Գտեք կոնի ընդհանուր մակերեսը: Կոնի կողային և ամբողջական մակերեսի տարածքը

Մենք գիտենք, թե ինչ է կոնը, փորձենք գտնել դրա մակերեսը։ Ինչու՞ է անհրաժեշտ նման խնդիր լուծել։ Օրինակ, դուք պետք է հասկանաք, թե որքան թեստը կանցնիվաֆլի կոն պատրաստել. Կամ քանի՞ աղյուս կպահանջվի ամրոցի աղյուսե տանիքը դնելու համար:

Հեշտ չէ չափել կոնի կողային մակերեսը: Բայց պատկերացրեք նույն եղջյուրը՝ կտորի մեջ փաթաթված։ Գործվածքի մակերեսը գտնելու համար հարկավոր է կտրել և տարածել այն սեղանի վրա։ Մենք ստանում ենք հարթ գործիչ, մենք կարող ենք գտնել դրա տարածքը:

Բրինձ. 1. Կոնի հատվածը գեներատորի երկայնքով

Նույնը անենք կոնի հետ։ Եկեք «կտրենք» նրա կողային մակերեսը ցանկացած գեներատորի երկայնքով, օրինակ, (տես նկ. 1):

Այժմ մենք «թուլացնում ենք» կողային մակերեսը հարթության վրա: Մենք ստանում ենք հատված. Այս հատվածի կենտրոնը կոնի գագաթն է, հատվածի շառավիղը հավասար է կոնի գեներատրիքսին, իսկ նրա աղեղի երկարությունը համընկնում է կոնի հիմքի շրջագծի հետ։ Նման հատվածը կոչվում է կոնի կողային մակերեսի զարգացում (տես նկ. 2):

Բրինձ. 2. Կողային մակերեսի զարգացում

Բրինձ. 3. Անկյունի չափումը ռադիաններով

Փորձենք գտնել ոլորտի տարածքը՝ ըստ առկա տվյալների։ Նախ ներկայացնենք նշում. թող հատվածի վերևի անկյունը լինի ռադիաններով (տես նկ. 3):

Առաջադրանքների ժամանակ մենք հաճախ կհանդիպենք ավլելու վերևի անկյունին: Միևնույն ժամանակ փորձենք պատասխանել հարցին՝ չի՞ կարող այս անկյունը 360 աստիճանից ավելի լինել։ Այսինքն՝ չի՞ ստացվի, որ ավլումը ինքն իրեն կվերածվի։ Իհարկե ոչ. Եկեք ապացուցենք դա մաթեմատիկորեն։ Թող ավլումը «համընկնի» ինքն իրեն: Սա նշանակում է, որ ավլելու աղեղի երկարությունը ավելի մեծ է, քան շառավիղի շրջագիծը: Բայց, ինչպես արդեն նշվեց, ավլելու աղեղի երկարությունը շառավիղի շրջագիծն է: Իսկ կոնի հիմքի շառավիղը, իհարկե, ավելի փոքր է, քան գեներատորը, օրինակ, քանի որ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը փոքր է հիպոթենուսից։

Այնուհետև պլանաչափության ընթացքից հիշենք երկու բանաձև՝ աղեղի երկարությունը։ Ոլորտի տարածքը.

Մեր դեպքում դերը խաղում է գեներատորը , իսկ աղեղի երկարությունը հավասար է կոնի հիմքի շրջագծին, այսինքն. Մենք ունենք:

Վերջապես մենք ստանում ենք.

Կողային մակերեսի հետ մեկտեղ կարելի է գտնել նաև տարածքը ամբողջական մակերես. Դա անելու համար հիմքի տարածքը ավելացրեք կողային մակերեսին: Բայց հիմքը շառավղով շրջան է, որի մակերեսը, ըստ բանաձևի, .

Վերջապես մենք ունենք. , որտեղ է մխոցի հիմքի շառավիղը, գեներատրիցն է:

Տրված բանաձևերի վրա լուծենք մի քանի խնդիր։

Բրինձ. 4. Ցանկալի անկյուն

Օրինակ 1. Կոնի կողային մակերեսի զարգացումը գագաթին անկյուն ունեցող հատված է։ Գտե՛ք այս անկյունը, եթե կոնի բարձրությունը 4 սմ է, իսկ հիմքի շառավիղը՝ 3 սմ (տե՛ս նկ. 4):

Բրինձ. 5. Կոն կազմող ուղղանկյուն եռանկյուն

Առաջին գործողությամբ, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, մենք գտնում ենք գեներատորը՝ 5 սմ (տե՛ս նկ. 5): Ավելին, մենք դա գիտենք .

