Napišite jednačinu prave od tačaka. Opšta jednadžba prave linije: opis, primjeri, rješavanje problema
Neka su data dva boda M(X 1 ,At 1) i N(X 2,y 2). Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz ove tačke.
Pošto ova prava prolazi kroz tačku M, tada prema formuli (1.13) njena jednadžba ima oblik
At – Y 1 = K(X-x 1),
Gdje K je nepoznati nagib.
Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uslova da željena prava linija prolazi kroz tačku N, što znači da njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Odavde možete pronaći nagib ove linije:
,
Ili nakon konverzije
(1.14)
Formula (1.14) definira Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke M(X 1, Y 1) i N(X 2, Y 2).
U konkretnom slučaju kada su bodovi M(A, 0), N(0, B), ALI ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnoj osi, jednačina (1.14) poprima jednostavniji oblik
Jednadžba (1.15) pozvao Jednačina prave linije u segmentima, ovdje ALI i B označavaju segmente odsečene pravom linijom na osovinama (slika 1.6).
Slika 1.6
Primjer 1.10. Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke M(1, 2) i B(3, –1).
. Prema (1.14), jednačina željene prave ima oblik
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Prenoseći sve članove na lijevu stranu, konačno dobijamo željenu jednačinu
3X + 2Y – 7 = 0.
Primjer 1.11. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku M(2, 1) i tačka preseka pravih X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.
. Koordinate tačke preseka pravih pronalazimo zajedničkim rešavanjem ovih jednačina
Ako saberemo ove jednačine pojam po član, dobićemo 2 X+ 1 = 0, odakle je . Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednačinu, nalazimo vrijednost ordinate At:
Sada napišimo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke (2, 1) i :
ili .
Stoga ili -5( Y – 1) = X – 2.
Konačno, dobijamo jednačinu željene prave linije u obliku X + 5Y – 7 = 0.
Primjer 1.12. Naći jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke M(2.1) i N(2,3).
Koristeći formulu (1.14), dobijamo jednačinu
To nema smisla jer je drugi imenilac nula. Iz uslova zadatka se vidi da apscise obe tačke imaju istu vrednost. Dakle, tražena prava je paralelna sa osom OY a njegova jednadžba je: x = 2.
Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe prave linije prema formuli (1.14) pokaže da je jedan od nazivnika jednak nuli, onda se željena jednačina može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika sa nulom.
Razmotrimo druge načine postavljanja prave linije na ravni.
1. Neka je vektor različit od nule okomit na datu pravu L, i poenta M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj (slika 1.7).
Slika 1.7
Označiti M(X, Y) proizvoljna tačka na pravoj L. Vektori i 
Ortogonalno. Koristeći uslove ortogonalnosti za ove vektore, dobijamo ili ALI(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Dobili smo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 je okomito na vektor . Ovaj vektor se zove Normalni vektor na pravu liniju L. Rezultirajuća jednačina se može prepisati kao
Oh + Wu + With= 0, gdje With = –(ALIX 0 + By 0), (1.16),
Gdje ALI i AT su koordinate vektora normale.
Dobijamo opštu jednačinu prave u parametarskom obliku.
2. Prava na ravni se može definirati na sljedeći način: neka vektor različit od nule bude paralelan datoj pravoj L i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj. Opet, uzmite proizvoljnu tačku M(X, y) na pravoj liniji (slika 1.8).
Slika 1.8
Vektori i 
kolinearno.
Zapišimo uvjet kolinearnosti ovih vektora: , gdje T je proizvoljan broj, koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:
Ove jednačine se nazivaju Parametarske jednadžbe Pravo. Izuzmimo iz ovih jednačina parametar T:
Ove jednačine se mogu napisati u obliku
. (1.18)
Rezultirajuća jednačina se zove Kanonska jednadžba prave linije. Vektorski poziv Vektor pravca pravca .
