Belirli bir fonksiyonun türevini bulma görevi, matematik dersindeki ana görevlerden biridir. lise ve daha yüksek Eğitim Kurumları. Bir fonksiyonun türevini almadan tam olarak keşfetmek, grafiğini oluşturmak imkansızdır. Temel türev kurallarını ve ana fonksiyonların türev tablosunu biliyorsanız, bir fonksiyonun türevi kolayca bulunabilir. Bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı bulalım.

Bir fonksiyonun türevi, argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının sınırıdır.

Okullarda limit kavramı tam olarak çalışılmadığından bu tanımı anlamak oldukça zordur. Ancak çeşitli fonksiyonların türevlerini bulmak için tanımı anlamak gerekli değildir, bunu matematikçilere bırakalım ve doğrudan türevi bulmaya gidelim.

Türevi bulma işlemine farklılaşma denir. Bir fonksiyonun türevini alırken yeni bir fonksiyon elde ederiz.

Onları belirtmek için kullanacağız edebiyat f, g, vb.

Türevler için birçok farklı gösterim vardır. İnme kullanacağız. Örneğin, g" girişi, g fonksiyonunun türevini bulacağımız anlamına gelir.

türev tablosu

Türev nasıl bulunur sorusuna cevap verebilmek için ana fonksiyonların bir türev tablosunu vermek gerekir. Temel fonksiyonların türevlerini hesaplamak için karmaşık hesaplamalar yapmak gerekli değildir. Sadece türev tablosundaki değerine bakmak yeterlidir.

1. (sinx)"=cosx
2. (çünkü x)"= -sin x
3. (xn)"=nxn-1
4. (eski)"=eski
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln bir
7. (bir x günlüğü)"=1/x ln
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/sin 2 x
10. (yay x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (yay x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Örnek 1. y=500 fonksiyonunun türevini bulun.

sabit olduğunu görüyoruz. Türev tablosuna göre, sabitin türevinin sıfıra eşit olduğu bilinmektedir (formül 1).

Örnek 2. y=x 100 fonksiyonunun türevini bulun.

BT güç fonksiyonuüssün 100 olduğu ve türevini bulmak için, işlevi üsle çarpmanız ve 1'e düşürmeniz gerekir (formül 3).

(x 100)"=100 x 99

Örnek 3. y=5 x fonksiyonunun türevini bulun

Bu üstel bir fonksiyondur, türevini formül 4'ü kullanarak hesaplıyoruz.

Örnek 4. y= log 4 x fonksiyonunun türevini bulun

Formül 7'yi kullanarak logaritmanın türevini buluyoruz.

(log 4 x)"=1/x log 4

farklılaşma kuralları

Şimdi tabloda yoksa bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı bulalım. Araştırılan işlevlerin çoğu temel değildir, ancak en basit işlemleri (toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bir sayı ile çarpma) kullanan temel işlevlerin kombinasyonlarıdır. Türevlerini bulmak için türev alma kurallarını bilmeniz gerekir. Ayrıca, f ve g harfleri işlevleri belirtir ve C bir sabittir.

1. Türevin işaretinden sabit bir katsayı alınabilir

Örnek 5. y= 6*x 8 fonksiyonunun türevini bulun

Sabit katsayısı 6'yı alıyoruz ve sadece x 4'ü türevliyoruz. Bu, türev tablosunun formül 3'üne göre türevini bulduğumuz bir güç fonksiyonudur.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir

(f + g)"=f" + g"

Örnek 6. y= x 100 + sin x fonksiyonunun türevini bulun

Fonksiyon, türevlerini tablodan bulabileceğimiz iki fonksiyonun toplamıdır. (x 100)"=100 x 99 ve (sin x)"=cos x olduğundan. Toplamın türevi, bu türevlerin toplamına eşit olacaktır:

(x 100 + günah x)"= 100 x 99 + çünkü x

3. Farkın türevi, türevlerin farkına eşittir

(f – g)"=f" – g"

Örnek 7. y= x 100 - cos x fonksiyonunun türevini bulun

Bu fonksiyon, türevlerini tablodan da bulabileceğimiz iki fonksiyonun farkıdır. O zaman farkın türevi, türevlerin farkına eşittir ve işareti değiştirmeyi unutmayın, çünkü (cos x) "= - sin x.

(x 100 - çünkü x) "= 100 x 99 + günah x

Örnek 8. y=e x +tg x– x 2 fonksiyonunun türevini bulun.

Bu fonksiyonun hem toplamı hem de farkı vardır, her terimin türevini buluruz:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. O halde orijinal fonksiyonun türevi:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Bir ürünün türevi

(f * g)"=f" * g + f * g"

Örnek 9. y= cos x *e x fonksiyonunun türevini bulun

Bunu yapmak için önce her faktörün (cos x)"=–sin x ve (e x)"=e x 'in türevini bulun. Şimdi her şeyi ürün formülüne yerleştirelim. Birinci fonksiyonun türevini ikinci ile çarpın ve birinci fonksiyonun çarpımını ikincinin türeviyle toplayın.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *günah x

5. Bölümün türevi

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

Örnek 10. y= x 50 / sin x fonksiyonunun türevini bulun

Bölümün türevini bulmak için önce pay ve paydanın türevini ayrı ayrı bulun: (x 50)"=50 x 49 ve (sin x)"= cos x. Formülde bölümün türevi yerine koyarak şunu elde ederiz:

(x 50 / günah x) "= 50x 49 * günah x - x 50 * çünkü x / günah 2 x

Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Karmaşık bir işlev, birkaç işlevin bir bileşimi ile temsil edilen bir işlevdir. Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için bir kural da vardır:

(u(v))"=u"(v)*v"

Şimdi böyle bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı görelim. y= u(v(x)) bir karmaşık fonksiyon olsun. u işlevi harici ve v - dahili olarak adlandırılacaktır.

Örneğin:

y=sin (x 3) karmaşık bir fonksiyondur.

O zaman y=sin(t) dış fonksiyondur

t=x 3 - dahili.

Bu fonksiyonun türevini hesaplamaya çalışalım. Formüle göre, iç ve dış fonksiyonların türevlerini çarpmak gerekir.

(sin t)"=cos (t) - dış fonksiyonun türevi (burada t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - iç fonksiyonun türevi

O zaman (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2, karmaşık fonksiyonun türevidir.

