Millä neljänneksillä kotangentti on positiivinen? Trigonometristen funktioiden perusominaisuudet: tasaisuus, parittomuus, jaksollisuus. Trigonometristen funktioiden arvojen merkit neljänneksillä

11.10.2019

Kulmien laskeminen trigonometrisellä ympyrällä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Se on melkein sama kuin edellisellä oppitunnilla. On kirveitä, ympyrä, kulma, kaikki on chin-chinaa. Lisätty neljännesnumerot (suuren neliön kulmissa) - ensimmäisestä neljänteen. Ja sitten yhtäkkiä kuka ei tiedä? Kuten näette, neljännekset (niitä kutsutaan myös kaunis sana"neljänneset") on numeroitu liikettä vastaan myötäpäivään. Lisätty kulma-arvot akseleille. Kaikki on selvää, ei röyhelöitä.

Ja lisäsi vihreän nuolen. Plussalla. Mitä hän tarkoittaa? Haluan muistuttaa, että kulman kiinteä puoli aina naulattu positiiviseen akseliin OH. Jos siis kierrämme kulman liikkuvaa puolta plus nuoli, eli nousevissa vuosineljänneksissä, kulma katsotaan positiiviseksi. Esimerkiksi kuvassa on +60° positiivinen kulma.

Jos lykkäämme kulmia sisään kääntöpuoli, myötäpäivään, kulma katsotaan negatiiviseksi. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletissa), näet sinisen nuolen, jossa on miinus. Tämä on kulmien negatiivisen lukeman suunta. Negatiivinen kulma (-60°) on esitetty esimerkkinä. Ja näet myös kuinka akseleiden numerot ovat muuttuneet ... Käänsin ne myös negatiivisiksi kulmiksi. Kvadranttien numerointi ei muutu.

Tästä yleensä alkavat ensimmäiset väärinkäsitykset. Kuinka niin!? Ja jos ympyrän negatiivinen kulma osuu yhteen positiivisen kanssa!? Ja yleensä käy ilmi, että samaa liikkuvan puolen (tai numeroympyrän pisteen) sijaintia voidaan kutsua sekä negatiiviseksi että positiiviseksi kulmaksi!?

Joo. Tarkalleen. Oletetaan, että 90 asteen positiivinen kulma muodostaa ympyrän täysin sama asema negatiivisena kulmana miinus 270 astetta. Positiivinen kulma, esimerkiksi +110° astetta, kestää täysin sama asentoon, koska negatiivinen kulma on -250°.

Ei ongelmaa. Kaikki on oikein.) Positiivisen tai negatiivisen kulman laskennan valinta riippuu tehtävän ehdoista. Jos tilanne ei kerro mitään pelkkää tekstiä kulman merkistä (kuten "määritä pienin positiivinen kulma" jne.), sitten työskentelemme meille sopivien arvojen kanssa.

Poikkeuksena (ja miten ilman niitä ?!) ovat trigonometriset epätasa-arvot, mutta siellä hallitsemme tämän tempun.

Ja nyt sinulle kysymys. Mistä tiedän, että 110° kulman sijainti on sama kuin -250° kulman sijainti?
Vihjaan, että tämä johtuu koko liikevaihdosta. 360°... Etkö ole selvä? Sitten piirrämme ympyrän. Piirrämme paperille. Kulman merkitseminen noin 110°. Ja uskoa kuinka paljon on jäljellä täyteen kierrokseen. Vain 250° jäljellä...

Sain sen? Ja nyt - huomio! Jos kulmat 110° ja -250° ovat ympyrän sisällä sama asema, mitä sitten? Kyllä, se, että kulmat ovat 110 ° ja -250 ° täysin sama sini, kosini, tangentti ja kotangentti!
Nuo. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) ja niin edelleen. Tämä on nyt todella tärkeää! Ja sinänsä - on paljon tehtäviä, joissa on tarpeen yksinkertaistaa lausekkeita ja pohjana myöhempään pelkistyskaavojen ja muiden trigonometrian monimutkaisuuksien kehittämiseen.

Tietenkin otin 110 ° ja -250 ° satunnaisesti, puhtaasti esimerkiksi. Kaikki nämä yhtäläisyydet toimivat kaikilla kulmilla, jotka ovat samassa paikassa ympyrässä. 60° ja -300°, -75° ja 285° ja niin edelleen. Huomaan heti, että näiden parien kulmat - eri. Mutta niillä on trigonometriset toiminnot - sama.

