim fikirlerle tutarlı olan her şeyden açıkça ayırt edilmedikleri gibi.

Mantıksal paradokslarla ilgili çalışmanın başlangıcında, bunların henüz keşfedilmemiş bazı konumların veya mantık kurallarının ihlaliyle ayırt edilebilecekleri görülüyordu. B. Russell tarafından ortaya atılan “kısır döngü ilkesi”, böyle bir kuralın rolünü talep etmede özellikle etkindi. Bu ilke, bir nesne koleksiyonunun yalnızca aynı koleksiyon tarafından tanımlanan üyeleri içeremeyeceğini belirtir.

Tüm paradoksların ortak bir yanı vardır - kendi kendine uygulanabilirlik veya döngüsellik. Her birinde, söz konusu nesne, kendisinin ait olduğu bir dizi nesne ile karakterize edilir. Örneğin, bir kişiyi bir sınıftaki en kurnaz olarak seçersek, bunu o kişinin de ait olduğu bir grup insanın yardımıyla ("onun sınıfının" yardımıyla) yaparız. Ve eğer "Bu ifade yanlıştır" dersek, bizi ilgilendiren ifadeyi, onu içeren tüm yanlış ifadelerin toplamına atıfta bulunarak karakterize ederiz.

Tüm paradokslarda, kendi kendine uygulanabilirlik gerçekleşir; bu, bir daire içinde, sonunda başlangıç noktasına giden bir hareket olduğu anlamına gelir. İlgilendiğimiz nesneyi karakterize etme çabasıyla, onu içeren nesneler kümesine dönüyoruz. Ancak, kesinliği için, kendisinin söz konusu nesneye ihtiyacı olduğu ve onsuz açıkça anlaşılamayacağı ortaya çıkıyor. Bu çemberde, belki de paradoksların kaynağı yatıyor.

Bununla birlikte, tamamen paradoksal olmayan birçok argümanda böyle bir döngünün mevcut olması gerçeğiyle durum karmaşıktır. Dairesel, en yaygın, zararsız ve aynı zamanda uygun ifade yollarının çok çeşitlidir. “Tüm şehirlerin en büyüğü”, “tüm doğal sayıların en küçüğü”, “demir atomunun elektronlarından biri” vb. gibi örnekler, her kendi kendine uygulanabilirlik durumunun bir çelişkiye yol açmadığını ve bunun bir çelişkiye yol açmadığını göstermektedir. sadece günlük dilde değil, bilim dilinde de önemlidir.

Bu nedenle, kendi kendine uygulanabilir kavramların kullanımına yalnızca bir referans, paradoksları itibarsızlaştırmak için yetersizdir. Bir paradoksa yol açan kendi kendine uygulanabilirliği diğer tüm durumlardan ayırmak için bazı ek kriterlere ihtiyaç vardır.

Bu yönde pek çok öneride bulunulmuştur, ancak döngüselliğe ilişkin başarılı bir açıklama bulunamamıştır. Döngüselliği, her döngüsel akıl yürütmenin bir paradoksa yol açacağı ve her paradoksun bir döngüsel akıl yürütmenin sonucu olacağı şekilde karakterize etmenin imkansız olduğu ortaya çıktı.

İhlal edilmesi tüm mantıksal paradoksların ayırt edici bir özelliği olacak belirli bir mantık ilkesi bulma girişimi, kesin bir şeye yol açmadı.

Paradoksları türlere ve türlere ayırarak, bazı paradoksları gruplandırarak ve diğerleriyle karşıtlaştırarak bir tür paradoks sınıflandırması kuşkusuz yararlı olacaktır. Ancak bu durumda da sürdürülebilir bir şey elde edilememiştir.

1930'da henüz yirmi yedi yaşındayken ölen İngiliz mantıkçı F. Ramsey, tüm paradoksları sözdizimsel ve anlamsal olanlara bölmeyi önerdi. Birincisi, örneğin Russell paradoksunu, ikincisi - "yalancı", Grelling, vb. paradoksları içerir.

F. Ramsey'e göre, birinci grubun paradoksları sadece mantığa veya matematiğe ait kavramları içerir. İkincisi, "gerçek", "tanımlanabilirlik", "adlandırma", "dil" gibi kesinlikle matematiksel olmayan, daha çok dilbilim ve hatta bilgi teorisi ile ilgili kavramları içerir. Semantik paradokslar, görünüşlerini mantıktaki bir hataya değil, bazı mantıksal olmayan kavramların belirsizliğine veya belirsizliğine borçlu gibi görünmektedir, bu nedenle ortaya koydukları problemler dil ile ilgilidir ve dilbilim tarafından çözülmelidir.

F. Ramsey'e göre matematikçilerin ve mantıkçıların anlamsal paradokslarla ilgilenmeleri gerekmiyordu.

Ancak daha sonra, modern mantığın en önemli sonuçlarından bazılarının, tam olarak bu "mantıksal olmayan" paradoksların daha derin bir incelemesiyle bağlantılı olarak elde edildiği ortaya çıktı.

F. Ramsey tarafından önerilen paradoksların bölünmesi, ilk başta yaygın olarak kullanıldı ve şimdi bile bir miktar önemini koruyor. Aynı zamanda, bu ayrımın oldukça belirsiz olduğu ve iki paradoks grubunun derinlemesine karşılaştırmalı bir analizine değil, öncelikle örneklere dayandığı giderek daha açık hale geliyor. Semantik kavramlar artık iyi tanımlanmıştır ve bu kavramların gerçekten mantıklı olduğunu fark etmemek zordur. Temel kavramlarını küme teorisi açısından tanımlayan anlambilimin gelişmesiyle birlikte F. Ramsey'in yaptığı ayrım giderek bulanıklaşıyor.

Tarihsel ve mantıksal yöntemler Genel olarak, bilimsel bilginin ampirik düzeyi, kendi içinde, toplumun işleyiş ve gelişme kalıpları da dahil olmak üzere, şeylerin özüne nüfuz etmek için yeterli değildir. Belli bir aşamada, birden fazla olduğunda

Carnap'ın mantıksal pozitivizmi Mantıksal pozitivizm, ampirizmin değiştirilmiş bir biçimidir. En saf haliyle ampirizm, tüm bilginin duyusal deneyimden geldiği doktrinidir. Mantıksal pozitivizm, önemli bir noktada ondan daha zayıf görünüyor, ancak daha güçlü görünüyor.

2.9. Mantıksal kare Basit karşılaştırılabilir önermeler arasındaki ilişkiler, ortaçağ mantıkçıları tarafından geliştirilen mantıksal kare kullanılarak şematik olarak gösterilir. Gördüğünüz gibi, karenin köşeleri dört tür basit yargıyı ifade eder ve kenarları ve

BÖLÜM 2 MANTIKSAL DAVRANIŞÇILIK Mantıksal davranışçılık, zihinsel durumda olmanın davranışsal bir durumda olmak anlamına geldiği teorisidir. Düşünmek, umut etmek, algılamak, hatırlamak vb. - tüm bunlar ya davranış ya da sahiplenme olarak anlaşılmalıdır

3. Mantıksal analiz (B. Russell) Bertrand Russell (1872–1970) dünyaca ünlü bir İngiliz bilim adamı, filozof ve halk figürüdür. On altı yaşındayken, üzerinde büyük bir etki bırakan vaftiz babası J. S. Mill'in Otobiyografisi'ni okudu. peru milla

2. Mantıksal pozitivizm 1922'de, E. Mach'ın ölümünden sonra Profesör M. Schlick başkanlığındaki Viyana Üniversitesi Doğa Felsefesi Bölümü'nde, kendilerine cesur bir hedef belirleyen bir grup genç bilim adamı bir araya geldi - reform yapmak bilim ve felsefe. Bu grup

§ 1. B. Russell'ın mantıksal atomizmi Mantıksal pozitivizmin "dedeleri" Moore ve Russell'dır. Moore'un (1873-1958) rolü genellikle İngiliz araştırmacılar tarafından vurgulanmaktadır. Filozoflar tarafından kullanılan kelimelerin ve ifadelerin anlamlarının analizine dikkat çekmesinden oluşuyordu.

2. Mantıksal çöküş - Kanıtlanabilen veya kanıtlanması gereken, özel bir şeyin nihai bilgisidir. Bu varlık anlamında varlık ve aşkınlık yoktur. Onları düşünürsek, düşünce mantıksal biçimler alır ki bu

"Mantıksal" ve "tarihsel" araştırma yöntemleri "Sermaye" de, özellikle dördüncü cildinde, bir nesne teorisinin mantıksal inşası ile çalışmasının tarihsel yöntemleri arasındaki ilişkinin önemli bir epistemolojik sorunu yansıtıldı - ikinci ile ilgili

II. DİLİN MANTIKSAL ANALİZİ Matematiğin teorik yapısı için yeni bir mantık geliştirildi. Viyana Çevresinde, genellikle bilim teorisini yaratmanın bir aracı haline geldi. Saf mantığın aksine, uygulamalı mantık, felsefeyi rafine etmek için kullanıldı.

MANTIK PARADOKS NEDİR? Mantıksal paradoksların kapsamlı bir listesi yoktur. Dikkate alınan mantıksal paradokslar, şimdiye kadar keşfedilenlerin sadece bir kısmıdır. İlerleyen zamanlarda çok daha fazlasının açılması muhtemeldir.

Mantıksal pozitivizm Birinci ve ikinci dünya savaşları arasındaki dönemde yeni felsefi fikirler ortaya atıldı. Birçoğu klasik olmayan fiziğin gelişmesiyle teşvik edildi ve mantıksal pozitivizm tarafından ciddi epistemolojik analizin konusu oldu.

15. SONSUZ MANTIK SÖZLÜĞÜb Bu, sonsuz küçükler yönteminin mantığa uygulanmasına ilişkin kısa raporumuzu sonlandırıyor. Aksine, bu bir mesaj değil, sadece bir öneri, çok büyük olmayan bir alana dair sadece mütevazı bir ipucu. mantık ve matematik değil

3. Tanrı'nın Krallığının teolojik karakteri Eski Ahit ve Yahudilik geleneğinde, Tanrı'nın Krallığının gelişi, Tanrı'nın gelişi anlamına gelir. Eskatolojik umudun merkezi, Tanrı tarafından belirlenen ve uygulanan “Yahveh Günü” idi, Tanrı'nın “her şeyde” olacağı gün.

Sizi, şimdi dedikleri gibi, birden fazla nesil mantıkçı, filozof ve matematikçinin "beynini uçuran" en ilginç ve şaşırtıcı paradokslar üzerinde düşünmeye davet ediyoruz.

1. Aporia "Aşil ve kaplumbağa"

2. Zaman döngüsü paradoksu

David Toomey Yeni Zaman Yolcuları

3. Bir kız ve bir oğlanın paradoksu

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

4. Jourdain'in kart paradoksu

İngiliz mantıkçı ve matematikçi Philippe Jourdain tarafından 20. yüzyılın başında ortaya atılan problem, ünlü yalancı paradoksunun çeşitlerinden biri olarak kabul edilebilir.

Philippe Jourdain

5. Sofizm "Timsah"

6. Aporia "İkilik"

7. Aporia "Uçan Ok"

8. Galileo'nun paradoksu

Galileo Galilei / © Wikimedia

9. Patates çuvalı paradoksu

10 Kuzgun Paradoksu

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Mantık açısından, paradoks mükemmel görünüyor, ancak gerçek hayatla çelişiyor - kırmızı elmalar hiçbir şekilde tüm kargaların siyah olduğu gerçeğini doğrulayamaz.

Burada sizinle zaten bir dizi paradoksumuz vardı - özellikle de olduğu gibi ve Orijinal makale web sitesinde InfoGlaz.rf Bu kopyanın yapıldığı makalenin bağlantısı -

Bir problemi formüle etmenin genellikle onu çözmekten daha önemli ve daha zor olduğu bilinmektedir. İngiliz kimyager F. Soddy, "bilimde," diye yazmıştı, "düzgün bir şekilde ortaya konan bir problemin yarısından fazlası çözülmüştür. Belirli bir sorun olduğunu bulmak için gereken zihinsel hazırlık süreci, genellikle görevin kendisinden daha fazla zaman alır.

Problem durumunun tezahür ettiği ve gerçekleştiği biçimler çok çeşitlidir. Her zaman olmaktan çok, çalışmanın en başında ortaya çıkan doğrudan bir soru şeklinde kendini gösterir. Sorunlar dünyası, onları üreten biliş süreci kadar karmaşıktır. Problemleri belirlemek, yaratıcı düşünmenin merkezinde yer alır. Paradokslar, sorun yaratmanın örtük, sorgusuz suallerinin en ilginç halidir. Henüz keşfedilmemiş bir alanda ilk adımların atıldığı ve ona yaklaşmanın en genel ilkelerinin arandığı bilimsel teorilerin gelişiminin ilk aşamalarında paradokslar yaygındır.

Paradokslar ve mantık

Geniş anlamda, bir paradoks, genel olarak kabul edilen, yerleşik, ortodoks görüşlerden keskin bir şekilde ayrılan bir konumdur. “Genel kabul görmüş görüşler ve uzun süredir kararlaştırılan bir konu olarak kabul edilenler, çoğu zaman araştırmayı hak ediyor” (G. Lichtenberg). Paradoks, bu tür araştırmaların başlangıcıdır.

Daha dar ve daha özel bir anlamda bir paradoks, her biri için görünüşte inandırıcı argümanlar bulunan iki zıt, uyumsuz ifadedir.

Paradoksun en keskin biçimi, biri diğerinin olumsuzlaması olan iki ifadenin eşdeğerliğini kanıtlayan bir akıl yürütme olan antinomidir.

Paradokslar özellikle en titiz ve kesin bilimlerde ünlüdür - matematik ve mantık. Ve bu tesadüf değil.

Mantık soyut bir bilimdir. İçinde hiçbir deney yok, kelimenin genel anlamıyla gerçekler bile yok. Sistemlerini inşa ederken, mantık nihai olarak gerçek düşüncenin analizinden yola çıkar. Ancak bu analizin sonuçları sentetiktir, farklılaşmamıştır. Bunlar, teorinin açıklaması gereken ayrı süreçlerin veya olayların ifadeleri değildir. Açıkçası, böyle bir analiz gözlem olarak adlandırılamaz: her zaman somut bir fenomen gözlemlenir.

Yeni bir teori inşa eden bilim adamı, genellikle deneyde gözlemlenebilen gerçeklerden yola çıkar. Yaratıcı hayal gücü ne kadar özgür olursa olsun, vazgeçilmez bir koşulu hesaba katmalıdır: Bir teori ancak onunla ilgili olgularla uyumluysa anlamlıdır. Gerçeklerle ve gözlemlerle uyuşmayan bir teori çok zorlayıcıdır ve hiçbir değeri yoktur.

Ama eğer mantıkta deneyler, olgular ve gözlemin kendisi yoksa, o zaman mantıksal fantaziyi engelleyen nedir? Yeni mantıksal teoriler oluşturulurken gerçekler değilse hangi faktörler dikkate alınır?

