Si el ángulo es agudo entonces el coeficiente. La ecuación de la tangente a la gráfica de la función. Guía completa (2019)

En el capítulo anterior se mostró que, eligiendo un cierto sistema de coordenadas en el plano, podemos expresar analíticamente las propiedades geométricas que caracterizan los puntos de la línea en consideración mediante la ecuación entre las coordenadas actuales. Así, obtenemos la ecuación de la recta. En este capítulo, se considerarán las ecuaciones de líneas rectas.

Para formular la ecuación de una línea recta en coordenadas cartesianas, debe establecer de alguna manera las condiciones que determinan su posición en relación con los ejes de coordenadas.

Primero, introducimos el concepto de pendiente de una línea recta, que es una de las cantidades que caracterizan la posición de una línea recta en un plano.

Llamemos ángulo de inclinación de la línea al eje Ox al ángulo por el cual se debe girar el eje Ox para que coincida con la línea dada (o resulte ser paralelo a ella). Como de costumbre, consideraremos el ángulo teniendo en cuenta el signo (el signo está determinado por la dirección de rotación: en sentido antihorario o en sentido horario). Dado que una rotación adicional del eje Ox en un ángulo de 180 ° lo combinará nuevamente con la línea recta, el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje se puede elegir de manera ambigua (hasta un múltiplo de ).

La tangente de este ángulo está determinada de forma única (ya que cambiar el ángulo a no cambia su tangente).

La tangente del ángulo de inclinación de una línea recta al eje x se llama pendiente de la línea recta.

Pendiente caracteriza la dirección de la línea recta (aquí no distinguimos entre dos direcciones mutuamente opuestas de la línea recta). Si la pendiente es recta cero, entonces la línea es paralela al eje x. Con una pendiente positiva, el ángulo de inclinación de la línea recta al eje x será agudo (consideramos aquí el más pequeño valor positivoángulo de inclinación) (Fig. 39); en este caso, cuanto mayor sea la pendiente, mayor será el ángulo de su inclinación con respecto al eje Ox. Si la pendiente es negativa, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje x será obtuso (Fig. 40). Tenga en cuenta que una línea recta perpendicular al eje x no tiene pendiente (la tangente de un ángulo no existe).

La línea y \u003d f (x) será tangente al gráfico que se muestra en la figura en el punto x0 si pasa por el punto con coordenadas (x0; f (x0)) y tiene una pendiente f "(x0). Encuentra tal coeficiente, conociendo las características de la tangente, no es difícil.

Necesitará

• - libro de referencia matemático;
• - un lápiz simple;
• - computadora portátil;
• - transportador;
• - Brújula;
• - bolígrafo.

Instrucción

Si el valor f‘(x0) no existe, entonces no hay tangente o pasa verticalmente. En vista de esto, la presencia de la derivada de la función en el punto x0 se debe a la existencia de una tangente no vertical que está en contacto con la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso, la pendiente de la tangente será igual a f "(x0). Por lo tanto, queda claro sentido geométrico derivada - cálculo de la pendiente de la tangente.

Dibuja tangentes adicionales que estarían en contacto con la gráfica de la función en los puntos x1, x2 y x3, y también marca los ángulos formados por estas tangentes con el eje de abscisas (tal ángulo se cuenta en la dirección positiva desde el eje hasta la recta tangente). Por ejemplo, el ángulo, es decir, α1, será agudo, el segundo (α2) es obtuso y el tercero (α3) es cero, ya que la recta tangente es paralela al eje OX. En este caso, la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la tangente de un ángulo agudo es positiva y para tg0 el resultado es cero.

Nota

Determina correctamente el ángulo que forma la tangente. Para hacer esto, use un transportador.

Consejo útil

Dos rectas oblicuas serán paralelas si sus pendientes son iguales entre sí; perpendicular si el producto de las pendientes de estas tangentes es -1.

Fuentes:

• Gráfico de tangente a función

El coseno, como el seno, se conoce como funciones trigonométricas "directas". La tangente (junto con la cotangente) se suma a otro par llamado "derivadas". Hay varias definiciones de estas funciones que permiten encontrar la tangente dada por valor conocido coseno del mismo valor.