Luulen, että ymmärrät mitä negatiiviset näkökulmat ovat. Se on melko yksinkertaista. Vastapäivään on positiivinen luku. Matkan varrella se on negatiivinen. Harkitse kulmaa positiivinen tai negatiivinen riippuu meistä. Meidän halusta. No, ja tietysti enemmän tehtävästä... Toivon, että ymmärrät, kuinka trigonometrisissa funktioissa siirrytään negatiivisista positiivisiin kulmiin ja päinvastoin. Piirrä ympyrä, likimääräinen kulma ja katso kuinka paljon puuttuu ennen täyttä käännöstä, ts. jopa 360°.

Kulmat yli 360°.

Käsitellään kulmia, jotka ovat suurempia kuin 360 °. Ja sellaisia asioita tapahtuu? Niitä on tietysti. Kuinka piirtää ne ympyrään? Ei ole ongelma! Oletetaan, että meidän on ymmärrettävä, missä neljänneksessä 1000 asteen kulma putoaa? Helposti! Teemme yhden täyden kierroksen vastapäivään (kulma annettiin meille positiivinen!). Kelaa taaksepäin 360°. No, mennään eteenpäin! Toinen käännös - se on jo osoittautunut 720 °. Kuinka paljon on jäljellä? 280°. Se ei riitä täyteen käännökseen ... Mutta kulma on yli 270 ° - ja tämä on kolmannen ja neljännen neljänneksen välinen raja. Joten 1000°:n kulmamme osuu neljännelle neljännekselle. Kaikki.

Kuten näet, se on melko yksinkertaista. Muistutan vielä kerran, että kulma 1000° ja kulma 280°, jotka saimme hylkäämällä "ylimääräiset" täyskäännökset, ovat tarkasti ottaen eri kulmat. Mutta näiden kulmien trigonometriset funktiot täysin sama! Nuo. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° jne. Jos olisin sini, en huomaisi eroa näiden kahden kulman välillä...

Miksi tämä kaikki on välttämätöntä? Miksi meidän täytyy kääntää kulmia yhdestä toiseen? Kyllä, kaikki samasta syystä.) Ilmaisujen yksinkertaistamiseksi. Ilmaisujen yksinkertaistaminen on itse asiassa koulumatematiikan päätehtävä. No, matkan varrella pää harjoittelee.)

No, harjoitellaanko?)

Vastaamme kysymyksiin. Yksinkertaista aluksi.

1. Millä neljänneksellä kulma -325° putoaa?

2. Millä neljänneksellä kulma 3000° putoaa?

3. Millä neljänneksellä kulma -3000° putoaa?

On ongelma? Tai epävarmuutta? Siirrymme kohtaan 555, Käytännön työ trigonometrisen ympyrän kanssa. Siellä, tämän ensimmäisellä oppitunnilla " käytännön työ..." kaikki on yksityiskohtaista ... Sisältö sellaisia epävarmuuden kysymyksiä ei pitäisi!

4. Mikä on sin555°:n merkki?

5. Mikä on tg555°:n merkki?

Päättäväinen? Hieno! Epäillä? On välttämätöntä § 555 ... Muuten, siellä opit piirtämään tangentin ja kotangentin trigonometriseen ympyrään. Erittäin hyödyllinen asia.

Ja nyt viisaammat kysymykset.

6. Tuo lauseke sin777° pienimmän positiivisen kulman siniin.

7. Tuo lauseke cos777° suurimman negatiivisen kulman kosiniin.

8. Muunna lauseke cos(-777°) pienimmän positiivisen kulman kosiniksi.

9. Tuo lauseke sin777° suurimman negatiivisen kulman siniin.

Mitä, kysymykset 6-9 ymmällään? Totu siihen, kokeessa ei ole sellaisia muotoja... Olkoon niin, minä käännän sen. Vain sinulle!

Sanat "pienennä lauseke ..." tarkoittavat lausekkeen muuttamista niin, että sen arvo on ei ole muuttunut a ulkomuoto muutettu tehtävän mukaisesti. Joten tehtävissä 6 ja 9 meidän pitäisi saada sini, jonka sisällä on pienin positiivinen kulma. Kaikella muulla ei ole väliä.

