Kuinka määrittää luvun etumerkki trigonometrisessa funktiossa. trigonometrinen ympyrä. Trigonometristen funktioiden perusarvot

Viitetiedot tangentille (tg x) ja kotangentille (ctg x). Geometrinen määritelmä, ominaisuudet, kuvaajat, kaavat. Taulukko tangenteista ja kotangenteista, derivaatoista, integraaleista, sarjalaajennuksista. Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta. Yhteys hyperbolisiin funktioihin.

Geometrinen määritelmä

|BD| - pisteessä A keskitetyn ympyrän kaaren pituus.
α on radiaaneina ilmaistu kulma.

Tangentti ( tgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran pituuden suhde |BC| viereisen haaran pituuteen |AB| .

Kotangentti ( ctgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| vastakkaisen jalan pituuteen |BC| .

Tangentti

Missä n-kokonainen.

AT Länsimainen kirjallisuus tangentti määritellään seuraavasti:
.
;
;
.

Tangenttifunktion kuvaaja, y = tg x

Kotangentti

Missä n-kokonainen.

Länsimaisessa kirjallisuudessa kotangentti merkitään seuraavasti:
.
Myös seuraava merkintä on otettu käyttöön:
;
;
.

Kotangenttifunktion kuvaaja, y = ctg x

Tangentin ja kotangentin ominaisuudet

Jaksoisuus

Funktiot y= tg x ja y= ctg x ovat jaksollisia jaksolla π.

Pariteetti

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat parittomia.

Määritelmä- ja arvoalueet, nouseva, laskeva

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia määrittelyalueellaan (katso jatkuvuuden todiste). Tangentin ja kotangentin pääominaisuudet on esitetty taulukossa ( n- kokonaisluku).

Kaavat

Lausekkeet sinin ja kosinin suhteen

; ;
; ;
;

Kaavat summan ja erotuksen tangentille ja kotangentille

Muut kaavat ovat esimerkiksi helppoja saada

Tangenttien tulo

Tangenttien summan ja eron kaava

Tämä taulukko näyttää tangenttien ja kotangenttien arvot joillekin argumentin arvoille.

Lausekkeet kompleksilukuina

Hyperbolisten funktioiden lausekkeet

;
;

Johdannaiset

; .

.
N:nnen kertaluvun johdannainen funktion muuttujan x suhteen:
.
Tangentin > > > kaavojen johtaminen ; kotangentille >>>

Integraalit

Laajennukset sarjoiksi

Saadaksesi tangentin laajennuksen potenssilla x, sinun on otettava useita termejä teho sarja toimintoja varten synti x ja cos x ja jakaa nämä polynomit toisiinsa , . Tämä johtaa seuraaviin kaavoihin.

klo .

osoitteessa .
missä B n- Bernoullin numerot. Ne määritetään joko toistuvuussuhteesta:
;
;
missä .
Tai Laplacen kaavan mukaan:

Käänteiset funktiot

Tangentin ja kotangentin käänteisfunktiot ovat vastaavasti arktangentti ja arkotangentti.

Arktangentti, arktg

, missä n-kokonainen.

Kaaretangentti, arcctg

, missä n-kokonainen.

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.
G. Korn, Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille, 2012.

Voit luoda useita tyypillisiä tuloksia - sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuudet. Tässä artikkelissa tarkastellaan kolmea pääominaisuutta. Ensimmäinen niistä osoittaa kulman α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin etumerkit riippuen siitä, mikä koordinaattineljänneskulma on α. Seuraavaksi tarkastellaan jaksollisuusominaisuutta, joka määrittää kulman α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvojen invarianssin, kun tämä kulma muuttuu kokonaislukumäärällä kierroksia. Kolmas ominaisuus ilmaisee vastakkaisten kulmien α ja −α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välisen suhteen.

Jos olet kiinnostunut sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin funktioiden ominaisuuksista, niitä voidaan tutkia artikkelin vastaavassa osassa.

Sivulla navigointi.

Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin merkit neljänneksissä

Tämän kappaleen alapuolelta löytyy ilmaus "koordinaattineljänneksen kulmat I, II, III ja IV". Selvitetään, mitä nämä kulmat ovat.