Mantıksal teori ile gerçek düşünme pratiği arasındaki tutarsızlık, genellikle az ya da çok akut bir mantıksal paradoks şeklinde ve hatta bazen teorinin içsel tutarsızlığından bahseden mantıksal bir çatışkı şeklinde ortaya çıkar. Bu sadece mantıktaki paradokslara verilen önemi ve onların bundan zevk aldıkları büyük ilgiyi açıklar.

"Yalancı" paradoksunun çeşitleri

Tüm mantıksal paradoksların en ünlüsü ve belki de en ilginç olanı Yalancı paradoksudur. Onu keşfeden Milet'ten Eubulides'in adını yücelten oydu.

Bu paradoksun ya da çatışkıların çoğu yalnızca görünüşte paradoksal olan varyantları vardır.

"Yalancı"nın en basit versiyonunda bir kişi sadece bir cümle söyler: "Yalan söylüyorum." Ya da diyor ki: "Şu anda yaptığım açıklama yanlıştır." Veya: "Bu ifade yanlıştır."

İfade yanlışsa, konuşmacı doğruyu söyledi ve bu nedenle söylediği yalan değil. İfade yanlış değilse ve konuşmacı bunun yanlış olduğunu iddia ederse, bu ifade yanlıştır. Bu nedenle, eğer konuşmacı yalan söylüyorsa, doğruyu söylüyor ve bunun tersi de ortaya çıkıyor.

Orta Çağ'da, aşağıdaki ifadeler yaygındı:

Sokrates, "Platon'un söylediği yanlıştır" der.

Platon, "Sokrates'in söylediği gerçektir" der.

Soru ortaya çıkıyor, hangisi gerçeği ifade ediyor ve hangisi yalan?

Ve işte bu paradoksun modern bir paradoksudur. Diyelim ki kartın sadece ön yüzünde “Bu kartın diğer yüzünde doğru bir ifade var” yazılıdır. Bu sözlerin anlamlı bir ifadeyi temsil ettiği açıktır. Kartı çevirerek ya vaat edilen ifadeyi bulmalıyız ya da orada değil. Arkasında yazıyorsa ya doğrudur ya değildir. Ancak, arkasında şu sözler var: “Bu kartın diğer tarafında yanlış bir ifade var” - ve başka bir şey değil. Ön taraftaki ifadenin doğru olduğunu varsayalım. O zaman arkadaki ifade doğru olmalı ve bu nedenle öndeki ifade yanlış olmalıdır. Ancak ön taraftaki ifade yanlışsa, arkadaki ifade de yanlış olmalı ve bu nedenle ön taraftaki ifade doğru olmalıdır. Sonuç bir paradokstur.

Yalancı paradoksu Yunanlılar üzerinde büyük bir etki yarattı. Ve nedenini görmek çok kolay. İlk bakışta sorduğu soru oldukça basit görünüyor: Sadece yalan söylediğini söyleyen yalan mı söylüyor? Ancak "evet" yanıtı, "hayır" yanıtına yol açar ve bunun tersi de geçerlidir. Ve yansıma durumu hiç netleştirmez. Sorunun basitliğinin ve hatta rutininin arkasında, anlaşılmaz ve ölçülemez bir derinlik ortaya çıkıyor.

Bu paradoksu çözmek için umutsuz olan Filit Kossky'nin intihar ettiğine dair bir efsane bile var. Ünlü antik Yunan mantıkçılarından biri olan Diodorus Kronos'un zaten gerileme yıllarında olduğu, “Yalancı”nın çözümünü bulana kadar yemek yememeye yemin ettiği ve kısa sürede hiçbir şey elde edemeden öldüğü söylenir.

Orta Çağ'da bu paradoks, sözde karar verilemez cümlelere atıfta bulunuldu ve sistematik analizin nesnesi haline geldi.

Modern zamanlarda, "Yalancı" uzun süre dikkat çekmedi. Dilin kullanımıyla ilgili en ufak bir zorlukla karşılaşmadılar. Ve sadece bizim, sözde modern zamanlarımızda, mantığın gelişimi nihayet bu paradoksun arkasında görünen sorunları katı terimlerle formüle etmenin mümkün olduğu bir düzeye ulaştı.

Şimdi "Yalancı" - bu tipik eski safsata - genellikle mantıksal paradoksların kralı olarak anılır. Geniş bir bilimsel literatür ona ayrılmıştır. Yine de, diğer pek çok paradoksta olduğu gibi, bunun arkasında hangi sorunların yattığı ve ondan nasıl kurtulacağı tam olarak açık değildir.

Dil ve üst dil

Şimdi "Yalancı" genellikle iki dilin karıştırılmasının yol açtığı zorlukların karakteristik bir örneği olarak kabul edilir: kişinin onun dışında kalan bir gerçeklikten bahsettiği dil ve kişinin kendisinin konuştuğu dil. ilk dil.

Gündelik dilde bu düzeyler arasında bir ayrım yoktur: gerçeklik ve dil hakkında aynı dili konuşuruz. Örneğin, anadili Rusça olan bir kişi, biri camdan bahsetse de, diğeri camdan bahsetmesine rağmen, "Cam şeffaftır" ve "Camın şeffaf olduğu doğrudur" ifadeleri arasında çok fazla fark görmez. bardak.

Birinin dünya hakkında bir dilde ve bu dilin özellikleri hakkında başka bir dilde konuşma ihtiyacı hakkında bir fikri olsaydı, mevcut iki farklı dili, diyelim ki Rusça ve İngilizce'yi kullanabilirdi. Sadece "İnek bir isimdir" demek yerine "İnek bir isimdir" derdim ve "'Cam şeffaf değildir' ifadesi yanlıştır" yerine "'Cam şeffaf değildir' iddiası yanlıştır" derdim. ". İki farklı dilin bu şekilde kullanılmasıyla, dünya hakkında söylenenler, dünya hakkında konuşulan dil hakkında söylenenlerden açıkça farklı olacaktır. Gerçekten de, ilk ifadeler Rus diline atıfta bulunurken, ikincisi İngilizceye atıfta bulunur.

Diller konusundaki uzmanımız, halihazırda İngilizceyi ilgilendiren bazı durumlar hakkında daha fazla konuşmak isterse, başka bir dil kullanabilir. Almanca diyelim. Bu ikincisi hakkında konuşmak için, diyelim ki İspanyolca diline vb. başvurulabilir.

Bu nedenle, her biri çok özel bir amaç için kullanılan bir tür dil merdiveni veya hiyerarşisi ortaya çıkıyor: ilkinde nesnel dünyadan, ikincisinde - bu birinci dilden, üçüncü - ikinci dil hakkında vb. Uygulama alanlarına göre diller arasında böyle bir ayrım, günlük yaşamda nadir görülen bir durumdur. Ama mantık gibi, özellikle dillerle ilgilenen bilimlerde, bazen çok yararlı olduğu ortaya çıkıyor. Dünya hakkında konuşmak için kullanılan dile genellikle nesne dili denir. Konu dilini tanımlamak için kullanılan dile üst dil denir.

Dil ve üstdil bu şekilde sınırlandırılırsa, "yalan söylüyorum" ifadesinin artık formüle edilemeyeceği açıktır. Rusça söylenenlerin yanlışlığından bahseder ve bu nedenle üst dile aittir ve İngilizce olarak ifade edilmelidir. Spesifik olarak, kulağa şöyle gelmelidir: “Rusça konuştuğum her şey yanlış” (“Rusça söylediğim her şey yanlış”); bu İngilizce ifade kendisi hakkında hiçbir şey söylemez ve hiçbir paradoks ortaya çıkmaz.

Dil ve üst dil arasındaki ayrım, "Yalancı" paradoksunu ortadan kaldırmayı mümkün kılar. Böylece klasik hakikat kavramını çelişkisiz bir şekilde doğru bir şekilde tanımlamak mümkün hale gelir: Bir ifade, anlattığı gerçekliğe tekabül eden doğrudur.

Hakikat kavramı, diğer tüm anlamsal kavramlar gibi, göreceli bir karaktere sahiptir: her zaman belirli bir dile atfedilebilir.

Polonyalı mantıkçı A. Tarski'nin gösterdiği gibi, gerçeğin klasik tanımı, amaçlanan dilden daha geniş bir dilde formüle edilmelidir. Başka bir deyişle, “belirli bir dilde doğru olan bir ifade” ifadesinin ne anlama geldiğini belirtmek istiyorsak, bu dilin ifadelerine ek olarak, o dilde olmayan ifadeleri de kullanmalıyız.

Tarski, anlamsal olarak kapalı bir dil kavramını tanıttı. Böyle bir dil, ifadelerine ek olarak, adlarını ve ayrıca vurgulanması önemli olan, içinde formüle edilen cümlelerin doğruluğuna ilişkin ifadeleri içerir.

Semantik olarak kapalı bir dilde dil ile üst dil arasında sınır yoktur. Araçları o kadar zengindir ki, yalnızca dil dışı gerçeklik hakkında bir şeyler ileri sürmeye değil, aynı zamanda bu tür ifadelerin doğruluğunu değerlendirmeye de izin verir. Bu araçlar özellikle dilde "Yalancı" çatışkısını yeniden üretmek için yeterlidir. Anlamsal olarak kapalı bir dil böylece kendi içinde çelişkili hale gelir. Her doğal dil açıkça anlamsal olarak kapalıdır.

Tarski'ye göre çatışkıyı ve dolayısıyla içsel tutarsızlığı ortadan kaldırmanın tek kabul edilebilir yolu, anlamsal olarak kapalı bir dilin kullanımını terk etmektir. Bu yol, elbette, yalnızca dil ve üst dil olarak net bir bölünmeye izin veren yapay, resmileştirilmiş diller söz konusu olduğunda kabul edilebilir. Doğal dillerde, belirsiz yapıları ve her şeyi aynı dilde konuşabilmeleri ile bu yaklaşım çok gerçekçi değildir. Bu dillerin iç tutarlılığı sorusunu gündeme getirmenin bir anlamı yok. Zengin ifade olanaklarının da olumsuz yanları vardır - paradoksları.

Paradoksa diğer çözümler

Yani kendi doğrularından veya yanlışlarından bahseden ifadeler var. Bu tür ifadelerin anlamlı olmadığı fikri çok eskidir. Antik Yunan mantıkçı Chrysippus tarafından savundu.

Orta Çağ'da İngiliz filozof ve mantıkçı W. Ockham, “Her ifade yanlıştır” ifadesinin anlamsız olduğunu, çünkü diğer şeylerin yanı sıra kendi yanlışlığından bahsettiğini belirtti. Bu ifadeden doğrudan bir çelişki çıkmaktadır. Her önerme yanlışsa, önermenin kendisi de yanlıştır; ancak yanlış olması, her önermenin yanlış olmadığı anlamına gelir. Durum, "Her ifade doğrudur" ifadesine benzer. Aynı zamanda anlamsız olarak sınıflandırılmalı ve ayrıca bir çelişkiye yol açmalıdır: eğer her ifade doğruysa, o zaman bu ifadenin kendisinin olumsuzlanması da doğrudur, yani her ifadenin doğru olmadığı ifadesi.

Ancak bir ifade neden kendi doğruluğundan veya yanlışlığından anlamlı bir şekilde söz edemez?

Zaten XIV yüzyılın Fransız filozofu Ockham'ın çağdaşı. J. Buridan kararına katılmadı. Anlamsızlık hakkındaki sıradan fikirler açısından, "Yalan söylüyorum", "Her ifade doğrudur (yanlış)" vb. oldukça anlamlı. Ne düşünebilirsin, ne söyleyebilirsin - Bu, Buridan'ın genel prensibidir. Kişi söylediği sözün doğruluğunu düşünebilir, yani onun hakkında konuşabilir. Kendileriyle ilgili tüm ifadeler anlamsız değildir. Örneğin, "Bu cümle Rusça yazılmıştır" ifadesi doğrudur, ancak "Bu cümlede on kelime vardır" ifadesi yanlıştır. Ve ikisi de mükemmel bir anlam ifade ediyor. Bir ifadenin kendisi hakkında konuşabileceği kabul ediliyorsa, o zaman neden hakikat gibi kendisinin bir özelliği hakkında anlamlı bir şekilde konuşamıyor?

Buridan'ın kendisi "Yalan söylüyorum" ifadesini anlamsız değil, yanlış olarak değerlendirdi. Bunu böyle meşrulaştırdı. Bir kişi bir önermeyi onayladığında, onun doğru olduğunu iddia eder. Cümle kendisi için kendisinin yanlış olduğunu söylüyorsa, o zaman hem doğruluğunu hem de yanlışlığını öne süren daha karmaşık bir ifadenin yalnızca kısaltılmış bir formülasyonudur. Bu ifade çelişkilidir ve bu nedenle yanlıştır. Ama hiçbir şekilde anlamsız değil.

Buridan'ın argümanı hala bazen ikna edici olarak kabul ediliyor.

Tarski tarafından ayrıntılı olarak geliştirilen "Yalancı" paradoksunun çözümüne yönelik başka eleştiriler de var. Anlamsal olarak kapalı dillerde bu tür paradoksların gerçekten bir panzehiri yok mu - ve tüm doğal diller de öyle mi?

Eğer durum böyle olsaydı, o zaman hakikat kavramı ancak resmileştirilmiş dillerde kesin bir şekilde tanımlanabilirdi. Sadece onlarda, insanların çevreleyen dünya hakkında konuştukları nesnel dil ile bu dil hakkında konuştukları üst dil arasında ayrım yapmak mümkündür. Bu dil hiyerarşisi, bir ana dil yardımıyla bir yabancı dilin edinilmesi üzerine modellenmiştir. Böyle bir hiyerarşinin incelenmesi birçok ilginç sonuca yol açtı ve bazı durumlarda bu esastır. Ama doğal dilde yoktur. Onu itibarsızlaştırıyor mu? Ve eğer öyleyse, ne ölçüde? Sonuçta, hakikat kavramı hala içinde ve genellikle herhangi bir komplikasyon olmadan kullanılmaktadır. Yalancı gibi paradoksları ortadan kaldırmanın tek yolu bir hiyerarşi oluşturmak mı?

1930'larda bu soruların yanıtları kuşkusuz olumlu görünüyordu. Bununla birlikte, bu tür paradoksları dili “katmanlaştırarak” ortadan kaldırma geleneği baskın olmasına rağmen, şimdi eski bir oybirliği yoktur.

Son zamanlarda, benmerkezci ifadeler giderek daha fazla dikkat çekiyor. "Ben", "bu", "burada", "şimdi" gibi kelimeler içerirler ve gerçekleri ne zaman, kim tarafından, nerede kullanıldıklarına bağlıdır.

"Bu ifade yanlıştır" ifadesinde "bu" kelimesi geçmektedir. Hangi nesneye atıfta bulunur? "Yalancı", "o" kelimesinin verilen ifadenin anlamına atıfta bulunmadığını gösterebilir. Ama o zaman ne anlama geliyor, ne anlama geliyor? Ve neden bu anlam hâlâ "bu" kelimesiyle ifade edilemiyor?

