Tiedemiehet ja ajattelijat ovat pitkään halunneet viihdyttää itseään ja kollegansa asettamalla ratkaisemattomia ongelmia ja muotoilemalla kaikenlaisia ​​paradokseja. Jotkut näistä ajatuskokeista pysyvät merkityksellisinä tuhansia vuosia, mikä osoittaa monien suosittujen tieteellisten mallien epätäydellisyyteen ja "reikiin" yleisesti hyväksytyissä teorioissa, joita on pitkään pidetty perustavanlaatuisina. Kutsumme sinut pohtimaan mielenkiintoisimpia ja hämmästyttävimpiä paradokseja, jotka, kuten nyt sanotaan, "räjäyttivät aivot" useammalle kuin yhden sukupolven loogisille, filosofeille ja matemaatikoille.

1. Aporia "Achilles ja kilpikonna"

Akilleuksen ja kilpikonnan paradoksi on yksi paradokseista (loogisesti oikeita, mutta ristiriitaisia ​​väitteitä), jotka antiikin kreikkalainen filosofi Zenon Elealainen muotoili 500-luvulla eaa. Sen olemus on seuraava: legendaarinen sankari Akhilleus päätti kilpailla juoksussa kilpikonnan kanssa. Kuten tiedät, kilpikonnat eivät eroa nopeudeltaan, joten Akhilleus antoi vastustajalle etumatkan 500 m. Kun kilpikonna voittaa tämän matkan, sankari alkaa jahtaamaan 10 kertaa suuremmalla nopeudella, eli kilpikonnan ryömiessä 50 m , Akhilleus onnistuu juoksemaan annetun 500 metrin etumatkan. Sitten juoksija ylittää seuraavat 50 m, mutta tällä hetkellä kilpikonna ryömii vielä 5 m taaksepäin, näyttää siltä, ​​että Akhilleus on saavuttamassa sen, mutta vastustaja on edelleen edellä ja kun hän juoksee 5 m, hän onnistuu eteenpäin vielä puoli metriä ja niin edelleen. Niiden välinen etäisyys pienenee äärettömästi, mutta teoriassa sankari ei koskaan onnistu saavuttamaan hidasta kilpikonnaa, se ei ole paljon, mutta aina hänen edellään.

Tietenkin fysiikan näkökulmasta paradoksissa ei ole järkeä - jos Akhilleus liikkuu paljon nopeammin, hän murtautuu joka tapauksessa eteenpäin, Zeno kuitenkin halusi ensinnäkin osoittaa perusteluillaan, että idealisoidut matemaattiset käsitteet "piste avaruudessa" ja "ajan hetki" eivät ole liian sopivia oikeaan sovellukseen todelliseen liikkeeseen. Aporia paljastaa ristiriidan sen matemaattisesti järkevän ajatuksen välillä, että nollasta poikkeavat tilan ja ajan intervallit voidaan jakaa loputtomiin (joten kilpikonnan on pysyttävä aina edellä) ja todellisuuden välillä, jossa sankari tietysti voittaa kilpailun.

2. Aikasilmukan paradoksi

Aikamatkailua kuvaavat paradoksit ovat pitkään olleet inspiraation lähteenä tieteiskirjailijoille ja tieteiselokuvien ja TV-ohjelmien tekijöille. Aikasilmukan paradokseista on useita muunnelmia, yksi yksinkertaisimmista ja kuvaavimmista esimerkeistä tällaisesta ongelmasta on Massachusettsin yliopiston professorin David Toomeyn kirjassaan The New Time Travelers.

Kuvittele, että aikamatkustaja on ostanut Shakespearen Hamletin kirjakaupasta. Sitten hän meni Englantiin neitsytkuningatar Elizabeth I:n aikana ja löydettyään William Shakespearen ojensi hänelle kirjan. Hän kirjoitti sen uudelleen ja julkaisi sen omana teoksenaan. Kuluu satoja vuosia, Hamlet käännetään kymmenille kielille, sitä painetaan loputtomasti, ja yksi kappaleista päätyy siihen kirjakauppaan, josta aikamatkustaja ostaa sen ja antaa sen Shakespearelle, joka tekee kopion ja niin edelleen... Ketä tässä tapauksessa pitäisi laskea, kuolemattoman tragedian kirjoittajaa?

3. Tytön ja pojan paradoksi

Todennäköisyysteoriassa tätä paradoksia kutsutaan myös "hra Smithin lapsiksi" tai "rouva Smithin ongelmiksi". Amerikkalainen matemaatikko Martin Gardner muotoili sen ensimmäisen kerran yhdessä Scientific American -lehden numeroista. Tiedemiehet ovat kiistelleet paradoksista vuosikymmeniä, ja sen ratkaisemiseksi on useita tapoja. Kun olet miettinyt ongelmaa, voit tarjota oman versionsi.

Perheessä on kaksi lasta ja yksi heistä tiedetään varmasti olevan poika. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on mies? Ensi silmäyksellä vastaus on melko ilmeinen - 50-50, joko hän on todella poika tai tyttö, todennäköisyyksien pitäisi olla samat. Ongelmana on, että kahden lapsen perheissä on neljä mahdollista lasten sukupuolten yhdistelmää - kaksi tyttöä, kaksi poikaa, vanhempi poika ja nuorempi tyttö ja päinvastoin - vanhempi tyttö ja nuorempi poika. Ensimmäinen voidaan sulkea pois, koska yksi lapsista on ehdottomasti poika, mutta tässä tapauksessa vaihtoehtoja on kolme, ei kaksi, ja todennäköisyys, että myös toinen lapsi on poika, on yksi mahdollisuus kolmesta.

4. Jourdainin korttiparadoksi

Brittiläisen loogikon ja matemaatikon Philippe Jourdainin 1900-luvun alussa ehdottamaa ongelmaa voidaan pitää yhtenä kuuluisan valehtelijaparadoksin muunnelmista.

Kuvittele - pidät käsissäsi postikorttia, jossa lukee: "Postikortin kääntöpuolella oleva väite on totta." Kortin kääntäminen paljastaa lauseen "Toisella puolella oleva lausunto on väärä." Kuten ymmärrät, siinä on ristiriita: jos ensimmäinen väite on tosi, niin toinen on myös tosi, mutta tässä tapauksessa ensimmäisen on oltava epätosi. Jos postikortin ensimmäinen puoli on epätosi, ei myöskään toisen lausetta voida pitää totta, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen väite tulee jälleen todeksi ... Vielä mielenkiintoisempi versio valehtelijan paradoksista on seuraavassa kappaleessa.

5. Sofismi "krokotiili"

Äiti lapsen kanssa seisoo joen rannalla, yhtäkkiä krokotiili ui heidän luokseen ja vetää lapsen veteen. Lohduton äiti pyytää palauttamaan lapsensa, johon krokotiili vastaa, että hän suostuu palauttamaan hänet terveenä, jos nainen vastaa oikein hänen kysymykseensä: "Palauttaako hän lapsensa?" On selvää, että naisella on kaksi vastausta - kyllä ​​tai ei. Jos hän väittää, että krokotiili antaa hänelle lapsen, kaikki riippuu eläimestä - koska vastaus on totta, sieppaaja päästää lapsen menemään, mutta jos hän sanoo, että äiti erehtyi, hän ei näe lapsi, kaikkien sopimuksen sääntöjen mukaisesti.

Naisen kielteinen vastaus mutkistaa asiaa huomattavasti - jos se osoittautuu todeksi, kidnappaajan on täytettävä kaupan ehdot ja vapautettava lapsi, mutta näin äidin vastaus ei vastaa todellisuutta. Tällaisen vastauksen virheellisyyden varmistamiseksi krokotiilin on palautettava lapsi äidille, mutta tämä on sopimuksen vastaista, koska hänen virheensä pitäisi jättää lapsi krokotiilin kanssa.

On syytä huomata, että krokotiilin tarjoama sopimus sisältää loogisen ristiriidan, joten hänen lupauksensa on mahdoton toteuttaa. Puhuja, ajattelija ja poliitikko Corax of Syracuse, joka asui 5. vuosisadalla eKr., pidetään tämän klassisen sofismin kirjoittajana.

6. Aporia "Dikotomia"

Toinen paradoksi Zenon Eleasta, joka osoittaa idealisoidun matemaattisen liikemallin virheellisyyden. Ongelma voidaan ilmaista näin – oletetaan, että lähdit kulkemaan jonkin kaupungin kadun läpi alusta loppuun. Tätä varten sinun on voitettava sen ensimmäinen puolisko, sitten puolet jäljellä olevasta puoliskosta, sitten puolet seuraavasta segmentistä ja niin edelleen. Toisin sanoen - kävelet puolet koko matkasta, sitten neljänneksen, yhden kahdeksasosan, yhden kuudestoista - polun pienenevien osien määrällä on taipumus äärettömään, koska mikä tahansa jäljellä oleva osa voidaan jakaa kahteen, mikä tarkoittaa, että on mahdotonta mennä koko matkan. Ensi silmäyksellä hieman kaukaa haetun paradoksin muotoilemalla Zeno halusi osoittaa, että matemaattiset lait ovat ristiriidassa todellisuuden kanssa, koska itse asiassa voit helposti kattaa koko matkan ilman jälkiä.

7. Aporia "lentävä nuoli"

Kuuluisa Zenon Elea paradoksi koskettaa syvimpiä ristiriitoja tutkijoiden käsityksissä liikkeen ja ajan luonteesta. Aporia on muotoiltu seuraavasti: jousesta ammuttu nuoli pysyy liikkumattomana, koska se lepää milloin tahansa liikkumatta. Jos nuoli on joka hetki levossa, niin se on aina levossa eikä liiku ollenkaan, koska ei ole olemassa hetkeä, jolloin nuoli liikkuu avaruudessa.

Ihmiskunnan upeat mielet ovat yrittäneet vuosisatojen ajan ratkaista lentävän nuolen paradoksin, mutta loogiselta kannalta se on täysin oikein. Sen kumoamiseksi on tarpeen selittää, kuinka äärellinen aikaväli voi koostua äärettömästä määrästä ajan hetkiä - jopa Aristoteles, joka arvosteli vakuuttavasti Zenonin aporiaa, ei pystynyt todistamaan tätä. Aristoteles huomautti perustellusti, että ajanjaksoa ei voida pitää joidenkin jakamattomien yksittäisten hetkien summana, mutta monet tutkijat uskovat, että hänen lähestymistapansa ei eroa syvyydestä eikä kiistä paradoksin olemassaoloa. On syytä huomata, että esittämällä lentävän nuolen ongelman Zeno ei pyrkinyt kumoamaan liikkeen mahdollisuutta sinänsä, vaan paljastamaan ristiriitoja idealistisissa matemaattisissa käsitteissä.

8. Galileon paradoksi

Keskusteluissaan ja matemaattisissa todisteissaan kahdesta uudesta tieteenalasta Galileo Galilei ehdotti paradoksia, joka osoittaa äärettömien joukkojen omituiset ominaisuudet. Tiedemies muotoili kaksi ristiriitaista tuomiota. Ensinnäkin on lukuja, jotka ovat muiden kokonaislukujen neliöitä, kuten 1, 9, 16, 25, 36 ja niin edelleen. On muitakin numeroita, joilla ei ole tätä ominaisuutta - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 ja vastaavat. Siten täydellisten neliöiden ja tavallisten lukujen kokonaismäärän on oltava suurempi kuin täydellisten neliöiden lukumäärä yksinään. Toinen tuomio: jokaiselle luonnolliselle luvulle on sen tarkka neliö ja jokaisella neliöllä on kokonaisluvun neliöjuuri, eli neliöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin luonnollisten lukujen lukumäärä.

Tämän ristiriidan perusteella Galileo päätteli, että päättelyä elementtien lukumäärästä sovelletaan vain äärellisiin joukkoihin, vaikka myöhemmin matemaatikot ottivat käyttöön käsitteen joukon potenssi - sen avulla todistettiin Galileon toisen tuomion oikeellisuus myös äärettömille joukoille. .

9. Perunasäkkiparadoksi

Oletetaan, että tietyllä viljelijällä on pussillinen perunaa, joka painaa tasan 100 kg. Sen sisällön tutkittuaan viljelijä huomaa, että pussia on säilytetty kosteassa - 99 % sen massasta on vettä ja 1 % muista perunan sisältämistä aineista. Hän päättää kuivata perunoita hieman, jotta niiden vesipitoisuus putoaa 98 prosenttiin ja siirtää pussin kuivaan paikkaan. Seuraavana päivänä käy ilmi, että litra (1 kg) vettä on todella haihtunut, mutta pussin paino on pudonnut 100 kilosta 50 kiloon, miten tämä voi olla? Lasketaan - 99% 100 kg:sta on 99 kg, mikä tarkoittaa, että kuivan jäännöksen massan ja veden massan suhde oli alun perin 1/99. Kuivauksen jälkeen vesi sisältää 98 % pussin kokonaismassasta, mikä tarkoittaa, että kuivan jäännöksen massan suhde veden massaan on nyt 1/49. Koska jäännöksen massa ei ole muuttunut, jäljellä oleva vesi painaa 49 kg.

Tietenkin tarkkaavainen lukija havaitsee laskelmissa välittömästi karkean matemaattisen virheen - kuvitteellista koomista "perunasäkin paradoksia" voidaan pitää erinomaisena esimerkkinä siitä, kuinka ensi silmäyksellä käytetään "loogista" ja "tieteellisesti tuettua" perustelut, voit kirjaimellisesti rakentaa teorian tyhjästä, joka on ristiriidassa terveen järjen kanssa.

10 Korpin paradoksi

Ongelma tunnetaan myös Hempelin paradoksina - se sai toisen nimensä saksalaisen matemaatikon Carl Gustav Hempelin, klassisen versionsa kirjoittajan, kunniaksi. Ongelma on muotoiltu yksinkertaisesti: jokainen korppi on musta. Tästä seuraa, että mikään, mikä ei ole mustaa, ei voi olla korppia. Tätä lakia kutsutaan loogiseksi vastalauseeksi, eli jos tietyllä premissillä "A" on seuraus "B", niin "B":n negaatio vastaa "A":n negaatiota. Jos henkilö näkee mustan korpin, tämä vahvistaa hänen uskomustaan, että kaikki korpit ovat mustia, mikä on varsin loogista, mutta ristiriidan ja induktioperiaatteen mukaisesti on loogista väittää, että ei-mustien esineiden havainnointi (sanoa , punaiset omenat) todistaa myös, että kaikki variset on maalattu mustiksi. Toisin sanoen se, että henkilö asuu Pietarissa, osoittaa, ettei hän asu Moskovassa.

Logiikan näkökulmasta paradoksi näyttää täydelliseltä, mutta se on ristiriidassa todellisen elämän kanssa - punaiset omenat eivät millään tavalla voi vahvistaa sitä tosiasiaa, että kaikki variset ovat mustia.

Kuinka brainmail toimii - viestien välittäminen aivoista aivoihin Internetin kautta

10 maailman mysteeriä, jotka tiede on vihdoin paljastanut

10 parasta kysymystä maailmankaikkeudesta, joihin tutkijat etsivät vastauksia juuri nyt

8 asiaa, joita tiede ei voi selittää

2500 vuotta vanha tieteellinen salaisuus: miksi haukottelemme

3 typerintä väitettä, joilla evoluutioteorian vastustajat oikeuttavat tietämättömyytensä

Onko mahdollista toteuttaa supersankarien kykyjä nykytekniikan avulla?

Ivin Alexander Arkhipovich logiikan lakien mukaan

MIKÄ ON LOOGINEN PARADOKSI?

Ei ole olemassa tyhjentävää luetteloa loogisista paradokseista, ja se on mahdotonta.

Käsitellyt paradoksit ovat vain osa kaikista tähän mennessä löydetyistä. On todennäköistä, että tulevaisuudessa löydetään monia muita ja jopa täysin uusia tyyppejä. Itse paradoksin käsite ei ole niin yksiselitteinen, että olisi mahdollista koota luettelo ainakin jo tunnetuista paradokseista.

"Joukkoteoreettiset paradoksit ovat erittäin vakava ongelma, ei kuitenkaan matematiikassa, vaan pikemminkin logiikassa ja epistemologiassa", kirjoittaa itävaltalainen matemaatikko ja loogikko K. Gödel. "Logiikka on epäjohdonmukainen. Ei ole olemassa loogisia paradokseja, sanoo Neuvostoliiton matemaatikko D. Bochvar. - Tällaiset erot ovat joskus merkittäviä, joskus sanallisia. Asia on pitkälti siinä, mitä "loogisella paradoksilla" tarkalleen ottaen tarkoitetaan.

Loogisten paradoksien välttämätön piirre on looginen sanakirja. Paradoksit, jotka ovat loogisia, on muotoiltava loogisesti. Logiikassa ei kuitenkaan ole selkeitä kriteerejä termien jakamiselle loogisiin ja ekstralogisiin. Päättelyn oikeellisuutta käsittelevä logiikka pyrkii vähentämään käsitteet, joista käytännössä sovellettavien johtopäätösten oikeellisuus riippuu, minimiin. Mutta tätä vähimmäismäärää ei ole ennalta määrätty yksiselitteisesti. Lisäksi ei-loogisia väitteitä voidaan muotoilla loogisesti. Se, käyttääkö tietty paradoksi vain puhtaasti loogisia premissioita, ei ole läheskään aina mahdollista yksiselitteisesti määrittää.

Loogisia paradokseja ei eroteta jäykästi kaikista muista paradokseista, samoin kuin jälkimmäisiä ei eroteta selvästi kaikesta ei-paradoksaalisesta ja johdonmukaisesti vallitsevien ideoiden kanssa.

Loogisten paradoksien tutkimuksen alussa näytti siltä, ​​että ne voidaan erottaa jonkin vielä tutkimattoman logiikan kannan tai säännön rikkomisesta. B. Russellin esittelemä "noidankehäperiaate" oli erityisen aktiivinen väittäessään tällaisen säännön roolia. Tämä periaate sanoo, että objektikokoelma ei voi sisältää jäseniä, jotka on määritelty vain samassa kokoelmassa.

Kaikilla paradokseilla on yksi yhteinen piirre - itsesoveltuvuus tai kiertokulku. Jokaisessa niistä kyseiselle esineelle on tunnusomaista jokin joukko esineitä, joihin se itse kuuluu. Jos valitsemme esimerkiksi henkilön luokan ovelimmaksi, teemme sen ihmisjoukon avulla, johon tämä henkilö myös kuuluu ("hänen luokkansa" avulla). Ja jos sanomme: "Tämä väite on väärä", luonnehdimme meitä kiinnostavaa lausuntoa viittaamalla kaikkien sen sisältävien väärien väitteiden kokonaisuuteen.

Kaikissa paradokseissa tapahtuu itsesoveltuvuutta, mikä tarkoittaa, että tapahtuu ikään kuin ympyräliikettä, joka johtaa lopulta lähtöpisteeseen. Yrittääksemme luonnehtia meitä kiinnostavaa kohdetta, käännymme esineiden joukkoon, joka sisältää sen. Osoittautuu kuitenkin, että se itse tarve vaatii tarkastelun kohteena olevan kohteen, eikä sitä voida selvästi ymmärtää ilman sitä. Tässä ympyrässä on ehkä paradoksien lähde.