Komentar . Lako je vidjeti da je if normalni vektor na pravu L, tada njegov vektor smjera može biti vektor , budući da , tj.
Primjer 1.13. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0(1, 1) paralelno sa linijom 3 X + 2At– 8 = 0.
Odluka . Vektor je vektor normale na date i željene linije. Koristimo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 sa datim vektorom normale 3( X –1) + 2(At– 1) = 0 ili 3 X + 2g- 5 \u003d 0. Dobili smo jednadžbu željene prave linije.
Neka prava prolazi kroz tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačku M 1 ima oblik y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)
gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.
Budući da prava linija prolazi kroz tačku M 2 (x 2 y 2), tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednadžbu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k
u jednačinu (10.6), dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 i M 2: 
Pretpostavlja se da je u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ako je x 1 = x 2, tada je prava linija koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) paralelna s y-osi. Njegova jednadžba je x = x 1 .
Ako je y 2 = y I, tada se jednadžba ravne linije može napisati kao y = y 1, prava linija M 1 M 2 je paralelna s x-osi.
Jednačina prave linije u segmentima
Neka prava linija siječe osu Ox u tački M 1 (a; 0), a os Oy - u tački M 2 (0; b). Jednačina će imati oblik: 
one. 
. Ova jednačina se zove jednadžba prave linije u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente ravna linija odsijeca na koordinatnoj osi.
Jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor
Naći jednačinu prave linije koja prolazi dati poen Mo (x O; y o) je okomito na dati vektor koji nije nula n = (A; B).
Uzmite proizvoljnu tačku M(x; y) na pravoj liniji i razmotrite vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Pošto su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je jednak nuli: tj.
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Jednačina (10.8) se zove jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor .
Vektor n = (A; B) okomit na pravu naziva se normalan normalni vektor ove linije .
Jednačina (10.8) se može prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
gdje su A i B koordinate vektora normale, C \u003d -Ax o - Vu o - slobodni član. Jednadžba (10.9) je opšta jednačina prave linije(vidi sl.2).
Sl.1 Sl.2
Kanonske jednadžbe prave linije
,
Gdje 
su koordinate tačke kroz koju linija prolazi, i 
- vektor smjera.
Krivulje drugog reda Krug
Krug je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.
Kanonska jednadžba kružnice poluprečnika
R centriran na tačku 
:
Konkretno, ako se centar udjela poklapa sa ishodištem, tada će jednadžba izgledati ovako: 
Elipsa
Elipsa je skup tačaka u ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke
i 
, koji se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost 
, veća od udaljenosti između žarišta 
.
Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox i čije je ishodište u sredini između žarišta ima oblik 
G 
de a dužina glavne poluose; b je dužina male poluose (slika 2).
Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.
Postoji beskonačno mnogo pravih koje se mogu povući kroz bilo koju tačku.
Kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju, postoji samo jedna prava linija.
Dvije nepodudarne prave u ravni ili se sijeku u jednoj tački, ili su
paralelno (slijedi iz prethodnog).
Postoje tri opcije u 3D prostoru. relativnu poziciju dvije ravne linije:
- linije se seku;
- prave su paralelne;
- prave se seku.
Pravo linija- algebarska kriva prvog reda: u Dekartovom koordinatnom sistemu prava linija
je dato na ravni jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).
Opća jednačina ravno.
Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda
Ah + Wu + C = 0,
i konstantan A, B nije jednako nuli u isto vrijeme. Ova jednačina prvog reda se zove general
jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i With Mogući su sljedeći posebni slučajevi:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija prolazi kroz ishodište
. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- prava paralelna sa osom Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- prava paralelna sa osom OU
. B = C = 0, A ≠ 0- linija se poklapa sa osom OU
. A = C = 0, B ≠ 0- linija se poklapa sa osom Oh
Jednačina prave linije može se predstaviti u razne forme zavisno od bilo koje date
početni uslovi.
Jednadžba prave linije sa tačkom i vektorom normale.
Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)
okomito na pravu datu jednacinom
Ah + Wu + C = 0.
Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).
Odluka. Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da pronađemo koeficijent C
u rezultirajući izraz zamjenjujemo koordinate date tačke A. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle
C = -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.
Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.
Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M2 (x 2, y 2 , z 2), onda jednačina prave linije,
prolazeći kroz ove tačke:
Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. Na
ravni, gore napisana jednačina prave je pojednostavljena:
ako x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako x 1 = x 2 .
Razlomak = k pozvao faktor nagiba ravno.
Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).
Odluka. Primjenom gornje formule dobijamo:
Jednadžba prave linije po tački i nagibu.
Ako je opšta jednačina prave linije Ah + Wu + C = 0 dovesti u formu:
i odrediti 
, tada se rezultirajuća jednačina zove
jednačina prave linije sa nagibom k.
Jednadžba prave linije na tački i usmjerivača.
Po analogiji sa tačkom koja uzima u obzir jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak
prava linija kroz tačku i vektor pravca prave linije.
Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1 , α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov
Aα 1 + Bα 2 = 0 pozvao vektor smjera prave linije.
Ah + Wu + C = 0.
Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).
Odluka. Tražićemo jednadžbu željene prave linije u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,
koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:
1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.
Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.
at x=1, y=2 dobijamo C/ A = -3, tj. željena jednačina:
x + y - 3 = 0
Jednačina prave linije u segmentima.
Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C≠0, onda, dijeljenjem sa -C, dobijamo:
ili , gdje
geometrijskom smislu koeficijenti u tome što je koeficijent a koordinata tačke preseka
ravno sa osovinom Oh, a b- koordinata tačke preseka prave sa osom OU.
Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Normalna jednačina prave linije.
Ako obje strane jednačine Ah + Wu + C = 0 podijeliti brojem 
, koji se zove
normalizujući faktor, onda dobijamo
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave linije.
Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ * C< 0.
R- dužina okomice spuštena od početka do prave,
a φ - ugao koji formira ova okomita sa pozitivnim smjerom ose Oh.
Primjer. Zadata je opšta jednačina prave linije 12x - 5y - 65 = 0. Obavezno pisati Razne vrste jednačine
ovu pravu liniju.
Jednačina ove prave linije u segmentima:
Jednačina ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)
Jednačina prave linije:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,
paralelno sa osama ili prolazeći kroz ishodište.
Ugao između linija na ravni.
Definicija. Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, zatim oštar ugao između ovih linija
će se definisati kao
Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2. Dva prave linije su okomite,
ako k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Direktno Ah + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni
A 1 = λA, B 1 \u003d λB. Ako takođe S 1 \u003d λS, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave
nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih linija.
Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku je okomita na datu pravu.
Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b
predstavljena jednačinom:
Udaljenost od tačke do prave.
Teorema. Ako je dat poen M(x 0, y 0), zatim udaljenost do linije Ah + Wu + C = 0 definirano kao:
Dokaz. Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato
direktno. Zatim udaljenost između tačaka M i M 1:
(1)
Koordinate x 1 i 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:
Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito
zadata linija. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada, rješavanjem, dobijamo:
Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:
Teorema je dokazana.
Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke. U članku" " Obećao sam vam da analizirate drugi način rješavanja predstavljenih problema za pronalaženje derivacije, sa datim grafom funkcije i tangentom na ovaj graf. Ovu metodu ćemo istražiti u , Ne propustite! Zašto sljedeći?
Činjenica je da će se tu koristiti formula jednadžbe prave linije. Naravno, moglo bi se jednostavno pokazati ovu formulu i savjetovati vas da je naučite. Ali bolje je objasniti odakle dolazi (kako je izvedeno). To je neophodno! Ako ga zaboravite, brzo ga vratiteneće biti teško. Sve je detaljno opisano u nastavku. Dakle, imamo dvije tačke A na koordinatnoj ravni(x 1; y 1) i B (x 2; y 2), kroz naznačene tačke se povlači prava linija: 
Evo direktne formule:
*Odnosno, zamjenom specifičnih koordinata tačaka, dobijamo jednačinu oblika y=kx+b.
** Ako se ova formula jednostavno "zapamti", postoji velika vjerovatnoća da ćete se pomiješati s indeksima kada X. Osim toga, indeksi se mogu označiti na različite načine, na primjer:
Zato je važno razumjeti značenje.
Sada izvođenje ove formule. Sve je vrlo jednostavno!
Trokuti ABE i ACF su slični u oštar ugao(prvi znak sličnosti pravokutnih trouglova). Iz ovoga slijedi da su omjeri odgovarajućih elemenata jednaki, odnosno:
Sada jednostavno izražavamo ove segmente u smislu razlike u koordinatama tačaka:
Naravno, neće biti greške ako napišete odnose elemenata drugačijim redoslijedom (glavno je zadržati korespondenciju):
Rezultat je ista jednačina prave linije. To je sve!
To jest, bez obzira na to kako su same tačke (i njihove koordinate) označene, razumijevajući ovu formulu, uvijek ćete pronaći jednadžbu prave linije.
Formula se može izvesti pomoću svojstava vektora, ali princip izvođenja će biti isti, jer ćemo govoriti o proporcionalnosti njihovih koordinata. U ovom slučaju radi ista sličnost pravokutnih trougla. Po mom mišljenju, gore opisani zaključak je razumljiviji)).
Pogledajte izlaz preko vektorskih koordinata >>>
Neka se na koordinatnoj ravni konstruiše prava linija koja prolazi kroz dve date tačke A (x 1; y 1) i B (x 2; y 2). Označimo proizvoljnu tačku C na pravoj sa koordinatama ( x; y). Takođe označavamo dva vektora:
Poznato je da su za vektore koji leže na paralelnim linijama (ili na jednoj pravoj) njihove odgovarajuće koordinate proporcionalne, odnosno:
- pišemo jednakost omjera odgovarajućih koordinata:
Razmotrimo primjer:
Naći jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama (2;5) i (7:3).
Ne možete čak ni samu liniju izgraditi. Primjenjujemo formulu:
Važno je da uhvatite korespondenciju prilikom sastavljanja omjera. Ne možete pogriješiti ako napišete:
Odgovor: y=-2/5x+29/5 idi y=-0,4x+5,8
Da biste bili sigurni da je rezultirajuća jednadžba ispravno pronađena, obavezno je provjerite - zamijenite koordinate podataka u nju u stanju tačaka. Trebali biste dobiti tačne jednakosti.
To je sve. Nadam se da vam je materijal bio koristan.
S poštovanjem, Alexander.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako o stranici kažete na društvenim mrežama.
Ovaj članak nastavlja temu jednadžbe ravne linije na ravni: razmotrite takvu vrstu jednadžbe kao opću jednadžbu ravne linije. Hajde da definišemo teoremu i damo njen dokaz; Hajde da shvatimo šta je nepotpuna opšta jednačina prave linije i kako napraviti prelaze iz opšte jednačine u druge vrste jednačina prave linije. Cijelu teoriju ćemo konsolidirati ilustracijama i rješavanjem praktičnih problema.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Neka je na ravni dat pravougaoni koordinatni sistem O x y.
Teorema 1
Bilo koja jednadžba prvog stepena, koja ima oblik A x + B y + C \u003d 0, gdje su A, B, C neki realni brojevi (A i B nisu jednaki nuli u isto vrijeme) definira pravu liniju u pravougaoni koordinatni sistem na ravni. Zauzvrat, bilo koja linija u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni je određena jednadžbom koja ima oblik A x + B y + C = 0 za određeni skup vrijednosti A, B, C.
Dokaz
Ova teorema se sastoji od dvije tačke, svaku od njih ćemo dokazati.