Burada ayrıntılara girmeden, sadece benmerkezci ifadelerin analizi bağlamında "Yalancı"nın eskisinden tamamen farklı bir içerikle doldurulduğunu belirtmekte fayda var. Artık dil ve üst dilin karıştırılmasına karşı uyarıda bulunmadığı, ancak "bu" kelimesinin ve benzeri benmerkezci kelimelerin yanlış kullanımıyla ilişkili tehlikelere işaret ettiği ortaya çıktı.

Yüzyıllar boyunca "Yalancı" ile ilişkilendirilen meseleler, onun bir muğlaklık örneği olarak mı, yoksa dil ve üst dilin bir karışımı olarak dışa doğru sunulan bir ifade olarak mı yoksa nihayet benmerkezci ifadelerin kötüye kullanılmasının tipik bir örneği. Ve gelecekte başka sorunların bu paradoksla ilişkilendirilmeyeceğine dair bir kesinlik yok.

Tanınmış modern Fin mantıkçı ve filozof H. von Wright, Yalancı üzerine çalışmasında bu paradoksun hiçbir şekilde yaratıcı bir düşünce hareketiyle ortadan kaldırılabilecek yerel, izole bir engel olarak anlaşılmaması gerektiğini yazmıştı. Liar, mantık ve anlambilimdeki en önemli konuların çoğuna değinir. Bu, hakikatin tanımı, çelişki ve delilin yorumu ve bir dizi önemli farktır: bir cümle ile onun ifade ettiği düşünce arasında, bir ifadenin kullanımı ile onun anılması arasında, bir ismin anlamı ile onun ifade ettiği düşünce arasında, bir ismin anlamı ile onun ifade ettiği düşünce arasında. ifade ettiği nesne.

Durum diğer mantıksal paradokslarla benzerdir. Von Wright, "Mantığın çatışkıları, keşiflerinden bu yana bizi şaşırttı ve muhtemelen her zaman kafamızı karıştıracak. Bence onları çözülmeyi bekleyen problemler olarak değil, düşünce için tükenmez hammaddeler olarak görmeliyiz. Bunlar önemlidir çünkü onlar hakkında düşünmek, tüm mantığın ve dolayısıyla tüm düşüncelerin en temel sorularına değinir.”

"Yalancı" hakkındaki bu konuşmanın sonunda, okulda hala formel mantığın öğretildiği zamandan ilginç bir olayı hatırlayabiliriz. 1940'ların sonlarında yayınlanan bir mantık ders kitabında, sekizinci sınıf öğrencilerinden bir ev ödevi olarak - tabiri caizse bir ısınma olarak - bu basit görünen ifadede yapılan hatayı bulmaları istendi: "Yalan söylüyorum." Ve garip görünmemesine izin verin, okul çocuklarının çoğunun böyle bir görevle başarılı bir şekilde başa çıktığına inanılıyordu.

2. Russell paradoksu

Yüzyılımızda keşfedilen paradoksların en ünlüsü, B. Russell tarafından keşfedilen ve onun tarafından G. Ferge'ye bir mektupta iletilen çatışkıdır. Aynı çatışkı, Göttingen'de Alman matematikçiler Z. Zermelo ve D. Hilbert tarafından eşzamanlı olarak tartışıldı.

Fikir havadaydı ve yayınlanması patlayan bir bomba izlenimi yarattı. Hilbert'e göre matematikte bu paradoks, tam bir felaketin etkisine neden oldu. En basit ve en önemli mantıksal yöntemler, en yaygın ve kullanışlı kavramlar tehdit altındadır.

Varlıklarının tüm uzun tarihi boyunca ne mantıkta ne de matematikte çatışkıyı ortadan kaldırmak için bir temel teşkil edebilecek herhangi bir şeyin kesin olarak çözülmediği hemen ortaya çıktı. Açıkça, alışılmış düşünce biçimlerinden bir ayrılma gerekliydi. Ama nereden ve ne yönde? Yerleşik kuramlaştırma yöntemlerinin reddedilmesi ne kadar radikal olmalıydı?

Çatışmanın daha fazla araştırılmasıyla, temelde yeni bir yaklaşıma duyulan ihtiyaç konusundaki inanç giderek arttı. Keşfedilmesinden yarım yüzyıl sonra, mantık ve matematiğin temelleri uzmanları L. Frenkel ve I. Bar-Hillel zaten herhangi bir çekince olmaksızın belirtmişlerdir: Şimdiye kadar her zaman başarısız olan, bu amaç için açıkça yetersizdir.

Modern Amerikalı mantıkçı H. Curry biraz sonra bu paradoks hakkında yazdı: “19. yüzyılda bilinen mantık açısından, durum basitçe açıklamaya meydan okudu, ancak elbette eğitimli çağımızda bunu gören (ya da gören) insanlar olabilir. gördüklerini sanıyorlar), hata nedir?

Orijinal biçimindeki Russell paradoksu, bir küme veya bir sınıf kavramıyla bağlantılıdır.

Örneğin, tüm insanlar kümesi veya doğal sayılar kümesi hakkında farklı nesne kümeleri hakkında konuşabiliriz. İlk kümenin bir elemanı herhangi bir kişi, ikincinin bir elemanı - her doğal sayı olacaktır. Kümeleri de bazı nesneler olarak kabul etmek ve küme kümelerinden bahsetmek de mümkündür. Hatta tüm kümelerin kümesi veya tüm kavramların kümesi gibi kavramlar bile tanıtılabilir.

Sıradan setler

Keyfi olarak alınan herhangi bir küme ile ilgili olarak, kendi elemanı olup olmadığını sormak mantıklı görünüyor. Kendilerini eleman olarak içermeyen kümelere sıradan denir. Örneğin, atomlar kümesinin bir atom olmadığı gibi, tüm insanlar kümesi de bir kişi değildir. Uygun elemanlar olan kümeler olağandışı olacaktır. Örneğin, tüm kümeleri birleştiren bir küme bir kümedir ve bu nedenle kendisini bir öğe olarak içerir.

Şimdi tüm sıradan kümelerin kümesini düşünün. Küme olduğu için sıradan mı yoksa sıra dışı mı olduğu da sorulabilir. Ancak cevap cesaret kırıcı. Sıradan ise, tanım gereği, tüm sıradan kümeleri içerdiğinden, kendisini bir öğe olarak içermesi gerekir. Ancak bu, alışılmadık bir set olduğu anlamına gelir. Kümemizin sıradan bir küme olduğu varsayımı, bu nedenle bir çelişkiye yol açar. Yani normal olamaz. Öte yandan, olağandışı da olamaz: olağandışı bir küme kendisini bir öğe olarak içerir ve kümemizin öğeleri yalnızca sıradan kümelerdir. Sonuç olarak, tüm adi kümeler kümesinin ne adi ne de olağanüstü olamayacağı sonucuna varırız.

Bu nedenle, uygun eleman olmayan tüm kümelerin kümesi, ancak ve ancak böyle bir eleman değilse, uygun bir elemandır. Bu açık bir çelişkidir. Ve en makul varsayımlar temelinde ve tartışılmaz görünen adımların yardımıyla elde edildi.

Çelişki, böyle bir kümenin basitçe var olmadığını söylüyor. Ama neden var olamıyor? Ne de olsa, iyi tanımlanmış bir koşulu karşılayan nesnelerden oluşur ve koşulun kendisi bir şekilde istisnai veya belirsiz görünmüyor. Bu kadar basit ve açık bir şekilde tanımlanmış bir küme var olamazsa, gerçekte mümkün ve imkansız kümeler arasındaki fark nedir? Düşünülen kümenin yokluğu hakkındaki sonuç, kulağa beklenmedik geliyor ve kaygı uyandırıyor. Genel bir küme kavramımızı amorf ve kaotik hale getirir ve bazı yeni paradokslara yol açmayacağının garantisi yoktur.

Russell'ın paradoksu, aşırı genelliği açısından dikkat çekicidir. İnşası için karmaşık teknik kavramlara gerek yoktur, diğer bazı paradokslarda olduğu gibi "küme" ve "kümenin elemanı" kavramları yeterlidir. Ancak bu basitlik sadece temel doğasından bahseder: bazı özel durumlardan değil, genel olarak kümelerden bahsettiği için kümeler hakkındaki akıl yürütmemizin en derin temellerine değinir.

Paradoksun diğer çeşitleri

Russell'ın paradoksu özellikle matematiksel değildir. Küme kavramını kullanır, ancak özellikle matematikle ilişkili herhangi bir özel özelliğe değinmez.

Bu, paradoks tamamen mantıksal terimlerle yeniden formüle edildiğinde ortaya çıkar.

Her özelliğin kendisine uygulanabilir olup olmadığı sorulabilir.

Örneğin, sıcak olma özelliği, kendisi sıcak olmadığı için kendisine uygulanmaz; somut olma özelliği de kendisine gönderme yapmaz, çünkü o soyut bir özelliktir. Ama soyut olma, soyut olma özelliği kendine uygulanabilir. Kendilerine uygulanamayan bu özelliklere uygulanamaz diyelim. Kendine uygulanamaz olma özelliği geçerli midir? Uygulanamazlığın ancak uygulanmadığı takdirde uygulanamaz olduğu ortaya çıkıyor. Bu, elbette, paradoksaldır.

Russell'ın çatışkısının mantıksal, özellik ile ilgili çeşitliliği, matematiksel, küme ile ilgili çeşitlilik kadar paradoksaldır.

Russell ayrıca keşfettiği paradoksun aşağıdaki popüler versiyonunu da önerdi.

Bir köyün konseyinin bir berberin görevlerini şöyle tanımladığını düşünün: Köyün kendini tıraş etmeyen tüm erkeklerini ve sadece bu erkekleri tıraş etmek. Kendini tıraş etmeli mi? Eğer öyleyse, kendini tıraş edenlere atıfta bulunacaktır ve kendini tıraş edenlerin tıraş olmaması gerekir. Değilse, kendini tıraş etmeyenlere ait olacak ve bu nedenle kendini tıraş etmesi gerekecek. Böylece, bu berberin ancak ve ancak kendini traş etmezse kendini traş ettiği sonucuna varıyoruz. Bu, elbette, imkansızdır.

Berber hakkındaki argüman, böyle bir berberin var olduğu varsayımına dayanmaktadır. Ortaya çıkan çelişki, bu varsayımın yanlış olduğu ve tüm bunları tıraş edecek bir köylü olmadığı ve yalnızca kendilerini tıraş etmeyen köylüler olduğu anlamına gelir.

Bir kuaförün görevleri ilk bakışta çelişkili görünmüyor, bu nedenle birinin olamayacağı sonucu biraz beklenmedik görünüyor. Ancak bu sonuç paradoksal değildir. Köy berberinin yerine getirmesi gereken koşul aslında kendi içinde çelişkilidir ve bu nedenle imkansızdır. Bir köyde kendisinden yaşça büyük veya doğmadan önce doğmuş kimse olmaması gibi, bir köyde de böyle bir kuaför olamaz.

Kuaför hakkındaki tartışmaya sözde paradoks denilebilir. Kendi seyrinde, Russell'ın paradoksuna kesinlikle benzer ve onu ilginç kılan da budur. Ama yine de gerçek bir paradoks değil.

Aynı sözde paradoksun başka bir örneği de iyi bilinen katalog argümanıdır.

Belirli bir kütüphane, tüm bunları ve yalnızca kendilerine referanslar içermeyen bibliyografik katalogları içerecek bir bibliyografik katalog derlemeye karar verdi. Böyle bir dizin kendisine bir bağlantı içermeli mi?

Böyle bir katalog oluşturma fikrinin mümkün olmadığını göstermek kolaydır; basitçe var olamaz, çünkü aynı anda kendisine bir göndermeyi içermeli ve içermemelidir.

Kendilerine referans içermeyen tüm dizinleri kataloglamanın sonsuz, hiç bitmeyen bir süreç olarak düşünülebileceğini belirtmek ilginçtir. Diyelim ki bir noktada, kendilerine referanslar içermeyen diğer tüm dizinler dahil olmak üzere K1 gibi bir dizin derlendi. K1'in yaratılmasıyla birlikte, kendisine bir bağlantı içermeyen başka bir dizin ortaya çıktı. Amaç, kendinden bahsetmeyen tüm dizinlerin eksiksiz bir kataloğunu çıkarmak olduğundan, K1'in çözüm olmadığı açıktır. Bu dizinlerden birinden bahsetmiyor - kendisinden. K1'de kendisinden bahsetmesi de dahil olmak üzere K2 kataloğunu alıyoruz. K1'den bahseder, ancak K2'nin kendisinden bahsetmez. K2'ye böyle bir söz eklendiğinde, kendisinden bahsetmediği için yine tamamlanmayan KZ'yi elde ederiz. Ve bitmeden.

3. Grelling ve Berry Paradoksları

Alman mantıkçılar K. Grelling ve L. Nelson (Grelling'in paradoksu) tarafından ilginç bir mantıksal paradoks keşfedildi. Bu paradoks çok basit bir şekilde formüle edilebilir.

Otolojik ve heterolojik kelimeler

Özellikleri ifade eden bazı kelimeler, adlandırdıkları özelliklere sahiptir. Örneğin, "Rusça" sıfatının kendisi Rusça'dır, "çok heceli" kendisi çok hecelidir ve "beş heceli" sıfatının kendisi beş hecelidir. Kendilerine atıfta bulunan bu tür kelimelere öz-anlamlı veya otolojik denir.

Bu kadar çok kelime yoktur, sıfatların büyük çoğunluğu isimlendirdiği özelliklere sahip değildir. "Yeni" elbette yeni değildir, "sıcak" sıcaktır, "tek heceli" tek hecelidir ve "İngilizce" İngilizcedir. Belirttikleri özelliğe sahip olmayan kelimelere takma ad veya heterolojik denir. Açıktır ki, kelimelere uygulanamayan özellikleri ifade eden tüm sıfatlar heterolojik olacaktır.

Sıfatların bu iki gruba ayrılması açık ve sakıncalı görünmektedir. İsimlere genişletilebilir: "kelime" bir kelimedir, "isim" bir isimdir, ancak "saat" bir saat değildir ve "fiil" bir fiil değildir.

Soru sorulur sorulmaz bir paradoks ortaya çıkar: "heterolojik" sıfatının kendisi iki gruptan hangisine aittir? Otolojik ise, belirlediği özelliğe sahiptir ve heterolojik olmalıdır. Heterolojik ise, çağırdığı özelliğe sahip değildir ve bu nedenle otolojik olmalıdır. Bir paradoks var.

Bu paradoksa benzeterek, aynı yapıdaki diğer paradoksları formüle etmek kolaydır. Örneğin, intihar etmeyen her insanı öldüren ve intihara meyilli hiç kimseyi öldürmeyen intihara meyilli bir insan mıdır, değil midir?

