Ի՞նչ է կանոնավոր քառանկյուն բուրգը: Ճիշտ բուրգի հիմնական հատկությունները

Աշակերտները բախվում են բուրգ հասկացությանը երկրաչափություն ուսումնասիրելուց շատ առաջ: Մեղադրեք աշխարհի հայտնի եգիպտական ​​հրաշալիքներին. Հետևաբար, սկսելով այս հրաշալի պոլիէդրոնի ուսումնասիրությունը, ուսանողների մեծ մասն արդեն հստակ պատկերացնում է այն։ Վերոնշյալ բոլոր տեսարժան վայրերը ճիշտ վիճակում են: Ինչ աջ բուրգ, և ինչ հատկություններ ունի այն և կքննարկվի հետագա:

հետ կապի մեջ

Սահմանում

Բուրգի բազմաթիվ սահմանումներ կան: Հին ժամանակներից այն շատ տարածված է եղել։

Օրինակ, Էվկլիդեսը այն սահմանել է որպես պինդ պատկեր՝ բաղկացած հարթություններից, որոնք, սկսած մեկից, միանում են որոշակի կետում։

Հերոնը ավելի ճշգրիտ ձևակերպում է տվել. Նա պնդեց, որ դա գործիչ է, որ ունի բազա և ինքնաթիռներ եռանկյուններ, համընկնում է մի կետում.

Հենվելով ժամանակակից մեկնաբանություն, բուրգը ներկայացված է որպես տարածական բազմանիստ՝ կազմված որոշակի k-gon և k հարթ պատկերներից։ եռանկյունաձև ձևունենալով մեկ ընդհանուր կետ.

Եկեք ավելի մոտիկից նայենք, Ի՞նչ տարրերից է այն բաղկացած:

• k-gon-ը համարվում է գործչի հիմքը.
• 3-անկյուն ֆիգուրները դուրս են ցցվում կողային մասի կողքերի պես;
• վերին մասը, որից առաջանում են կողային տարրերը, կոչվում է վերև;
• գագաթը միացնող բոլոր հատվածները կոչվում են եզրեր.
• եթե ուղիղ գիծը վերևից իջեցվում է նկարի հարթություն 90 աստիճանի անկյան տակ, ապա դրա ներքին տարածության մեջ պարփակված մասը բուրգի բարձրությունն է.
• Ցանկացած կողային տարրում մեր պոլիէդրոնի կողքին կարող եք ուղղահայաց նկարել, որը կոչվում է ապոտեմ:

Ծայրերի թիվը հաշվարկվում է 2*k բանաձևով, որտեղ k-ն k-gon-ի կողմերի թիվն է։ Քանի՞ երես ունի բուրգի նման բազմանիստը, կարելի է որոշել k + 1 արտահայտությամբ։

Կարևոր!Կանոնավոր ձևավորված բուրգը ստերեոմետրիկ պատկեր է, որի բազային հարթությունը հավասար կողմերով k-gon է:

Հիմնական հատկություններ

Ճիշտ բուրգ ունի բազմաթիվ հատկություններորոնք յուրահատուկ են նրան: Թվարկենք դրանք.

1. Հիմքը ճիշտ ձևի գործիչ է:
2. Բուրգի եզրերը, սահմանափակելով կողային տարրերը, ունեն հավասար թվային արժեքներ։
3. Կողային տարրերը հավասարաչափ եռանկյուններ են։
4. Նկարի բարձրության հիմքը ընկնում է բազմանկյան կենտրոնի մեջ, մինչդեռ այն միաժամանակ է կենտրոնական կետմտել և նկարագրել է.
5. Բոլոր կողային կողերը թեքված են դեպի բազային հարթությունը նույն անկյան տակ:
6. Բոլոր կողային մակերեսները հիմքի նկատմամբ ունեն թեքության նույն անկյունը:

Բոլոր թվարկված հատկությունների շնորհիվ էլեմենտների հաշվարկների կատարումը զգալիորեն պարզեցված է: Ելնելով վերը նշված հատկություններից, մենք ուշադրություն ենք դարձնում երկու նշան.

1. Այն դեպքում, երբ բազմանկյունը տեղավորվում է շրջանագծի մեջ, կողային երեսները հիմք կունենան հավասար անկյուններ.
2. Բազմանկյունի շուրջ շրջանագիծը նկարագրելիս բուրգի բոլոր եզրերը, որոնք բխում են գագաթից, կունենան նույն երկարությունը և հիմքի հետ հավասար անկյուններ:

Հրապարակը հիմնված է

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգ - քառակուսու վրա հիմնված բազմանիստ:

Այն ունի չորս կողային երեսներ, որոնք արտաքնապես հավասարաչափ են։

Հարթության վրա պատկերված է քառակուսի, բայց դրանք հիմնված են կանոնավոր քառանկյունի բոլոր հատկությունների վրա։

Օրինակ, եթե անհրաժեշտ է միացնել քառակուսու կողմը նրա անկյունագծով, ապա օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը՝ անկյունագիծը հավասար է քառակուսու կողմի և երկուսի քառակուսի արմատի արտադրյալին։

Հիմնվելով կանոնավոր եռանկյունու վրա

ճիշտ եռանկյուն բուրգբազմանիստ է, որի հիմքը կանոնավոր 3 անկյուն է:

Եթե ​​հիմքը կանոնավոր եռանկյունի է, իսկ կողային եզրերը հավասար են հիմքի եզրերին, ապա այդպիսի գործիչ. կոչվում է քառաեդրոն:

Տետրաեդրոնի բոլոր երեսները հավասարակողմ 3-անկյուններ են: Այս դեպքում դուք պետք է իմանաք որոշ կետեր և հաշվարկելիս ժամանակ չկորցնեք դրանց վրա.

• ցանկացած հիմքի վրա կողերի թեքության անկյունը 60 աստիճան է.
• բոլոր ներքին դեմքերի արժեքը նույնպես 60 աստիճան է.
• ցանկացած դեմք կարող է հիմք հանդիսանալ;
• Նկարի ներսում գծված հավասար տարրեր են:

Բազմեյդրոնի հատվածներ

Ցանկացած պոլիեդրոնում կան մի քանի տեսակի բաժիններԻնքնաթիռ. Հաճախ ներս դպրոցական դասընթացերկրաչափություններն աշխատում են երկուսի հետ.

• առանցքային;
• զուգահեռ հիմք.

Առանցքային հատվածը ստացվում է բազմանիստը հատելով հարթության հետ, որն անցնում է գագաթով, կողային եզրերով և առանցքով։ Այս դեպքում առանցքը գագաթից գծված բարձրությունն է: Կտրող հարթությունը սահմանափակվում է բոլոր երեսների հետ հատման գծերով, ինչի արդյունքում առաջանում է եռանկյուն:

Ուշադրություն.Կանոնավոր բուրգում առանցքային հատվածը հավասարաչափ եռանկյուն է:

Եթե ​​կտրող հարթությունն անցնում է բազային զուգահեռ, ապա արդյունքը երկրորդ տարբերակն է: Այս դեպքում մենք ունենք բազայի նման գործչի համատեքստում:

Օրինակ, եթե հիմքը քառակուսի է, ապա հիմքին զուգահեռ հատվածը նույնպես կլինի քառակուսի, միայն ավելի փոքր չափսերի։

Այս պայմանով խնդիրներ լուծելիս օգտագործվում են թվերի նմանության նշաններ և հատկություններ. հիմնված Թալեսի թեորեմի վրա. Առաջին հերթին անհրաժեշտ է որոշել նմանության գործակիցը։

Եթե ​​հարթությունը գծված է հիմքին զուգահեռ, և այն կտրում է բազմանկյունի վերին մասը, ապա ստորին մասում ստացվում է կանոնավոր կտրված բուրգ։ Այնուհետև ասում են, որ կտրված բազմանկյունի հիմքերը նմանատիպ բազմանկյուններ են։ Այս դեպքում կողային երեսները հավասարաչափ trapezoids են: Առանցքային հատվածը նույնպես հավասարաչափ է։

Կտրված բազմանիստի բարձրությունը որոշելու համար անհրաժեշտ է բարձրությունը գծել առանցքային հատվածում, այսինքն՝ տրապիզոիդում։

Մակերեւութային տարածքներ

Հիմնական երկրաչափական խնդիրները, որոնք պետք է լուծվեն դպրոցական երկրաչափության դասընթացում գտնել բուրգի մակերեսը և ծավալը.

Մակերեւույթի երկու տեսակ կա.

• կողային տարրերի տարածք;
• ամբողջ մակերեսը.

Բուն վերնագրից պարզ է դառնում, թե ինչի մասին է խոսքը։ Կողային մակերեսը ներառում է միայն կողմնակի տարրերը: Սրանից հետևում է, որ այն գտնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է գումարել կողային հարթությունների տարածքները, այսինքն՝ հավասարաչափ 3-գոնների տարածքները։ Փորձենք դուրս բերել կողային տարրերի տարածքի բանաձևը.

1. Հավասարսուռ 3-գոնի մակերեսը Str=1/2(aL) է, որտեղ a-ն հիմքի կողմն է, L-ն ապոտեմն է։
2. Կողային հարթությունների թիվը կախված է հիմքում գտնվող k-gon-ի տեսակից: Օրինակ՝ կանոնավոր քառանկյուն բուրգն ունի չորս կողային հարթություն։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է գումարել չորս թվերի մակերեսները Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. . Արտահայտությունը պարզեցված է այս կերպ, քանի որ արժեքը 4a=POS, որտեղ POS-ը բազայի պարագիծն է։ Իսկ 1/2 * Ռոսն արտահայտությունը նրա կիսաշրջագիծն է։
3. Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք, որ կանոնավոր բուրգի կողային տարրերի մակերեսը հավասար է հիմքի կիսաշրջագծի և ապոտեմի արտադրյալին՝ Սսայդ \u003d Rosn * L.

