Funksiya grafigiga teginish tenglamasining umumiy ko`rinishi. Tangens tenglamasi va normalning funksiya grafigiga tenglamasi

“Funksiya grafigiga tangens tenglamasi” video darsligi namoyish etiladi o'quv materiali mavzuni o'zlashtirish. Video dars davomida, nazariy material, berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasi tushunchasini shakllantirish uchun zarur bo‘lgan, bunday tangensni topish algoritmi, o‘rganilayotgan nazariy materialdan foydalanib masalalar yechish misollari bayon etilgan.

Video darsida materialning ko'rinishini yaxshilaydigan usullar qo'llaniladi. Chizmalar, diagrammalar ko'rinishga kiritiladi, muhim ovozli izohlar beriladi, animatsiya, rangni ajratib ko'rsatish va boshqa vositalar qo'llaniladi.

Videodars dars mavzusini va M(a;f(a)) nuqtada qandaydir y=f(x) funksiya grafigiga teguvchi tasvirni ko‘rsatish bilan boshlanadi. Ma'lumki qiyalik Grafikga berilgan nuqtada chizilgan tangens f(a) funksiyaning berilgan nuqtadagi hosilasiga teng. Shuningdek, algebra kursidan y=kx+m to'g'ri chiziq tenglamasi ma'lum. Nuqtadagi tangens tenglamani topish masalasining yechimi sxematik tarzda keltirilgan bo'lib, u k, m koeffitsientlarni topishga kamayadi. Funksiya grafigiga mansub nuqtaning koordinatalarini bilib, f(a)=ka+m tangensi tenglamasiga koordinatalarning qiymatini qo‘yib, m ni topishimiz mumkin. Undan m=f(a)-ka ni topamiz. Shunday qilib, berilgan nuqtadagi hosilaning qiymatini va nuqtaning koordinatalarini bilib, tangens tenglamani shu tarzda y=f(a)+f΄(a)(x-a) qilib ifodalashimiz mumkin.

Quyida sxema bo'yicha tangens tenglamani tuzish misoli keltirilgan. y=x 2, x=-2 funksiya berilgan. a=-2 ni qabul qilib, funktsiyaning shu nuqtadagi qiymatini topamiz f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. fN(x)=2x funksiyaning hosilasini aniqlaymiz. Bu nuqtada hosila f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4 ga teng. Tenglamani tuzish uchun barcha a=-2, f(a)=4, fĄ(a)=-4 koeffitsientlari topiladi, shuning uchun tangens tenglama y=4+(-4)(x+2). Tenglamani soddalashtirib, biz y \u003d -4-4x ni olamiz.

Quyidagi misolda y=tgx funksiya grafigining boshidagi teginish tenglamasini shakllantirish taklif etiladi. Bu nuqtada a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Demak, tangens tenglama y=x ga o‘xshaydi.

Umumlashtirish sifatida, qaysidir nuqtada funktsiya grafigiga teginish tenglamasini tuzish jarayoni 4 bosqichdan iborat algoritm sifatida rasmiylashtiriladi:

• Aloqa nuqtasining abssissasi uchun belgi kiritiladi;
• f(a) hisoblanadi;
• FĄ(x) aniqlanadi va fN(a) hisoblanadi. Topilgan a, f(a), f΄(a) qiymatlari y=f(a)+f(a)(x-a) tangens tenglamasi formulasiga almashtiriladi.

1-misol x \u003d 1 nuqtasida y \u003d 1 / x funktsiyasi grafigiga teginish tenglamasini tuzishni ko'rib chiqadi. Muammoni hal qilish uchun biz algoritmdan foydalanamiz. Bu funksiya uchun a=1 nuqtada f(a)=-1 funksiya qiymati. f΄(x)=1/x 2 funksiyaning hosilasi. a=1 nuqtada hosila f΄(a)= f(1)=1. Olingan ma'lumotlardan foydalanib, y \u003d -1 + (x-1) yoki y \u003d x-2 tangens tenglamasi tuziladi.

2-misolda siz y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2 funksiya grafigiga teginish tenglamasini topishingiz kerak. Asosiy shart - tangens va to'g'ri chiziq y \u003d -2x + 1 parallelizmi. Birinchidan, y \u003d -2x + 1 to'g'ri chiziqning qiyaligiga teng bo'lgan tangensning qiyaligini topamiz. Bu to'g'ri chiziq uchun f(a)=-2 bo'lgani uchun, kerakli tangens uchun k=-2 bo'ladi. Biz funktsiyaning hosilasini topamiz (x 3 + 3x 2 -2x-2) N \u003d 3x 2 + 6x-2. f΄(a)=-2 ekanligini bilib, 3a 2 +6a-2=-2 nuqtaning koordinatalarini topamiz. Tenglamani yechishda biz 1 \u003d 0 va 2 \u003d -2 ni olamiz. Topilgan koordinatalardan foydalanib, tangens tenglamani taniqli algoritm yordamida topishingiz mumkin. Funksiyaning qiymatini f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 nuqtalarda topamiz. FN(a 1)= fN(a 2)=-2 nuqtadagi hosilaning qiymati. Topilgan qiymatlarni tangens tenglamaga almashtirib, biz birinchi nuqta uchun 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2, ikkinchi nuqta uchun esa a 2 \u003d -2 y \u003d -2x- tangens tenglamasini olamiz. 22.

3-misolda y=√x funksiya grafigining (0;3) nuqtasida chizilgan tangens tenglamasini tuzish tasvirlangan. Qaror ma'lum algoritmga muvofiq qabul qilinadi. Tegishli nuqta x=a koordinatalariga ega, bu erda a>0. Funksiyaning f(a)=√x nuqtadagi qiymati. f(x)=1/2√x funksiyaning hosilasi, demak, berilgan nuqtada f΄(a)=1/2√a. Olingan barcha qiymatlarni tangens tenglamaga almashtirib, biz y \u003d √a + (x-a) / 2√a ni olamiz. Tenglamani o'zgartirib, y=x/2√a+√a/2 ni olamiz. Tangens (0; 3) nuqtadan o'tishini bilib, a ning qiymatini topamiz. 3=√a/2 dan a ni toping. Demak, √a=6, a=36. Biz y \u003d x / 12 + 3 tangens tenglamasini topamiz. Rasmda ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning grafigi va tuzilgan kerakli tangens ko'rsatilgan.

Talabalarga Dy=≈fĄ(x)Dxand f(x+Dx)-f(x)≈fĄ(x)Dx taqribiy tengliklari eslatiladi. x=a, x+Dx=x, Dx=x-a ni olib, f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), demak f(x)≈f(a)+ fĄ( ni olamiz. a) (x-a).

4-misolda 2.003 6 ifodaning taxminiy qiymatini topish kerak. f (x) \u003d x 6 funktsiyasining x \u003d 2.003 nuqtasida qiymatini topish kerak bo'lganligi sababli, f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 ni olib, taniqli formuladan foydalanishimiz mumkin. , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f N(x)=6x 5 . f(2)=192 nuqtadagi hosila. Shuning uchun 2,003 6 ≈65-192 0,003. Ifodani hisoblab bo'lgach, biz 2,003 6 ≈64,576 ni olamiz.

“Funksiya grafigiga teginish tenglamasi” videodarsi maktabda an’anaviy matematika darsida foydalanish uchun tavsiya etiladi. Masofaviy ta'lim o'qituvchisi uchun video material mavzuni yanada aniqroq tushuntirishga yordam beradi. Mavzuni chuqurroq tushunish uchun kerak bo‘lsa, videorolikni talabalar o‘zlari ko‘rib chiqishlari uchun tavsiya etishlari mumkin.

MATN TASHHRI:

Biz bilamizki, agar M (a; f (a)) nuqtasi (a va a dan eff koordinatalari bo'lgan em) y \u003d f (x) funksiya grafigiga tegishli bo'lsa va agar bu nuqtada teginish mumkin bo'lsa. funktsiyaning grafigi abscissa o'qiga perpendikulyar emas, u holda tangensning qiyaligi f "(a) (a dan ef zarbasi).

y = f(x) funksiya va M (a; f(a)) nuqta berilsin va f´(a) mavjudligi ham ma’lum. Berilgan funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzamiz berilgan nuqta. Bu tenglama, y ​​o'qiga parallel bo'lmagan har qanday to'g'ri chiziq tenglamasi kabi, y = kx + m ko'rinishga ega (y ka x plyus em ga teng), shuning uchun vazifa koeffitsientlarning qiymatlarini topishdir. k va m. (ka va em)

Nishab k \u003d f "(a). m qiymatini hisoblash uchun biz kerakli to'g'ri chiziq M nuqtadan o'tishidan foydalanamiz (a; f (a)). Bu shuni anglatadiki, agar biz koordinatalarni almashtirsak. to'g'ri chiziq tenglamasidagi M nuqta, to'g'ri tenglikni olamiz : f(a) = ka+m, shundan m = f(a) - ka ekanligini topamiz.

Ki va m koeffitsientlarining topilgan qiymatlarini to'g'ri chiziq tenglamasiga almashtirish qoladi:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( Y - x minus a) ko'paytirilgan plyus ef zarbasidan eff ga teng.

y = f(x) funksiya grafigiga x=a nuqtadagi teginish tenglamasini oldik.

Agar aytaylik, y \u003d x 2 va x \u003d -2 (ya'ni a \u003d -2), u holda f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, shuning uchun f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (keyin a dan eff to'rtga teng, x dan eff tub ikki x ga teng, ya'ni a teng minus to'rtdan ef zarbasi degan ma'noni anglatadi)

Tenglamada topilgan qiymatlarni a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4 almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , ya'ni y \u003d -4x -to'rt.