Annan vastaukset järjestyksessä (sääntöjemme vastaisesti). Mutta mitä tehdä, on vain kaksi merkkiä ja vain neljä neljäsosaa ... Et hajoa vaihtoehdoissa.

6. sin57°.

7.cos (-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Oletan, että vastaukset kysymyksiin 6-9 hämmentyivät joitain ihmisiä. Erityisesti -sin (-57°), eikö?) Todellakin, kulmien laskennan perussäännöissä on tilaa virheille ... Siksi minun piti tehdä oppitunti: "Kuinka määrittää funktioiden merkit ja antaa kulmat trigonometriselle ympyrälle?" Kohdassa 555. Siellä tehtävät 4 - 9 on järjestetty. Hyvin lajiteltu, kaikkine sudenkuoppineen. Ja he ovat täällä.)

Seuraavalla oppitunnilla käsittelemme salaperäisiä radiaaneja ja numeroa "Pi". Opi muuttamaan asteet helposti ja oikein radiaaneiksi ja päinvastoin. Ja olemme yllättyneitä huomatessamme, että tämä perustieto sivustolla riittää jo ratkaista joitain epätyypillisiä trigonometriapulmia!

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Oppitunnin tyyppi: tiedon systematisointi ja väliohjaus.

Laitteet: trigonometrinen ympyrä, testejä, kortteja tehtävissä.

Oppitunnin tavoitteet: systematisoi tutkittua teoreettista materiaalia sinin, kosinin, kulman tangentin määritelmien mukaan; Tarkista tiedon assimilaatioaste tästä aiheesta ja soveltaminen käytännössä.

Tehtävät:

Yleistä ja vahvista kulman sinin, kosinin ja tangentin käsitteet.
Muodostaa monimutkainen käsitys trigonometrisista funktioista.
Edistää opiskelijoiden halun ja tarpeen kehittää trigonometrista materiaalia; viljellä kommunikaatiokulttuuria, ryhmätyökykyä ja itsekoulutuksen tarvetta.

"Joka tekee ja ajattelee nuoruudestaan asti, hän
siitä tulee sitten luotettavampi, vahvempi, älykkäämpi.

(V. Shukshin)

TUTKIEN AIKANA

I. Organisatorinen hetki

Luokkaa edustaa kolme ryhmää. Jokaisella ryhmällä on konsultti.
Opettaja raportoi oppitunnin aiheen, tavoitteet ja tavoitteet.

II. Tiedon toteuttaminen (etutyö luokan kanssa)

1) Työskentele ryhmissä tehtävissä:

1. Muotoile syntikulman määritelmä.

– Mitä merkkejä sin α:lla on kussakin koordinaattineljänneksessä?
– Millä arvoilla lausekkeella sin α on järkeä ja mitä arvoja se voi ottaa?

2. Toinen ryhmä ovat samat kysymykset cos α:lle.

3. Kolmas ryhmä valmistelee vastauksia samoihin kysymyksiin tg α ja ctg α.

Tällä hetkellä kolme opiskelijaa työskentelee itsenäisesti laudalla korteilla (eri ryhmien edustajat).

Kortin numero 1.

Käytännön työ.
Laske yksikköympyrän avulla sin α, cos α ja tg α arvot kulmille 50, 210 ja -210.

Kortin numero 2.

Määritä lausekkeen etumerkki: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4.1 ja sin 2.

Kortin numero 3.

1) Laske:
2) Vertaa: cos 60 ja cos 2 30 - sin 2 30

2) Suullisesti:

a) Useita lukuja ehdotetaan: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Jotkut niistä ovat tarpeettomia. Mikä ominaisuus sin α tai cos α voi ilmaista nämä luvut (Voiko sin α tai cos α ottaa nämä arvot).
b) Onko lausekkeella järkeä: cos (-); sin2; tg3:ctg(-5); ; ctg0;
ctg(-π). Miksi?
c) Onko vähintään ja korkein arvo sin tai cos, tg, ctg.
d) Onko se totta?
1) α = 1000 on II neljänneksen kulma;
2) α \u003d - 330 on IV neljänneksen kulma.
e) Numerot vastaavat samaa yksikköympyrän pistettä.

3) Valkotaulutyöt

#567 (2; 4) - Etsi lausekkeen arvo
#583 (1-3) Määritä lausekkeen etumerkki

Kotitehtävät: pöytä muistikirjassa. nro 567(1, 3) nro 578

III. Lisätietojen hankkiminen. Trigonometria kämmenessä

Opettaja: Osoittautuu, että kulmien sinien ja kosinien arvot "ovat" kämmenessäsi. Ojenna kätesi (mikä tahansa) ja levitä sormesi mahdollisimman pitkälle (kuten julisteessa). Yksi opiskelija on kutsuttu. Mittaamme sormiemme väliset kulmat.
Otetaan kolmio, jossa on kulma 30, 45 ja 60 90 ja kulman yläosa asetetaan kämmenellämme olevaan Kuun kukkulaan. Kuun vuori sijaitsee pikkusormen jatkeiden leikkauskohdassa peukalo. Yhdistämme toisen puolen pikkusormeen ja toisen puolen toisella sormella.
Osoittautuu, että pikkusormen ja peukalon välinen kulma on 90, pikkusormen ja nimetön sormen välinen kulma - 30, pikkusormen ja keskisormen välinen kulma - 45, pikkusormen ja etusormen välinen kulma - 60. Ja tämä on kaikille ihmisille poikkeuksetta

pikkusormen numero 0 - vastaa 0,
nimetön numero 1 - vastaa 30,
keskikokoinen numero 2 - vastaa 45,
indeksinumero 3 - vastaa 60,
iso numero 4 - vastaa 90.

Meillä on siis 4 sormea kädellämme ja muistamme kaavan:

sormen numero	Injektio	Merkitys

Tämä on vain muistisääntö. Yleensä sin α tai cos α arvo on tiedettävä ulkoa, mutta joskus tämä sääntö auttaa vaikeina aikoina.
Keksi sääntö cos:lle (kulmat ilman muutosta, mutta lasketaan peukalosta). Fyysinen tauko, joka liittyy merkkeihin sin α tai cos α.

IV. ZUNin assimilaatiota tarkistetaan

Itsenäistä työtä palautteen kera

Jokainen opiskelija saa kokeen (4 vaihtoehtoa) ja vastauslomake on kaikille sama.

Testata

Vaihtoehto 1

1) Missä kiertokulmassa säde saa saman asennon kuin 50 kulman läpi kierrettynä.
2) Etsi lausekkeen arvo: 4cos 60 - 3sin 90.
3) Mikä luvuista on pienempi kuin nolla: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Vaihtoehto 2

1) Missä kiertokulmassa säde saa saman asennon kuin kierrettäessä 10 kulman läpi.
2) Etsi lausekkeen arvo: 4cos 90 - 6sin 30.
3) Mikä luvuista on suurempi kuin nolla: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240).

Vaihtoehto 3

1) Etsi lausekkeen arvo: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) Mikä luvuista on pienempi kuin nolla: sin 40, cos (- 10), tg 210, sin 140.
3) Minkä neljänneksen kulma on kulma α, jos sin α > 0, cos α< 0.

Vaihtoehto 4

1) Etsi lausekkeen arvo: tg 60 - 6ctg 90.
2) Mikä luvuista on pienempi kuin nolla: sin (- 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Minkä neljänneksen kulma on kulma α, jos ctg α< 0, cos α> 0.

MUTTA 0	B Synti 50	AT 1	G – 350	D – 1	E Cos(– 140)
F 3	W 310	Ja Hinta 140		L 350	M 2
H Hinta 340	O – 3	P Hinta 250	R	Kanssa Synti 140	T – 310
klo – 2	F 2	X Tg50	W Tg 250	YU Synti 340	minä 4

(sana trigonometria on avain)

V. Tietoja trigonometrian historiasta

Opettaja: Trigonometria on ihmiselämän kannalta melko tärkeä matematiikan haara. Moderni ilme trigonometrian antoi 1700-luvun suurin matemaatikko Leonard Euler, syntyperältään sveitsiläinen. pitkiä vuosia joka työskenteli Venäjällä ja oli Pietarin tiedeakatemian jäsen. Hän esitteli kuuluisia määritelmiä trigonometriset funktiot muotoiltuja ja todistettuja tunnettuja kaavoja, opimme ne myöhemmin. Eulerin elämä on erittäin mielenkiintoinen ja suosittelen tutustumaan siihen Yakovlevin kirjasta "Leonard Euler".

(Viesti kaverit tästä aiheesta)

VI. Yhteenveto oppitunnista

Tic-tac-toe peli

Kaksi aktiivisinta opiskelijaa osallistuu. Heitä tukevat ryhmät. Tehtävien ratkaisut kirjataan muistivihkoon.

Tehtävät

1) Etsi virhe

a) sin 225 = - 1,1 c) sin 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Ilmaise kulma asteina
3) Ilmaise kulma 300 radiaaneina
4) Mikä on suurin ja pienin arvo voi olla lauseke: 1+ sin α;
5) Määritä lausekkeen etumerkki: sin 260, cos 300.
6) Missä numeroympyrän neljänneksessä piste on
7) Määritä lausekkeen merkit: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Laske:
9) Vertaa: sin 2 ja sin 350

VII. Oppitunnin heijastus

Opettaja: Missä voimme tavata trigonometriaa?
Millä tunneilla 9. luokalla ja vielä nytkin käytät käsitteitä sin α, cos α; tga; ctg α ja mihin tarkoitukseen?

Trigonometrisen funktion etumerkki riippuu yksinomaan koordinaattineljänneksestä, jossa numeerinen argumentti sijaitsee. Viime kerralla opimme kääntämään argumentit radiaanimittasta astemittaksi (katso oppitunti "Kulman radiaani ja astemitta") ja määrittämään sitten tämä sama koordinaattineljännes. Käsitellään nyt itse asiassa sinin, kosinin ja tangentin merkin määritelmää.

Kulman α sini on trigonometrisen ympyrän pisteen ordinaatti (koordinaatti y), joka syntyy, kun sädettä kierretään kulman α läpi.

Kulman α kosini on trigonometrisen ympyrän pisteen abskissa (x-koordinaatti), joka syntyy, kun säde pyörii kulman α läpi.

Kulman α tangentti on sinin ja kosinin suhde. Tai vastaavasti y-koordinaatin suhde x-koordinaattiin.

Merkintä: sin α = y ; cosa = x; tgα = y:x.

Kaikki nämä määritelmät ovat sinulle tuttuja lukion algebrakurssilta. Emme kuitenkaan ole kiinnostuneita itse määritelmistä, vaan trigonometrisen ympyrän seurauksista. Katso:

Sininen väri ilmaisee OY-akselin positiivista suuntaa (ordinaattinen akseli), punainen väri OX-akselin positiivista suuntaa (abskissa-akseli). Tässä "tutkassa" trigonometristen funktioiden merkit tulevat ilmeisiksi. Erityisesti:

sin α > 0, jos kulma α on I tai II koordinaattineljänneksessä. Tämä johtuu siitä, että määritelmän mukaan sini on ordinaatti (y-koordinaatti). Ja y-koordinaatti on positiivinen juuri I- ja II-koordinaattineljänneksissä;
cos α > 0, jos kulma α on I tai IV koordinaattineljänneksessä. Koska vain siellä x-koordinaatti (se on myös abskissa) on suurempi kuin nolla;
tg α > 0, jos kulma α on I- tai III-koordinaattikvadrantissa. Tämä seuraa määritelmästä: loppujen lopuksi tg α = y : x , joten se on positiivinen vain silloin, kun x:n ja y:n merkit ovat samat. Tämä tapahtuu 1. koordinaattineljänneksellä (tässä x > 0, y > 0) ja 3. koordinaattineljänneksellä (x< 0, y < 0).

Selvyyden vuoksi huomioimme kunkin trigonometrisen funktion merkit - sini, kosini ja tangentti - erillisessä "tutkassa". Saamme seuraavan kuvan:

Huomaa: päättelyssäni en koskaan puhunut neljännestä trigonometrisesta funktiosta - kotangentista. Tosiasia on, että kotangentin merkit ovat samat kuin tangentin merkit - siellä ei ole erityisiä sääntöjä.

Nyt ehdotan tarkastelemaan esimerkkejä, jotka ovat samankaltaisia kuin ongelmat B11 alkaen koe koe matematiikassa, joka pidettiin 27. syyskuuta 2011. Loppujen lopuksi Paras tapa teorian ymmärtäminen on käytäntöä. Mieluummin paljon harjoittelua. Tehtävien ehtoja tietysti hieman muutettiin.

Tehtävä. Määritä trigonometristen funktioiden ja lausekkeiden merkit (itse funktioiden arvoja ei tarvitse ottaa huomioon):

sin(3π/4);

cos(7π/6);

vaaleanruskea (5x/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Toimintasuunnitelma on seuraava: ensin muunnetaan kaikki kulmat radiaanimittasta astemittaksi (π → 180°) ja sitten katsotaan missä koordinaattineljänneksessä tuloksena oleva luku sijaitsee. Neljännekset tuntemalla löydämme merkit helposti - juuri kuvattujen sääntöjen mukaan. Meillä on:

sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Koska 135° ∈ , tämä on kulma II koordinaattineljänneksestä. Mutta sini toisella neljänneksellä on positiivinen, joten sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Koska 210° ∈ , tämä on kulma III-koordinaattikvadrantista, jossa kaikki kosinit ovat negatiivisia. Siksi cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Koska 300° ∈, olemme neljännessä neljänneksessä, jossa tangentti tulee negatiiviset arvot. Siksi tg (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Käsitellään siniä: koska 135° ∈ , tämä on toinen neljännes, jossa sinit ovat positiivisia, ts. sin (3π/4) > 0. Nyt työskentelemme kosinin kanssa: 150° ∈ - jälleen toinen neljännes, kosinit siellä ovat negatiivisia. Siksi cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Katsomme kosinia: 120° ∈ on II koordinaattineljännes, joten cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Saimme jälleen tuotteen, jossa eri merkkisiä tekijöitä. Koska "miinus kertaa plus antaa miinuksen", meillä on: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Työskentelemme sinin kanssa: koska 150° ∈ , me puhumme noin II koordinaattineljänneksestä, jossa sinit ovat positiivisia. Siksi sin (5π/6) > 0. Vastaavasti 315° ∈ on IV-koordinaattineljännes, siellä olevat kosinit ovat positiivisia. Siksi cos (7π/4) > 0. Saimme kahden positiivisen luvun tulon - tällainen lauseke on aina positiivinen. Päättelemme: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Mutta kulma 135° ∈ on toinen neljännes, ts. rusketus (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Koska "miinus plus antaa miinusmerkin", meillä on: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Tarkastellaan kotangenttiargumenttia: 240° ∈ on III-koordinaattineljännes, joten ctg (4π/3) > 0. Vastaavasti meillä olevalle tangentille: 30° ∈ on I-koordinaattineljännes, ts. helpoin kulma. Siksi tg (π/6) > 0. Saimme jälleen kaksi positiivista lauseketta - myös niiden tulo on positiivinen. Siksi ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Lopuksi katsotaan vielä muutama haastavia tehtäviä. Trigonometrisen funktion etumerkin selvittämisen lisäksi tässä on tehtävä pieni laskutoimitus - aivan kuten todellisissa tehtävissä B11. Periaatteessa nämä ovat melkein todellisia tehtäviä, jotka todella löytyvät matematiikan kokeesta.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,64 ja α ∈ [π/2; π].

Koska sin 2 α = 0,64, meillä on: sin α = ±0,8. On vielä päätettävä: plus vai miinus? Oletuksena on, että kulma α ∈ [π/2; π] on II koordinaattineljännes, jossa kaikki sinit ovat positiivisia. Siksi sin α = 0,8 - etumerkkien epävarmuus on eliminoitu.

Tehtävä. Etsi cos α, jos cos 2 α = 0,04 ja α ∈ [π; 3π/2].

Toimimme samalla tavalla, ts. ottaa talteen Neliöjuuri: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ± 0,2. Oletuksena on, että kulma α ∈ [π; 3π/2], so. puhumme III koordinaattineljänneksestä. Siellä kaikki kosinit ovat negatiivisia, joten cos α = −0,2.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,25 ja α ∈ .

Meillä on: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Jälleen tarkastellaan kulmaa: α ∈ on IV koordinaattineljännes, jossa, kuten tiedät, sini on negatiivinen. Tästä päätämme: sin α = −0,5.

Tehtävä. Etsi tg α, jos tg 2 α = 9 ja α ∈ .

Kaikki on sama, vain tangentin osalta. Otetaan neliöjuuri: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Mutta ehdon mukaan kulma α ∈ on I-koordinaattineljännes. Kaikki trigonometriset funktiot, sis. tangentti, on positiivisia, joten tg α = 3. Siinä se!

500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisat aporiat, joista kuuluisin on aporia "Achilles ja kilpikonna". Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, jona Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömi sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus on juossut sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Heitä kaikkia, tavalla tai toisella, katsottiin Zenonin aporiaksi. Järkytys oli niin voimakas, että " ...keskustelut jatkuvat tälläkin hetkellä yhteisen mielipiteen saavuttamiseksi paradoksien olemuksesta tieteellinen yhteisö toistaiseksi se ei ole ollut mahdollista ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan ..."[Wikipedia," Zenon Aporias "]. Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mikä petos on.

Matematiikan näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen arvosta toiseen. Tämä siirtymä edellyttää soveltamista vakioiden sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden soveltamiseen ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavallisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertialla, sovellamme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta tämä näyttää ajan hidastumiselta, kunnes se pysähtyy kokonaan sillä hetkellä, kun Akhilleus saavuttaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme logiikkaa, johon olemme tottuneet, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen sen polun seuraava osa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos käytämme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa "Achilles ohittaa äärettömän nopeasti kilpikonnan".

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisarvoihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan aikavälin aikana, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta se ei ole täydellinen ratkaisu Ongelmia. Einsteinin lausunto valonnopeuden ylitsepääsemättömyydestä on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi se selviää hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että joka hetki lentävä nuoli lepää eri pisteissä avaruudessa, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Auton liikkeen tosiasian selvittämiseksi tarvitaan kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta niitä ei voida käyttää etäisyyden määrittämiseen. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu avaruuden eri pisteistä samanaikaisesti, mutta et voi määrittää niistä liikkeen tosiasiaa (luonnollisesti tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua). Mihin haluan keskittyä Erityistä huomiota, on se, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia mahdollisuuksia tutkimiseen.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot setin ja multisetin välillä on kuvattu hyvin Wikipediassa. Me katsomme.

Kuten näet, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisiksi". Samanlainen absurdin logiikka tuntevia olentoja koskaan ymmärrä. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, jossa mieli puuttuu sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat sillan alla veneessä sillan kokeiden aikana. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja maksamme palkkoja. Täällä matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja levitämme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkasarjansa". Selitämme matematiikan, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä elementtejä ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä alkioita. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "se voi soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Lisäksi aletaan varmistua siitä, että samanarvoisissa seteleissä on eri setelinumerot, joten niitä ei voida pitää identtisinä elementteinä. No, me laskemme palkan kolikoissa - kolikoissa ei ole numeroita. Tässä matemaatikko alkaa kouristisesti muistaa fysiikkaa: erilaisia kolikoita saatavilla eri määrä lika, kristallirakenne ja jokaisen kolikon atomijärjestely on ainutlaatuinen...

Ja nyt minulla on eniten kiinnostusta Kysy: missä on raja, jonka jälkeen monijoukon elementit muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole edes lähellä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-ala on sama, mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos otamme huomioon samojen stadionien nimet, saamme paljon, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on samanaikaisesti sekä joukko että monijoukko. Kuinka oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-shuller ottaa valttiässän hihastaan ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta he ovat shamaaneja sitä varten, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää "Luvun numeroiden summa" -sivu. Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voit löytää minkä tahansa luvun numeroiden summan. Loppujen lopuksi numerot ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa numeroa edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen alkeellisesti.

Selvitetään mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, oletetaan, että meillä on numero 12345. Mitä on tehtävä tämän luvun numeroiden summan löytämiseksi? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron numerograafiseksi symboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden vastaanotetun kuvan useiksi kuviksi, joissa oli erilliset numerot. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset merkit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Laske yhteen saadut luvut. Nyt se on matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat matemaatikoiden käyttämiä shamaanien "leikkaus- ja ompelukursseja". Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matematiikan kannalta ei ole väliä kumpaan lukujärjestelmään numero kirjoitetaan. Joten eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa numerojärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. Kanssa suuri numero 12345 En halua huijata päätäni, ota huomioon artikkelin numero 26. Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme harkitse jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Aivan kuin suorakulmion alueen löytäminen metreinä ja senttimetreinä antaisi täysin erilaisia tuloksia.

Nolla kaikissa numerojärjestelmissä näyttää samalta, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta, että . Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa ilmaistaan sitä, mikä ei ole luku? Mitä matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Shamaaneille voin sallia tämän, mutta tiedemiehille en. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toimet saman suuren eri mittayksiköillä johtavat erilaisia tuloksia Kun niitä on vertailtu, sillä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen toiminnon tulos ei riipu luvun arvosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Ovessa kyltti Avaa oven ja sanoo:

Auts! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio, jossa tutkitaan sielujen loputonta pyhyyttä taivaaseen nousemisen yhteydessä! Nimbus päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas on miespuolinen.

Jos sinulla on tällainen taideteos, joka vilkkuu silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse yritän itselleni nähdä miinus neljä astetta kakkaavassa ihmisessä (yksi kuva) (usean kuvan kokoonpano: miinusmerkki, numero neljä, asteen merkintä). Enkä pidä tätä tyttöä typeränä, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain stereotypia graafisten kuvien käsityksestä. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkaava mies" tai numero "kaksikymmentäkuusi". heksadesimaalijärjestelmä laskeminen. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

Viitetiedot tangentille (tg x) ja kotangentille (ctg x). Geometrinen määritelmä, ominaisuudet, kuvaajat, kaavat. Taulukko tangenteista ja kotangenteista, derivaatoista, integraaleista, sarjalaajennuksista. Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta. Yhteys hyperbolisiin funktioihin.

Geometrinen määritelmä

|BD| - pisteessä A keskitetyn ympyrän kaaren pituus.
α on radiaaneina ilmaistu kulma.

Tangentti ( tgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu hypotenuusan ja jalan välisestä kulmasta α suorakulmainen kolmio, yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan pituuden suhde |BC| viereisen haaran pituuteen |AB| .

Kotangentti ( ctgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| vastakkaisen jalan pituuteen |BC| .

Tangentti

Missä n-kokonainen.

AT Länsimainen kirjallisuus tangentti määritellään seuraavasti:
.
;
;
.

Tangenttifunktion kuvaaja, y = tg x

Kotangentti

Missä n-kokonainen.

Länsimaisessa kirjallisuudessa kotangentti merkitään seuraavasti:
.
Myös seuraava merkintä on otettu käyttöön:
;
;
.

Kotangenttifunktion kuvaaja, y = ctg x

Tangentin ja kotangentin ominaisuudet

Jaksoisuus

Funktiot y= tg x ja y= ctg x ovat jaksollisia jaksolla π.

Pariteetti

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat parittomia.

Määritelmä- ja arvoalueet, nouseva, laskeva

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia määrittelyalueellaan (katso jatkuvuuden todiste). Tangentin ja kotangentin pääominaisuudet on esitetty taulukossa ( n- kokonaisluku).

	y= tg x	y= ctg x
Laajuus ja jatkuvuus
Arvoalue	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Nouseva		-
Laskeva	-
Äärimmäisyydet	-	-
Nollat, y= 0
Leikkauspisteet y-akselin kanssa, x = 0	y= 0	-

Kaavat

Lausekkeet sinin ja kosinin suhteen

; ;
; ;
;

Kaavat summan ja erotuksen tangentille ja kotangentille

Muut kaavat ovat esimerkiksi helppoja saada

Tangenttien tulo

Tangenttien summan ja eron kaava

Tämä taulukko näyttää tangenttien ja kotangenttien arvot joillekin argumentin arvoille.

Lausekkeet kompleksilukuina

Hyperbolisten funktioiden lausekkeet

;
;

Johdannaiset

; .

.
N:nnen kertaluvun johdannainen funktion muuttujan x suhteen:
.
Tangentin > > > kaavojen johtaminen ; kotangentille >>>

Integraalit

Laajennukset sarjoiksi

Saadaksesi tangentin laajennuksen potenssilla x, sinun on otettava useita termejä teho sarja toimintoja varten synti x ja cos x ja jakaa nämä polynomit toisiinsa , . Tämä johtaa seuraaviin kaavoihin.

klo .

osoitteessa .
missä B n- Bernoullin numerot. Ne määritetään joko toistuvuussuhteesta:
;
;
missä .
Tai Laplacen kaavan mukaan:

Käänteiset funktiot

Tangentin ja kotangentin käänteisfunktiot ovat vastaavasti arctangentti ja arkotangentti.

Arktangentti, arktg

, missä n-kokonainen.

Kaaretangentti, arcctg