Քառակուսի ամբողջական մակերեսբուրգը բաղկացած է կողային հարթությունների և հիմքի մակերեսների գումարից՝ Sp.p. = Siside + Sbase:

Ինչ վերաբերում է բազայի տարածքին, ապա այստեղ բանաձևը օգտագործվում է ըստ պոլիգոնի տեսակի:

Կանոնավոր բուրգի ծավալըհավասար է բազային հարթության մակերեսի և բարձրության արտադրյալին՝ բաժանված երեքի V=1/3*Sbase*H, որտեղ H բազմանկյունի բարձրությունն է։

Ի՞նչ է սովորական բուրգը երկրաչափության մեջ

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հատկությունները

Եռաչափ պատկերը, որը հաճախ հայտնվում է երկրաչափական խնդիրներում, բուրգ է: Այս դասի բոլոր թվերից ամենապարզը եռանկյունաձև է: Այս հոդվածում մենք մանրամասն կվերլուծենք ճիշտի հիմնական բանաձևերը և հատկությունները

Նկարի երկրաչափական պատկերները

Նախքան կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հատկությունները դիտարկելը, եկեք ավելի սերտ նայենք, թե որ պատկերը հարցականի տակ.

Ենթադրենք, որ եռաչափ տարածության մեջ կա կամայական եռանկյուն։ Մենք այս տարածության մեջ ընտրում ենք ցանկացած կետ, որը չի գտնվում եռանկյան հարթության վրա և այն միացնում ենք եռանկյան երեք գագաթներին։ Մենք ստացանք եռանկյուն բուրգ:

Այն բաղկացած է 4 կողմերից, որոնք բոլորը եռանկյունի են։ Այն կետերը, որտեղ երեք երեսներ հանդիպում են, կոչվում են գագաթներ: Ֆիգուրն ունի նաև դրանցից չորսը։ Երկու երեսների հատման գծերը եզրեր են: Քննարկվող բուրգն ունի 6 կող, ստորև բերված նկարում ներկայացված է այս նկարի օրինակը:

Քանի որ ուրվագիծը կազմված է չորս կողմերից, այն նաև կոչվում է քառանիստ։

Ճիշտ բուրգ

Վերևում դիտարկվել է եռանկյունաձև հիմքով կամայական կերպար։ Հիմա ենթադրենք, որ մենք ուղղահայաց գիծ ենք քաշում բուրգի գագաթից մինչև դրա հիմքը: Այս հատվածը կոչվում է բարձրություն: Ակնհայտ է, որ հնարավոր է ծախսել 4 տարբեր բարձրություններգործչի համար. Եթե ​​բարձրությունը հատում է երկրաչափական կենտրոնում գտնվող եռանկյունի հիմքը, ապա այդպիսի բուրգը կոչվում է ուղիղ բուրգ։

Ուղիղ բուրգը, որի հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, կոչվում է կանոնավոր բուրգ: Նրա համար բոլոր երեք եռանկյունները, որոնք կազմում են գործչի կողային մակերեսը, հավասարաչափ են և հավասար են միմյանց: Կանոնավոր բուրգի հատուկ դեպք է այն իրավիճակը, երբ բոլոր չորս կողմերը հավասարակողմ նույնական եռանկյուններ են:

Դիտարկենք կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հատկությունները և տվեք դրա պարամետրերը հաշվարկելու համապատասխան բանաձևեր:

Հիմքի կողմը, բարձրությունը, կողային եզրը և ապոտեմը

Թվարկված պարամետրերից ցանկացած երկուսը եզակիորեն որոշում են մյուս երկու բնութագրերը: Տալիս ենք բանաձեւեր, որոնք կապում են անվանված մեծությունները։

Ենթադրենք, որ կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հիմքի կողմը a. Նրա կողային եզրի երկարությունը հավասար է b. Որքա՞ն կլինի կանոնավոր եռանկյուն բուրգի և նրա ապոտեմի բարձրությունը:

h բարձրության համար ստանում ենք արտահայտությունը.

Այս բանաձևը բխում է Պյութագորասի թեորեմից, որի համար կողային եզրն է, բարձրությունը և հիմքի բարձրության 2/3-ը։

Բուրգի ապոտեմը ցանկացած կողային եռանկյունու բարձրությունն է: a b ապոտեմայի երկարությունը հետևյալն է.

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

Այս բանաձևերից երևում է, որ ինչ էլ որ լինի եռանկյունաձև կանոնավոր բուրգի հիմքի կողմը և նրա կողային եզրի երկարությունը, ապոտեման միշտ կլինի. ավելի շատ բարձրությունբուրգեր.

Ներկայացված երկու բանաձևերը պարունակում են բոլոր չորսը գծային բնութագրերտվյալ գործիչը: Ուստի դրանցից հայտնի երկուսից մնացածը կարող եք գտնել՝ համակարգը լուծելով գրավոր հավասարություններից։

գործչի ծավալը

Բացարձակ ցանկացած բուրգի համար (ներառյալ թեքվածը), դրանով սահմանափակված տարածության ծավալի արժեքը կարող է որոշվել՝ իմանալով գործչի բարձրությունը և դրա հիմքի տարածքը: Համապատասխան բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Կիրառելով այս արտահայտությունը տվյալ գործչի վրա՝ ստանում ենք հետևյալ բանաձևը.

Որտեղ կանոնավոր եռանկյուն բուրգի բարձրությունը h է, իսկ հիմքի կողմը՝ a:

Դժվար չէ ստանալ քառանկյունի ծավալի բանաձևը, որտեղ բոլոր կողմերը հավասար են միմյանց և ներկայացնում են հավասարակողմ եռանկյուններ։ Այս դեպքում գործչի ծավալը որոշվում է բանաձևով.

Այսինքն՝ այն եզակիորեն որոշվում է a կողմի երկարությամբ։

Մակերեսը

Մենք շարունակում ենք դիտարկել եռանկյունաձեւ կանոնավոր բուրգի հատկությունները: ընդհանուր մակերեսըգործչի բոլոր երեսները կոչվում են նրա մակերեսի մակերեսը: Վերջինս հարմար է ուսումնասիրել՝ նկատի ունենալով համապատասխան զարգացումը։ Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս, թե ինչ տեսք ունի սովորական եռանկյունաձև բուրգը:

Ենթադրենք գիտենք նկարի h բարձրությունը և a հիմքի կողմը։ Այնուհետև դրա հիմքի մակերեսը հավասար կլինի.

Յուրաքանչյուր աշակերտ կարող է ստանալ այս արտահայտությունը, եթե հիշի, թե ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, ինչպես նաև հաշվի առնի, որ հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը նույնպես կիսորդ է և միջին:

Երեք միանման հավասարաչափ եռանկյուններով ձևավորված կողային մակերեսի մակերեսը հետևյալն է.

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Այս հավասարությունը բխում է բուրգի ապոտեմայի արտահայտությունից՝ հիմքի բարձրության և երկարության առումով։

Նկարի ընդհանուր մակերեսը հետևյալն է.

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Նկատի ունեցեք, որ քառանիստի համար, որի բոլոր չորս կողմերը նույն հավասարակողմ եռանկյուններն են, S մակերեսը հավասար կլինի.

Կանոնավոր կտրված եռանկյուն բուրգի հատկությունները

Եթե ​​դիտարկված եռանկյուն բուրգի գագաթը կտրված է հիմքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա մնացածը. Ներքևի մասըկկոչվի կտրված բուրգ:

Եռանկյունաձև հիմքի դեպքում նկարագրված հատվածի մեթոդի արդյունքում ստացվում է նոր եռանկյուն, որը նույնպես հավասարակողմ է, բայց ունի ավելի փոքր կողմի երկարություն, քան հիմքի կողմը։ Ստորև ներկայացված է կտրված եռանկյունաձև բուրգը:

Մենք տեսնում ենք, որ այս ցուցանիշն արդեն սահմանափակված է երկու եռանկյուն հիմքերով և երեք հավասարաչափ տրապիզոիդներով։

Ենթադրենք, որ ստացված պատկերի բարձրությունը h է, ստորին և վերին հիմքերի կողմերի երկարությունները համապատասխանաբար a 1 և a 2 են, իսկ ապոտեմը (տրապեզի բարձրությունը) հավասար է a b-ի։ Այնուհետև կտրված բուրգի մակերեսը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Այստեղ առաջին տերմինը կողային մակերեսի տարածքն է, երկրորդ տերմինը եռանկյուն հիմքերի տարածքն է:

Նկարի ծավալը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Կտրված բուրգի բնութագրերը միանշանակորեն որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա երեք պարամետրերը, ինչը ցույց է տրված վերը նշված բանաձևերով:

Եռանկյուն բուրգը բուրգ է, որը հիմնված է եռանկյունու վրա: Այս բուրգի բարձրությունը ուղղահայացն է, որն իջեցված է բուրգի գագաթից մինչև դրա հիմքերը:

Գտեք բուրգի բարձրությունը

Ինչպե՞ս գտնել բուրգի բարձրությունը: Շատ պարզ! Ցանկացած եռանկյուն բուրգի բարձրությունը գտնելու համար կարող եք օգտագործել ծավալի բանաձևը՝ V = (1/3)Sh, որտեղ S-ը հիմքի մակերեսն է, V-ը՝ բուրգի ծավալը, h-ը՝ բարձրությունը։ Այս բանաձևից ստացեք բարձրության բանաձևը. եռանկյուն բուրգի բարձրությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է բուրգի ծավալը բազմապատկել 3-ով, այնուհետև ստացված արժեքը բաժանել բազային տարածքով, այն կլինի՝ h \u003d (3V): ) / Ս. Քանի որ եռանկյուն բուրգի հիմքը եռանկյուն է, կարող եք օգտագործել եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը: Եթե ​​իմանանք՝ S եռանկյան մակերեսը և նրա z կողմը, ապա ըստ տարածքի բանաձևի՝ S=(1/2)γh՝ h = (2S)/γ, որտեղ h-ը բուրգի բարձրությունն է, γ. եռանկյան եզրն է; անկյունը եռանկյան կողմերի և հենց երկու կողմերի միջև, այնուհետև օգտագործելով հետևյալ բանաձևը. S = (1/2)γφsinQ, որտեղ γ, φ եռանկյան կողմերն են, մենք գտնում ենք եռանկյան մակերեսը: Q անկյան սինուսի արժեքը պետք է դիտվի ինտերնետում գտնվող սինուսների աղյուսակում։ Հաջորդը, մենք տարածքի արժեքը փոխարինում ենք բարձրության բանաձևով. h = (2S)/γ: Եթե ​​առաջադրանքը պահանջում է եռանկյուն բուրգի բարձրության հաշվարկ, ապա բուրգի ծավալն արդեն հայտնի է։