Tilannetta mutkistaa kuitenkin se, että tällainen ympyrä esiintyy myös monissa täysin paradoksaalisissa argumenteissa. Pyöreä on valtava valikoima yleisimpiä, vaarattomia ja samalla käteviä ilmaisutapoja. Sellaiset esimerkit kuin "suurin kaikista kaupungeista", "pienin kaikista luonnollisista luvuista", "yksi rautaatomin elektroneista" jne. osoittavat, että kaikki itsesoveltuvuustapaukset eivät johda ristiriitaan ja että se on tärkeä ei vain tavallisessa kielessä, vaan myös tieteen kielessä.

Pelkkä viittaus itse sovellettavien käsitteiden käyttöön ei siis riitä kumoamaan paradokseja. Muutama lisäkriteeri tarvitaan paradoksiin johtavan itsesoveltuvuuden erottamiseksi kaikista muista tapauksista.

Tätä koskevia ehdotuksia on tehty monia, mutta kiertokulkuisuuden onnistunutta selvennystä ei ole löydetty. Kävi ilmi, että on mahdotonta luonnehtia kiertokulkua siten, että jokainen ympyräpäättely johtaa paradoksiin ja jokainen paradoksi on seurausta jostain ympyräpäättelystä.

Yritys löytää jokin tietty logiikkaperiaate, jonka rikkominen olisi kaikkien loogisten paradoksien erottuva piirre, ei johtanut mihinkään varmaa.

Jonkinlainen paradoksien luokittelu olisi epäilemättä hyödyllinen, jakamalla ne tyyppeihin ja tyyppeihin, ryhmittelemällä joitain paradokseja ja asettamalla ne toisille. Mitään kestävää ei kuitenkaan ole saavutettu tässäkään tapauksessa.

Englantilainen logiikka F. Ramsey, joka kuoli vuonna 1930, kun hän ei ollut vielä 27-vuotias, ehdotti kaikkien paradoksien jakamista syntaktisiin ja semanttisiin. Ensimmäinen sisältää esimerkiksi Russellin paradoksin, toinen - "valehtelijan", Grellingin jne.

F. Ramseyn mukaan ensimmäisen ryhmän paradoksit sisältävät vain logiikkaan tai matematiikkaan kuuluvia käsitteitä. Jälkimmäisiin kuuluvat sellaiset käsitteet kuin "totuus", "määriteltävissä", "nimeäminen", "kieli", jotka eivät ole tiukasti matemaattisia, vaan liittyvät pikemminkin kielitieteeseen tai jopa tiedon teoriaan. Semanttiset paradoksit eivät näytä johtuvan jostain logiikkavirheestä, vaan joidenkin ei-loogisten käsitteiden epämääräisyydestä tai moniselitteisyydestä, joten niiden aiheuttamat ongelmat koskevat kieltä ja ne on ratkaistava kielitieteen avulla.

F. Ramseysta tuntui, että matemaatikoiden ja logiikkojen ei tarvitse olla kiinnostuneita semanttisista paradokseista.

Myöhemmin kuitenkin kävi ilmi, että osa modernin logiikan merkittävimmistä tuloksista saatiin juuri näiden "ei-loogisten" paradoksien syvemmän tutkimuksen yhteydessä.

F. Ramseyn ehdottama paradoksijako oli aluksi laajalti käytössä ja säilyttää jonkin verran merkitystä vielä nytkin. Samalla käy yhä selvemmäksi, että tämä jako on melko epämääräinen ja perustuu ensisijaisesti esimerkkeihin, ei näiden kahden paradoksiryhmän syvälliseen vertailevaan analyysiin. Semantiset käsitteet ovat nyt hyvin määriteltyjä, ja on vaikea olla huomaamatta, että nämä käsitteet ovat todellakin loogisia. Semantiikan kehittyessä, joka määrittelee peruskäsitteensä joukkoteorian kannalta, F. Ramseyn tekemä ero hämärtyy yhä enemmän.

Historialliset ja loogiset menetelmät Yleisesti ottaen tieteellisen tiedon empiirinen taso ei sinänsä riitä tunkeutumaan asioiden olemukseen, mukaan lukien yhteiskunnan toiminta- ja kehitysmalleihin. Tietyssä vaiheessa, kun enemmän kuin

Carnapin looginen positivismi Looginen positivismi on empirismin muunneltu muoto. Empirismi puhtaimmassa muodossaan on oppi, jonka mukaan kaikki tieto tulee aistikokemuksesta. Looginen positivismi näyttää sitä heikommalta yhdessä tärkeässä kohdassa, mutta vahvemmalta

2.9. Looginen neliö Yksinkertaisten vertailukelpoisten väitteiden väliset suhteet on kuvattu kaavamaisesti käyttämällä keskiaikaisten logiikkojen kehittämää loogista neliötä. Kuten näet, neliön kärjet tarkoittavat neljää yksinkertaista tuomiota, ja sen sivut ja

LUKU 2 LOOGINEN BEHIVIORISMI Looginen behaviorismi on teoria, jonka mukaan henkisessä tilassa oleminen tarkoittaa käyttäytymistilassa olemista. Ajatteleminen, toivominen, havaitseminen, muistaminen jne. - kaikki tämä tulee ymmärtää joko käyttäytymisenä tai omistamisena

3. Looginen analyysi (B. Russell) Bertrand Russell (1872–1970) on maailmankuulu englantilainen tiedemies, filosofi ja julkisuuden henkilö. Kuusitoistavuotiaana hän luki Kummisensä J. S. Millin omaelämäkerran, joka teki häneen suuren vaikutuksen. peru milla

2. Looginen positivismi Vuonna 1922 Wienin yliopiston luonnonfilosofian laitokselle, jota E. Machin kuoleman jälkeen johti professori M. Schlick, kokoontui joukko nuoria tiedemiehiä, jotka asettivat itselleen rohkean tavoitteen - uudistaa. tiede ja filosofia. Tämä ryhmä on mukana

§ 1. B. Russellin looginen atomismi Loogisen positivismin "isoisät" ovat Moore ja Russell. Englantilaiset tutkijat korostavat yleensä Mooren (1873-1958) roolia. Se koostui siitä, että hän kiinnitti huomion filosofien käyttämien sanojen ja lausuntojen merkityksen analyysiin.

2. Looginen romahdus - Se, mitä voidaan osoittaa tai mikä on todistettava, on lopullinen tieto jostakin erityisestä. Olemassaoloa ja transsendenssia tämän olennon merkityksessä ei ole olemassa. Jos ajattelemme niitä, ajatus saa loogiset muodot, mikä

"Loogiset" ja "historialliset" tutkimusmenetelmät "Pääomassa", erityisesti sen neljännessä osassa, heijastui tärkeä epistemologinen ongelma kohteen teorian loogisen rakentamisen ja sen historiallisten tutkimusmenetelmien välisestä suhteesta - toinen /

II. KIELEN LOOGINEN ANALYYSI Matematiikan teoreettiseen rakentamiseen on kehitetty uusi logiikka. Wienin piirissä siitä tuli yleensä keino luoda tiedeteoriaa. Toisin kuin puhdas logiikka, sovellettua logiikkaa käytettiin jalostamaan filosofiaa

MIKÄ ON LOOGINEN PARADOKSI? Ei ole olemassa tyhjentävää luetteloa loogisista paradokseista. Käsitellyt loogiset paradoksit ovat vain osa kaikista tähän mennessä löydetyistä. On todennäköistä, että monia muita avataan tulevaisuudessa.

Looginen positivismi Ensimmäisen ja toisen maailmansodan välisenä aikana esitettiin uusia filosofisia ajatuksia. Monia heistä stimuloi ei-klassisen fysiikan kehitys, ja niistä tuli loogisen positivismin vakava epistemologinen analyysi.

15. INFINITESIMAALI-LOGINEN SANAKIRJAb Tämä päättää lyhyen raporttimme infinitesimaalien menetelmän soveltamisesta logiikkaan. Pikemminkin tämä ei ole viesti, vaan vain ehdotus, vain vaatimaton vihje alueesta, joka ei voi olla valtava. Logiikka ja matematiikka eivät ole

3. Jumalan valtakunnan teologinen luonne Vanhan testamentin ja juutalaisuuden perinteessä Jumalan valtakunnan tuleminen tarkoittaa Jumalan tulemista. Eskatologisen toivon keskipiste oli Jumalan määräämä ja toteuttama ”Jehovan päivä”, päivä, jolloin Jumala on ”kaikki kaikessa”, jolloin

Tiedemiehet ja ajattelijat ovat pitkään halunneet viihdyttää itseään ja kollegansa asettamalla ratkaisemattomia ongelmia ja muotoilemalla kaikenlaisia ​​paradokseja. Jotkut näistä ajatuskokeista pysyvät merkityksellisinä tuhansia vuosia, mikä osoittaa monien suosittujen tieteellisten mallien epätäydellisyyteen ja "reikiin" yleisesti hyväksytyissä teorioissa, joita on pitkään pidetty perustavanlaatuisina.

Kutsumme sinut pohtimaan mielenkiintoisimpia ja hämmästyttävimpiä paradokseja, jotka, kuten nyt sanotaan, "räjäyttivät aivot" useammalle kuin yhden sukupolven loogisille, filosofeille ja matemaatikoille.

1. Aporia "Achilles ja kilpikonna"

Akilleuksen ja kilpikonnan paradoksi on yksi paradokseista (loogisesti oikeita, mutta ristiriitaisia ​​väitteitä), jotka antiikin kreikkalainen filosofi Zenon Elealainen muotoili 500-luvulla eaa. Sen olemus on seuraava: legendaarinen sankari Akhilleus päätti kilpailla juoksussa kilpikonnan kanssa. Kuten tiedät, kilpikonnat eivät eroa nopeudeltaan, joten Akhilleus antoi vastustajalle etumatkan 500 m. Kun kilpikonna voittaa tämän matkan, sankari alkaa jahtaamaan 10 kertaa suuremmalla nopeudella, eli kilpikonnan ryömiessä 50 m , Akhilleus onnistuu juoksemaan annetun 500 metrin etumatkan. Sitten juoksija ylittää seuraavat 50 m, mutta tällä hetkellä kilpikonna ryömii vielä 5 m taaksepäin, näyttää siltä, ​​että Akhilleus on saavuttamassa sen, mutta vastustaja on edelleen edellä ja kun hän juoksee 5 m, hän onnistuu eteenpäin vielä puoli metriä ja niin edelleen. Niiden välinen etäisyys pienenee äärettömästi, mutta teoriassa sankari ei koskaan onnistu saavuttamaan hidasta kilpikonnaa, se ei ole paljon, mutta aina hänen edellään.

© www.student31.ru

Tietenkin fysiikan näkökulmasta paradoksissa ei ole järkeä - jos Akhilleus liikkuu paljon nopeammin, hän murtautuu joka tapauksessa eteenpäin, Zeno kuitenkin halusi ensinnäkin osoittaa perusteluillaan, että idealisoidut matemaattiset käsitteet "piste avaruudessa" ja "ajan hetki" eivät ole liian sopivia oikeaan sovellukseen todelliseen liikkeeseen. Aporia paljastaa ristiriidan sen matemaattisesti järkevän ajatuksen välillä, että nollasta poikkeavat tilan ja ajan intervallit voidaan jakaa loputtomiin (joten kilpikonnan on pysyttävä aina edellä) ja todellisuuden välillä, jossa sankari tietysti voittaa kilpailun.

2. Aikasilmukan paradoksi

David Toomeyn The New Time Travelers

Aikamatkailua kuvaavat paradoksit ovat pitkään olleet inspiraation lähteenä tieteiskirjailijoille ja tieteiselokuvien ja TV-ohjelmien tekijöille. Aikasilmukan paradokseista on useita muunnelmia, yksi yksinkertaisimmista ja kuvaavimmista esimerkeistä tällaisesta ongelmasta on Massachusettsin yliopiston professorin David Toomeyn kirjassaan The New Time Travelers.

Kuvittele, että aikamatkustaja on ostanut Shakespearen Hamletin kirjakaupasta. Sitten hän meni Englantiin neitsytkuningatar Elizabeth I:n aikana ja löydettyään William Shakespearen ojensi hänelle kirjan. Hän kirjoitti sen uudelleen ja julkaisi sen omana teoksenaan. Kuluu satoja vuosia, Hamlet käännetään kymmenille kielille, sitä painetaan loputtomasti, ja yksi kappaleista päätyy siihen kirjakauppaan, josta aikamatkustaja ostaa sen ja antaa sen Shakespearelle, joka tekee kopion ja niin edelleen... Ketä tässä tapauksessa pitäisi laskea, kuolemattoman tragedian kirjoittajaa?

3. Tytön ja pojan paradoksi

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

Todennäköisyysteoriassa tätä paradoksia kutsutaan myös "hra Smithin lapsiksi" tai "rouva Smithin ongelmiksi". Amerikkalainen matemaatikko Martin Gardner muotoili sen ensimmäisen kerran yhdessä Scientific American -lehden numeroista. Tiedemiehet ovat kiistelleet paradoksista vuosikymmeniä, ja sen ratkaisemiseksi on useita tapoja. Kun olet miettinyt ongelmaa, voit tarjota oman versionsi.

Perheessä on kaksi lasta ja yksi heistä tiedetään varmasti olevan poika. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on mies? Ensi silmäyksellä vastaus on melko ilmeinen - 50-50, joko hän on todella poika tai tyttö, todennäköisyyksien pitäisi olla samat. Ongelmana on, että kahden lapsen perheissä on neljä mahdollista lasten sukupuolten yhdistelmää - kaksi tyttöä, kaksi poikaa, vanhempi poika ja nuorempi tyttö ja päinvastoin - vanhempi tyttö ja nuorempi poika. Ensimmäinen voidaan sulkea pois, koska yksi lapsista on ehdottomasti poika, mutta tässä tapauksessa vaihtoehtoja on kolme, ei kaksi, ja todennäköisyys, että myös toinen lapsi on poika, on yksi mahdollisuus kolmesta.

4. Jourdainin korttiparadoksi

Brittiläisen loogikon ja matemaatikon Philippe Jourdainin 1900-luvun alussa ehdottamaa ongelmaa voidaan pitää yhtenä kuuluisan valehtelijaparadoksin muunnelmista.

Philippe Jourdain

Kuvittele - pidät käsissäsi postikorttia, jossa lukee: "Postikortin kääntöpuolella oleva väite on totta." Kortin kääntäminen paljastaa lauseen "Toisella puolella oleva lausunto on väärä." Kuten ymmärrät, siinä on ristiriita: jos ensimmäinen väite on tosi, niin toinen on myös tosi, mutta tässä tapauksessa ensimmäisen on oltava epätosi. Jos postikortin ensimmäinen puoli on epätosi, ei myöskään toisen lausetta voida pitää totta, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen väite tulee jälleen todeksi ... Vielä mielenkiintoisempi versio valehtelijan paradoksista on seuraavassa kappaleessa.

5. Sofismi "krokotiili"

Äiti lapsen kanssa seisoo joen rannalla, yhtäkkiä krokotiili ui heidän luokseen ja vetää lapsen veteen. Lohduton äiti pyytää palauttamaan lapsensa, johon krokotiili vastaa, että hän suostuu palauttamaan hänet terveenä, jos nainen vastaa oikein hänen kysymykseensä: "Palauttaako hän lapsensa?" On selvää, että naisella on kaksi vastausta - kyllä ​​tai ei. Jos hän väittää, että krokotiili antaa hänelle lapsen, kaikki riippuu eläimestä - koska vastaus on totta, sieppaaja päästää lapsen menemään, mutta jos hän sanoo, että äiti erehtyi, hän ei näe lapsi, kaikkien sopimuksen sääntöjen mukaisesti.

© Corax of Syracuse

Naisen kielteinen vastaus mutkistaa asiaa huomattavasti - jos se osoittautuu todeksi, kidnappaajan on täytettävä kaupan ehdot ja vapautettava lapsi, mutta näin äidin vastaus ei vastaa todellisuutta. Tällaisen vastauksen virheellisyyden varmistamiseksi krokotiilin on palautettava lapsi äidille, mutta tämä on sopimuksen vastaista, koska hänen virheensä pitäisi jättää lapsi krokotiilin kanssa.

On syytä huomata, että krokotiilin tarjoama sopimus sisältää loogisen ristiriidan, joten hänen lupauksensa on mahdoton toteuttaa. Puhuja, ajattelija ja poliitikko Corax of Syracuse, joka asui 5. vuosisadalla eKr., pidetään tämän klassisen sofismin kirjoittajana.

6. Aporia "Dikotomia"

© www.student31.ru

Toinen paradoksi Zenon Eleasta, joka osoittaa idealisoidun matemaattisen liikemallin virheellisyyden. Ongelma voidaan ilmaista näin – oletetaan, että lähdit kulkemaan jonkin kaupungin kadun läpi alusta loppuun. Tätä varten sinun on voitettava sen ensimmäinen puolisko, sitten puolet jäljellä olevasta puoliskosta, sitten puolet seuraavasta segmentistä ja niin edelleen. Toisin sanoen - kävelet puolet koko matkasta, sitten neljänneksen, yhden kahdeksasosan, yhden kuudestoista - polun pienenevien osien määrällä on taipumus äärettömään, koska mikä tahansa jäljellä oleva osa voidaan jakaa kahteen, mikä tarkoittaa, että on mahdotonta mennä koko matkan. Ensi silmäyksellä hieman kaukaa haetun paradoksin muotoilemalla Zeno halusi osoittaa, että matemaattiset lait ovat ristiriidassa todellisuuden kanssa, koska itse asiassa voit helposti kattaa koko matkan ilman jälkiä.

7. Aporia "lentävä nuoli"

Kuuluisa Zenon Elea paradoksi koskettaa syvimpiä ristiriitoja tutkijoiden käsityksissä liikkeen ja ajan luonteesta. Aporia on muotoiltu seuraavasti: jousesta ammuttu nuoli pysyy liikkumattomana, koska se lepää milloin tahansa liikkumatta. Jos nuoli on joka hetki levossa, niin se on aina levossa eikä liiku ollenkaan, koska ei ole olemassa hetkeä, jolloin nuoli liikkuu avaruudessa.

© www.academic.ru

Ihmiskunnan upeat mielet ovat yrittäneet vuosisatojen ajan ratkaista lentävän nuolen paradoksin, mutta loogiselta kannalta se on täysin oikein. Sen kumoamiseksi on tarpeen selittää, kuinka äärellinen aikaväli voi koostua äärettömästä määrästä ajan hetkiä - jopa Aristoteles, joka arvosteli vakuuttavasti Zenonin aporiaa, ei pystynyt todistamaan tätä. Aristoteles huomautti perustellusti, että ajanjaksoa ei voida pitää joidenkin jakamattomien yksittäisten hetkien summana, mutta monet tutkijat uskovat, että hänen lähestymistapansa ei eroa syvyydestä eikä kiistä paradoksin olemassaoloa. On syytä huomata, että esittämällä lentävän nuolen ongelman Zeno ei pyrkinyt kumoamaan liikkeen mahdollisuutta sinänsä, vaan paljastamaan ristiriitoja idealistisissa matemaattisissa käsitteissä.

8. Galileon paradoksi

Galileo Galilei / © Wikimedia

Keskusteluissaan ja matemaattisissa todisteissaan kahdesta uudesta tieteenalasta Galileo Galilei ehdotti paradoksia, joka osoittaa äärettömien joukkojen omituiset ominaisuudet. Tiedemies muotoili kaksi ristiriitaista tuomiota. Ensinnäkin on lukuja, jotka ovat muiden kokonaislukujen neliöitä, kuten 1, 9, 16, 25, 36 ja niin edelleen. On muitakin numeroita, joilla ei ole tätä ominaisuutta - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 ja vastaavat. Siten täydellisten neliöiden ja tavallisten lukujen kokonaismäärän on oltava suurempi kuin täydellisten neliöiden lukumäärä yksinään. Toinen tuomio: jokaiselle luonnolliselle luvulle on sen tarkka neliö ja jokaisella neliöllä on kokonaisluvun neliöjuuri, eli neliöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin luonnollisten lukujen lukumäärä.

Tämän ristiriidan perusteella Galileo päätteli, että päättelyä elementtien lukumäärästä sovelletaan vain äärellisiin joukkoihin, vaikka myöhemmin matemaatikot ottivat käyttöön käsitteen joukon potenssi - sen avulla todistettiin Galileon toisen tuomion oikeellisuus myös äärettömille joukoille. .

9. Perunasäkkiparadoksi

© nieidealne-danie.blogspot.com

Oletetaan, että tietyllä viljelijällä on pussillinen perunaa, joka painaa tasan 100 kg. Sen sisällön tutkittuaan viljelijä huomaa, että pussia on säilytetty kosteassa - 99 % sen massasta on vettä ja 1 % muista perunan sisältämistä aineista. Hän päättää kuivata perunoita hieman, jotta niiden vesipitoisuus putoaa 98 prosenttiin ja siirtää pussin kuivaan paikkaan. Seuraavana päivänä käy ilmi, että litra (1 kg) vettä on todella haihtunut, mutta pussin paino on pudonnut 100 kilosta 50 kiloon, miten tämä voi olla? Lasketaan - 99% 100 kg:sta on 99 kg, mikä tarkoittaa, että kuivan jäännöksen massan ja veden massan suhde oli alun perin 1/99. Kuivauksen jälkeen vesi sisältää 98 % pussin kokonaismassasta, mikä tarkoittaa, että kuivan jäännöksen massan suhde veden massaan on nyt 1/49. Koska jäännöksen massa ei ole muuttunut, jäljellä oleva vesi painaa 49 kg.

Tietenkin tarkkaavainen lukija havaitsee laskelmissa välittömästi karkean matemaattisen virheen - kuvitteellista koomista "perunasäkin paradoksia" voidaan pitää erinomaisena esimerkkinä siitä, kuinka ensi silmäyksellä käytetään "loogista" ja "tieteellisesti tuettua" perustelut, voit kirjaimellisesti rakentaa teorian tyhjästä, joka on ristiriidassa terveen järjen kanssa.

10 Korpin paradoksi

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Ongelma tunnetaan myös Hempelin paradoksina - se sai toisen nimensä saksalaisen matemaatikon Carl Gustav Hempelin, klassisen versionsa kirjoittajan, kunniaksi. Ongelma on muotoiltu yksinkertaisesti: jokainen korppi on musta. Tästä seuraa, että mikään, mikä ei ole mustaa, ei voi olla korppia. Tätä lakia kutsutaan loogiseksi vastalauseeksi, eli jos tietyllä premissillä "A" on seuraus "B", niin "B":n negaatio vastaa "A":n negaatiota. Jos henkilö näkee mustan korpin, tämä vahvistaa hänen uskomustaan, että kaikki korpit ovat mustia, mikä on varsin loogista, mutta ristiriidan ja induktioperiaatteen mukaisesti on loogista väittää, että ei-mustien esineiden havainnointi (sanoa , punaiset omenat) todistaa myös, että kaikki variset on maalattu mustiksi. Toisin sanoen se, että henkilö asuu Pietarissa, osoittaa, ettei hän asu Moskovassa.

Logiikan näkökulmasta paradoksi näyttää täydelliseltä, mutta se on ristiriidassa todellisen elämän kanssa - punaiset omenat eivät millään tavalla voi vahvistaa sitä tosiasiaa, että kaikki variset ovat mustia.

Täällä meillä oli jo valikoima paradokseja mukanasi - sekä erityisesti ja Alkuperäinen artikkeli on verkkosivustolla InfoGlaz.rf Linkki artikkeliin, josta tämä kopio on tehty -

Tiedetään, että ongelman muotoileminen on usein tärkeämpää ja vaikeampaa kuin sen ratkaiseminen. "Tieteessä", kirjoitti englantilainen kemisti F. Soddy, "oikein esitetty ongelma on yli puolet ratkaistu. Henkinen valmistautumisprosessi, joka tarvitaan tietyn tehtävän selvittämiseen, vie usein enemmän aikaa kuin itse tehtävä.

Ongelmatilanteen ilmenemis- ja toteutusmuodot ovat hyvin erilaisia. Ei suinkaan aina, se paljastaa itsensä suorana kysymyksenä, joka nousi esiin tutkimuksen alussa. Ongelmamaailma on yhtä monimutkainen kuin niitä synnyttävä kognitioprosessi. Ongelmien tunnistaminen on luovan ajattelun ydin. Paradoksit ovat mielenkiintoisin tapaus implisiittisistä, kysymättömistä tavoista esittää ongelmia. Paradoksit ovat yleisiä tieteellisten teorioiden kehityksen alkuvaiheessa, kun vielä tutkimattomalla alueella ollaan ottamassa ensimmäiset askeleet ja haparoidaan sen yleisimpiä lähestymisperiaatteita.

Paradokseja ja logiikkaa

Laajassa mielessä paradoksi on kanta, joka poikkeaa jyrkästi yleisesti hyväksytyistä, vakiintuneista, ortodoksisista mielipiteistä. "Yleisesti hyväksytyt mielipiteet ja se, mitä pidetään jo kauan sitten päätetynä asiana, ansaitsevat useimmiten tutkimuksen" (G. Lichtenberg). Paradoksi on tällaisen tutkimuksen alku.

Paradoksi suppeammassa ja erikoisemmassa mielessä on kaksi vastakkaista, yhteensopimatonta väitettä, joille jokaiselle on näennäisesti vakuuttavia argumentteja.

Paradoksin terävin muoto on antinomia, päättely, joka todistaa kahden väitteen ekvivalenssin, joista toinen on toisen kieltäminen.

Paradoksit ovat erityisen kuuluisia tiukimmissa ja tarkimmissa tieteissä - matematiikassa ja logiikassa. Eikä tämä ole sattumaa.

Logiikka on abstrakti tiede. Siinä ei ole kokeita, ei edes faktoja sanan tavallisessa merkityksessä. Järjestelmiään rakentaessaan logiikka lähtee viime kädessä todellisen ajattelun analyysistä. Mutta tämän analyysin tulokset ovat synteettisiä, erottumattomia. Ne eivät ole lausuntoja mistään erillisistä prosesseista tai tapahtumista, jotka teorian pitäisi selittää. Sellaista analyysiä ei tietenkään voida kutsua havainnoksi: aina havaitaan konkreettinen ilmiö.

Uutta teoriaa rakentaessaan tiedemies lähtee yleensä faktoista, siitä, mitä kokeessa voidaan havaita. Olipa hänen luova mielikuvituksensa kuinka vapaa tahansa, sen on otettava huomioon yksi välttämätön seikka: teorialla on järkeä vain, jos se on yhtä mieltä siihen liittyvien tosiasioiden kanssa. Teoria, joka on eri mieltä tosiasioiden ja havaintojen kanssa, on kaukaa haettu eikä sillä ole arvoa.

Mutta jos ei ole logiikan kokeita, ei tosiasioita eikä itse havainnointia, mikä sitten estää loogista fantasiaa? Mitkä tekijät, elleivät tosiasiat, otetaan huomioon luotaessa uusia loogisia teorioita?

Loogisen teorian ja todellisen ajattelun käytännön välinen ristiriita paljastuu usein enemmän tai vähemmän akuutin loogisen paradoksina ja joskus jopa loogisen antinomian muodossa, joka puhuu teorian sisäisestä epäjohdonmukaisuudesta. Tämä vain selittää sen tärkeyden, jota paradokseihin kiinnitetään logiikassa, ja suuren huomion, jota he nauttivat siinä.

Vaihtoehdot "Valehtelijan" paradoksista

Tunnetuin ja ehkä mielenkiintoisin kaikista loogisista paradokseista on valehtelijan paradoksi. Hän, joka ylisti Eubulideksen nimeä Miletosta, löysi sen.

Tästä paradoksista tai antinomiasta on muunnelmia, joista monet ovat vain näennäisesti paradoksaalisia.

"Valehtelijan" yksinkertaisimmassa versiossa ihminen sanoo vain yhden lauseen: "Valehtelen". Tai hän sanoo: "Nyt esittämäni lausunto on väärä." Tai: "Tämä väite on väärä."

Jos väite on väärä, puhuja kertoi totuuden, ja siksi hänen sanomansa ei ole valhetta. Jos väite ei ole väärä ja puhuja väittää sen olevan väärä, tämä väite on väärä. Näin ollen käy ilmi, että jos puhuja valehtelee, hän puhuu totta ja päinvastoin.

Keskiajalla seuraava sanamuoto oli yleinen:

"Se mitä Platon sanoi, on valhetta", sanoo Sokrates.

"Se, mitä Sokrates sanoi, on totuus", sanoo Platon.

Herää kysymys, mikä niistä ilmaisee totuuden ja mikä on valhetta?

Ja tässä on tämän paradoksin moderni paradoksi. Oletetaan, että kortin etupuolelle on kirjoitettu vain sanat: "Tämän kortin toiselle puolelle on kirjoitettu tosi lausunto." On selvää, että nämä sanat edustavat merkityksellistä lausuntoa. Kääntämällä korttia meidän on joko löydettävä luvattu lausunto tai sitä ei ole siellä. Jos se on kirjoitettu takapuolelle, se on joko totta tai ei. Takana on kuitenkin sanat: "Tämän kortin toiselle puolelle on kirjoitettu väärä lausunto" - eikä mitään muuta. Oletetaan, että etupuolella oleva väite on totta. Silloin kääntöpuolella olevan väitteen on oltava tosi, ja siksi edessä olevan väitteen on oltava epätosi. Mutta jos edessä oleva väite on epätosi, niin myös takana olevan väitteen on oltava väärä, ja siksi edessä olevan väitteen on oltava tosi. Tuloksena on paradoksi.

Valehtelijan paradoksi teki suuren vaikutuksen kreikkalaisiin. Ja on helppo nähdä miksi. Sen esittämä kysymys näyttää ensi silmäyksellä varsin yksinkertaiselta: valehteleeko se, joka sanoo vain, että hän valehtelee? Mutta vastaus "kyllä" johtaa vastaukseen "ei" ja päinvastoin. Ja pohdiskelu ei selvennä tilannetta ollenkaan. Kysymyksen yksinkertaisuuden ja tasaisen rutiinin takana se paljastaa jonkin verran epämääräistä ja mittaamatonta syvyyttä.

On jopa legenda, että tietty Filit Kossky, joka halusi epätoivoisesti ratkaista tämän paradoksin, teki itsemurhan. Sanotaan myös, että yksi kuuluisista antiikin kreikkalaisista loogikoista, Diodorus Kronos, vannoi jo taantuvana vuotenaan, että hän ei syö, ennen kuin hän löysi ratkaisun "valehtelijasta", ja kuoli pian saavuttamatta mitään.

Keskiajalla tätä paradoksia kutsuttiin niin sanotuiksi ratkaisemattomiksi lauseiksi ja siitä tuli systemaattisen analyysin kohde.

Nykyaikana "valehtelija" ei kiinnittänyt huomiota pitkään aikaan. He eivät nähneet kielen käytössä mitään, edes vähäisiä, vaikeuksia. Ja vasta meidän ns. nykyaikanamme logiikan kehitys saavutti vihdoin tason, jolloin tämän paradoksin takana näyttävät ongelmat tulivat tiukasti muotoiltua.

Nykyään "valehtelijaa" - tätä tyypillistä entistä sofismia - kutsutaan usein loogisten paradoksien kuninkaaksi. Hänelle on omistettu laaja tieteellinen kirjallisuus. Ja silti, kuten monien muiden paradoksien tapauksessa, ei ole täysin selvää, mitkä ongelmat ovat sen takana ja miten niistä päästään eroon.

Kieli ja metakieli

Nyt "Valehtelijaa" pidetään yleensä tyypillisenä esimerkkinä vaikeuksista, joihin kahden kielen sekaannus johtaa: kielen, jolla puhutaan sen ulkopuolella olevasta todellisuudesta, ja kielestä, jolla puhutaan ensimmäinen kieli.

Arkikielessä näiden tasojen välillä ei ole eroa: puhumme samaa kieltä todellisuudesta ja kielestä. Esimerkiksi henkilö, jonka äidinkieli on venäjä, ei näe suurta eroa väitteiden välillä: "Lasi on läpinäkyvää" ja "On totta, että lasi on läpinäkyvää", vaikka yksi niistä puhuu lasista ja toinen väittämästä lasi.

Jos jollakulla olisi ajatus tarpeesta puhua maailmasta yhdellä kielellä ja tämän kielen ominaisuuksista toisella, hän voisi käyttää kahta eri olemassa olevaa kieltä, vaikkapa venäjää ja englantia. Sen sijaan, että sanoisin vain "lehmä on substantiivi", sanoisin "lehmä on substantiivi" ja "väite "lasi ei ole läpinäkyvä" on väärä" sijaan sanoisin "väite "lasi ei ole läpinäkyvä" on väärä. ". Tällä kahden eri kielen käytöllä se, mitä sanotaan maailmasta, eroaisi selvästi siitä, mitä sanotaan kielestä, jolla puhutaan maailmasta. Itse asiassa ensimmäiset lausunnot viittaavat venäjän kieleen, kun taas toiset viittaavat englannin kieleen.

Jos kieliasiantuntijamme haluaisi vielä puhua joistakin jo englannin kieltä koskevista olosuhteista, hän voisi käyttää toista kieltä. Sanotaan vaikka saksaksi. Puhuttaessa tästä jälkimmäisestä voitaisiin turvautua, sanokaamme, espanjan kieleen ja niin edelleen.

Tästä syystä muodostuu eräänlainen kielten tikkaat tai hierarkia, joista jokaista käytetään tiettyyn tarkoitukseen: ensimmäisessä puhutaan objektiivisesta maailmasta, toisessa - tästä ensimmäisestä kielestä, kolmas - toisesta kielestä jne. Tällainen ero kielten välillä niiden käyttöalueen mukaan on harvinainen arkielämässä. Mutta tieteissä, jotka, kuten logiikka, käsittelevät erityisesti kieliä, se osoittautuu joskus erittäin hyödylliseksi. Maailmasta puhumiseen käytettyä kieltä kutsutaan yleensä objektikieleksi. Aiheen kielen kuvaamiseen käytettyä kieltä kutsutaan metakieleksi.

On selvää, että jos kieli ja metakieli rajataan tällä tavalla, lausetta "valehtelen" ei voida enää muotoilla. Se puhuu venäjäksi sanotun virheellisyydestä ja kuuluu siksi metakieleen ja on ilmaistava englanniksi. Tarkemmin sanottuna sen pitäisi kuulostaa tältä: "Kaikki, mitä puhun venäjäksi, on valhetta" ("Kaikki, mitä sanon venäjäksi on false"); tämä englanninkielinen lausunto ei kerro itsestään mitään, eikä paradoksia synny.

Ero kielen ja metakielen välillä tekee mahdolliseksi eliminoida "valehtelijan" paradoksin. Siten on mahdollista määritellä oikein, ilman ristiriitaa klassinen totuuskäsite: väite on totta, joka vastaa kuvaamaansa todellisuutta.

Totuuden käsitteellä, kuten kaikilla muilla semanttisilla käsitteillä, on suhteellinen luonne: se voidaan aina lukea tietyn kielen ansioksi.

Kuten puolalainen logiikka A. Tarski osoitti, totuuden klassinen määritelmä tulisi muotoilla kielellä, joka on laajempi kuin se kieli, jolle se on tarkoitettu. Toisin sanoen, jos haluamme osoittaa, mitä ilmaisu "lausunto tietyllä kielellä tosi" tarkoittaa, meidän on tämän kielen ilmaisujen lisäksi käytettävä myös ilmaisuja, joita siinä ei ole.

Tarski esitteli semanttisesti suljetun kielen käsitteen. Tällainen kieli sisältää ilmaisujensa lisäksi niiden nimet sekä, mikä on tärkeää korostaa, lausunnot siinä muotoiltujen lauseiden totuudesta.

Kielen ja metakielen välillä ei ole rajaa semanttisesti suljetussa kielessä. Sen keinot ovat niin rikkaat, että niiden avulla ei vain voida väittää jotain ekstralingvistisesta todellisuudesta, vaan myös arvioida tällaisten lausuntojen totuutta. Nämä keinot riittävät erityisesti toistamaan antinomian "valehtelija" kielessä. Semanttisesti suljettu kieli osoittautuu siten ristiriitaiseksi. Jokainen luonnollinen kieli on ilmeisesti semanttisesti suljettu.

Tarskin mukaan ainoa hyväksyttävä tapa eliminoida antinomia ja siten sisäinen epäjohdonmukaisuus on luopua semanttisesti suljetun kielen käytöstä. Tämä polku on tietysti hyväksyttävä vain keinotekoisilla, formalisoiduilla kielillä, jotka mahdollistavat selkeän jaon kieleen ja metakieleen. Luonnollisissa kielissä, niiden epäselvä rakenne ja kyky puhua kaikesta samalla kielellä, tämä lähestymistapa ei ole kovin realistinen. Ei ole mitään järkeä pohtia kysymystä näiden kielten sisäisestä johdonmukaisuudesta. Niiden runsailla ilmaisumahdollisuuksilla on myös varjopuolensa - paradokseja.

Muita ratkaisuja paradoksiin

Joten on lausuntoja, jotka puhuvat omasta totuudestaan ​​tai valheellisuudestaan. Ajatus siitä, että tällaiset lausunnot eivät ole merkityksellisiä, on hyvin vanha. Sitä puolusti antiikin kreikkalainen loogikko Chrysippus.

Keskiajalla englantilainen filosofi ja loogikko W. Ockham totesi, että väite ”Jokainen väite on väärä” on merkityksetön, koska se puhuu muun muassa omasta valheellisuudestaan. Tästä väitteestä seuraa suoraan ristiriita. Jos jokainen lause on epätosi, niin on myös itse ehdotus; mutta se, että se on väärä, tarkoittaa, että kaikki väitteet eivät ole vääriä. Tilanne on samanlainen väitteen "Jokainen väite on totta" kanssa. Se on myös luokiteltava merkityksettömäksi ja johtaa myös ristiriitaan: jos jokainen väite on totta, niin myös tämän väitteen negaatio on totta, eli väite, että kaikki väitteet eivät ole tosia.

Miksi väite ei kuitenkaan voi puhua mielekkäästi omasta totuudestaan ​​tai valheellisuudestaan?

Ockhamin, 1400-luvun ranskalaisen filosofin, aikalainen. J. Buridan ei ollut samaa mieltä hänen päätöksestään. Tavallisten merkityksettömyyttä koskevien käsitysten näkökulmasta ilmaukset, kuten "valehtelen", "Jokainen väite on totta (epätosi)" jne. varsin merkityksellistä. Mitä voit ajatella, mitä voit sanoa - tämä on Buridanin yleinen periaate. Ihminen voi ajatella lausumansa totuutta, mikä tarkoittaa, että hän voi puhua siitä. Kaikki väitteet itsestään eivät ole merkityksettömiä. Esimerkiksi väite "Tämä lause on kirjoitettu venäjäksi" on tosi, mutta väite "Tässä lauseessa on kymmenen sanaa" on väärä. Ja molemmat ovat täysin järkeviä. Jos myönnetään, että väite voi puhua itsestään, niin miksi se ei kykene puhumaan mielekkäästi sellaisesta itsensä ominaisuudesta kuin totuus?

Buridan itse piti väitettä "valehtelen" merkityksettömänä, vaan vääränä. Hän perusteli asian näin. Kun henkilö vahvistaa väitteen, hän siten väittää, että se on totta. Jos lause sanoo itsestään, että se on itse väärä, se on vain lyhennetty muoto monimutkaisemmasta ilmaisusta, joka väittää sekä sen totuuden että väärän. Tämä ilmaus on ristiriitainen ja siksi väärä. Mutta se ei ole mitenkään merkityksetöntä.

Buridanin väitettä pidetään joskus edelleen vakuuttavana.

Tarskin yksityiskohtaisesti kehittämää "valehtelijan" paradoksin ratkaisua kritisoidaan muitakin linjoja. Eikö tämän tyyppisille paradokseille todellakaan ole vastalääkettä semanttisesti suljetuissa kielissä – ja kaikki luonnolliset kielet ovat loppujen lopuksi?

Jos näin olisi, totuuden käsite voitaisiin määritellä tiukasti vain formalisoiduissa kielissä. Vain niissä voidaan erottaa objektiivinen kieli, jolla ihmiset puhuvat ympäröivästä maailmasta, ja metakieli, jolla he puhuvat tästä kielestä. Tämä kielihierarkia perustuu vieraan kielen oppimiseen äidinkielen avulla. Tällaisen hierarkian tutkiminen johti moniin mielenkiintoisiin päätelmiin, ja joissain tapauksissa se on välttämätöntä. Mutta sitä ei ole olemassa luonnollisella kielellä. Häpäiseekö se häntä? Ja jos on, niin missä määrin? Loppujen lopuksi totuuden käsitettä käytetään siinä edelleen, ja yleensä ilman komplikaatioita. Onko hierarkian käyttöönotto ainoa tapa eliminoida valehtelijan kaltaiset paradoksit?

1930-luvulla vastaukset näihin kysymyksiin näyttivät epäilemättä myöntäviltä. Nykyään ei kuitenkaan ole olemassa aikaisempaa yksimielisyyttä, vaikka perinne tämäntyyppisten paradoksien poistamisesta kielen "kerrostamalla" pysyy hallitsevana.

Viime aikoina itsekeskeiset ilmaisut ovat herättäneet yhä enemmän huomiota. Ne sisältävät sanoja kuten "minä", "tämä", "tässä", "nyt", ja niiden totuus riippuu siitä, milloin, kuka ja missä niitä käytetään.

Lausunnossa "Tämä väite on väärä" esiintyy sana "tämä". Mihin objektiin se viittaa? "Valehtelija" voi tarkoittaa, että sana "se" ei viittaa annetun lausunnon merkitykseen. Mutta mihin se sitten viittaa, mitä se tarkoittaa? Ja miksi tätä merkitystä ei voi silti merkitä sanalla "tämä"?

Yksityiskohtiin menemättä tässä on vain huomionarvoista, että itsekeskeisten ilmaisujen analyysin yhteydessä "Valehtelija" täyttyy täysin erilaisella sisällöllä kuin ennen. Osoittautuu, että hän ei enää varoita kielen ja metakielen sekaannuksesta, vaan huomauttaa vaaroista, jotka liittyvät sanan "tämä" ja vastaavien itsekeskeisten sanojen väärinkäyttöön.

"Valehtelijaan" vuosisatojen ajan liittyneet kysymykset ovat muuttuneet radikaalisti sen mukaan, onko se nähty esimerkkinä monitulkintaisuudesta vai ilmaisuna, joka esitettiin ulospäin esimerkkinä kielen ja metakielen sekoituksesta, vai lopuksi tyypillinen esimerkki itsekeskisten ilmaisujen väärinkäytöstä. Eikä ole varmuutta siitä, ettei tähän paradoksiin liity muita ongelmia tulevaisuudessa.

Tunnettu nykysuomalainen logiikka ja filosofi H. von Wright kirjoitti teoksessaan Valehtelijasta, että tätä paradoksia ei missään nimessä pidä ymmärtää paikallisena, eristettynä esteenä, joka voidaan poistaa yhdellä kekseliäällä ajatuksen liikkeellä. Liar käsittelee monia tärkeimpiä logiikan ja semantiikan aiheita. Tämä on totuuden määritelmä ja ristiriidan ja todisteiden tulkinta sekä joukko tärkeitä eroja: lauseen ja sen ilmaiseman ajatuksen välillä, ilmaisun käytön ja sen mainitsemisen välillä, nimen merkityksen ja sen osoittama kohde.

Tilanne on samanlainen muiden loogisten paradoksien kanssa. "Logiikan antinomiat", kirjoittaa von Wright, "ovat hämmentäneet meitä niiden löytämisestä lähtien ja tulevat luultavasti aina hämmentämään meitä. Mielestäni meidän ei pitäisi nähdä niitä niinkään ratkaisua odottavina ongelmina, vaan ajattelun ehtymättömänä raaka-aineena. Ne ovat tärkeitä, koska niiden ajatteleminen koskettaa kaiken logiikan ja siten kaiken ajattelun perustavanlaatuisimpia kysymyksiä."

Tämän "valehtajaa" koskevan keskustelun päätteeksi voimme muistaa omituisen jakson ajalta, jolloin muodollista logiikkaa opetettiin vielä koulussa. 1940-luvun lopulla julkaistussa logiikkaoppikirjassa kahdeksannen luokan oppilaita pyydettiin kotitehtävänä - niin sanotusti lämmittelynä - löytääkseen virheen, joka tehtiin tässä yksinkertaisen näköisessä lausunnossa: "Valehtelen". Ja älkää antako näyttää oudolta, uskottiin, että suurin osa koululaisista selviytyi onnistuneesti tällaisesta tehtävästä.

2. Russellin paradoksi

Tunnetuin jo vuosisadallamme löydetyistä paradokseista on B. Russellin löytämä antinomia, jonka hän välitti kirjeessään G. Fergelle. Samaa antinomiaa keskustelivat Göttingenissä samanaikaisesti saksalaiset matemaatikot Z. Zermelo ja D. Hilbert.

Ajatus oli ilmassa, ja sen julkaisu teki vaikutelman räjähtävästä pommista. Tämä paradoksi aiheutti matematiikassa Hilbertin mukaan täydellisen katastrofin vaikutuksen. Yksinkertaisimmat ja tärkeimmät loogiset menetelmät, yleisimmät ja hyödyllisimmät käsitteet ovat uhattuna.

Välittömästi kävi selväksi, ettei logiikassa eikä matematiikassa koko olemassaolonsa pitkän historian aikana ollut päättäväisesti kehitetty mitään, mikä voisi toimia perustana antinomian poistamiselle. On selvää, että poikkeaminen tavanomaisista ajattelutavoista oli välttämätöntä. Mutta mistä ja mihin suuntaan? Kuinka radikaalia vakiintuneiden teoretisointitapojen hylkäämisen piti olla?

Antinomian lisätutkimuksen myötä vakaumus perustavanlaatuisen uuden lähestymistavan tarpeesta kasvoi tasaisesti. Puoli vuosisataa sen löytämisen jälkeen logiikan ja matematiikan perusteiden asiantuntijat L. Frenkel ja I. Bar-Hillel totesivat jo varauksetta: , toistaiseksi poikkeuksetta epäonnistuneet, ovat ilmeisen riittämättömiä tähän tarkoitukseen.

Moderni amerikkalainen loogikko H. Curry kirjoitti tästä paradoksista hieman myöhemmin: ”1800-luvulla tunnetun logiikan kannalta tilanne yksinkertaisesti uhmasi selitystä, vaikka tietysti meidän koulutetussa iässämme saattaa olla ihmisiä, jotka näkevät (tai luulevat näkevänsä ), mikä on virhe?

Russellin paradoksi alkuperäisessä muodossaan liittyy käsitteeseen joukko eli luokka.

Voimme puhua eri objektien joukoista, esimerkiksi kaikkien ihmisten joukosta tai luonnollisten lukujen joukosta. Ensimmäisen joukon elementti on mikä tahansa yksittäinen henkilö, toisen elementti - jokainen luonnollinen luku. On myös mahdollista pitää joukkoja itseään joinakin objekteina ja puhua joukkojoukoista. Voidaan jopa ottaa käyttöön sellaisia ​​käsitteitä kuin kaikkien joukkojen joukko tai kaikkien käsitteiden joukko.

Sarja tavallisia sarjoja

Minkä tahansa mielivaltaisesti otetun joukon osalta näyttää järkevältä kysyä, onko se oma elementti vai ei. Joukkoja, jotka eivät sisällä itseään elementtinä, kutsutaan tavallisiksi. Esimerkiksi kaikkien ihmisten joukko ei ole henkilö, kuten atomien joukko ei ole atomi. Sarjat, jotka ovat asianmukaisia ​​elementtejä, ovat epätavallisia. Esimerkiksi joukko, joka yhdistää kaikki joukot, on joukko ja sisältää siksi itsensä elementtinä.

Harkitse nyt kaikkien tavallisten joukkojen joukkoa. Koska kyseessä on sarja, siitä voi myös kysyä, onko se tavallinen vai epätavallinen. Vastaus on kuitenkin masentava. Jos se on tavallinen, niin sen täytyy määritelmän mukaan sisältää itsensä elementtinä, koska se sisältää kaikki tavalliset joukot. Mutta tämä tarkoittaa, että se on epätavallinen sarja. Oletus, että joukkomme on tavallinen joukko, johtaa siis ristiriitaan. Eli ei voi olla normaalia. Toisaalta se ei voi olla myöskään epätavallinen: epätavallinen joukko sisältää itsensä elementtinä, ja joukkomme elementit ovat vain tavallisia joukkoja. Tämän seurauksena tulemme siihen tulokseen, että kaikkien tavallisten joukkojen joukko ei voi olla tavallinen tai satunnainen.

Siten joukko joukkoja, jotka eivät ole oikeita alkioita, on oikea alkio, jos ja vain jos se ei ole sellainen alkio. Tämä on selvä ristiriita. Ja se saatiin todennäköisimpien oletusten pohjalta ja näennäisen kiistattomien askeleiden avulla.

Ristiriita sanoo, että tällaista joukkoa ei yksinkertaisesti ole olemassa. Mutta miksi sitä ei voi olla olemassa? Loppujen lopuksi se koostuu objekteista, jotka täyttävät hyvin määritellyn ehdon, eikä itse ehto näytä olevan jotenkin poikkeuksellinen tai epäselvä. Jos näin yksinkertaisesti ja selkeästi määriteltyä joukkoa ei voi olla olemassa, mitä eroa mahdollisten ja mahdottomien joukkojen välillä on? Johtopäätös tarkasteltavan sarjan olemattomuudesta kuulostaa odottamattomalta ja herättää ahdistusta. Se tekee yleiskäsityksestämme joukkoa amorfisen ja kaoottisen, eikä ole mitään takeita siitä, etteikö se voisi aiheuttaa uusia paradokseja.

Russellin paradoksi on merkittävä sen äärimmäisen yleisyyden vuoksi. Sen rakentamiseen ei tarvita monimutkaisia ​​teknisiä käsitteitä, kuten joidenkin muiden paradoksien tapauksessa käsitteet "joukko" ja "joukon elementti" riittävät. Mutta tämä yksinkertaisuus vain puhuu sen perustavanlaatuisesta luonteesta: se koskettaa joukkoja koskevan päättelymme syvimpiä perusteita, koska se ei puhu joistakin erikoistapauksista, vaan joukoista yleensä.

Muita paradoksin muunnelmia

Russellin paradoksi ei ole erityisesti matemaattinen. Se käyttää joukon käsitettä, mutta ei koske erityisiin matematiikkaan liittyviä ominaisuuksia.

Tämä käy ilmi, kun paradoksi muotoillaan uudelleen puhtaasti loogisesti.

Jokaisesta ominaisuudesta voidaan mitä todennäköisimmin kysyä, sopiiko se itseensä vai ei.

Esimerkiksi ominaisuus olla kuuma ei koske itseään, koska se ei ole itse kuuma; ominaisuus olla konkreettinen ei myöskään viittaa itseensä, sillä se on abstrakti ominaisuus. Mutta ominaisuus olla abstraktia, olla abstraktia, pätee itseensä. Kutsukaamme näitä itseensä soveltumattomia ominaisuuksia soveltumattomiksi. Päteekö ominaisuus olla soveltumaton itseensä? Osoittautuu, että soveltumattomuus on soveltumaton vain, jos se ei ole. Tämä on tietysti paradoksaalista.

Russellin antinomian looginen, omaisuuteen liittyvä muunnelma on yhtä paradoksaalinen kuin matemaattinen, joukkoon liittyvä variaatio.

Russell ehdotti myös seuraavaa suosittua versiota löytämästään paradoksista.

Kuvittele, että yhden kylän valtuusto määritteli parturin tehtävät seuraavasti: ajella kaikki kylän miehet, jotka eivät ajele, ja vain nämä miehet. Pitäisikö hänen ajella itsensä? Jos näin on, se viittaa niihin, jotka ajelevat itsensä, ja niihin, jotka ajelevat itsensä, hänen ei pitäisi ajaa parranajoa. Jos ei, hän kuuluu niille, jotka eivät ajele itseään, ja siksi hänen on ajettava itsensä. Näin ollen tulemme siihen johtopäätökseen, että tämä parturi ajelee itsensä silloin ja vain, jos hän ei ajele itseään. Tämä on tietysti mahdotonta.

Parturia koskeva väite perustuu olettamukseen, että tällainen parturi on olemassa. Tuloksena oleva ristiriita tarkoittaa, että tämä olettamus on väärä, eikä ole olemassa sellaista kyläläistä, joka ajelisi kaikki ne kyläläiset, jotka eivät ajele itseään.

Kampaajan tehtävät eivät vaikuta ensisilmäyksellä ristiriitaisilta, joten johtopäätös, ettei sellaista voi olla, kuulostaa jokseenkin odottamattomalta. Tämä johtopäätös ei kuitenkaan ole paradoksaalinen. Edellytys, jonka kylän parturi on täytettävä, on itse asiassa ristiriitainen ja siksi mahdoton. Kylässä ei voi olla sellaista kampaajaa samasta syystä, ettei kylässä ole henkilöä, joka olisi häntä vanhempi tai joka olisi syntynyt ennen syntymäänsä.

Väitettä kampaajasta voidaan kutsua pseudoparadoksiksi. Kurssiltaan se on tiukasti analoginen Russellin paradoksiin, ja juuri tämä tekee siitä mielenkiintoisen. Mutta se ei silti ole todellinen paradoksi.

Toinen esimerkki samasta pseudoparadoksista on hyvin tunnettu katalogiargumentti.

Tietty kirjasto päätti laatia bibliografisen luettelon, joka sisältäisi kaikki ne ja vain ne bibliografiset luettelot, joissa ei ole viittauksia itseensä. Pitäisikö tällaisessa hakemistossa olla linkki itseensä?

On helppo osoittaa, että ajatus tällaisen luettelon luomisesta ei ole toteutettavissa; se ei yksinkertaisesti voi olla olemassa, koska sen on samanaikaisesti sisällettävä viittaus itseensä eikä sisällytettävä.

On mielenkiintoista huomata, että kaikkien hakemistojen luettelointia, jotka eivät viittaa itseensä, voidaan pitää loputtomana, loputtomana prosessina. Oletetaan, että jossain vaiheessa käännettiin hakemisto, esimerkiksi K1, mukaan lukien kaikki muut hakemistot, jotka eivät sisällä viittauksia itseensä. K1:n luomisen yhteydessä ilmestyi toinen hakemisto, joka ei sisällä linkkiä itseensä. Koska tavoitteena on tehdä täydellinen luettelo kaikista hakemistoista, jotka eivät mainitse itseään, on selvää, että K1 ei ole ratkaisu. Hän ei mainitse yhtä näistä hakemistoista - itseään. Kun tämä maininta hänestä K1:ssä sisällytetään, saamme K2-luettelon. Siinä mainitaan K1, mutta ei itse K2. Lisäämällä tällaisen maininnan K2:een, saamme KZ:n, joka taas ei ole täydellinen, koska se ei mainitse itseään. Ja loputtomasti.

3. Grellingin ja Berryn paradoksit

Saksalaiset logiikot K. Grelling ja L. Nelson löysivät mielenkiintoisen loogisen paradoksin (Grellingin paradoksi). Tämä paradoksi voidaan muotoilla hyvin yksinkertaisesti.

Autologiset ja heterologiset sanat

Joillakin ominaisuuksia ilmaisevilla sanoilla on juuri se ominaisuus, jonka ne nimeävät. Esimerkiksi adjektiivi "venäläinen" on itsessään venäjä, "monitavuinen" on itse monitavuinen ja "viisitavuinen" itsessään sisältää viisi tavua. Sellaisia ​​itseensä viittaavia sanoja kutsutaan itsetarkoituksellisiksi tai autologisiksi.

Tällaisia ​​sanoja ei ole niin paljon, suurimmalla osalla adjektiiveja ei ole ominaisuuksia, joita ne nimeävät. "New" ei tietenkään ole uutta, "hot" on kuuma, "one-sylable" on yksitavuinen ja "englanti" on englanti. Sanoja, joilla ei ole niiden kuvaamaa ominaisuutta, kutsutaan aliaksiksi tai heterologiksi. Ilmeisesti kaikki adjektiivit, jotka ilmaisevat ominaisuuksia, jotka eivät sovellu sanoihin, ovat heterologisia.

Tämä adjektiivien jako kahteen ryhmään vaikuttaa selkeältä ja vastustamattomalta. Se voidaan laajentaa substantiiviin: "sana" on sana, "substantiivi" on substantiivi, mutta "kello" ei ole kello ja "verbi" ei ole verbi.

Paradoksi syntyy heti, kun kysytään: kumpaan näistä kahdesta ryhmästä itse adjektiivi "heterologinen" kuuluu? Jos se on autologinen, sillä on sen määrittelemä ominaisuus ja sen on oltava heterologinen. Jos se on heterologinen, sillä ei ole ominaisuutta, jota se kutsuu, ja siksi sen on oltava autologinen. On olemassa paradoksi.

Analogisesti tämän paradoksin kanssa on helppo muotoilla muita saman rakenteen paradokseja. Onko esimerkiksi itsetuhoinen henkilö, joka tappaa jokaisen ei-itsemurhaan pyrkivän henkilön eikä tapa ketään itsemurhaa tekevää henkilöä?

Kävi ilmi, että Grelligin paradoksi tunnettiin keskiajalla sellaisen ilmaisun antinomiana, joka ei nimeä itseään. Voidaan kuvitella nykyajan asennetta sofismiin ja paradokseihin, jos vastausta vaatinut ja vilkasta keskustelua aiheuttanut ongelma yhtäkkiä unohdettiin ja löydettiin uudelleen vasta viisisataa vuotta myöhemmin!

Toisen, ulkoisesti yksinkertaisen antinomian osoitti aivan vuosisadamme alussa D. Berry.

Luonnollisten lukujen joukko on ääretön. Niiden näiden numeroiden nimien joukko, jotka ovat saatavilla esimerkiksi venäjän kielellä ja sisältävät alle esimerkiksi sata sanaa, on rajallinen. Tämä tarkoittaa, että on olemassa sellaisia ​​luonnollisia lukuja, joille ei ole venäjänkielisiä nimiä, jotka koostuvat alle sadasta sanasta. Näiden lukujen joukossa on selvästi pienin luku. Sitä ei voida kutsua venäläisellä ilmaisulla, joka sisältää alle sata sanaa. Mutta ilmaus: "Pienin luonnollinen luku, jolle sen monimutkaista nimeä ei ole olemassa venäjäksi, joka koostuu alle sadasta sanasta" on vain tämän luvun nimi! Tämä nimi on juuri muotoiltu venäjäksi ja sisältää vain 19 sanaa. Ilmeinen paradoksi: nimetty numero osoittautui sellaiseksi, jolle ei ole nimeä!

4. Ratkaisematon kiista

Erään kuuluisan paradoksin ytimessä on pieni tapaus, joka tapahtui yli kaksi tuhatta vuotta sitten ja jota ei ole unohdettu tähän päivään asti.

Kuuluisa sofisti Protagoras, joka asui 500-luvulla. eKr., siellä oli opiskelija nimeltä Euathlus, joka opiskeli lakia. Heidän välisen sopimuksensa mukaan Euathlus joutui maksamaan koulutuksesta vain, jos hän voittaisi ensimmäisen oikeusjutun. Jos hän häviää tämän prosessin, hän ei ole velvollinen maksamaan ollenkaan. Opintojensa päätyttyä Evatl ei kuitenkaan osallistunut prosesseihin. Se kesti melko pitkään, opettajan kärsivällisyys loppui ja hän nosti kanteen oppilaansa vastaan. Näin ollen Euathlusille tämä oli ensimmäinen oikeudenkäynti. Protagoras perusteli vaatimuksensa seuraavasti:

”Riippumatta tuomioistuimen päätöksestä, Euathlusin on maksettava minulle. Hän joko voittaa ensimmäisen oikeudenkäyntinsä tai häviää. Jos hän voittaa, hän maksaa sopimuksemme mukaisesti. Jos hän häviää, hän maksaa tämän päätöksen mukaisesti.

Ilmeisesti Euathlus oli pätevä oppilas, kuten hän vastasi Protagorasille:

- Todellakin, joko voitan prosessin tai häviän sen. Jos voitan, oikeuden päätös vapauttaa minut maksuvelvollisuudesta. Jos tuomioistuimen päätös ei ole minun eduni, hävisin ensimmäisen asiani enkä maksa sopimuksemme perusteella.

Ratkaisut Protagoraan ja Euathlusin paradoksiin

Asian tästä käänteestä hämmentyneenä Protagoras omisti tälle kiistalle Euathlusin kanssa erityisen esseen "Maksuoikeudenkäynti". Valitettavasti se, kuten suurin osa Protagoran kirjoittamista kirjoituksista, ei päässyt meille. Siitä huolimatta on kunnioitettava Protagorasta, joka aisti heti ongelman yksinkertaisen oikeudellisen tapahtuman takana, joka ansaitsee erityistutkimuksen.

G. Leibniz, joka itse on koulutukseltaan lakimies, otti myös tämän kiistan vakavasti. Väitöskirjassaan "A Study of Intricate Cases in Law" hän yritti todistaa, että kaikkiin tapauksiin, jopa kaikkein monimutkaisimpiin, kuten Protagoraan ja Euathluksen oikeudenkäyntiin, on löydettävä oikea ratkaisu terveen järjen pohjalta. Leibnizin mukaan tuomioistuimen tulisi evätä Protagoras kanteen ennenaikaisesta nostamisesta, mutta jättää hänelle kuitenkin oikeus vaatia rahan maksamista Evatlilta myöhemmin, nimittäin ensimmäisen voittamansa prosessin jälkeen.

Tähän paradoksiin on ehdotettu monia muita ratkaisuja.

He viittasivat erityisesti siihen, että tuomioistuimen päätöksellä tulisi olla suurempi voima kuin kahden henkilön välisellä yksityisellä sopimuksella. Voidaan vastata, että ilman tätä sopimusta, vaikka se tuntuisi kuinka merkityksettömältä, ei olisi tuomioistuinta eikä sen päätöstä. Tuomioistuimen on nimittäin tehtävä päätöksensä juuri tilaisuudessaan ja sen perusteella.

He vetosivat myös yleiseen periaatteeseen, jonka mukaan jokaisesta työstä ja siten Protagoraan työstä on maksettava. Mutta tiedetään, että tällä periaatteella on aina ollut poikkeuksia, varsinkin orjaomistusyhteiskunnassa. Lisäksi sitä ei yksinkertaisesti voida soveltaa riidan erityistilanteeseen: loppujen lopuksi Protagoras, joka takaa korkean koulutustason, kieltäytyi itse hyväksymästä maksua, jos opiskelija epäonnistuu ensimmäisessä prosessissa.

Joskus he puhuvat näin. Sekä Protagoras että Euathlus ovat molemmat oikeassa osittain, eivätkä kumpikaan heistä yleisesti. Jokainen niistä ottaa huomioon vain puolet itselleen hyödyllisistä mahdollisuuksista. Täydellinen tai kokonaisvaltainen harkinta avaa neljä mahdollisuutta, joista vain puolet on hyödyllistä jollekin riidanalaiselle. Mikä näistä mahdollisuuksista toteutuu, sitä ei päätä logiikka, vaan elämä. Jos tuomareiden tuomiolla on sopimusta voimakkaampi, Euathl joutuu maksamaan vain, jos hän häviää prosessin, ts. tuomioistuimen päätöksen nojalla. Jos yksityinen sopimus kuitenkin asetetaan tuomareiden päätöstä korkeammalle, Protagoras saa korvauksen vain siinä tapauksessa, että häviää prosessin Evatlukselle, ts. Protagorasin kanssa tehdyn sopimuksen nojalla.

Tämä vetoomus elämään sekoittaa lopulta kaiken. Mitä, ellei logiikkaa, tuomarit voivat ohjata olosuhteissa, joissa kaikki merkitykselliset olosuhteet ovat täysin selvät? Ja millaista johtajuutta se on, jos Protagoras, joka vaatii maksua tuomioistuimen kautta, saavuttaa sen vain häviämällä prosessin?

Leibnizin aluksi vakuuttavalta vaikuttava ratkaisu on kuitenkin hieman parempi kuin logiikan ja elämän epämääräinen vastakohta. Pohjimmiltaan Leibniz ehdottaa, että sopimuksen sanamuotoa muutetaan takautuvasti ja määrätään, että ensimmäinen Euathlusin osallinen oikeusjuttu, jonka lopputulos ratkaisee maksukysymyksen, ei saisi olla Protagoraksen oikeudenkäynti. Tämä ajatus on syvä, mutta ei liity tiettyyn tuomioistuimeen. Jos tällainen lauseke olisi ollut alkuperäisessä sopimuksessa, riita-asioihin ei olisi ollut tarvetta.

Jos tämän ongelman ratkaisulla ymmärtää vastauksen kysymykseen, pitäisikö Euathlus maksaa Protagorasille vai ei, niin kaikki nämä, kuten kaikki muutkin ajateltavissa olevat ratkaisut, ovat tietysti kestämättömiä. Ne eivät ole muuta kuin poikkeamaa riidan olemuksesta, ne ovat niin sanotusti hienostuneita temppuja ja ovelaa toivottomassa ja ratkaisemattomassa tilanteessa. Sillä terve järki tai sosiaalisia suhteita koskevat yleiset periaatteet eivät voi ratkaista kiistaa.

On mahdotonta toteuttaa yhdessä sopimusta alkuperäisessä muodossaan ja tuomioistuimen päätöstä, olipa se mikä tahansa. Tämän todistamiseksi riittävät yksinkertaiset logiikan keinot. Samalla tavalla voidaan myös osoittaa, että sopimus on täysin viattomasta ulkonäöstään huolimatta ristiriitainen. Se edellyttää loogisesti mahdottoman ehdotuksen toteuttamista: Euathlusin on sekä maksettava koulutuksesta että samalla olematta maksamatta.

Säännöt, jotka johtavat umpikujaan

Ihmismielen, joka on tottunut paitsi vahvuuteensa myös joustavuuteensa ja jopa kekseliäisyyteensä, on tietysti vaikea sovittaa itsensä tähän ehdottomaan toivottomuuteen ja myöntää, että se on ajettu umpikujaan. Tämä on erityisen vaikeaa silloin, kun mieli itse luo umpikujan: se niin sanotusti kompastelee tyhjästä ja putoaa omiin verkkoihinsa. Silti on myönnettävä, että joskus, ja muuten, ei niin harvoin, spontaanisti muodostuneet tai tietoisesti käyttöönotetut sopimukset ja sääntöjärjestelmät johtavat ratkaisemattomiin, toivottomiin tilanteisiin.

Esimerkki viimeaikaisesta shakkielämästä vahvistaa tämän ajatuksen jälleen kerran.

Kansainväliset shakkikilpailusäännöt velvoittavat shakinpelaajat tallentamaan pelin liikkeen liikkeeltä selkeästi ja luettavasti. Viime aikoihin asti säännöissä todettiin myös, että shakinpelaajan, joka jätti usean liikkeen tallentamisen ajanpuutteen vuoksi, on "hetkellä aikaongelmansa päättyessä täytettävä välittömästi lomake ja kirjattava jääneet liikkeet muistiin". Tämän ohjeen perusteella yksi tuomari vuoden 1980 shakkiolympialaisissa (Malta) keskeytti vaikeiden aikojen ongelmissa edenneen pelin ja pysäytti kellon todeten, että ohjausliikkeet oli tehty ja siksi oli aika laittaa pelien pöytäkirjat järjestyksessä.

"Mutta anteeksi", huudahti häviämisen partaalla oleva osallistuja, joka luotti vain intohimon voimakkuuteen pelin lopussa, "ei loppujen lopuksi ole vielä pudonnut yhtään lippua eikä kukaan voi koskaan (kuten se on myös kirjoitettu säännöissä) voi kertoa kuinka monta liikettä on tehty.

Erotuomaria kuitenkin tuki päätuomari, joka sanoi, että todellakin, koska aikaongelmat olivat ohi, oli sääntöjen kirjainta noudattaen välttämätöntä aloittaa epäonnistuneiden siirtojen tallentaminen.

Tässä tilanteessa oli turhaa väitellä: itse säännöt johtivat umpikujaan. Jäi vain muuttaa niiden sanamuotoa siten, ettei vastaavia tapauksia voisi tulla vastaan ​​tulevaisuudessa.

Näin tehtiin samaan aikaan pidetyssä Kansainvälisen shakkiliiton kongressissa: sanojen "niin kun aikaongelma on ohi" sijasta säännöissä sanotaan nyt: "niin kun lippu osoittaa loppua ajasta".

Tämä esimerkki osoittaa selvästi, kuinka umpikujatilanteissa käsitellään. On hyödytöntä kiistellä siitä, kumpi puoli on oikeassa: kiista on ratkaisematon, eikä siinä ole voittajaa. Jää vain tyytyä nykyhetkeen ja huolehtia tulevaisuudesta. Tätä varten sinun tulee muotoilla alkuperäiset sopimukset tai säännöt uudelleen siten, että ne eivät johda ketään muuta samaan toivottomaan tilanteeseen.

Tällainen toimintatapa ei tietenkään ole ratkaisu ratkaisemattomaan kiistaan ​​tai ulospääsy toivottomasta tilanteesta. Se on pikemminkin pysäkki ylitsepääsemättömän esteen ja sen ympärillä olevan tien edessä.

Paradoksi "krokotiili ja äiti"

Muinaisessa Kreikassa tarina krokotiilista ja äidistä oli erittäin suosittu, ja se osui loogiselta sisällöltään paradoksiin "Protagoras ja Euathlus".

Krokotiili nappasi lapsensa joen rannalla seisovalta egyptiläiseltä naiselta. Hänen pyyntöönsä palauttaa lapsi, krokotiili, joka vuodatti, kuten aina, krokotiilikyneleitä, vastasi:

”Epäonnesi kosketti minua, ja annan sinulle mahdollisuuden saada lapsesi takaisin. Arvaa, annanko sen sinulle vai en. Jos vastaat oikein, palautan lapsen. Jos et arvaa, en anna sitä takaisin.

Ajatellen äiti vastasi:

Et anna minulle vauvaa.

"Et saa sitä", krokotiili päätti. Joko kerroit totuuden tai sitten et. Jos on totta, että en luovu lapsesta, en luovuta häntä, koska muuten se ei ole totta. Jos sanottu ei ole totta, et arvannut, enkä anna lapselle sopimuksen mukaan.

Tämä päättely ei kuitenkaan vaikuttanut äidin mielestä vakuuttavalta.

- Mutta jos sanoin totuuden, annat minulle lapsen, kuten sovimme. Jos en arvannut, että et anna lasta, sinun on annettava se minulle, muuten sanomani ei ole totta.

Kumpi on oikeassa: äiti vai krokotiili? Mihin krokotiilille annettu lupaus velvoittaa? Antaakseen lapsen, vai päinvastoin, ollakseen antamatta sitä pois? Ja molemmille yhtä aikaa. Tämä lupaus on ristiriitainen, joten sitä ei voida toteuttaa logiikan lakien nojalla.

Lähetyssaarnaaja huomasi olevansa kannibaalien luona ja saapui juuri ajoissa illalliselle. He antavat hänen valita, kuinka hänet syödään. Tätä varten hänen on lausuttava jokin lausunto sillä ehdolla, että jos tämä väite osoittautuu todeksi, he keittävät sen, ja jos se osoittautuu vääräksi, he paahtavat sen.

Mitä lähetyssaarnaajan pitäisi sanoa?

Tietysti hänen pitäisi sanoa: "Sinä paistat minut."

Jos hän on todella paistettu, käy ilmi, että hän puhui totta, ja siksi hänet on keitetty. Jos hänet keitetään, hänen väitteensä on väärä, ja hänet pitäisi vain paistaa. Kannibaaleilla ei ole ulospääsyä: "paista" seuraa "keittää" ja päinvastoin.

Tämä ovela lähetyssaarnaaja episodi on tietysti toinen parafraasi Protagoraan ja Euathloksen välisestä kiistasta.

Sancho Panzan paradoksi

Eräs vanha paradoksi, joka tunnetaan muinaisessa Kreikassa, on esitetty M. Cervantesin Don Quijotessa. Sancho Panzasta on tullut Baratarian saaren kuvernööri ja hän hallinnoi tuomioistuinta.

Ensimmäinen, joka tulee hänen luokseen, on joku vierailija ja sanoo: "Senior, syvä joki jakaa tietyn kartanon kahteen osaan... Joten silta heitettiin tämän joen yli, ja siellä reunalla on hirsipuu ja on jotain tuomioistuimen kaltaista, jossa yleensä istuu neljä henkilöä, tuomarit, ja he tuomitsevat joen, sillan ja koko kiinteistön omistajan antaman lain perusteella, joka laki on laadittu näin: ja Jokainen, joka valehtelee, lähettäkää heidät ilman mitään armollisuutta hirsipuuhun ja teloittakaa heidät. Siitä lähtien, kun tämä laki julkaistiin kaikessa ankaruudessaan, monet onnistuivat pääsemään sillan yli, ja heti kun tuomarit olivat vakuuttuneita siitä, että ohikulkijat puhuivat totta, päästivät heidät läpi. Mutta sitten eräänä päivänä vannoi mies, joka vannoi ja sanoi: hän vannoo tulleensa ripustettavaksi juuri tähän hirsipuuhun, eikä mitään muuta. Tämä vala hämmentyi tuomareita, ja he sanoivat: "Jos tämän miehen annetaan edetä esteettömästi, tämä tarkoittaa, että hän on rikkonut valaa ja on lain mukaan uhkaava kuolemaan; jos me hirtämme hänet, niin hän vannoi tulleensa vain ripustettavaksi tähän hirsipuuhun, joten hänen valansa ei ilmeisesti ole väärä, ja saman lain perusteella on välttämätöntä antaa hänen mennä. Ja siksi kysyn teiltä, ​​herra kuvernööri, mitä tuomareiden pitäisi tehdä tälle miehelle, koska he ovat edelleen ymmällään ja epäröivät...

Sancho ehdotti, ehkä ei ilman ovelaa, että se puolikas totuuden kertoneesta päästättäisiin läpi ja valehtelija hirtettiin, jolloin sillan ylittämistä koskevia sääntöjä noudatettaisiin kaikissa muodoissaan. Tämä kohta on mielenkiintoinen monella tapaa.

Ensinnäkin se on selvä esimerkki siitä, että paradoksissa kuvattu toivoton tilanne voidaan hyvinkin kohdata - eikä puhtaasti teoriassa, vaan käytännössä - jos ei todellinen henkilö, niin ainakin kirjallinen sankari.

Sancho Panzan ehdottama ulospääsy ei tietenkään ollut ratkaisu paradoksiin. Mutta tämä oli vain ratkaisu, johon hänen asemassaan oli turvauduttava.

Olipa kerran Aleksanteri Suuri sen sijaan, että olisi irrottanut ovelan Gordionin solmun, jota kukaan ei ole vielä onnistunut tekemään, vaan leikkasi sen. Sancho teki samoin. Palapelin ratkaiseminen omin ehdoin oli turhaa – se oli yksinkertaisesti ratkaisematon. Jäi hylätä nämä ehdot ja esitellä omasi.

Ja yksi hetki. Tällä jaksolla Cervantes tuomitsee selkeästi keskiaikaisen oikeuden äärimmäisen muodollisen mittakaavan, joka on täynnä skolastisen logiikan henkeä. Mutta kuinka laajalle levinnyt hänen aikanaan - ja tämä tapahtui noin neljäsataa vuotta sitten - olivatkaan tieto logiikan alalta! Ei vain Cervantes itse tiedä tätä paradoksia. Kirjoittaja katsoo, että hänen sankarinsa, lukutaidottoman talonpojan, ansioksi on kyky ymmärtää, että hänellä on edessään ratkaisematon tehtävä!

5. Muut paradoksit

Yllä olevat paradoksit ovat argumentteja, joiden tuloksena on ristiriita. Mutta logiikassa on muitakin paradokseja. He myös osoittavat joitakin vaikeuksia ja ongelmia, mutta he tekevät sen vähemmän ankaralla ja tinkimättömällä tavalla. Tällaisia ​​ovat erityisesti alla käsitellyt paradoksit.

Epätarkkojen käsitteiden paradoksit

Suurin osa paitsi luonnollisen kielen, myös tieteen kielen käsitteistä on epätarkkoja tai, kuten niitä myös kutsutaan, hämärtyneitä. Usein tämä osoittautuu väärinkäsitysten, riitojen syyksi tai jopa yksinkertaisesti umpikujaksi.

Jos käsite on epätarkka, objektien alueen raja, johon sitä sovelletaan, on vailla terävyyttä ja on epäselvä. Otetaan esimerkiksi käsite "kasa". Yksi jyvä (hiekanjyvä, kivi jne.) ei ole vielä kasa. Tuhat jyvät on jo ilmeisesti nippu. Ja kolme viljaa? Ja kymmenen? Kuinka monta jyviä lisätään kasan muodostamiseksi? Ei kovin selkeää. Samoin ei ole selvää, minkä jyvän poistamisen myötä kasa katoaa.

Epätarkkoja ovat "iso", "raskas", "kapea" jne. empiiriset ominaisuudet. Sellaiset tavalliset käsitteet kuin "viisas mies", "hevonen", "talo" jne. ovat epätarkkoja.

Ei ole olemassa hiekanjyvää, jonka poistamisen jälkeen voisi sanoa, että sen poistamisen myötä jäljelle jääneitä ei voida enää kutsua kodiksi. Mutta loppujen lopuksi tämä näyttää tarkoittavan sitä, että talon asteittaisessa purkamisessa - sen täydelliseen katoamiseen asti - ei ole mitään syytä ilmoittaa, ettei taloa ole! Johtopäätös on selvästi paradoksaalinen ja masentava.

On helppo nähdä, että argumentti kasan muodostamisen mahdottomuudesta suoritetaan käyttämällä hyvin tunnettua matemaattisen induktion menetelmää. Yksi jyvä ei muodosta kasaa. Jos n jyvää ei muodosta kasoja, niin n+1 jyvää ei muodosta kasoja. Siksi mikään määrä jyviä ei voi muodostaa kasoja.

Tämän ja vastaavien todisteiden mahdollisuus johtaa naurettavia johtopäätöksiä, mikä tarkoittaa, että matemaattisen induktion periaatteella on rajoitettu soveltamisala. Sitä ei pidä käyttää epätarkkojen, epämääräisten käsitteiden päättelyssä.

Hyvä esimerkki siitä, kuinka nämä käsitteet voivat johtaa ratkaisemattomiin kiistoihin, on omituinen oikeudenkäynti, joka järjestettiin vuonna 1927 Yhdysvalloissa. Kuvanveistäjä C. Brancusi meni oikeuteen vaatien, että hänen teoksensa tunnustettaisiin taideteoksiksi. New Yorkiin näyttelyyn lähetettyjen teosten joukossa oli veistos "Bird", jota pidetään nykyään abstraktin tyylin klassikkona. Se on noin puolitoista metriä korkea moduloitu pylväs kiillotettua pronssia, joka ei muistuta ulkoisesti lintua. Tullivirkailijat kieltäytyivät kategorisesti tunnustamasta Brancusin abstrakteja luomuksia taideteoksiksi. He asettivat ne otsikon "Metalliseiraala- ja kotitalousvälineet" alle ja asettivat niille raskaan tullin. Raivostuneena Brancusi haastoi oikeuteen.

Tapaa tukivat taiteilijat - Kansallisakatemian jäsenet, jotka puolustivat perinteisiä taiteen menetelmiä. He toimivat todistajina puolustukselle oikeudenkäynnissä ja väittivät kategorisesti, että yritys esittää "lintu" taideteokseksi oli yksinkertaisesti huijausta.

Tämä konflikti korostaa elävästi "taideteoksen" käsitteen käyttämisen vaikeutta. Veistosta on perinteisesti pidetty taiteen muotona. Mutta veistoksellisen kuvan samankaltaisuus alkuperäisen kanssa voi vaihdella hyvin laajoissa rajoissa. Ja missä vaiheessa veistoksellinen kuva, joka etenee yhä enemmän alkuperäisestä, lakkaa olemasta taideteos ja muuttuu "metallivälineeksi"? Tähän kysymykseen on yhtä vaikea vastata kuin kysymykseen, missä menee raja talon ja sen raunioiden välillä, hännän ja häntättömän hevosen välillä ja niin edelleen. Muuten, modernistit ovat yleensä vakuuttuneita siitä, että veistos on ilmeisen muotoinen kohde, eikä sen tarvitse olla ollenkaan kuva.

Epätarkkojen käsitteiden käsittely vaatii siis tiettyä varovaisuutta. Eikö olisi parempi välttää niitä kokonaan?

Saksalainen filosofi E. Husserl oli taipuvainen vaatimaan tiedolta sellaista äärimmäistä ankaruutta ja tarkkuutta, jota ei löydy edes matematiikasta. Tämän yhteydessä Husserlin elämäkerran kirjoittajat muistelevat ironisesti tapausta, joka tapahtui hänelle lapsuudessa. Hänelle esitettiin kynäveitsi, ja hän päätti tehdä terästä mahdollisimman terävän, ja hän teroitti sitä, kunnes terästä ei ollut enää mitään jäljellä.

Tarkemmat käsitteet ovat monissa tilanteissa parempia kuin epätarkkoja. Tavanomainen halu selventää käytettyjä käsitteitä on varsin perusteltua. Mutta sillä täytyy tietysti olla rajansa. Tieteen kielelläkin merkittävä osa käsitteistä on epätarkkoja. Ja tämä ei liity yksittäisten tiedemiesten subjektiivisiin ja satunnaisiin virheisiin, vaan tieteellisen tiedon luonteeseen. Luonnollisessa kielessä epätarkat käsitteet ovat ylivoimaisia; tämä kertoo muun muassa hänen joustavuudestaan ​​ja piilevasta vahvuudestaan. Jokainen, joka vaatii kaikilta käsitteiltä äärimmäistä tarkkuutta, on vaarassa jäädä kokonaan ilman kieltä. Ranskalainen esteetikko J. Joubert kirjoitti: "Ristäkää sanoilta kaikki epäselvyys ja epävarmuus", kirjoitti ne ... yksinumeroisiksi - peli jättää puheen ja sen mukana kaunopuheisuuden ja runouden: kaiken, mikä liikkuu ja muuttuu. sielun tunteet, eivät löydä ilmaisuaan. Mutta mitä minä sanon: riistää... Sanon lisää. Poista sana epätarkkuudesta - ja menetät jopa aksioomit.

Sekä loogikot että matemaatikot eivät pitkään aikaan kiinnittäneet huomiota sumeisiin käsitteisiin ja niitä vastaaviin joukkoihin liittyviin vaikeuksiin. Kysymys esitettiin seuraavasti: käsitteiden on oltava tarkkoja, ja kaikki epämääräinen ei ansaitse vakavaa kiinnostusta. Viime vuosikymmeninä tämä liian tiukka asenne on kuitenkin menettänyt vetovoimansa. Rakennetaan loogisia teorioita, jotka ottavat erityisesti huomioon epätarkkojen käsitteiden päättelyn ainutlaatuisuuden.

Matemaattinen teoria ns. sumeista joukkoista, epäselvästi määritellyistä esinekokoelmista, kehittyy aktiivisesti.

Epätarkkuuden ongelmien analysointi on askel kohti logiikkaa lähemmäs tavallisen ajattelun käytäntöä. Ja voimme olettaa, että se tuo monia mielenkiintoisempia tuloksia.

Induktiivisen logiikan paradoksit

Ei kenties ole logiikan osaa, jolla ei olisi omia paradokseja.

Induktiivisella logiikalla on omat paradoksinsa, joita vastaan ​​on taisteltu aktiivisesti, mutta toistaiseksi turhaan lähes puoli vuosisataa. Erityisen kiinnostava on amerikkalaisen filosofin K. Hempelin löytämä vahvistusparadoksi. On luonnollista ajatella, että yleiset väitteet, erityisesti tieteelliset lait, vahvistetaan niiden myönteisillä esimerkeillä. Jos tarkastellaan esimerkiksi lausetta "Kaikki A on B", sen positiivisia esimerkkejä ovat objektit, joilla on ominaisuudet A ja B. Erityisesti väitteen "Kaikki korpit ovat mustia" tukiesimerkkejä ovat esineet, jotka ovat sekä korppeja että korppeja. musta. Tämä väite on kuitenkin yhtä kuin väite "Kaikki asiat, jotka eivät ole mustia, eivät ole varisia", ja jälkimmäisen vahvistuksen tulee olla myös vahvistus edelliselle. Mutta "kaikki ei ole mustaa ei ole varis" vahvistaa jokainen tapaus, jossa ei-musta esine, joka ei ole varis. Tästä syystä käy ilmi, että havainnot "Lehmä on valkoinen", "Kengät ovat ruskeat" jne. vahvista väite "Kaikki variset ovat mustia."

Viattomilta näyttävistä lähtökohdista seuraa odottamaton paradoksaalinen tulos.

Normilogiikassa monet sen lait aiheuttavat huolta. Kun ne muotoillaan merkityksellisin termein, niiden epäjohdonmukaisuus tavanomaisten oikean ja väärän käsitteiden kanssa käy ilmi. Esimerkiksi yksi laeista sanoo, että käskystä "Lähetä kirje!" seuraa käsky "Lähetä kirje tai polta se!".

Toinen laki sanoo, että jos henkilö on rikkonut jotakin velvollisuudestaan, hänellä on oikeus tehdä mitä haluaa. Looginen intuitiomme ei halua sietää tällaisia ​​"velvollisuuslakeja".

Tiedon logiikassa loogisen kaikkitietävyyden paradoksi keskustellaan voimakkaasti. Hän väittää, että ihminen tietää kaikki loogiset seuraukset, jotka hänen ottamistaan ​​kannoista seuraa. Esimerkiksi, jos henkilö tuntee Eukleideen geometrian viisi postulaattia, niin hän siis tuntee kaiken tämän geometrian, koska se seuraa niistä. Mutta se ei ole. Ihminen voi yhtyä postulaatteihin ja samalla ei pysty todistamaan Pythagoraan lausetta ja siksi epäilee sen olevan yleensä totta.

6. Mikä on looginen paradoksi

Ei ole olemassa tyhjentävää luetteloa loogisista paradokseista, ja se on mahdotonta.

Käsitellyt paradoksit ovat vain osa kaikista tähän mennessä löydetyistä. On todennäköistä, että tulevaisuudessa löydetään monia muita paradokseja ja jopa täysin uudenlaisia. Itse paradoksin käsite ei ole niin yksiselitteinen, että olisi mahdollista koota luettelo ainakin jo tunnetuista paradokseista.

"Joukkoteoreettiset paradoksit ovat erittäin vakava ongelma, ei kuitenkaan matematiikassa, vaan pikemminkin logiikassa ja epistemologiassa", kirjoittaa itävaltalainen matemaatikko ja loogikko K. Gödel. "Logiikka on epäjohdonmukainen. Ei ole olemassa loogisia paradokseja”, matemaatikko D. Bochvar sanoo. Tällaiset erot ovat joskus merkittäviä, joskus sanallisia. Asia on pitkälti siinä, mitä loogisella paradoksilla tarkalleen ottaen tarkoitetaan.

Loogisten paradoksien erikoisuus

Loogisten paradoksien välttämätön piirre on looginen sanakirja.

Paradoksit, jotka ovat loogisia, on muotoiltava loogisesti. Logiikassa ei kuitenkaan ole selkeitä kriteerejä termien jakamiselle loogisiin ja ei-loogisiin. Päättelyn oikeellisuutta käsittelevä logiikka pyrkii vähentämään käsitteet, joista käytännössä sovellettavien johtopäätösten oikeellisuus riippuu, minimiin. Mutta tätä vähimmäismäärää ei ole ennalta määrätty yksiselitteisesti. Lisäksi ei-loogisia väitteitä voidaan muotoilla loogisesti. Se, käyttääkö tietty paradoksi vain puhtaasti loogisia premissioita, ei ole läheskään aina mahdollista yksiselitteisesti määrittää.

Loogisia paradokseja ei eroteta jäykästi kaikista muista paradokseista, samoin kuin jälkimmäisiä ei eroteta selvästi kaikesta ei-paradoksaalisesta ja johdonmukaisesti vallitsevien ideoiden kanssa.

Loogisten paradoksien tutkimuksen alussa näytti siltä, ​​että ne voidaan erottaa jonkin vielä tutkimattoman logiikan kannan tai säännön rikkomisesta. B. Russellin esittelemä noidankehäperiaate oli erityisen aktiivinen väittäessään sellaisen säännön roolia. Tämä periaate sanoo, että objektikokoelma ei voi sisältää jäseniä, jotka on määritelty vain samassa kokoelmassa.

Kaikilla paradokseilla on yksi yhteinen piirre - itsesoveltuvuus tai kiertokulku. Jokaisessa niistä kyseiselle esineelle on tunnusomaista jokin joukko esineitä, joihin se itse kuuluu. Jos valitsemme esimerkiksi ovelimman henkilön, teemme sen ihmisjoukon avulla, johon tämä henkilö kuuluu. Ja jos sanomme: "Tämä väite on väärä", luonnehdimme meitä kiinnostavaa lausuntoa viittaamalla kaikkien sen sisältävien väärien väitteiden kokonaisuuteen.

Kaikissa paradokseissa on käsitteiden itsesoveltuvuus, mikä tarkoittaa, että tapahtuu ikään kuin ympyrässä tapahtuvaa liikettä, joka johtaa lopulta lähtöpisteeseen. Yrittääksemme luonnehtia meitä kiinnostavaa kohdetta, käännymme esineiden joukkoon, joka sisältää sen. Osoittautuu kuitenkin, että se itse tarve vaatii tarkastelun kohteena olevan kohteen, eikä sitä voida selvästi ymmärtää ilman sitä. Tässä ympyrässä on ehkä paradoksien lähde.

Tilannetta mutkistaa kuitenkin se, että tällainen ympyrä on olemassa monissa täysin paradoksaalisissa argumenteissa. Pyöreä on valtava valikoima yleisimpiä, vaarattomia ja samalla käteviä ilmaisutapoja. Sellaiset esimerkit kuin "suurin kaikista kaupungeista", "pienin kaikista luonnollisista luvuista", "yksi rautaatomin elektroneista" jne. osoittavat, että kaikki itsesoveltuvuustapaukset eivät johda ristiriitaan ja että se on tärkeä ei vain tavallisessa kielessä, vaan myös tieteen kielessä.

Pelkkä viittaus itse sovellettavien käsitteiden käyttöön ei siis riitä kumoamaan paradokseja. Muutama lisäkriteeri tarvitaan paradoksiin johtavan itsesoveltuvuuden erottamiseksi kaikista muista tapauksista.

Tätä koskevia ehdotuksia on tehty monia, mutta kiertokulkuisuuden onnistunutta selvennystä ei ole löydetty. Kävi ilmi, että on mahdotonta luonnehtia kiertokulkua siten, että jokainen ympyräpäättely johtaa paradoksiin ja jokainen paradoksi on seurausta jostain ympyräpäättelystä.

Yritys löytää jokin tietty logiikkaperiaate, jonka rikkominen olisi kaikkien loogisten paradoksien erottuva piirre, ei johtanut mihinkään varmaa.

Jonkinlainen paradoksien luokittelu olisi epäilemättä hyödyllinen, jakamalla ne tyyppeihin ja tyyppeihin, ryhmittelemällä joitain paradokseja ja asettamalla ne toisille. Mitään kestävää ei kuitenkaan ole saavutettu tässäkään tapauksessa.

Englantilainen logiikka F. Ramsey, joka kuoli vuonna 1930, kun hän ei ollut edes 27-vuotias, ehdotti kaikkien paradoksien jakamista syntaktisiin ja semanttisiin. Ensimmäinen sisältää esimerkiksi Russellin paradoksin, toinen - "valehtelijan", Grellingin jne.

Ramseyn mukaan ensimmäisen ryhmän paradoksit sisältävät vain logiikkaan tai matematiikkaan kuuluvia käsitteitä. Jälkimmäisiin kuuluvat sellaiset käsitteet kuin "totuus", "määriteltävissä", "nimeäminen", "kieli", jotka eivät ole tiukasti matemaattisia, vaan liittyvät pikemminkin kielitieteeseen tai jopa tiedon teoriaan. Semanttiset paradoksit eivät näytä johtuvan jostain logiikkavirheestä, vaan joidenkin ei-loogisten käsitteiden epämääräisyydestä tai moniselitteisyydestä, joten niiden aiheuttamat ongelmat koskevat kieltä ja ne on ratkaistava kielitieteen avulla.

Ramseysta tuntui, että matemaatikoiden ja logiikkojen ei tarvitse olla kiinnostuneita semanttisista paradokseista. Myöhemmin kuitenkin kävi ilmi, että osa modernin logiikan merkittävimmistä tuloksista saatiin juuri näiden ei-loogisten paradoksien syvemmän tutkimuksen yhteydessä.

Ramseyn ehdottama paradoksijako oli aluksi laajalti käytössä, ja se on edelleenkin tärkeä. Samalla käy yhä selvemmäksi, että tämä jako on melko epämääräinen ja perustuu ensisijaisesti esimerkkeihin, ei näiden kahden paradoksiryhmän syvälliseen vertailevaan analyysiin. Semantiset käsitteet ovat nyt hyvin määriteltyjä, ja on vaikea olla huomaamatta, että nämä käsitteet ovat todellakin loogisia. Semantiikan kehittyessä, joka määrittelee peruskäsitteensä joukkoteorian kannalta, Ramseyn tekemä ero hämärtyy yhä enemmän.

Paradokseja ja moderni logiikka

Mitä johtopäätöksiä logiikasta seuraa paradoksien olemassaolosta?

Ensinnäkin lukuisten paradoksien läsnäolo puhuu logiikan vahvuudesta tieteenä, ei sen heikkoudesta, kuten se saattaa näyttää.

Ei ollut sattumaa, että paradoksien löytäminen osui samaan aikaan modernin logiikan intensiivisimmän kehityksen ja sen suurimpien menestysten kanssa.

Ensimmäiset paradoksit löydettiin jo ennen logiikan syntyä erityistieteenä. Keskiajalla löydettiin monia paradokseja. Myöhemmin ne kuitenkin unohdettiin ja löydettiin uudelleen jo vuosisadallamme.

Keskiaikaiset logiikot eivät olleet tietoisia "joukon" ja "joukon elementin" käsitteistä, jotka otettiin tieteeseen vasta 1800-luvun jälkipuoliskolla. Mutta paradoksihousu hiottiin keskiajalla siinä määrin, että jo tuolloin esitettiin tiettyjä huolenaiheita itsesoveltuvista käsitteistä. Yksinkertaisin esimerkki tästä on käsite "olemassa oma elementti", joka esiintyy monissa nykypäivän paradokseissa.

Tällaiset pelot, kuten kaikki paradokseja koskevat varoitukset yleensä, eivät kuitenkaan olleet systemaattisia ja tarkkoja vasta vuosisadallamme. Ne eivät johtaneet selkeisiin ehdotuksiin tavanomaisten ajattelu- ja ilmaisutapojen tarkistamiseksi.

Vain moderni logiikka on poistanut paradoksien ongelman unohduksesta, löytänyt tai löytänyt uudelleen suurimman osan erityisistä loogisista paradokseista. Hän osoitti edelleen, että perinteisesti logiikan tutkimat ajattelutavat ovat täysin riittämättömiä paradoksien poistamiseen, ja osoitti perustavanlaatuisesti uusia tapoja käsitellä niitä.

Paradoksit herättävät tärkeän kysymyksen: missä itse asiassa jotkin tavanomaisista käsitteenmuodostus- ja päättelymenetelmistä epäonnistuvat? Loppujen lopuksi ne vaikuttivat täysin luonnollisilta ja vakuuttavilta, kunnes kävi ilmi, että ne olivat paradoksaalisia.

Paradoksit horjuttavat uskoa siihen, että teoreettisen ajattelun tavanomaiset menetelmät itsessään ja ilman erityistä valvontaa tarjoavat luotettavan edistyksen kohti totuutta.

Paradoksit, jotka vaativat radikaalia muutosta liian herkkäuskoiseen lähestymistapaan teoretisoimiseen, ovat ankaraa logiikan kritiikkiä sen naiivissa, intuitiivisessa muodossa. Ne näyttelevät tekijän roolia, joka ohjaa ja asettaa rajoituksia tapaa rakentaa deduktiivisia logiikkajärjestelmiä. Ja tätä heidän rooliaan voidaan verrata sellaisen kokeen rooliin, joka testaa hypoteesien oikeellisuutta sellaisilla tieteillä kuin fysiikka ja kemia ja pakottaa heidät tekemään muutoksia näihin hypoteeseihin.

Teorian paradoksi puhuu sen taustalla olevien oletusten yhteensopimattomuudesta. Se toimii taudin ajoissa havaittuna oireena, jota ilman se olisi voitu jättää huomiotta.

Tietenkin sairaus ilmenee monin tavoin, ja lopulta se on mahdollista paljastaa ilman sellaisia ​​akuutteja oireita kuin paradokseja. Esimerkiksi joukkoteorian perusteita analysoitaisiin ja jalostettaisiin, vaikka paradokseja tällä alueella ei löydettäisikään. Mutta ei olisi ollut sitä terävyyttä ja kiireellisyyttä, jolla siinä löydetyt paradoksit nostivat esiin joukkoteorian tarkistamisen ongelman.

Paradokseille on omistettu laaja kirjallisuus, ja niille on ehdotettu useita selityksiä. Mutta mikään näistä selityksistä ei ole yleisesti hyväksytty, eikä paradoksien alkuperästä ja niistä eroon pääsemisestä ole täydellistä yksimielisyyttä.

"Viimeisten kuudenkymmenen vuoden aikana paradoksien ratkaisemiselle on omistettu satoja kirjoja ja artikkeleita, mutta tulokset ovat hämmästyttävän huonoja käytettyihin ponnisteluihin verrattuna", kirjoittaa A. Frenkel. "Näyttää siltä", H. Curry päättää paradoksianalyysinsä, "että tarvitaan täydellinen logiikan uudistus, ja matemaattisesta logiikasta voi tulla tärkein työkalu tämän uudistuksen toteuttamisessa."

Paradoksien eliminointi ja selittäminen

On syytä huomata yksi tärkeä ero.

Paradoksien poistaminen ja niiden ratkaiseminen eivät ole sama asia. Paradoksin poistaminen tietystä teoriasta tarkoittaa sen uudelleenjärjestelyä siten, että paradoksaalinen väite osoittautuu siinä todistamattomaksi. Jokainen paradoksi perustuu suureen määrään määritelmiä, olettamuksia ja argumentteja. Hänen johtopäätöksensä teoriassa on tietty päättelyketju. Muodollisesti voidaan kyseenalaistaa mikä tahansa sen lenkki, hylätä se ja siten katkaista ketju ja eliminoida paradoksi. Monissa teoksissa näin tehdään ja rajoittuu tähän.

Mutta tämä ei ole vielä paradoksin ratkaisu. Ei riitä, että keksitään tapa sulkea se pois, vaan ehdotettu ratkaisu on perusteltava vakuuttavasti. Epäilynkin paradoksiin johtavasta askeleesta täytyy olla perusteltua.

Ensinnäkin päätös luopua joistakin loogisista keinoista, joita käytetään paradoksaalisen lausunnon johtamisessa, on kytkettävä yleisiin pohdiskeluihimme loogisen todisteen ja muiden loogisten intuitioiden luonteesta. Jos näin ei ole, paradoksien poistaminen osoittautuu vailla vankkaa ja vakaata perustaa ja rappeutuu pääosin tekniseksi tehtäväksi.

Lisäksi jonkin oletuksen hylkääminen, vaikka se poistaisikin tietyn paradoksin, ei automaattisesti takaa kaikkien paradoksien eliminointia. Tämä viittaa siihen, että paradokseja ei pitäisi "metsästää" yksitellen. Yhden niistä poissulkeminen tulee aina olla niin perusteltua, että on tietty takuu muiden paradoksien eliminoimisesta samalla askeleella.

Joka kerta kun paradoksi löydetään, A. Tarsky kirjoittaa: "Meidän on alistettava ajattelutapamme perusteelliselle tarkastukselle, hylättävä jotkin olettamukset, joihin uskoimme, ja parannettava käyttämiämme argumentointimenetelmiä. Teemme tämän pyrkiessämme eroon antinomioista, mutta myös estääksemme uusien syntymisen.

Ja lopuksi, liian monien tai liian vahvojen oletusten harkitsematon ja huolimaton hylkääminen voi yksinkertaisesti johtaa siihen tosiasiaan, että vaikka se ei sisällä paradokseja, se osoittautuu paljon heikommaksi teoriaksi, jolla on vain tietty kiinnostus.

Mikä voi olla pienin, vähiten radikaali toimenpidesarja tunnettujen paradoksien välttämiseksi?

Looginen kielioppi

Yksi tapa on erottaa oikeiden ja väärien lauseiden ohella myös merkityksettömiä lauseita. Tämän polun valitsi B. Russell. Hän julisti paradoksaalisen päättelyn merkityksettömäksi sillä perusteella, että ne rikkoivat loogisen kieliopin vaatimuksia. Jokainen lause, joka ei riko tavallisen kieliopin sääntöjä, ei ole mielekästä - sen on myös täytettävä erityisen, loogisen kieliopin säännöt.

Russell rakensi loogisten tyyppien teorian, eräänlaisen loogisen kieliopin, jonka tehtävänä oli eliminoida kaikki tunnetut antinomiat. Myöhemmin tätä teoriaa yksinkertaistettiin oleellisesti ja sitä kutsuttiin yksinkertaiseksi tyyppiteoriaksi.

Tyyppiteorian pääajatuksena on loogisesti erityyppisten esineiden allokointi, jonkinlaisen hierarkian tai tikkaiden käyttöönotto tarkasteltaville kohteille. Alin eli nollatyyppi sisältää yksittäisiä objekteja, jotka eivät ole joukkoja. Ensimmäinen tyyppi sisältää nollatyyppiset objektijoukot, ts. yksityishenkilöt; toiselle - yksilöiden joukot jne. Toisin sanoen erotetaan esineet, esineiden ominaisuudet, esineiden ominaisuuksien ominaisuudet jne. Samalla asetetaan tiettyjä rajoituksia ehdotusten rakentamiselle. Ominaisuudet voidaan liittää objekteihin, ominaisuuksien ominaisuuksia ominaisuuksiin ja niin edelleen. Mutta on mahdotonta mielekkäästi väittää, että esineillä on ominaisuuksien ominaisuuksia.

Otetaan joukko ehdotuksia:

Tämä talo on punainen.

Punainen on väri.

Väri on optinen ilmiö.

Näissä lauseissa ilmaisu "tämä talo" tarkoittaa tiettyä esinettä, sana "punainen" osoittaa tälle esineelle ominaista ominaisuutta, "olla väri" - tämän ominaisuuden ominaisuutta ("olla punainen") ja " olla optinen ilmiö" - osoittaa ominaisuuden "be a color" ominaisuuden, joka kuuluu "olla punainen" -ominaisuuteen. Tässä ei ole kyse vain esineistä ja niiden ominaisuuksista, vaan myös ominaisuuksien ominaisuuksista ("ominaisuudella olla punainen on ominaisuus olla väri") ja jopa ominaisuuksien ominaisuuksista.

Kaikki kolme lausetta yllä olevasta sarjasta ovat tietysti merkityksellisiä. Ne on rakennettu tyyppiteorian vaatimusten mukaisesti. Ja sanotaanpa lause "Tämä talo on väri" rikkoo näitä vaatimuksia. Se antaa esineelle ominaisuuden, joka voi kuulua vain ominaisuuksiin, mutta ei esineisiin. Samanlainen rikkomus sisältyy lauseeseen "Tämä talo on optinen ilmiö". Molemmat ehdotukset on luokiteltava merkityksettömiksi.

Yksinkertainen tyyppiteoria poistaa Russellin paradoksin. Valehtelijan ja marjan paradoksien poistamiseksi pelkkä tarkasteltavana olevien esineiden jakaminen tyyppeihin ei kuitenkaan enää riitä. On tarpeen ottaa käyttöön lisäjärjestys itse tyyppien sisällä.

Paradoksien poistaminen voidaan saavuttaa myös välttämällä liian suuria joukkoja, kuten kaikkien joukkojen joukkoa. Tätä polkua ehdotti saksalainen matemaatikko E. Zermelo, joka yhdisti paradoksien esiintymisen joukkojen rajattomaan rakentamiseen. Hän määritteli hyväksyttävät joukot jollain aksioomiluettelolla, joka oli muotoiltu siten, että niistä ei päätellä tunnettuja paradokseja. Samaan aikaan nämä aksioomit olivat riittävän vahvoja päätelläkseen niistä klassisen matematiikan tavanomaiset argumentit, mutta ilman paradokseja.

Näitä kahta tai muita ehdotettuja paradoksien poistamistapoja ei hyväksytä yleisesti. Ei ole yleistä uskoa, että mikään ehdotetuista teorioista ratkaisee loogisia paradokseja eikä vain hylkää niitä ilman syvällistä selitystä. Paradoksien selittämisen ongelma on edelleen avoin ja tärkeä.

Paradoksien tulevaisuus

G. Frege, viime vuosisadan suurin loogikko, oli valitettavasti erittäin huono luonne. Lisäksi hän oli varaukseton ja jopa julma aikalaistensa kritiikkiin.

Ehkä siksi hänen panoksensa matematiikan logiikkaan ja perustamiseen ei saanut tunnustusta pitkään aikaan. Ja kun kuuluisuus alkoi tulla hänelle, nuori englantilainen loogikko B. Russell kirjoitti hänelle, että hänen kirjansa The Fundamental Laws of Arithmetics ensimmäisessä osassa julkaistussa järjestelmässä syntyy ristiriita. Tämän kirjan toinen osa oli jo painettu, ja Frege saattoi lisätä siihen vain erityisen liitteen, jossa hän hahmotteli tämän ristiriidan (myöhemmin nimeltään "Russellin paradoksi") ja myönsi, ettei hän kyennyt poistamaan sitä.

Tämän tunnustamisen seuraukset olivat Fregelle kuitenkin traagisia. Hän koki suurimman shokin. Ja vaikka hän oli silloin vasta 55-vuotias, hän ei julkaissut toista merkittävää logiikkateosta, vaikka hän eli yli kaksikymmentä vuotta. Hän ei edes vastannut Russellin paradoksin aiheuttamaan vilkkaaseen keskusteluun, eikä reagoinut millään tavalla tähän paradoksiin ehdotettuihin ratkaisuihin.

D. Hilbert ilmaisi hyvin sen vaikutelman, jonka äskettäin löydetyt paradoksit tekivät matemaatikoille ja loogikoille: "... Tila, jossa olemme nyt suhteessa paradokseihin, on kestämätön pitkään aikaan. Ajattele sitä: matematiikassa - tuossa varmuuden ja totuuden mallissa - käsitteiden muodostuminen ja päätelmien kulku, kuten jokainen tutkii, opettaa ja soveltaa niitä, johtaa järjettömyyteen. Mistä etsiä luotettavuutta ja totuutta, jos jopa itse matemaattinen ajattelu epäonnistuu?

Frege oli tyypillinen 1800-luvun lopun logiikan edustaja, vapaa kaikenlaisista paradokseista, logiikasta, luottavainen kykyihinsä ja väitti olevansa matematiikankin ankaruuden kriteeri. Paradoksit osoittivat, että oletetun logiikan saavuttama ehdoton ankaruus ei ollut muuta kuin illuusio. Ne osoittivat kiistatta, että logiikka - siinä intuitiivisessa muodossa kuin se oli vuosisadan vaihteessa - tarvitsee perusteellisen tarkistamisen.

Noin sata vuotta on kulunut siitä, kun vilkas keskustelu paradokseista alkoi. Tehty logiikan tarkistus ei kuitenkaan johtanut niiden yksiselitteiseen ratkaisuun.

Ja samaan aikaan tällainen tila tuskin kiinnostaa ketään nykyään. Ajan myötä asenteet paradokseihin ovat muuttuneet rauhallisemmiksi ja jopa suvaitsevaisemmiksi kuin silloin, kun ne löydettiin. Kyse ei ole vain siitä, että paradokseista on tullut jotain tuttua. Eikä tietenkään niin, että he sietävät niitä. Ne ovat edelleen logiikkojen huomion keskipisteessä, heidän ratkaisujensa etsintä jatkuu aktiivisesti. Tilanne muuttui ensisijaisesti siksi, että paradoksit osoittautuivat niin sanotusti paikallisiksi. He ovat löytäneet selkeän, vaikkakin ongelmallisen paikkansa monenlaisissa loogisissa tutkimuksissa. Kävi selväksi, että ehdoton ankaruus, sellaisena kuin sitä kuvattiin viime vuosisadan lopulla ja joskus tämän vuosisadan alussa, on periaatteessa saavuttamaton ihanne.

Ymmärrettiin myös, ettei ole olemassa yhtä ainoaa paradoksien ongelmaa, joka olisi yksin. Niihin liittyvät ongelmat ovat erityyppisiä ja vaikuttavat itse asiassa kaikkiin logiikan pääosiin. Paradoksin löytäminen pakottaa meidät analysoimaan loogisia intuitioitamme syvemmin ja osallistumaan logiikkatieteen perusteiden systemaattiseen uudelleenkäsittelyyn. Samaan aikaan halu välttää paradokseja ei ole ainoa, eikä edes ehkä päätehtävä. Vaikka ne ovat tärkeitä, ne ovat vain tilaisuus pohtia logiikan keskeisiä teemoja. Jatkamalla paradoksien vertailua erityisen ilmeisiin sairauden oireisiin, voidaan sanoa, että halu poistaa paradokseja välittömästi olisi kuin halu poistaa sellaiset oireet ilman suurta huolta itse taudista. Ei vaadita vain paradoksien ratkaisemista, vaan niiden selitystä, joka syventää ymmärrystämme ajattelun loogisista malleista.

7. Muutama paradoksi tai mikä niiltä näyttää

Tämän lyhyen keskustelun loogisista paradokseista päätteeksi tässä on muutamia ongelmia, joita lukijan on hyödyllistä pohtia. On päätettävä, ovatko esitetyt lausunnot ja perustelut todella loogisia paradokseja vai vain näyttävät siltä. Tätä varten lähdemateriaalia pitäisi luonnollisesti jollain tavalla järjestellä uudelleen ja yrittää johtaa siitä ristiriita: samasta asiasta sekä saman asian vahvistaminen että kieltäminen. Jos paradoksi löytyy, voit miettiä, mikä aiheuttaa sen esiintymisen ja kuinka se voidaan poistaa. Voit jopa yrittää keksiä oman, samantyyppisen paradoksisi, ts. rakennettu saman kaavan mukaan, mutta muiden käsitteiden pohjalta.

1. Se, joka sanoo: "En tiedä mitään", antaa näennäisen paradoksaalisen, ristiriitaisen lausunnon. Hän toteaa pohjimmiltaan: "Tiedän, etten tiedä mitään." Mutta tieto siitä, että tietoa ei ole, on edelleen tietoa. Tämä tarkoittaa, että puhuja toisaalta vakuuttaa, ettei hänellä ole mitään tietoa, ja toisaalta tämän väittämällä hän sanoo, että hänellä on jonkin verran tietoa. Mikä tässä on hätänä?

Tätä vaikeutta pohdittaessa voidaan muistaa, että Sokrates ilmaisi samanlaisen ajatuksen huolellisemmin. Hän sanoi: "Tiedän vain, etten tiedä mitään." Toisaalta toinen muinainen kreikkalainen, Metrodoros, väitti täysin vakuuttuneesti: "En tiedä mitään, enkä edes tiedä, etten tiedä mitään." Onko tässä lausunnossa paradoksi?

2. Historialliset tapahtumat ovat ainutlaatuisia. Historia, jos se toistaa itseään, on tunnetun ilmaisun mukaan ensimmäistä kertaa kuin tragedia ja toisen kerran kuin farssi. Historiallisten tapahtumien ainutlaatuisuudesta johdetaan joskus ajatus, ettei historia opeta mitään. "Ehkä historian suurin opetus", O. Huxley kirjoittaa, "todellakin piilee siinä tosiasiassa, ettei kukaan ole koskaan oppinut historiasta mitään."

On epätodennäköistä, että tämä ajatus on oikea. Menneisyyttä tutkitaan juuri nykyisyyden ja tulevaisuuden ymmärtämiseksi paremmin. Toinen asia on, että menneisyyden "oppitunnit" ovat yleensä moniselitteisiä.

Eikö usko, ettei historia opeta mitään, ole ristiriitainen? Loppujen lopuksi se itse seuraa historiasta yhtenä sen oppitunneista. Eikö tämän ajatuksen kannattajien olisi parempi muotoilla se siten, että se ei koske heitä itseään: "Historia opettaa ainoan asian - siitä ei voi oppia mitään" tai "Historia ei opeta muuta kuin tämän oppitunnin". hänen"?

3. "Todisti, ettei todisteita ole." Tämä näyttää olevan itsensä ristiriitainen lausunto: se on todiste tai se edellyttää jo tehtyä todistusta ("on todistettu, että..."), ja samalla väittää, ettei todisteita ole.

Tunnettu muinainen skeptikko Sextus Empiricus ehdotti seuraavaa ratkaisua: hyväksy yllä olevan väitteen sijasta väite "On todistettu, ettei ole muuta todistetta kuin tämä" (tai: "On todistettu, ettei ole todistettu mitään muuta" kuin tämä"). Mutta eikö tämä ulospääsy ole illuusio? Loppujen lopuksi pohjimmiltaan väitetään, että on vain yksi ja ainoa todiste - todiste minkään todisteen olemattomuudesta ("On yksi ja ainoa todiste: todiste siitä, ettei muita todisteita ole"). Mitä sitten on itse todisteen toiminta, jos tämän väitteen perusteella se oli mahdollista suorittaa vain kerran? Joka tapauksessa Sextuksen oma mielipide todisteiden arvosta ei ollut kovin korkea. Hän kirjoitti erityisesti: "Aivan kuin ne, jotka tekevät ilman todisteita, ovat oikeassa, ovat ne, jotka epäilemään perusteettomasti esittävät päinvastaista mielipidettä."

4. "Mikään lausunto ei ole negatiivinen", tai yksinkertaisemmin: "Ei ole negatiivisia lausuntoja." Tämä ilmaus itsessään on kuitenkin lausunto ja on nimenomaan negatiivinen. Vaikuttaa paradoksilta. Mikä tämän lausunnon uudelleenmuotoilu voisi välttää paradoksin?

Keskiaikainen filosofi ja loogikko Zh. Aasi, kuten mikä tahansa eläin, pyrkii valitsemaan parhaan kahdesta asiasta. Näitä kahta käsivarsia ei voi täysin erottaa toisistaan, joten hän ei voi pitää kumpaakaan parempana. Tämä "buridanaasi" ei kuitenkaan ole Buridanin itsensä kirjoituksissa. Logiikassa Buridan tunnetaan hyvin ja erityisesti hänen sofismeistaan. Se sisältää seuraavan aiheemme kannalta merkityksellisen päätelmän: mikään väite ei ole negatiivinen; siksi on olemassa kielteinen ehdotus. Onko tämä päätelmä perusteltu?

5. N.V. Gogolin kuvaus Chichikovin tammipelistä Nozdrevin kanssa on hyvin tunnettu. Heidän pelinsä ei koskaan päättynyt, Chichikov huomasi Nozdryovin huijaavan ja kieltäytyi pelaamasta häviämisen pelossa. Äskettäin luonnosasiantuntija rekonstruoi tämän pelin kulkua pelanneiden huomautuksista ja osoitti, että Chichikovin asema ei ollut vielä toivoton.

Oletetaan, että Chichikov kuitenkin jatkoi peliä ja lopulta voitti pelin kumppaninsa huijauksesta huolimatta. Sopimuksen mukaan häviäjä Nozdryov joutui antamaan Chichikoville viisikymmentä ruplaa ja "jokin keskiluokan pentu tai kultainen sinetti kellosta". Mutta Nozdryov olisi todennäköisesti kieltäytynyt maksamasta huomauttaen, että hän itse huijasi koko pelin, eikä sääntöjen mukaan pelaaminen ole ikään kuin peliä. Chichikov voisi vastustaa, että petoksesta puhuminen ei ole paikallaan: häviäjä itse petti, mikä tarkoittaa, että hänen on maksettava sitä enemmän.

Pitääkö Nozdryovin todellakin maksaa tällaisessa tilanteessa vai ei? Toisaalta kyllä, koska hän hävisi. Mutta toisaalta ei, koska peli, joka ei ole sääntöjen mukainen, ei ole peli ollenkaan; Tällaisessa "pelissä" ei voi olla voittajaa tai häviäjää. Jos Chichikov itse olisi pettänyt, Nozdryovin ei tietenkään olisi ollut velvollisuutta maksaa. Mutta häviäjä Nozdryov petti kuitenkin ...

Jotain paradoksaalista tuntuu tässä: "toisaalta ...", "toisaalta ...", ja lisäksi molemmin puolin se on yhtä vakuuttava, vaikka nämä puolet eivät ole yhteensopivia.

Pitäisikö Nozdryovin silti maksaa vai ei?

6. "Jokaisessa säännössä on poikkeuksia." Mutta tämä lausunto on sinänsä sääntö. Kuten kaikissa muissakin säännöissä, siinä on oltava poikkeuksia. Tällainen poikkeus olisi tietysti sääntö "On sääntöjä, joissa ei ole poikkeuksia." Eikö kaikessa ole paradoksi? Mikä edellisistä esimerkeistä muistuttaa näitä kahta sääntöä? Onko sallittua ajatella näin: jokaisessa säännössä on poikkeuksia; Tarkoittaako tämä sitä, että on olemassa sääntöjä ilman poikkeuksia?

7. "Jokainen yleistys on väärin." On selvää, että tämä lausunto tiivistää kokemuksen yleistämisen mentaalisesta toiminnasta ja on itse yleistys. Kuten kaikki muut yleistykset, sen täytyy olla väärin. Pitää siis olla oikeita yleistyksiä. Onko kuitenkin oikein väittää näin: jokainen yleistys on väärä, joten on olemassa oikeita yleistyksiä?

8. Eräs kirjailija on säveltänyt "Epitaph to All Genres" tarkoituksenaan todistaa, että kirjallisuuden genret, joiden välinen ero aiheutti niin paljon kiistaa, ovat kuolleita eikä niitä voida muistaa.

Mutta epitafi on samalla tavalla myös genre, hautakivikirjoitusten genre, joka kehittyi muinaisina aikoina ja tuli kirjallisuuteen eräänlaisena epigrammina:

Tässä levon: Jimmy Hogg.
Jumala antakoon minulle syntini anteeksi,
Mitä tekisin, jos olisin Jumala
Ja hän on edesmennyt Jimmy Hogg.

Joten epitafi kaikkiin genreihin poikkeuksetta tekee syntiä ikään kuin epäjohdonmukaisuudella. Mikä on paras tapa muotoilla se uudelleen?

9. "Älä koskaan sano ei koskaan." Kielletään sanan "ei koskaan" käyttö, sinun on käytettävä tätä sanaa kahdesti!

Sama näyttää pätevän neuvoihin: "Niiden, jotka sanovat "on aika", on aika sanoa jotain muuta kuin "on aika".

Onko tällaisissa neuvoissa erikoinen epäjohdonmukaisuus, ja voidaanko se välttää?

10. Runossa "Älä usko", joka julkaistiin tietysti osiossa "Ironinen runous", sen kirjoittaja suosittelee olemaan uskomatta mihinkään:

... Älä usko tulen maagiseen voimaan:
Se palaa, kun siihen laitetaan polttopuita.
Älä usko kultaharjaiseen hevoseen
Ei mihinkään makeisiin piparkakkuihin!
Älä usko, että tähtilaumot
Kiirehtiä loputtomassa pyörteessä.
Mutta mitä sinulle sitten jää?
Älä usko mitä sanoin.
Älä usko.

(V. Prudovski)

Mutta onko tämä yleinen epäusko totta? Ilmeisesti se on ristiriitaista ja siksi loogisesti mahdotonta.

11. Oletetaan, että vastoin yleistä uskomusta on edelleen epäkiinnostavia ihmisiä. Kerätään ne henkisesti yhteen ja valitaan niistä pituudeltaan pienin tai painoltaan suurin tai joku muu "suurin...". Tätä henkilöä olisi mielenkiintoista katsoa, ​​joten lisäsimme hänet tarpeettomasti epäkiinnostavien luetteloon. Kun se jätetään pois, jäljelle jääneiden joukosta löydämme jälleen "erittäin..." samassa merkityksessä ja niin edelleen. Ja kaikki tämä, kunnes jäljelle jää vain yksi henkilö, jolla ei ole ketään verrata. Mutta käy ilmi, että tämä on juuri se, mistä hän on kiinnostunut! Tuloksena tulemme siihen johtopäätökseen, että ei ole kiinnostavia ihmisiä. Ja kiista alkoi siitä tosiasiasta, että sellaisia ​​ihmisiä on olemassa.

Etenkin epäkiinnostavien ihmisten joukosta voidaan yrittää löytää kaikista epäkiinnostavin. Tässä hän on epäilemättä mielenkiintoinen, ja hänet on jätettävä epämiellyttävien ihmisten ulkopuolelle. Muiden joukossa on jälleen vähiten kiinnostava ja niin edelleen.

Näissä väitteissä on ehdottomasti paradoksi. Onko tässä virhe, ja jos on, mikä se on?

12. Oletetaan, että sinulle annettiin tyhjä paperiarkki ja opastettiin kuvaamaan tämä arkki sille. Kirjoitat: tämä on suorakaiteen muotoinen arkki, valkoinen, sen ja sen kokoinen, valmistettu puristetuista puukuiduista jne.

Kuvaus näyttää olevan täydellinen. Mutta se on selvästi epätäydellinen! Kuvausprosessin aikana objekti muuttui: teksti ilmestyi siihen. Siksi on myös tarpeen lisätä kuvausta: ja lisäksi tälle paperiarkille on kirjoitettu: tämä on suorakaiteen muotoinen arkki, valkoinen ... jne. äärettömään.

Tämä näyttää paradoksilta, eikö niin?

Tunnettu lastenloru:

Papilla oli koira
Hän rakasti häntä
Hän söi palan lihaa
Hän tappoi hänet.
Tapettiin ja haudattiin
Ja taululle hän kirjoitti:
"Papilla oli koira..."

Voisiko tämä koiraa rakastava pop koskaan viimeistellä hautakiven? Eikö tämän kirjoituksen koostumus muistuta itsellään olevan paperiarkin täydellistä kuvausta?

13. Eräs kirjoittaja antaa tämän "hieno" neuvon: "Jos pienet temput eivät anna sinun saavuttaa haluamaasi, turvaudu suuriin temppuihin." Nämä neuvot tarjotaan otsikon "Ammatin temppuja" alla. Mutta onko hän todella yksi niistä temppuista? Loppujen lopuksi "pienet temput" eivät auta, ja juuri tästä syystä sinun on turvauduttava tähän neuvoon.

14. Kutsumme peliä normaaliksi, jos se päättyy äärelliseen määrään liikkeitä. Esimerkkejä normaaleista peleistä ovat shakki, tammi, domino: nämä pelit päättyvät aina joko jommankumman osapuolen voittoon tai tasapeliin. Peli, joka ei ole normaalia, jatkuu loputtomiin ilman tulosta. Otetaan myös käyttöön superpelin käsite: tällaisen pelin ensimmäinen askel on määrittää, millaista peliä tulisi pelata. Jos esimerkiksi sinä ja minä aiomme pelata superpeliä ja minä omistan ensimmäisen liikkeen, voin sanoa: "Pelataan shakkia." Sitten vastauksena teet shakkipelin ensimmäisen siirron, esimerkiksi e2 - e4, ja jatkamme peliä, kunnes se päättyy (erityisesti turnaussäännöissä varatun ajan umpeutumisesta johtuen). Ensimmäisenä siirtoni voin ehdottaa tic-tac-toe-peliä ja muuta vastaavaa. Mutta valitsemani pelin on oltava normaali; et voi valita peliä, joka ei ole normaali.

Syntyy ongelma: onko itse superpeli normaali vai ei? Oletetaan, että tämä on normaali peli. Koska se voi valita minkä tahansa normaalin pelin ensimmäiseksi siirtokseen, voin sanoa: "Pelataan superpeliä." Sen jälkeen superpeli on alkanut, ja seuraava siirto siinä on sinun. Sinulla on oikeus sanoa: "Pelataanpa superpeliä." Voin toistaa: "Pelataan superpeliä" ja siten prosessi voi jatkua loputtomiin. Siksi superpeli ei koske normaaleja pelejä. Mutta koska superpeli ei ole normaali, en voi ehdottaa superpeliä ensimmäisellä siirrollani superpelissä; Minun on valittava normaali peli. Mutta normaalin pelin valinta, jolla on loppu, on ristiriidassa sen todistetun tosiasian kanssa, että superpeli ei kuulu normaaleihin peliin.

Onko superpeli siis normaali peli vai ei?

Yritettäessä vastata tähän kysymykseen, ei tietenkään pidä seurata puhtaasti sanallisten erottelujen helppoa tietä. Yksinkertaisin tapa on sanoa, että normaali peli on peli ja superpeli vain pilaa.

Mitä muita paradokseja tämä paradoksi, että superpeli on sekä normaali että epänormaali samaan aikaan, muistuttaa?

Kirjallisuus

Bayif J.K. Logiikkatehtävät. - M., 1983.

Bourbaki N. Esseitä matematiikan historiasta. - M., 1963.

Gardner M. Arvaa! – M.: 1984.

Ivin A.A. Logiikan lakien mukaan. - M., 1983.

Klini S.K. Matemaattinen logiikka. - M., 1973.

Smallian R.M. Mikä tämän kirjan nimi on? – M.: 1982.

Smallian R.M. Prinsessa vai tiikeri? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Joukkoteorian perusteet. - M., 1966.

testikysymykset

Mikä on paradoksien merkitys logiikan kannalta?

Mitä ratkaisuja valehtelijan paradoksiin ehdotettiin?

Mitkä ovat semanttisesti suljetun kielen piirteet?

Mikä on monien tavallisten joukkojen paradoksien ydin?

Onko Protagorasin ja Euathluksen väliseen kiistaan ​​ratkaisua? Mitä ratkaisuja tähän kiistaan ​​ehdotettiin?

Mikä on epätarkkojen nimien paradoksin ydin?

Mikä voisi olla loogisten paradoksien erikoisuus?

Mitä johtopäätöksiä logiikasta seuraa loogisten paradoksien olemassaolosta?

Mitä eroa on paradoksien poistamisella ja selittämisellä? Mikä on loogisten paradoksien tulevaisuus?

Abstraktien ja raporttien aiheita

Loogisen paradoksin käsite

Valehtelijan paradoksi

Russellin paradoksi

Paradoksi "Protagoras ja Euathlus"

Paradoksien rooli logiikan kehityksessä

Näkymät paradoksien ratkaisemiseksi

Ero kielen ja metakielen välillä

Paradoksien eliminointi ja ratkaiseminen

Tiedetään, että ongelman muotoileminen on usein tärkeämpää ja vaikeampaa kuin sen ratkaiseminen. "Tieteessä", kirjoitti englantilainen kemisti F. Soddy, "oikein esitetty ongelma on yli puolet ratkaistu. Henkinen valmistautumisprosessi, joka tarvitaan tietyn tehtävän selvittämiseen, vie usein enemmän aikaa kuin itse tehtävä.

Ongelmatilanteen ilmenemis- ja toteutusmuodot ovat hyvin erilaisia. Ei suinkaan aina, se paljastaa itsensä suorana kysymyksenä, joka nousi esiin tutkimuksen alussa. Ongelmamaailma on yhtä monimutkainen kuin niitä synnyttävä kognitioprosessi. Ongelmien tunnistaminen on luovan ajattelun ydin. Paradoksit ovat mielenkiintoisin tapaus implisiittisistä, kysymättömistä tavoista esittää ongelmia. Paradokseja ovat yleisiä tieteellisten teorioiden kehityksen alkuvaiheessa, kun vielä tutkimattomalla alueella otetaan ensimmäiset askeleet ja haparoidaan yleisimmät lähestymisperiaatteet.

Laajassa merkityksessä paradoksi - tämä kanta on jyrkästi ristiriidassa yleisesti hyväksyttyjen, vakiintuneiden ortodoksisten mielipiteiden kanssa. "Yleisesti hyväksytyt mielipiteet ja se, mitä pidetään pitkän aikavälin päätöksenä, ansaitsevat useimmiten tutkimuksen" (G. Lichtenberg). Paradoksi on tällaisen tutkimuksen alku.

Paradoksi suppeammassa ja erikoisemmassa mielessä - ne ovat kaksi vastakkaista, yhteensopimatonta väitettä, joille jokaiselle on näennäisesti vakuuttavia argumentteja.

Paradoksin äärimmäisin muoto on antinomia, argumentti, joka todistaa kahden väitteen vastaavuuden, joista toinen on toisen kieltäminen.

Paradoksit ovat erityisen kuuluisia tiukimmissa ja tarkimmissa tieteissä - matematiikassa ja logiikassa. Eikä se ole sattumaa.

Logiikka on abstrakti hämähäkki. Siinä ei ole kokeita, ei edes faktoja sanan tavallisessa merkityksessä. Järjestelmänsä rakentaminen logiikka lähtee viime kädessä todellisen ajattelun analyysistä. Tämän analyysin tulosten mukaan ovat synteettisiä, erilaistumattomia. Ne eivät ole lausuntoja mistään erillisistä prosesseista tai tapahtumista, jotka teorian pitäisi selittää. Sellaista analyysiä ei tietenkään voida kutsua havainnoksi: aina havaitaan konkreettinen ilmiö.

Uutta teoriaa rakentaessaan tiedemies lähtee yleensä faktoista, siitä, mitä kokeessa voidaan havaita. Olipa hänen luova mielikuvituksensa kuinka vapaa tahansa, sen on otettava huomioon yksi välttämätön seikka: teorialla on järkeä vain, jos se on yhtä mieltä siihen liittyvien tosiasioiden kanssa. Teoria, joka on eri mieltä tosiasioiden ja havaintojen kanssa, on kaukaa haettu eikä sillä ole arvoa.

Mutta jos ei ole logiikan kokeita, ei tosiasioita eikä itse havainnointia, mikä sitten estää loogista fantasiaa? Mitkä tekijät, elleivät tosiasiat, otetaan huomioon luotaessa uusia loogisia teorioita?

Loogisen teorian ja todellisen ajattelun käytännön välinen ristiriita paljastuu usein enemmän tai vähemmän akuutin loogisen paradoksina ja joskus jopa loogisen antinomian muodossa, joka puhuu teorian sisäisestä epäjohdonmukaisuudesta. Tämä vain selittää sen tärkeyden, jota paradokseihin kiinnitetään logiikassa, ja suuren huomion, jota he nauttivat siinä.

"Loogisten paradoksien kuningas"

Tunnetuin ja ehkä mielenkiintoisin kaikista loogisista paradokseista on valehtelijan paradoksi. Hän, joka ylisti Eubulideksen nimeä Miletosta, löysi sen.

Tästä paradoksista tai antinomiasta on muunnelmia, joista monet ovat paradoksaalisia vain ulkonäöltään.

"Valehtelijan" yksinkertaisimmassa versiossa ihminen sanoo vain yhden lauseen: "Valehtelen". Tai hän sanoo: "Nyt esittämäni lausunto on väärä." Tai: "Tämä väite on väärä."

Jos väite on väärä, puhuja kertoi totuuden, ja siksi hänen sanomansa ei ole valhetta. Jos väite ei ole väärä ja puhuja väittää sen olevan väärä, tämä väite on väärä. Näin ollen käy ilmi, että jos puhuja valehtelee, hän puhuu totta ja päinvastoin.

Keskiajalla seuraava sanamuoto oli yleinen:

• - Se, mitä Platon sanoi, on valhetta, sanoo Sokrates.
• "Se, mitä Sokrates sanoi, on totuus", sanoo Platon. Herää kysymys, mikä niistä ilmaisee totuuden ja mikä on valhetta?

Ja tässä on tämän paradoksin moderni paradoksi. Oletetaan, että kortin etupuolelle on kirjoitettu vain sanat: "Tämän kortin toiselle puolelle on kirjoitettu tosi väite." On selvää, että nämä sanat edustavat merkityksellistä lausuntoa. Kääntämällä korttia meidän on joko löydettävä luvattu lausunto tai sitä ei ole siellä. Jos se on kirjoitettu takapuolelle, se on joko totta tai ei. Kuitenkin kääntöpuolella on sanat: "Tämän kortin toiselle puolelle on kirjoitettu väärä lausunto" - eikä mitään muuta. Oletetaan, että etupuolella oleva väite on totta. Silloin kääntöpuolella olevan väitteen on oltava tosi, ja siksi edessä olevan väitteen on oltava epätosi. Mutta jos edessä oleva väite on epätosi, niin myös takana olevan väitteen on oltava väärä, ja siksi edessä olevan väitteen on oltava tosi. Tuloksena on paradoksi.

Valehtelijan paradoksi teki suuren vaikutuksen kreikkalaisiin. Ja on helppo nähdä miksi. Sen esittämä kysymys näyttää ensi silmäyksellä varsin yksinkertaiselta: onko hän valehtelija, joka vain sanoo valehtelevansa? Mutta vastaus "kyllä" johtaa vastaukseen "ei" ja päinvastoin. Ja pohdiskelu ei selvennä tilannetta ollenkaan. Kysymyksen yksinkertaisuuden ja tasaisen rutiinin takana se paljastaa jonkin verran epämääräistä ja mittaamatonta syvyyttä.

On jopa legenda, että tietty Filit Kossky, joka halusi epätoivoisesti ratkaista tämän paradoksin, teki itsemurhan. Sanotaan myös, että yksi kuuluisista antiikin kreikkalaisista loogikoista, Diodorus Kronos, vannoi jo taantuvana vuotenaan olemaan syömättä, ennen kuin hän löysi ratkaisun "valehtelijalle", ja kuoli pian saavuttamatta mitään.

Keskiajalla tätä paradoksia kutsuttiin niin sanotuiksi ratkaisemattomiksi lauseiksi ja siitä tuli systemaattisen analyysin kohde.

Ja pitkään "Valehtelija" ei kiinnittänyt huomiota pitkään aikaan. He eivät nähneet kielen käytössä mitään, edes vähäisiä, vaikeuksia. Ja vasta meidän, niin sanottujen nykyaikanamme, logiikan kehitys on vihdoin saavuttanut tason, jolloin on mahdollista muotoilla tiukasti ne ongelmat, jotka näyttävät olevan tämän paradoksin takana.

Nykyään "valehtelijaa" - tätä tyypillistä entistä sofismia - kutsutaan usein loogisten paradoksien kuninkaaksi. Hänelle on omistettu laaja tieteellinen kirjallisuus. Ja silti, kuten monien muiden paradoksien tapauksessa, ei ole täysin selvää, mitä ongelmia sen takana on ja miten siitä päästään eroon.