Fórmula de intersección de líneas. Los problemas más simples con una línea recta en un plano. Arreglo mutuo de líneas. Ángulo entre líneas

Lección de la serie "Algoritmos geométricos"

¡Hola querido lector!

Seguimos familiarizándonos con los algoritmos geométricos. En la última lección, encontramos la ecuación de una línea recta en las coordenadas de dos puntos. Tenemos una ecuación de la forma:

Hoy escribiremos una función que, usando las ecuaciones de dos líneas rectas, encontrará las coordenadas de su punto de intersección (si lo hay). Para comprobar la igualdad de los números reales, utilizaremos la función especial RealEq().

Los puntos del plano se describen mediante un par de números reales. Cuando se usa el tipo real, es mejor organizar las operaciones de comparación con funciones especiales.

La razón es conocida: no existe una relación de orden en el tipo Real en el sistema de programación Pascal, por lo que es mejor no utilizar registros de la forma a = b, donde a y b son números reales.
Hoy presentaremos la función RealEq() para implementar la operación “=” (estrictamente igual):

Función RealEq(Const a, b:Real):Booleano; (estrictamente igual) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Tarea. Se dan ecuaciones de dos rectas: y . Encuentra su punto de intersección.

Decisión. La solución obvia es resolver el sistema de ecuaciones de rectas: Reescribamos este sistema un poco diferente:
(1)

Introducimos la notación: , , . Aquí D es el determinante del sistema, y ​​son los determinantes que se obtienen reemplazando la columna de coeficientes de la correspondiente incógnita por una columna de términos libres. Si , entonces el sistema (1) es definido, es decir, tiene solución única. Esta solución se puede encontrar mediante las siguientes fórmulas: , , que se denominan fórmulas de Cramer. Déjame recordarte cómo se calcula el determinante de segundo orden. El determinante distingue entre dos diagonales: la principal y la secundaria. La diagonal principal consta de elementos tomados en la dirección desde la esquina superior izquierda del determinante hasta la esquina inferior derecha. Diagonal lateral: desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda. El determinante de segundo orden es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

El código usa la función RealEq() para verificar la igualdad. Los cálculos sobre números reales se realizan con una precisión de hasta _Eps=1e-7.

Programa geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(precisión de cálculo) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Función RealEq(Const a, b:Real):Booleano; (estrictamente igual) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Hemos compilado un programa con el que puedes, conociendo las ecuaciones de las líneas, encontrar las coordenadas de su punto de intersección.

Se dan dos rectas y se requiere encontrar su punto de intersección. Como este punto pertenece a cada una de las dos rectas dadas, sus coordenadas deben satisfacer tanto la ecuación de la primera recta como la ecuación de la segunda recta.

Por lo tanto, para encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas, se debe resolver el sistema de ecuaciones

Ejemplo 1. Encuentra el punto de intersección de rectas y

Decisión. Encontraremos las coordenadas del punto de intersección deseado resolviendo el sistema de ecuaciones

El punto de intersección M tiene coordenadas

Vamos a mostrar cómo construir una línea recta a partir de su ecuación. Para trazar una recta basta con conocer dos de sus puntos. Para graficar cada uno de estos puntos, le damos un valor arbitrario a una de sus coordenadas, y luego de la ecuación encontramos el valor correspondiente de la otra coordenada.

Si en la ecuación general de una línea recta, ambos coeficientes en las coordenadas actuales no son iguales a cero, entonces para construir esta línea recta, lo mejor es encontrar los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas.

Ejemplo 2. Construye una línea recta.

Decisión. Encuentre el punto de intersección de esta línea con el eje x. Para ello, resolvemos juntos sus ecuaciones:

y obtenemos. Así, se encontró el punto M (3; 0) de la intersección de esta recta con el eje de abscisas (Fig. 40).

Resolviendo entonces conjuntamente la ecuación de la recta dada y la ecuación del eje y

encontramos el punto de intersección de la línea con el eje y. Finalmente, construimos una recta a partir de sus dos puntos M y

1. Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de los gráficos de funciones, debe igualar ambas funciones entre sí, mover todos los términos que contienen $ x $ al lado izquierdo y el resto al lado derecho y encontrar las raíces de la resultante ecuación.
2. La segunda forma es componer un sistema de ecuaciones y resolverlo sustituyendo una función en otra.
3. El tercer método implica la construcción gráfica de funciones y la definición visual del punto de intersección.

Caso de dos funciones lineales

Considere dos funciones lineales $ f(x) = k_1 x+m_1 $ y $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Estas funciones se llaman directas. Construirlos es bastante fácil, solo necesita tomar dos valores cualquiera $x_1$ y $x_2$ y encontrar $f(x_1)$ y $(x_2)$. Luego repite lo mismo con la función $ g(x) $. Luego, encuentre visualmente la coordenada del punto de intersección de los gráficos de función.

Debes saber que las funciones lineales tienen solo un punto de intersección y solo cuando $ k_1 \neq k_2 $. De lo contrario, en el caso de $ k_1=k_2 $, las funciones son paralelas entre sí, ya que $ k $ es el factor de pendiente. Si $ k_1 \neq k_2 $, pero $ m_1=m_2 $, entonces el punto de intersección será $ M(0;m) $. Es deseable recordar esta regla para la resolución acelerada de problemas.

Caso de dos funciones no lineales

En el espacio bidimensional, dos líneas se cortan solo en un punto, dado por las coordenadas (x, y). Como ambas rectas pasan por su punto de intersección, las coordenadas (x, y) deben satisfacer ambas ecuaciones que describen estas rectas. Con algunas habilidades avanzadas, puede encontrar los puntos de intersección de parábolas y otras curvas cuadráticas.

Pasos

Punto de intersección de dos rectas

Escribe la ecuación de cada línea, aislando la variable "y" en el lado izquierdo de la ecuación. Otros términos de la ecuación deben colocarse en el lado derecho de la ecuación. Tal vez la ecuación que se le ha dado en lugar de "y" contenga la variable f (x) o g (x); en este caso aislar dicha variable. Para aislar una variable, realice las operaciones matemáticas apropiadas en ambos lados de la ecuación.

• Si no se le dan las ecuaciones de las rectas, sobre la base de la información que conoce.
• Ejemplo. Dadas las rectas descritas por las ecuaciones y y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Para aislar la "y" en la segunda ecuación, agregue el número 12 a ambos lados de la ecuación:

1. Estás buscando el punto de intersección de ambas rectas, es decir, el punto cuyas coordenadas (x, y) satisfacen ambas ecuaciones. Dado que la variable "y" está en el lado izquierdo de cada ecuación, las expresiones en el lado derecho de cada ecuación se pueden igualar. Escribe una nueva ecuación.

   • Ejemplo. Como y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) y y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), entonces podemos escribir la siguiente igualdad: .

2. Encuentra el valor de la variable "x". La nueva ecuación contiene solo una variable "x". Para encontrar "x", aísle esta variable en el lado izquierdo de la ecuación haciendo los cálculos apropiados en ambos lados de la ecuación. Deberías terminar con una ecuación como x = __ (si no puedes hacer eso, consulta esta sección).

   • Ejemplo. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Agregar 2x (\ estilo de visualización 2x) a cada lado de la ecuación:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Resta 3 de cada lado de la ecuación:
   • 3x=9 (\ estilo de visualización 3x=9)
   • Divide cada lado de la ecuación por 3:
   • x = 3 (\ estilo de visualización x = 3).

3. Utilice el valor encontrado de la variable "x" para calcular el valor de la variable "y". Para hacer esto, sustituya el valor encontrado "x" en la ecuación (cualquiera) línea recta.

   • Ejemplo. x = 3 (\ estilo de visualización x = 3) y y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\ estilo de visualización y=6)

4. Verifica la respuesta. Para ello, sustituye el valor de "x" en otra ecuación de una recta y encuentra el valor de "y". Si obtiene diferentes valores de "y", verifique que sus cálculos sean correctos.

   • Ejemplo: x = 3 (\ estilo de visualización x = 3) y y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\ estilo de visualización y=6)
   • Obtuviste el mismo valor de "y", por lo que no hay errores en tus cálculos.

5. Escribe las coordenadas (x, y). Al calcular los valores de "x" e "y", ha encontrado las coordenadas del punto de intersección de dos líneas. Escribe las coordenadas del punto de intersección en la forma (x, y).

   • Ejemplo. x = 3 (\ estilo de visualización x = 3) y y=6 (\ estilo de visualización y=6)
   • Así, dos rectas se cortan en un punto de coordenadas (3,6).

6. Cálculos en casos especiales. En algunos casos, no se puede encontrar el valor de la variable "x". Pero eso no significa que hayas cometido un error. Un caso especial ocurre cuando se cumple una de las siguientes condiciones:

   • Si dos rectas son paralelas, no se cortan. En este caso, la variable "x" simplemente se reducirá y su ecuación se convertirá en una igualdad sin sentido (por ejemplo, 0 = 1 (\ estilo de visualización 0 = 1)). En este caso, escribe en tu respuesta que las rectas no se cortan o no hay solución.
   • Si ambas ecuaciones describen una línea recta, entonces habrá un número infinito de puntos de intersección. En este caso, la variable "x" simplemente se reducirá y su ecuación se convertirá en una igualdad estricta (por ejemplo, 3 = 3 (\ estilo de visualización 3 = 3)). En este caso, anota en tu respuesta que las dos líneas coinciden.

   Problemas con funciones cuadráticas

   1. Definición de una función cuadrática. En una función cuadrática, una o más variables tienen un segundo grado (pero no mayor), por ejemplo, x 2 (\ estilo de visualización x ^ (2)) o y 2 (\displaystyle y^(2)). Los gráficos de funciones cuadráticas son curvas que pueden no intersecarse o intersecarse en uno o dos puntos. En esta sección, le diremos cómo encontrar el punto o puntos de intersección de curvas cuadráticas.

   2. Vuelve a escribir cada ecuación aislando la variable "y" en el lado izquierdo de la ecuación. Otros términos de la ecuación deben colocarse en el lado derecho de la ecuación.

      • Ejemplo. Encuentre el(los) punto(s) de intersección de las gráficas x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) y
      • Aislar la variable "y" en el lado izquierdo de la ecuación:
      • y y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • En este ejemplo, se le da una función cuadrática y una función lineal. Recuerda que si te dan dos funciones cuadráticas, los cálculos son los mismos que los pasos a continuación.

   3. Igualar las expresiones del lado derecho de cada ecuación. Dado que la variable "y" está en el lado izquierdo de cada ecuación, las expresiones en el lado derecho de cada ecuación se pueden igualar.

      • Ejemplo. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) y y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Transfiere todos los términos de la ecuación resultante a su lado izquierdo y escribe 0 en el lado derecho. Para hacer esto, realice operaciones matemáticas básicas. Esto te permitirá resolver la ecuación resultante.

      • Ejemplo. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Resta "x" de ambos lados de la ecuación:
      • x2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Resta 7 de ambos lados de la ecuación:

   5. Resuelve la ecuación cuadrática. Al transferir todos los términos de la ecuación a su lado izquierdo, obtienes una ecuación cuadrática. Se puede resolver de tres maneras: usando una fórmula especial, y.

      • Ejemplo. x2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Al factorizar la ecuación, obtienes dos binomios que, cuando se multiplican, dan la ecuación original. En nuestro ejemplo, el primer miembro x 2 (\ estilo de visualización x ^ (2)) se puede descomponer en x*x. Haga la siguiente entrada: (x)(x) = 0
      • En nuestro ejemplo, el intercepto -6 se puede factorizar de la siguiente manera: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\ estilo de visualización -2*3), − 1 ∗ 6 (\ estilo de visualización -1*6).
      • En nuestro ejemplo, el segundo término es x (o 1x). Sume cada par de factores de intersección (en nuestro ejemplo -6) hasta que obtenga 1. En nuestro ejemplo, el par de factores de intersección correctos son -2 y 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), como − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Completa los espacios en blanco con el par de números encontrado: .

   6. No te olvides del segundo punto de intersección de las dos gráficas. Si resuelve el problema rápidamente y sin mucho cuidado, puede olvidarse del segundo punto de intersección. Aquí se explica cómo encontrar las coordenadas "x" de dos puntos de intersección:

      • Ejemplo (factorización). Si en la ecuación (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) una de las expresiones entre paréntesis será igual a 0, entonces toda la ecuación será igual a 0. Por lo tanto, podemos escribirlo así: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\ estilo de visualización x = 2) y x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (es decir, encontraste dos raíces de la ecuación).
      • Ejemplo (use fórmula o cuadrado completo). Al usar uno de estos métodos, aparecerá una raíz cuadrada en el proceso de solución. Por ejemplo, la ecuación de nuestro ejemplo tomará la forma x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Recuerda que al sacar la raíz cuadrada, obtendrás dos soluciones. En nuestro caso: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), y 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Así que escribe dos ecuaciones y encuentra dos valores de x.

   7. Los gráficos se intersecan en un punto o no se intersecan en absoluto. Tales situaciones ocurren cuando se cumplen las siguientes condiciones:

      • Si las gráficas se intersecan en un punto, entonces la ecuación cuadrática se descompone en factores iguales, por ejemplo, (x-1) (x-1) = 0, y la raíz cuadrada de 0 aparece en la fórmula ( 0 (\ estilo de visualización (\ sqrt (0)))). En este caso, la ecuación tiene una sola solución.
      • Si las gráficas no se intersecan en absoluto, entonces la ecuación no se factoriza y la raíz cuadrada de un número negativo aparece en la fórmula (por ejemplo, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). En este caso, escribe en la respuesta que no hay solución.

Linea perpendicular

Esta tarea es probablemente una de las más populares y demandadas en los libros de texto escolares. Las tareas basadas en este tema son múltiples. Esta es la definición del punto de intersección de dos líneas, esta es la definición de la ecuación de una línea recta que pasa por un punto en la línea original en cualquier ángulo.

Cubriremos este tema usando en nuestros cálculos los datos obtenidos usando

Fue allí donde se consideró la transformación de la ecuación general de una línea recta, en una ecuación con pendiente y viceversa, y la determinación de los demás parámetros de una línea recta según las condiciones dadas.

¿Qué nos falta para resolver los problemas a los que está dedicada esta página?

1. Fórmulas para calcular uno de los ángulos entre dos rectas que se cortan.

Si tenemos dos rectas que vienen dadas por las ecuaciones:

entonces uno de los ángulos se calcula así:

2. Ecuación de una recta con pendiente que pasa por un punto dado

De la fórmula 1, podemos ver dos estados fronterizos

a) cuando entonces y por lo tanto estas dos rectas dadas son paralelas (o coinciden)

b) cuando , entonces , y por lo tanto estas rectas son perpendiculares, es decir, se cortan en ángulo recto.

¿Cuáles pueden ser los datos iniciales para resolver tales problemas, a excepción de una línea recta dada?

Un punto en una línea y el ángulo en el que la segunda línea lo interseca.

La segunda ecuación de la recta.

¿Qué tareas puede resolver un bot?

1. Se dan dos rectas (explícita o implícitamente, por ejemplo, por dos puntos). Calcular el punto de intersección y los ángulos en los que se cruzan.

2. Dada una línea recta, un punto en una línea recta y un ángulo. Determinar la ecuación de una recta que interseca a una determinada en un ángulo especificado

Ejemplos

Dos líneas rectas están dadas por ecuaciones. Encuentre el punto de intersección de estas líneas y los ángulos en los que se cruzan

línea_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Obtenemos el siguiente resultado

Ecuación de la primera línea

y = 2,2 x + (1,2)

Ecuación de la segunda línea

y = 0.4285714285714 x + (-5)

Ángulo de intersección de dos rectas (en grados)

-42.357454705937

Punto de intersección de dos rectas

x=-3.5

y=-6.5

No olvide que los parámetros de las dos líneas están separados por una coma y los parámetros de cada línea por un punto y coma.

La recta pasa por dos puntos (1:-4) y (5:2) . Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por el punto (-2:-8) y se cruza con la línea original en un ángulo de 30 grados.

Una línea recta nos es conocida, ya que conocemos dos puntos por los que pasa.

Queda por determinar la ecuación de la segunda recta. Conocemos un punto, y en lugar del segundo, se indica el ángulo en el que la primera línea se cruza con la segunda.

Todo parece saberse, pero lo principal aquí es no equivocarse. Estamos hablando del ángulo (30 grados) no entre el eje x y la línea, sino entre la primera y la segunda línea.

Para ello publicamos así. Determinemos los parámetros de la primera línea y descubramos en qué ángulo se cruza con el eje x.

línea xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Ecuación general Ax+By+C = 0

Coeficiente A = -6

Factor B = 4

Coeficiente C = 22

Coeficiente a= 3.6666666666667

Coeficiente b = -5.5

Coeficiente k = 1,5

Ángulo de inclinación al eje (en grados) f = 56,309932474019

Coeficiente p = 3,0508510792386

Coeficiente q = 2.5535900500422

Distancia entre puntos=7.211102550928

Vemos que la primera línea cruza el eje en un ángulo 56,309932474019 grados.

Los datos de origen no dicen exactamente cómo la segunda línea se cruza con la primera. Después de todo, es posible dibujar dos líneas que satisfagan las condiciones, la primera girada 30 grados en el sentido de las agujas del reloj y la segunda 30 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj.

vamos a contarlos

Si la segunda línea se gira 30 grados EN SENTIDO ANTIHORARIO, entonces la segunda línea tendrá un grado de intersección con el eje x 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 grados

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Parámetros de línea recta según los parámetros dados

Ecuación general Ax+By+C = 0

Coeficiente A = 23.011106998916

Factor B = -1.4840558255286

Coeficiente C = 34.149767393603

Ecuación de una recta en segmentos x/a+y/b = 1

Coeficiente a= -1.4840558255286

Coeficiente b = 23.011106998916

Ecuación de una recta con coeficiente angular y = kx + b

Coeficiente k = 15.505553499458

Ángulo de inclinación al eje (en grados) f = 86.309932474019

Ecuación normal de la recta x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Coeficiente p = -1.4809790664999

Coeficiente q = 3.0771888256405

Distancia entre puntos=23.058912962428

Distancia del punto a la línea li =

es decir, nuestra ecuación de segunda línea es y= 15.505553499458x+ 23.011106998916