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգ

Գտե՛ք կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգի բարձրությունը, այսինքն՝ բուրգի, որի բոլոր երեսները հավասարակողմ եռանկյուններ են՝ իմանալով γ եզրի չափը: Այս դեպքում բուրգի եզրերը հավասարակողմ եռանկյունների կողմերն են։ Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի բարձրությունը կլինի՝ h = γ√(2/3), որտեղ γ-ը հավասարակողմ եռանկյան եզրն է, h-ը՝ բուրգի բարձրությունը։ Եթե ​​հիմքի (S) մակերեսը անհայտ է, և տրված են միայն եզրի երկարությունը (γ) և պոլիէդրոնի ծավալը (V), ապա նախորդ քայլի բանաձևում անհրաժեշտ փոփոխականը պետք է փոխարինվի։ իր համարժեքով, որն արտահայտվում է եզրի երկարությամբ։ Եռանկյան (կանոնավոր) մակերեսը հավասար է այս եռանկյան կողմի երկարության արտադրյալի 1/4-ին, քառակուսի 3-ի քառակուսի արմատով: Մենք փոխարինում ենք այս բանաձևը նախորդ բանաձևի բազային տարածքի փոխարեն: , և մենք ստանում ենք հետևյալ բանաձևը. h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3): Չորրանկյունի ծավալը կարելի է արտահայտել նրա եզրի երկարությամբ, այնուհետև բոլոր փոփոխականները կարելի է հեռացնել պատկերի բարձրությունը հաշվելու բանաձևից և թողնել միայն պատկերի եռանկյուն երեսի կողմը։ Նման բուրգի ծավալը կարելի է հաշվարկել՝ արդյունքից 12-ի բաժանելով նրա դեմքի երկարությունը 2-ի քառակուսի արմատով։

Մենք այս արտահայտությունը փոխարինում ենք նախորդ բանաձևով, հաշվարկելու համար ստանում ենք հետևյալ բանաձևը՝ h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2 /3) = (1/3)γ√6. Նաև կանոնավոր եռանկյուն պրիզմա կարելի է մակագրել գնդում, և իմանալով միայն ոլորտի շառավիղը (R), կարող եք գտնել քառաեդրոնի բարձրությունը։ Տետրաեդրոնի եզրի երկարությունը՝ γ = 4R/√6: Մենք փոխարինում ենք γ փոփոխականը այս արտահայտությամբ նախորդ բանաձեւում և ստանում բանաձևը՝ h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3: Նույն բանաձևը կարելի է ստանալ՝ իմանալով քառանիստում ներգծված շրջանագծի շառավիղը (R): Այս դեպքում եռանկյան եզրի երկարությունը հավասար կլինի 12 հարաբերակցության միջև քառակուսի արմատ 6-ից և շառավղով: Մենք այս արտահայտությունը փոխարինում ենք նախորդ բանաձևով և ունենք՝ h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R:

Ինչպես գտնել կանոնավոր քառանկյուն բուրգի բարձրությունը

Հարցին պատասխանելու համար, թե ինչպես գտնել բուրգի բարձրության երկարությունը, պետք է իմանալ, թե ինչ է սովորական բուրգը: Քառանկյուն բուրգը քառանկյունի վրա հիմնված բուրգ է: Եթե ​​խնդրի պայմաններում ունենք՝ ծավալը (V) և բուրգի հիմքի (S) մակերեսը, ապա պոլիէդրոնի բարձրությունը (h) հաշվարկելու բանաձևը կլինի հետևյալը. - 3-ով բազմապատկված ծավալը բաժանեք S տարածքով: h \u003d (3V) / S: Բուրգի քառակուսի հիմքով հայտնի՝ տրված ծավալով (V) և կողմի երկարությամբ γ, նախորդ բանաձևով տարածքը (S) փոխարինեք կողմի երկարության քառակուսով. S = γ 2; H = 3V/γ 2: Կանոնավոր բուրգի բարձրությունը h = SO անցնում է հենց շրջանագծի կենտրոնով, որը շրջագծված է հիմքի մոտ: Քանի որ այս բուրգի հիմքը քառակուսի է, O կետը AD և BC անկյունագծերի հատման կետն է: Մենք ունենք՝ OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6: Այնուհետև, մենք ուղղանկյուն եռանկյան մեջ գտնում ենք SOC (ըստ Պյութագորասի թեորեմի). SO = √(SC 2 -OC 2): Այժմ դուք գիտեք, թե ինչպես գտնել սովորական բուրգի բարձրությունը:

Այս վիդեո ձեռնարկը կօգնի օգտատերերին պատկերացում կազմել Pyramid թեմայի մասին: Ճիշտ բուրգ. Այս դասում մենք կծանոթանանք բուրգ հասկացությանը, կտանք դրա սահմանումը։ Նկատի առեք, թե ինչ է սովորական բուրգը և ինչ հատկություններ ունի: Այնուհետև մենք ապացուցում ենք կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի թեորեմը։

Այս դասում մենք կծանոթանանք բուրգ հասկացությանը, կտանք դրա սահմանումը։

Դիտարկենք բազմանկյուն A 1 A 2...A n, որը գտնվում է α հարթության մեջ, և մի կետ Պ, որը չի գտնվում α հարթության մեջ (նկ. 1): Եկեք միացնենք կետը Պգագաթներով A 1, A 2, A 3, … A n. Ստացեք nեռանկյուններ: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rև այլն:

Սահմանում. Բազմաթև ՀՀ 1 Ա 2 ... Ա ն, կազմված n-գոն A 1 A 2...A nև nեռանկյուններ ՀՀ 1 Ա 2, ՀՀ 2 Ա 3 …ՀՀ ն Ա ն-1, զանգ n- ածխի բուրգ: Բրինձ. մեկ.

Բրինձ. մեկ

Դիտարկենք քառանկյուն բուրգը PABCD(նկ. 2):

Ռ- բուրգի գագաթը.

Ա Բ Գ Դ- բուրգի հիմքը.

ՀՀ- կողային կող.

ԱԲ- հիմքի եզր:

Մի կետից Ռգցել ուղղահայացը RNգետնի հարթության վրա Ա Բ Գ Դ. Գծված ուղղահայացը բուրգի բարձրությունն է:

Բրինձ. 2

Բուրգի ընդհանուր մակերեսը բաղկացած է կողային մակերեսից, այսինքն՝ բոլոր կողային երեսների տարածքից և հիմքի մակերեսից.

S լրիվ \u003d S կողմ + S հիմնական

Բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե.

• դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է.
• Բուրգի գագաթը հիմքի կենտրոնի հետ կապող հատվածը նրա բարձրությունն է:

Բացատրություն կանոնավոր քառանկյուն բուրգի օրինակով

Դիտարկենք կանոնավոր քառանկյուն բուրգը PABCD(նկ. 3):

Ռ- բուրգի գագաթը. բուրգի հիմքը Ա Բ Գ Դ- կանոնավոր քառանկյուն, այսինքն՝ քառակուսի։ Կետ Օ, անկյունագծերի հատման կետը քառակուսու կենտրոնն է։ Նշանակում է, ROբուրգի բարձրությունն է։

Բրինձ. 3

Բացատրությունաջ կողմում n-gon, ներգծված շրջանագծի կենտրոնը և շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը համընկնում են: Այս կենտրոնը կոչվում է բազմանկյան կենտրոն։ Երբեմն ասում են, որ գագաթը նախագծված է կենտրոնի մեջ:

Կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը, որը գծված է նրա գագաթից, կոչվում է ապոթեմաև նշվում է հ ա.

1. Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային եզրերը հավասար են.

2. կողային երեսները հավասարաչափ հավասարաչափ եռանկյուններ են:

Եկեք ապացուցենք այս հատկությունները՝ օգտագործելով կանոնավոր քառանկյուն բուրգի օրինակը:

Տրված է: RABCD- կանոնավոր քառանկյուն բուրգ,

Ա Բ Գ Դ- քառակուսի,

ROբուրգի բարձրությունն է։

Ապացուցել:

1. ՀՀ = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Տես Նկ. 4.

Բրինձ. 4

Ապացույց.

ROբուրգի բարձրությունն է։ Այսինքն՝ ուղիղ ROհարթությանը ուղղահայաց ABC, և հետևաբար ուղղակի AO, VO, SOև ԱՐԵԼպառկած դրա մեջ. Այսպիսով, եռանկյունները ROA, ROV, ROS, ROD- ուղղանկյուն:

Դիտարկենք քառակուսի Ա Բ Գ Դ. Քառակուսու հատկություններից հետևում է, որ AO = BO = CO = ԱՐԵԼ.

Այնուհետև ուղղանկյուն եռանկյունները ROA, ROV, ROS, RODոտքը RO- ընդհանուր և ոտքեր AO, VO, SOև ԱՐԵԼհավասար են, ուստի այս եռանկյունները երկու ոտքերով հավասար են: Եռանկյունների հավասարությունից հետևում է հատվածների հավասարությունը. ՀՀ = PB = PC = PD: 1-ին կետն ապացուցված է.

Հատվածներ ԱԲև արևհավասար են, քանի որ նույն քառակուսու կողմերն են, ՀՀ = RV = PC. Այսպիսով, եռանկյունները AVRև VCR -հավասարաչափ և երեք կողմից հավասար:

Նմանապես, մենք ստանում ենք, որ եռանկյունները ABP, BCP, CDP, DAPհավասարաչափ են և հավասար, ինչը պահանջվում էր ապացուցել 2-րդ կետում:

Կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և ապոտեմի արտադրյալի կեսին.

Ապացույցի համար մենք ընտրում ենք կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգ:

Տրված է: RAVSկանոնավոր եռանկյունաձեւ բուրգ է։

AB = BC = AC:

RO- բարձրություն.

Ապացուցել: . Տես Նկ. 5.

Բրինձ. 5

Ապացույց.

RAVSկանոնավոր եռանկյունաձեւ բուրգ է։ այսինքն ԱԲ= AC = մ.թ.ա. Թող լինի Օ- եռանկյունու կենտրոնը ABC, ապա ROբուրգի բարձրությունն է։ Բուրգի հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է։ ABC. նկատել, որ .

եռանկյուններ RAV, RVS, RSA- հավասար հավասարաչափ եռանկյուններ (ըստ սեփականության): Եռանկյուն բուրգն ունի երեք կողային երես. RAV, RVS, RSA. Այսպիսով, բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը հետևյալն է.

S կողմ = 3S RAB

Թեորեմն ապացուցված է.

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքում գրված շրջանագծի շառավիղը 3 մ է, բուրգի բարձրությունը՝ 4 մ։ Գտե՛ք բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը։

Տրված էկանոնավոր քառանկյուն բուրգ Ա Բ Գ Դ,

Ա Բ Գ Դ- քառակուսի,

r= 3 մ,

RO- բուրգի բարձրությունը,

RO= 4 մ.

Գտնել: S կողմ. Տես Նկ. 6.

Բրինձ. 6

Որոշում.

Ըստ ապացուցված թեորեմի, .

Նախ գտեք հիմքի կողմը ԱԲ. Մենք գիտենք, որ կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքում գրված շրջանագծի շառավիղը 3 մ է։

Այնուհետեւ, մ.

Գտե՛ք քառակուսու պարագիծը Ա Բ Գ Դ 6 մ կողմով.

Դիտարկենք եռանկյուն BCD. Թող լինի Մ- միջին կողմը DC. Ինչպես Օ- միջին ԲԴ, ապա (մ).

Եռանկյուն DPC- հավասարաչափ. Մ- միջին DC. այսինքն. RM- միջինը և հետևաբար բարձրությունը եռանկյունու մեջ DPC. Հետո RM- բուրգի ապոտեմ:

ROբուրգի բարձրությունն է։ Հետո՝ ուղիղ ROհարթությանը ուղղահայաց ABC, և հետևաբար ուղղակի Օ.Մպառկած դրա մեջ. Եկեք ապոտեմ գտնենք RMուղղանկյուն եռանկյունից ROM.

Այժմ մենք կարող ենք գտնել բուրգի կողային մակերեսը.

Պատասխանել՝ 60 մ2.

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հիմքի մոտ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը մ է, կողային մակերեսը՝ 18 մ 2։ Գտե՛ք ապոթեմի երկարությունը:

Տրված է: ABCP- կանոնավոր եռանկյուն բուրգ,

AB = BC = SA,

Ռ= մ,

S կողմ = 18 մ 2:

Գտնել: Տես Նկ. 7.

Բրինձ. 7

Որոշում.

Ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ ABCհաշվի առնելով շրջանագծի շառավիղը: Եկեք կողմ գտնենք ԱԲայս եռանկյունին օգտագործելով սինուսի թեորեմը:

Իմանալով կանոնավոր եռանկյան (m) կողմը՝ մենք գտնում ենք նրա պարագիծը։

Համաձայն կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի տարածքի թեորեմի, որտեղ հ ա- բուրգի ապոտեմ: Ապա.

Պատասխանել: 4 մ.

Այսպիսով, մենք ուսումնասիրեցինք, թե ինչ է բուրգը, ինչ է կանոնավոր բուրգը, մենք ապացուցեցինք կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի թեորեմը: Հաջորդ դասին կծանոթանանք կտրված բուրգին։

Մատենագիտություն

1. Երկրաչափություն. 10-11 դասարան. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար (հիմնական և պրոֆիլի մակարդակները) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-րդ հրատ., Վեր. և լրացուցիչ - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 էջ: հիվանդ.
2. Երկրաչափություն. 10-11 դասարան՝ Հանրակրթական դասագիրք ուսումնական հաստատություններ/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. Երկրաչափություն. Դասարան 10. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար մաթեմատիկայի խորը և պրոֆիլային ուսումնասիրությամբ / Ե. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-րդ հրատ., կարծրատիպ. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: հիվանդ.

1. «Yaklass» ինտերնետային պորտալ ()
2. Ինտերնետ պորտալ «Մանկավարժական գաղափարների փառատոն «Սեպտեմբերի առաջին» ()
3. «Slideshare.net» ինտերնետային պորտալ ()

Տնային աշխատանք

1. Կարո՞ղ է կանոնավոր բազմանկյունը լինել անկանոն բուրգի հիմքը:
2. Ապացուցեք, որ կանոնավոր բուրգի չհատվող եզրերը ուղղահայաց են:
3. Գտե՛ք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքի կողմում գտնվող երկփեղկ անկյան արժեքը, եթե բուրգի ապոտեմը հավասար է նրա հիմքի կողմին:
4. RAVSկանոնավոր եռանկյունաձեւ բուրգ է։ Կառուցեք բուրգի հիմքում երկնիստ անկյունի գծային անկյունը:

Վարկած.մենք կարծում ենք, որ բուրգի ձևի կատարելությունը պայմանավորված է մաթեմատիկական օրենքներներկառուցված իր ձևով:

Թիրախ:ուսումնասիրելով բուրգը երկրաչափական մարմին, բացատրել նրա ձևի կատարելությունը։

Առաջադրանքներ.

1. Տրե՛ք բուրգի մաթեմատիկական սահմանումը:

2. Ուսումնասիրեք բուրգը որպես երկրաչափական մարմին:

3. Հասկացեք, թե ինչ մաթեմատիկական գիտելիքներ են դրել եգիպտացիներն իրենց բուրգերում:

Մասնավոր հարցեր.

1. Ի՞նչ է բուրգը որպես երկրաչափական մարմին:

2. Ինչպե՞ս կարելի է մաթեմատիկորեն բացատրել բուրգի յուրահատուկ ձևը:

3. Ինչո՞վ է բացատրվում բուրգի երկրաչափական հրաշալիքները:

4. Ինչո՞վ է բացատրվում բուրգի ձևի կատարելությունը:

Բուրգի սահմանում.

ԲՈՒՐԳ (հունարեն pyramis, սեռ n. pyramidos) - բազմանկյուն, որի հիմքը բազմանկյուն է, իսկ մնացած դեմքերը եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով (նկար): Ըստ հիմքի անկյունների քանակի՝ բուրգերը լինում են եռանկյուն, քառանկյուն և այլն։

ԲՈՒՐԳ - մոնումենտալ կառույց, որն ունի բուրգի երկրաչափական ձև (երբեմն նաև աստիճանավոր կամ աշտարակ): 3-2-րդ հազարամյակի հին եգիպտական ​​փարավոնների հսկա դամբարանները կոչվում են բուրգեր։ ե., ինչպես նաև տիեզերական պաշտամունքների հետ կապված տաճարների հին ամերիկյան պատվանդաններ (Մեքսիկայում, Գվատեմալայում, Հոնդուրասում, Պերուում):

Հնարավոր է, որ Հունարեն բառ«բուրգը» գալիս է եգիպտական ​​per-em-us արտահայտությունից, այսինքն՝ մի տերմինից, որը նշանակում էր բուրգի բարձրությունը։ Ռուս ականավոր եգիպտագետ Վ. Ստրուվեն կարծում էր, որ հունարեն «puram…j»-ը գալիս է հին եգիպտական ​​«p»-mr-ից։

Պատմությունից. Աթանասյանի հեղինակների «Երկրաչափություն» դասագրքի նյութն ուսումնասիրելով. Բուտուզովայի և այլոց, մենք իմացանք, որ n-անկյուն A1A2A3... An և n եռանկյուններից կազմված RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 եռանկյունները կոչվում են բուրգ: A1A2A3 բազմանկյունը ... An-ը բուրգի հիմքն է, իսկ RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 եռանկյունները բուրգի կողային երեսներն են, P-ը բուրգի գագաթն է, RA1, RA2, .. հատվածները: ., RAN-ն կողային եզրերն են։

Այնուամենայնիվ, բուրգի նման սահմանումը միշտ չէ, որ գոյություն ունի: Օրինակ, հին հույն մաթեմատիկոս, մեզ հասած մաթեմատիկայի վերաբերյալ տեսական տրակտատների հեղինակ Էվկլիդեսը բուրգը սահմանում է որպես ամուր պատկեր, որը սահմանափակված է մի հարթությունից մինչև մեկ կետ համընկնող հարթություններով:

Բայց այս սահմանումը քննադատության է ենթարկվել արդեն հնում։ Ուստի Հերոնն առաջարկեց հետևյալ սահմանումըբուրգեր. «Սա պատկեր է, որը սահմանափակված է մի կետում համընկնող եռանկյուններով և որի հիմքը բազմանկյուն է»:

Մեր խումբը, համեմատելով այս սահմանումները, եկավ այն եզրակացության, որ դրանք չունեն «հիմնադրամ» հասկացության հստակ ձևակերպում։

Մենք ուսումնասիրեցինք այս սահմանումները և գտանք Ադրիեն Մարի Լեժանդրի սահմանումը, ով 1794 թվականին իր «Երկրաչափության տարրեր» աշխատության մեջ բուրգը սահմանում է հետևյալ կերպ. հարթ հիմք»:

Մեզ թվում է, որ վերջին սահմանումըտալիս է հստակ պատկերացում բուրգի մասին, քանի որ այն խոսում է այն մասին, որ հիմքը հարթ է: Բուրգի մեկ այլ սահմանում հայտնվել է 19-րդ դարի դասագրքում. «Բուրգը հարթությամբ հատված ամուր անկյուն է»։

Բուրգը որպես երկրաչափական մարմին.

Դա. Բուրգը բազմանկյուն է, որի դեմքերից մեկը (հիմքը) բազմանկյուն է, մյուս դեմքերը (կողմերը) եռանկյուններ են, որոնք ունեն մեկ ընդհանուր գագաթ (բուրգի գագաթը):

Բուրգի գագաթից հիմքի հարթությանը գծված ուղղահայացը կոչվում է բարձրությունըհբուրգեր.

Բացի կամայական բուրգից, կան աջ բուրգ,որի հիմքում կանոնավոր բազմանկյուն է և կտրված բուրգ:

Նկարում - PABCD բուրգը, ABCD - դրա հիմքը, PO - բարձրությունը:

Ամբողջ մակերեսը Բուրգը կոչվում է նրա բոլոր երեսների մակերեսների գումարը:

Sfull = Siside + Sbase,որտեղ Կողքկողային երեսների մակերեսների գումարն է։

բուրգի ծավալը հայտնաբերվում է ըստ բանաձևի.

V=1/3Sbase հ, որտեղ Սոսն. - բազայի տարածքը հ- բարձրություն.

Կանոնավոր բուրգի առանցքը ուղիղ գիծ է, որը պարունակում է իր բարձրությունը:
Apothem ST - կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը:

Կանոնավոր բուրգի կողային երեսի մակերեսն արտահայտվում է հետևյալ կերպ. =1/2P հորտեղ P-ը հիմքի պարագիծն է, հ- կողային երեսի բարձրությունը (կանոնավոր բուրգի ապոտեմ): Եթե ​​բուրգը հատվում է հիմքին զուգահեռ A'B'C'D' հարթությամբ, ապա.

1) կողային եզրերը և բարձրությունը այս հարթությամբ բաժանվում են համամասնական մասերի.

2) հատվածում ստացվում է A'B'C'D' բազմանկյուն՝ հիմքի նման.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Կտրված բուրգի հիմքերընման են ABCD և A`B`C`D` բազմանկյուններ, կողային երեսները` trapezoids:

Բարձրությունկտրված բուրգ - հիմքերի միջև հեռավորությունը:

Կտրված ծավալըբուրգը հայտնաբերվում է բանաձևով.

V=1/3 հ(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Կանոնավոր կտրված բուրգի կողային մակերեսը արտահայտվում է հետևյալ կերպ. Սայդ = ½(P+P') հորտեղ P և P' հիմքերի պարագծերն են, հ- կողային երեսի բարձրությունը (խնջույքներով կտրված սովորականի ապոտեմը

Բուրգի հատվածներ.

Բուրգի գագաթով անցնող հարթությունների հատվածները եռանկյունի են։

Բուրգի երկու ոչ կից կողային եզրերով անցնող հատվածը կոչվում է անկյունագծային հատված:

Եթե ​​հատվածն անցնում է կողային եզրին և հիմքի կողային կետով, ապա այս կողմը կլինի նրա հետքը բուրգի հիմքի հարթության վրա:

Բուրգի երեսին ընկած կետով անցնող հատված և հիմքի հարթության վրա հատվածի տրված հետք, ապա շինարարությունը պետք է իրականացվի հետևյալ կերպ.

գտնել տվյալ դեմքի հարթության և բուրգի հատվածի հետքի հատման կետը և նշանակել այն.

կառուցել ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է միջով տրված կետև արդյունքում խաչմերուկի կետը;

· Կրկնեք այս քայլերը հաջորդ դեմքերի համար:

, որը համապատասխանում է ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերի հարաբերությանը 4։3։ Ոտքերի այս հարաբերակցությունը համապատասխանում է 3:4:5 կողմերով հայտնի ուղղանկյուն եռանկյունին, որը կոչվում է «կատարյալ», «սուրբ» կամ «եգիպտական» եռանկյուն: Ըստ պատմաբանների՝ «եգիպտական» եռանկյունին մոգական նշանակություն է տրվել։ Պլուտարքոսը գրել է, որ եգիպտացիները տիեզերքի բնույթը համեմատել են «սուրբ» եռանկյունու հետ. նրանք սիմվոլիկ կերպով նմանեցնում էին ուղղահայաց ոտքը ամուսնուն, հիմքը՝ կնոջը, իսկ հիպոթենուսը՝ երկուսից ծնվածին:

3:4:5 եռանկյան համար ճիշտ է հավասարությունը՝ 32 + 42 = 52, որն արտահայտում է Պյութագորասի թեորեմը: Սա չէ՞ այն թեորեմը, որը ցանկանում էին հավերժացնել Եգիպտացի քահանաներ, եռանկյան վրա հիմնված բուրգի կառուցում 3:4:5? Ավելի լավ օրինակ դժվար է գտնել Պյութագորասի թեորեմը լուսաբանելու համար, որը եգիպտացիներին հայտնի էր Պյութագորասի կողմից հայտնաբերումից շատ առաջ։

Այսպիսով, հնարամիտ ստեղծագործողները Եգիպտական ​​բուրգերձգտում էին տպավորել հեռավոր ժառանգներին իրենց գիտելիքների խորությամբ, և նրանք դրան հասան՝ ընտրելով որպես «գլխավոր երկրաչափական գաղափար» Քեոպսի բուրգի համար՝ «ոսկե»: ուղղանկյուն եռանկյուն, իսկ Խաֆրե բուրգի համար՝ «սուրբ» կամ «եգիպտական» եռանկյունին։

Շատ հաճախ գիտնականներն իրենց հետազոտություններում օգտագործում են բուրգերի հատկությունները Ոսկե հատվածի համամասնություններով։

Մաթեմատիկայում հանրագիտարանային բառարանտրված է Ոսկե հատվածի հետևյալ սահմանումը. սա ներդաշնակ բաժանում է, բաժանում ծայրահեղ և միջին հարաբերակցությամբ. AB հատվածի բաժանումը երկու մասի այնպես, որ նրա AC-ի մեծ մասը միջին համամասնությունն է ամբողջ AB հատվածի միջև: և դրա ավելի փոքր մասը ԿԲ:

Հատվածի ոսկե հատվածի հանրահաշվական հայտնաբերում AB = ավերածվում է a-ի հավասարման լուծման՝ x = x: (a - x), որտեղից x-ը մոտավորապես հավասար է 0,62a-ի: X հարաբերակցությունը կարող է արտահայտվել որպես 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618 կոտորակներ, որտեղ 2, 3, 5, 8, 13, 21 Ֆիբոնաչիի թվեր են:

AB հատվածի ոսկե հատվածի երկրաչափական կառուցումը կատարվում է հետևյալ կերպ. B կետում վերականգնվում է AB-ին ուղղահայացը, դրա վրա դրված է BE \u003d 1/2 AB հատվածը, A և E միացված են, DE \ u003d BE-ն հետաձգվում է, և, վերջապես, AC \u003d AD, այնուհետև կատարվում է AB հավասարությունը՝ CB = 2: 3:

ոսկե հարաբերակցությունըհաճախ օգտագործվում է բնության մեջ հայտնաբերված արվեստի, ճարտարապետության գործերում։ Վառ օրինակներԱպոլլոն Բելվեդերի քանդակն է՝ Պարթենոնը։ Պարթենոնի կառուցման ժամանակ օգտագործվել է շենքի բարձրության և երկարության հարաբերակցությունը և այդ հարաբերակցությունը 0,618 է։ Մեզ շրջապատող առարկաները նաև Ոսկե հարաբերակցության օրինակներ են տալիս, օրինակ՝ շատ գրքերի կապանքները լայնության և երկարության հարաբերակցությունը մոտ 0,618 է: Հաշվի առնելով բույսերի ընդհանուր ցողունի վրա տերևների դասավորությունը, կարելի է նկատել, որ յուրաքանչյուր երկու զույգ տերևների միջև երրորդը գտնվում է Ոսկե հարաբերակցության (սլայդների) տեղում: Մեզանից յուրաքանչյուրը «ձեռքերում» մեզ հետ «կրում է» Ոսկե հարաբերակցությունը. սա մատների ֆալանգների հարաբերակցությունն է:

Մի քանի մաթեմատիկական պապիրուսների հայտնաբերման շնորհիվ եգիպտագետները ինչ-որ բան իմացան հին եգիպտական ​​հաշվարկների և չափումների համակարգերի մասին: Դրանցում պարունակվող խնդիրները լուծել են գրագիրները։ Ամենահայտնիներից մեկը Rhind մաթեմատիկական պապիրուսն է: Ուսումնասիրելով այս գլուխկոտրուկները՝ եգիպտագետները իմացան, թե ինչպես են հաղթահարել հին եգիպտացիները տարբեր քանակությամբորոնք առաջացել են քաշի, երկարության և ծավալի չափումների հաշվարկի ժամանակ, որոնցում հաճախ օգտագործվում էին կոտորակները, ինչպես նաև այն, թե ինչպես են նրանք վարվում անկյունների հետ։

Հին եգիպտացիները օգտագործում էին անկյունները հաշվարկելու մեթոդ, որը հիմնված էր ուղղանկյուն եռանկյունի բարձրության և հիմքի հարաբերակցության վրա: Նրանք գրադիենտի լեզվով արտահայտում էին ցանկացած անկյուն։ Լանջի գրադիենտը արտահայտվել է որպես ամբողջ թվի հարաբերակցություն, որը կոչվում է «seked»: «Մաթեմատիկան փարավոնների ժամանակաշրջանում» գրքում Ռիչարդ Փիլինսը բացատրում է. «Կանոնավոր բուրգի թեքությունը չորս եռանկյուն երեսներից որևէ մեկի թեքությունն է դեպի հիմքի հարթությունը, որը չափվում է հորիզոնական միավորների n-րդ թվով բարձրության ուղղահայաց միավորի համար։ . Այսպիսով, այս չափման միավորը համարժեք է թեքության անկյան մեր ժամանակակից կոտանգենսին: Ուստի եգիպտական ​​«սեքեդ» բառը կապված է մեր ժամանակակից բառ«գրադիենտ»»:

Բուրգերի թվային բանալին գտնվում է դրանց բարձրության և հիմքի հարաբերակցության մեջ: AT գործնական առումով- սա բուրգի կառուցման ողջ ընթացքում թեքության ճիշտ անկյունը մշտապես ստուգելու համար անհրաժեշտ կաղապարներ պատրաստելու ամենահեշտ ձևն է:

Եգիպտագետները ուրախ կլինեն մեզ համոզել, որ յուրաքանչյուր փարավոն ցանկանում էր արտահայտել իր անհատականությունը, հետևաբար, յուրաքանչյուր բուրգի թեքության անկյունների տարբերությունը: Բայց կարող էր լինել մեկ այլ պատճառ. Երևի նրանք բոլորն էլ ցանկանում էին մարմնավորել տարբեր համամասնությունների մեջ թաքնված տարբեր խորհրդանշական ասոցիացիաներ։ Այնուամենայնիվ, Խաֆրեի բուրգի անկյունը (հիմնված եռանկյունու վրա (3:4:5) հայտնվում է Rhind մաթեմատիկական պապիրուսում բուրգերի կողմից ներկայացված երեք խնդիրներում: Այսպիսով, այս վերաբերմունքը լավ հայտնի էր հին եգիպտացիներին:

Արդար լինելու համար եգիպտագետների հանդեպ, ովքեր պնդում են, որ հին եգիպտացիները չգիտեին 3:4:5 եռանկյունին, ասենք, որ հիպոթենուս 5-ի երկարությունը երբեք չի նշվել: Բայց բուրգերի հետ կապված մաթեմատիկական խնդիրները միշտ լուծվում են թեքված անկյան հիման վրա՝ բարձրության և հիմքի հարաբերակցությունը։ Քանի որ հիպոթենուսի երկարությունը երբեք չի նշվել, եզրակացրել են, որ եգիպտացիները երբեք չեն հաշվարկել երրորդ կողմի երկարությունը։

Գիզայի բուրգերում օգտագործվող բարձրության և հիմքի հարաբերակցությունը, անկասկած, հայտնի էր հին եգիպտացիներին։ Հնարավոր է, որ յուրաքանչյուր բուրգի համար այս գործակիցները կամայական են ընտրվել։ Այնուամենայնիվ, սա հակասում է եգիպտերենի բոլոր տեսակների թվային սիմվոլիզմին տրվող կարևորությանը տեսողական արվեստներ. Շատ հավանական է, որ նման հարաբերությունները էական նշանակություն ունենային, քանի որ արտահայտում էին կոնկրետ կրոնական գաղափարներ։ Այլ կերպ ասած, Գիզայի ամբողջ համալիրը ենթարկվում էր համահունչ ձևավորման, որը նախատեսված էր ինչ-որ աստվածային թեմա արտացոլելու համար: Սա կբացատրեր, թե ինչու են դիզայներները երեք բուրգերի համար ընտրել տարբեր անկյուններ:

«Օրիոնի գաղտնիքը» գրքում Բավալը և Գիլբերտը համոզիչ ապացույցներ են ներկայացրել Գիզայի բուրգերի կապի մասին Օրիոնի համաստեղության, մասնավորապես Օրիոնի գոտու աստղերի հետ: Նույն համաստեղությունը առկա է Իսիսի և Օսիրիսի առասպելում, և այնտեղ պատճառ է յուրաքանչյուր բուրգ դիտարկելու որպես երեք գլխավոր աստվածներից մեկի՝ Օսիրիսի, Իսիսի և Հորուսի պատկեր:

ՀՐԱՇՔՆԵՐ «Երկրաչափական».

Եգիպտոսի վիթխարի բուրգերի շարքում առանձնահատուկ տեղ է զբաղեցնում Քեոպսի փարավոնի մեծ բուրգը (Խուֆու). Նախքան Քեոպսի բուրգի ձևի և չափերի վերլուծությանը անցնելը, պետք է հիշել, թե ինչ չափումների համակարգ էին կիրառում եգիպտացիները։ Եգիպտացիներն ունեին երեք միավոր երկարություն՝ «կուբիտ» (466 մմ), հավասար յոթ «ափի» (66,5 մմ), որն իր հերթին հավասար էր չորս «մատի» (16,6 մմ)։

Եկեք վերլուծենք Քեոպսի բուրգի չափերը (նկ. 2)՝ հետևելով ուկրաինացի գիտնական Նիկոլայ Վասյուտինսկու «Ոսկե համամասնությունը» (1990 թ.) հրաշալի գրքում բերված պատճառաբանությանը։

Հետազոտողների մեծ մասը համաձայն է, որ բուրգի հիմքի կողմի երկարությունը, օրինակ. ԳՖհավասար է Լ\u003d 233,16 մ Այս արժեքը գրեթե ճշգրիտ համապատասխանում է 500 «կունտի»: 500 «կուբիտի» լրիվ համապատասխանությունը կլինի, եթե «կուբիտի» երկարությունը համարվի հավասար 0,4663 մ։

Բուրգի բարձրությունը ( Հ) հետազոտողները տարբեր կերպ են գնահատում 146,6-ից մինչև 148,2 մ: Եվ կախված բուրգի ընդունված բարձրությունից՝ փոխվում են նրա երկրաչափական տարրերի բոլոր հարաբերությունները: Ինչո՞վ է պայմանավորված բուրգի բարձրության գնահատման տարբերությունները: Փաստն այն է, որ, խիստ ասած, Քեոպսի բուրգը կտրված է։ Նրա վերին հարթակն այսօր ունի մոտավորապես 10´10 մ չափսեր, իսկ մեկ դար առաջ այն եղել է 6´6 մ: Ակնհայտ է, որ բուրգի գագաթը ապամոնտաժվել է, և այն չի համապատասխանում սկզբնականին:

Գնահատելով բուրգի բարձրությունը՝ անհրաժեշտ է հաշվի առնել այնպիսի ֆիզիկական գործոն, ինչպիսին է կառուցվածքի «նախագիծը»։ Հետևում երկար ժամանակվիթխարի ճնշման ազդեցության տակ (ստորին մակերեսի 1 մ2-ի համար հասնելով 500 տոննայի) բուրգի բարձրությունը նվազել է սկզբնական բարձրության համեմատ։

Ո՞րն էր բուրգի սկզբնական բարձրությունը: Այս բարձրությունը կարող է վերստեղծվել, եթե գտնեք բուրգի հիմնական «երկրաչափական գաղափարը»:

Նկար 2.

1837 թվականին անգլիացի գնդապետ Գ. Ուայզը չափեց բուրգի երեսների թեքության անկյունը. պարզվեց, որ այն հավասար է. ա= 51 ° 51 ": Այս արժեքը մինչ օրս ճանաչվում է հետազոտողների մեծ մասի կողմից: Անկյան նշված արժեքը համապատասխանում է շոշափողին (tg ա), հավասար է 1,27306-ի։ Այս արժեքը համապատասխանում է բուրգի բարձրության հարաբերակցությանը ACիր հիմքի կեսին ԿԲ(նկ.2), այսինքն. AC / ԿԲ = Հ / (Լ / 2) = 2Հ / Լ.

Եվ ահա հետազոտողներին մեծ անակնկալ էր սպասվում.png" width="25" height="24">= 1.272: Համեմատելով այս արժեքը tg արժեքի հետ ա= 1.27306, մենք տեսնում ենք, որ այս արժեքները շատ մոտ են միմյանց: Եթե ​​վերցնենք անկյունը ա\u003d 51 ° 50», այսինքն, կրճատեք այն միայն մեկով աղեղի րոպե, ապա արժեքը ակդառնա հավասար 1,272-ի, այսինքն՝ կհամընկնի .-ի արժեքի հետ։ Հարկ է նշել, որ 1840 թվականին Գ. Ուայզը կրկնել է իր չափումները և պարզաբանել, որ անկյան արժեքը. ա=51°50"

Այս չափումները հետազոտողներին հանգեցրել են հետևյալին հետաքրքիր վարկած: Քեոպսի բուրգի ASV եռանկյունը հիմնված էր AC կապի վրա / ԿԲ = = 1,272!

Դիտարկենք հիմա ուղղանկյուն եռանկյունին ABC, որի մեջ ոտքերի հարաբերակցությունը AC / ԿԲ= (նկ.2): Եթե ​​այժմ ուղղանկյան կողմերի երկարությունները ABCնշելով x, y, զ, և նաև հաշվի առնել, որ հարաբերակցությունը y/x= , ապա Պյութագորասի թեորեմի համաձայն երկարությունը զկարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Եթե ​​ընդունեք x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Նկար 3«Ոսկե» ուղղանկյուն եռանկյուն.

Ուղղանկյուն եռանկյուն, որի կողմերը կապված են որպես տ:golden» ուղղանկյուն եռանկյուն.

Հետո, եթե հիմք ընդունենք այն վարկածը, որ Քեոպսի բուրգի հիմնական «երկրաչափական գաղափարը» «ոսկե» ուղղանկյուն եռանկյունին է, ապա այստեղից հեշտ է հաշվարկել Քեոպսի բուրգի «նախագծային» բարձրությունը։ Այն հավասար է.

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 մ.

Այժմ բերենք մի քանի այլ հարաբերություններ Քեոպսի բուրգի համար, որոնք բխում են «ոսկե» վարկածից։ Մասնավորապես, մենք գտնում ենք բուրգի արտաքին տարածքի հարաբերակցությունը նրա հիմքի մակերեսին: Դա անելու համար մենք վերցնում ենք ոտքի երկարությունը ԿԲմեկ միավորի համար, այսինքն. ԿԲ= 1. Բայց հետո բուրգի հիմքի կողմի երկարությունը ԳՖ= 2, և բազայի տարածքը ԷՖՂհավասար կլինի ՍԵՖՂ = 4.

Այժմ հաշվարկենք Քեոպսի բուրգի կողային երեսի մակերեսը SD. Քանի որ բարձրությունը ԱԲեռանկյուն AEFհավասար է տ, ապա կողային երեսի մակերեսը հավասար կլինի SD = տ. Այնուհետև բուրգի բոլոր չորս կողային երեսների ընդհանուր մակերեսը հավասար կլինի 4-ի տ, և բուրգի ընդհանուր արտաքին տարածքի և բազային տարածքի հարաբերակցությունը հավասար կլինի ոսկե հարաբերակցությանը: Դա այն է, ինչ - Քեոպսի բուրգի գլխավոր երկրաչափական գաղտնիքը!

Քեոպսի բուրգի «երկրաչափական հրաշքների» խումբը ներառում է փոխհարաբերությունների իրական և անհասկանալի հատկություններ. տարբեր չափսերբուրգում։

Որպես կանոն, դրանք ձեռք են բերվում ինչ-որ «հաստատուն» փնտրելով, մասնավորապես՝ «pi» թիվը (Լյուդոլֆի թիվ)՝ հավասար 3,14159...; «e» բնական լոգարիթմների հիմքերը (Նապիերի թիվը) հավասար է 2,71828...; «F» թիվը, «ոսկե հատվածի» թիվը հավասար է, օրինակ, 0,618 ... և այլն:

Դուք կարող եք անվանել, օրինակ՝ 1) Հերոդոտոսի ունեցվածքը. հիմնական x Ապաթեմ; 2) Վ-ի սեփականություն Գինը՝ Բարձրությունը՝ 0,5 փ. osn \u003d «Ф»-ի քառակուսի արմատը; 3) M. Eist-ի հատկությունը՝ հիմքի պարագիծը՝ 2 Բարձրություն = «Pi»; այլ մեկնաբանությամբ - 2 tbsp. հիմնական Բարձրությունը = «Pi»; 4) Գ.Ռեբերի սեփականությունը՝ ներգծված շրջանագծի շառավիղը՝ 0,5 փ. հիմնական = «F»; 5) K.Kleppish-ի սեփականությունը՝ (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2-րդ գլխավոր X Apothem) + (st. main) 2). և այլն: Դուք կարող եք շատ նման հատկություններով հանդես գալ, հատկապես, եթե միացնեք երկու հարևան բուրգեր: Օրինակ, որպես «Ա.Արեֆիևի հատկությունները» կարելի է նշել, որ Քեոպսի բուրգի և Խաֆրեի բուրգի ծավալների տարբերությունը հավասար է Մենկաուրեի բուրգի ծավալի կրկնակի...

Շատերը հետաքրքիր դիրքեր, մասնավորապես, ըստ «ոսկե հատվածի» բուրգերի կառուցման մասին նկարագրված են Դ. Հեմբիջի «Դինամիկ սիմետրիան ճարտարապետության մեջ» և Մ. Գիքի «Համաչափության էսթետիկան բնության և արվեստի մեջ» գրքերում։ Հիշեցնենք, որ «ոսկե հատվածը» հատվածի բաժանումն է նման հարաբերակցությամբ, երբ A մասը նույնքան անգամ մեծ է B մասից, քանի՞ անգամ է A փոքր հատվածը A + B ամբողջ հատվածից: A/B հարաբերակցությունը հավասար է. հավասար է «Ф» թվին == 1.618... «Ոսկե հատվածի» օգտագործումը նշված է ոչ միայն առանձին բուրգերում, այլև Գիզայի ողջ բուրգային համալիրում:

Ամենահետաքրքիրն այն է, սակայն, որ նույն Քեոպսի բուրգը պարզապես «չի կարող» տեղավորել այդքան շատ. հրաշագործ հատկություններ. Հերթով վերցնելով որոշակի գույք՝ կարելի է «հարմարեցնել», բայց միանգամից չեն տեղավորվում՝ չեն համընկնում, հակասում են իրար։ Հետևաբար, եթե, օրինակ, բոլոր հատկությունները ստուգելիս ի սկզբանե վերցվի բուրգի հիմքի միևնույն կողմը (233 մ), ապա տարբեր հատկություններով բուրգերի բարձրությունները նույնպես տարբեր կլինեն։ Այլ կերպ ասած, գոյություն ունի բուրգերի որոշակի «ընտանիք», արտաքնապես նման է Քեոպսի ընտանիքին, բայց համապատասխանում է տարբեր հատկությունների։ Նկատի ունեցեք, որ «երկրաչափական» հատկությունների մեջ առանձնապես զարմանալի բան չկա. շատ բան առաջանում է զուտ ինքնաբերաբար՝ բուն գործչի հատկություններից: «Հրաշք» պետք է համարել միայն հին եգիպտացիների համար ակնհայտ անհնարին մի բան։ Սա, մասնավորապես, ներառում է «տիեզերական» հրաշքները, որոնցում Գիզայի Քեոպսի բուրգի կամ բուրգի համալիրի չափումները համեմատվում են որոշ աստղագիտական ​​չափումների հետ և նշվում են «զույգ» թվեր՝ միլիոն անգամ, միլիարդ անգամ պակաս, և այսպես շարունակ։ Դիտարկենք մի քանի «տիեզերական» հարաբերություններ։

Հայտարարություններից մեկն էլ հետևյալն է՝ «եթե բուրգի հիմքի կողմը բաժանենք տարվա ճշգրիտ երկարության վրա, ապա կստանանք երկրագնդի առանցքի ուղիղ 10 միլիոներորդը»։ Հաշվեք՝ 233-ը բաժանեք 365-ի, ստանում ենք 0,638։ Երկրի շառավիղը 6378 կմ է։

Մեկ այլ հայտարարություն իրականում նախորդի հակառակն է. Ֆ. Նոյթլինգը նշել է, որ եթե օգտագործեք իր հորինած «եգիպտական ​​արմունկը», ապա բուրգի կողմը կհամապատասխանի «առավել ճշգրիտ տևողությանը». արեգակնային տարին, արտահայտված օրվա միլիարդերորդական չափով» - 365.540.903.777։

Պ. Սմիթի հայտարարությունը. «Բուրգի բարձրությունը Երկրից Արեգակ հեռավորության ուղիղ մեկ միլիարդերորդն է»: Թեև սովորաբար վերցվում է 146,6 մ բարձրությունը, Սմիթն այն վերցրել է որպես 148,2 մ: Ըստ ժամանակակից ռադարների չափումների՝ Երկրի ուղեծրի կիսահիմնական առանցքը կազմում է 149,597,870 + 1,6 կմ: Սա Երկրից Արեգակի միջին հեռավորությունն է, սակայն պերիհելիում այն ​​5,000,000 կիլոմետրով պակաս է, քան աֆելիոնում:

Վերջին հետաքրքիր հայտարարությունը.

«Ինչպե՞ս բացատրել, որ Քեոպսի, Խաֆրեի և Մենկաուրեի բուրգերի զանգվածները կապված են միմյանց հետ, ինչպես Երկիր, Վեներա, Մարս մոլորակների զանգվածները։ Եկեք հաշվարկենք. Երեք բուրգերի զանգվածները կապված են հետևյալ կերպ՝ Խաֆրե - 0,835; Cheops - 1000; Միկերին - 0,0915: Երեք մոլորակների զանգվածների հարաբերությունները՝ Վեներա՝ 0,815; Հողատարածք - 1000; Մարս - 0,108:

Այսպիսով, չնայած թերահավատությանը, նշենք հայտարարությունների կառուցման հայտնի ներդաշնակությունը. 1) բուրգի բարձրությունը, որպես «տիեզերք գնացող» գիծ, ​​համապատասխանում է Երկրից Արև հեռավորությանը. 2) բուրգի հիմքի կողմը, որն ամենամոտ է «ենթաշերտին», այսինքն՝ Երկրին, պատասխանատու է երկրի շառավիղի և երկրի շրջանառության համար. 3) բուրգի ծավալները (կարդալ՝ զանգվածներ) համապատասխանում են Երկրին ամենամոտ մոլորակների զանգվածների հարաբերությանը։ Նմանատիպ «ծածկագիր» կարելի է գտնել, օրինակ, մեղուների լեզվով, որը վերլուծել է Կարլ ֆոն Ֆրիշը: Սակայն այս մասին առայժմ ձեռնպահ ենք մնում մեկնաբանություններից։

ԲՈՒԳԵՐԻ ՁԵՎԸ

Բուրգերի հայտնի քառանիստ ձևը անմիջապես չհայտնվեց: Սկյութները հուղարկավորություններ էին անում հողե բլուրների՝ բարերի տեսքով։ Եգիպտացիները կառուցել են քարից «բլուրներ»՝ բուրգեր։ Դա առաջին անգամ տեղի ունեցավ Վերին և Ստորին Եգիպտոսի միավորումից հետո՝ մ.թ.ա. 28-րդ դարում, երբ III դինաստիայի հիմնադիր Փարավոն Ջոսերը (Զոսեր) կանգնած էր երկրի միասնության ամրապնդման խնդրի առաջ։

Եվ այստեղ, ըստ պատմաբանների, կենտրոնական իշխանության ամրապնդման գործում կարեւոր դեր է խաղացել ցարի «աստվածացման նոր հայեցակարգը»։ Թագավորական թաղումները թեև առանձնանում էին ավելի մեծ շքեղությամբ, բայց սկզբունքորեն չէին տարբերվում պալատական ​​ազնվականների դամբարաններից, դրանք նույն կառույցներն էին` մաստաբաները։ Մումիա պարունակող սարկոֆագով խցիկի վերևում թափվել է փոքր քարերից կազմված ուղղանկյուն բլուր, որտեղ այնուհետև տեղադրվել է մեծ քարե բլոկներից մի փոքրիկ շինություն՝ «մաստաբա» (արաբերեն՝ «նստարան»): Իր նախորդի՝ Սանախտի մասթաբայի տեղում Փարավոն Ջոսերը կանգնեցրեց առաջին բուրգը։ Այն աստիճանավոր էր և տեսանելի անցումային փուլ էր մի ճարտարապետական ​​ձևից մյուսը՝ մաստաբայից դեպի բուրգ։

Այս կերպ փարավոնին «մեծացրել» է իմաստուն ու ճարտարապետ Իմհոտեպը, ով հետագայում համարվում էր աճպարար և հույները նույնացնում էին Ասկլեպիոս աստծո հետ: Կարծես վեց մաստաբա անընդմեջ կանգնեցին։ Ավելին, առաջին բուրգը զբաղեցրել է 1125 x 115 մետր տարածք, 66 մետր գնահատված բարձրությամբ (եգիպտական ​​չափումների համաձայն՝ 1000 «արմավենի»): Սկզբում ճարտարապետը նախատեսել էր մաստաբա կառուցել, բայց ոչ երկարավուն, այլ հատակագծով քառակուսի։ Հետագայում այն ​​ընդլայնվեց, բայց քանի որ երկարացումն ավելի ցածր էր, երկու աստիճան, այսպես ասած, ձևավորվեց։