(y minus to'rt x minus to'rtga teng)

y \u003d tgx (y) funktsiyasi grafigiga teginish tenglamasini tuzing. tangensga teng x) kelib chiqishida. Bizda: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , shuning uchun f"(0) = l. Topilgan a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 qiymatlarini tenglamaga almashtirsak, y=x hosil bo‘ladi.

X nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasini topish qadamlarimizni algoritm yordamida umumlashtiramiz.

y \u003d f (x) grafasiga tangens FUNKSIYA TENGLASHISH ALGORITMMI:

1) a harfi bilan aloqa nuqtasining abssissasini belgilang.

2) f(a) ni hisoblang.

3) f´(x) ni toping va f´(a) ni hisoblang.

4) Topilgan a, f(a), f´(a) sonlarni formulaga almashtiring y= f(a)+ f"(a) (x- a).

1-misol. y \u003d - funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing.

nuqta x = 1.

Yechim. Keling, ushbu misolda buni hisobga olgan holda algoritmdan foydalanamiz

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Topilgan uchta raqamni formulaga almashtiring: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1. Biz quyidagilarni olamiz: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.

Javob: y = x-2.

2-misol. y = funksiya berilgan x 3 +3x 2 -2x-2. y \u003d f (x) funktsiyasi grafigiga y \u003d -2x +1 to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan tangens tenglamasini yozing.

Tangens tenglamani tuzish algoritmidan foydalanib, biz ushbu misolda f(x) = ekanligini hisobga olamiz. x 3 +3x 2 -2x-2, lekin teginish nuqtasining abscissasi bu erda ko'rsatilmagan.

Gapni shunday boshlaylik. Kerakli tangens y \u003d -2x + 1 to'g'ri chiziqqa parallel bo'lishi kerak. Va parallel chiziqlar teng qiyaliklarga ega. Demak, tangensning qiyaligi berilgan to'g'ri chiziqning qiyaligiga teng: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Shunday qilib, f ´ (a) \u003d -2 tenglamasidan a qiymatini topishimiz mumkin.

Funktsiyaning hosilasi topilsin y=f(x):

f"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)' \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.

f "(a) \u003d -2 tenglamasidan, ya'ni. 3a 2 +6a-2\u003d -2 biz 1 \u003d 0, 2 \u003d -2 ni topamiz. Demak, masalaning shartlarini qanoatlantiruvchi ikkita tangens bor: biri abscissa 0, ikkinchisi abscissa -2 nuqtada.

Endi siz algoritmga muvofiq harakat qilishingiz mumkin.

1) 1 \u003d 0 va 2 \u003d -2.

2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Formulaga a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 qiymatlarini almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Formulaga a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 qiymatlarini almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Javob: y=-2x-2, y=-2x+2.

3-misol. (0; 3) nuqtadan y \u003d funksiya grafigiga tangens chizing. Yechim. Bu misolda f(x) = ekanligini hisobga olib, tangens tenglamani tuzish algoritmidan foydalanamiz. E'tibor bering, bu erda, 2-misolda bo'lgani kabi, teginish nuqtasining abscissasi aniq ko'rsatilmagan. Shunga qaramay, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz.

1) x = a aloqa nuqtasining abssissasi bo'lsin; a > 0 ekanligi aniq.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) a, f(a) = , f "(a) = qiymatlarini formulaga almashtirish

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), biz olamiz:

Shartga ko'ra, tangens (0; 3) nuqtadan o'tadi. Tenglamaga x = 0, y = 3 qiymatlarini qo'yib, biz quyidagilarni olamiz: 3 = , keyin esa =6, a =36.

Ko'rib turganingizdek, ushbu misolda faqat algoritmning to'rtinchi bosqichida biz teginish nuqtasining abscissasini topishga muvaffaq bo'ldik. Tenglamaga a =36 qiymatini qo‘yib, quyidagilarga erishamiz: y=+3

Shaklda. 1-rasmda ko'rib chiqilayotgan misolning geometrik tasviri keltirilgan: y \u003d funktsiyasining grafigi chizilgan, y \u003d +3 to'g'ri chiziq chizilgan.

Javob: y = +3.

Biz bilamizki, x nuqtada hosilasi bo‘lgan y = f(x) funksiya uchun taqribiy tenglik to‘g‘ri bo‘ladi: Dyf´(x)Dx.

yoki batafsilroq, f(x+Dx)-f(x) f´(x) Dx (x dan ef plus delta x minus ef x dan x dan delta x gacha bo'lgan ef tubiga taxminan teng).

Qo'shimcha mulohaza yuritish qulayligi uchun biz belgini o'zgartiramiz:

x o'rniga biz yozamiz a,

x + Dx o'rniga biz x yozamiz

Dx o'rniga biz x-a yozamiz.

Keyin yuqorida yozilgan taxminiy tenglik quyidagi shaklni oladi:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (x dan ef taxminan a dan plyus ef zarbasidan effga teng, x va a orasidagi farqga ko'paytiriladi).

Misol 4. Taxminiy qiymatni toping raqamli ifoda 2,003 6 .

Yechim. haqida x \u003d 2.003 nuqtasida y \u003d x 6 funktsiyasining qiymatini topish haqida. Bu misolda f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 ekanligini hisobga olib, f(x)f(a)+f´(a)(x-a) formulasidan foydalanamiz. 6 =64; x \u003d 2.003, f "(x) \u003d 6x 5 va shuning uchun f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

2.003 6 64+192 0.003, yaʼni. 2,003 6 = 64,576.

Agar biz kalkulyatordan foydalansak, biz quyidagilarni olamiz:

2,003 6 = 64,5781643...

Ko'rib turganingizdek, taxminiy aniqlik juda maqbuldir.

Hosilma belgisining funksiyaning monotonlik tabiati bilan bog‘liqligini ko‘rsatish.

Iltimos, quyidagi ishlarda juda ehtiyot bo'ling. Qarang, sizga NIMA berilgan jadval! Funktsiya yoki uning hosilasi

Hosilning grafigi berilgan, u holda biz faqat funktsiya belgilari va nollarga qiziqamiz. Hech qanday "knoll" va "bo'shliqlar" bizni printsipial jihatdan qiziqtirmaydi!

Vazifa 1.

Rasmda intervalda aniqlangan funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan butun nuqtalar sonini aniqlang.

Yechim:

Rasmda funksiyaning kamayadigan joylari rang bilan ajratilgan:

4 ta butun qiymat kamayuvchi funktsiya sohalariga to'g'ri keladi.

Vazifa 2.

Rasmda intervalda aniqlangan funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funksiya grafigiga tegish chiziqqa parallel yoki mos keladigan nuqtalar sonini toping.

Yechim:

Funktsiya grafigining tangensi to'g'ri chiziqqa parallel (yoki to'g'ri keladigan) bo'lgani uchun (yoki bir xil bo'ladi, ) qiyalik , nol, keyin tangens nishabga ega.

Bu, o'z navbatida, tangensning o'qga parallel ekanligini anglatadi, chunki qiyalik tangensning o'qga moyillik burchagi tangensidir.

Shuning uchun biz grafikdagi ekstremum nuqtalarni topamiz (maksimal va minimal nuqtalar), - ularda grafikga teginish funktsiyalari o'qga parallel bo'ladi.

Bunday 4 ta nuqta mavjud.

Vazifa 3.

Rasmda intervalda aniqlangan funksiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Funksiya grafigiga tegish chiziqqa parallel yoki mos keladigan nuqtalar sonini toping.

Yechim:

Funktsiya grafigining tangensi qiyalikka ega bo'lgan to'g'ri chiziq bilan parallel (yoki mos keladigan) bo'lganligi sababli, tangens qiyalikka ega bo'ladi.

Bu o'z navbatida aloqa nuqtalarida degan ma'noni anglatadi.

Shuning uchun biz grafikdagi nechta nuqtaning ordinatasi ga teng ekanligini ko'rib chiqamiz.

Ko'rib turganingizdek, bunday to'rtta nuqta mavjud.

Vazifa 4.

Rasmda intervalda aniqlangan funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funktsiyaning hosilasi 0 ga teng nuqtalar sonini toping.

Yechim:

Ekstremum nuqtalarda hosila nolga teng. Bizda ulardan 4 tasi bor:

Vazifa 5.

Rasmda funktsiya grafigi va x o'qidagi o'n bir nuqta ko'rsatilgan: Ushbu nuqtalarning nechtasida funktsiyaning hosilasi manfiy bo'ladi?

Yechim:

Funksiyaning kamayuvchi oraliqlarida uning hosilasi olinadi salbiy qiymatlar. Va funksiya nuqtalarda kamayadi. Bunday 4 ta nuqta mavjud.

Vazifa 6.

Rasmda intervalda aniqlangan funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funktsiyaning ekstremum nuqtalarining yig'indisini toping.

Yechim:

ekstremal nuqtalar maksimal ball (-3, -1, 1) va minimal nuqtalar (-2, 0, 3).

Ekstremal nuqtalar yig'indisi: -3-1+1-2+0+3=-2.

Vazifa 7.

Rasmda intervalda aniqlangan funksiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Funksiyaning ortishi oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.

Yechim:

Rasmda funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lmagan oraliqlar ajratilgan.

Kichik o'sish oralig'ida butun son nuqtalari yo'q, o'sish oralig'ida to'rtta butun qiymat mavjud: , , va .

Ularning yig'indisi:

Vazifa 8.

Rasmda intervalda aniqlangan funksiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Funksiyaning ortishi oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini yozing.

Yechim:

Rasmda hosila ijobiy bo'lgan barcha intervallar ajratib ko'rsatilgan, ya'ni funktsiyaning o'zi bu intervallarda ortadi.

Ulardan eng kattasining uzunligi 6 ta.

9-topshiriq.

Rasmda intervalda aniqlangan funksiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Segmentning qaysi nuqtasida u eng katta qiymatni oladi.

Yechim:

Biz grafik segmentda qanday harakat qilishini ko'rib chiqamiz, ya'ni bizni qiziqtiradi faqat hosila belgisi .

Hosilning belgisi minus, chunki bu segmentdagi grafik o'qdan pastda joylashgan.

Ish turi: 7

Vaziyat

y=3x+2 chiziq y=-12x^2+bx-10 funksiya grafigiga teginish. Tegish nuqtasining abssissasi noldan kichik ekanligini hisobga olib, b ni toping.

Yechimni ko'rsatish

Yechim

y=-12x^2+bx-10 funksiya grafigidagi nuqtaning abssissasi x_0 bo'lsin, u orqali bu grafikning tangensi o'tadi.

X_0 nuqtadagi hosilaning qiymati tangens qiyaligiga teng, ya'ni y"(x_0)=-24x_0+b=3. Boshqa tomondan, teginish nuqtasi ham funksiya grafigiga, ham tangens, ya'ni -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Biz tenglamalar tizimini olamiz \begin(holatlar) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (holatlar)

Ushbu tizimni yechishda biz x_0^2=1 olamiz, ya'ni x_0=-1 yoki x_0=1 degan ma'noni anglatadi. Abscissa shartiga ko'ra teginish nuqtalari noldan kichik, shuning uchun x_0=-1, keyin b=3+24x_0=-21.

Javob

Ish turi: 7
Mavzu: Hosilning geometrik ma'nosi. Funksiya grafigiga teginish

Vaziyat

y=-3x+4 toʻgʻri chiziq y=-x^2+5x-7 funksiya grafigining tangensiga parallel. Aloqa nuqtasining abssissasini toping.

Yechimni ko'rsatish

Yechim

Ixtiyoriy x_0 nuqtadagi y=-x^2+5x-7 funksiya grafigiga chiziqning qiyaligi y"(x_0) ga teng. Lekin y"=-2x+5, shuning uchun y"(x_0)=- 2x_0+5.Shartda ko'rsatilgan y=-3x+4 chiziqning burchak koeffitsienti -3 ga teng.Parallel to'g'ri chiziqning qiyalik koeffitsientlari bir xil.Shuning uchun x_0 shunday qiymat topamizki, =-2x_0 +5=-3.

Biz olamiz: x_0 = 4.

Javob

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2017. Profil darajasi". Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 7
Mavzu: Hosilning geometrik ma'nosi. Funksiya grafigiga teginish

Vaziyat

Yechimni ko'rsatish

Yechim

Rasmdan tangens A(-6; 2) va B(-1; 1) nuqtalardan o'tishini aniqlaymiz. x=-6 va y=1 chiziqlarning kesishish nuqtasini C(-6; 1) va ABC burchagini \alfa bilan belgilaymiz (uning keskin ekanligini rasmda ko'rish mumkin). Keyin AB chizig'i Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan \pi -\alpha o'tmas burchak hosil qiladi.

Ma’lumki, tg(\pi -\alpha) f(x) funksiyaning x_0 nuqtadagi hosilasining qiymati bo’ladi. e'tibor bering, bu tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Bu erdan qisqartirish formulalari bo'yicha biz quyidagilarni olamiz: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Javob

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2017. profil darajasi. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 7
Mavzu: Hosilning geometrik ma'nosi. Funksiya grafigiga teginish

Vaziyat

y=-2x-4 chiziq y=16x^2+bx+12 funksiya grafigiga teginish. Tegish nuqtasining abtsissasi noldan katta bo'lishini hisobga olib, b ni toping.

Yechimni ko'rsatish

Yechim

y=16x^2+bx+12 funksiya grafigidagi nuqtaning abssissasi x_0 bo'lsin, u orqali

bu grafikga tangens.

X_0 nuqtadagi hosilaning qiymati tangens qiyaligiga teng, ya'ni y "(x_0)=32x_0+b=-2. Boshqa tomondan, teginish nuqtasi ham funksiya grafigiga, ham tangens, ya'ni 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Biz tenglamalar tizimini olamiz \begin(holatlar) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end (holatlar)

Tizimni yechishda biz x_0^2=1 ni olamiz, ya'ni x_0=-1 yoki x_0=1. Abtsissaning shartiga ko'ra, teginish nuqtalari noldan katta, shuning uchun x_0=1, keyin b=-2-32x_0=-34.

Javob

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2017. profil darajasi. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 7
Mavzu: Hosilning geometrik ma'nosi. Funksiya grafigiga teginish

Vaziyat

Rasmda (-2; 8) oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi keltirilgan. Funksiya grafigining tangensi y=6 to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan nuqtalar sonini aniqlang.

Yechimni ko'rsatish

Yechim

y=6 chiziq Ox o'qiga parallel. Demak, funksiya grafigining tangensi Ox o'qiga parallel bo'lgan shunday nuqtalarni topamiz. Ushbu diagrammada bunday nuqtalar ekstremal nuqtalardir (maksimal yoki minimal ball). Ko'rib turganingizdek, 4 ta ekstremum nuqta mavjud.

Javob

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2017. profil darajasi. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 7
Mavzu: Hosilning geometrik ma'nosi. Funksiya grafigiga teginish

Vaziyat

y=4x-6 to‘g‘ri chiziq y=x^2-4x+9 funksiya grafigining tegiga parallel. Aloqa nuqtasining abssissasini toping.

Yechimni ko'rsatish

Yechim

X_0 ixtiyoriy nuqtadagi y \u003d x ^ 2-4x + 9 funktsiyasi grafigiga teginishning qiyaligi y "(x_0) ga teng. Lekin y" \u003d 2x-4, bu y "(x_0) \" degan ma'noni anglatadi. u003d 2x_0-4. Shartda ko'rsatilgan y \u003d 4x-7 tangensining qiyaligi 4 ga teng. Parallel chiziqlar bir xil qiyaliklarga ega. Shuning uchun biz x_0 qiymatini topamizki, 2x_0-4 \u003d 4. Biz olamiz : x_0 \u003d 4.

Javob

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2017. profil darajasi. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 7
Mavzu: Hosilning geometrik ma'nosi. Funksiya grafigiga teginish

Vaziyat

Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va uning x_0 abscissasi bo‘lgan nuqtadagi tegi ko‘rsatilgan. f(x) funksiyaning x_0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

Yechimni ko'rsatish

Yechim

Rasmdan tangens A(1; 1) va B(5; 4) nuqtalardan o'tishini aniqlaymiz. C(5; 1) x=5 va y=1 chiziqlarning kesishish nuqtasini va BAC burchagini \alpha bilan belgilaymiz (uning o'tkir ekanligini rasmda ko'rish mumkin). Keyin AB chizig'i Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan \alpha burchak hosil qiladi.

Y \u003d f (x) va agar bu nuqtada x o'qiga perpendikulyar bo'lmagan funktsiya grafigiga tangens chizish mumkin bo'lsa, u holda tangensning qiyaligi f "(a) ga teng bo'ladi. Biz buni allaqachon bir nechta ishlatganmiz. Masalan, 33-§da y \u003d sin x (sinusoid) funktsiyaning grafigi koordinata boshidagi abscissa o'qi bilan 45 ° burchak hosil qilishi (aniqrog'i, grafaga teginish) aniqlangan. kelib chiqishi x o'qining musbat yo'nalishi bilan 45 ° burchak hosil qiladi) va § 33 ning 5-misolida berilgan jadval bo'yicha nuqtalar topilgan. funktsiyalari, bunda tangens x o'qiga parallel bo'ladi. § 33 ning 2-misolida x \u003d 1 nuqtada (aniqrog'i, (1; 1) nuqtada), lekin ko'pincha faqat y \u003d x 2 funktsiyasi grafigiga teginish uchun tenglama tuzildi. abscissaning qiymati ko'rsatiladi, agar abscissaning qiymati ma'lum bo'lsa, u holda ordinataning qiymatini y = f(x)) tenglamadan topish mumkin deb faraz qilinadi. Ushbu bo'limda biz har qanday funktsiya grafigiga teginish tenglamasini tuzish algoritmini ishlab chiqamiz.

y \u003d f (x) funktsiyasi va M (a; f (a)) nuqtasi berilsin va f "(a) ning mavjudligi ham ma'lum. Grafikga teginish tenglamasini tuzamiz. berilgan nuqtada berilgan funksiya.Ushbu tenglama y o‘qiga parallel bo‘lmagan har qanday to‘g‘ri chiziq tenglamasiga o‘xshaydi, y = kx + m ko‘rinishga ega, shuning uchun masala k koeffitsientlarining qiymatlarini topishdan iborat. va m.

Nishab k bilan bog'liq muammolar yo'q: biz bilamizki, k \u003d f "(a). m qiymatini hisoblash uchun biz kerakli chiziq M nuqtasidan o'tishidan foydalanamiz (a; f (a)). Bu shuni anglatadiki, agar biz M nuqtalarining koordinatalarini to'g'ri chiziq tenglamasiga almashtirsak, biz to'g'ri tenglikni olamiz: f (a) \u003d ka + m, bu erdan m \u003d f (a) - ka ni topamiz.
Kit koeffitsientlarining topilgan qiymatlarini o'rniga qo'yish qoladi tenglama To'g'riga:

Biz x \u003d a nuqtasida y \u003d f (x) funktsiyasining grafigiga teginish tenglamasini oldik.
Agar aytaylik,
(1) tenglamada topilgan qiymatlarni a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2 o'rniga qo'yib, biz quyidagilarni olamiz: y \u003d 1 + 2 (x-f), ya'ni y \u003d 2x -1.
Ushbu natijani § 33 ning 2-misolida olingan natija bilan solishtiring. Tabiiyki, xuddi shu narsa sodir bo'ldi.
Bosh nuqtasida y \u003d tg x funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzamiz. Bizda ... bor: shuning uchun cos x f "(0) = 1. Topilgan a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 qiymatlarini (1) tenglamaga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: y \u003d x .
Shuning uchun biz § 15da tangentoidni (62-rasmga qarang) koordinatalar boshi orqali abscissa o'qiga 45 ° burchak ostida chizdik.
Bularni hal qilish kifoya oddiy misollar, biz aslida (1) formulaga kiritilgan ma'lum bir algoritmdan foydalandik. Keling, ushbu algoritmni aniq qilib ko'rsatamiz.

y \u003d f (x) GRAFIKGA TANGENT FUNKSIYA TENGLASHISHI ALGORITMMI

1) a harfi bilan aloqa nuqtasining abssissasini belgilang.
2) 1 (a) ni hisoblang.
3) f "(x) ni toping va f" (a) ni hisoblang.
4) Topilgan a, f(a), (a) sonlarni (1) formulaga almashtiring.

1-misol Funksiya grafigiga x = 1 nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.
Keling, ushbu misolda buni hisobga olgan holda algoritmdan foydalanamiz

Shaklda. 126 giperbolani ko'rsatadi, y \u003d 2x to'g'ri chiziq qurilgan.
Chizma yuqoridagi hisob-kitoblarni tasdiqlaydi: haqiqatan ham y \u003d 2-x chizig'i (1; 1) nuqtadagi giperbolaga tegadi.

Javob: y \u003d 2-x.
2-misol Funktsiya grafigiga y \u003d 4x - 5 to'g'ri chiziqqa parallel bo'lishi uchun tangens chizing.
Keling, muammoning formulasini aniqlaylik. "Tangensni chizish" talabi odatda "tangens uchun tenglama tuzish" degan ma'noni anglatadi. Bu mantiqan to'g'ri, chunki agar odam tangens uchun tenglama tuza olgan bo'lsa, u holda uning tenglamasiga ko'ra koordinata tekisligida to'g'ri chiziq qurishda qiyinchiliklarga duch kelishi dargumon.
Keling, tangens tenglamani tuzish algoritmidan foydalanamiz, chunki bu misolda, lekin oldingi misoldan farqli o'laroq, bu erda noaniqlik mavjud: teginish nuqtasining abscissasi aniq ko'rsatilmagan.
Gapni shunday boshlaylik. Kerakli tangens y \u003d 4x-5 to'g'ri chiziqqa parallel bo'lishi kerak. Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar ularning qiyaliklari teng bo'lsa. Bu tangensning qiyaligi berilgan to'g'ri chiziqning qiyaligiga teng bo'lishi kerakligini anglatadi: Shunday qilib, f "(a) \u003d 4 tenglamasidan a qiymatini topishimiz mumkin.
Bizda ... bor:
Tenglamadan Demak, masalaning shartlarini qanoatlantiruvchi ikkita tangens bor: biri abscissa 2 bo'lgan nuqtada, ikkinchisi abscissa -2 bo'lgan nuqtada.
Endi siz algoritmga muvofiq harakat qilishingiz mumkin.

3-misol(0; 1) nuqtadan funksiya grafigiga teginish chiziladi
Ushbu misolda 2-misolda bo'lgani kabi bu erda ham teginish nuqtasining abssissasi aniq ko'rsatilmaganligini hisobga olib, tangens tenglamani tuzish algoritmidan foydalanamiz. Shunga qaramay, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz.

Shartga ko'ra, tangens (0; 1) nuqtadan o'tadi. (2) tenglamaga x = 0, y = 1 qiymatlarini qo'yib, biz quyidagilarni olamiz:
Ko'rib turganingizdek, ushbu misolda faqat algoritmning to'rtinchi bosqichida biz teginish nuqtasining abscissasini topishga muvaffaq bo'ldik. a \u003d 4 qiymatini (2) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Shaklda. 127 ko'rib chiqilayotgan misolning geometrik tasvirini ko'rsatadi: funktsiya grafigi

32-§da biz belgilangan x nuqtada hosilasi bo'lgan y = f(x) funksiya uchun taxminan tenglik amal qilishini ta'kidladik:

Keyingi fikrlash uchun qulaylik uchun biz belgini o'zgartiramiz: x o'rniga biz a yozamiz, o'rniga x yozamiz va shunga mos ravishda uning o'rniga x-a yozamiz. Keyin yuqorida yozilgan taxminiy tenglik quyidagi shaklni oladi:

Endi rasmga qarang. 128. y \u003d f (x) funksiya grafigiga M (a; f (a)) nuqtada tangens chiziladi. Belgilangan x nuqta x o'qida a ga yaqin. Ko'rinib turibdiki, f(x) funksiya grafigining belgilangan x nuqtadagi ordinatasidir. Va f (a) + f "(a) (x-a) nima? Bu bir xil x nuqtaga mos keladigan tangensning ordinatasi - formula (1) ga qarang. Taxminan tenglik (3) nimani anglatadi? Bu funksiyaning taxminiy qiymatini hisoblang, tangens ordinatasining qiymati olinadi.

4-misol 1,02 7 sonli ifodaning taqribiy qiymatini toping.
Biz y \u003d x 7 funktsiyasining qiymatini x \u003d 1.02 nuqtasida topish haqida gapiramiz. Biz ushbu misolda (3) formuladan foydalanamiz
Natijada biz quyidagilarni olamiz:

Agar kalkulyatordan foydalansak, biz quyidagilarni olamiz: 1,02 7 = 1,148685667...
Ko'rib turganingizdek, taxminiy aniqlik juda maqbuldir.
Javob: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich algebra 10-sinf

Matematika fanidan kalendar-tematik rejalashtirish, video matematikadan onlayn, Maktabda matematika yuklab olish

Dars mazmuni dars xulosasi qo'llab-quvvatlash ramka dars taqdimoti tezlashtirish usullari interaktiv texnologiyalar Amaliyot topshiriq va mashqlar o'z-o'zini tekshirish seminarlar, treninglar, keyslar, kvestlar uy vazifalarini muhokama qilish savollari talabalar tomonidan ritorik savollar Tasvirlar audio, videokliplar va multimedia fotosuratlar, rasmlar grafikasi, jadvallar, sxemalar hazil, latifalar, hazillar, komikslar, masallar, maqollar, krossvordlar, iqtiboslar Qo'shimchalar tezislar Inquisitive cheat sheets uchun maqolalar chips darsliklar asosiy va qo'shimcha atamalar lug'ati boshqa Darslik va darslarni takomillashtirishdarslikdagi xatolarni tuzatish darslikdagi parchani yangilash darsdagi innovatsiya elementlari eskirgan bilimlarni yangilari bilan almashtirish Faqat o'qituvchilar uchun mukammal darslar yil uchun kalendar rejasi ko'rsatmalar muhokama dasturlari Integratsiyalashgan darslar

Qaysidir nuqtada x 0 chekli hosilasi f (x 0) ga ega bo‘lgan f funksiya berilgan bo‘lsin. Keyin qiyaligi f '(x 0) bo'lgan (x 0; f (x 0)) nuqtadan o'tuvchi chiziq tangens deyiladi.

Ammo x 0 nuqtasida hosila mavjud bo'lmasa nima bo'ladi? Ikkita variant mavjud:

1. Grafikning tangensi ham mavjud emas. Klassik misol y = |x | funksiyasi nuqtada (0; 0).
2. Tangens vertikal bo'ladi. Bu, masalan, (1; p /2) nuqtadagi y = arcsin x funktsiyasi uchun to'g'ri.

Tangens tenglamasi

Har qanday vertikal bo'lmagan to'g'ri chiziq y = kx + b ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan, bu erda k - qiyalik. Tangens bundan mustasno emas va uning x 0 nuqtadagi tenglamasini tuzish uchun ushbu nuqtadagi funksiya va hosila qiymatini bilish kifoya.

Shunday qilib, segmentda y \u003d f '(x) hosilasi bo'lgan y \u003d f (x) funksiya berilsin. U holda x 0 ∈ (a; b) istalgan nuqtada ushbu funktsiya grafigiga teginish chizish mumkin, bu tenglama bilan berilgan:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Bu yerda f ’(x 0) hosilaning x 0 nuqtasidagi qiymati, f (x 0) esa funksiyaning o‘zi qiymatidir.

Vazifa. y = x 3 funksiya berilgan. Bu funksiya grafigiga x 0 = 2 nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.

Tangent tenglama: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Bizga x 0 = 2 nuqtasi berilgan, ammo f (x 0) va f '(x 0) qiymatlarini hisoblash kerak bo'ladi.

Birinchidan, funksiyaning qiymatini topamiz. Bu erda hamma narsa oson: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Endi hosilani topamiz: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
X 0 = 2 hosilasidagi o'rniga qo'ying: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Shunday qilib, biz olamiz: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Bu tangens tenglama.

Vazifa. x 0 \u003d p / 2 nuqtasida f (x) \u003d 2sin x + 5 funktsiyasi grafigiga teginish tenglamasini tuzing.

Bu safar biz har bir harakatni batafsil tasvirlab bermaymiz - biz faqat asosiy bosqichlarni ko'rsatamiz. Bizda ... bor:

f (x 0) \u003d f (p / 2) \u003d 2sin (p / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(p / 2) \u003d 2cos (p / 2) \u003d 0;

Tangens tenglamasi:

y = 0 (x - p /2) + 7 ⇒ y = 7

Ikkinchi holda, chiziq gorizontal bo'lib chiqdi, chunki uning qiyaligi k = 0. Buning hech qanday yomon joyi yo'q - biz shunchaki ekstremum nuqtaga qoqilib qoldik.