Qarama-qarshi tepadan) va olingan mahsulotni ikkiga bo'ling. Shaklda u quyidagicha ko'rinadi:

S = ½ * a * h,

qayerda:
S - uchburchakning maydoni,
a - uning tomonining uzunligi,
h - bu tomonga tushirilgan balandlik.

Yon uzunligi va balandligi bir xil birliklarda ko'rsatilishi kerak. Bunday holda, uchburchakning maydoni mos keladigan "" birliklarga aylanadi.

Misol.
20 sm uzunlikdagi skalen uchburchakning bir tomonida qarama-qarshi cho'qqidan 10 sm uzunlikdagi perpendikulyar tushiriladi.
Uchburchakning maydoni talab qilinadi.
Yechim.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (sm²).

Agar siz masshtabli uchburchakning istalgan ikki tomonining uzunligini va ular orasidagi burchakni bilsangiz, quyidagi formuladan foydalaning:

S = ½ * a * b * sing,

Bu yerda: a, b - ikkita ixtiyoriy tomonning uzunliklari, g - ular orasidagi burchak.

Amalda, masalan, o'lchashda yer uchastkalari, yuqoridagi formulalardan foydalanish ba'zan qiyin, chunki u qo'shimcha konstruktsiyalarni va burchaklarni o'lchashni talab qiladi.

Agar siz masshtabli uchburchakning uch tomonining uzunligini bilsangiz, Heron formulasidan foydalaning:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - uchburchak tomonlarining uzunliklari,
r – yarim perimetr: p = (a+b+c)/2.

Agar barcha tomonlarning uzunliklaridan tashqari, uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi ma'lum bo'lsa, quyidagi ixcham formuladan foydalaning:

Bu erda: r - chizilgan doira radiusi (p - yarim perimetr).

Cheklangan doiradagi masshtabli uchburchakning maydonini va uning tomonlari uzunligini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

Bu erda: R - aylananing radiusi.

Agar uchburchakning tomonlaridan birining uzunligi va uchta burchagi ma'lum bo'lsa (asosan, ikkitasi etarli - uchinchisining qiymati uchburchakning uchta burchagi yig'indisi tengligidan hisoblanadi - 180º), keyin foydalaning formula:

S = (a² * sinb * sing)/2sina,

bu yerda a - a tomoniga qarama-qarshi burchakning qiymati;
b, g - uchburchakning qolgan ikki burchagining qiymatlari.

Turli elementlarni, shu jumladan maydonni topish zarurati uchburchak, astronomlar orasida bizning eramizdan ko'p asrlar oldin paydo bo'lgan Qadimgi Gretsiya. Kvadrat uchburchak hisoblash mumkin turli yo'llar bilan turli formulalar yordamida. Hisoblash usuli qaysi elementlarga bog'liq uchburchak ma'lum.

Ko'rsatma

Agar shartdan biz ikki tomonning qiymatlari b, c va ular hosil qilgan burchakni bilsak, u holda maydon uchburchak ABC quyidagi formula bilan topiladi:
S = (bcsin?)/2.

Agar shartdan biz a, b tomonlarning qiymatlarini va ular tomonidan hosil bo'lmagan burchakni bilsak, u holda maydon uchburchak ABC quyidagicha topiladi:
Burchakni topish?, gunoh? = bsin? / a, keyin stolda biz burchakning o'zini aniqlaymiz.
Burchak topyapsizmi? = 180°-?-?.
Maydonning o'zini toping S = (absin?)/2.

Agar shartdan biz faqat uchta tomonning qiymatlarini bilsak uchburchak a, b va c, keyin maydon uchburchak ABC quyidagi formula bilan topiladi:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , bu yerda p - yarim perimetr p = (a+b+c)/2

Muammoning shartidan biz balandlikni bilsak uchburchak h va bu balandlik tushirilgan tomon, keyin maydon uchburchak ABC formula bo'yicha:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Agar tomonlarning qadriyatlarini bilsak uchburchak a, b, c va berilganga yaqin chegaralangan radiusi uchburchak R, keyin buning maydoni uchburchak ABC quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = abc/4R.
Agar uchta tomon a, b, c va chizilgan radiusi ma'lum bo'lsa, u holda maydon uchburchak ABC quyidagi formula bilan topiladi:
S = pr, bu erda p - yarim perimetr, p = (a+b+c)/2.