Grellig'in paradoksunun Orta Çağ'da kendisini adlandırmayan bir ifadenin çatışkı olarak bilindiği ortaya çıktı. Yanıt gerektiren ve hararetli tartışmalara neden olan sorun birdenbire unutulup ancak beş yüz yıl sonra yeniden keşfedildiyse, modern zamanlarda safsatalara ve paradokslara karşı tutumun nasıl olacağı düşünülebilir!

Dışa doğru basit bir başka antinomi, yüzyılımızın en başında D. Berry tarafından belirtildi.

Doğal sayılar kümesi sonsuzdur. Bu sayıların, örneğin Rus dilinde mevcut olan ve diyelim ki yüzden az kelime içeren bu isimlerin kümesi sonludur. Bu, Rusça'da yüzden az kelimeden oluşan isimleri olmayan doğal sayıların olduğu anlamına gelir. Bu sayılar arasında en küçük sayı olduğu açıktır. Yüz kelimeden daha az kelime içeren bir Rusça ifade ile çağrılamaz. Ancak, "Karmaşık adının Rusça'da bulunmadığı, yüz kelimeden daha az olan en küçük doğal sayı" ifadesi sadece bu sayının adıdır! Bu isim Rusça olarak yeni formüle edilmiştir ve sadece on dokuz kelime içermektedir. Açık bir paradoks: adlandırılmış sayının, adı olmayan bir sayı olduğu ortaya çıktı!

4. Çözülemez anlaşmazlık

Ünlü bir paradoksun kalbinde, iki bin yıldan daha uzun bir süre önce gerçekleşmiş ve bugüne kadar unutulmamış küçük bir olay gibi görünen şey yatar.

5. yüzyılda yaşamış ünlü sofist Protagoras. M.Ö. Euathlus adında hukuk okuyan bir öğrenci vardı. Aralarında yapılan anlaşmaya göre Euathlus, ancak ilk davasını kazanırsa eğitim için ödeme yapmak zorundaydı. Bu süreci kaybederse, hiçbir şekilde ödeme yapmak zorunda değildir. Ancak Evatl, çalışmalarını tamamladıktan sonra süreçlere katılmadı. Oldukça uzun sürdü, öğretmenin sabrı tükendi ve öğrencisine dava açtı. Böylece Euathlus için bu ilk denemeydi. Protagoras talebini şu şekilde doğruladı:

“Mahkemenin kararı ne olursa olsun, Euathlus bana ödemek zorunda kalacak. Ya ilk davasını kazanacak ya da kaybedecek. Kazanırsa, sözleşmemiz gereği ödeyecek. Kaybederse bu karara göre ödeme yapacak.

Görünüşe göre Euathlus, Protagoras'a cevap verdiği gibi yetenekli bir öğrenciydi:

- Gerçekten de, süreci ya kazanırım ya da kaybederim. Kazanırsam, mahkeme kararı beni ödeme yükümlülüğünden kurtaracak. Mahkeme kararı lehte olmazsa, ilk davamı kaybettim ve sözleşmemiz gereği ödeme yapmayacağım.

Protagoras ve Euathlus Paradoksuna Çözümler

Meselenin bu dönüşünden dolayı kafası karışan Protagoras, Euathlus ile olan bu anlaşmazlığa "Ödeme Davası" adlı özel bir makale ayırdı. Ne yazık ki, Protagoras tarafından yazılanların çoğu gibi bize ulaşmadı. Bununla birlikte, özel bir çalışmayı hak eden basit bir adli olayın ardındaki sorunu hemen sezen Protagoras'a haraç ödemek gerekir.

Kendisi de eğitimli bir hukukçu olan G. Leibniz de bu tartışmayı ciddiye aldı. "Hukukta Karmaşık Davaların İncelenmesi" adlı doktora tezinde, Protagoras ve Euathlus davaları gibi en karmaşık olanlar bile tüm davaların sağduyu temelinde doğru bir çözüm bulması gerektiğini kanıtlamaya çalıştı. Leibniz'e göre, mahkeme Protagoras'ı zamansız bir talepte bulunması nedeniyle reddetmeli, ancak ona daha sonra, yani kazandığı ilk süreçten sonra Evatl'dan para ödemesini talep etme hakkını bırakmalıdır.

Bu paradoksa başka birçok çözüm önerildi.

Özellikle, bir mahkeme kararının iki kişi arasındaki özel bir anlaşmadan daha güçlü olması gerektiğine atıfta bulundular. Bu anlaşma olmadan, ne kadar önemsiz görünse de, ne mahkeme ne de kararı olmaz denilebilir. Sonuçta, mahkeme kararını tam olarak vesilesiyle ve temelinde vermelidir.

Ayrıca her işin ve dolayısıyla Protagoras'ın eserinin ödenmesi gerektiği genel ilkesine de başvurdular. Ancak bu ilkenin, özellikle köle sahibi bir toplumda her zaman istisnaları olduğu bilinmektedir. Ayrıca, anlaşmazlığın özel durumu için geçerli değildir: sonuçta, Protagoras, yüksek düzeyde bir eğitimi garanti ederek, öğrencisinin ilk süreçte başarısız olması durumunda ödemeyi kabul etmeyi reddetmiştir.

Bazen böyle konuşurlar. Hem Protagoras hem de Euathlus kısmen haklıdır ve ikisi de genel olarak haklı değildir. Her biri, kendisine faydalı olan olasılıkların sadece yarısını hesaba katar. Tam veya kapsamlı değerlendirme, dört olasılığın önünü açar; bunlardan yalnızca yarısı, tartışmacılardan biri için faydalıdır. Bu olasılıklardan hangisinin gerçekleştiğine mantık tarafından değil, yaşam karar verecektir. Hakimlerin kararının sözleşmeden daha fazla etkisi olacaksa, Euathl sadece süreci kaybederse, yani. mahkeme kararı ile. Ancak, özel bir anlaşma yargıçların kararından daha yüksek bir yere yerleştirilirse, Protagoras yalnızca sürecin Evatlus'a kaptırılması durumunda ödeme alacaktır, yani. Protagoras ile bir anlaşma sayesinde.

Hayata olan bu çağrı, sonunda her şeyi karıştırır. Tüm ilgili koşulların tamamen açık olduğu koşullarda yargıçlara mantık değilse ne rehberlik edebilir? Ve mahkeme yoluyla ödeme talep eden Protagoras, bunu ancak süreci kaybederek başarırsa nasıl bir liderlik olacak?

Ancak, Leibniz'in ilk başta inandırıcı görünen çözümü, mantık ve yaşamın belirsiz karşıtlığından biraz daha iyidir. Özünde, Leibniz sözleşmenin metnini geriye dönük olarak değiştirmeyi önerir ve Euathlus'u ilgilendiren ve sonucu ödeme meselesine karar verecek ilk davanın Protagoras'ın davası olmaması gerektiğini şart koşar. Bu düşünce derindir, ancak belirli bir mahkemeyle ilgili değildir. Orijinal sözleşmede böyle bir madde olsaydı, dava açılmasına hiç gerek kalmazdı.

Bu zorluğun çözümüyle Euathlus'un Protagoras'a ödeme yapıp yapmaması gerektiği sorusunun cevabını anlıyorsak, o zaman tüm bunlar, diğer tüm makul çözümler gibi, elbette, savunulamaz. Anlaşmazlığın özünden ayrılmaktan başka bir şey değiller, tabiri caizse, umutsuz ve çözümsüz bir durumda sofistike hileler ve kurnazlar. Çünkü ne sağduyu ne de toplumsal ilişkilere ilişkin genel ilkeler bu anlaşmazlığı çözemez.

Mahkemenin kararı ne olursa olsun, sözleşmeyi orijinal haliyle ve mahkeme kararıyla birlikte yürütmek mümkün değildir. Bunu kanıtlamak için basit mantık araçları yeterlidir. Aynı şekilde, antlaşmanın tamamen masum görünümüne rağmen kendi içinde çelişkili olduğu da gösterilebilir. Mantıken imkansız bir önermenin gerçekleşmesini gerektirir: Euathlus hem eğitim için ödeme yapmalı hem de ödememelidir.

Çıkmaza yol açan kurallar

Yalnızca gücüne değil, esnekliğine ve hatta becerikliliğine de alışmış insan zihni, bu mutlak umutsuzlukla uzlaşmakta ve bir çıkmaza sürüklendiğini kabul etmekte elbette güçlük çekiyor. Bu, özellikle çıkmaz zihnin kendisi tarafından yaratıldığında zordur: tabiri caizse, aniden tökezler ve kendi ağlarına düşer. Bununla birlikte, bazen ve bu arada, çok nadir olmayan, kendiliğinden oluşan veya bilinçli olarak getirilen anlaşmaların ve kural sistemlerinin, çözümsüz, umutsuz durumlara yol açtığını kabul etmek gerekir.

Yakın zamandaki satranç hayatından bir örnek bu fikri bir kez daha doğrulayacaktır.

Satranç müsabakaları için uluslararası kurallar, satranç oyuncularının oyun hareketlerini açık ve okunaklı bir şekilde kaydetmelerini zorunlu kılar. Yakın zamana kadar, kurallar ayrıca zaman yetersizliğinden dolayı birkaç hamlenin kaydını kaçıran bir satranç oyuncusunun "zaman sıkıntısı biter bitmez hemen formunu doldurması, kaçırdığı hamleleri yazması" gerektiğini belirtiyordu. Bu talimata istinaden 1980 Satranç Olimpiyatı'nda (Malta) bir yargıç, zor zamanlar geçirmekte olan oyunu durdurmuş ve saati durdurmuş, kontrol hamlelerinin yapıldığını ve bu nedenle sıranın geldiğini bildirmiştir. Oyunların kayıtları sırayla.

“Ama özür dilerim,” diye haykırdı, kaybetmenin eşiğinde olan ve oyunun sonunda yalnızca tutkuların yoğunluğuna güvenen katılımcı, “sonuçta henüz tek bir bayrak düşmedi ve hiç kimse (olduğu gibi) kurallarda da yazıyor) kaç hamle yapıldığını söyleyebilir.

Ancak başhakem başhakem tarafından desteklendi ve gerçekten de zaman sıkıntısı sona erdiğinden, kuralların harfine göre kaçırılan hamleleri kaydetmeye başlamanın gerekli olduğunu söyledi.

Bu durumda tartışmak anlamsızdı: kuralların kendisi bir çıkmaza yol açtı. Geriye sadece, gelecekte benzer durumların ortaya çıkmaması için ifadelerini değiştirmek kaldı.

Bu, aynı zamanda gerçekleşen Uluslararası Satranç Federasyonu kongresinde yapıldı: "Zaman sıkıntısı biter bitmez" kelimeleri yerine, kurallar artık şöyle diyor: "bayrak sonu gösterir göstermez zamanın".

Bu örnek, kilitlenme durumlarıyla nasıl başa çıkılacağını açıkça göstermektedir. Hangi tarafın haklı olduğunu tartışmak işe yaramaz: anlaşmazlık çözülmez ve içinde kazanan olmayacak. Geriye sadece bugünle uzlaşmak ve geleceği korumak kalıyor. Bunu yapmak için, orijinal anlaşmaları veya kuralları, başka hiç kimseyi aynı umutsuz duruma sürüklemeyecek şekilde yeniden formüle etmeniz gerekir.

Elbette böyle bir hareket tarzı, çözümsüz bir anlaşmazlığın çözümü veya umutsuz bir durumdan çıkış yolu değildir. Daha çok aşılmaz bir engelin ve etrafındaki yolun önünde bir duraktır.

Paradoks "timsah ve anne"

Antik Yunanistan'da, bir timsah ve bir annenin hikayesi çok popülerdi ve mantıksal içeriği "Protagoras ve Euathlus" paradoksuna denk geliyordu.

Timsah, nehir kıyısında duran Mısırlı bir kadından çocuğunu kaptı. Çocuğu iade etme çağrısına timsah, her zamanki gibi bir timsah gözyaşı dökerek cevap verdi:

“Senin talihsizliğin beni etkiledi ve sana çocuğunu geri alman için bir şans vereceğim. Bakalım sana verip vermeyeceğim. Doğru cevap verirsen çocuğu iade edeceğim. Tahmin edemezsen, geri vermeyeceğim.

Anne düşünerek cevap verdi:

Bebeği bana vermeyeceksin.

"Anlamayacaksın," diye bitirdi timsah. Ya doğruyu söyledin ya da söylemedin. Çocuğu bırakmayacağım doğruysa, ondan vazgeçmeyeceğim çünkü aksi halde bu doğru olmayacak. Söylenenler doğru değilse, o zaman tahmin etmediniz ve çocuğa anlaşarak vermeyeceğim.

Ancak bu akıl yürütme anneye pek inandırıcı gelmedi.

- Ama doğruyu söylersem, anlaştığımız gibi çocuğu bana vereceksin. Çocuğu vermeyeceğinizi tahmin etmediysem, o zaman bana vermelisiniz, yoksa söylediklerim doğru olmaz.

Kim haklı: anne mi timsah mı? Timsah'a verilen söz neyi gerektirir? Çocuğu vermek için mi, yoksa tam tersine vermemek için mi? Ve ikisine de aynı anda. Bu vaat kendi içinde çelişkilidir ve bu nedenle mantık yasaları gereği yerine getirilemez.

Misyoner kendini yamyamlarla buldu ve akşam yemeği için tam zamanında geldi. Nasıl yeneceğini seçmesine izin verdiler. Bunu yapmak için, bu söz doğru çıkarsa onu pişirecek, yanlış çıkarsa kızartacakları şartıyla bir söz söylemelidir.

Misyoner ne demeli?

Tabii ki, "Beni kızartacaksın" demeli.

Gerçekten kızarmışsa, doğruyu söylediği ortaya çıkacak ve bu nedenle kaynatılması gerekiyor. Haşlanırsa ifadesi yanlış olur ve sadece kızartılması gerekir. Yamyamların hiçbir çıkış yolu olmayacak: “kızartma” dan “pişirme” yi takip eder ve bunun tersi de geçerlidir.

Kurnaz misyonerin bu bölümü, elbette, Protagoras ile Euathlus arasındaki anlaşmazlığın başka bir ifadesidir.

Sancho Panza'nın Paradoksu

Antik Yunanistan'da bilinen eski bir paradoks, M. Cervantes tarafından Don Kişot'ta oynanır. Sancho Panza, Barataria adasının valisi oldu ve mahkemeyi yönetiyor.