Instrucción

Reste el cociente de la unidad por el coseno del ángulo dado elevado al valor y extraiga la raíz cuadrada del resultado: este será el valor de la tangente del ángulo, expresado por su coseno: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Al mismo tiempo, preste atención al hecho de que en la fórmula el coseno está en el denominador de la fracción. La imposibilidad de dividir por cero excluye el uso de esta expresión para ángulos iguales a 90°, así como diferir de este valor por múltiplos de 180° (270°, 450°, -90°, etc.).

También hay manera alternativa calcular la tangente a partir del valor conocido del coseno. Se puede usar si no hay restricción en el uso de otros. Para implementar este método, primero determine el valor del ángulo a partir de un valor de coseno conocido; esto se puede hacer usando la función arcocoseno. Luego simplemente calcule la tangente para el ángulo del valor resultante. En general, este algoritmo se puede escribir de la siguiente manera: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Hay otra opción exótica usando la definición de coseno y tangente a través de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. El coseno en esta definición corresponde a la relación entre la longitud del cateto adyacente al ángulo considerado y la longitud de la hipotenusa. Conociendo el valor del coseno, puedes elegir las longitudes de estos dos lados que le corresponden. Por ejemplo, si cos(α)=0.5, entonces el adyacente puede tomarse igual a 10 cm y la hipotenusa - 20 cm. Los números específicos no importan aquí: obtendrá lo mismo y lo corregirá con cualquier valor que tenga lo mismo. Luego, utilizando el teorema de Pitágoras, determine la longitud del lado que falta: el cateto opuesto. ella sera igual raíz cuadrada de la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa al cuadrado y el cateto conocido: √(20²-10²)=√300. Por definición, la tangente corresponde a la relación de las longitudes de los catetos opuestos y adyacentes (√300/10); calcúlela y obtenga el valor de la tangente utilizando la definición clásica de coseno.

Fuentes:

• fórmula del coseno a través de la tangente

Uno de funciones trigonométricas, más a menudo denotado por las letras tg, aunque también se encuentran las designaciones tan. La forma más fácil es representar la tangente como la razón del seno ángulo a su coseno. Esta es una función periódica impar y no continua, cada ciclo de la cual es igual al numero Pi, y el punto de quiebre corresponde a la mitad de ese número.

En matemáticas, uno de los parámetros que describen la posición de una línea recta en el plano de coordenadas cartesianas es la pendiente de esta línea recta. Este parámetro caracteriza la pendiente de la línea recta al eje x. Para entender cómo encontrar la pendiente, primero recuerde la forma general de la ecuación de una línea recta en el sistema de coordenadas XY.

En general, cualquier línea se puede representar mediante la expresión ax+by=c, donde a, b y c son números reales arbitrarios, pero necesariamente a 2 + b 2 ≠ 0.

Con la ayuda de transformaciones simples, dicha ecuación se puede llevar a la forma y=kx+d, en la que k y d son números reales. El número k es una pendiente, y la ecuación de una recta de este tipo se llama ecuación con pendiente. Resulta que para encontrar la pendiente, solo necesitas llevar la ecuación original a la forma anterior. Para una mejor comprensión, considere un ejemplo específico:

Tarea: Encuentra la pendiente de la línea dada por la ecuación 36x - 18y = 108

Solución: Transformemos la ecuación original.

Respuesta: La pendiente deseada de esta recta es 2.

Si durante la transformación de la ecuación obtuvimos una expresión del tipo x = const y como resultado no podemos representar y en función de x, entonces estamos ante una recta paralela al eje X. La pendiente de tal línea recta es igual a infinito.

Para líneas que se expresan mediante una ecuación como y = const, la pendiente es cero. Esto es típico para líneas rectas paralelas al eje x. Por ejemplo:

Tarea: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solución: Llevamos la ecuación original a una forma general

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es imposible expresar y a partir de la expresión resultante, por lo tanto, la pendiente de esta línea recta es igual al infinito, y la línea recta en sí será paralela al eje Y.

sentido geométrico

Para una mejor comprensión, veamos la imagen:

En la figura vemos la gráfica de una función del tipo y = kx. Para simplificar, tomamos el coeficiente c = 0. En el triángulo OAB, la relación entre el lado BA y AO será igual a la pendiente k. Al mismo tiempo, la relación VA/AO es la tangente de un ángulo agudo α en triángulo rectángulo OAV. Resulta que la pendiente de una línea recta es igual a la tangente del ángulo que forma esta línea recta con el eje x de la cuadrícula de coordenadas.