Այս իրավիճակը չբավարարեց ճարտարապետին, և հսկայական հարթ մաստաբայի վերին հարթակի վրա Իմհոտեպը դրեց ևս երեքը՝ աստիճանաբար իջնելով դեպի գագաթը։ Դամբարանը բուրգի տակ էր։

Հայտնի են ևս մի քանի աստիճանավոր բուրգեր, սակայն ավելի ուշ շինարարներն անցան ավելի ծանոթ քառաեզրական բուրգերի կառուցմանը։ Ինչո՞ւ, այնուամենայնիվ, ոչ եռանկյունաձև կամ, ասենք, ութանկյուն: Անուղղակի պատասխան է տրվում այն ​​փաստով, որ գրեթե բոլոր բուրգերը հիանալի կերպով ուղղված են չորս կարդինալ կետերին, հետևաբար ունեն չորս կողմ: Բացի այդ, բուրգը «տուն» էր՝ քառանկյուն թաղման խցիկի պատյան։

Բայց ինչո՞վ էր պայմանավորված դեմքերի թեքության անկյունը։ «Համամասնությունների սկզբունքը» գրքում մի ամբողջ գլուխ է նվիրված սրան՝ «Ինչը կարող էր որոշել բուրգերի անկյունները»։ Մասնավորապես նշվում է, որ «պատկերը, որին ձգվում են Հին Թագավորության մեծ բուրգերը, վերևում ուղղանկյուն եռանկյուն է։

Տիեզերքում այն ​​կիսաօկտադրոն է՝ բուրգ, որի հիմքի եզրերն ու կողմերը հավասար են, դեմքերը՝ հավասարակողմ եռանկյունիներ։Այս թեմայի վերաբերյալ որոշակի նկատառումներ տրված են Համբիջի, Գիքի և այլոց գրքերում։

Ո՞րն է կիսաօդադրոնի անկյան առավելությունը: Ըստ հնագետների և պատմաբանների նկարագրությունների՝ որոշ բուրգեր փլուզվել են իրենց ծանրության տակ։ Պահանջվում էր «դիմացկունության անկյուն», մի անկյուն, որն ամենաէներգետիկորեն հուսալին էր։ Զուտ էմպիրիկորեն, այս անկյունը կարելի է վերցնել գագաթային անկյունից՝ փլուզվող չոր ավազի կույտում: Բայց ճշգրիտ տվյալներ ստանալու համար անհրաժեշտ է օգտագործել մոդելը: Վերցնելով չորս ամուր ամրացված գնդիկներ՝ պետք է դրանց վրա դնել հինգերորդը և չափել թեքության անկյունները։ Այնուամենայնիվ, այստեղ դուք կարող եք սխալվել, հետևաբար, տեսական հաշվարկը օգնում է. դուք պետք է միացնեք գնդակների կենտրոնները գծերով (մտավոր): Հիմքում դուք ստանում եք քառակուսի, որի կողմը հավասար է երկու անգամ շառավղով: Քառակուսին կլինի ընդամենը բուրգի հիմքը, որի եզրերի երկարությունը նույնպես հավասար կլինի շառավիղի կրկնակի:

Այսպիսով, 1:4 տիպի գնդակների խիտ փաթեթավորումը մեզ կտա կանոնավոր կիսաօկտադրոն:

Այնուամենայնիվ, ինչու՞ շատ բուրգեր, որոնք ձգվում են դեպի նմանատիպ ձև, այնուամենայնիվ, չեն պահպանում այն: Հավանաբար բուրգերը ծերանում են։ Հակառակ հայտնի ասացվածքի.

«Աշխարհում ամեն ինչ վախենում է ժամանակից, իսկ ժամանակը վախենում է բուրգերից», բուրգերի շենքերը պետք է ծերանան, դրանք կարող են և պետք է տեղի ունենան ոչ միայն արտաքին եղանակային, այլև ներքին «փոքրացման» գործընթացները։ , որից բուրգերը կարող են ավելի ցածր լինել։ Կծկումը հնարավոր է նաև այն պատճառով, որ, ինչպես պարզվել է Դ. Դավիդովիցի աշխատություններից, հին եգիպտացիներն օգտագործել են կրաքարի չիպերից, այլ կերպ ասած՝ «բետոնից» բլոկներ պատրաստելու տեխնոլոգիան։ Հենց այս գործընթացները կարող են բացատրել Կահիրեից 50 կմ հարավ գտնվող Medum բուրգի ոչնչացման պատճառը։ Այն 4600 տարեկան է, հիմքի չափսերը՝ 146 x 146 մ, բարձրությունը՝ 118 մ։ «Ինչո՞ւ է այն այդքան խեղված,- հարցնում է Վ.Զամարովսկին,- այստեղ չեն տեղավորվում ժամանակի կործանարար ազդեցության և «քարի օգտագործումը այլ շինությունների» մասին սովորական հիշատակումները:

Ի վերջո, նրա բլոկների և երեսպատման սալերի մեծ մասը մնացել է տեղում մինչ օրս՝ ավերակների տակ նրա ստորոտում։ «Ինչպես կտեսնենք, մի շարք դրույթներ ստիպում են մտածել նույնիսկ այն մասին, որ հայտնի բուրգը«Կծկվել» է նաև Քեոպսը. Ամեն դեպքում, բոլոր հնագույն պատկերներում բուրգերը մատնանշված են ...

Բուրգերի ձևը կարող է առաջանալ նաև իմիտացիայի միջոցով. որոշ բնական նախշեր, «հրաշալի կատարելություն», ասենք, որոշ բյուրեղներ ութանիստի տեսքով:

Նման բյուրեղները կարող են լինել ադամանդի և ոսկու բյուրեղները: Հատկանշական է մեծ թվով«հատվող» նշաններ այնպիսի հասկացությունների համար, ինչպիսիք են փարավոնը, արևը, ոսկին, ադամանդը: Ամենուր՝ վեհ, փայլուն (փայլուն), մեծ, անթերի և այլն։ Նմանությունները պատահական չեն.

Արևի պաշտամունքը, ինչպես գիտեք, կրոնի կարևոր մասն էր: Հին Եգիպտոս. «Անկախ նրանից, թե ինչպես ենք թարգմանում բուրգերից ամենամեծի անունը», - ասվում է ժամանակակից դասագրքերից մեկում, «Sky Khufu» կամ «Sky Khufu», դա նշանակում էր, որ թագավորը արևն է: Եթե ​​Խուֆուն, իր հզորության փայլով, իրեն պատկերացնում էր որպես երկրորդ արև, ապա նրա որդի Ջեդեֆ-Ռան դարձավ Եգիպտոսի թագավորներից առաջինը, ով սկսեց իրեն անվանել «Ռայի որդի», այսինքն՝ որդի: արև. Արևը գրեթե բոլոր ժողովուրդների կողմից խորհրդանշվել է որպես «արևային մետաղ», ոսկի։ «Պայծառ ոսկու մեծ սկավառակ», - այսպես են կոչել եգիպտացիները մեր ցերեկային լույս. Եգիպտացիները շատ լավ գիտեին ոսկին, գիտեին նրա բնիկ ձևերը, որտեղ ոսկու բյուրեղները կարող են հայտնվել ութանիստների տեսքով։

Որպես «ձևերի նմուշ» այստեղ հետաքրքիր է նաև «արևաքարը»՝ ադամանդը։ Ադամանդի անունը գալիս է Արաբական աշխարհ, «ալմաս»՝ ամենադժվարը, ամենադժվարը, անխորտակելիը։ Հին եգիպտացիները գիտեին, որ ադամանդը և նրա հատկությունները բավականին լավն են: Ըստ որոշ հեղինակների, հորատման համար օգտագործել են նույնիսկ բրոնզե խողովակներ՝ ադամանդագործներով։

Ներկայումս ադամանդի հիմնական մատակարարն է Հարավային Աֆրիկա, բայց Արևմտյան Աֆրիկան ​​նույնպես հարուստ է ադամանդներով։ Մալիի Հանրապետության տարածքն այնտեղ նույնիսկ «Ադամանդե երկիր» են անվանում։ Միևնույն ժամանակ, հենց Մալիի տարածքում են ապրում Դոգոնները, որոնց հետ պալեովայցելության վարկածի կողմնակիցները շատ հույսեր են կապում (տես ստորև): Այս տարածաշրջանի հետ հին եգիպտացիների շփումների պատճառ չէին կարող լինել ադամանդները։ Այնուամենայնիվ, այսպես թե այնպես, բայց, հնարավոր է, որ հենց ադամանդի և ոսկու բյուրեղների ութանիստները կրկնօրինակելով է հին եգիպտացիները աստվածացրել դրանով «անխորտակելի», ինչպես ադամանդը և «փայլուն», ինչպես ոսկու փարավոնները՝ Արևի որդիները, համեմատելի է միայն մեծամասնության հետ հրաշալի ստեղծագործություններբնությունը։

Եզրակացություն:

Ուսումնասիրելով բուրգը որպես երկրաչափական մարմին, ծանոթանալով նրա տարրերին ու հատկություններին, համոզվեցինք բուրգի ձևի գեղեցկության մասին կարծիքի հիմնավորվածության մեջ։

Մեր ուսումնասիրությունների արդյունքում եկանք այն եզրակացության, որ եգիպտացիները, հավաքելով մաթեմատիկական ամենաարժեքավոր գիտելիքները, այն մարմնավորել են բուրգի մեջ։ Հետևաբար, բուրգը իսկապես բնության և մարդու ամենակատարյալ ստեղծագործությունն է:

ՄԱՏԵՆԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ

«Երկրաչափություն՝ պրոկ. 7-9 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ և այլն - 9-րդ հրատ. - Մ .: Կրթություն, 1999 թ

Մաթեմատիկայի պատմությունը դպրոցում, Մ., «Լուսավորություն», 1982 թ

Երկրաչափություն 10-11 դասարան, Մ՝ «Լուսավորություն», 2000 թ

Պիտեր Թոմփկինս «Քեոպսի մեծ բուրգի գաղտնիքները», M: «Centropoligraph», 2005 թ.

Ինտերնետային ռեսուրսներ

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html