Otetaan yksikköympyrä, merkitään siihen aloituspiste A(1, 0) ja käännetään sitä pisteen O ympäri kulman α verran, samalla kun oletetaan, että päästään pisteeseen A 1 (x, y) .

He sanovat että kulma α on koordinaattineljänneksen kulma I , II , III , IV jos piste A 1 on I, II, III ja IV neljänneksissä, vastaavasti; jos kulma α on sellainen, että piste A 1 on millä tahansa koordinaattisuorasta Ox tai Oy , niin tämä kulma ei kuulu mihinkään neljästä neljänneksestä.

Selvyyden vuoksi esitämme graafisen kuvan. Alla olevissa piirustuksissa on esitetty kiertokulmat 30 , -210 , 585 ja -45 astetta, jotka ovat koordinaattineljännesten kulmat I , II , III ja IV vastaavasti.

kulmat 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … asteet eivät kuulu mihinkään koordinaattineljänneksiin.

Selvitetään nyt, millä etumerkeillä on kiertokulman α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot riippuen siitä, mikä neljänneskulma on α.

Sinille ja kosinille tämä on helppo tehdä.

Määritelmän mukaan kulman α sini on pisteen A 1 ordinaatta. On selvää, että I ja II koordinaattineljänneksillä se on positiivinen ja III ja IV neljänneksellä se on negatiivinen. Siten kulman α sinillä on plusmerkki I ja II neljänneksissä ja miinusmerkki III ja VI neljänneksissä.

Kulman α kosini puolestaan ​​on pisteen A 1 abskissa. I ja IV vuosineljänneksellä se on positiivinen ja II ja III neljänneksellä negatiivinen. Siksi kulman α kosinin arvot I ja IV neljänneksissä ovat positiivisia ja II ja III neljänneksissä ne ovat negatiivisia.

Jotta voit määrittää merkit tangentin ja kotangentin neljänneksillä, sinun on muistettava niiden määritelmät: tangentti on pisteen A 1 ordinaatin suhde abskissaan ja kotangentti on pisteen A 1 abskissan suhde ordinaataan. Sitten alkaen numeronjakosäännöt samoilla ja erilaisia ​​merkkejä tästä seuraa, että tangentilla ja kotangentilla on plusmerkki, kun pisteen A 1 abskissa- ja ordinaattamerkit ovat samat, ja miinusmerkki, kun pisteen A 1 abskissa- ja ordinaattamerkit ovat erilaiset. Siksi kulman tangentilla ja kotangentilla on +-merkki I- ja III-koordinaattineljänneksissä ja miinusmerkki II- ja IV-neljänneksissä.

Todellakin, esimerkiksi ensimmäisellä neljänneksellä pisteen A 1 sekä abskissa x että ordinaatta y ovat positiivisia, silloin sekä osamäärä x/y että osamäärä y/x ovat positiivisia, joten tangentilla ja kotangentilla on + merkit. . Ja toisella neljänneksellä abskissa x on negatiivinen ja ordinaatta y on positiivinen, joten sekä x / y että y / x ovat negatiivisia, jolloin tangentilla ja kotangentilla on miinusmerkki.

Siirrytään seuraavaan sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuuteen.

Jaksoisuusominaisuus

Nyt analysoimme kenties kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ilmeisintä ominaisuutta. Se koostuu seuraavista: kun kulma muuttuu kokonaislukumäärällä täydet kierrokset, tämän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot eivät muutu.

Tämä on ymmärrettävää: kun kulma muuttuu kokonaislukumäärällä kierroksia, pääsemme aina aloituspisteestä A pisteeseen A 1 yksikköympyrällä, joten sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot pysyvät ennallaan, koska pisteen A 1 koordinaatit ovat muuttumattomia.

Kaavoilla tarkasteltu sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuus voidaan kirjoittaa seuraavasti: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , jossa α on kiertokulma radiaaneina, z on mikä tahansa , jonka itseisarvo ilmaisee täyskierrosten lukumäärän, jolla kulma α muuttuu, ja numero z osoittaa käännöksen suunnan.

Jos kiertokulma α on annettu asteina, nämä kaavat kirjoitetaan uudelleen muotoon sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα, ctg(a+360°z)=ctga.