- Dokažimo da jednačina A x + B y + C = 0 definira pravu na ravni.
Neka postoji neka tačka M 0 (x 0 , y 0) čije koordinate odgovaraju jednačini A x + B y + C = 0 . Dakle: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Oduzmite od lijeve i desne strane jednadžbe A x + B y + C \u003d 0 lijevu i desnu stranu jednačine A x 0 + B y 0 + C = 0, dobićemo novu jednačinu koja izgleda kao A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . To je ekvivalentno A x + B y + C = 0 .
Rezultirajuća jednačina A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je neophodan i dovoljan uslov za okomitost vektora n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Dakle, skup tačaka M (x, y) definira u pravokutnom koordinatnom sistemu pravu liniju okomitu na smjer vektora n → = (A, B) . Možemo pretpostaviti da to nije tako, ali tada vektori n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne bi bili okomiti, a jednakost A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne bi bilo tačno.
Dakle, jednadžba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definira neku liniju u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravnini, pa prema tome ekvivalentna jednadžba A x + B y + C = 0 definira ista linija. Tako smo dokazali prvi dio teoreme.
- Dokažimo da se svaka prava linija u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni može dati jednačinom prvog stepena A x + B y + C = 0 .
Postavimo pravu liniju a u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni; tačka M 0 (x 0 , y 0) kroz koju prolazi ova prava, kao i vektor normale ove prave n → = (A , B) .
Neka postoji i neka tačka M (x, y) - plutajuća tačka prave. U ovom slučaju, vektori n → = (A , B) i M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) su okomiti jedan na drugi, a njihov skalarni proizvod je nula:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
Prepišimo jednačinu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definiramo C: C = - A x 0 - B y 0 i konačno dobijemo jednačinu A x + B y + C = 0 .
Dakle, dokazali smo drugi dio teoreme i dokazali smo cijelu teoremu u cjelini.
Definicija 1
Jednačina koja izgleda kao A x + B y + C = 0 - Ovo opšta jednačina prave linije na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemuO x y .
Na osnovu dokazane teoreme možemo zaključiti da su prava linija data na ravni u fiksnom pravougaonom koordinatnom sistemu i njena opšta jednačina neraskidivo povezani. Drugim rečima, originalna linija odgovara njenoj opštoj jednačini; opšta jednačina prave odgovara datoj pravoj liniji.
Iz dokaza teoreme također slijedi da su koeficijenti A i B za varijable x i y koordinate vektora normale prave, koja je data opštom jednačinom prave A x + B y + C = 0 .
Razmotrimo konkretan primjer opće jednadžbe prave linije.
Neka je data jednačina 2 x + 3 y - 2 = 0, koja odgovara pravoj liniji u datom pravougaonom koordinatnom sistemu. Normalni vektor ove linije je vektor n → = (2, 3). Nacrtajte datu pravu liniju na crtežu.
Može se tvrditi i sledeće: prava linija koju vidimo na crtežu određena je opštom jednačinom 2 x + 3 y - 2 = 0, pošto koordinate svih tačaka date prave linije odgovaraju ovoj jednačini.
Možemo dobiti jednačinu λ A x + λ B y + λ C = 0 množenjem obje strane opće pravolinijske jednačine brojem λ, a ne nula. Rezultirajuća jednačina je ekvivalentna originalnoj opštoj jednačini, stoga će opisivati istu liniju u ravni.
Definicija 2Potpuna opšta jednačina prave linije- takva opća jednadžba linije A x + B y + C \u003d 0, u kojoj su brojevi A, B, C različiti od nule. Inače, jednačina je nepotpuna.
Hajde da analiziramo sve varijacije nepotpune opšte jednačine prave.
- Kada je A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, opća jednadžba postaje B y + C = 0. Ovakva nepotpuna opšta jednačina definiše pravu liniju u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y koja je paralelna sa O x osom, jer za bilo koju realnu vrednost x, varijabla y će poprimiti vrednost - C B . Drugim riječima, opća jednadžba linije A x + B y + C = 0, kada je A = 0, B ≠ 0, definira lokus tačaka (x, y) čije su koordinate jednake istom broju - C B .
- Ako je A = 0, B ≠ 0, C = 0, opća jednadžba postaje y = 0. Takva nepotpuna jednadžba definira x-osu O x .
- Kada je A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dobijamo nepotpunu opću jednadžbu A x + C = 0, koja definira ravnu liniju paralelnu s y-osi.
- Neka je A ≠ 0, B = 0, C = 0, tada će nepotpuna opća jednadžba poprimiti oblik x = 0, a ovo je jednadžba koordinatne linije O y.
- Konačno, kada je A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, nepotpuna opća jednadžba poprima oblik A x + B y \u003d 0. A ova jednadžba opisuje pravu liniju koja prolazi kroz ishodište. Zaista, par brojeva (0, 0) odgovara jednakosti A x + B y = 0, pošto je A · 0 + B · 0 = 0.
Hajde da grafički ilustrujmo sve navedene tipove nepotpune opšte jednadžbe prave linije.
Primjer 1
Poznato je da je data prava paralelna sa y-osi i prolazi kroz tačku 2 7 , - 11 . Potrebno je zapisati opštu jednačinu date prave.
Odluka
Prava linija paralelna y-osi data je jednadžbom oblika A x + C = 0, u kojoj je A ≠ 0. Uslov takođe specificira koordinate tačke kroz koju prava prolazi, a koordinate ove tačke odgovaraju uslovima nepotpune opšte jednačine A x + C = 0 , tj. jednakost je tačna:
A 2 7 + C = 0
Iz njega je moguće odrediti C dajući A neku vrijednost različitu od nule, na primjer, A = 7. U ovom slučaju dobijamo: 7 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Znamo oba koeficijenta A i C, zamenimo ih u jednačinu A x + C = 0 i dobijemo traženu jednačinu prave: 7 x - 2 = 0
odgovor: 7 x - 2 = 0
Primjer 2
Na crtežu je prikazana prava linija, potrebno je zapisati njenu jednačinu.
Odluka
Dati crtež nam omogućava da lako uzmemo početne podatke za rješavanje problema. Na crtežu vidimo da je data prava paralelna sa Ox osi i da prolazi kroz tačku (0, 3).
Prava linija, koja je paralelna sa apscisom, određena je nepotpunom opštom jednačinom B y + S = 0. Pronađite vrijednosti B i C. Koordinate tačke (0, 3), pošto kroz nju prolazi data prava linija, zadovoljiće jednačinu prave B y + S = 0, tada važi jednakost: V · 3 + S = 0. Postavimo B na neku vrijednost osim nule. Recimo B = 1, u ovom slučaju, iz jednakosti B · 3 + C = 0 možemo pronaći C: C = - 3. Koristimo poznate vrednosti B i C, dobijamo traženu jednačinu prave: y - 3 = 0.
odgovor: y - 3 = 0 .
Opšta jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku ravni
Neka data prava prolazi kroz tačku M 0 (x 0, y 0), tada njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini prave, tj. tačna je jednakost: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Oduzmite lijevu i desnu stranu ove jednadžbe od lijeve i desne strane opće potpuna jednačina ravno. Dobijamo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ova jednadžba je ekvivalentna originalnoj općoj, prolazi kroz tačku M 0 (x 0, y 0) i ima normalni vektor n → \u003d (A, B) .
Rezultat koji smo dobili omogućava da se napiše opšta jednačina prave linije za poznate koordinate vektora normale prave i koordinate određene tačke ove prave.
Primjer 3
Zadata tačka M 0 (- 3, 4) kroz koju prava prolazi, i vektor normale ove prave n → = (1 , - 2) . Potrebno je zapisati jednačinu date prave.
Odluka
Početni uvjeti nam omogućavaju da dobijemo potrebne podatke za sastavljanje jednadžbe: A = 1, B = - 2, x 0 = 3, y 0 = 4. onda:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
Problem je mogao biti riješen drugačije. Opšta jednačina prave ima oblik A x + B y + C = 0 . Dati normalni vektor vam omogućava da dobijete vrijednosti koeficijenata A i B, a zatim:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Sada pronađite vrijednost C koristeći dato uslovom problemska tačka M 0 (- 3, 4) kroz koju linija prolazi. Koordinate ove tačke odgovaraju jednačini x - 2 · y + C = 0 , tj. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Stoga je C = 11. Tražena pravolinijska jednačina ima oblik: x - 2 · y + 11 = 0 .
odgovor: x - 2 y + 11 = 0 .
Primjer 4
Date su prava 2 3 x - y - 1 2 = 0 i tačka M 0 koja leži na ovoj pravoj. Poznata je samo apscisa ove tačke, koja je jednaka -3. Potrebno je odrediti ordinatu date tačke.
Odluka
Postavimo oznaku koordinata tačke M 0 kao x 0 i y 0 . Početni podaci pokazuju da je x 0 \u003d - 3. Pošto tačka pripada datoj pravoj, njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini ove prave. Tada će biti tačna sljedeća jednakost:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Definirajte y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
odgovor: - 5 2
Prelazak sa opšte jednačine prave na druge tipove jednačina prave i obrnuto
Kao što znamo, postoji nekoliko tipova jednačine iste prave linije u ravni. Izbor vrste jednačine zavisi od uslova problema; moguće je izabrati onaj koji je pogodniji za njegovo rješenje. Ovdje vrlo dobro dolazi vještina pretvaranja jednačine jedne vrste u jednačinu druge vrste.
Prvo, razmotrimo prijelaz sa opće jednadžbe oblika A x + B y + C = 0 na kanonsku jednačinu x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Ako je A ≠ 0, onda pojam B y prenosimo na desnu stranu opće jednačine. Na lijevoj strani vadimo A iz zagrada. Kao rezultat, dobijamo: A x + C A = - B y .
Ova jednakost se može napisati kao proporcija: x + C A - B = y A .
Ako je B ≠ 0, ostavljamo samo pojam A x na lijevoj strani opće jednadžbe, ostale prenosimo na desnu stranu, dobijamo: A x \u003d - B y - C. Izvadimo - B iz zagrada, zatim: A x \u003d - B y + C B.
Prepišimo jednakost kao proporciju: x - B = y + C B A .
Naravno, nema potrebe pamtiti rezultirajuće formule. Dovoljno je poznavati algoritam radnji prilikom prelaska sa opšte jednačine na kanonsku.
Primjer 5
Data je opšta jednačina prave 3 y - 4 = 0. Treba ga pretvoriti u kanonsku jednačinu.
Odluka
Originalnu jednačinu pišemo kao 3 y - 4 = 0 . Zatim postupamo prema algoritmu: termin 0 x ostaje na lijevoj strani; a na desnoj strani vadimo - 3 iz zagrada; dobijamo: 0 x = - 3 y - 4 3 .
Zapišimo rezultirajuću jednakost kao proporciju: x - 3 = y - 4 3 0 . Tako smo dobili jednačinu kanonskog oblika.
Odgovor: x - 3 = y - 4 3 0.
Da bi se opšta jednačina prave linije pretvorila u parametarsku, prvo se prelazi na kanonski oblik, a zatim prijelaz sa kanonske jednadžbe prave na parametarske jednačine.
Primjer 6
Prava linija je data jednačinom 2 x - 5 y - 1 = 0 . Zapišite parametarske jednačine ove linije.
Odluka
Napravimo prijelaz sa opće jednadžbe na kanonsku:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Sada uzmimo oba dijela rezultirajuće kanonske jednadžbe jednaka λ, tada:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
odgovor:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Opšta jednačina se može pretvoriti u jednačinu pravolinijske s nagibom y = k x + b, ali samo kada je B ≠ 0. Za prijelaz na lijevoj strani ostavljamo pojam B y , ostatak se prenosi na desnu. Dobijamo: B y = - A x - C . Podijelimo oba dijela rezultirajuće jednakosti sa B , što je različito od nule: y = - A B x - C B .
Primjer 7
Zadana je opšta jednačina prave linije: 2 x + 7 y = 0 . Morate tu jednačinu pretvoriti u jednadžbu nagiba.
Odluka
Izvršimo potrebne radnje prema algoritmu:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
odgovor: y = - 2 7 x .
Iz opće jednadžbe prave linije dovoljno je jednostavno dobiti jednadžbu u segmentima oblika x a + y b = 1. Da bismo napravili takav prijelaz, prenosimo broj C na desnu stranu jednakosti, podijelimo oba dijela rezultirajuće jednakosti sa -S i, na kraju, prenosimo koeficijente za varijable x i y na nazivnike:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Primjer 8
Opću jednačinu prave x - 7 y + 1 2 = 0 potrebno je pretvoriti u jednačinu prave u segmentima.
Odluka
Pomaknimo 1 2 na desnu stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Podijelite sa -1/2 obje strane jednačine: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
odgovor: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
Općenito, obrnuti prijelaz je također lak: sa drugih vrsta jednadžbi na opću.
Jednadžba prave linije u segmentima i jednačina sa nagibom mogu se lako pretvoriti u opštu jednostavnim sakupljanjem svih članova na lijevoj strani jednačine:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Kanonska jednadžba se pretvara u opću prema sljedećoj shemi:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Za prelazak sa parametarskog, prvo se vrši prijelaz na kanonski, a zatim na opći:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Primjer 9
Date su parametarske jednačine prave x = - 1 + 2 · λ y = 4. Potrebno je zapisati opštu jednačinu ove linije.
Odluka
Napravimo prijelaz sa parametarskih jednadžbi na kanonske:
x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Pređimo sa kanonskog na opšte:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
odgovor: y - 4 = 0
Primjer 10
Zadata je jednačina prave linije u segmentima x 3 + y 1 2 = 1. Potrebno je izvršiti prijelaz na opšti pogled jednačine.
Odluka:
Hajde da samo prepišemo jednačinu u traženom obliku:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
odgovor: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
Sastavljanje opšte jednačine prave linije
Gore smo rekli da se opšta jednačina može napisati sa poznatim koordinatama vektora normale i koordinatama tačke kroz koju prava prolazi. Takva prava linija je definisana jednačinom A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Na istom mjestu analizirali smo i odgovarajući primjer.
Sada pogledajmo više složeni primjeri, u kojem je prvo potrebno odrediti koordinate vektora normale.
Primjer 11
Zadana je prava paralelna pravoj 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Poznata je i tačka M 0 (4, 1) kroz koju prolazi data prava. Potrebno je zapisati jednačinu date prave.
Odluka
Početni uslovi nam govore da su prave paralelne, pa kao vektor normale prave čiju jednačinu treba napisati, uzimamo usmjeravajući vektor prave n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Sada znamo sve potrebne podatke za sastavljanje opće jednačine prave linije:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
odgovor: 2 x - 3 y - 5 = 0 .
Primjer 12
Data prava prolazi kroz ishodište okomito na pravu x - 2 3 = y + 4 5 . Potrebno je napisati opštu jednačinu date prave.
Odluka
Vektor normale date prave će biti usmjeravajući vektor prave x - 2 3 = y + 4 5 .
Tada je n → = (3, 5) . Prava prolazi kroz ishodište, tj. kroz tačku O (0, 0) . Sastavimo opštu jednačinu date prave linije:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Odgovori: 3 x + 5 y = 0 .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter