Սահմանում. Կողքի դեմքը- սա եռանկյուն է, որի մի անկյունը գտնվում է բուրգի վերևում, իսկ դրա հակառակ կողմը համընկնում է հիմքի (բազմանկյուն) կողմի հետ:

Սահմանում. Կողքի կողիկներկողային երեսների ընդհանուր կողմերն են։ Բուրգը այնքան եզրեր ունի, որքան անկյուններ կան բազմանկյան մեջ:

Սահմանում. բուրգի բարձրությունըբուրգի վերևից մինչև հիմքն ընկած ուղղահայաց է:

Սահմանում. Ապաթեմ- սա բուրգի կողային երեսի ուղղահայացն է՝ իջեցված բուրգի վերևից դեպի հիմքի կողմը:

Սահմանում. Շեղանկյուն հատված- սա բուրգի մի հատված է, որն անցնում է բուրգի գագաթով և հիմքի անկյունագծով:

Սահմանում. Ճիշտ բուրգ- Սա բուրգ է, որի հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ բարձրությունը իջնում ​​է հիմքի կենտրոն:

Բուրգի ծավալը և մակերեսը

Բանաձև. բուրգի ծավալըբազայի տարածքի և բարձրության միջոցով.

բուրգի հատկությունները

Եթե ​​բոլոր կողային եզրերը հավասար են, ապա բուրգի հիմքի շուրջը կարելի է շրջագծել շրջան, իսկ հիմքի կենտրոնը համընկնում է շրջանագծի կենտրոնի հետ։ Բացի այդ, վերևից ընկած ուղղահայացն անցնում է հիմքի (շրջանակի) կենտրոնով:

Եթե ​​բոլոր կողային կողերը հավասար են, ապա դրանք թեքված են դեպի բազային հարթությունը նույն անկյուններով։

Կողային կողերը հավասար են, երբ ձևավորվում են հիմքի հարթության հետ հավասար անկյուններկամ եթե բուրգի հիմքի շուրջը կարելի է շրջագծել:

Եթե ​​կողային երեսները մեկ անկյան տակ թեքված են հիմքի հարթության վրա, ապա բուրգի հիմքում կարելի է շրջանագիծ գծել, իսկ բուրգի գագաթը նախագծվել նրա կենտրոնում։

Եթե ​​կողային երեսները մի անկյան տակ թեքված են դեպի բազային հարթությունը, ապա կողային երեսների ապոտեմները հավասար են։

Կանոնավոր բուրգի հատկությունները

1. Բուրգի գագաթը հիմքի բոլոր անկյուններից հավասար հեռավորության վրա է:

2. Բոլոր կողային եզրերը հավասար են:

3. Բոլոր կողային կողերը թեքված են հիմքի նկատմամբ նույն անկյուններով:

4. Բոլոր կողային երեսների ապոթեմները հավասար են:

5. Բոլոր կողային երեսների մակերեսները հավասար են։

6. Բոլոր երեսներն ունեն նույն երկնիշ (հարթ) անկյունները։

7. Բուրգի շուրջ կարելի է նկարագրել գունդ։ Նկարագրված ոլորտի կենտրոնը կլինի եզրերի միջով անցնող ուղղահայացների հատման կետը։

8. Գունդը կարելի է մակագրել բուրգի մեջ։ Նկարագրված գնդիկի կենտրոնը կլինի եզրի և հիմքի անկյունից բխող բիսեկտորների հատման կետը։

9. Եթե ներգծված գնդի կենտրոնը համընկնում է շրջագծված գնդիկի կենտրոնի հետ, ապա գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է π-ի կամ հակառակը, մի անկյունը հավասար է π / n-ի, որտեղ n-ը թիվն է: բուրգի հիմքում գտնվող անկյունները:

Բուրգի կապը ոլորտի հետ

Բուրգի շուրջը կարելի է նկարագրել մի գունդ, երբ բուրգի հիմքում ընկած է բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջան (անհրաժեշտ և բավարար պայման): Ոլորտի կենտրոնը կլինի բուրգի կողային եզրերի միջնակետերով ուղղահայաց անցնող հարթությունների հատման կետը։

Գունդը միշտ կարելի է նկարագրել ցանկացած եռանկյունաձև կամ կանոնավոր բուրգի շուրջ:

Գունդը կարելի է մակագրել բուրգի մեջ, եթե բուրգի ներքին երկանկյուն անկյունների կիսադիր հարթությունները հատվում են մեկ կետում (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։ Այս կետը կլինի ոլորտի կենտրոնը։

Բուրգի կապը կոնի հետ

Կոնը կոչվում է բուրգի մեջ գրված, եթե դրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը գրված է բուրգի հիմքում:

Բուրգի մեջ կոն կարող է գրվել, եթե բուրգի ապոտեմները հավասար են:

Կոն կոչվում է բուրգի շուրջը շրջագծված, եթե դրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը շրջագծված է բուրգի հիմքի շուրջը:

Կոն կարելի է նկարագրել բուրգի շուրջ, եթե բուրգի բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց:

Բուրգի միացում գլանով

Բուրգը մակագրված է գլանով, եթե բուրգի գագաթը ընկած է մխոցի մի հիմքի վրա, իսկ բուրգի հիմքը մակագրված է մխոցի մեկ այլ հիմքի վրա:

Մխոցը կարող է շրջագծվել բուրգի շուրջը, եթե բուրգի հիմքի շուրջը կարելի է շրջանցել։

Սահմանում. Կտրված բուրգ (բրգաձեւ պրիզմա)- Սա պոլիէդրոն է, որը գտնվում է բուրգի հիմքի և հիմքին զուգահեռ հատվածի հարթության միջև: Այսպիսով, բուրգն ունի մեծ հիմք և ավելի փոքր հիմք, որը նման է ավելի մեծին: Կողային երեսները տրապիզոիդ են։

Սահմանում. Եռանկյուն բուրգ (տետրաեդրոն)- սա բուրգ է, որի երեք դեմքերը և հիմքը կամայական եռանկյուններ են:

Չորս երեսն ունի չորս երես և չորս գագաթ և վեց եզր, որտեղ ցանկացած երկու եզր չունի ընդհանուր գագաթներ, բայց չեն հպվում:

Յուրաքանչյուր գագաթ բաղկացած է երեք դեմքերից և եզրերից, որոնք ձևավորվում են եռանկյուն անկյուն.