Agar ABC teng yonli bo'lsa, maydon quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S = (a^2v3)/4.
Agar ABC uchburchagi teng yonli bo'lsa, maydon quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, bu erda c uchburchak.
Agar ABC uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, u holda maydon quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = ab/2, bu erda a va b - oyoqlar uchburchak.
Agar ABC uchburchagi to'g'ri burchakli teng burchakli uchburchak bo'lsa, u holda maydon quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = c ^ 2/4 = a ^ 2/2, bu erda c - gipotenuza uchburchak, a=b - oyoq.

Tegishli videolar

Manbalar:

• uchburchakning maydonini qanday o'lchash kerak

Maslahat 3: Agar burchakni bilsangiz, uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Hududni topish uchun faqat bitta parametrni (burchakning qiymatini) bilish etarli emas tre kvadrat . Agar qo'shimcha o'lchamlar mavjud bo'lsa, maydonni aniqlash uchun siz burchak qiymati ma'lum o'zgaruvchilardan biri sifatida ishlatiladigan formulalardan birini tanlashingiz mumkin. Eng ko'p qo'llaniladigan bir nechta formulalar quyida keltirilgan.

Ko'rsatma

Agar ikki tomon hosil qilgan burchakka (g) qo'shimcha ravishda tre kvadrat , bu tomonlarning uzunliklari (A va B) ham ma'lum, keyin kvadrat(S) raqamlarni yon uzunliklari va ma'lum burchak sinusining yarmi mahsuloti sifatida aniqlash mumkin: S=½×A×B×sin(g).

Uchburchakning maydoni - formulalar va masalani yechish misollari

Quyida ixtiyoriy uchburchakning maydonini topish uchun formulalar xossalari, burchaklari yoki o'lchamlaridan qat'i nazar, har qanday uchburchakning maydonini topish uchun javob beradi. Formulalar rasm shaklida taqdim etilgan, bu erda ularning to'g'riligini qo'llash yoki asoslash uchun tushuntirishlar mavjud. Shuningdek, alohida rasmda formulalardagi harf belgilari va chizmadagi grafik belgilarning mosligi ko'rsatilgan.

Eslatma . Agar uchburchak maxsus xususiyatlarga ega bo'lsa (izossellar, to'rtburchaklar, teng yonli), siz quyidagi formulalardan, shuningdek, faqat ushbu xususiyatlarga ega bo'lgan uchburchaklar uchun to'g'ri keladigan maxsus formulalardan foydalanishingiz mumkin:

• "Teng tomonli uchburchakning maydoni uchun formulalar"

Uchburchak maydoni formulalari

Formulalar uchun tushuntirishlar:
a, b, c- maydonini topmoqchi bo'lgan uchburchak tomonlarining uzunliklari
r- uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi
R- uchburchak atrofida aylana radiusi
h- yon tomonga tushirilgan uchburchakning balandligi
p- uchburchakning yarim perimetri, uning tomonlari yig'indisining 1/2 qismi (perimetri)
α - uchburchakning a tomoniga qarama-qarshi burchak
β - uchburchakning b tomoniga qarama-qarshi burchak
γ - uchburchakning c tomoniga qarama-qarshi burchak
h a, h b , h c- a, b, c tomoniga tushirilgan uchburchakning balandligi

E'tibor bering, yuqoridagi belgi yuqoridagi rasmga to'g'ri keladi, shuning uchun haqiqiy geometriya masalasini hal qilishda vizual ravishda almashtirish osonroq bo'ladi. to'g'ri joylar formulalar to'g'ri qiymatlar.

• Uchburchakning maydoni uchburchak balandligining yarmi mahsuloti va bu balandlik tushirilgan tomonning uzunligi(Formula 1). Ushbu formulaning to'g'riligini mantiqan tushunish mumkin. Poydevorga tushirilgan balandlik ixtiyoriy uchburchakni ikkita to'rtburchakka bo'ladi. Agar ularning har birini b va h o'lchamlari bo'lgan to'rtburchaklar bilan yakunlasak, bu uchburchaklar maydoni to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng bo'ladi (Spr = bh)
• Uchburchakning maydoni uning ikki tomonining yarmi ko'paytmasi va ular orasidagi burchak sinusi(Formula 2) (quyida ushbu formuladan foydalangan holda muammoni hal qilish misoliga qarang). Bu avvalgisidan farqli ko'rinishiga qaramay, uni osongina aylantirish mumkin. Agar balandlikni B burchakdan b tomoniga tushirsak, to'g'ri burchakli uchburchakdagi sinusning xossalariga ko'ra a tomon va g burchak sinusining ko'paytmasi chizilgan uchburchak balandligiga teng ekanligi ma'lum bo'ladi. biz, bu bizga oldingi formulani beradi
• Ixtiyoriy uchburchakning maydonini topish mumkin orqali ish uning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi bilan chizilgan doira radiusining yarmi(Formula 3), boshqacha qilib aytganda, siz uchburchakning yarim perimetrini chizilgan doira radiusiga ko'paytirishingiz kerak (buni eslab qolish osonroq)
• Ixtiyoriy uchburchakning maydonini uning barcha tomonlari ko'paytmasini atrofida aylananing 4 radiusiga bo'lish orqali topish mumkin (Formula 4)
• Formula 5 - bu uchburchakning yuzini uning tomonlari va yarim perimetri bo'yicha (barcha tomonlari yig'indisining yarmi) topishdir.
• Heron formulasi(6) yarim perimetr tushunchasidan foydalanmasdan, faqat tomonlarning uzunliklari orqali bir xil formulaning tasviri.
• O'zboshimchalik bilan uchburchakning maydoni uchburchak tomoni kvadrati va bu tomonga ulashgan burchaklar sinuslari ko'paytmasiga teng, bu tomonga qarama-qarshi burchakning qo'sh sinusiga bo'linadi (Formula 7)
• Ixtiyoriy uchburchakning maydonini uning atrofida aylananing ikkita kvadrati va uning har bir burchagining sinuslari ko'paytmasi sifatida topish mumkin. (Formula 8)
• Agar bir tomonning uzunligi va unga tutashgan ikkita burchakning kattaligi ma'lum bo'lsa, u holda uchburchakning maydonini ushbu tomonning kvadrati sifatida topish mumkin, bu kotangentlarning ikki barobar yig'indisiga bo'linadi. burchaklar (Formula 9)
• Agar uchburchakning har bir balandligining uzunligi ma'lum bo'lsa (Formula 10), unda bunday uchburchakning maydoni Heron formulasida bo'lgani kabi, bu balandliklarning uzunliklariga teskari proportsionaldir.
• Formula 11 hisoblash imkonini beradi uchburchakning uchlari koordinatalariga ko'ra maydoni, ular har bir cho'qqi uchun (x;y) qiymatlar sifatida berilgan. E'tibor bering, natijada olingan qiymat modul bo'yicha olinishi kerak, chunki alohida (yoki hatto barcha) cho'qqilarning koordinatalari salbiy qiymatlar sohasida bo'lishi mumkin.

Eslatma. Quyida uchburchakning maydonini topish uchun geometriyadagi muammolarni echish misollari keltirilgan. Agar siz geometriyadagi muammoni hal qilishingiz kerak bo'lsa, shunga o'xshash bu erda yo'q - bu haqda forumda yozing. Yechimlarda "belgisi o'rniga" Kvadrat ildiz" sqrt() funktsiyasidan foydalanish mumkin, bunda sqrt kvadrat ildiz belgisidir va radikal ifoda qavs ichida ko'rsatilgan..Ba'zida belgi oddiy radikal iboralar uchun ishlatilishi mumkin √

Vazifa. Ikki tomon berilgan maydonni va ular orasidagi burchakni toping

Uchburchakning tomonlari 5 va 6 sm.Ular orasidagi burchak 60 gradus. Uchburchakning maydonini toping.