Otetaan esimerkkejä tämän ominaisuuden käytöstä. Esimerkiksi, , kuten , a . Tässä on toinen esimerkki: tai .

Tätä ominaisuutta yhdessä pelkistyskaavojen kanssa käytetään hyvin usein laskettaessa "suurien" kulmien sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvoja.

Käsiteltyä sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuutta kutsutaan joskus jaksollisuusominaisuudeksi.

Vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuudet

Olkoon А 1 piste, joka saadaan alkupisteen А(1, 0) kiertämisestä pisteen O ympäri kulman α verran, ja piste А 2 on pisteen А kiertymisen tulos kulman verran. −α vastapäätä kulmaa α .

Vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuus perustuu melko ilmeiseen tosiasiaan: edellä mainitut pisteet A 1 ja A 2 joko yhtyvät (at) tai sijaitsevat symmetrisesti akselin Ox ympärillä. Eli jos pisteellä A 1 on koordinaatit (x, y) , niin pisteellä A 2 on koordinaatit (x, −y) . Tästä eteenpäin sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien mukaisesti kirjoitetaan yhtälöt ja.
Vertaamalla niitä saadaan muodon α ja −α vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien välisiin suhteisiin.
Tämä on katsottu ominaisuus kaavojen muodossa.

Otetaan esimerkkejä tämän ominaisuuden käytöstä. Esimerkiksi tasa-arvot ja .

On vain huomattava, että vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuutta, kuten edellistä ominaisuutta, käytetään usein laskettaessa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvoja, ja sen avulla voit päästä kokonaan pois negatiivisista kulmista.

Bibliografia.

• Algebra: Proc. 9 solulle. keskim. koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos- M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. keskim. koulu - 3. painos - M.: Enlightenment, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.

Monipuolinen. Jotkut niistä koskevat sitä, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja negatiivinen, missä neljänneksissä sini on positiivinen ja negatiivinen. Kaikki osoittautuu yksinkertaiseksi, jos osaat laskea näiden funktioiden arvon eri kulmat ja tuntee funktioiden piirtämisen kaavioon.

Mitkä ovat kosinin arvot

Jos tarkastelemme, meillä on seuraava kuvasuhde, joka määrittää sen: kulman kosini a on viereisen haaran BC suhde hypotenuusaan AB (kuva 1): cos a= BC/AB.

Samaa kolmiota käyttämällä voit löytää kulman sinin, tangentin ja kotangentin. Sini on vastakkaisen haarakulman AC suhde hypotenuusaan AB. Kulman tangentti löytyy, jos halutun kulman sini jaetaan saman kulman kosinilla; korvaamalla vastaavat kaavat sinin ja kosinin löytämiseksi, saadaan, että tg a\u003d AC / BC. Kotangentti, tangentin käänteisfunktiona, löytyy näin: ctg a= BC/AC.

Eli samoilla kulman arvoilla havaittiin, että suorakulmaisessa kolmiossa kuvasuhde on aina sama. Vaikuttaa siltä, ​​​​että kävi selväksi, mistä nämä arvot ovat peräisin, mutta miksi negatiiviset luvut saadaan?

Tätä varten sinun on otettava huomioon suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä oleva kolmio, jossa on sekä positiivisia että negatiiviset arvot.

Selvästi neljänneksistä, missä on kumpi

Mitä ovat suorakulmaiset koordinaatit? Jos puhumme kaksiulotteisesta avaruudesta, meillä on kaksi suunnattua suoraa, jotka leikkaavat pisteessä O - tämä on abskissa-akseli (Ox) ja ordinaatta-akseli (Oy). Pisteestä O suoran suunnassa ovat positiivisia lukuja, ja sisään kääntöpuoli- negatiivinen. Loppujen lopuksi se riippuu suoraan tästä, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja missä vastaavasti negatiivinen.

Ensimmäinen neljännes

Jos sijoitettu suorakulmainen kolmio ensimmäisellä neljänneksellä (0 o - 90 o), jossa x- ja y-akselilla on positiivisia arvoja(segmentit AO ja VO sijaitsevat akseleilla, joissa arvoilla on "+"-merkki), niin sekä sinillä että kosinilla on myös positiiviset arvot ja niille annetaan arvo plusmerkillä. Mutta mitä tapahtuu, jos siirrät kolmion toiseen neljännekseen (90 o:sta 180 o:seen)?

Toinen neljännes

Näemme, että y-akselilla AO sai negatiivisen arvon. Kulman kosini a nyt on tämä puoli suhteessa miinukseen, ja siksi sen lopullinen arvo tulee negatiiviseksi. Osoittautuu, että missä neljänneksessä kosini on positiivinen, riippuu kolmion sijainnista suorakulmaisessa koordinaatistossa. Ja tässä tapauksessa kulman kosini saa negatiivisen arvon. Mutta sinin osalta mikään ei ole muuttunut, koska sen merkin määrittämiseksi tarvitaan OB:n puoli, joka jäi tässä tapauksessa plusmerkillä. Tehdään yhteenveto kahdesta ensimmäisestä neljänneksestä.

Jotta saadaan selville, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja missä negatiivinen (samoin kuin sini ja muut trigonometriset funktiot), on tarkasteltava, mikä merkki on osoitettu yhdelle tai toiselle haaralle. Kulman kosinille a AO-jalka on tärkeä poskiontelolle - OB.

Ensimmäinen neljännes on toistaiseksi ainoa, joka vastaa kysymykseen: "Millä neljänneksillä on sini ja kosini yhtä aikaa positiivinen?". Katsotaanpa lisää, tuleeko näiden kahden funktion merkissä enemmän yhteensattumia.

Toisella neljänneksellä AO-osuuden arvo alkoi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että kosini muuttui negatiiviseksi. Positiivinen arvo tallennetaan sinille.

kolmas neljäsosa

Nyt molemmat jalat AO ja OB ovat tulleet negatiivisiksi. Muista kosinin ja sinin suhteet:

Cos a \u003d AO / AB;

Sin a \u003d BO / AB.

AB:llä on aina positiivinen etumerkki tietyssä koordinaattijärjestelmässä, koska sitä ei ole suunnattu kumpaankaan akselien määrittelemästä sivusta. Mutta jalat ovat tulleet negatiivisiksi, mikä tarkoittaa, että molempien funktioiden tulos on myös negatiivinen, koska jos suoritat kerto- tai jakooperaatioita numeroilla, joiden joukossa yhdellä ja vain yhdellä on miinusmerkki, niin tulos on myös tällä merkillä .

Tulos tässä vaiheessa:

1) Millä neljänneksellä kosini on positiivinen? Ensimmäisessä kolmesta.

2) Millä neljänneksellä sini on positiivinen? Ensimmäisessä ja toisessa kolmesta.

Neljäs vuosineljännes (270 o - 360 o)

Tässä AO-jalka saa jälleen plusmerkin ja siten myös kosinin.

Sinin osalta asiat ovat edelleen "negatiivisia", koska jalan OB jäi lähtöpisteen O alapuolelle.

löydöksiä

Ymmärtääksesi, missä neljänneksissä kosini on positiivinen, negatiivinen jne., Sinun on muistettava kosinin laskemisen suhde: kulman vieressä oleva jalka, jaettuna hypotenuusalla. Jotkut opettajat suosittelevat tämän muistamista: k (osine) \u003d (k) kulma. Jos muistat tämän "huijauksen", ymmärrät automaattisesti, että sini on vastakohdan suhde jalan kulmaan hypotenuusaan.

On melko vaikeaa muistaa, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja mikä negatiivinen. Trigonometrisiä funktioita on monia, ja niillä kaikilla on omat arvonsa. Mutta silti tuloksena: positiiviset arvot sinille - 1, 2 neljännestä (0 o - 180 o); kosini 1:lle 4 neljännestä (0 o - 90 o ja 270 o - 360 o). Muilla vuosineljänneksillä funktioilla on miinusarvot.

Ehkä jonkun on helpompi muistaa, missä on mikä merkki funktion kuvan mukaan.

Sinin osalta voidaan nähdä, että nollasta 180 o:een harja on sin (x) arvojen rivin yläpuolella, mikä tarkoittaa, että funktio on tässä positiivinen. Kosinille se on sama: missä neljänneksessä kosini on positiivinen (kuva 7) ja missä negatiivinen, se voidaan nähdä siirtämällä viivaa cos (x) -akselin ylä- ja alapuolelle. Tämän seurauksena voimme muistaa kaksi tapaa määrittää sinin etumerkki, kosinifunktiot:

1. Kuvitteellisella ympyrällä, jonka säde on yhtä suuri (vaikka itse asiassa sillä ei ole väliä mikä ympyrän säde on, mutta oppikirjoissa tämä esimerkki on useimmiten annettu; tämä helpottaa havaitsemista, mutta samaan aikaan, jos et määritä, että tällä ei ole väliä, lapset voivat hämmentyä).

2. Kuvan mukaan funktion riippuvuus (x):stä itse argumentista x, kuten viimeisessä kuvassa.

Ensimmäistä menetelmää käyttämällä voit YMMÄRTÄÄ, mistä merkki tarkalleen riippuu, ja selitimme tämän yksityiskohtaisesti yllä. Näihin tietoihin rakennettu kuva 7 visualisoi tuloksena olevan funktion ja sen etumerkkijäsenyyden parhaalla mahdollisella tavalla.

Jos olet jo perehtynyt trigonometrinen ympyrä , ja haluat vain päivittää yksittäisiä elementtejä muistissasi tai olet täysin kärsimätön, niin tässä se on, :

Täällä analysoimme kaiken yksityiskohtaisesti askel askeleelta.

Trigonometrinen ympyrä ei ole luksusta, vaan välttämättömyys

Trigonometria monet liittyvät läpäisemättömään tiheään. Niin monia merkityksiä kasaantuu yhtäkkiä trigonometriset funktiot, niin monia kaavoja ... Mutta se ei toiminut aluksi, ja ... jatkuvasti ... silkkaa väärinkäsitystä ...

On erittäin tärkeää olla heiluttamatta kättäsi trigonometristen funktioiden arvot, - he sanovat, aina voi katsoa kannustetta arvotaulukolla.

Jos katsot jatkuvasti taulukkoa trigonometristen kaavojen arvoilla, päästään eroon tästä tavasta!

Pelastaa meidät! Työskentelet sen kanssa useita kertoja, ja sitten se ponnahtaa päähäsi itsestään. Miksi se on parempi kuin pöytä? Kyllä, taulukosta löydät rajoitetun määrän arvoja, mutta ympyrästä - KAIKKI!

Oletetaan esimerkiksi, että katsot trigonometristen kaavojen vakioarvotaulukko , joka on esimerkiksi 300 asteen sini tai -45.

Ei mitenkään? .. voit tietysti muodostaa yhteyden pelkistyskaavat... Ja katsomalla trigonometristä ympyrää, voit helposti vastata tällaisiin kysymyksiin. Ja pian tiedät kuinka!

Ja kun ratkaistaan ​​trigonometrisiä yhtälöitä ja epäyhtälöitä ilman trigonometristä ympyrää - ei missään.

Johdatus trigonometriseen ympyrään

Mennään järjestyksessä.

Kirjoita ensin seuraavat numerosarjat muistiin:

Ja nyt tämä:

Ja lopuksi tämä:

Tietenkin on selvää, että itse asiassa ensinnäkin on, toiseksi on, ja viimeinen -. Eli olemme enemmän kiinnostuneita ketjusta.

Mutta kuinka kaunis siitä tulikaan! Siinä tapauksessa palautamme nämä "ihanat tikkaat".

Ja miksi me tarvitsemme sitä?

Tämä ketju on sinin ja kosinin pääarvot ensimmäisellä neljänneksellä.

Piirretään yksikkösäteinen ympyrä suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään (eli otamme minkä tahansa säteen pituudelta ja julistamme sen pituudeksi yksikkö).

"0-Start" -palkista siirrämme sivuun nuolen (katso kuva) kulmat.

Saamme vastaavat pisteet ympyrästä. Joten jos projisoimme pisteet jokaiselle akselille, saamme tarkalleen arvot yllä olevasta ketjusta.

Miksi niin, kysyt?

Älkäämme purkako kaikkea. Harkitse periaate, jonka avulla voit selviytyä muista samankaltaisista tilanteista.

Kolmio AOB on suorakulmainen kolmio, jossa on . Ja tiedämme, että kulmaa vastapäätä on jalka, joka on kaksi kertaa pienempi kuin hypotenuusa (hypotenuusamme = ympyrän säde, eli 1).

Siten AB= (ja siten OM=). Ja Pythagoraan lauseen mukaan

Toivottavasti nyt on jotain selvää.

Joten piste B vastaa arvoa ja piste M vastaa arvoa

Samoin muiden ensimmäisen vuosineljänneksen arvojen kanssa.

Kuten ymmärrät, meille tuttu akseli (härkä) tulee olemaan kosiniakseli, ja akseli (oy) - sinus-akseli . myöhemmin.

Vasemmalla puolella kosiniakselin nollasta (siniakselin nollan alapuolella) on tietysti negatiivisia arvoja.

Joten tässä se on, KAIKKIVOIMAKAS, jota ilman ei missään trigonometriassa.

Mutta kuinka trigonometristä ympyrää käytetään, puhumme.

Trigonometrisen funktion etumerkki riippuu yksinomaan koordinaattineljänneksestä, jossa numeerinen argumentti sijaitsee. Viime kerralla opimme kääntämään argumentit radiaanimittasta astemittaksi (katso oppitunti "Kulman radiaani ja astemitta") ja määrittämään sitten tämä sama koordinaattineljännes. Käsitellään nyt itse asiassa sinin, kosinin ja tangentin merkin määritelmää.

Kulman α sini on trigonometrisen ympyrän pisteen ordinaatti (koordinaatti y), joka syntyy, kun sädettä kierretään kulman α läpi.

Kulman α kosini on trigonometrisen ympyrän pisteen abskissa (x-koordinaatti), joka syntyy, kun säde pyörii kulman α läpi.

Kulman α tangentti on sinin ja kosinin suhde. Tai vastaavasti y-koordinaatin suhde x-koordinaattiin.

Merkintä: sin α = y ; cosa = x; tgα = y:x.

Kaikki nämä määritelmät ovat sinulle tuttuja lukion algebrakurssilta. Emme kuitenkaan ole kiinnostuneita itse määritelmistä, vaan trigonometrisen ympyrän seurauksista. Katso:

Sininen väri ilmaisee OY-akselin positiivista suuntaa (ordinaattinen akseli), punainen väri OX-akselin positiivista suuntaa (abskissa-akseli). Tässä "tutkassa" trigonometristen funktioiden merkit tulevat ilmeisiksi. Erityisesti:

1. sin α > 0, jos kulma α on I tai II koordinaattineljänneksessä. Tämä johtuu siitä, että määritelmän mukaan sini on ordinaatti (y-koordinaatti). Ja y-koordinaatti on positiivinen juuri I- ja II-koordinaattineljänneksissä;
2. cos α > 0, jos kulma α on I tai IV koordinaattineljänneksessä. Koska vain siellä x-koordinaatti (se on myös abskissa) on suurempi kuin nolla;
3. tg α > 0, jos kulma α on I- tai III-koordinaattikvadrantissa. Tämä seuraa määritelmästä: loppujen lopuksi tg α = y : x , joten se on positiivinen vain silloin, kun x:n ja y:n merkit ovat samat. Tämä tapahtuu 1. koordinaattineljänneksellä (tässä x > 0, y > 0) ja 3. koordinaattineljänneksellä (x< 0, y < 0).

Selvyyden vuoksi huomaamme kunkin trigonometrisen funktion merkit - sini, kosini ja tangentti - erillisessä "tutkassa". Saamme seuraavan kuvan:

Huomaa: päättelyssäni en koskaan puhunut neljännestä trigonometrisesta funktiosta - kotangentista. Tosiasia on, että kotangentin merkit ovat samat kuin tangentin merkit - siellä ei ole erityisiä sääntöjä.

Nyt ehdotan tarkastelemaan esimerkkejä, jotka ovat samankaltaisia ​​​​kuin ongelmat B11 alkaen koe koe matematiikassa, joka pidettiin 27. syyskuuta 2011. Loppujen lopuksi Paras tapa teorian ymmärtäminen on käytäntöä. Mieluummin paljon harjoittelua. Tehtävien ehtoja tietysti hieman muutettiin.

Tehtävä. Määritä trigonometristen funktioiden ja lausekkeiden merkit (itse funktioiden arvoja ei tarvitse ottaa huomioon):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. vaaleanruskea (5x/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Toimintasuunnitelma on seuraava: ensin muunnetaan kaikki kulmat radiaanimittasta astemittaksi (π → 180°) ja sitten katsotaan missä koordinaattineljänneksessä tuloksena oleva luku sijaitsee. Neljännekset tuntemalla löydämme merkit helposti - juuri kuvattujen sääntöjen mukaan. Meillä on:

1. sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Koska 135° ∈ , tämä on kulma II koordinaattineljänneksestä. Mutta sini toisella neljänneksellä on positiivinen, joten sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Koska 210° ∈ , tämä on kulma III-koordinaattikvadrantista, jossa kaikki kosinit ovat negatiivisia. Siksi cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ lähtien olemme neljännessä IV, jossa tangentti saa negatiiviset arvot. Siksi tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Käsitellään siniä: koska 135° ∈ , tämä on toinen neljännes, jossa sinit ovat positiivisia, ts. sin (3π/4) > 0. Nyt työskentelemme kosinin kanssa: 150° ∈ - jälleen toinen neljännes, siellä olevat kosinit ovat negatiivisia. Siksi cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Katsomme kosinia: 120° ∈ on II koordinaattineljännes, joten cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Saimme jälleen tuotteen, jossa eri merkkisiä tekijöitä. Koska "miinus kertaa plus antaa miinuksen", meillä on: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Työskentelemme sinin kanssa: koska 150° ∈ , me puhumme noin II koordinaattineljänneksestä, jossa sinit ovat positiivisia. Siksi sin (5π/6) > 0. Vastaavasti 315° ∈ on IV-koordinaattineljännes, siellä olevat kosinit ovat positiivisia. Siksi cos (7π/4) > 0. Saimme kahden positiivisen luvun tulon - tällainen lauseke on aina positiivinen. Päättelemme: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Mutta kulma 135° ∈ on toinen neljännes, ts. rusketus (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Koska "miinus plus antaa miinusmerkin", meillä on: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Tarkastellaan kotangenttiargumenttia: 240° ∈ on III-koordinaattineljännes, joten ctg (4π/3) > 0. Vastaavasti meillä olevalle tangentille: 30° ∈ on I-koordinaattineljännes, ts. helpoin kulma. Siksi tg (π/6) > 0. Saimme jälleen kaksi positiivista lauseketta - myös niiden tulo on positiivinen. Siksi ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Lopuksi katsotaan vielä muutama haastavia tehtäviä. Trigonometrisen funktion etumerkin selvittämisen lisäksi tässä on tehtävä pieni laskutoimitus - aivan kuten todellisissa tehtävissä B11. Periaatteessa nämä ovat melkein todellisia tehtäviä, jotka todella löytyvät matematiikan kokeesta.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,64 ja α ∈ [π/2; π].

Koska sin 2 α = 0,64, meillä on: sin α = ±0,8. On vielä päätettävä: plus vai miinus? Oletuksena on, että kulma α ∈ [π/2; π] on II koordinaattineljännes, jossa kaikki sinit ovat positiivisia. Siksi sin α = 0,8 - etumerkkien epävarmuus on eliminoitu.

Tehtävä. Etsi cos α, jos cos 2 α = 0,04 ja α ∈ [π; 3π/2].

Toimimme samalla tavalla, ts. ottaa talteen Neliöjuuri: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ± 0,2. Oletuksena on, että kulma α ∈ [π; 3π/2], so. puhumme III koordinaattineljänneksestä. Siellä kaikki kosinit ovat negatiivisia, joten cos α = −0,2.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,25 ja α ∈ .

Meillä on: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Jälleen tarkastellaan kulmaa: α ∈ on IV-koordinaattineljännes, jossa, kuten tiedät, sini on negatiivinen. Tästä päätämme: sin α = −0,5.

Tehtävä. Etsi tg α, jos tg 2 α = 9 ja α ∈ .

Kaikki on sama, vain tangentin osalta. Otetaan neliöjuuri: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Mutta ehdon mukaan kulma α ∈ on I-koordinaattineljännes. Kaikki trigonometriset funktiot, sis. tangentti, on positiivisia, joten tg α = 3. Siinä se!