Օրինակ 2. Կոնի առանցքային հատվածի մակերեսը կազմում է, բարձրությունը՝ . Գտե՛ք մակերեսի ընդհանուր մակերեսը (տե՛ս նկ. 6):

Դպրոցում սովորած հեղափոխության մարմիններն են՝ գլան, կոն և գնդիկ։

Եթե ​​մաթեմատիկայի USE առաջադրանքում անհրաժեշտ է հաշվարկել կոնի ծավալը կամ գնդիկի մակերեսը, համարեք ձեզ հաջողակ:

Կիրառեք բանաձևեր գլանների, կոնի և գնդերի ծավալի և մակերեսի համար: Դրանք բոլորը մեր սեղանին են։ Անգիր սովորել. Այստեղից է սկսվում ստերեոմետրիայի իմացությունը:

Երբեմն լավ է նկարել վերևի տեսքը: Կամ, ինչպես այս խնդրի դեպքում, ներքեւից։

2. Քանի՞ անգամ է ճիշտի մոտ սահմանափակված կոնի ծավալը քառանկյուն բուրգ, ավելի մեծ, քան այս բուրգում գրված կոնի ծավալը։

Ամեն ինչ պարզ է. մենք տեսարան ենք նկարում ներքևից: Մենք տեսնում ենք, որ ավելի մեծ շրջանագծի շառավիղը մի քանի անգամ մեծ է փոքր շրջանագծի շառավղից։ Երկու կոնների բարձրությունները նույնն են: Հետեւաբար, ավելի մեծ կոնի ծավալը երկու անգամ ավելի մեծ կլինի:

Մեկ այլ կարևոր կետ. Հիշեք, որ Բ մասի առաջադրանքներում ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ ընտրանքներՄաթեմատիկայում պատասխանը գրվում է որպես ամբողջ թիվ կամ վերջավոր տասնորդական կոտորակ. Հետևաբար, դուք չպետք է ունենաք որևէ կամ ձեր պատասխանում Բ մասում: Թվի մոտավոր արժեքը փոխարինելը նույնպես անհրաժեշտ չէ: Այն պետք է կրճատվի! Դրա համար է, որ որոշ առաջադրանքներում առաջադրանքը ձևակերպվում է, օրինակ, հետևյալ կերպ.

Իսկ ուրիշ որտե՞ղ են օգտագործվում հեղափոխության մարմինների ծավալի և մակերեսի բանաձևերը: Իհարկե, C2 (16) խնդրի մեջ։ Մենք ձեզ նույնպես կպատմենք այդ մասին։

Ահա կոնների հետ կապված խնդիրներ, վիճակը կապված է դրա մակերեսի հետ։ Մասնավորապես, որոշ խնդիրներում հարց է առաջանում կոնի բարձրության կամ դրա հիմքի շառավիղի մեծացումով (նվազմամբ) տարածքը փոխելու մասին։ Խնդիրների լուծման տեսություն. Հաշվի առեք հետևյալ առաջադրանքները.

27135. Կոնի հիմքի շրջագիծը 3 է, գեներատորը՝ 2։ Գտե՛ք կոնի կողային մակերեսի մակերեսը։

Կոնի կողային մակերեսի մակերեսը հետևյալն է.

Տվյալների միացում.

75697. Քանի՞ անգամ կավելանա կոնի կողային մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա գեներատորը մեծանա 36 անգամ, իսկ հիմքի շառավիղը մնա նույնը:

Կոնի կողային մակերեսի տարածքը.

Գեներատրիքսն ավելացել է 36 անգամ։ Շառավիղը մնում է նույնը, ինչը նշանակում է, որ հիմքի շրջագիծը չի փոխվել:

Այսպիսով, փոփոխված կոնի կողային մակերեսի տարածքը նման կլինի.

Այսպիսով, այն կավելանա 36 անգամ։

*Կախվածությունը պարզ է, ուստի այս խնդիրը կարող է հեշտությամբ լուծվել բանավոր:

27137. Քանի՞ անգամ կնվազի կոնի կողային մակերեսի մակերեսը, եթե նրա հիմքի շառավիղը կրճատվի 1,5 անգամ:

Կոնի կողային մակերեսի մակերեսը հետևյալն է.

Շառավիղը կրճատվում է 1,5 անգամ, այսինքն.

Պարզվել է, որ կողային մակերեսի մակերեսը նվազել է 1,5 անգամ։

27159. Կոնի բարձրությունը 6 է, գեներատորը՝ 10։ Գտե՛ք նրա ընդհանուր մակերեսի մակերեսը բաժանված pi-ի։

Կոնու ամբողջ մակերեսը.

Գտեք շառավիղը.

Բարձրությունը և ծագումնաբանությունը հայտնի են, Պյութագորասի թեորեմով մենք հաշվարկում ենք շառավիղը.

Այսպիսով.

Արդյունքը բաժանեք Pi-ի վրա և գրեք պատասխանը:

76299. Կոնի ընդհանուր մակերեսը 108 է։ Կոնին զուգահեռ գծված է հատված՝ բարձրությունը կիսով չափ բաժանելով։ Գտեք կտրված կոնի ընդհանուր մակերեսը:

Հատվածն անցնում է հիմքին զուգահեռ միջին բարձրությամբ։ Սա նշանակում է, որ հիմքի շառավիղը և կտրված կոնի գեներատրիցը 2 անգամ փոքր կլինեն սկզբնական կոնի շառավղից և գեներատրիցից: Եկեք գրենք, թե ինչի է հավասար կտրված կոնի մակերեսը.

Նրան 4 անգամ գնացել եմ ավելի քիչ տարածքբնօրինակի մակերեսը, այսինքն՝ 108:4 = 27:

* Քանի որ սկզբնական և կտրված կոնը նման մարմիններ են, հնարավոր եղավ օգտագործել նաև նմանության հատկությունը.

27167. Կոնի հիմքի շառավիղը 3 է, բարձրությունը՝ 4։ Գտե՛ք կոնի ընդհանուր մակերեսը բաժանված pi-ի։

Կոնի ընդհանուր մակերեսի բանաձևը հետևյալն է.

Շառավիղը հայտնի է, անհրաժեշտ է գտնել գեներատորը։

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Այսպիսով.

Արդյունքը բաժանեք Pi-ի վրա և գրեք պատասխանը:

Առաջադրանք. Կոնի կողային մակերեսի մակերեսը չորս անգամ գերազանցում է հիմքի մակերեսը։ Գտե՛ք կոնի գեներատորի և հիմքի հարթության անկյան կոսինուսը:

Կոնի հիմքի մակերեսը հետևյալն է.

Այսինքն, կոսինուսը հավասար կլինի.

Պատասխան՝ 0,25

Ինքներդ որոշեք.

27136. Քանի՞ անգամ կավելանա կոնի կողային մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա գեներատորը մեծանա 3 անգամ:

27160. Կոնի կողային մակերեսի մակերեսը երկու անգամ մեծ է հիմքի մակերեսից։ Գտեք անկյունը կոնի գեներատորի և հիմքի հարթության միջև: Տվեք ձեր պատասխանը աստիճաններով: .

27161. Կոնու ընդհանուր մակերեսը 12 է։ Կոնի հիմքին զուգահեռ գծված է հատված՝ բարձրությունը կիսով չափ բաժանելով։ Գտեք կտրված կոնի ընդհանուր մակերեսը:

Այսքանը: Հաջողություն քեզ!

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր։

*Կիսվեք կայքի մասին տեղեկություններով ընկերների հետ սոցիալական ցանցերի միջոցով:

Կոնի մակերեսը (կամ պարզապես կոնի մակերեսը) հավասար է հիմքի և կողային մակերեսի տարածքների գումարին։

Կոնու կողային մակերեսի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով՝ S = πR լ, որտեղ R-ը կոնի հիմքի շառավիղն է, և լ- կոնի գեներատոր:

Քանի որ կոնի հիմքի մակերեսը πR 2 է (որպես շրջանագծի տարածք), ապա կոնի ամբողջ մակերեսի մակերեսը հավասար կլինի. : πR 2 + πR լ= πR (R + լ).

Նման պատճառաբանությամբ կարելի է բացատրել կոնի կողային մակերեսի տարածքի բանաձևի ստացումը. Թող նկարը ցույց տա կոնի կողային մակերեսի զարգացումը: AB աղեղը բաժանեք հնարավորի ավելինհավասար մասեր և բոլոր բաժանման կետերը միացնում են աղեղի կենտրոնին, իսկ հարակիցները՝ ակորդներով:

Մենք ստանում ենք մի շարք հավասար եռանկյուններ. Յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսը կազմում է Ահ / 2, որտեղ ա- եռանկյան հիմքի երկարությունը, ա հ- իր բարձր.

Բոլոր եռանկյունների մակերեսների գումարը հետևյալն է. Ահ / 2 n = անհ / 2, որտեղ nեռանկյունների թիվն է։

Մեծ թվով բաժանումներով եռանկյունների տարածքների գումարը շատ մոտ է դառնում զարգացման տարածքին, այսինքն՝ կոնի կողային մակերեսի տարածքին: Եռանկյունների հիմքերի գումարը, այսինքն. ան, շատ մոտ է դառնում AB աղեղի երկարությանը, այսինքն՝ կոնի հիմքի շրջագծին։ Յուրաքանչյուր եռանկյունու բարձրությունը շատ մոտ է դառնում աղեղի շառավղին, այսինքն՝ կոնի գեներատրիքսին։

Անտեսելով այս քանակների չափերի աննշան տարբերությունները, մենք ստանում ենք կոնի կողային մակերեսի (S) մակերեսի բանաձևը.

S=C լ / 2, որտեղ C-ը կոնի հիմքի շրջագիծն է, լ- կոնի գեներատոր:

Իմանալով, որ C \u003d 2πR, որտեղ R-ը կոնի հիմքի շրջանագծի շառավիղն է, մենք ստանում ենք՝ S \u003d πR լ.

Նշում. S = C բանաձևում լ / 2, տրված է ճշգրիտ, և ոչ մոտավոր հավասարության նշանը, թեև վերը նշված պատճառաբանության հիման վրա մենք կարող էինք մոտավոր համարել այդ հավասարությունը։ Բայց ավագ դպրոցում ավագ դպրոցապացուցված է, որ հավասարությունը

S=C լ / 2-ը ճշգրիտ է, ոչ մոտավոր:

Թեորեմ. Կոնու կողային մակերեսը հավասար է հիմքի շրջագծի և գեներատորի կեսի արտադրյալին։

Եկեք գրենք կոնի մեջ (նկ.) մի քանիսը ճիշտ բուրգև նշել տառերով Ռև լթվեր, որոնք արտահայտում են հիմքի պարագծի երկարությունը և այս բուրգի ապոտեմը:

Այնուհետև դրա կողային մակերեսը կարտահայտվի 1/2 արտադրանքով Ռ լ .

Այժմ ենթադրենք, որ հիմքում ներգծված բազմանկյան կողմերի թիվը անորոշ ժամանակով ավելանում է։ Այնուհետեւ պարագիծը Ռհակված կլինի այն սահմանին, որը վերցված է որպես հիմքի շրջագծի երկարություն C և ապոտեմ լորպես սահման կունենա կոն գեներատոր (քանի որ ΔSAK ենթադրում է, որ SA - SK
1 / 2 Ռ լ, ձգվելու է մինչև 1/2 C սահմանաչափ L. Այս սահմանը ընդունվում է որպես կոնի կողային մակերեսի արժեք: Կոնի կողային մակերեսը նշելով S տառով՝ կարող ենք գրել.

S = 1/2 C L = C 1/2լ

Հետեւանքները.
1) Քանի որ C \u003d 2 π R, ապա կոնի կողային մակերեսը արտահայտվում է բանաձևով.

S=1/2 2π Ռ L= π RL

2) Կոնու ամբողջ մակերեսը ստանում ենք, եթե կողային մակերեսը ավելացնում ենք հիմքի տարածքին. ուստի ամբողջական մակերեսը T-ով նշանակելով կունենանք.

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Թեորեմ. Կտրված կոնի կողային մակերեսը հավասար է հիմքերի և գեներատրիսի շրջագծերի գումարի կեսի արտադրյալին:

Կտրված կոնի մեջ (նկ.) գրենք մի քանի կանոնավոր կտրված բուրգև նշել տառերով r, r 1 և լթվեր, որոնք նույն գծային միավորներով արտահայտում են ստորին և վերին հիմքերի պարագծի երկարությունները և այս բուրգի ապոտեմը։

Այնուհետև մակագրված բուրգի կողային մակերեսը 1/2 է ( p + p 1) լ

Ներգրված բուրգի կողային երեսների քանակի անսահմանափակ աճով, պարագծերը Ռև Ռ 1-ը հակված է այն սահմաններին, որոնք վերցված են որպես հիմքերի շրջանակների C և C 1 երկարություններ, և ապոտեմ լորպես իր սահման ունի կտրված կոնի գեներատրիքսը: Հետևաբար, ներգծված բուրգի կողային մակերեսի արժեքը ձգտում է (С + С 1) L-ին հավասար սահմանին։ Կտրված կոնի կողային մակերեսը նշելով S տառով՝ կունենանք.

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Հետեւանքները.
1) Եթե R և R 1-ը նշանակում են ստորին և վերին հիմքերի շրջանագծերի շառավիղները, ապա կտրված կոնի կողային մակերեսը կլինի.

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Եթե OO 1 A 1 A trapezoid-ում (նկ.), որի պտույտից ստացվում է կտրված կոն, գծում ենք. միջին գիծմ.թ.ա., մենք ստանում ենք.

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC:

Հետևաբար,

S=2 π մ.թ.ա. L,

այսինքն. Կտրված կոնի կողային մակերեսը հավասար է միջին հատվածի շրջագծի և գեներատորի արտադրյալին:

3) Կտրված կոնի ընդհանուր մակերեսը T արտահայտվում է հետևյալ կերպ.

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)