Տետրաեդրոնի գագաթը հակառակ դեմքի կենտրոնի հետ կապող հատվածը կոչվում է քառաեդրոնի միջն(ԳՄ):

Բիմեդիանկոչվում է մի հատված, որը կապում է հակառակ եզրերի միջնակետերը, որոնք չեն հպվում (KL):

Տետրաեդրոնի բոլոր բիմեդիանները և միջինները հատվում են մեկ կետում (S): Այս դեպքում բիմեդիանները բաժանվում են կիսով չափ, իսկ միջինները՝ 3:1 հարաբերակցությամբ՝ սկսած վերևից:

Սահմանում. թեքված բուրգբուրգ է, որի եզրերից մեկը հիմքի հետ կազմում է բութ անկյուն (β):

Սահմանում. Ուղղանկյուն բուրգբուրգ է, որի կողային երեսներից մեկն ուղղահայաց է հիմքին։

Սահմանում. Սուր անկյունային բուրգբուրգ է, որի ապոտեմը հիմքի կողմի երկարության կեսից ավելին է։

Սահմանում. բութ բուրգբուրգ է, որի ապոտեմը հիմքի կողմի երկարության կեսից պակաս է։

Սահմանում. կանոնավոր քառաեդրոնՉորսանկյուն, որի չորս երեսները հավասարակողմ եռանկյունիներ են։ Այն հինգ կանոնավոր բազմանկյուններից մեկն է։ Կանոնավոր քառաեդրոնում բոլոր երկանկյուն անկյունները (դեմքերի միջև) և եռանկյուն անկյունները (գագաթի վրա) հավասար են։

Սահմանում. Ուղղանկյուն քառանիստկոչվում է քառաեդրոն, որն ունի ուղիղ անկյուն երեք եզրերի միջև գագաթին (եզրերը ուղղահայաց են): Ձևավորվում է երեք դեմք ուղղանկյուն եռանկյուն անկյունիսկ եզրերն են ուղղանկյուն եռանկյուններ, իսկ հիմքը կամայական եռանկյուն է։ Ցանկացած դեմքի ապոտեմը հավասար է հիմքի այն կողմի կեսին, որի վրա ընկնում է ապոտեմը:

Սահմանում. Իզոեդրային քառաեդրոնՔառաեդրոն կոչվում է, որի կողային երեսները հավասար են միմյանց, իսկ հիմքը կանոնավոր եռանկյուն է։ Նման քառանիստի դեմքերը հավասարաչափ եռանկյուններ են։

Սահմանում. Օրթոցենտրիկ քառաեդրոնքառաեդրոն կոչվում է, որի բոլոր բարձրությունները (ուղղահայացները), որոնք իջեցված են վերևից դեպի հակառակ երեսը, հատվում են մի կետում։

Սահմանում. աստղային բուրգԲազմանդրոնը, որի հիմքը աստղ է, կոչվում է:

Սահմանում. Bipyramid- երկու տարբեր բուրգերից բաղկացած բազմանիստ (բուրգերը կարող են նաև կտրվել) ունեցող ընդհանուր հիմք, իսկ գագաթները գտնվում են բազային հարթության հակառակ կողմերում։

Այստեղ հավաքված են հիմնական տեղեկություններ բուրգերի և հարակից բանաձևերի և հասկացությունների մասին: Դրանք բոլորն էլ քննությանը նախապատրաստվելիս ուսումնասիրվում են մաթեմատիկայի կրկնուսույցի մոտ։

Դիտարկենք հարթություն, բազմանկյուն պառկած դրա մեջ և մի կետ S, որը չի ընկած դրա մեջ: Միացնել S-ը բազմանկյան բոլոր գագաթներին: Ստացված բազմանիստը կոչվում է բուրգ: Հատվածները կոչվում են կողային եզրեր: Բազմանկյունը կոչվում է հիմք, իսկ S կետը՝ բուրգի գագաթ։ Կախված n թվից՝ բուրգը կոչվում է եռանկյուն (n=3), քառանկյուն (n=4), հնգանկյուն (n=5) և այլն։ Այլընտրանքային անունեռանկյուն բուրգ - քառաեդրոն. Բուրգի բարձրությունը նրա գագաթից բազային հարթությանը գծված ուղղահայացն է:

Բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե կանոնավոր բազմանկյուն, իսկ բուրգի բարձրության հիմքը (ուղղահայաց հիմքը) նրա կենտրոնն է։

Ուսուցչի մեկնաբանությունը:
Մի շփոթեք «կանոնավոր բուրգ» և «կանոնավոր քառաեդրոն» հասկացությունները։ Կանոնավոր բուրգում կողային եզրերը պարտադիր չէ, որ հավասար լինեն հիմքի եզրերին, սակայն կանոնավոր քառանիստում եզրերի բոլոր 6 եզրերը հավասար են։ Սա նրա սահմանումն է։ Հեշտ է ապացուցել, որ հավասարությունը ենթադրում է, որ բազմանկյան P կենտրոնը բարձրության հիմքով, ուստի կանոնավոր քառաեդրոնը կանոնավոր բուրգ է։