İlk seviye

Fonksiyon türevi. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Tepelik bir alandan geçen düz bir yol düşünün. Yani yukarı ve aşağı gider, ancak sağa veya sola dönmez. Eksen yol boyunca yatay olarak ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen, belirli bir sıfır yükseklik seviyesidir, hayatta deniz seviyesini olduğu gibi kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken, biz de yukarı veya aşağı hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket ederek), fonksiyonun değeri değişir (ordinat ekseni boyunca hareket ederek). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim? Bu değer ne olabilir? Çok basit: Belirli bir mesafe ilerlerken yükseklik ne kadar değişecek? Gerçekten de, yolun farklı bölümlerinde, bir kilometre boyunca (apsis ekseni boyunca) ilerlerken, yükseleceğiz veya düşeceğiz. farklı miktar deniz seviyesine göre metre (y ekseni boyunca).

İlerlemeyi ifade ediyoruz ("delta x" okuyun).

Yunan harfi (delta), matematikte "değişim" anlamına gelen bir önek olarak yaygın olarak kullanılır. Yani - bu büyüklükte bir değişiklik, - bir değişiklik; o zaman ne? Bu doğru, boyutta bir değişiklik.

Önemli: ifade tek bir varlık, bir değişkendir. "x" veya başka bir harften "delta"yı asla koparmamalısın! Yani, örneğin, .

Böylece yatay olarak ilerledik. Yolun çizgisini bir fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak, yükselişi nasıl gösteririz? Tabii ki, . Yani, ilerlerken daha yükseğe çıkarız.

Değeri hesaplamak kolaydır: başlangıçta bir yükseklikteysek ve hareket ettikten sonra bir yükseklikteysek. Bitiş noktasının başlangıç ​​noktasından daha düşük olduğu ortaya çıkarsa, negatif olacaktır - bu, yükselmediğimiz, alçalmamız anlamına gelir.

"Dikliğe" geri dön: Bu, birim mesafe başına ileriye doğru hareket ederken yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Farz edin ki yolun bir bölümünde km ilerlerken yol km yükselsin. O zaman bu yerdeki diklik eşittir. Ve yol, m ilerlerken km batarsa? O zaman eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin tepesini düşünün. Bölümün başlangıcını yarım kilometre tepeye, sonunu - yarım kilometre sonra alırsanız, yüksekliğin neredeyse aynı olduğunu görebilirsiniz.

Yani, mantığımıza göre, buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu kesinlikle doğru değil. Sadece birkaç mil uzakta çok şey değişebilir. Daha yeterli ve doğru bir diklik tahmini için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin bir metre ilerlerken yükseklikteki değişimi ölçerseniz sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta, yolun ortasında bir direk varsa, basitçe içinden geçebiliriz. O zaman hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha az, daha iyi!

AT gerçek hayat en yakın milimetreye olan mesafeyi ölçmek fazlasıyla yeterli. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle, konsept sonsuz küçük yani modulo değeri, adlandırabileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin, diyorsunuz ki: trilyonda bir! Ne kadar az? Ve bu sayıyı - ile bölersen, daha da az olur. Ve benzeri. Değerin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra eğilimli” okuruz). anlamak çok önemli bu sayı sıfıra eşit değil! Ama ona çok yakın. Bu, bölünebileceği anlamına gelir.

Sonsuz küçük kavramının zıttı olan kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla karşılaşmışsınızdır: bu sayı, modül olarak aklınıza gelebilecek herhangi bir sayıdan daha büyüktür. Mümkün olan en büyük sayıyı bulursanız, sadece iki ile çarpın ve daha da fazlasını elde edin. Ve sonsuzluk, olandan daha fazlasıdır. Aslında, sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at'ta ve tam tersi: at.

Şimdi yolumuza dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir parçası için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirme ile yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını not ediyorum. Ama size hatırlatmama izin verin, sonsuz küçük sıfır. Sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz, örneğin tamamen sıradan bir sayı elde edebilirsiniz. Yani, küçük bir değer diğerinin tam olarak iki katı olabilir.

Bütün bunlar neden? Yol, diklik... Mitinge gitmiyoruz ama matematik öğreniyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, sadece farklı denir.

türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, argümanın sonsuz küçük bir artışında fonksiyonun artışının argümanın artışına oranıdır.

artış matematikte değişim denir. Eksen boyunca hareket ederken argümanın () ne kadar değiştiğine denir. argüman artışı ve ile gösterilir Eksen boyunca bir mesafe ile ilerlerken fonksiyonun (yükseklik) ne kadar değiştiğine denir. fonksiyon artışı ve işaretlenir.

Yani, bir fonksiyonun türevi ne zaman ile olan ilişkisidir. Türevi, işlevle aynı harfle, yalnızca sağ üstten bir vuruşla belirtiriz: veya basitçe. Öyleyse, bu notasyonları kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol analojisinde olduğu gibi burada da fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir.

Ama türev sıfıra eşit mi? Tabii ki. Örneğin düz ve yatay bir yolda ilerliyorsak diklik sıfırdır. Gerçekten de, yükseklik hiç değişmez. Yani türev ile: bir sabit fonksiyonun (sabit) türevi sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfırdır.

Tepe örneğini ele alalım. Segmentin uçlarını, tepenin karşı taraflarında, uçlardaki yükseklik aynı olacak şekilde, yani segment eksene paralel olacak şekilde düzenlemenin mümkün olduğu ortaya çıktı:

Ancak büyük segmentler yanlış ölçümün bir işaretidir. Segmentimizi kendisine paralel olarak yükselteceğiz, sonra uzunluğu azalacak.

Sonunda, tepeye sonsuz derecede yakın olduğumuzda, parçanın uzunluğu sonsuz derecede küçük olacaktır. Ancak aynı zamanda eksene paralel kaldı, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğilim göstermez, ancak eşittir). yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede dururken, sola veya sağa küçük bir kayma, boyumuzu ihmal edilebilir şekilde değiştirir.

Ayrıca tamamen cebirsel bir açıklama var: üst kısmın solunda fonksiyon artar ve sağda azalır. Daha önce öğrendiğimiz gibi, fonksiyon arttığında türev pozitiftir ve azaldığında negatiftir. Ancak atlama olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol eğimini hiçbir yerde keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle, olumsuz ile pozitif değerler olmalıdır. Bu, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı - tepe noktasında olacaktır.

Aynısı vadi için de geçerlidir (fonksiyonun solda azaldığı ve sağda arttığı alan):

Artışlar hakkında biraz daha.

Bu yüzden argümanı bir değere değiştiriyoruz. Hangi değerden değişiyoruz? O (argüman) şimdi ne oldu? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi ondan dans edeceğiz.

Koordinatlı bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırın. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse, işlev oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: bu hala fonksiyonun değişme miktarıdır:

Artışları bulma alıştırması yapın:

1. Argümanın artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Bir noktada bir fonksiyon için aynı.

Çözümler:

Farklı noktalarda, argümanın aynı artışıyla, fonksiyonun artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin kendine ait olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - farklı noktalarda yolun dikliği farklıdır). Bu nedenle, bir türev yazarken hangi noktada belirtmeliyiz:

Güç fonksiyonu.

Bir güç işlevi, argümanın bir dereceye kadar olduğu bir işlev olarak adlandırılır (mantıksal, değil mi?).

Ve - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum, üssün olduğu zamandır:

Bir noktada türevini bulalım. Bir türevin tanımını hatırlayın:

Yani argümandan -'ye değişir. fonksiyon artışı nedir?

Artış Ancak herhangi bir noktada fonksiyon argümanına eşittir. Bu yüzden:

Türev:

türevi şudur:

b) Şimdi ikinci dereceden () fonksiyonunu düşünün: .

Şimdi bunu hatırlayalım. Bu, artış değerinin sonsuz küçük olduğu ve bu nedenle başka bir terimin arka planına karşı önemsiz olduğu için ihmal edilebileceği anlamına gelir:

Yani, başka bir kuralımız var:

c) Mantıksal seriye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: Toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı için formülü kullanarak ilk parantez açın veya küplerin farkı formülünü kullanarak tüm ifadeyi çarpanlara ayırın. Önerilen yollardan herhangi biriyle kendiniz yapmaya çalışın.

Yani, aşağıdakileri aldım:

Ve bunu tekrar hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

elde ederiz: .

d) Büyük yetkiler için benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın, bir tamsayı bile değil, keyfi bir üslü bir kuvvet fonksiyonu için genelleştirilebileceği ortaya çıktı:

(2)

Kuralı şu kelimelerle formüle edebilirsiniz: “derece bir katsayı olarak öne çıkarılır ve sonra azalır”.

Bu kuralı daha sonra kanıtlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formüle göre ve türevin tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını sayarak);

1. . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Nasıl yani? Ve derece nerede? ”, Konuyu hatırla“ ”!
   Evet, evet, kök de bir derecedir, sadece kesirli bir derecedir:
   Böylece biz Kare kök sadece üslü bir derecedir:
   .
   Yeni öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:

   Bu noktada tekrar belirsiz hale gelirse, "" konusunu tekrarlayın !!! (negatif göstergeli bir derece hakkında)

2. . Şimdi üs:

   Ve şimdi tanım yoluyla (henüz unuttunuz mu?):
   ;
   .
   Şimdi, her zamanki gibi, aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
   .

3. . Önceki vakaların kombinasyonu: .

trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir gerçeği kullanacağız:

Ne zaman ifade.

Enstitünün ilk yılında ispatı öğreneceksiniz (ve oraya gitmek için sınavı iyi geçmeniz gerekiyor). Şimdi sadece grafiksel olarak göstereceğim:

İşlev olmadığında - grafikteki noktanın delindiğini görüyoruz. Ama değere ne kadar yakınsa fonksiyon da o kadar yakındır, işte bu “çaba”dır.

Ek olarak, bu kuralı bir hesap makinesi ile kontrol edebilirsiniz. Evet evet utanmayın elinize hesap makinesi alın daha sınava gelmedik.

Hadi deneyelim: ;

Hesap makinesini Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vb. Oranın değeri ne kadar küçükse, o kadar yakın olduğunu görüyoruz.

a) Bir fonksiyon düşünün. Her zamanki gibi, artışını buluyoruz:

Sinüs farkını ürüne çevirelim. Bunu yapmak için formülü kullanıyoruz ("" konusunu hatırlayın):.

Şimdi türev:

Bir ikame yapalım: . O zaman, sonsuz küçük için, aynı zamanda sonsuz küçüktür: . ifadesi şu şekli alır:

Ve şimdi bunu ifadeyle hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda (yani, at) sonsuz küçük bir değer ihmal edilebilirse ne olur?

Yani biz sonraki kural:sinüsün türevi kosinüsüne eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldığı için en önemlileridir.

Uygulama:

1. Bir noktada bir fonksiyonun türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

1. İlk önce türevi buluyoruz Genel görünüm, ve sonra onun değerini değiştirin:
   ;
   .
2. Burada güç fonksiyonuna benzer bir şeyimiz var. Onu getirmeye çalışalım
   Normal görünüm:
   .
   Tamam, şimdi formülü kullanabilirsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ne var????

Tamam, haklısın, hala bu tür türevleri nasıl bulacağımızı bilmiyoruz. Burada birkaç tip fonksiyonun bir kombinasyonuna sahibiz. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte, türevi herhangi biri için aynı işlevin değerine eşit olan böyle bir işlev vardır. Buna "üs" denir ve üstel bir işlevdir.

Bu fonksiyonun tabanı bir sabittir - sonsuzdur ondalık, yani bir irrasyonel sayı (gibi). Buna "Euler numarası" denir, bu yüzden bir harfle gösterilir.

Yani kural:

Hatırlaması çok kolay.

Pekala, uzağa gitmeyeceğiz, hemen ters fonksiyonu ele alacağız. Üstel fonksiyonun tersi nedir? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanlı bir logaritma) “doğal” olarak adlandırılır ve bunun için özel bir notasyon kullanırız: bunun yerine yazarız.

Neye eşittir? Tabii ki, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. fonksiyonunun türevi nedir?

Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz şekilde basit olan fonksiyonlardır. Başka bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonlar, daha sonra tartışacağımız farklı bir türevine sahip olacaktır. hadi kuralları gözden geçirelim farklılaşma.

farklılaşma kuralları

Ne kuralları? Yine yeni bir terim mi?!...

farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Sadece ve her şey. Bu işlemin diğer adı nedir? Proizvodnovanie değil... Matematiğin diferansiyeline, fonksiyonun tam artışı denir. Bu terim Latin farklılığından gelir - farklılık. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken, örneğin ve gibi iki işlev kullanacağız. Artımları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural vardır.

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır.

Eğer - bir sabit sayı (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu ​​fark için de geçerlidir: .

Hadi kanıtlayalım. İzin ver ya da daha kolay.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. noktada;
2. noktada;
3. noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev, doğrusal bir fonksiyon olduğu için tüm noktalarda aynıdır, hatırladınız mı?);

Bir ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtıyoruz ve artışını buluyoruz:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Bir fonksiyonun bir noktada türevini bulun.

Çözümler:

Üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (henüz ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki bir sayı nerede.

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir tabana getirmeye çalışalım:

Bunun için kullanıyoruz basit kural: . O zamanlar:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün, üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi, sadece bir sayı olan, ancak bir değişken olmayan sadece bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan bir sayıdır, yani daha fazla yazmanın bir yolu yoktur. basit biçim. Bu nedenle, cevapta bu formda bırakılmıştır.

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip logaritmadan keyfi bir bulmak için, örneğin, :

Bu logaritmayı tabana getirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Sadece şimdi bunun yerine yazacağız:

Paydanın sadece bir sabit olduğu ortaya çıktı (değişkensiz sabit bir sayı). Türev çok basittir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri sınavda neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil ve bir yay tanjantı değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor geliyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey yoluna girecek), ancak matematik açısından "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir konveyör hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaja sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir kompozit nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolatayı yemek için zıt adımları ters sırada yapmanız gerekir.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Yani, bize bir sayı veriyorlar (çikolata), kosinüsünü (sarıcı) buluyorum ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsun (bir kurdele ile bağla). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyona bir örnektir: değerini bulmak için, doğrudan değişkenle ilk eylemi yaptığımızda ve ardından birincinin sonucu olarak olanlarla ikinci bir eylemi gerçekleştirdiğimizde.

Aynı işlemleri ters sırada da yapabiliriz: önce sen kare, sonra ben ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Önemli özellik karmaşık işlevler: eylemlerin sırasını değiştirdiğinizde işlev değişir.

Diğer bir deyişle, Karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir.: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı). .

Yaptığımız son eylem çağrılacak "harici" işlev, ve ilk gerçekleştirilen eylem - sırasıyla "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, onları sadece materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış işlevlerin ayrılması, değişen değişkenlere çok benzer: örneğin, işlevde

1. İlk önce hangi işlemi yapacağız? Önce sinüsü hesaplıyoruz ve ancak o zaman onu bir küp haline getiriyoruz. Yani bu harici bir fonksiyon değil, dahili bir fonksiyondur.
   Ve asıl işlev onların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Şimdi çikolatamızı çıkaracağız - türevi arayın. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnek için şöyle görünür:

Başka bir örnek:

Öyleyse, nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(Şimdilik azaltmaya çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkarılmaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Burada üç seviyeli bir karmaşık işlev olduğu hemen açıktır: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlevdir ve yine de kökü ondan çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir sargıya koyuyoruz) ve bir evrak çantasında bir kurdele ile). Ancak korkmak için bir neden yok: her neyse, bu işlevi her zamanki gibi aynı sırayla “açacağız”: sondan.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Sonra hepsini çoğaltıyoruz.

Bu gibi durumlarda, eylemleri numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, ilgili işlev o kadar "harici" olacaktır. Eylemlerin sırası - daha önce olduğu gibi:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Eylemin seyrini belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. KISACA ANA HAKKINDA

fonksiyon türevi- fonksiyonun artışının, argümanın sonsuz küçük bir artışıyla argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Türev ürün:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

1. "İç" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
2. "Dış" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Üzerinde en basit türevleri analiz ettiğimiz ve ayrıca türev bulma kuralları ve bazı teknikler hakkında bilgi sahibi olduk. Bu nedenle, fonksiyonların türevleri konusunda çok iyi değilseniz veya bu makalenin bazı noktaları tam olarak açık değilse, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali ayarlayın - malzeme kolay değil, ancak yine de onu basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Pratikte, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta türevleri bulmak için görevler verildiğinde neredeyse her zaman söyleyebilirim.

Karmaşık bir işlevi ayırt etmek için tablodaki kurala (No. 5) bakarız:

Anlıyoruz. Öncelikle notasyona bir göz atalım. Burada iki işlevimiz var - ve ve işlev, mecazi olarak konuşursak, işlev içinde yuvalanmıştır. Bu tür bir işleve (bir işlev diğerinin içinde yuvalandığında) karmaşık işlev denir.

fonksiyonu arayacağım harici fonksiyon, ve işlev – iç (veya iç içe) işlev.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. "Dış işlev", "iç" işlev gibi resmi olmayan ifadeleri yalnızca materyali anlamanızı kolaylaştırmak için kullanıyorum.

Durumu netleştirmek için şunları göz önünde bulundurun:

örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında, sadece "x" harfi değil, ifadenin tamamı var, bu nedenle tablodan türevi hemen bulmak işe yaramaz. İlk dört kuralı burada uygulamanın imkansız olduğunu da fark ediyoruz, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki sinüsü “parçalamak” imkansız:

Bu örnekte, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun iç işlev(gömme) ve - harici bir işlev.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken yapılması gereken, Hangi fonksiyonun dahili, hangisinin harici olduğunu anlamak.

Basit örneklerde, sinüsün altında bir polinomun iç içe olduğu açıkça görülmektedir. Ama ya bariz değilse? Hangi fonksiyonun harici, hangisinin dahili olduğu tam olarak nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, zihinsel veya taslak üzerinde gerçekleştirilebilecek aşağıdaki tekniği kullanmayı öneriyorum.

Bir hesap makinesi ile ifadenin değerini hesaplamamız gerektiğini düşünelim (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplıyoruz? Her şeyden önce aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: , bu nedenle polinom dahili bir işlev olacaktır:

ikinci olarak bulmanız gerekecek, bu nedenle sinüs - harici bir işlev olacaktır:

bizden sonra ANLAMAK iç ve dış fonksiyonlar ile bileşik fonksiyon türev alma kuralını uygulama zamanı .

Karar vermeye başlıyoruz. dersten Türev nasıl bulunur? Herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üste bir vuruş koyuyoruz:

Öncelikle dış fonksiyonun (sinüs) türevini buluruz, temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakarız ve dikkat edin. "x" karmaşık bir ifadeyle değiştirilse bile tüm tablo formülleri geçerlidir, bu durumda:

Not iç işlev değişmedi dokunmuyoruz.

Eh, çok açık ki

Formülün uygulanmasının sonucu temiz şöyle görünür:

Sabit faktör genellikle ifadenin başına yerleştirilir:

Herhangi bir yanlış anlama varsa kararı kağıda yazıp açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zamanki gibi yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyonumuz olduğunu ve nerede dahili bir fonksiyonumuz olduğunu buluruz. Bunu yapmak için (zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde) ifadesinin değerini hesaplamaya çalışırız. İlk önce ne yapılması gerekiyor? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu, polinomun dahili fonksiyon olduğu anlamına gelir:

Ve ancak o zaman üstelleştirme gerçekleştirilir, bu nedenle güç işlevi harici bir işlevdir:

formüle göre , önce dış fonksiyonun türevini bulmanız gerekir, bu durumda derece. Tabloda istenen formülü arıyoruz: Tekrar tekrar ediyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca "x" için değil, aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu sonraki:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonun değişmediğini tekrar vurguluyorum:

Şimdi geriye, iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz "taramak" kalıyor:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda).

Karmaşık bir fonksiyonun türevi anlayışını pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışacağım, sebep, dış nerede ve iç fonksiyon nerede, görevler neden bu şekilde çözüldü?

Örnek 5

a) Bir fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü ayırt edebilmek için bir derece olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece, önce fonksiyonu farklılaşma için uygun forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ederek, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu ve üs almanın bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz :

Derece yine bir kök (kök) olarak temsil edilir ve iç fonksiyonun türevi için toplamı türevlendirmek için basit bir kural uygularız:

Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya getirebilir ve her şeyi bir kesir olarak yazabilirsiniz. Tabii ki güzel, ama hantal uzun türevler elde edildiğinde, bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması kolaydır, gereksiz bir hata yapar ve öğretmenin kontrol etmesi elverişsiz olacaktır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda).

Bazen, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine, bir bölümün türevini alma kuralının kullanılabileceğini belirtmek ilginçtir. , ancak böyle bir çözüm alışılmadık bir sapkınlık gibi görünecek. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün türev alma kuralını kullanabilirsiniz. , ancak karmaşık bir fonksiyonun türev kuralı ile türevi bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlıyoruz - türevin eksi işaretini alıyoruz ve kosinüsü paya yükseltiyoruz:

Kosinüs dahili bir fonksiyondur, üs alma harici bir fonksiyondur.
kuralımızı kullanalım :

İç fonksiyonun türevini buluyoruz, kosinüsü sıfırlıyoruz:

Hazır. Ele alınan örnekte, işaretlerde kafa karıştırmamak önemlidir. Bu arada kuralıyla çözmeye çalışın , cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda).

Şimdiye kadar, karmaşık bir işlevde yalnızca bir yuvalamanın olduğu durumları ele aldık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 hatta 4-5 işlevin aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu işlevin eklerini anlıyoruz. Deneysel değeri kullanarak ifadeyi değerlendirmeye çalışıyoruz. Bir hesap makinesine nasıl güveniriz?

İlk önce bulmanız gerekir, bu, arksinüsünün en derin yuvalama olduğu anlamına gelir:

Bu birliğin arksinüsü daha sonra karesi alınmalıdır:

Ve son olarak, yediyi güce yükseltiyoruz:

Yani, bu örnekte üç farklı fonksiyona ve iki yuvalamaya sahibiz, en içteki fonksiyon arksinüs ve en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyondur.

karar vermeye başlıyoruz

kurala göre önce dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakarız ve üstel fonksiyonun türevini buluruz: Tek fark, "x" yerine bu formülün geçerliliğini olumsuzlamayan karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu sonraki.

Türev nasıl bulunur, türev nasıl alınır? Bu dersimizde fonksiyonların türevlerini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Ancak bu sayfayı incelemeden önce, metodolojik materyali tanımanızı şiddetle tavsiye ederim.Sıcak Formüller okul kursu matematik. Referans kılavuzu sayfadan açılabilir veya indirilebilir. Matematiksel formüller ve tablolar . Ayrıca oradan ihtiyacımız vartürev tablosu, yazdırmak daha iyidir, genellikle ona başvurmanız gerekir ve yalnızca şimdi değil, aynı zamanda çevrimdışı.

Var? Başlayalım. Size iki haberim var: iyi ve çok iyi. İyi haber şu ki, türevlerin nasıl bulunacağını öğrenmek için türevin ne olduğunu bilmek ve anlamak hiç de gerekli değildir. Dahası, bir fonksiyonun türevinin tanımı, türevin matematiksel, fiziksel, geometrik anlamı daha sonra sindirmek için daha uygundur, çünkü teorinin nitel çalışması, bence, bir dizi başka konunun incelenmesini gerektirir, bazı pratik deneyimlerin yanı sıra.

Ve şimdi görevimiz bu türevlerde teknik olarak ustalaşmak. Çok iyi haber şu ki, türev almayı öğrenmek o kadar zor değil, bu görevi çözmek (ve açıklamak) için oldukça açık bir algoritma var, örneğin integraller veya limitler konusunda uzmanlaşmak daha zordur.

Konuyla ilgili aşağıdaki çalışma sırasını öneriyorum: önce, Bu makale. O zaman en önemli dersi okumalısın Karmaşık bir fonksiyonun türevi . Bu iki temel sınıf, becerilerinizi sıfırdan geliştirmenizi sağlayacaktır. Ayrıca, makalede daha karmaşık türevleri tanımak mümkün olacaktır. karmaşık türevler.

logaritmik türev. Çıta çok yüksekse, önce öğeyi okuyun protozoa tipik görevler türev ile. Yeni materyale ek olarak, ders diğer, daha fazlasını kapsıyordu. basit tipler türevleri ve farklılaşma tekniğinizi geliştirmek için harika bir fırsat var. Ayrıca, içinde kontrol işi neredeyse her zaman örtük veya parametrik olarak belirtilen fonksiyonların türevlerini bulmak için görevler vardır. Bunun için bir öğretici de var: Örtük ve parametrik olarak tanımlanmış fonksiyonların türevleri.

Size fonksiyonların türevlerini nasıl bulacağınızı öğretmek için erişilebilir bir biçimde adım adım deneyeceğim. Tüm bilgiler basit kelimelerle ayrıntılı olarak sunulmaktadır.

Aslında hemen bir örnek düşünün: Örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun Çözüm:

BT en basit örnek, lütfen temel fonksiyonların türevleri tablosunda bulun. Şimdi çözüme bakalım ve ne olduğunu analiz edelim? Ve aşağıdaki şey oldu:

Çözümün bir sonucu olarak bir fonksiyona dönüşen bir fonksiyonumuz vardı.

Oldukça basit, türevini bulmak için

belirli kurallara göre başka bir işleve dönüştürmeniz gerekir. . Türev tablosuna tekrar bakın - orada fonksiyonlar başka fonksiyonlara dönüşür. tek

istisna, üstel fonksiyondur.

kendine dönüşür. Türev bulma işlemine denir.farklılaşma.

Gösterim: Türev veya ile gösterilir.

DİKKAT, ÖNEMLİ! Vuruş koymayı (gerektiğinde) veya fazladan vuruş çizmeyi (gerekli olmadığında) unutmak BÜYÜK BİR YANLIŞTIR! Bir fonksiyon ve türevi iki farklı fonksiyondur!

Türev tablomuza dönelim. Bu tablodan arzu edilir ezberlemek: bazı temel fonksiyonların türevleri ve türevleri kuralları, özellikle:

bir sabitin türevi:

Sabit bir sayı nerede; bir güç fonksiyonunun türevi:

Özellikle:,,.

Neden ezberlesin? Bu bilgi türevler hakkında temel bilgidir. Ve öğretmenin “Sayının türevi nedir?” sorusuna cevap veremiyorsanız, o zaman üniversitedeki eğitiminiz bitebilir (şahsen iki tane biliyorum) gerçek vakalar hayattan). Ayrıca bunlar, türevlerle neredeyse her karşılaştığımızda kullanmamız gereken en yaygın formüllerdir.

AT Gerçekte, basit tablo örnekleri nadirdir; genellikle, türevleri bulurken, önce türev alma kuralları ve ardından temel fonksiyonların türevleri tablosu kullanılır.

AT Bu bağlamda, değerlendirmeye dönüyoruzfarklılaşma kuralları:

1) Türevin işaretinden sabit bir sayı alınabilir (ve alınmalıdır).

Sabit sayı nerede (sabit) Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türev tablosuna bakıyoruz. Kosinüsün türevi orada, ama elimizde .

Kuralı kullanmanın zamanı geldi, türevin işaretinin ötesindeki sabit faktörü çıkarıyoruz:

Ve şimdi kosinüsümüzü tabloya göre çeviriyoruz:

Eh, sonucu biraz "taraklamak" arzu edilir - eksiyi ilk etapta koyun, aynı zamanda parantezlerden kurtulun:

2) Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir

Bir fonksiyonun türevini bulun

Biz karar veririz. Muhtemelen zaten fark ettiğiniz gibi, türevi bulurken her zaman gerçekleştirilen ilk eylem, ifadenin tamamını parantez içine alıp sağ üste bir tire koymaktır:

İkinci kuralı uyguluyoruz:

Lütfen farklılaşma için tüm köklerin, derecelerin olarak temsil edilmesi gerektiğini ve eğer paydada iseler, o zaman not edin.

onları yukarı taşı. Bunun nasıl yapılacağı metodolojik materyallerimde tartışılmaktadır.

Şimdi türevin ilk kuralını hatırlıyoruz - türevin işaretinin dışındaki sabit faktörleri (sayıları) çıkarıyoruz:

Genellikle, çözüm sırasında bu iki kural aynı anda uygulanır (uzun bir ifadeyi bir kez daha yeniden yazmamak için).

Vuruşların altındaki tüm işlevler, temel tablo işlevleridir, tabloyu kullanarak dönüşümü gerçekleştiririz:

Daha fazla vuruş olmadığından ve türev bulunduğundan her şeyi bu formda bırakabilirsiniz. Ancak, bunun gibi ifadeler genellikle basitleştirir:

Türün tüm derecelerinin tekrar kök olarak gösterilmesi arzu edilir,

negatif üslü dereceler - paydaya sıfırlayın. Bunu yapamasanız da, bu bir hata olmayacaktır.

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu örneği kendiniz çözmeye çalışın (dersin sonunda cevaplayın).

3) Fonksiyonların çarpımının türevi

Görünüşe göre, benzetme yoluyla, formül kendini gösteriyor ...., ancak sürpriz şu ki:

Bu olağandışı kural(aslında, diğerleri gibi) aşağıdakilerden gelir: türev tanımları. Ancak şimdilik teori ile bekleyeceğiz - şimdi nasıl çözüleceğini öğrenmek daha önemli:

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bağlı olarak iki fonksiyonun çarpımına sahibiz. Önce garip kuralımızı uyguluyoruz ve sonra fonksiyonları türev tablosuna göre dönüştürüyoruz:

Zor? Hiç de değil, bir çaydanlık için bile oldukça uygun.

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyon iki fonksiyonun toplamını ve çarpımını içerir - kare üç terimli ve logaritma. Çarpma ve bölmenin toplama ve çıkarmadan önce geldiğini okuldan hatırlıyoruz.

Burada da aynı. ÖNCE ürün farklılaştırma kuralını kullanıyoruz:

Şimdi parantez için ilk iki kuralı kullanıyoruz:

Vuruşlar altında farklılaşma kurallarını uygulamanın bir sonucu olarak, sadece temel fonksiyonlarla kaldık, türev tablosuna göre onları diğer fonksiyonlara dönüştürüyoruz:

Türev bulma konusunda biraz deneyimle, basit türevlerin bu kadar ayrıntılı olarak açıklanmasına gerek yok gibi görünüyor. Genelde sözlü olarak çözülür ve hemen kaydedilir. .

Bir fonksiyonun türevini bulun Bu kendi kendine çözmeye bir örnektir (cevap dersin sonundadır)

4) Özel fonksiyonların türevi

Tavanda bir kapak açıldı, korkma, bu bir arıza. Ve işte acı gerçek:

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada olmayan - toplam, fark, ürün, kesir .... Neyle başlamalıyım?! Şüphe var, hiç şüphe yok, ancak HER DURUMDA, önce parantezleri çizin ve sağ üst köşeye bir vuruş yapın:

Şimdi parantez içindeki ifadeye bakalım, nasıl sadeleştiririz? Bu durumda, birinci kurala göre türevin işaretinden çıkarılması tavsiye edilen bir faktör fark ederiz:

Aynı zamanda, payda artık ihtiyaç duyulmayan parantezlerden kurtuluruz. Genel olarak, türevi bulmada sabit faktörler

Başvuru

Öğrenciler ve okul çocukları tarafından kapsanan materyali birleştirmek için türevin siteye çözümü. Çevrimiçi problem çözme hizmetimizi kullanırsanız, bir fonksiyonun türevini birkaç saniyede hesaplamak zor değildir. Öncülük etmek detaylı analiz kapsamlı bir çalışma pratik ders her üçüncü öğrenci yapabilir. Ülkedeki eğitim kurumlarında matematiğin tanıtımı için ilgili bölümün bölümü sıklıkla bize yaklaşır. Bu durumda, kapalı bir sayısal diziler uzayı için çevrimiçi türevin çözümünden bahsetmiyorum bile. Birçok zengin kişinin şaşkınlıklarını ifade etmesine izin verilir. Ama bu arada matematikçiler de hareketsiz durup çok çalışmıyorlar. Giriş parametrelerinin değiştirilmesi doğrusal özellikler Küplerin azalan konumlarının üstünlüğü nedeniyle türev hesaplayıcısını kabul edecektir. Sonuç bir yüzey olarak kaçınılmazdır. İlk veri olarak, çevrimiçi türev alma ihtiyacını ortadan kaldırır. gereksiz eylemler. Hayali ev ödevi hariç. Türevlerin çevrimiçi olarak çözümünün gerekli ve gerekli olmasının yanı sıra önemli yön matematik okuyan öğrenciler genellikle geçmişteki görevleri hatırlamazlar. Öğrenci tembel bir yaratık gibi bunu anlar. Ama öğrenciler komik insanlar! Ya kurallara göre yapın, ya da fonksiyonun eğik bir düzlemde türevi, maddi bir noktaya ivme verebilir. Azalan uzaysal ışının vektörünü bir yere yönlendirelim. İstenilen cevapta, türevi bulmak, matematiksel sistemin kararsızlığı nedeniyle soyut bir teorik yön gibi görünmektedir. Sayıların oranını, kullanılmayan seçenekler dizisi olarak düşünün. İletişim kanalı, küpün kapalı çatallanma noktasından azalan vektör boyunca beşinci çizgi ile dolduruldu. Eğri uzaylar düzleminde, türevi çevrimiçi olarak çözmek, bizi geçen yüzyılda gezegenin en büyük zihinlerini düşündüren bir sonuca götürür. Matematik alanındaki olaylar sırasında, bir değişkenin seçim konumunun iyileştirilmesine katkıda bulunan temel olarak beş önemli faktör kamuoyunun tartışmasına sunuldu. Bu nedenle, puan yasası, çevrimiçi türevin her durumda ayrıntılı olarak hesaplanmadığını, yalnızca sadık bir şekilde ilerlemenin bir istisna olabileceğini söylüyor. Tahmin bizi yönlendirdi yeni tur gelişim. Bir sonuca ihtiyacımız var. Yüzeyin altından geçen matematiksel eğim çizgisinde, mod türevlerinin hesaplayıcısı, bükme seti üzerindeki ürünlerin kesiştiği alandadır. Geriye epsilon komşuluğuna yakın bağımsız noktasında fonksiyonun farklılaşmasını analiz etmek kalıyor. Bunu pratikte herkes görebilir. Sonuç olarak, programlamanın bir sonraki aşamasında karar verilmesi gereken bir şey olacaktır. Öğrenci, uygulanan hayali çalışmalar ne olursa olsun, her zaman olduğu gibi çevrimiçi türevlere ihtiyaç duyar. Bir sabitle çarpılan fonksiyonun çevrim içi türevin çözümünü değiştirmediği ortaya çıktı. Genel yön maddi bir noktanın hareketi, ancak düz bir çizgide hızdaki artışı karakterize eder. Bu anlamda türev hesaplayıcımızı uygulamak ve bir fonksiyonun tüm değerlerini tanım kümesinin tamamı üzerinde hesaplamak faydalı olacaktır. Sadece yerçekimi alanının kuvvet dalgalarını incelemeye gerek yok. Çevrimiçi türev çözümü hiçbir durumda giden ışının eğimini göstermez, ancak yalnızca nadir durumlarda, gerçekten gerekli olduğunda, üniversite öğrencileri bunu hayal edebilir. Müdürü araştırıyoruz. En küçük rotorun değeri tahmin edilebilir. Sonuca topu tanımlayan sağa bakan çizgileri uygulayın, ancak cevrimici hesap makinesi türevler, bu, özel kuvvet ve doğrusal olmayan bağımlılık rakamları için temeldir. Matematik proje raporu hazır. Kişisel özellikler, en küçük sayıların farkı ve fonksiyonun y ekseni boyunca türevi, aynı fonksiyonun içbükeyliğini yüksekliğe getirecektir. Bir yön var - bir sonuç var. Teoriyi uygulamaya koymak daha kolaydır. Çalışmanın başlama zamanlaması konusunda öğrencilerden bir öneri var. Bir öğretmenin cevabına ihtiyacım var. Yine önceki konumda olduğu gibi, matematiksel sistem türevi bulmaya yardımcı olacak bir eylem temelinde düzenlenmemiştir.Düşük yarı-doğrusal versiyon gibi, çevrimiçi türev de çözümün tanımlanmasına göre ayrıntılı olarak belirtilecektir. dejenere koşullu yasa. Sadece formülleri hesaplama fikrini ortaya koyun. Bir fonksiyonun lineer türevi, basitçe alakasız pozitif varyasyonları ortaya koyarak çözümün doğruluğunu reddeder. Karşılaştırma işaretlerinin önemi, fonksiyonun eksen boyunca sürekli bir kırılması olarak kabul edilecektir. Öğrenciye göre, çevrimiçi türevin sadık bir matematiksel analiz örneğinden başka bir şey olduğu en bilinçli sonucun önemi budur. Öklid uzayında eğri bir dairenin yarıçapı, tersine, türev hesaplayıcısına kararlılık için belirleyici problemlerin değişiminin doğal bir temsilini verdi. en iyi yöntem bulundu. Görevin seviyesini yükseltmek daha kolaydı. Bağımsız fark oranının uygulanabilirliği türevlerin çevrimiçi çözümüne yol açsın. Çözüm, bir daire şeklini tanımlayan x ekseni etrafında döner. Bir çıkış yolu var ve herkesin öğrendiği, üniversite öğrencileri tarafından teorik olarak desteklenen araştırmalara dayanıyor ve zamanın o anlarında bile işlevin bir türevi var. İlerleme için bir yol bulduk ve öğrenciler bunu onayladı. Matematiksel sistemi dönüştürmek için doğal olmayan bir yaklaşımın ötesine geçmeden türevi bulmayı göze alabiliriz. Orantılılığın sol işareti, geometrik diziyle birlikte şu şekilde büyür: matematiksel temsil Sonsuz y eksenindeki doğrusal faktörlerin bilinmeyen durumu nedeniyle türevlerin çevrimiçi hesaplayıcısı. Dünyanın dört bir yanındaki matematikçiler olağanüstü olduklarını kanıtladılar üretim süreci. Teorinin açıklamasına göre bir dairenin içinde en küçük kare vardır. Yine, çevrimiçi türev, ilk etapta teorik olarak rafine edilmiş görüşü neyin etkilemiş olabileceğine dair tahminimizi detaylandıracaktır. İncelediğimiz rapordan farklı nitelikte görüşler vardı. Fakültelerimizin öğrencilerine ayrı bir ilgi gösterilmeyebilir, ancak bir fonksiyonun farklılaşmasının sadece bir bahane olduğu akıllı ve ileri matematikçilere değil. Türevin mekanik anlamı çok basittir. kaldırma kuvveti zaman içinde yukarı doğru sürekli azalan uzayların çevrimiçi türevi olarak hesaplanır. Açıktır ki, türev hesaplayıcısı, amorf bir cisim olarak yapay bir dönüşümün yozlaşması sorununu tanımlamanın titiz bir sürecidir. Birinci türev, maddi bir noktanın hareketindeki bir değişiklikten bahseder. Üç boyutlu uzay, çevrimiçi türevleri çözmek için özel olarak eğitilmiş teknolojiler bağlamında açıkça gözlemlenir, aslında matematik disiplini konusundaki her kolokyumdadır. İkinci türev maddesel bir noktanın hızındaki değişimi karakterize eder ve ivmeyi belirler. Bir afin dönüşüm kullanımına dayanan meridyen yaklaşımı, bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bu fonksiyonun tanım alanından yeni bir düzeye taşır. Çevrimiçi bir türev hesaplayıcısı, bazı durumlarda, görevdeki şeylerin dönüştürülebilir düzenlemesi dışında, doğru yürütülebilir an için sayılar ve semboller olmadan olamaz. Şaşırtıcı bir şekilde, bir maddi noktanın ikinci bir ivmesi vardır, bu ivmedeki değişimi karakterize eder. Kısacası zaman dilimleri Türevin çözümünü çevrimiçi olarak incelemeye başlayalım, ancak bilgide belirli bir kilometre taşına ulaşılır ulaşmaz öğrencimiz bu işlemi durduracaktır. En iyi çare ağ oluşturma, matematiksel bir konuda canlı iletişimdir. Görev ne kadar zor olursa olsun, hiçbir koşulda ihlal edilmemesi gereken ilkeler vardır. Türevi çevrimiçi olarak zamanında ve hatasız bulmakta fayda var. Bu, matematiksel ifadenin yeni bir konumuna yol açacaktır. Sistem kararlı. fiziksel anlam türev mekanik kadar popüler değildir. Çevrimiçi türevin, fonksiyonun çizgilerinin ana hatlarını x eksenine bitişik üçgenden normale düzlemde nasıl ayrıntılı olarak çıkardığını kimsenin hatırlaması olası değildir. İnsan, geçen yüzyılın araştırmalarında büyük bir rolü hak ediyor. Fonksiyonun hem tanım alanından hem de sonsuzdaki noktalarda farklılaşmasını üç temel aşamada gerçekleştirelim. Sadece çalışma alanında yazılı olacak, ancak matematik ve sayı teorisindeki ana vektörün yerini alabilir, ne olur olmaz çevrimiçi türev hesaplayıcıyı probleme bağlayacaktır. Bir sebep olurdu, ama bir denklem kurmak için bir sebep olacak. Tüm giriş parametrelerini akılda tutmak çok önemlidir. En iyisi her zaman kafa kafaya alınmaz, bunun arkasında çevrimiçi türevinin uzayda nasıl hesaplandığını bilen en iyi beyinlerin muazzam miktarda emeği vardır. O zamandan beri, dışbükeylik sürekli bir fonksiyonun bir özelliği olarak kabul edildi. Yine de, ilk önce türevleri çevrimiçi olarak çözme problemini belirlemek daha iyidir. en kısa sürede. Böylece çözüm tamamlanmış olacaktır. Karşılanmayan normlara ek olarak, bu yeterli görülmemektedir. Başlangıçta hemen hemen her öğrenci, bir fonksiyonun türevinin nasıl tartışmalı bir büyüme algoritmasına neden olduğuna dair basit bir yöntem ortaya koymayı önerir. Yükselen ışın yönünde. şu şekilde mantıklı genel konum. Önceden, belirli bir matematiksel eylemin tamamlanmasının başlangıcını işaret ediyorlardı, ancak bugün tam tersi olacak. Belki de çevrimiçi türevin çözümü sorunu tekrar gündeme getirecek ve öğretmenler toplantısındaki tartışmada korunması konusunda ortak bir görüşü kabul edeceğiz. Toplantı katılımcılarının her tarafından anlayış bekliyoruz. Mantıksal anlam, geçen yüzyılda dünyanın büyük bilim adamları tarafından cevaplanan problem düşüncesinin sunum sırası hakkında sayıların rezonansındaki türev hesaplayıcısının açıklamasında yer almaktadır. Dönüştürülen ifadeden karmaşık bir değişken çıkarmaya ve aynı türden büyük bir eylemi gerçekleştirmek için çevrimiçi türevi bulmaya yardımcı olacaktır. Gerçek, tahminden çok daha iyidir. En düşük değer trendde. Ayrıntılı bir çevrimiçi türevi bulunan en doğru konum için benzersiz bir hizmet kullanıldığında sonuç uzun sürmeyecektir. Dolaylı olarak, ancak bir bilgenin dediği gibi, birliğin farklı şehirlerinden birçok öğrencinin isteği üzerine çevrimiçi bir türev hesaplayıcı oluşturuldu. Bir fark varsa, neden iki kez karar veriyorsunuz? Verilen vektör normal ile aynı taraftadır. Geçen yüzyılın ortalarında bir fonksiyonun farklılaşması hiçbir şekilde bugünkü gibi algılanmıyordu. Devam eden gelişme sayesinde çevrimiçi matematik ortaya çıktı. Zamanla öğrenciler matematik disiplinlerine kredi vermeyi unuturlar. Çevrimiçi türevin çözümü, pratik bilgilerle desteklenen teorinin uygulanmasına haklı olarak dayanan tezimize meydan okuyacaktır. ötesine geçecek mevcut değer sunum faktörü ve işlevin formülünü açıkça yazın. Şu anda herhangi bir hesap makinesi kullanmadan türevi bulmanız gerekiyor, ancak her zaman öğrencinin hilesine başvurabilir ve yine de böyle bir hizmeti web sitesi olarak kullanabilirsiniz. Böylece öğrenci, taslak not defterinden örnekleri son forma kopyalama konusunda çok zaman kazanacaktır. Çelişki yoksa, bu tür karmaşık örnekler için adım adım çözüm hizmetini kullanın.