Ona ilk gelen bir ziyaretçidir ve şöyle der: “Kıdemli, belirli bir mülk derin bir nehir tarafından ikiye bölünür... Böylece, bu nehir üzerine bir köprü atıldı ve tam orada kenarda bir darağacı duruyor ve genellikle dört kişinin oturduğu bir mahkeme gibi bir şey var. hakimler ve nehir, köprü ve tüm mülkün sahibi tarafından çıkarılan bir yasaya göre yargılıyorlar, bu yasa bu şekilde hazırlanıyor: ve kim yalan söylerse, hiç çekinmeden onları orada bulunan darağacına gönderip infaz edin. Bu yasanın tüm şiddetiyle ilan edildiği andan itibaren, birçok kişi köprüyü geçmeyi başardı ve yargıçlar, yoldan geçenlerin doğruyu söylediğine ikna olur olmaz, geçmelerine izin verdiler. Ama sonra bir gün yeminli bir adam yemin etti ve şöyle dedi: Bu darağacına asılmak için geldiğine yemin ediyor, başka bir şey için değil. Bu yemin yargıçların kafasını karıştırdı ve dediler ki: “Bu adamın engelsiz çalışmasına izin verilirse, bu onun yemini çiğnediği ve yasaya göre ölüme mahkum olduğu anlamına gelir; eğer onu asarsak, o zaman sadece bu darağacına asılmak için geldiğine yemin etti, bu nedenle yemininin yanlış olmadığı ve aynı yasaya dayanarak geçmesine izin verilmesi gerekiyor. Bu yüzden size soruyorum sayın vali, yargıçlar bu adama ne yapsınlar, çünkü hala şaşkın ve tereddütlüler...

Sancho, belki de kurnazca, doğruyu söyleyenin yarısının geçmesine izin verilmesini ve yalan söyleyenin asılması gerektiğini ve bu şekilde köprüyü geçme kurallarına her şekilde uyulacağını önerdi. Bu pasaj birkaç açıdan ilginçtir.

Her şeyden önce, paradoksta anlatılan umutsuz durumla - ve salt teoride değil, pratikte - gerçek bir kişi değilse, en azından bir edebi kahramanla karşı karşıya kalabileceğinin açık bir örneğidir.

Sancho Panza'nın önerdiği çıkış yolu elbette paradoksa bir çözüm değildi. Ancak bu, yalnızca onun konumunda başvurulması gereken bir çözümdü.

Bir zamanlar Büyük İskender, henüz kimsenin başaramadığı kurnaz Gordian düğümünü çözmek yerine, basitçe keser. Sancho da aynısını yaptı. Bulmacayı kendi şartlarına göre çözmeye çalışmak yararsızdı - tek kelimeyle çözülemezdi. Geriye bu koşulları atmak ve kendinizinkini tanıtmak kaldı.

Ve bir an. Bu bölümle Cervantes, skolastik mantığın ruhuna nüfuz etmiş olan ortaçağ adaletinin aşırı biçimsel ölçeğini açıkça mahkûm ediyor. Ama onun zamanında - ve bu yaklaşık dört yüz yıl önceydi - mantık alanından gelen bilgiler ne kadar yaygındı! Bu paradoksu sadece Cervantes bilmiyor. Yazar, okuma yazma bilmeyen bir köylü olan kahramanına, çözümsüz bir görevle karşı karşıya olduğunu anlama yeteneğini atfetmeyi mümkün buluyor!

5. Diğer paradokslar

Yukarıdaki paradokslar, sonucu bir çelişki olan argümanlardır. Ama mantıkta başka tür paradokslar da var. Ayrıca bazı zorluklara ve sorunlara işaret ediyorlar, ancak bunu daha az sert ve tavizsiz bir şekilde yapıyorlar. Aşağıda tartışılan paradokslar özellikle bunlardır.

Kesin olmayan kavramların paradoksları

Sadece doğal dilin değil, aynı zamanda bilimin dilinin de kavramlarının çoğu yanlıştır veya aynı zamanda denildiği gibi bulanıktır. Çoğu zaman bu, yanlış anlaşılmaların, anlaşmazlıkların nedeni olarak ortaya çıkıyor ve hatta sadece kilitlenmelere yol açıyor.

Konsept yanlışsa, uygulanabilir olduğu nesnelerin alanının sınırı netlikten yoksundur, bulanıktır. Örneğin, "yığın" kavramını ele alalım. Bir tane (bir kum tanesi, bir taş vb.) henüz bir yığın değildir. Bin tane tahıl zaten belli ki bir demet. Ve üç tahıl? Ve on? Bir yığın oluşturmak için kaç tane tahıl eklenir? Çok temiz değil. Aynı şekilde hangi tahılın çıkarılmasıyla yığının ortadan kalktığı da netlik kazanmaz.

"Büyük", "ağır", "dar" vb.'nin ampirik özellikleri yanlıştır. "Bilge adam", "at", "ev" vb. gibi sıradan kavramlar kesin değildir.

Hiçbir kum tanesi yok ki, kaldırıldığında, kaldırılmasıyla geriye kalanların artık ev olarak adlandırılamayacağını söyleyebiliriz. Ama sonuçta bu, evin kademeli olarak sökülmesinin hiçbir noktasında - tamamen ortadan kalkmasına kadar - evin olmadığını ilan etmek için hiçbir neden olmadığı anlamına geliyor! Sonuç açıkça paradoksal ve cesaret kırıcı.

Bir yığın oluşturmanın imkansızlığı hakkındaki argümanın, iyi bilinen matematiksel tümevarım yöntemi kullanılarak gerçekleştirildiğini görmek kolaydır. Bir tane bir yığın oluşturmaz. n tane yığın oluşturmuyorsa, n+1 tane yığın oluşturmuyor. Bu nedenle, hiçbir sayıda tane yığın oluşturamaz.

Bu ve benzeri delillerin absürt sonuçlara varma olasılığı, matematiksel tümevarım ilkesinin sınırlı bir kapsamı olduğu anlamına gelir. Yanlış, belirsiz kavramlarla akıl yürütmede kullanılmamalıdır.

Bu kavramların nasıl çözülemez anlaşmazlıklara yol açabileceğine iyi bir örnek, 1927'de Amerika Birleşik Devletleri'nde gerçekleşen ilginç bir davadır. Heykeltıraş C. Brancusi, eserlerinin sanat eseri olarak tanınmasını talep ederek mahkemeye gitti. Sergi için New York'a gönderilen eserler arasında, artık soyut üslubun bir klasiği olarak kabul edilen "Kuş" heykeli de yer aldı. Yaklaşık bir buçuk metre yüksekliğinde, bir kuşa dışsal bir benzerliği olmayan, modüle edilmiş bir cilalı bronz sütundur. Gümrük memurları, Brancusi'nin soyut eserlerini sanat eseri olarak tanımayı kategorik olarak reddettiler. Bunları "Metal Hastane ve Ev Gereçleri" başlığı altına sokup ağır gümrük vergisi koydular. Öfkelenen Brancusi dava açtı.

Gümrük, sanatta geleneksel yöntemleri savunan Ulusal Akademi üyeleri olan sanatçılar tarafından desteklendi. Duruşmada savunma için tanık olarak hareket ettiler ve kategorik olarak "Kuşu" bir sanat eseri olarak gösterme girişiminin sadece bir aldatmaca olduğu konusunda ısrar ettiler.

Bu çatışma, "sanat eseri" kavramıyla çalışmanın zorluğunu canlı bir şekilde vurgular. Heykel geleneksel olarak bir güzel sanat biçimi olarak kabul edilir. Ancak heykelsi görüntünün orijinaline benzerlik derecesi çok geniş sınırlar içinde değişebilir. Ve orijinalden giderek uzaklaşan heykelsi bir görüntü hangi noktada bir sanat eseri olmaktan çıkar ve bir "metal kap" haline gelir? Bu soruyu yanıtlamak, bir ev ile yıkıntıları arasındaki sınırın nerede olduğu, kuyruklu bir at ile kuyruksuz bir at arasındaki sınırın nerede olduğu sorusu kadar zordur. Bu arada, modernistler genellikle heykelin ifade biçiminin bir nesnesi olduğuna ve bir görüntü olması gerekmediğine ikna olmuşlardır.

Kesin olmayan kavramların ele alınması bu nedenle belirli bir miktarda dikkat gerektirir. Onlardan tamamen kaçınmak daha iyi olmaz mıydı?

Alman filozof E. Husserl, matematikte bile bulunmayan bilgiden böylesine aşırı bir titizlik ve kesinlik talep etme eğilimindeydi. Bununla bağlantılı olarak, Husserl'in biyografileri, çocukluğunda başına gelen bir olayı ironiyle hatırlıyorlar. Kendisine bir çakı verildi ve bıçağı olabildiğince keskin yapmaya karar vererek, bıçaktan hiçbir şey kalmayana kadar keskinleştirdi.

Birçok durumda kesin olmayan kavramlara daha kesin kavramlar tercih edilir. Kullanılan kavramları açıklığa kavuşturma arzusu oldukça haklı. Ama elbette sınırları da olmalı. Bilim dilinde bile kavramların önemli bir kısmı yanlıştır. Ve bu, bireysel bilim adamlarının öznel ve rastgele hatalarıyla değil, bilimsel bilginin doğasıyla bağlantılıdır. Doğal dilde, kesin olmayan kavramlar ezicidir; bu, diğer şeylerin yanı sıra esnekliğinden ve gizli gücünden bahseder. Tüm kavramlardan en üst düzeyde kesinlik talep eden herkes, tamamen dilsiz kalma riskiyle karşı karşıyadır. Fransız estetisyen J. Joubert, “Kelimeleri herhangi bir belirsizlikten, herhangi bir belirsizlikten mahrum edin” diye yazdı, “onları tek haneli rakamlara çevirin - oyun konuşmayı ve onunla birlikte konuşma ve şiiri bırakacak: mobil ve değişken olan her şey. ruhun sevgileri, ifadesini bulamaz. Ama ne diyorum: mahrum et ... Daha fazlasını söyleyeceğim. Kelimeyi herhangi bir yanlışlıktan mahrum bırakın - aksiyomları bile kaybedersiniz.

Uzun bir süre hem mantıkçılar hem de matematikçiler bulanık kavramlar ve bunlara karşılık gelen kümelerle ilgili zorluklara dikkat etmediler. Soru şu şekilde sorulmuştur: kavramlar kesin olmalıdır ve belirsiz olan herhangi bir şey ciddi bir ilgiye değmez. Ancak son yıllarda bu aşırı katı tutum çekiciliğini yitirdi. Mantıksal teoriler, özellikle yanlış kavramlarla akıl yürütmenin benzersizliğini hesaba katan inşa edilir.

Belirsiz bir şekilde tanımlanmış nesne koleksiyonları olan bulanık kümelerin matematiksel teorisi aktif olarak gelişmektedir.

Yanlışlık problemlerinin analizi, mantığı sıradan düşünme pratiğine yaklaştırmaya yönelik bir adımdır. Ve bunun çok daha ilginç sonuçlar getireceğini varsayabiliriz.

Endüktif mantığın paradoksları

Belki de kendi paradoksları olmayan hiçbir mantık bölümü yoktur.

Endüktif mantığın, aktif olarak, ancak şimdiye kadar pek başarılı olamayan, neredeyse yarım yüzyıldır mücadele edilen kendi paradoksları vardır. Özellikle ilgi çekici olan, Amerikalı filozof K. Hempel tarafından keşfedilen doğrulama paradoksu. Genel önermelerin, özellikle bilimsel yasaların, olumlu örnekleriyle doğrulandığını düşünmek doğaldır. Diyelim ki, "Tüm A B'dir" önermesi dikkate alınırsa, olumlu örnekleri A ve B özelliklerine sahip nesneler olacaktır. Özellikle, "Tüm kuzgunlar siyahtır" önermesinin destekleyici örnekleri, hem kuzgun hem de kuzgun olan nesnelerdir. siyah. Ancak bu ifade, "Siyah olmayan her şey karga değildir" ifadesiyle eşdeğerdir ve ikincisinin teyidi aynı zamanda birincisinin teyidi olmalıdır. Ancak "Her şey siyah değildir" karga olmayan siyah olmayan bir nesnenin her durumu tarafından doğrulanır. Bu nedenle, "İnek beyaz", "Ayakkabılar kahverengi" vb. "Bütün kargalar siyahtır" ifadesini onaylayın.

Görünüşte masum öncüllerden beklenmedik bir paradoksal sonuç çıkar.

Normların mantığında, bir dizi yasa endişeye neden olur. Anlamlı terimlerle formüle edildiklerinde, olağan doğru ve yanlış kavramlarıyla tutarsızlıkları ortaya çıkar. Örneğin, kanunlardan biri "Mektup gönder!" emrinden diyor. “Mektubu gönder ya da yak!” emri gelir.

Başka bir yasa, bir kişi görevlerinden birini ihlal ederse, istediğini yapma hakkına sahip olduğunu belirtir. Mantıksal sezgimiz bu tür "zorunluluk yasaları"na katlanmak istemez.

Bilgi mantığında, mantıksal her şeyi bilme paradoksu yoğun bir şekilde tartışılmaktadır. Bir kişinin aldığı pozisyonlardan kaynaklanan tüm mantıksal sonuçları bildiğini iddia ediyor. Örneğin, bir kişi Öklid geometrisinin beş postülatını biliyorsa, bu nedenle, onlardan çıktığı için tüm bu geometriyi bilir. Ama değil. Bir kişi varsayımlarla hemfikir olabilir ve aynı zamanda Pisagor teoremini kanıtlayamayabilir ve bu nedenle genellikle doğru olduğundan şüphe duyabilir.

6. Mantıksal bir paradoks nedir

Mantıksal paradoksların kapsamlı bir listesi yoktur ve bu imkansızdır.

Dikkate alınan paradokslar, şimdiye kadar keşfedilenlerin sadece bir kısmı. Gelecekte birçok başka paradoks ve hatta bunların tamamen yeni türlerinin keşfedilmesi muhtemeldir. Bir paradoks kavramının kendisi o kadar kesin değildir ki, en azından halihazırda bilinen paradoksların bir listesini derlemek mümkün olacaktır.

Avusturyalı matematikçi ve mantıkçı K. Gödel, "Küme-teorik paradokslar matematik için değil, daha çok mantık ve epistemoloji için çok ciddi bir problemdir" diye yazıyor. "Mantık tutarsız. Mantıksal paradokslar yoktur” diyor matematikçi D. Bochvar. Bu tür tutarsızlıklar bazen önemli, bazen sözlü olabilir. Mesele büyük ölçüde mantıksal bir paradoksla tam olarak ne kastedildiğidir.

Mantıksal paradoksların özelliği

Mantıksal paradoksların gerekli bir özelliği mantıksal sözlüktür.

Mantıksal olan paradokslar mantıksal terimlerle formüle edilmelidir. Bununla birlikte, mantıkta, terimleri mantıksal ve mantıksal olmayan olarak ayırmak için net bir kriter yoktur. Akıl yürütmenin doğruluğu ile ilgilenen mantık, pratik olarak uygulanan sonuçların doğruluğunun bağlı olduğu kavramları en aza indirmeye çalışır. Ancak bu minimum, açık bir şekilde önceden belirlenmemiştir. Ek olarak, mantıksal olmayan ifadeler de mantıksal terimlerle formüle edilebilir. Belirli bir paradoksun yalnızca salt mantıksal öncülleri kullanıp kullanmadığını kesin olarak belirlemek her zaman mümkün değildir.

Mantıksal paradokslar diğer tüm paradokslardan katı bir şekilde ayrılmazlar, tıpkı paradoksal olmayan ve hakim fikirlerle tutarlı olan her şeyden açıkça ayırt edilmedikleri gibi.

Mantıksal paradokslarla ilgili çalışmanın başlangıcında, bunların henüz keşfedilmemiş bazı konumların veya mantık kurallarının ihlaliyle ayırt edilebilecekleri görülüyordu. B. Russell tarafından ortaya atılan kısır döngü ilkesi, böyle bir kuralın rolünü talep etmede özellikle etkindi. Bu ilke, bir nesne koleksiyonunun yalnızca aynı koleksiyon tarafından tanımlanan üyeleri içeremeyeceğini belirtir.

Tüm paradoksların ortak bir yanı vardır - kendi kendine uygulanabilirlik veya döngüsellik. Her birinde, söz konusu nesne, kendisinin ait olduğu bir dizi nesne ile karakterize edilir. Örneğin, en kurnaz kişiyi seçersek, bunu, bu kişinin ait olduğu bir insan popülasyonunun yardımıyla yaparız. Ve eğer "Bu ifade yanlıştır" dersek, bizi ilgilendiren ifadeyi, onu içeren tüm yanlış ifadelerin toplamına atıfta bulunarak karakterize ederiz.

Tüm paradokslarda, kavramların kendi kendine uygulanabilirliği vardır; bu, bir daire içinde, sonunda başlangıç noktasına giden bir hareket olduğu anlamına gelir. İlgilendiğimiz nesneyi karakterize etme çabasıyla, onu içeren nesneler kümesine dönüyoruz. Ancak, kesinliği için, kendisinin söz konusu nesneye ihtiyacı olduğu ve onsuz açıkça anlaşılamayacağı ortaya çıkıyor. Bu çemberde, belki de paradoksların kaynağı yatıyor.

Bununla birlikte, tamamen paradoksal olmayan birçok argümanda böyle bir döngünün var olması gerçeğiyle durum karmaşıktır. Dairesel, en yaygın, zararsız ve aynı zamanda uygun ifade yollarının çok çeşitlidir. “Tüm şehirlerin en büyüğü”, “tüm doğal sayıların en küçüğü”, “demir atomunun elektronlarından biri” vb. gibi örnekler, her kendi kendine uygulanabilirlik durumunun bir çelişkiye yol açmadığını ve bunun bir çelişkiye yol açmadığını göstermektedir. sadece günlük dilde değil, bilim dilinde de önemlidir.

İhlal edilmesi tüm mantıksal paradoksların ayırt edici bir özelliği olacak belirli bir mantık ilkesi bulma girişimi, kesin bir şeye yol açmadı.

Ramsey'e göre birinci grubun paradoksları sadece mantığa veya matematiğe ait kavramları içerir. İkincisi, "gerçek", "tanımlanabilirlik", "adlandırma", "dil" gibi kesinlikle matematiksel olmayan, daha çok dilbilim ve hatta bilgi teorisi ile ilgili kavramları içerir. Semantik paradokslar, görünüşlerini mantıktaki bir hataya değil, bazı mantıksal olmayan kavramların belirsizliğine veya belirsizliğine borçlu gibi görünmektedir, bu nedenle ortaya koydukları problemler dil ile ilgilidir ve dilbilim tarafından çözülmelidir.

Ramsey'e göre matematikçilerin ve mantıkçıların anlamsal paradokslarla ilgilenmeleri gerekmiyordu. Ancak daha sonra, modern mantığın en önemli sonuçlarından bazılarının, tam olarak bu mantıksal olmayan paradoksların daha derin bir incelemesiyle bağlantılı olarak elde edildiği ortaya çıktı.

Ramsey tarafından önerilen paradoksların bölünmesi, ilk başta yaygın olarak kullanıldı ve şimdi bile bir miktar önemini koruyor. Aynı zamanda, bu ayrımın oldukça belirsiz olduğu ve iki paradoks grubunun derinlemesine karşılaştırmalı bir analizine değil, öncelikle örneklere dayandığı giderek daha açık hale geliyor. Semantik kavramlar artık iyi tanımlanmıştır ve bu kavramların gerçekten mantıklı olduğunu fark etmemek zordur. Temel kavramlarını küme teorisi açısından tanımlayan anlambilimin gelişmesiyle birlikte Ramsey'in yaptığı ayrım giderek bulanıklaşıyor.

Paradokslar ve Modern Mantık

Paradoksların varlığından mantık için hangi sonuçlar çıkar?

Her şeyden önce, çok sayıda paradoksun varlığı, göründüğü gibi zayıflığından değil, bir bilim olarak mantığın gücünden bahseder.

Paradoksların keşfinin, modern mantığın en yoğun gelişimi ve en büyük başarıları dönemine denk gelmesi tesadüf değildi.

İlk paradokslar, mantığın özel bir bilim olarak ortaya çıkmasından önce bile keşfedildi. Orta Çağ'da birçok paradoks keşfedildi. Ancak daha sonra unutuldukları ve daha yüzyılımızda yeniden keşfedildikleri ortaya çıktı.

Ortaçağ mantıkçıları, bilime ancak 19. yüzyılın ikinci yarısında giren "küme" ve "kümenin elemanı" kavramlarının farkında değillerdi. Ancak paradokslar için yetenek, Orta Çağ'da o kadar keskindi ki, o erken zamanda, kendi kendine uygulanabilir kavramlar hakkında belirli endişeler dile getirildi. Bunun en basit örneği, günümüz paradokslarının birçoğunda karşımıza çıkan “kendi unsuru olmak” kavramıdır.

Ancak bu tür korkular, genel olarak paradokslarla ilgili tüm uyarılar gibi, yüzyılımıza kadar sistematik ve kesin değildi. Alışılmış düşünme ve ifade etme biçimlerini yeniden gözden geçirmek için herhangi bir net öneriye yol açmadılar.

Yalnızca modern mantık, paradokslar sorununu unutulmaktan kurtardı, belirli mantıksal paradoksların çoğunu keşfetti veya yeniden keşfetti. Ayrıca, mantık tarafından geleneksel olarak keşfedilen düşünme biçimlerinin paradoksları ortadan kaldırmak için tamamen yetersiz olduğunu gösterdi ve onlarla başa çıkmak için temelde yeni yöntemler belirtti.

Paradokslar önemli bir soru ortaya çıkarır: Aslında, kavram oluşturma ve akıl yürütmenin olağan yöntemlerinden bazıları bizi nerede başarısızlığa uğratır? Sonuçta, paradoksal oldukları ortaya çıkana kadar tamamen doğal ve inandırıcı görünüyorlardı.

Paradokslar, alışılmış teorik düşünme yöntemlerinin kendi başlarına ve üzerlerinde herhangi bir özel kontrol olmaksızın gerçeğe doğru güvenilir bir ilerleme sağladığı inancını zayıflatır.

Kuramlaştırmaya fazlasıyla saf bir yaklaşımda radikal bir değişiklik gerektiren paradokslar, saf, sezgisel biçiminde mantığın sert bir eleştirisidir. Tümdengelimli mantık sistemleri inşa etme yoluna kısıtlamalar koyan ve kontrol eden bir faktör rolünü oynarlar. Ve onların bu rolü, fizik ve kimya gibi bilimlerdeki hipotezlerin doğruluğunu test eden ve onları bu hipotezlerde değişiklik yapmaya zorlayan bir deneyin rolü ile karşılaştırılabilir.

Bir teorideki bir paradoks, onun altında yatan varsayımların uyumsuzluğundan bahseder. Hastalığın zamanında tespit edilmiş bir semptomu olarak hareket eder, bu olmadan gözden kaçabilirdi.

Tabii ki, hastalık kendini birçok yönden gösterir ve sonunda onu paradokslar gibi akut semptomlar olmadan ortaya çıkarmak mümkündür. Örneğin, küme teorisinin temelleri, bu alanda hiçbir paradoks keşfedilmemiş olsa bile analiz edilecek ve düzeltilecektir. Ancak, içinde keşfedilen paradoksların küme teorisini gözden geçirme sorununu ortaya çıkaran keskinlik ve aciliyet olmayacaktı.

Paradokslara kapsamlı bir literatür ayrılmıştır, çok sayıda açıklaması önerilmiştir. Ancak bu açıklamaların hiçbiri evrensel olarak kabul görmemiştir ve paradoksların kökeni ve onlardan nasıl kurtulacağı konusunda tam bir anlaşma yoktur.

A. Frenkel, “Geçtiğimiz altmış yıl boyunca, paradoksları çözme hedefine yüzlerce kitap ve makale ayrıldı, ancak sonuçlar, harcanan çabalara kıyasla inanılmaz derecede zayıf” diye yazıyor. H. Curry, paradokslarla ilgili analizini "Görünüşe göre, tam bir mantık reformunun gerekli olduğu ve matematiksel mantığın bu reformu gerçekleştirmek için ana araç haline gelebileceği" sonucuna varıyor.

Paradoksların ortadan kaldırılması ve açıklanması

Önemli bir farka dikkat edilmelidir.

Paradoksları ortadan kaldırmak ve onları çözmek aynı şey değildir. Bir teoriden bir paradoksu çıkarmak, onu, içinde paradoksal iddianın kanıtlanamaz olduğu ortaya çıkacak şekilde yeniden yapılandırmak demektir. Her paradoks çok sayıda tanım, varsayım ve argümana dayanır. Teoride vardığı sonuç, belirli bir akıl yürütme zinciridir. Resmi olarak konuşursak, herhangi bir halkasını sorgulayabilir, atabilir ve böylece zinciri kırabilir ve paradoksu ortadan kaldırabilirsiniz. Birçok eserde bu yapılır ve bununla sınırlıdır.

Ancak bu henüz paradoksun çözümü değil. Bunu dışlamanın bir yolunu bulmak yeterli değildir, önerilen çözümü ikna edici bir şekilde gerekçelendirmek gerekir. Bir paradoksa götüren bir adımın şüphesi sağlam temellere oturtulmalıdır.

Her şeyden önce, paradoksal bir ifadenin türetilmesinde kullanılan bazı mantıksal araçları terk etme kararı, mantıksal kanıtın doğasına ve diğer mantıksal sezgilere ilişkin genel düşüncelerimizle bağlantılı olmalıdır. Durum böyle değilse, paradoksun ortadan kaldırılmasının sağlam ve istikrarlı temellerden yoksun olduğu ve ağırlıklı olarak teknik bir göreve dönüştüğü ortaya çıkar.

Ayrıca, bir varsayımın reddedilmesi, belirli bir paradoksu ortadan kaldırsa bile, tüm paradoksların ortadan kaldırılmasını otomatik olarak garanti etmez. Bu, paradoksların birer birer "avlanmaması" gerektiğini göstermektedir. Bunlardan birinin dışlanması, her zaman, diğer paradoksların aynı adımla ortadan kaldırılacağına dair kesin bir garanti olacak şekilde haklı olmalıdır.

A. Tarsky, bir paradoks keşfedildiği her zaman, “düşünme yollarımızı kapsamlı bir revizyona tabi tutmalı, inandığımız bazı varsayımları reddetmeli ve kullandığımız tartışma yöntemlerini geliştirmeliyiz. Bunu sadece çatışkılardan kurtulmak için değil, aynı zamanda yenilerinin ortaya çıkmasını önlemek için yapıyoruz.

Ve son olarak, çok fazla veya çok güçlü varsayımların kötü düşünülmüş ve dikkatsizce reddedilmesi, paradokslar içermemesine rağmen, yalnızca belirli bir ilgiye sahip çok daha zayıf bir teori olacağı gerçeğine yol açabilir.

Bilinen paradokslardan kaçınmak için minimum, en az radikal önlemler dizisi ne olabilir?

mantıksal dilbilgisi

Bir yol, doğru ve yanlış cümlelerle birlikte anlamsız cümleleri de ayırmaktır. Bu yol B. Russell tarafından benimsenmiştir. Mantıksal dilbilgisinin gerekliliklerini ihlal ettikleri gerekçesiyle paradoksal akıl yürütmenin anlamsız olduğu ilan edildi. Sıradan dilbilgisi kurallarını ihlal etmeyen her cümle anlamlı değildir - ayrıca özel, mantıksal bir dilbilgisinin kurallarını da karşılaması gerekir.

Russell, görevi bilinen tüm çatışkıları ortadan kaldırmak olan bir tür mantıksal dilbilgisi olan bir mantıksal tipler teorisi inşa etti. Daha sonra, bu teori büyük ölçüde basitleştirildi ve basit tip teorisi olarak adlandırıldı.

Türler teorisinin ana fikri, mantıksal olarak farklı nesne türlerinin tahsisi, söz konusu nesnelerin bir tür hiyerarşi veya merdivenin tanıtılmasıdır. En düşük veya boş tür, küme olmayan tek tek nesneleri içerir. İlk tür, sıfır türdeki nesne kümelerini içerir, yani. bireyler; ikincisine - birey kümeleri vb. Başka bir deyişle, nesneler, nesnelerin özellikleri, nesnelerin özelliklerinin özellikleri vb. arasında bir ayrım yapılır. Aynı zamanda, tekliflerin oluşturulmasına bazı kısıtlamalar getirilmiştir. Özellikler nesnelere, özelliklerin özellikleri özelliklere vb. atfedilebilir. Ancak nesnelerin özellik özelliklerine sahip olduğunu anlamlı bir şekilde iddia etmek imkansızdır.

Bir dizi öneri alalım:

Bu ev kırmızı.

Kırmızı bir renktir.

Renk optik bir olgudur.

Bu cümlelerde, "bu ev" ifadesi belirli bir nesneyi belirtir, "kırmızı" kelimesi bu nesnenin doğasında bulunan özelliği, "renk olmak" - bu özelliğin özelliğine ("kırmızı olmak") ve " optik bir fenomen olmak" - "kırmızı olmak" özelliğine ait "renk olmak" özelliğinin özelliğini belirtir. Burada sadece nesneler ve özellikleriyle değil, aynı zamanda özelliklerin özellikleriyle (“kırmızı olma özelliği bir renk olma özelliği vardır”) ve hatta özelliklerin özellikleriyle ilgileniyoruz.

Yukarıdaki dizideki üç cümle de elbette anlamlıdır. Tip teorisinin gerekliliklerine uygun olarak inşa edilirler. Ve diyelim ki "Bu ev bir renktir" cümlesi bu gereklilikleri ihlal ediyor. Bir nesneye, yalnızca özelliklere ait olabilen, ancak nesnelere ait olmayan özelliği atfeder. Benzer bir ihlal, "Bu ev optik bir fenomendir" cümlesinde yer almaktadır. Bu önerilerin her ikisi de anlamsız olarak sınıflandırılmalıdır.

Basit bir tip teorisi Russell paradoksunu ortadan kaldırır. Bununla birlikte, Yalancı ve Berry paradokslarını ortadan kaldırmak için, söz konusu nesneleri türlere ayırmak artık yeterli değildir. Türlerin kendi içinde bazı ek sıralamalar eklemek gerekir.