Ի՞նչ է ապոտեմը:
Բուրգի ապոտեմը նրա կողային երեսի բարձրությունն է: Եթե ​​բուրգը կանոնավոր է, ապա նրա բոլոր ապոտեմները հավասար են։ Հակառակը ճիշտ չէ։

Մաթեմատիկայի դասախոսը իր տերմինաբանության մասին. բուրգերի հետ աշխատանքը 80%-ով կառուցված է երկու տեսակի եռանկյունների միջոցով.
1) ՍԿ ապոտեմ և ՍՊ բարձրություն պարունակող
2) պարունակող կողային եզրը SA և դրա պրոյեկցիոն ՊԱ

Այս եռանկյունների հղումները պարզեցնելու համար մաթեմատիկայի դասավանդողի համար ավելի հարմար է անվանել դրանցից առաջինը. ապոթեմիկ, և երկրորդ ծովափնյա. Ցավոք, ոչ մի դասագրքում չեք գտնի այս տերմինաբանությունը, և ուսուցիչը ստիպված է այն միակողմանի ներմուծել։

Բուրգի ծավալի բանաձևը:
1) , որտեղ է բուրգի հիմքի մակերեսը և բուրգի բարձրությունն է
2) որտեղ է մակագրված ոլորտի շառավիղը և բուրգի ընդհանուր մակերեսն է:
3) , որտեղ MN-ը ցանկացած երկու հատվող եզրերի հեռավորությունն է, և այն զուգահեռագծի մակերեսն է, որը ձևավորվում է մնացած չորս եզրերի միջնակետերով:

Pyramid Height Base Property:

P կետը (տես նկարը) համընկնում է բուրգի հիմքում գտնվող ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, եթե բավարարված է հետևյալ պայմաններից մեկը.
1) Բոլոր ապոթեմները հավասար են
2) Բոլոր կողային երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր ապոտեմները հավասարապես հակված են դեպի բուրգի բարձրությունը
4) Բուրգի բարձրությունը հավասարապես թեքված է բոլոր կողային երեսներին

Մաթեմատիկայի դաստիարակի մեկնաբանությունՆկատի ունեցեք, որ բոլոր տարրերը միավորված են մեկով ընդհանուր սեփականությունԱյսպես թե այնպես, կողմնակի դեմքերը ամենուր մասնակցում են (ապոթեմները դրանց տարրերն են): Հետևաբար, դասավանդողը կարող է առաջարկել ավելի քիչ ճշգրիտ, բայց ավելի հարմար ձևակերպում մտապահման համար. P կետը համընկնում է ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, բուրգի հիմքի հետ, եթե դրա կողային երեսների մասին որևէ հավասար տեղեկատվություն կա: Դա ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ բոլոր ապոթեմիկ եռանկյունները հավասար են:

P կետը համընկնում է բուրգի հիմքի մոտ գտնվող շրջագծի կենտրոնի հետ, եթե երեք պայմաններից մեկը ճիշտ է.
1) Բոլոր կողային եզրերը հավասար են
2) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի բարձրությունը

Բուրգ. Կտրված բուրգ

Բուրգկոչվում է բազմանիստ, որի դեմքերից մեկը բազմանկյուն է ( բազան ), իսկ մյուս բոլոր դեմքերը եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով ( կողմնակի դեմքեր ) (նկ. 15): Բուրգը կոչվում է ճիշտ , եթե նրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, և բուրգի գագաթը նախագծված է հիմքի կենտրոնում (նկ. 16): Եռանկյուն բուրգը, որի բոլոր եզրերը հավասար են, կոչվում է քառաեդրոն .

Կողքի կողբուրգը կոչվում է կողային երեսի այն կողմը, որը չի պատկանում հիմքին Բարձրություն բուրգը նրա գագաթից մինչև հիմքի հարթության հեռավորությունն է: Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց, բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են: Գծից գծված կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը կոչվում է ապոթեմա . անկյունագծային հատված Բուրգի հատվածը կոչվում է հարթություն, որն անցնում է միևնույն դեմքին չպատկանող երկու կողային եզրերով։

Կողային մակերեսի մակերեսըբուրգը կոչվում է բոլոր կողային երեսների մակերեսների գումարը: Ամբողջ մակերեսը բոլոր կողային երեսների և հիմքի մակերեսների գումարն է։

Թեորեմներ

1. Եթե բուրգում բոլոր կողային եզրերը հավասարապես թեքված են հիմքի հարթության վրա, ապա բուրգի գագաթը ցցվում է հիմքի մոտ գտնվող շրջագծված շրջանագծի կենտրոնում:

2. Եթե բուրգում բոլոր կողային եզրերն ունեն հավասար երկարություններ, ապա բուրգի գագաթը նախագծված է հիմքի մոտ գտնվող շրջագծված շրջանագծի կենտրոնում:

3. Եթե բուրգում բոլոր երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքի հարթությունը, ապա բուրգի գագաթը ցցվում է հիմքում գծագրված շրջանագծի կենտրոնում։

Կամայական բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար բանաձևը ճիշտ է.

որտեղ Վ- ծավալը;

Ս գլխավոր- բազայի տարածք;

Հբուրգի բարձրությունն է։

Սովորական բուրգի համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

հ ա- ապոտեմ;

Հ- բարձրություն;

Ս լիքը

S կողմը

Ս գլխավոր- բազայի տարածք;

Վկանոնավոր բուրգի ծավալն է։

կտրված բուրգկոչվում է բուրգի այն մասը, որը պարփակված է հիմքի և կտրող հարթության միջև՝ բուրգի հիմքին զուգահեռ (նկ. 17): Ուղղեք կտրված բուրգը կոչվում է կանոնավոր բուրգի մաս, որը պարփակված է հիմքի և բուրգի հիմքին զուգահեռ կտրող հարթության միջև։

Հիմնադրամներկտրված բուրգ - նմանատիպ բազմանկյուններ: Կողային դեմքեր - trapezoid. Բարձրություն Կտրված բուրգը կոչվում է նրա հիմքերի միջև ընկած հեռավորությունը: Շեղանկյուն Կտրված բուրգը մի հատված է, որը կապում է նրա գագաթները, որոնք չեն ընկած նույն դեմքի վրա: անկյունագծային հատված Կտրված բուրգի հատվածը կոչվում է հարթություն, որն անցնում է երկու կողային եզրերով, որոնք չեն պատկանում նույն դեմքին:

Կտրված բուրգի համար բանաձևերը վավեր են.

(4)

որտեղ Ս 1 , Ս 2 - վերին և ստորին հիմքերի տարածքներ;

Ս լիքըընդհանուր մակերեսն է;

S կողմըկողային մակերեսն է;

Հ- բարձրություն;

Վկտրված բուրգի ծավալն է։

Սովորական կտրված բուրգի համար ճշմարիտ է հետևյալ բանաձևը.

որտեղ էջ 1 , էջ 2 - բազայի պարագծեր;

հ ա- կանոնավոր կտրված բուրգի ապոտեմը:

Օրինակ 1Կանոնավոր եռանկյուն բուրգում հիմքի երկնիշ անկյունը 60º է: Գտե՛ք կողային եզրի թեքության անկյան շոշափողը հիմքի հարթությանը:

Որոշում.Կատարենք գծանկար (նկ. 18):

Բուրգը կանոնավոր է, ինչը նշանակում է, որ հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, իսկ բոլոր կողային երեսները հավասար հավասարաչափ եռանկյուններ են։ Հիմքի երկանկյուն անկյունը բուրգի կողային երեսի թեքության անկյունն է դեպի հիմքի հարթությունը։ Գծային անկյունը կլինի անկյունը աերկու ուղղահայացների միջև, այսինքն. Բուրգի գագաթը նախագծված է եռանկյունու կենտրոնում (շրջագծված շրջանի կենտրոնը և եռանկյունու ներգծված շրջանը ABC): Կողքի կողի թեքության անկյունը (օրինակ ՍԲ) անկյունն է հենց եզրի և դրա ելքի բազային հարթության վրա: Կողի համար ՍԲայս անկյունը կլինի անկյուն SBD. Շոշափողը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ոտքերը ԱՅՍՊԵՍև ՕԲ. Թող հատվածի երկարությունը ԲԴ 3 է ա. կետ Օգծի հատված ԲԴբաժանված է մասերի և From we find ԱՅՍՊԵՍ: Մենք գտնում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ 2Գտե՛ք կանոնավոր կտրված քառանկյուն բուրգի ծավալը, եթե դրա հիմքերի անկյունագծերը սմ և սմ են, իսկ բարձրությունը՝ 4 սմ։

Որոշում.Կտրված բուրգի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (4): Հիմքերի մակերեսները գտնելու համար հարկավոր է գտնել հիմքի քառակուսիների կողմերը՝ իմանալով դրանց անկյունագծերը։ Հիմքերի կողմերը համապատասխանաբար 2սմ և 8սմ են։Սա նշանակում է հիմքերի մակերեսները և բոլոր տվյալները փոխարինելով բանաձևում՝ հաշվում ենք կտրված բուրգի ծավալը.

Պատասխան. 112 սմ3:

Օրինակ 3Գտե՛ք կանոնավոր եռանկյունաձև կտրված բուրգի կողային երեսի մակերեսը, որի հիմքերի կողմերը 10 սմ և 4 սմ են, իսկ բուրգի բարձրությունը՝ 2 սմ։

Որոշում.Կատարենք գծանկար (նկ. 19):

Այս բուրգի կողային երեսը հավասարաչափ trapezoid է: Trapezoid-ի տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ հիմքերը և բարձրությունը: Հիմքերը տրված են պայմանով, անհայտ է մնում միայն բարձրությունը։ Գտեք այն որտեղից ԲԱՅՑ 1 Եուղղահայաց մի կետից ԲԱՅՑ 1 ստորին բազայի հարթության վրա, Ա 1 Դ-ից ուղղահայաց ԲԱՅՑ 1 վրա AC. ԲԱՅՑ 1 Ե\u003d 2 սմ, քանի որ սա բուրգի բարձրությունն է: Գտնելու համար ԴԵմենք լրացուցիչ գծագիր կկատարենք, որում կնկարենք վերևի տեսքը (նկ. 20): Կետ Օ- վերին և ստորին հիմքերի կենտրոնների նախագծում. քանի որ (տե՛ս նկ. 20) և Մյուս կողմից լավներգծված շրջանագծի շառավիղն է և Օ.Մներգծված շրջանագծի շառավիղն է.

MK=DE.

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն

Կողքի դեմքի տարածքը.

Պատասխան.

Օրինակ 4Բուրգի հիմքում ընկած է հավասարաչափ trapezoid, որի հիմքերը աև բ (ա> բ): Յուրաքանչյուր կողմի երեսը կազմում է բուրգի հիմքի հարթությանը հավասար անկյուն ժ. Գտեք բուրգի ընդհանուր մակերեսը:

Որոշում.Կատարենք գծանկար (նկ. 21): Բուրգի ընդհանուր մակերեսը SABCDհավասար է տարածքների և տրապիզոնի մակերեսի գումարին Ա Բ Գ Դ.

Մենք օգտագործում ենք այն պնդումը, որ եթե բուրգի բոլոր երեսները հավասարապես թեքված են հիմքի հարթության վրա, ապա գագաթը նախագծվում է հիմքում ներգծված շրջանագծի կենտրոնում։ Կետ Օ- գագաթային պրոյեկցիա Սբուրգի հիմքում։ Եռանկյուն SODեռանկյան ուղղանկյուն ելուստն է CSDդեպի բազային հարթություն: Համաձայն հարթ գործչի ուղղանկյուն պրոյեկցիայի տարածքի թեորեմի, մենք ստանում ենք.

Նմանապես, դա նշանակում է Այսպիսով, խնդիրը կրճատվել է մինչև տրապիզոնի տարածքը գտնելը Ա Բ Գ Դ. Նկարեք trapezoid Ա Բ Գ Դառանձին (նկ. 22): Կետ Օշրջագծի կենտրոնն է, որը գրված է տրապիզոիդով:

Քանի որ շրջանագիծը կարող է մակագրվել տրապիզոիդում, ապա կամ Պյութագորասի թեորեմով մենք ունենք.

Եռաչափ պատկերը, որը հաճախ հայտնվում է երկրաչափական խնդիրներում, բուրգ է: Այս դասի բոլոր թվերից ամենապարզը եռանկյունաձև է: Այս հոդվածում մենք մանրամասն կվերլուծենք ճիշտի հիմնական բանաձևերը և հատկությունները

Նկարի երկրաչափական պատկերները

Նախքան կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հատկությունները դիտարկելը, եկեք ավելի մանրամասն նայենք, թե ինչ գործչի մասին է խոսքը:

Ենթադրենք, որ եռաչափ տարածության մեջ կա կամայական եռանկյուն։ Մենք ընտրում ենք այս տարածության ցանկացած կետ, որը չի գտնվում եռանկյան հարթության վրա, և այն միացնում ենք եռանկյան երեք գագաթներին: Մենք ստացանք եռանկյուն բուրգ:

Այն բաղկացած է 4 կողմերից, որոնք բոլորը եռանկյունի են։ Այն կետերը, որտեղ երեք երեսներ հանդիպում են, կոչվում են գագաթներ: Ֆիգուրն ունի նաև դրանցից չորսը։ Երկու երեսների հատման գծերը եզրեր են: Քննարկվող բուրգն ունի 6 կող, ստորև բերված նկարում ներկայացված է այս նկարի օրինակը:

Քանի որ ուրվագիծը կազմված է չորս կողմերից, այն նաև կոչվում է քառանիստ։

Ճիշտ բուրգ

Վերևում դիտարկվել է եռանկյունաձև հիմքով կամայական կերպար։ Հիմա ենթադրենք, որ մենք ուղղահայաց գիծ ենք քաշում բուրգի գագաթից մինչև դրա հիմքը: Այս հատվածը կոչվում է բարձրություն: Ակնհայտ է, որ հնարավոր է ծախսել 4 տարբեր բարձրություններգործչի համար. Եթե ​​բարձրությունը հատում է երկրաչափական կենտրոնում գտնվող եռանկյունի հիմքը, ապա այդպիսի բուրգը կոչվում է ուղիղ բուրգ։

Ուղիղ բուրգը, որի հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, կոչվում է կանոնավոր բուրգ: Նրա համար ձևավորվում են բոլոր երեք եռանկյունները կողային մակերեսպատկերները հավասարաչափ են և հավասար են միմյանց: Կանոնավոր բուրգի հատուկ դեպք է այն իրավիճակը, երբ բոլոր չորս կողմերը հավասարակողմ նույնական եռանկյուններ են:

Դիտարկենք կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հատկությունները և տվեք դրա պարամետրերը հաշվարկելու համապատասխան բանաձևեր:

Հիմքի կողմը, բարձրությունը, կողային եզրը և ապոտեմը

Թվարկված պարամետրերից ցանկացած երկուսը եզակիորեն որոշում են մյուս երկու բնութագրերը: Տալիս ենք բանաձեւեր, որոնք կապում են անվանված մեծությունները։

Ենթադրենք, որ կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հիմքի կողմը a. Նրա կողային եզրի երկարությունը հավասար է b. Որքա՞ն կլինի կանոնավոր եռանկյուն բուրգի և նրա ապոտեմի բարձրությունը:

h բարձրության համար ստանում ենք արտահայտությունը.

Այս բանաձևը բխում է Պյութագորասի թեորեմից, որի համար կողային եզրն է, բարձրությունը և հիմքի բարձրության 2/3-ը։

Բուրգի ապոտեմը ցանկացած կողային եռանկյունու բարձրությունն է: a b ապոտեմայի երկարությունը հետևյալն է.

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

Այս բանաձևերից երևում է, որ ինչ էլ որ լինի եռանկյունաձև կանոնավոր բուրգի հիմքի կողմը և նրա կողային եզրի երկարությունը, ապոտեման միշտ կլինի. ավելի շատ բարձրությունբուրգեր.

Ներկայացված երկու բանաձևերը պարունակում են բոլոր չորսը գծային բնութագրերտվյալ գործիչը: Ուստի դրանցից հայտնի երկուսից մնացածը կարող եք գտնել՝ համակարգը լուծելով գրավոր հավասարություններից։

գործչի ծավալը

Բացարձակ ցանկացած բուրգի համար (ներառյալ թեքվածը), դրանով սահմանափակված տարածության ծավալի արժեքը կարող է որոշվել՝ իմանալով գործչի բարձրությունը և դրա հիմքի տարածքը: Համապատասխան բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Կիրառելով այս արտահայտությունը տվյալ գործչի վրա՝ ստանում ենք հետևյալ բանաձևը.

Որտեղ կանոնավոր եռանկյուն բուրգի բարձրությունը h է, իսկ հիմքի կողմը՝ a:

Դժվար չէ ստանալ քառանկյունի ծավալի բանաձևը, որտեղ բոլոր կողմերը հավասար են միմյանց և ներկայացնում են հավասարակողմ եռանկյուններ։ Այս դեպքում գործչի ծավալը որոշվում է բանաձևով.

Այսինքն՝ այն եզակիորեն որոշվում է a կողմի երկարությամբ։

Մակերեսը

Մենք շարունակում ենք դիտարկել եռանկյունաձեւ կանոնավոր բուրգի հատկությունները: ընդհանուր մակերեսըգործչի բոլոր երեսները կոչվում են նրա մակերեսի մակերեսը: Վերջինս հարմար է ուսումնասիրել՝ նկատի ունենալով համապատասխան զարգացումը։ Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս, թե ինչ տեսք ունի սովորական եռանկյունաձև բուրգը:

Ենթադրենք գիտենք նկարի h բարձրությունը և a հիմքի կողմը։ Այնուհետև դրա հիմքի մակերեսը հավասար կլինի.

Յուրաքանչյուր աշակերտ կարող է ստանալ այս արտահայտությունը, եթե հիշի, թե ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, ինչպես նաև հաշվի առնի, որ հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը նույնպես կիսորդ է և միջին:

Երեք միանման հավասարաչափ եռանկյուններով ձևավորված կողային մակերեսի մակերեսը հետևյալն է.

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Այս հավասարությունը բխում է բուրգի ապոտեմայի արտահայտությունից՝ հիմքի բարձրության և երկարության առումով։

Նկարի ընդհանուր մակերեսը հետևյալն է.

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Նկատի ունեցեք, որ քառանիստի համար, որի բոլոր չորս կողմերը նույն հավասարակողմ եռանկյուններն են, S մակերեսը հավասար կլինի.

Կանոնավոր կտրված եռանկյուն բուրգի հատկությունները

Եթե ​​դիտարկված եռանկյուն բուրգի գագաթը կտրված է հիմքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա մնացածը. Ներքևի մասըկկոչվի կտրված բուրգ:

Եռանկյուն հիմքի դեպքում նկարագրված հատվածի մեթոդի արդյունքում ստացվում է նոր եռանկյուն, որը նույնպես հավասարակողմ է, բայց ունի ավելի փոքր կողմի երկարություն, քան հիմքի կողմը։ Կտրված եռանկյուն բուրգցույց է տրված ստորև:

Մենք տեսնում ենք, որ այս ցուցանիշն արդեն սահմանափակված է երկու եռանկյուն հիմքերով և երեք հավասարաչափ տրապիզոիդներով։

Ենթադրենք, որ ստացված պատկերի բարձրությունը h է, ստորին և վերին հիմքերի կողմերի երկարությունները համապատասխանաբար a 1 և a 2 են, իսկ ապոտեմը (տրապեզի բարձրությունը) հավասար է a b-ի։ Այնուհետև կտրված բուրգի մակերեսը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Այստեղ առաջին տերմինը կողային մակերեսի տարածքն է, երկրորդ տերմինը եռանկյուն հիմքերի տարածքն է:

Նկարի ծավալը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Կտրված բուրգի բնութագրերը միանշանակ որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա երեք պարամետրերը, ինչը ցույց է տրված վերը նշված բանաձևերով:

Ներածություն

Երբ սկսեցինք ուսումնասիրել ստերեոմետրիկ պատկերները, շոշափեցինք «Բուրգ» թեման։ Մեզ դուր եկավ այս թեման, քանի որ բուրգը շատ հաճախ օգտագործվում է ճարտարապետության մեջ: Եվ քանի որ մեր ապագա մասնագիտությունճարտարապետ, ոգեշնչված այս գործիչից, կարծում ենք, որ նա կկարողանա մեզ մղել մեծ նախագծերի։

Ճարտարապետական ​​կառույցների ամրությունը, դրանց ամենակարեւոր որակը. Ուժի ասոցացում, առաջին հերթին, այն նյութերի հետ, որոնցից դրանք ստեղծվել են, և երկրորդը, հատկությունների հետ կառուցողական լուծումներ, պարզվում է, որ կառուցվածքի ամրությունը անմիջականորեն կապված է նրա համար հիմնական երկրաչափական ձևի հետ։

Այլ կերպ ասած, մենք խոսում ենքայդ երկրաչափական պատկերի մասին, որը կարելի է համարել համապատասխան ճարտարապետական ​​ձեւի մոդել։ Պարզվում է, որ երկրաչափական ձևն է որոշում նաև ճարտարապետական ​​կառուցվածքի ամրությունը։

Եգիպտական ​​բուրգերը վաղուց համարվում էին ամենակայուն ճարտարապետական ​​կառույցը։ Ինչպես գիտեք, դրանք ունեն կանոնավոր քառանկյուն բուրգերի տեսք։

Հենց այս երկրաչափական ձևն է ապահովում ամենամեծ կայունությունը բազայի մեծ տարածքի շնորհիվ: Մյուս կողմից, բուրգի ձևն ապահովում է զանգվածի նվազում, քանի որ գետնից բարձրությունը մեծանում է: Հենց այս երկու հատկություններն են բուրգը դարձնում կայուն, հետևաբար՝ ուժեղ ձգողականության պայմաններում։

Նախագծի նպատակըՍովորել նոր բան բուրգերի մասին, խորացնել գիտելիքները և գտնել գործնական կիրառություններ:

Այս նպատակին հասնելու համար անհրաժեշտ էր լուծել հետևյալ խնդիրները.

Իմացեք պատմական տեղեկություններ բուրգի մասին

Դիտարկենք բուրգը որպես երկրաչափական պատկեր

Գտեք կիրառություն կյանքում և ճարտարապետության մեջ

Գտեք նմանություններն ու տարբերությունները բուրգերի միջև տարբեր մասերՍվետա

Տեսական մաս

Պատմական տեղեկություններ

Բուրգի երկրաչափության սկիզբը դրվել է Հին Եգիպտոսում և Բաբելոնում, բայց այն ակտիվորեն զարգացել է մ. Հին Հունաստան. Առաջինը, ով պարզեց, թե ինչին է հավասար բուրգի ծավալը, Դեմոկրիտն էր, և Եվդոքսոս Կնիդացին դա ապացուցեց։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը համակարգեց գիտելիքները բուրգի մասին իր «Սկիզբների» XII հատորում, ինչպես նաև բերեց բուրգի առաջին սահմանումը. մարմնական գործիչ, որը սահմանափակված է ինքնաթիռներով, որոնք համընկնում են մեկ հարթությունից մեկ կետում:

Եգիպտական ​​փարավոնների դամբարանները. Դրանցից ամենամեծը` Քեոպսի, Խաֆրեի և Միկերինի բուրգերը Էլ Գիզայում հնում համարվում էին աշխարհի յոթ հրաշալիքներից մեկը: Բուրգի կանգնեցումը, որում հույներն ու հռոմեացիներն արդեն տեսան արքաների աննախադեպ հպարտության և դաժանության հուշարձան, որը դատապարտեց Եգիպտոսի ողջ ժողովրդին անիմաստ շինարարության, ամենակարևոր պաշտամունքային գործողությունն էր և պետք է արտահայտվեր, ըստ երևույթին. երկրի և նրա տիրակալի միստիկական ինքնությունը. Երկրի բնակչությունը դամբարանի կառուցման վրա աշխատել է գյուղատնտեսական աշխատանքներից զերծ տարվա հատվածում։ Մի շարք տեքստեր վկայում են այն ուշադրության և հոգատարության մասին, որ արքաներն իրենք են (թեկուզ ավելի ուշ ժամանակի) ցուցաբերել իրենց դամբարանի և այն կառուցողների կառուցմանը։ Հայտնի է նաև պաշտամունքային հատուկ պատիվների մասին, որոնք, պարզվեց, հենց բուրգն է։

Հիմնական հասկացություններ

ԲուրգԿոչվում է բազմանկյուն, որի հիմքը բազմանկյուն է, իսկ մնացած դեմքերը՝ ընդհանուր գագաթ ունեցող եռանկյուններ։

Ապաթեմ- կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը՝ վերցված նրա գագաթից.

Կողային դեմքեր- վերևում համընկնող եռանկյուններ;

Կողքի կողիկներ- կողային երեսների ընդհանուր կողմերը;

բուրգի գագաթը- կողային եզրերը միացնող և հիմքի հարթությունում չպառկող կետ.

Բարձրություն- բուրգի գագաթով գծված ուղղահայաց հատվածը իր հիմքի հարթության վրա (այս հատվածի ծայրերը բուրգի գագաթն են և ուղղահայաց հիմքը).

Բուրգի անկյունագծային հատված- բուրգի հատվածը, որն անցնում է հիմքի գագաթով և անկյունագծով.

Հիմք- բազմանկյուն, որը չի պատկանում բուրգի գագաթին:

Ճիշտ բուրգի հիմնական հատկությունները

Կողքի եզրերը, կողային երեսները և ապոտեմները համապատասխանաբար հավասար են:

Հիմքի երկայնական անկյունները հավասար են։

Կողային եզրերի երկանկյուն անկյունները հավասար են:

Յուրաքանչյուր բարձրության կետ հավասար է բոլոր հիմնական գագաթներից:

Յուրաքանչյուր բարձրության կետ հավասար հեռավորության վրա է բոլոր կողմերից:

Բուրգի հիմնական բանաձևերը

Բուրգի կողային և ամբողջական մակերեսի տարածքը:

Բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը (լրիվ և կտրված) նրա բոլոր կողային երեսների տարածքների գումարն է, իսկ ընդհանուր մակերեսը նրա բոլոր երեսների տարածքների գումարն է:

Թեորեմ. Կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և բուրգի ապոտեմի արտադրյալի կեսին:

էջ- հիմքի պարագիծը;

հ-ապաթեմ.

Կտրված բուրգի կողային և ամբողջական մակերեսների տարածքը:

p1, էջ 2 - բազայի պարագծերը;

հ-ապաթեմ.

Ռ- կանոնավոր կտրված բուրգի ընդհանուր մակերեսը.

S կողմը- կանոնավոր կտրված բուրգի կողային մակերեսի տարածքը.

S1 + S2- բազայի տարածքը

Բուրգի ծավալը

Ձևը Ծավալի սանդղակը օգտագործվում է ցանկացած տեսակի բուրգերի համար:

Հբուրգի բարձրությունն է։

Բուրգի անկյունները

Անկյունները, որոնք ձևավորվում են բուրգի կողային երեսով և հիմքով, կոչվում են բուրգի հիմքի երկայնական անկյուններ։

Երկկողմանի անկյունը ձևավորվում է երկու ուղղահայացներով:

Այս անկյունը որոշելու համար հաճախ անհրաժեշտ է օգտագործել երեք ուղղանկյունների թեորեմը.

Անկյունները, որոնք ձևավորվում են կողային եզրով և դրա ելուստով հիմքի հարթության վրա, կոչվում են անկյունները կողային եզրի և հիմքի հարթության միջև.

Երկու կողային երեսներով կազմված անկյունը կոչվում է Երկկողմանի անկյուն բուրգի կողային եզրին:

Անկյունը, որը ձևավորվում է բուրգի մեկ երեսի երկու կողային եզրերով, կոչվում է անկյուն բուրգի վերևում.

Բուրգի հատվածներ

Բուրգի մակերեսը պոլիէդրոնի մակերեսն է։ Նրա երեսներից յուրաքանչյուրը հարթություն է, ուստի բուրգի հատվածը, որը տրված է սեկանտային հարթությամբ, առանձին ուղիղ գծերից բաղկացած բեկված գիծ է։

Շեղանկյուն հատված

Բուրգի այն հատվածը, որն անցնում է երկու կողային եզրերով, որոնք նույն երեսի վրա չեն գտնվում, կոչվում է. անկյունագծային հատվածբուրգեր.

Զուգահեռ հատվածներ

Թեորեմ:

Եթե ​​բուրգը հատվում է հիմքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա բուրգի կողային եզրերն ու բարձրությունները այս հարթությամբ բաժանվում են համամասնական մասերի.

Այս հարթության հատվածը բազային նման բազմանկյուն է.

Հատվածի և հիմքի տարածքները միմյանց հետ կապված են որպես վերևից իրենց հեռավորությունների քառակուսիները:

Բուրգի տեսակները

Ճիշտ բուրգ- բուրգ, որի հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ բուրգի գագաթը նախագծված է հիմքի կենտրոնում:

Ճիշտ բուրգում.

1. կողային կողերը հավասար են

2. կողային երեսները հավասար են

3. ապոթեմները հավասար են

4. Հիմքի երկանկյուն անկյունները հավասար են

5. Կողային եզրերի երկանկյուն անկյունները հավասար են

6. յուրաքանչյուր բարձրության կետ հավասար է բոլոր հիմնական գագաթներից

7. յուրաքանչյուր բարձրության կետ բոլոր կողմերից հավասար հեռավորության վրա է

Կտրված բուրգ- բուրգի այն հատվածը, որը պարփակված է իր հիմքի և հիմքին զուգահեռ կտրող հարթության միջև:

Կտրված բուրգի հիմքը և համապատասխան հատվածը կոչվում են կտրված բուրգի հիմքերը.

Մի հիմքի ցանկացած կետից մյուսի հարթությանը գծված ուղղահայացը կոչվում է կտրված բուրգի բարձրությունը:

Առաջադրանքներ

Թիվ 1. Աջ կողմում քառանկյուն բուրգ O կետը հիմքի կենտրոնն է, SO=8 սմ, BD=30 սմ Գտե՛ք SA կողային եզրը:

Խնդրի լուծում

Թիվ 1. AT աջ բուրգբոլոր դեմքերը և ծայրերը հավասար են:

Դիտարկենք OSB՝ OSB-ուղղանկյուն ուղղանկյուն, քանի որ.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Բուրգը ճարտարապետության մեջ

Բուրգ - մոնումենտալ կառույց սովորական կանոնավոր երկրաչափական բուրգի տեսքով, որում կողմերըմիավորվել մի կետում. Ըստ գործառական նշանակության՝ բուրգերը հին ժամանակներում եղել են թաղման կամ պաշտամունքի վայր։ Բուրգի հիմքը կարող է լինել եռանկյուն, քառանկյուն կամ բազմանկյուն՝ կամայական թվով գագաթներով, սակայն ամենատարածված տարբերակը քառանկյուն հիմքն է։

Հայտնի են զգալի թվով բուրգեր, կառուցված տարբեր մշակույթներ հին աշխարհհիմնականում որպես տաճարներ կամ հուշարձաններ։ Ամենամեծ բուրգերը եգիպտական ​​բուրգերն են։

Ամբողջ Երկրի վրա կարելի է տեսնել բուրգերի տեսքով ճարտարապետական ​​կառույցներ։ Բուրգաձեւ շինությունները հիշեցնում են հին ժամանակները եւ շատ գեղեցիկ տեսք ունեն։

Եգիպտական ​​բուրգերմեծագույն ճարտարապետական ​​հուշարձաններ Հին Եգիպտոս, որոնց թվում «Աշխարհի յոթ հրաշալիքներից» է Քեոպսի բուրգը։ Ոտքից մինչև գագաթ այն հասնում է 137,3 մ-ի, իսկ մինչև գագաթը կորցնելը նրա բարձրությունը 146,7 մ էր։

Սլովակիայի մայրաքաղաքում գտնվող ռադիոկայանի շենքը, որը հիշեցնում է շրջված բուրգը, կառուցվել է 1983 թվականին։ Բացի գրասենյակներից և սպասարկման տարածքներից, ծավալի ներսում կա բավականին ընդարձակ համերգասրահ, որն ունի Սլովակիայի ամենամեծ երգեհոններից մեկը։ .

Լուվրը, որը «բուրգի պես լուռ ու վեհաշուք է», դարերի ընթացքում բազմաթիվ փոփոխությունների է ենթարկվել՝ մինչ աշխարհի ամենամեծ թանգարանը դառնալը։ Այն ծնվել է որպես ամրոց՝ կառուցված Ֆիլիպ Օգոստոսի կողմից 1190 թվականին, որը շուտով վերածվել է թագավորական նստավայրի։ 1793 թվականին պալատը դարձել է թանգարան։ Հավաքածուները հարստացվում են կտակումների կամ գնումների միջոցով: