Նախքան այս երկրաչափական պատկերի և նրա հատկությունների վերաբերյալ հարցեր ուսումնասիրելը, անհրաժեշտ է հասկանալ որոշ տերմիններ: Երբ մարդը լսում է բուրգի մասին, պատկերացնում է հսկայական շենքեր Եգիպտոսում։ Ահա թե ինչպիսի տեսք ունեն ամենապարզները. Բայց դրանք լինում են տարբեր տեսակներև ձևերը, ինչը նշանակում է, որ երկրաչափական ձևերի հաշվարկման բանաձևը տարբեր կլինի:

Բուրգ - երկրաչափական պատկեր, որը նշանակում և ներկայացնում է բազմաթիվ դեմքեր: Փաստորեն, սա նույն բազմանկյունն է, որի հիմքում ընկած է բազմանկյուն, իսկ կողքերում կան եռանկյուններ, որոնք միանում են մի կետում՝ գագաթը: Նկարը երկու հիմնական տեսակի է.

• ճիշտ;
• կտրված.

Առաջին դեպքում հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է։ Այստեղ բոլոր կողային մակերեսները հավասար ենիրենց և բուն գործչի միջև կուրախացնեն պերֆեկցիոնիստի աչքը:

Երկրորդ դեպքում երկու հիմք կա՝ մեծը հենց ներքևում և փոքրը՝ վերևի միջև՝ կրկնելով հիմնականի ձևը։ Այլ կերպ ասած՝ կտրված բուրգը բազային զուգահեռ ձևավորված հատվածով բազմանկյուն է։

Պայմաններ և նշում

Հիմնական տերմիններ.

• Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյունԵրեք միանման անկյուններով և հավասար կողմերով պատկեր: Այս դեպքում բոլոր անկյունները 60 աստիճան են: Նկարն ամենապարզն է կանոնավոր բազմանիստներից։ Եթե ​​այս ցուցանիշը ընկած է հիմքում, ապա այդպիսի բազմանկյունը կկոչվի կանոնավոր եռանկյուն: Եթե ​​հիմքը քառակուսի է, ապա բուրգը կկոչվի կանոնավոր քառանկյուն բուրգ:
• Vertex- ամենաբարձր կետը, որտեղ եզրերը հանդիպում են: Վերևի բարձրությունը ձևավորվում է ուղիղ գծով, որը բխում է վերևից մինչև բուրգի հիմքը:
• եզրբազմանկյան հարթություններից մեկն է։ Այն կարող է լինել եռանկյունի տեսքով՝ եռանկյուն բուրգի դեպքում, կամ տրապեզիի տեսքով՝ կտրված բուրգ.
• խաչաձեւ հատվածը- մասնահատման արդյունքում ձևավորված հարթ գործիչ. Չշփոթել հատվածի հետ, քանի որ հատվածը նաև ցույց է տալիս, թե ինչ կա հատվածի հետևում:
• Ապաթեմ- բուրգի գագաթից մինչև դրա հիմքը գծված հատված: Դա նաև դեմքի բարձրությունն է, որտեղ գտնվում է բարձրության երկրորդ կետը: Այս սահմանումըվավեր է միայն կանոնավոր պոլիէդրոնի համար: Օրինակ, եթե դա կտրված բուրգ չէ, ապա դեմքը կլինի եռանկյուն: Այս դեպքում այս եռանկյան բարձրությունը կդառնա ապոտեմ:

Տարածքի բանաձևեր

Գտեք բուրգի կողային մակերեսի տարածքըցանկացած տեսակ կարելի է անել մի քանի ձևով. Եթե ​​պատկերը սիմետրիկ չէ և տարբեր կողմերով բազմանկյուն է, ապա այս դեպքում ավելի հեշտ է հաշվարկել. ընդհանուր մակերեսըմակերեսները բոլոր մակերեսների հավաքման միջոցով: Այլ կերպ ասած, դուք պետք է հաշվարկեք յուրաքանչյուր դեմքի տարածքը և դրանք միասին գումարեք:

Կախված նրանից, թե ինչ պարամետրեր են հայտնի, կարող են պահանջվել քառակուսի, trapezoid, կամայական քառանկյունի և այլն հաշվելու բանաձևեր։ Բանաձևերն իրենք են տարբեր առիթներ նույնպես տարբեր կլինի:

Սովորական գործչի դեպքում տարածքը գտնելը շատ ավելի հեշտ է։ Բավական է իմանալ ընդամենը մի քանի հիմնական պարամետր։ Շատ դեպքերում հաշվարկները պահանջվում են հենց այդպիսի թվերի համար: Հետևաբար ստորև տրվելու են համապատասխան բանաձևեր։ Հակառակ դեպքում ստիպված կլինեք ամեն ինչ նկարել մի քանի էջով, ինչը միայն կշփոթի ու կշփոթի։

Հաշվարկի հիմնական բանաձևըկողային մակերեսի մակերեսը ճիշտ բուրգկունենա հետևյալ տեսքը.

S \u003d ½ Pa (P-ը հիմքի պարագիծն է և ապոտեմն է)

Դիտարկենք օրինակներից մեկը. Բազմայրն ունի հիմք՝ A1, A2, A3, A4, A5 հատվածներով, և բոլորը հավասար են 10 սմ, թող ապոտեմը հավասար լինի 5 սմ: Նախ պետք է գտնել պարագիծը: Քանի որ հիմքի բոլոր հինգ երեսները նույնն են, այն կարելի է գտնել հետևյալ կերպ. P \u003d 5 * 10 \u003d 50 սմ: Այնուհետև մենք կիրառում ենք հիմնական բանաձևը. .

Ուղղեք կողային մակերեսը եռանկյուն բուրգ ամենահեշտը հաշվարկելը. Բանաձևն այսպիսի տեսք ունի.

S =½* ab *3, որտեղ a-ն ապոտեմն է, b-ը հիմքի երեսն է: Այստեղ երեքի գործակիցը նշանակում է հիմքի երեսների քանակը, իսկ առաջին մասը՝ կողային մակերեսի տարածքը։ Դիտարկենք մի օրինակ։ Տրվում է 5 սմ ապոտեմով և 8 սմ հիմնական երեսով գործիչ: Հաշվում ենք՝ S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 սմ քառակուսի:

Կտրված բուրգի կողային մակերեսըմի քիչ ավելի դժվար է հաշվարկել: Բանաձևը հետևյալն է. S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, որտեղ p_01 և p_02 հիմքերի պարագծերն են և ապոտեմն է: Դիտարկենք մի օրինակ։ Ենթադրենք, քառանկյուն պատկերի համար հիմքերի կողմերի չափերը 3 և 6 սմ են, ապոտեմը 4 սմ է։

Այստեղ, սկզբի համար, դուք պետք է գտնեք հիմքերի պարագծերը՝ p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 սմ; p_02=6*4=24 սմ Մնում է արժեքները փոխարինել հիմնական բանաձևով և ստանալ՝ S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 սմ քառակուսի։

Այսպիսով, հնարավոր է գտնել ցանկացած բարդության կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսը: Զգույշ եղեք, որ չշփոթեքայս հաշվարկները հետ ընդհանուր մակերեսըամբողջ պոլիեդրոնը. Եվ եթե դուք դեռ պետք է դա անեք, բավական է հաշվարկել պոլիէդրոնի ամենամեծ հիմքի տարածքը և ավելացնել այն պոլիէդրոնի կողային մակերեսի տարածքին:

Տեսանյութ

Տարբեր բուրգերի կողային մակերեսը գտնելու մասին տեղեկատվությունը համախմբելու համար այս տեսանյութը կօգնի ձեզ:

Ձեր հարցի պատասխանը չե՞ք ստացել։ Թեմա առաջարկեք հեղինակներին:

Բուրգի մակերեսը: Այս հոդվածում մենք ձեզ հետ կքննարկենք սովորական բուրգերի հետ կապված խնդիրները: Հիշեցնեմ, որ կանոնավոր բուրգը բուրգ է, որի հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, բուրգի գագաթը նախագծված է այս բազմանկյան կենտրոնի մեջ:

Նման բուրգի կողային երեսը հավասարաչափ եռանկյուն է։Այս եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է կանոնավոր բուրգի գագաթից, կոչվում է ապոթեմ, SF-ն ապոտեմ է.

Ստորև ներկայացված խնդիրների տեսակի մեջ պահանջվում է գտնել ամբողջ բուրգի մակերեսը կամ դրա կողային մակերեսի մակերեսը: Բլոգն արդեն դիտարկել է կանոնավոր բուրգերի հետ կապված մի քանի խնդիրներ, որտեղ հարց է բարձրացվել տարրեր գտնելու մասին (բարձրություն, հիմքի եզր, կողային եզր), .

AT ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ առաջադրանքներ, որպես կանոն, համարվում են կանոնավոր եռանկյուն, քառանկյուն և վեցանկյուն բուրգեր։ Ես խնդիրներ չեմ տեսել կանոնավոր հնգանկյուն և յոթանկյուն բուրգերի հետ կապված:

Ամբողջ մակերեսի մակերեսի բանաձևը պարզ է. անհրաժեշտ է գտնել բուրգի հիմքի և դրա կողային մակերեսի տարածքի գումարը.

Հաշվի առեք առաջադրանքները.

Հիմքի կողմերը ճիշտ են քառանկյուն բուրգ 72 են, կողային եզրերը՝ 164։ Գտե՛ք այս բուրգի մակերեսը։

Բուրգի մակերեսը հավասար է կողային մակերեսի և հիմքի տարածքների գումարին.

*Կողային մակերեսը բաղկացած է հավասար մակերեսով չորս եռանկյուններից։ Բուրգի հիմքը քառակուսի է։

Բուրգի կողմի մակերեսը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով.

Այսպիսով, բուրգի մակերեսը հետևյալն է.

Պատասխան՝ 28224

Հիմքի կողմերը ճիշտ են վեցանկյուն բուրգ 22 են, կողային եզրերը՝ 61։ Գտե՛ք այս բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը։

Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի հիմքը կանոնավոր վեցանկյուն է։

Այս բուրգի կողային մակերեսը բաղկացած է 61,61 և 22 կողմերով հավասար եռանկյունների վեց տարածքներից.

Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը՝ օգտագործելով Հերոնի բանաձևը.

Այսպիսով, կողային մակերեսը հետևյալն է.

Պատասխան՝ 3240

*Վերևում ներկայացված խնդիրներում կողային երեսի տարածքը կարելի է գտնել տարբեր եռանկյունու բանաձևի միջոցով, բայց դրա համար անհրաժեշտ է հաշվարկել ապոտեմը:

27155. Գտե՛ք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի մակերեսը, որի հիմքի կողմերը 6 են, իսկ բարձրությունը՝ 4։

Բուրգի մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ հիմքի և կողային մակերեսի մակերեսը.

Հիմքի մակերեսը 36 է, քանի որ այն 6 կողմ ունեցող քառակուսի է։

Կողային մակերեսը բաղկացած է չորս դեմքերից, որոնք են հավասար եռանկյուններ. Նման եռանկյունու տարածքը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա հիմքը և բարձրությունը (ապոտեմ).

* Եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի արտադրյալի կեսին և այս հիմքի վրա գծված բարձրությանը:

Հիմքը հայտնի է, այն հավասար է վեցի։ Եկեք գտնենք բարձրությունը: Հաշվի առեք ուղղանկյուն եռանկյուն(ընդգծված է դեղինով):

Մի ոտքը հավասար է 4-ի, քանի որ սա բուրգի բարձրությունն է, մյուսը հավասար է 3-ի, քանի որ այն կեսըհիմք կողիկներ. Մենք կարող ենք գտնել հիպոթենուսը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը.

Այսպիսով, բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը հետևյալն է.

Այսպիսով, ամբողջ բուրգի մակերեսը հետևյալն է.

Պատասխան՝ 96

27069. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքի կողմերը 10 են, կողային եզրերը՝ 13։ Գտե՛ք այս բուրգի մակերեսը։

27070. Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի հիմքի կողմերը 10 են, կողային եզրերը՝ 13։ Գտե՛ք այս բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը։

Կան նաև կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի բանաձևեր: Կանոնավոր բուրգում հիմքը կողային մակերեսի ուղղանկյուն ելուստ է, հետևաբար.

Պ- հիմքի պարագիծը, լ- բուրգի ապոտեմ

*Այս բանաձևը հիմնված է եռանկյան մակերեսի բանաձևի վրա:

Եթե ​​ցանկանում եք ավելին իմանալ, թե ինչպես են ստացվում այս բանաձևերը, բաց մի թողեք այն, հետևեք հոդվածների հրապարակմանը:Այսքանը: Հաջողություն քեզ!

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ։

P.S. Շնորհակալ կլինեմ, եթե սոցիալական ցանցերում պատմեք կայքի մասին:

- Սա բազմանիստ կերպար է, որի հիմքում ընկած է բազմանկյուն, իսկ մնացած դեմքերը ներկայացված են ընդհանուր գագաթով եռանկյուններով:

Եթե ​​հիմքը քառակուսի է, ապա կոչվում է բուրգ քառանկյուն, եթե եռանկյունն է եռանկյունաձեւ. Բուրգի բարձրությունը գծված է նրա վերևից՝ հիմքին ուղղահայաց։ Նաև օգտագործվում է տարածքը հաշվարկելու համար ապոտեմկողային երեսի բարձրությունն է՝ իջեցված իր գագաթից։
Բուրգի կողային մակերևույթի մակերեսի բանաձևը նրա կողային երեսների մակերեսների գումարն է, որոնք հավասար են միմյանց: Այնուամենայնիվ, հաշվարկի այս մեթոդը շատ հազվադեպ է օգտագործվում: Ըստ էության, բուրգի տարածքը հաշվարկվում է հիմքի պարագծի և ապոտեմի միջոցով.

Դիտարկենք բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը հաշվարկելու օրինակ:

Թող տրվի ABCDE հիմքով և F գագաթով բուրգ: AB =BC =CD =DE =EA =3 սմ Ապոթեմ a = 5 սմ Գտեք բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը:
Եկեք գտնենք պարագիծը: Քանի որ հիմքի բոլոր երեսները հավասար են, ապա հնգանկյունի պարագիծը հավասար կլինի.
Այժմ դուք կարող եք գտնել բուրգի կողային տարածքը.

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի տարածք

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգը բաղկացած է մի հիմքից, որը պարունակում է կանոնավոր եռանկյուն և երեք կողային երեսներ, որոնք հավասար են մակերեսով:
Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի կողային մակերեսի բանաձևը կարող է հաշվարկվել տարբեր ճանապարհներ. Դուք կարող եք կիրառել սովորական բանաձևը պարագծի և ապոտեմի միջոցով հաշվարկելու համար, կամ կարող եք գտնել մեկ դեմքի տարածքը և այն բազմապատկել երեքով: Քանի որ բուրգի երեսը եռանկյուն է, մենք կիրառում ենք եռանկյան մակերեսի բանաձևը։ Դա կպահանջի ապոտեմ և հիմքի երկարություն: Դիտարկենք կանոնավոր եռանկյուն բուրգի կողային մակերեսը հաշվարկելու օրինակ:

Տրվում է a = 4 սմ ապոտեմով բուրգ և b = 2 սմ հիմք ունեցող բուրգ: Գտե՛ք բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը:
Նախ, գտեք կողային երեսներից մեկի տարածքը: Այս դեպքում կլինի.
Փոխարինեք արժեքները բանաձևում.
Քանի որ կանոնավոր բուրգում բոլոր կողմերը նույնն են, բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար կլինի երեք երեսների տարածքների գումարին: Համապատասխանաբար.

Կտրված բուրգի տարածքը

կտրվածԲուրգը բազմանկյուն է, որը ձևավորվում է բուրգից և դրա հիմքին զուգահեռ հատվածից:
Կտրված բուրգի կողային մակերեսի բանաձևը շատ պարզ է. Մակերեսը հավասար է հիմքերի և ապոտեմի պարագծերի գումարի կեսի արտադրյալին.

Համառոտ հիմնականի մասին

Մակերեսը (2019)

Պրիզմայի մակերեսը

Անկախ նրանից, թե կա մի ընդհանուր բանաձեւ? Ոչ, ընդհանուր առմամբ, ոչ: Պարզապես պետք է գտնել կողային երեսների տարածքները և ամփոփել դրանք:

Բանաձևը կարող է գրվել ուղիղ պրիզմա:

Որտեղ է բազայի պարագիծը:

Բայց դեռ շատ ավելի հեշտ է յուրաքանչյուրում կոնկրետ դեպքգումարել բոլոր տարածքները, քան անգիր անել լրացուցիչ բանաձևեր: Օրինակ՝ դիտարկենք ամբողջական մակերեսկանոնավոր վեցանկյուն պրիզմա:

Բոլոր կողային երեսները ուղղանկյուն են: Միջոցներ.

Սա արդեն հաշվի է առնվել ծավալը հաշվարկելիս։

Այսպիսով, մենք ստանում ենք.

Բուրգի մակերեսը

Բուրգի համար կիրառվում է նաև ընդհանուր կանոնը.

Հիմա եկեք հաշվարկենք ամենահայտնի բուրգերի մակերեսը:

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի մակերեսը

Թող հիմքի կողմը հավասար լինի, իսկ կողային եզրը հավասար լինի: Ես պետք է գտնեմ և.

Հիշեք հիմա դա

Սա ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսն է։

Եվ եկեք հիշենք, թե ինչպես գտնել այս տարածքը: Մենք օգտագործում ենք տարածքի բանաձևը.

Մենք ունենք «» - սա, և «» - սա նույնպես, էհ.

Հիմա եկեք գտնենք.

Օգտագործելով տարածքի հիմնական բանաձևը և Պյութագորասի թեորեմը, մենք գտնում ենք

Ուշադրություն.եթե ունեք կանոնավոր քառաեդրոն (այսինքն), ապա բանաձևը հետևյալն է.

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի մակերեսը

Թող հիմքի կողմը հավասար լինի, իսկ կողային եզրը հավասար լինի:

Հիմքում քառակուսի է, և հետևաբար.

Մնում է գտնել կողային դեմքի տարածքը

Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի մակերեսը:

Թող հիմքի կողմը հավասար լինի, իսկ կողային եզրը:

Ինչպե՞ս գտնել: Վեցանկյունը բաղկացած է ուղիղ վեց միանման կանոնավոր եռանկյուններից: Կանոնավոր եռանկյունի բուրգի մակերեսը հաշվարկելիս մենք արդեն որոնել ենք կանոնավոր եռանկյան մակերեսը, այստեղ օգտագործում ենք գտնված բանաձևը։

Դե, մենք արդեն երկու անգամ փնտրել ենք կողային դեմքի տարածքը

Դե թեման վերջացավ։ Եթե ​​դուք կարդում եք այս տողերը, ապա դուք շատ լավն եք:

Քանի որ մարդկանց միայն 5%-ն է կարողանում ինքնուրույն ինչ-որ բանի տիրապետել։ Իսկ եթե կարդացել եք մինչև վերջ, ուրեմն դուք 5%-ի մեջ եք։

Հիմա ամենակարեւորը.

Դուք պարզել եք այս թեմայի տեսությունը: Եվ, կրկնում եմ, դա ... պարզապես սուպեր է: Դուք արդեն ավելի լավն եք, քան ձեր հասակակիցների ճնշող մեծամասնությունը:

Խնդիրն այն է, որ սա կարող է բավարար չլինել…

Ինչի համար?

Համար հաջող առաքումՄիասնական պետական ​​քննություն՝ բյուջեով ինստիտուտ ընդունվելու և ԱՄԵՆ ԿԱՐԵՎՈՐԸ՝ ցմահ։

Ես ձեզ ոչ մի բանում չեմ համոզի, միայն մի բան կասեմ...

Լավ կրթություն ստացած մարդիկ շատ ավելին են վաստակում, քան չստացածները։ Սա վիճակագրություն է։

Բայց սա չէ գլխավորը։

Գլխավորն այն է, որ նրանք ԱՎԵԼԻ ԵՐՋԱՆԱԼ են (նման ուսումնասիրություններ կան)։ Միգուցե այն պատճառով, որ շատ ավելի շատ հնարավորություններ են բացվում նրանց առջև, և կյանքը դառնում է ավելի պայծառ: չգիտեմ...

Բայց մտածեք ինքներդ...

Ի՞նչ է անհրաժեշտ քննությանը մյուսներից լավը լինելու և, ի վերջո, ավելի երջանիկ լինելու համար:

ՁԵՌՔ ԼՑՐԵՔ՝ ԱՅՍ ԹԵՄԱՅԻ ՀԱՄԱՐ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ԼՈՒԾԵԼՈՎ։

Քննության ժամանակ ձեզ տեսություն չեն հարցնի:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի ժամանակին լուծել խնդիրները.

Եվ եթե դրանք չես լուծել (ՇԱՏ!), դու հաստատ ինչ-որ տեղ հիմար սխալ կգործես կամ պարզապես ժամանակին չես անի:

Դա նման է սպորտի. պետք է բազմիցս կրկնել՝ հաստատ հաղթելու համար:

Գտեք հավաքածու ցանկացած վայրում, որտեղ ցանկանում եք անպայման լուծումներով մանրամասն վերլուծություն և որոշի՛ր, որոշի՛ր, որոշի՛ր։

Դուք կարող եք օգտագործել մեր առաջադրանքները (անհրաժեշտ չէ), և մենք, իհարկե, խորհուրդ ենք տալիս դրանք:

Մեր առաջադրանքների օգնությամբ ձեռք բերելու համար դուք պետք է օգնեք երկարացնել YouClever դասագրքի կյանքը, որը ներկայումս կարդում եք:

Ինչպե՞ս: Երկու տարբերակ կա.

1. Բացեք այս հոդվածի բոլոր թաքնված առաջադրանքների հասանելիությունը. 299 ռուբ.
2. Բացեք մուտքը դեպի բոլոր թաքնված առաջադրանքները ձեռնարկի բոլոր 99 հոդվածներում. 999 ռուբ.

Այո, դասագրքում ունենք 99 նման հոդված, և բոլոր առաջադրանքների և դրանցում թաքնված բոլոր տեքստերի հասանելիությունը կարող է անմիջապես բացվել:

Երկրորդ դեպքում մենք ձեզ կտանքսիմուլյատոր «6000 առաջադրանք լուծումներով և պատասխաններով, յուրաքանչյուր թեմայի համար, բարդության բոլոր մակարդակների համար»: Անպայման բավական է ձեռքդ բռնել ցանկացած թեմայի հետ կապված խնդիրների լուծման վրա։

Փաստորեն, սա շատ ավելին է, քան պարզապես սիմուլյատորը` ուսումնական մի ամբողջ ծրագիր: Անհրաժեշտության դեպքում կարող եք նաև օգտագործել այն ԱՆՎՃԱՐ:

Բոլոր տեքստերի և ծրագրերի հասանելիությունը ապահովված է կայքի ողջ կյանքի ընթացքում:

Եզրափակելով...

Եթե ​​ձեզ դուր չեն գալիս մեր առաջադրանքները, գտեք ուրիշներին: Պարզապես մի կանգ առեք տեսության վրա:

«Հասկացել եմ» և «Ես գիտեմ, թե ինչպես լուծել» բոլորովին այլ հմտություններ են: Ձեզ երկուսն էլ պետք են:

Գտեք խնդիրներ և լուծեք:

Տիպիկ երկրաչափական խնդիրները հարթության և եռաչափ տարածության մեջ մակերեսների տարածքների որոշման խնդիրներն են։ տարբեր գործիչներ. Այս հոդվածում մենք ներկայացնում ենք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի կողային մակերեսի տարածքի բանաձևը:

Ի՞նչ է բուրգը:

Եկեք բուրգի խիստ երկրաչափական սահմանում տանք։ Ենթադրենք, որ կա մի քանի բազմանկյուն n կողմով և n անկյունով: Մենք ընտրում ենք տարածության կամայական կետ, որը չի լինի նշված n-անկյունի հարթությունում, և այն միացնում ենք բազմանկյան յուրաքանչյուր գագաթին։ Մենք կստանանք մի գործիչ, որն ունի որոշակի ծավալ, որը կոչվում է n-անկյունային բուրգ: Օրինակ, ստորև բերված նկարում ցույց տանք, թե ինչ տեսք ունի հնգանկյուն բուրգը:

Ցանկացած բուրգի երկու կարևոր տարրերն են դրա հիմքը (n-gon) և վերին մասը: Այս տարրերը միմյանց հետ կապված են n եռանկյունիներով, որոնք ընդհանուր առմամբ միմյանց հավասար չեն։ Վերևից դեպի հիմք ընկած ուղղահայացը կոչվում է գործչի բարձրություն: Եթե ​​այն հատում է հիմքը երկրաչափական կենտրոնում (համընկնում է բազմանկյան զանգվածի կենտրոնի հետ), ապա այդպիսի բուրգը կոչվում է ուղիղ գիծ։ Եթե ​​այս պայմանից բացի հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, ապա ամբողջ բուրգը կոչվում է կանոնավոր։ Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս, թե ինչ տեսք ունեն կանոնավոր բուրգերը՝ եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն և վեցանկյուն հիմքերով։

Բուրգի մակերեսը

Նախքան կանոնավոր քառանկյուն բուրգի կողային մակերևույթի տարածքի հարցին անդրադառնալը, պետք է ավելի մանրամասն անդրադառնալ հենց մակերեսի հայեցակարգին:

Ինչպես նշվեց վերևում և ցույց է տրված նկարներում, ցանկացած բուրգ ձևավորվում է մի շարք դեմքերով կամ կողմերից: Մի կողմը հիմքն է, իսկ n կողմերը եռանկյուններ են: Ամբողջ պատկերի մակերեսը նրա յուրաքանչյուր կողմի մակերեսների գումարն է։

Հարմար է մակերեսն ուսումնասիրել՝ օգտագործելով բացվող գործչի օրինակը։ Սովորական քառանկյուն բուրգի սկանավորումը ներկայացված է ստորև բերված նկարներում:

Մենք տեսնում ենք, որ նրա մակերեսի մակերեսը հավասար է նույնական հավասարաչափ եռանկյունների չորս մակերեսների և քառակուսու մակերեսի գումարին։

Նկարի կողմերը կազմող բոլոր եռանկյունների ընդհանուր մակերեսը կոչվում է կողային մակերեսի տարածք: Հաջորդը, մենք ցույց ենք տալիս, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել այն սովորական քառանկյուն բուրգի համար:

Ուղղանկյուն կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսը

Նշված գործչի կողային մակերեսը հաշվարկելու համար մենք կրկին դիմում ենք վերը նշված մաքրմանը: Ենթադրենք գիտենք քառակուսի հիմքի կողմը։ Նշենք ա խորհրդանիշով։ Տեսանելի է, որ չորս միանման եռանկյուններից յուրաքանչյուրն ունի a երկարությամբ հիմք: Նրանց ընդհանուր տարածքը հաշվարկելու համար դուք պետք է իմանաք այս արժեքը մեկ եռանկյունու համար: Երկրաչափության ընթացքից հայտնի է, որ S t եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալին, որը պետք է բաժանվի կիսով չափ։ այսինքն.

Որտեղ h b-ը դեպի a հիմքը գծված հավասարաչափ եռանկյան բարձրությունն է: Բուրգի համար այս բարձրությունը ապոտեմն է: Այժմ մնում է ստացված արտահայտությունը բազմապատկել 4-ով, որպեսզի ստանանք խնդրո առարկա բուրգի կողային մակերեսի S b մակերեսը.

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

Այս բանաձևը պարունակում է երկու պարամետր՝ ապոտեմ և հիմքի կողմ։ Եթե ​​վերջինը հայտնի է խնդիրների մեծ մասում, ապա առաջինը պետք է հաշվարկվի՝ իմանալով այլ մեծություններ։ Ահա ապոտեմա h b-ի հաշվարկման բանաձևերը երկու դեպքերի համար.

• երբ հայտնի է կողային կողի երկարությունը.
• երբ հայտնի է բուրգի բարձրությունը.

Եթե ​​կողային եզրի երկարությունը (հավասարաչափ եռանկյան կողմը) նշում ենք L նշանով, ապա h b ապոտեմը որոշվում է բանաձևով.

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4):

Այս արտահայտությունը կողային մակերեսի եռանկյունու համար Պյութագորասի թեորեմի կիրառման արդյունք է։

Եթե ​​հայտնի է բուրգի h բարձրությունը, ապա h b ապոտեմա կարելի է հաշվարկել հետևյալ կերպ.

h b = √(h 2 + a 2 /4):

Դժվար չէ նաև ստանալ այս արտահայտությունը, եթե դիտարկենք բուրգի ներսում ուղղանկյուն եռանկյունին, որը կազմված է h և a / 2 ոտքերով և h b հիպոթենուսով:

Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կիրառել այս բանաձևերը՝ լուծելով երկուսը հետաքրքիր առաջադրանքներ.

Խնդիր հայտնի մակերեսի հետ

Հայտնի է, որ քառանկյունի կողային մակերեսի մակերեսը 108 սմ 2 է։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել նրա ապոտեմի երկարության արժեքը h bif բուրգի բարձրությունը 7 սմ է։

Մենք գրում ենք կողային մակերեսի S b տարածքի բանաձևը բարձրության միջով: Մենք ունենք:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Այստեղ մենք պարզապես փոխարինել ենք համապատասխան ապոտեմայի բանաձևը S b-ի արտահայտությամբ: Եկեք քառակուսի դարձնենք հավասարման երկու կողմերը.

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4:

a-ի արժեքը գտնելու համար մենք կատարում ենք փոփոխականների փոփոխություն.

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0:

Փոխարինել հիմա հայտնի արժեքներև լուծել քառակուսի հավասարումը.

t 2 + 196 * t - 11664 = 0:

Մենք գրել ենք այս հավասարման միայն դրական արմատը։ Այնուհետև բուրգի հիմքի կողմերը հավասար կլինեն.

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 սմ:

Ապոտեմայի երկարությունը ստանալու համար պարզապես օգտագործեք բանաձևը.

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 սմ:

Քեոպսի բուրգի կողային մակերեսը

Եկեք որոշենք կողային մակերեսի արժեքը ամենամեծի համար Եգիպտական ​​բուրգ. Հայտնի է, որ դրա հիմքում ընկած է 230,363 մետր երկարությամբ քառակուսի: Կառույցի բարձրությունը սկզբում եղել է 146,5 մետր։ Այս թվերը փոխարինեք S b-ի համապատասխան բանաձևով, մենք ստանում ենք.

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 մ 2:

Գտնված արժեքը մի փոքր ավելի մեծ է, քան 17 ֆուտբոլային դաշտի տարածքը։