Resolviendo el problema de cómo encontrar la pendiente de una línea recta, encontramos la tangente del ángulo entre ella y el eje x de la cuadrícula de coordenadas. Los casos límite, cuando la línea considerada es paralela a los ejes de coordenadas, confirman lo anterior. De hecho, para una línea recta descrita por la ecuación y=const, el ángulo entre ella y el eje x es igual a cero. La tangente del ángulo cero también es cero y la pendiente también es cero.

Para líneas rectas perpendiculares al eje x y descritas por la ecuación x=const, el ángulo entre ellas y el eje x es de 90 grados. Tangente ángulo recto es igual a infinito, y la pendiente de rectas semejantes es igual a infinito, lo que confirma lo escrito anteriormente.

Pendiente tangente

Una tarea común, a menudo encontrada en la práctica, es también encontrar la pendiente de la tangente al gráfico de la función en algún punto. La tangente es una recta, por lo que también le es aplicable el concepto de pendiente.

Para descubrir cómo encontrar la pendiente de una tangente, necesitaremos recordar el concepto de derivada. La derivada de cualquier función en algún punto es una constante, numéricamente igual a la tangente el ángulo que se forma entre la tangente en el punto especificado a la gráfica de esta función y el eje de abscisas. Resulta que para determinar la pendiente de la tangente en el punto x 0, necesitamos calcular el valor de la derivada de la función original en este punto k \u003d f "(x 0). Consideremos un ejemplo:

Tarea: Encuentra la pendiente de la línea tangente a la función y = 12x 2 + 2xe x en x = 0.1.

Solución: Encuentra la derivada de la función original en forma general

y "(0,1) = 24 . 0.1 + 2 . 0.1 . e 0.1 + 2 . e 0.1

Respuesta: La pendiente deseada en el punto x \u003d 0.1 es 4.831

La continuación del tema de la ecuación de una línea recta en un plano se basa en el estudio de una línea recta de las lecciones de álgebra. Este artículo brinda información general sobre el tema de la ecuación de una línea recta con una pendiente. Considere las definiciones, obtenga la ecuación en sí, revele la conexión con otros tipos de ecuaciones. Todo será discutido en ejemplos de resolución de problemas.

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Antes de escribir tal ecuación, es necesario definir el ángulo de inclinación de una línea recta al eje O x con su pendiente. Supongamos que se da un sistema de coordenadas cartesianas O x en el plano.

Definición 1

El ángulo de inclinación de la recta al eje O x, ubicado en el sistema de coordenadas cartesianas O x y en el plano, este es el ángulo que se mide desde la dirección positiva O x hasta la línea recta en sentido antihorario.

Cuando una recta es paralela a Ox o ocurre coincidencia en ella, el ángulo de inclinación es 0. Entonces el ángulo de inclinación de la recta dada α se define en el intervalo [ 0 , π) .

Definición 2

Pendiente de una recta es la tangente de la pendiente de la recta dada.

La notación estándar es k. De la definición obtenemos que k = t g α . Cuando la recta es paralela a Ox, se dice que la pendiente no existe porque tiende al infinito.

La pendiente es positiva cuando la gráfica de la función es creciente y viceversa. La figura muestra varias variaciones de la ubicación del ángulo recto en relación con el sistema de coordenadas con el valor del coeficiente.

Para encontrar este ángulo, es necesario aplicar la definición del coeficiente de pendiente y calcular la tangente del ángulo de inclinación en el plano.

Decisión

De la condición tenemos que α = 120°. Por definición, necesitas calcular la pendiente. Encontrémoslo a partir de la fórmula k = t g α = 120 = - 3 .

Responder: k = - 3 .

Si se conoce el coeficiente angular, pero es necesario encontrar el ángulo de inclinación con respecto al eje x, entonces se debe tener en cuenta el valor del coeficiente angular. Si k > 0, entonces el ángulo recto es agudo y se encuentra mediante la fórmula α = a r c t g k . Si k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Ejemplo 2

Determine el ángulo de inclinación de la línea recta dada a O x con una pendiente igual a 3.

Decisión

De la condición tenemos que la pendiente es positiva, lo que significa que el ángulo de inclinación a O x es menor de 90 grados. Los cálculos se realizan de acuerdo con la fórmula α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Respuesta: α = un r c t gramo 3 .

Ejemplo 3

Encuentre el ángulo de inclinación de la línea recta al eje O x, si la pendiente = - 1 3 .

Decisión

Si tomamos la letra k como la designación de la pendiente, entonces α es el ángulo de inclinación de la línea recta dada en la dirección positiva O x. Por lo tanto k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - un r C t gramo - 1 3 = π - un r C t gramo 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Responder: 5 pi 6 .

Una ecuación de la forma y \u003d k x + b, donde k es una pendiente y b es un número real, se denomina ecuación de una línea recta con pendiente. La ecuación es típica para cualquier línea recta que no sea paralela al eje O y.

Si consideramos en detalle una línea recta en un plano en un sistema de coordenadas fijo, que está dado por una ecuación con una pendiente que se parece a y = k · x + b. En este caso, significa que las coordenadas de cualquier punto de la recta corresponden a la ecuación. Si sustituimos las coordenadas del punto M, M 1 (x 1, y 1), en la ecuación y \u003d k x + b, entonces en este caso la línea pasará por este punto, de lo contrario, el punto no pertenece al línea.

Ejemplo 4

Dada una recta con pendiente y = 1 3 x - 1 . Calcula si los puntos M 1 (3 , 0) y M 2 (2 , - 2) pertenecen a la recta dada.

Decisión

Es necesario sustituir las coordenadas del punto M 1 (3, 0) en la ecuación dada, luego obtenemos 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . La igualdad es verdadera, por lo que el punto pertenece a la recta.

Si sustituimos las coordenadas del punto M 2 (2, - 2), entonces obtenemos una igualdad incorrecta de la forma - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Podemos concluir que el punto M 2 no pertenece a la recta.

Responder: M 1 pertenece a la línea, pero M 2 no.

Se sabe que la recta está definida por la ecuación y = k · x + b que pasa por M 1 (0 , b) , por sustitución se obtiene una igualdad de la forma b = k · 0 + b ⇔ b = b . De esto podemos concluir que la ecuación de una recta con pendiente y = k · x + b en el plano define una recta que pasa por el punto 0, b. Forma un ángulo α con la dirección positiva del eje O x, donde k = t g α .

Considere, por ejemplo, una línea recta definida usando una pendiente dada por la forma y = 3 · x - 1 . Obtenemos que la recta pasará por el punto de coordenada 0, - 1 con una pendiente de α = a r c t g 3 = π 3 radianes en el sentido positivo del eje O x. De esto se puede ver que el coeficiente es 3.

La ecuación de una recta con pendiente que pasa por un punto dado

Se trata de resolver un problema donde se requiere obtener la ecuación de una recta de pendiente dada que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1) .

La igualdad y 1 = k · x + b se puede considerar válida, ya que la recta pasa por el punto M 1 (x 1 , y 1) . Para eliminar el número b, es necesario restar la ecuación con el coeficiente de pendiente de los lados izquierdo y derecho. De esto se sigue que y - y 1 = k · (x - x 1) . Esta igualdad se denomina ecuación de una recta con pendiente k dada, que pasa por las coordenadas del punto M 1 (x 1, y 1) .

Ejemplo 5

Componer la ecuación de una recta que pasa por el punto M 1 de coordenadas (4, - 1), con pendiente igual a - 2.

Decisión

Por condición, tenemos que x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. A partir de aquí, la ecuación de la recta quedará escrita de esta forma y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Responder: y = - 2 x + 7 .

Ejemplo 6

Escriba la ecuación de una línea recta con una pendiente que pasa por el punto M 1 con coordenadas (3, 5) paralelas a la línea recta y \u003d 2 x - 2.

Decisión

Por condición, tenemos que las rectas paralelas tienen ángulos de inclinación coincidentes, por lo que los coeficientes de pendiente son iguales. Para encontrar la pendiente de ecuación dada, es necesario recordar su fórmula básica y = 2 x - 2, por lo que se sigue que k = 2 . Componemos una ecuación con un coeficiente de pendiente y obtenemos:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Responder: y = 2 x - 1 .

El paso de la ecuación de una recta con pendiente a otro tipo de ecuaciones de una recta y viceversa

Tal ecuación no siempre es aplicable para resolver problemas, ya que tiene una notación no muy conveniente. Para ello, debe presentarse en una forma diferente. Por ejemplo, una ecuación de la forma y = k · x + b no te permite escribir las coordenadas del vector director de la línea recta o las coordenadas del vector normal. Para hacer esto, necesitas aprender a representar ecuaciones de otro tipo.

Podemos obtener la ecuación canónica de una línea recta en un plano usando la ecuación de una línea recta con pendiente. Obtenemos x - x 1 a x = y - y 1 a y . Es necesario mover el término b al lado izquierdo y dividir por la expresión de la desigualdad obtenida. Entonces obtenemos una ecuación de la forma y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

La ecuación de una recta con pendiente se ha convertido en la ecuación canónica de una recta dada.

Ejemplo 7

Lleva la ecuación de una línea recta con pendiente y = - 3 x + 12 a forma canónica.

Decisión

Calculamos y representamos en forma de ecuación canónica de una línea recta. Obtenemos una ecuación de la forma:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Respuesta: x 1 = y - 12 - 3.

La ecuación general de una línea recta es más fácil de obtener a partir de y = k x + b, pero esto requiere transformaciones: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Se pasa de la ecuación general de una recta a ecuaciones de otro tipo.

Ejemplo 8

Se da una ecuación de una línea recta de la forma y = 1 7 x - 2. Averigüe si el vector con coordenadas a → = (- 1 , 7) es un vector de línea recta normal?

Decisión

Para resolverlo, es necesario cambiar a otra forma de esta ecuación, para ello escribimos:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Los coeficientes delante de las variables son las coordenadas del vector normal de la recta. Escribámoslo así n → = 1 7 , - 1 , por lo tanto 1 7 x - y - 2 = 0 . Es claro que el vector a → = (- 1 , 7) es colineal al vector n → = 1 7 , - 1 , ya que tenemos una relación justa a → = - 7 · n → . Se sigue que el vector original a → = - 1 , 7 es un vector normal de la recta 1 7 x - y - 2 = 0 , lo que significa que se considera un vector normal para la recta y = 1 7 x - 2 .

Responder: es un

Resolvamos el problema inverso a este.

Necesidad de mudarse de vista general ecuación A x + B y + C = 0 , donde B ≠ 0 , a la ecuación de la pendiente. Para hacer esto, resolvemos la ecuación para y. Obtenemos A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

El resultado es una ecuación con una pendiente igual a -AB.

Ejemplo 9

Se da una ecuación de una línea recta de la forma 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Obtener la ecuación de una recta dada con pendiente.

Decisión

Según la condición, es necesario resolver para y, luego obtenemos una ecuación de la forma:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Respuesta: y = 1 6 x + 1 4 .

De manera similar, se resuelve una ecuación de la forma x a + y b \u003d 1, que se llama la ecuación de una línea recta en segmentos, o la forma canónica x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Es necesario resolverlo con respecto a y, solo así obtenemos una ecuación con pendiente:

X un + y segundo = 1 ⇔ y segundo = 1 - X un ⇔ y = - segundo un X + segundo .

La ecuación canónica se puede reducir a una forma con una pendiente. Para esto:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + y 1

Ejemplo 10

Hay una línea recta dada por la ecuación x 2 + y - 3 = 1 . Llevar a la forma de una ecuación con una pendiente.

Decisión.

Según la condición, es necesario transformar, luego obtenemos una ecuación de la forma _fórmula_. Ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por -3 para obtener la ecuación de pendiente requerida. Transformando, obtenemos:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Responder: y = 3 2 x - 3 .

Ejemplo 11

La ecuación de línea recta de la forma x - 2 2 \u003d y + 1 5 se lleva a la forma con una pendiente.

Decisión

Es necesario calcular la expresión x - 2 2 = y + 1 5 como una proporción. Obtenemos que 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Ahora necesita habilitarlo completamente, para esto:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Respuesta: y = 5 2 x - 6 .

Para resolver tales tareas, uno debe traer ecuaciones paramétricas de la línea recta x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ a ecuación canónica línea recta, solo después de eso puede proceder a la ecuación con el coeficiente de pendiente.

Ejemplo 12

Encuentra la pendiente de la línea recta si está dada por las ecuaciones paramétricas x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Decisión

Debe pasar de la vista paramétrica a la pendiente. Para ello, encontramos la ecuación canónica a partir de la paramétrica dada:

X = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = X λ = y + 1 2 ⇔ X 1 = y + 1 2 .

Ahora es necesario resolver esta igualdad con respecto a y para obtener la ecuación de una recta con pendiente. Para hacer esto, escribimos de esta manera:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

De ello se deduce que la pendiente de la recta es igual a 2. Esto se escribe como k = 2 .

Responder: k = 2 .

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La figura muestra el ángulo de inclinación de la línea recta y el valor del coeficiente de pendiente para varias opciones para la ubicación de la línea recta en relación con el sistema de coordenadas rectangulares.

Encontrar la pendiente de una línea recta en un ángulo de inclinación conocido con respecto al eje Ox no presenta ninguna dificultad. Para hacer esto, es suficiente recordar la definición del coeficiente de pendiente y calcular la tangente del ángulo de pendiente.

Ejemplo.

Encuentra la pendiente de la recta si el ángulo de su inclinación con el eje x es igual a .

Decisión.

Por condición. Entonces, por definición de la pendiente de la recta, calculamos .

Responder:

La tarea de encontrar el ángulo de inclinación de una línea recta con el eje x con una pendiente conocida es un poco más difícil. Aquí es necesario tener en cuenta el signo del coeficiente de pendiente. Cuando el ángulo de inclinación de la recta es agudo y se encuentra como . Cuando el ángulo de inclinación de una recta es obtuso y puede determinarse mediante la fórmula .

Ejemplo.

Determine el ángulo de inclinación de una línea recta con respecto al eje x si su pendiente es 3.

Decisión.

Como, por condición, la pendiente es positiva, el ángulo de inclinación de la recta al eje Ox es agudo. Lo calculamos según la fórmula.

Responder:

Ejemplo.

La pendiente de la recta es . Determinar el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje Ox.

Decisión.

Denotar k es la pendiente de la recta, es el ángulo de inclinación de esta recta al sentido positivo del eje Ox. Como , entonces usamos la fórmula para encontrar el ángulo de inclinación de una línea recta de la siguiente forma . Sustituimos los datos de la condición en ella: .

Responder:

Ecuación de una recta con una pendiente.

Ecuación de línea con pendiente tiene la forma , donde k es la pendiente de la recta, b es un número real. La ecuación de una recta con pendiente puede especificar cualquier recta que no sea paralela al eje Oy (para una recta paralela al eje y, la pendiente no está definida).

Veamos el significado de la frase: "una línea en un plano en un sistema de coordenadas fijo está dada por una ecuación con una pendiente de la forma". Esto significa que la ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto de la línea y no con las coordenadas de cualquier otro punto del plano. Así, si se obtiene la igualdad correcta al sustituir las coordenadas de un punto, entonces la recta pasa por este punto. De lo contrario, el punto no se encuentra en una línea.

Ejemplo.

La recta viene dada por una ecuación con pendiente . ¿Los puntos también pertenecen a esta línea?

Decisión.

Sustituye las coordenadas del punto en la ecuación original de una recta con pendiente: . Hemos obtenido la igualdad correcta, por lo tanto, el punto M 1 se encuentra en una línea recta.

Al sustituir las coordenadas del punto, obtenemos la igualdad incorrecta: . Por lo tanto, el punto M 2 no se encuentra en una línea recta.

Responder:

Punto M 1 pertenece a la línea, M 2 no.

Cabe señalar que la recta, definida por la ecuación de una recta con pendiente , pasa por el punto, ya que al sustituir sus coordenadas en la ecuación, obtenemos la igualdad correcta: .

Así, la ecuación de una recta con pendiente determina una recta sobre un plano que pasa por un punto y forma un ángulo con la dirección positiva del eje de abscisas, y .

Como ejemplo, dibujemos una línea recta definida por la ecuación de una línea recta con una pendiente de la forma . Esta recta pasa por el punto y tiene pendiente radianes (60 grados) a la dirección positiva del eje Ox. Su pendiente es .

La ecuación de una línea recta con una pendiente que pasa por un punto dado.

Ahora vamos a resolver un problema muy importante: obtendremos la ecuación de una recta con una pendiente k dada y que pasa por el punto .

Como la recta pasa por el punto, entonces la igualdad . El número b nos es desconocido. Para deshacernos de ella, restamos de las partes izquierda y derecha de la ecuación de una recta con pendiente, respectivamente, las partes izquierda y derecha de la última igualdad. Al hacerlo, obtenemos . Esta igualdad es ecuación de una línea recta con una pendiente dada k que pasa por un punto dado.

Considere un ejemplo.

Ejemplo.

Escribe la ecuación de una recta que pasa por el punto, la pendiente de esta recta es -2.

Decisión.

De la condición que tenemos . Entonces la ecuación de una recta con pendiente tomará la forma .

Responder:

Ejemplo.

Escribe la ecuación de una recta si se sabe que pasa por un punto y el ángulo de inclinación con el sentido positivo del eje Ox es .

Decisión.

Primero, calculamos la pendiente de la línea recta cuya ecuación estamos buscando (resolvimos este problema en el párrafo anterior de este artículo). un priorato . Ahora tenemos todos los datos para escribir la ecuación de una recta con pendiente:

Responder:

Ejemplo.

Escribe la ecuación de una recta con pendiente que pasa por un punto paralelo a la recta.

Decisión.

Es obvio que los ángulos de inclinación de las líneas paralelas al eje Ox coinciden (si es necesario, vea el artículo líneas paralelas), por lo tanto, los coeficientes de pendiente de las líneas paralelas son iguales. Entonces la pendiente de la recta, cuya ecuación necesitamos obtener, es igual a 2, ya que la pendiente de la recta es 2. Ahora podemos componer la ecuación requerida de una línea recta con una pendiente:

Responder:

La transición de la ecuación de una línea recta con un coeficiente de pendiente a otros tipos de la ecuación de una línea recta y viceversa.

Con toda la familiaridad, la ecuación de una línea recta con una pendiente está lejos de ser siempre conveniente para usar cuando se resuelven problemas. En algunos casos, los problemas son más fáciles de resolver cuando la ecuación de una línea recta se presenta en una forma diferente. Por ejemplo, la ecuación de una línea recta con una pendiente no le permite escribir inmediatamente las coordenadas del vector director de la línea recta o las coordenadas del vector normal de la línea recta. Por lo tanto, uno debe aprender a pasar de la ecuación de una línea recta con pendiente a otros tipos de la ecuación de esta línea recta.

A partir de la ecuación de una recta con pendiente, es fácil obtener la ecuación canónica de una recta en un plano de la forma . Para ello, trasladamos el término b del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo con signo opuesto, luego dividimos ambas partes de la igualdad resultante por la pendiente k:. Estas acciones nos llevan de la ecuación de una recta con pendiente a la ecuación canónica de una recta.

Ejemplo.

Dar la ecuación de una recta con pendiente a la forma canónica.

Decisión.

Realicemos las transformaciones necesarias: .

Responder:

Ejemplo.

La recta viene dada por la ecuación de una recta con pendiente . ¿Es el vector un vector normal de esta recta?

Decisión.

Para resolver este problema, pasemos de la ecuación de una recta con pendiente a la ecuación general de esta recta: . Sabemos que los coeficientes delante de las variables x e y en la ecuación general de una recta son las coordenadas correspondientes del vector normal de esta recta, es decir, el vector normal de la recta . Obviamente, el vector es colineal al vector , ya que la relación es cierta (si es necesario, consulte el artículo). Por tanto, el vector original es también un vector normal de la recta , y, por lo tanto, es un vector normal y la recta original .

Responder:

Sí, lo es.

Y ahora resolveremos el problema inverso: el problema de convertir la ecuación de una línea recta en un plano en la ecuación de una línea recta con pendiente.

De la ecuación general de la línea recta , donde , es muy fácil pasar a la ecuación de la pendiente. Para esto necesitas ecuación general resolución directa con respecto a y . Al mismo tiempo, obtenemos . La igualdad resultante es la ecuación de una recta con pendiente igual a .