Paradoksların ortadan kaldırılması, tüm kümelerin kümesine benzer şekilde, çok büyük kümelerin kullanılmasından kaçınılarak da sağlanabilir. Bu yol, paradoksların görünümünü sınırsız küme yapımı ile ilişkilendiren Alman matematikçi E. Zermelo tarafından önerildi. Kabul edilebilir kümeler, onun tarafından, bilinen paradoksların onlardan çıkarılamayacağı şekilde formüle edilmiş bazı aksiyomlar listesiyle tanımlandı. Aynı zamanda, bu aksiyomlar, onlardan klasik matematiğin olağan argümanlarını çıkaracak kadar güçlüydü, ancak paradoksları yoktu.

Paradoksları ortadan kaldırmak için ne bu ikisi ne de önerilen diğer yollar genel olarak kabul edilir. Önerilen teorilerden herhangi birinin mantıksal paradoksları çözdüğüne ve derin bir açıklama yapmadan onları bir kenara atmadığına dair yaygın bir inanç yoktur. Paradoksları açıklama sorunu hala açık ve hala önemlidir.

paradoksların geleceği

Geçen yüzyılın en büyük mantıkçısı olan G. Frege ne yazık ki çok kötü bir karaktere sahipti. Ayrıca, çağdaşlarına yönelik eleştirilerine karşı kayıtsız ve hatta zalimdi.

Belki de bu yüzden matematiğin mantığına ve temeline yaptığı katkı uzun süre tanınmadı. Ve şöhret ona gelmeye başladığında, genç İngiliz mantıkçı B. Russell ona, Aritmetiğin Temel Kanunları kitabının ilk cildinde yayınlanan sistemde bir çelişki ortaya çıktığını yazdı. Bu kitabın ikinci cildi zaten basılmıştı ve Frege ona yalnızca bu çelişkiyi (daha sonra "Russell'in paradoksu" olarak adlandırılacak) ana hatlarıyla belirttiği ve onu ortadan kaldıramadığını kabul ettiği özel bir ek ekleyebilirdi.

Ancak bu tanımanın sonuçları Frege için trajikti. En büyük şoku yaşadı. Ve o zaman sadece 55 yaşında olmasına rağmen, yirmi yıldan fazla yaşamasına rağmen, mantık üzerine başka önemli bir çalışma yayınlamadı. Russell paradoksunun neden olduğu hararetli tartışmaya yanıt bile vermedi ve bu paradoksa yönelik önerilen birçok çözüme hiçbir şekilde tepki göstermedi.

Yeni keşfedilen paradoksların matematikçiler ve mantıkçılar üzerinde bıraktığı izlenim, D. Hilbert tarafından çok iyi ifade edilmiştir: “... Paradokslarla ilgili olarak içinde bulunduğumuz durum uzun süredir katlanılmazdır. Bir düşünün: matematikte - o kesinlik ve doğruluk modelinde - kavramların oluşumu ve herkesin incelediği, öğrettiği ve uyguladığı gibi çıkarımların seyri saçmalığa yol açar. Matematiksel düşüncenin kendisi bile hata veriyorsa, güvenilirliği ve gerçeği nerede aramalı?

Frege, her türlü paradokstan, mantıktan arınmış, yeteneklerine güvenen ve matematik için bile bir titizlik kriteri olduğunu iddia eden 19. yüzyıl sonlarının mantığının tipik bir temsilcisiydi. Paradokslar, sözde mantığın elde ettiği mutlak katılığın bir yanılsamadan başka bir şey olmadığını gösterdi. İnkar edilemez bir şekilde mantığın - yüzyılın başında sahip olduğu sezgisel biçimde - derin bir revizyona ihtiyacı olduğunu gösterdiler.

Paradoksların canlı tartışmasının başlamasından bu yana yaklaşık bir yüzyıl geçti. Bununla birlikte, mantığın üstlenilen revizyonu, bunların açık bir şekilde çözülmesine yol açmadı.

Ve aynı zamanda, böyle bir durum bugün hiç kimseyi ilgilendirmez. Zamanla, paradokslara yönelik tutumlar, keşfedildikleri zamana göre daha sakin ve hatta daha hoşgörülü hale geldi. Bu sadece paradoksların tanıdık bir şey haline gelmesi değil. Ve elbette, onlara katlandıklarından değil. Hala mantıkçıların ilgi odağındalar, çözüm arayışları aktif olarak devam ediyor. Durum, öncelikle paradoksların, tabiri caizse yerelleştiği için değişti. Sorunlu da olsa kesin yerlerini çok çeşitli mantıksal araştırmalarda bulmuşlardır. Mutlak kemer sıkmanın, geçen yüzyılın sonunda ve hatta bazen bu yüzyılın başında tasvir edildiği şekliyle, prensipte, ulaşılamaz bir ideal olduğu ortaya çıktı.

Tek başına duran tek bir paradoks sorunu olmadığı da anlaşıldı. Onlarla ilişkili problemler farklı türdedir ve aslında mantığın tüm ana bölümlerini etkiler. Bir paradoksun keşfi, bizi mantıksal sezgilerimizi daha derinden analiz etmeye ve mantık biliminin temellerinin sistematik bir şekilde yeniden işlenmesine girişmeye zorlar. Aynı zamanda, paradokslardan kaçınma arzusu ne tek, ne de belki de ana görevdir. Önemli olmalarına rağmen, yalnızca mantığın ana temaları üzerinde düşünmek için birer fırsattırlar. Paradoksları özellikle hastalığın belirgin semptomlarıyla karşılaştırmaya devam edersek, paradoksları derhal ortadan kaldırma arzusunun, hastalığın kendisi için fazla endişe duymadan bu tür semptomları ortadan kaldırma arzusu gibi olacağı söylenebilir. Gerekli olan sadece paradoksların çözümü değil, aynı zamanda mantıksal düşünme kalıplarına ilişkin anlayışımızı derinleştiren açıklamalarıdır.

7. Birkaç paradoks veya onlara benzeyen şeyler

Ve mantıksal paradokslarla ilgili bu kısa tartışmayı bitirmek için, okuyucunun üzerinde düşünmekte fayda göreceği birkaç problem var. Verilen ifadelerin ve muhakemelerin gerçekten mantıklı paradokslar mı yoksa sadece öyle görünüyor mu olduğuna karar vermek gerekir. Bunu yapmak için, açıkçası, kaynak materyali bir şekilde yeniden yapılandırmalı ve ondan bir çelişki türetmeye çalışmalı: aynı şey hakkında aynı şeyin hem doğrulanması hem de reddedilmesi. Bir paradoks bulunursa, bunun ortaya çıkmasına neyin sebep olduğunu ve nasıl ortadan kaldırılacağını düşünebilirsiniz. Hatta aynı türden kendi paradoksunuzu bulmaya çalışabilirsiniz, yani. aynı şemaya göre, ancak diğer kavramlar temelinde inşa edilmiştir.

1. "Hiçbir şey bilmiyorum" diyen, görünüşte paradoksal, kendi içinde çelişkili bir açıklama yapar. Özünde, "Hiçbir şey bilmediğimi biliyorum" diyor. Ama bilginin olmadığı bilgisi yine de bilgidir. Bu, konuşmacının bir yandan herhangi bir bilgiye sahip olmadığını garanti ederken, diğer yandan da tam da bunu iddia ederek biraz bilgisi olduğunu söylediği anlamına gelir. Burada sorun ne?

Bu zorluk üzerine düşünüldüğünde, Sokrates'in benzer bir fikri daha dikkatli ifade ettiği hatırlanabilir. Dedi ki: "Yalnızca hiçbir şey bilmediğimi biliyorum." Öte yandan, bir başka antik Yunanlı Metrodorus, tam bir inançla şunları söyledi: "Hiçbir şey bilmiyorum ve hiçbir şey bilmediğimi bile bilmiyorum." Bu açıklamada bir paradoks var mı?

2. Tarihsel olaylar benzersizdir. Tarih kendini tekrar ediyorsa, ünlü bir ifadeye göre, ilk kez bir trajedi, ikinci kez bir komedi gibidir. Tarihsel olayların benzersizliğinden, bazen tarihin hiçbir şey öğretmediği fikri türetilir. “Belki de tarihin en büyük dersi,” diye yazıyor O. Huxley, “gerçekten de hiç kimsenin tarihten bir şey öğrenmediği gerçeğinde yatmaktadır.”

Bu fikrin doğru olması olası değildir. Geçmiş, tam da bugünü ve geleceği daha iyi anlamak için esas olarak incelenen şeydir. Başka bir şey, geçmişin "derslerinin" kural olarak belirsiz olmasıdır.

Tarihin hiçbir şey öğretmediği inancı kendi içinde çelişkili değil mi? Ne de olsa, derslerinden biri olarak tarihten izler. Bu fikrin savunucuları için bunu kendilerine uygulanmayacak şekilde formüle etmeleri daha iyi olmaz mı: "Tarih tek şeyi öğretir - ondan hiçbir şey öğrenilemez" veya "Tarih bu dersten başka hiçbir şey öğretmez". onların"?

3. "Kanıt olmadığını kanıtladı." Bu kendi içinde çelişkili bir ifade gibi görünüyor: bu bir ispattır veya zaten yapılmış bir ispatı varsayar (“bunun kanıtlanmıştır…”) ve aynı zamanda hiçbir kanıtın olmadığını iddia eder.

Tanınmış antik şüpheci Sextus Empiricus şu çözümü önermiştir: Yukarıdaki ifade yerine, “Bundan başka kanıt olmadığı kanıtlanmıştır” ifadesini kabul edin (veya: “Başka kanıt olmadığı kanıtlanmıştır”. Bundan daha"). Ama bu çıkış yolu hayal değil mi? Ne de olsa, özünde, yalnızca bir ve tek kanıt olduğu iddia edilir - herhangi bir kanıtın olmadığının kanıtı ("Tek ve tek kanıt vardır: başka kanıt olmadığının kanıtı"). O halde, bu iddiaya bakılırsa, ispatın kendisi sadece bir kez gerçekleştirilebildiyse, ispatın işleyişi nedir? Her halükarda, Sextus'un kanıtın değerine ilişkin kendi görüşü çok yüksek değildi. Özellikle şunları yazdı: “Kanıt olmadan yapanlar haklı olduğu gibi, şüphe etmeye meyilli oldukları için asılsız bir şekilde karşıt görüş ileri sürenler de haklıdır.”

4. "Hiçbir ifade olumsuz değildir" veya daha basit olarak: "Olumsuz ifade yoktur." Ancak, bu ifadenin kendisi bir ifadedir ve kesinlikle olumsuzdur. Bir paradoks gibi görünüyor. Bu ifadenin hangi yeniden formüle edilmesi paradokstan kaçınabilir?

Ortaçağ filozofu ve mantıkçı Zh. Eşek, diğer hayvanlar gibi, iki şeyden en iyisini seçmeye çalışır. İki kucak dolusu birbirinden tamamen ayırt edilemez ve bu nedenle ikisini de tercih edemez. Ancak bu "buridan eşeği", Buridan'ın kendisinin yazılarında yer almamaktadır. Mantıkta, Buridan iyi bilinir ve özellikle safsatalar hakkındaki kitabıyla tanınır. Konumuzla ilgili olarak aşağıdaki sonucu içerir: hiçbir ifade olumsuz değildir; bu nedenle, olumsuz bir önerme var. Bu sonuç haklı mı?

5. N.V. Gogol'un Chichikov'un Nozdrev ile oynadığı dama oyununa ilişkin açıklaması iyi bilinmektedir. Oyunları hiç bitmedi, Chichikov, Nozdryov'un hile yaptığını fark etti ve kaybetme korkusuyla oynamayı reddetti. Son zamanlarda, bir taslak uzmanı bu oyunun gidişatını oynayanların yorumlarından yeniden yapılandırdı ve Chichikov'un pozisyonunun henüz umutsuz olmadığını gösterdi.

Chichikov'un yine de oyuna devam ettiğini ve ortağının hilesine rağmen sonunda oyunu kazandığını varsayalım. Anlaşmaya göre, kaybeden Nozdryov, Chichikov'a elli ruble ve "bir orta sınıf köpek yavrusu veya bir saat için altın bir mühür" vermek zorunda kaldı. Ancak Nozdryov, büyük olasılıkla, tüm oyunu kendisinin aldattığını ve kurallara göre oynamamanın bir oyun olmadığını belirterek ödemeyi reddederdi. Chichikov burada sahtekarlık hakkında konuşmanın yersiz olduğuna itiraz etmiş olabilir: Kaybeden kendisi aldattı, bu da daha fazlasını ödemesi gerektiği anlamına geliyor.

Gerçekten de, Nozdryov böyle bir durumda ödeme yapmak zorunda mı, etmeyecek mi? Bir yandan evet çünkü kaybetti. Ama öte yandan, hayır, çünkü kurallara uygun olmayan bir oyun, oyun değildir; Böyle bir “oyunda” kazanan veya kaybeden olamaz. Chichikov'un kendisi aldatmış olsaydı, Nozdryov elbette ödemek zorunda kalmayacaktı. Ancak, aldatan kaybeden Nozdryov'du ...

Burada paradoksal bir şey hissedilir: “bir yandan ...”, “öte yandan ...” ve dahası, bu taraflar uyumsuz olsa da her iki tarafta da eşit derecede ikna edicidir.

Nozdryov hala ödemeli mi, ödememeli mi?

6. "Her kuralın istisnaları vardır." Ancak bu ifadenin kendisi bir kuraldır. Diğer tüm kurallar gibi, istisnaları olmalıdır. Böyle bir istisna, açıkça "İstisnası olmayan kurallar vardır" kuralı olacaktır. Her şeyde bir paradoks yok mu? Önceki örneklerden hangisi bu iki kurala benziyor? Bu şekilde düşünmek caiz midir: her kuralın istisnaları vardır; Bu, istisnasız kurallar olduğu anlamına mı geliyor?

7. "Her genelleme yanlıştır." Bu ifadenin zihinsel genelleme işlemi deneyimini özetlediği ve kendisinin bir genelleme olduğu açıktır. Diğer tüm genellemeler gibi bu da yanlış olmalı. O halde doğru genellemeler olmalıdır. Ancak şu şekilde tartışmak doğru mudur: Her genelleme yanlıştır, öyleyse doğru genellemeler var mıdır?

8. Bir yazar, aralarındaki ayrımı bu kadar çok tartışmaya neden olan edebi türlerin öldüğünü ve hatırlanamayacağını kanıtlamak için bir "Tüm Türlere Epitaph" yazmıştır.

Ancak bu arada kitabe de belirli bir şekilde bir türdür, eski zamanlarda gelişen ve literatüre bir tür epigram olarak giren mezar taşı yazıtları türüdür:

Burada dinleniyorum: Jimmy Hogg.
Allah günahlarımı bağışlasın,
ben tanrı olsam ne yapardım
Ve o rahmetli Jimmy Hogg.

Bu nedenle, istisnasız tüm türlerin kitabesi, tutarsızlık gibi günahlar. Yeniden formüle etmenin en iyi yolu nedir?

9. "Asla asla deme." "Asla" kelimesinin kullanımını yasaklayarak, bu kelimeyi iki kez kullanmalısın!

Şu nasihatte de durum aynı gibi görünüyor: "Zamanı geldi" diyenlerin "zamanı geldi"den başka bir şey söylemesinin zamanı geldi."

Böyle bir tavsiyede tuhaf bir tutarsızlık var mı ve bundan kaçınılabilir mi?

10. Elbette, "İronik Şiir" bölümünde yayınlanan "İnanma" şiirinde, yazarı hiçbir şeye inanmamanızı önerir:

... Ateşin sihirli gücüne inanmayın:
İçine odun atıldığında yanar.
Altın yeleli ata inanma
Herhangi bir tatlı zencefilli kurabiye için değil!
Yıldız sürülerine inanmayın
Sonsuz bir kasırgada koşuşturma.
Ama o zaman sana ne kalacak?
Dediklerime inanmayın.
İnanma.
(V. Prudovsky)

Ama bu genel inançsızlık gerçek mi? Görünüşe göre, çelişkili ve bu nedenle mantıksal olarak imkansız.

11. Diyelim ki, yaygın inanışın aksine, hala ilginç olmayan insanlar var. Onları zihinsel olarak bir araya toplayalım ve aralarından en küçüğünü veya en büyüğünü veya başka bir "en ..." seçeneğini seçelim. Bu kişiye bakmak ilginç olurdu, bu yüzden onu gereksiz yere ilginç olmayanlar listesine dahil ettik. Onu hariç tuttuktan sonra, geri kalanlar arasında aynı anlamda “çok…”u bulacağız, vb. Ve tüm bunlar, karşılaştırılacak kimse olmayan tek bir kişi kalana kadar. Ama asıl ilgilendiği şeyin bu olduğu ortaya çıktı! Sonuç olarak, ilgisiz insan olmadığı sonucuna varıyoruz. Ve tartışma, böyle insanların var olduğu gerçeğiyle başladı.

Özellikle, ilginç olmayan insanlar arasında, tüm ilginç olmayanların en ilginç olanı bulmaya çalışılabilir. Bununla şüphesiz ilginç olacak ve ilginç olmayan insanlardan dışlanması gerekecek. Geri kalanlar arasında, yine en az ilginç olan var, vb.

Bu argümanlarda kesinlikle bir paradoks dokunuşu var. Burada bir yanlışlık var mı, varsa nedir?

12. Diyelim ki size boş bir kağıt verildi ve bu kağıdı üzerine açıklamanız istendi. Yazıyorsunuz: bu, preslenmiş ağaç liflerinden vb.

Açıklama tamamlanmış görünüyor. Ama açıkça eksik! Tanımlama sürecinde nesne değişti: üzerinde metin belirdi. Bu nedenle, açıklamaya eklemek de gereklidir: ve ayrıca, bu kağıda şöyle yazılmıştır: bu dikdörtgen şeklinde bir sayfadır, beyaz ... vb. sonsuzluğa.

Burada bir paradoks gibi görünüyor, değil mi?

Bilinen bir tekerleme:

rahibin bir köpeği vardı
O onu seviyor
Bir parça et yedi
Onu öldürdü.
Öldürüldü ve gömüldü
Ve tahtaya şunları yazdı:
"Rahibin bir köpeği vardı..."

Bu köpek seven pop, mezar taşını bitirebilir mi? Bu yazıtın bileşimi, kendi üzerindeki bir kağıdın tam açıklamasına benzemiyor mu?

13. Bir yazar şu "ince" tavsiyede bulunur: "Küçük numaralar istediğinizi elde etmenize izin vermiyorsa, büyük numaralara başvurun." Bu tavsiye "Ticaret püf noktaları" başlığı altında sunulmaktadır. Ama gerçekten o numaralardan biri mi? Sonuçta, "küçük numaralar" yardımcı olmuyor ve sadece bu nedenle bu tavsiyeye başvurmanız gerekiyor.

14. Sonlu sayıda hamle ile biten bir oyuna normal diyoruz. Normal oyunlara örnek olarak satranç, dama, domino verilebilir: bu oyunlar her zaman ya taraflardan birinin zaferiyle ya da berabere biter. Normal olmayan oyun süresiz olarak sonuçsuz devam ediyor. Süper oyun kavramını da tanıtalım: Böyle bir oyunun ilk hamlesi hangi oyunun oynanması gerektiğini belirlemektir. Örneğin, sen ve ben süper bir oyun oynamaya niyetliysek ve ilk hamle bizdeyse, "Haydi satranç oynayalım" diyebilirim. Ardından, örneğin e2 - e4 gibi satranç oyununun ilk hamlesini yaparsınız ve oyun bitene kadar devam ederiz (özellikle, turnuva düzenlemelerinin belirlediği sürenin sona ermesi nedeniyle). İlk hamlem olarak tic-tac-toe ve benzeri oynamayı önerebilirim. Ama seçtiğim oyun normal olmalı; normal olmayan bir oyun seçemezsiniz.

Bir sorun ortaya çıkıyor: süper oyunun kendisi normal mi değil mi? Bunun normal bir oyun olduğunu varsayalım. İlk hamlesi normal oyunlardan herhangi birini seçebildiği için "Süper oyunu oynayalım" diyebilirim. Bundan sonra süper oyun başladı ve sonraki hamle sizin. "Süper bir oyun oynayalım" deme hakkınız var. Tekrar edebilirim: "Süper oyunu oynayalım" ve böylece süreç süresiz olarak devam edebilir. Bu nedenle, süper oyun normal oyunlar için geçerli değildir. Ama süper oyun normal olmadığı için süper oyunda ilk hamlem ile süper oyun öneremem; Normal oyunu seçmem gerekiyor. Ancak sonu olan normal bir oyunun seçimi, süper oyunun normal olanlara ait olmadığı kanıtlanmış gerçeğiyle çelişir.

Peki, süper oyun normal bir oyun mu, değil mi?

Bu soruyu yanıtlamaya çalışırken, elbette, salt sözel ayrımların kolay yolunu izlememek gerekir. En basit yol, normal bir oyunun bir oyun olduğunu ve süper bir oyunun sadece bir şaka olduğunu söylemektir.

Süper oyunun aynı anda hem normal hem de anormal olması paradoksu başka hangi paradoksları hatırlatıyor?

Edebiyat

Bayif J.K. Mantık görevleri. - M., 1983.

Bourbaki N. Matematik tarihi üzerine denemeler. - M., 1963.

Gardner M. Hadi tahmin edin! – M.: 1984.

Ivin A.A. Mantık yasalarına göre. - M., 1983.

Klini S.K. Matematiksel mantık. - M., 1973.

Smallian R.M. Bu kitabın adı nedir? – E.: 1982.

Smallian R.M. Prenses mi kaplan mı? – E.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Küme teorisinin temelleri. - M., 1966.

sınav soruları

Mantık için paradoksların önemi nedir?

Yalancı paradoksu için hangi çözümler önerildi?

Anlamsal olarak kapalı bir dilin özellikleri nelerdir?

Birçok sıradan kümenin paradoksunun özü nedir?

Protagoras ve Euathlus arasındaki anlaşmazlığa bir çözüm var mı? Bu anlaşmazlık için hangi çözümler önerildi?

Kesin olmayan isimler paradoksunun özü nedir?

Mantıksal paradoksların özelliği ne olabilir?

Mantıksal paradoksların varlığından mantık için hangi sonuçlar çıkar?

Bir paradoksu ortadan kaldırmak ve açıklamak arasındaki fark nedir? Mantıksal paradoksların geleceği nedir?

Özet ve rapor konuları

Mantıksal bir paradoks kavramı

yalancı paradoksu

Russell paradoksu

Paradoks "Protagoras ve Euathlus"

Mantık gelişiminde paradoksların rolü

Paradoksları çözmek için beklentiler

Dil ve üst dil arasındaki ayrım

Paradoksların ortadan kaldırılması ve çözülmesi

Bir problemi formüle etmenin genellikle onu çözmekten daha önemli ve daha zor olduğu bilinmektedir. İngiliz kimyager F. Soddy, "bilimde," diye yazmıştı, "düzgün bir şekilde ortaya konmuş bir görevin yarısından fazlası çözülmüştür. Belirli bir sorun olduğunu bulmak için gereken zihinsel hazırlık süreci, genellikle görevin kendisinden daha fazla zaman alır.

Problem durumunun tezahür ettiği ve gerçekleştiği biçimler çok çeşitlidir. Her zaman olmaktan çok, çalışmanın en başında ortaya çıkan doğrudan bir soru şeklinde kendini gösterir. Sorunlar dünyası, onları üreten biliş süreci kadar karmaşıktır. Problemleri belirlemek, yaratıcı düşünmenin merkezinde yer alır. Paradokslar, sorun yaratmanın örtük, sorgusuz suallerinin en ilginç halidir. paradokslar Henüz keşfedilmemiş bir alanda ilk adımların atıldığı ve ona yaklaşmanın en genel ilkelerinin araştırıldığı bilimsel teorilerin gelişiminin ilk aşamalarında yaygındır.

Geniş anlamda paradoks bu konum, genel kabul görmüş, yerleşik, ortodoks görüşlerle keskin bir şekilde çelişmektedir. “Genel olarak kabul edilen görüşler ve uzun vadeli bir karar meselesi olarak kabul edilenler, çoğu zaman araştırmayı hak ediyor” (G. Lichtenberg). Paradoks, bu tür araştırmaların başlangıcıdır.

Daha dar ve daha özel bir anlamda paradoks - bunlar, her biri için görünüşte ikna edici argümanlar bulunan iki zıt, uyumsuz ifadedir.

Paradoksun en uç biçimi, çatışkı, biri diğerinin olumsuzlaması olan iki önermenin denkliğini kanıtlayan bir argüman.

Paradokslar özellikle en titiz ve kesin bilimlerde ünlüdür - matematik ve mantık. Ve bu tesadüf değil.

Mantık soyut bir örümcek. İçinde hiçbir deney yok, kelimenin genel anlamıyla gerçekler bile yok. Sistemlerini inşa eden mantık, nihayetinde gerçek düşüncenin analizinden ilerler. Bu analizin sonuçlarına göre sentetik, farklılaşmamış. Bunlar, teorinin açıklaması gereken ayrı süreçlerin veya olayların ifadeleri değildir. Açıkçası, böyle bir analiz gözlem olarak adlandırılamaz: her zaman somut bir fenomen gözlemlenir.

"Mantıksal paradoksların kralı"

Tüm mantıksal paradoksların en ünlüsü ve belki de en ilginç olanı Yalancı paradoksudur. Onu keşfeden Milet'ten Eubulides'in adını yücelten oydu.

Bu paradoksun veya çatışkıların çoğu yalnızca görünüşte paradoksal olan varyantları vardır.

"Yalancı"nın en basit versiyonunda bir kişi sadece bir cümle söyler: "Yalan söylüyorum." Ya da diyor ki: "Şu anda yaptığım açıklama yanlıştır." Veya: "Bu ifade yanlıştır."

Orta Çağ'da, aşağıdaki ifadeler yaygındı:

- Platon'un söylediği yanlış, diyor Sokrates.
Platon, "Sokrates'in söylediği gerçektir" der. Soru ortaya çıkıyor, hangisi gerçeği ifade ediyor ve hangisi yalan?

Ve işte bu paradoksun modern bir paradoksudur. Diyelim ki kartın ön yüzünde sadece “Bu kartın diğer yüzünde gerçek bir söz yazılıdır” yazan kelimeler var. Bu sözlerin anlamlı bir ifadeyi temsil ettiği açıktır. Kartı çevirerek ya vaat edilen ifadeyi bulmalıyız ya da orada değil. Arkasında yazıyorsa ya doğrudur ya değildir. Ancak, arkasında şu sözler var: "Bu kartın diğer tarafında yanlış bir ifade var" - ve başka bir şey değil. Ön taraftaki ifadenin doğru olduğunu varsayalım. O zaman arkadaki ifade doğru olmalı ve bu nedenle öndeki ifade yanlış olmalıdır. Ancak ön taraftaki ifade yanlışsa, arkadaki ifade de yanlış olmalı ve bu nedenle ön taraftaki ifade doğru olmalıdır. Sonuç bir paradokstur.

Yalancı paradoksu Yunanlılar üzerinde büyük bir etki yarattı. Ve nedenini görmek çok kolay. İlk bakışta sorduğu soru oldukça basit görünüyor: Sadece yalan söylediğini söyleyen bir yalancı mı? Ancak "evet" yanıtı, "hayır" yanıtına yol açar ve bunun tersi de geçerlidir. Ve yansıma durumu hiç netleştirmez. Sorunun basitliğinin ve hatta rutininin arkasında, anlaşılmaz ve ölçülemez bir derinlik ortaya çıkıyor.

Bu paradoksu çözmek için umutsuz olan Filit Kossky'nin intihar ettiğine dair bir efsane bile var. Ayrıca, eski Yunanlı ünlü mantıkçılardan biri olan Diodorus Kronos'un, zaten gerileyen yıllarında, “Yalancı” çözümünü bulana kadar yemek yememeye yemin ettiği ve kısa süre sonra hiçbir şey elde edemeden öldüğü söylenir.

Orta Çağ'da bu paradoks, sözde karar verilemez cümlelere atıfta bulunuldu ve sistematik analizin nesnesi haline geldi.

Ve uzun bir süre "Yalancı" uzun süre dikkat çekmedi. Dilin kullanımıyla ilgili en ufak bir zorlukla karşılaşmadılar. Ve sadece bizim, sözde modern zamanlarımızda, mantığın gelişimi nihayet bu paradoksun arkasında görünen sorunları katı terimlerle formüle etmenin mümkün olduğu bir düzeye ulaştı.

Şimdi "Yalancı" - bu tipik eski safsata - genellikle mantıksal paradoksların kralı olarak anılır. Geniş bir bilimsel literatür ona ayrılmıştır. Yine de, diğer birçok paradoksta olduğu gibi, bunun arkasında hangi sorunların yattığı ve ondan nasıl kurtulacağı tam olarak açık değildir.

Biçimsel mantık ve mantıksal hatalar paradoksları. Eğlenceli mantıksal paradokslar Mantıktaki paradokslar

1. Aporia "Aşil ve kaplumbağa"

2. Zaman döngüsü paradoksu

3. Bir kız ve bir oğlanın paradoksu

4. Jourdain'in kart paradoksu

5. Sofizm "Timsah"

6. Aporia "İkilik"

7. Aporia "Uçan Ok"

8. Galileo'nun paradoksu

9. Patates çuvalı paradoksu

10 Kuzgun Paradoksu

1. Aporia "Aşil ve kaplumbağa"

2. Zaman döngüsü paradoksu

3. Bir kız ve bir oğlanın paradoksu

4. Jourdain'in kart paradoksu

5. Sofizm "Timsah"

6. Aporia "İkilik"

7. Aporia "Uçan Ok"

8. Galileo'nun paradoksu

9. Patates çuvalı paradoksu

10 Kuzgun Paradoksu

"Mantıksal paradoksların kralı"

Yazım hatası bildir

Editörlerimize gönderilecek metin:

Yorumunuz (isteğe bağlı):