Yechim.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz darsning nazariy qismidagi ikkinchi formuladan foydalanamiz.
Uchburchakning maydonini ikki tomonning uzunligi va ular orasidagi burchakning sinusi orqali topish mumkin va unga teng bo'ladi.
S=1/2 ab sin g

Yechim uchun barcha kerakli ma'lumotlarga ega bo'lganligimiz sababli (formula bo'yicha), biz faqat muammoning holatidagi qiymatlarni formulaga almashtirishimiz mumkin:
S=1/2*5*6*sin60

Qiymatlar jadvalida trigonometrik funktsiyalar ifodada sinusning 60 gradus qiymatini toping va almashtiring. Bu uchdan ikkining ildiziga teng bo'ladi.
S = 15 √3 / 2

Javob: 7,5 √3 (o'qituvchining talablariga qarab, ehtimol 15 √3/2 qoldirish mumkin)

Vazifa. Teng tomonli uchburchakning maydonini toping

Tomoni 3 sm bo'lgan teng tomonli uchburchakning maydonini toping.

Yechim.

Uchburchakning maydonini Heron formulasi yordamida topish mumkin:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

A \u003d b \u003d c bo'lgani uchun, teng qirrali uchburchakning maydoni uchun formula quyidagi shaklni oladi:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Javob: 9 √3 / 4.

Vazifa. Yonlarning uzunligini o'zgartirganda maydonni o'zgartiring

Tomonlari to'rt baravar ko'paytirilsa, uchburchakning maydoni necha marta ortadi?

Yechim.

Biz uchburchak tomonlarining o'lchamlarini bilmaganimiz uchun masalani yechish uchun tomonlarning uzunliklari mos ravishda a, b, c ixtiyoriy sonlarga teng deb faraz qilamiz. Keyin muammoning savoliga javob berish uchun biz ushbu uchburchakning maydonini topamiz, so'ngra tomonlari to'rt marta kattaroq bo'lgan uchburchakning maydonini topamiz. Bu uchburchaklar maydonlarining nisbati bizga muammoga javob beradi.

Keyinchalik, muammoni bosqichma-bosqich hal qilishning matnli tushuntirishini beramiz. Biroq, eng oxirida, xuddi shu yechim idrok etish uchun qulayroq bo'lgan grafik shaklda taqdim etiladi. Xohlaganlar darhol yechimni tashlab yuborishlari mumkin.

Yechish uchun biz Heron formulasidan foydalanamiz (darsning nazariy qismida yuqoriga qarang). Bu shunday ko'rinadi:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(quyidagi rasmning birinchi qatoriga qarang)

Ixtiyoriy uchburchak tomonlarining uzunliklari a, b, c o‘zgaruvchilari bilan beriladi.
Agar tomonlar 4 marta oshirilsa, yangi c uchburchakning maydoni quyidagicha bo'ladi:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(quyidagi rasmdagi ikkinchi qatorga qarang)

Ko'rib turganingizdek, 4 umumiy koeffitsient bo'lib, unga ko'ra barcha to'rtta ifodadan qavs ichidan chiqarilishi mumkin umumiy qoidalar matematika.
Keyin

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - rasmning uchinchi qatorida
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - to'rtinchi qator

256 raqamidan kvadrat ildiz mukammal tarzda chiqariladi, shuning uchun biz uni ildiz ostidan chiqaramiz
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(quyidagi rasmning beshinchi qatoriga qarang)

Muammoda qo'yilgan savolga javob berish uchun hosil bo'lgan uchburchakning maydonini asl uchburchakning maydoniga bo'lish kifoya.
Biz maydon nisbatlarini ifodalarni bir-biriga bo'lish va hosil bo'lgan kasrni kamaytirish orqali aniqlaymiz.

Ko'rsatma

Partiyalar va burchaklar asosiy elementlar hisoblanadi a. Uchburchak to'liq uning quyidagi asosiy elementlaridan biri bilan aniqlanadi: yoki uchta tomon, yoki bir tomon va ikkita burchak yoki ikki tomon va ular orasidagi burchak. Borliq uchun uchburchak a, b, c uch tomoni bilan aniqlangan bo'lsa, tengsizliklar deb ataladigan tengsizliklar zarur va etarli. uchburchak:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Qurilish uchun uchburchak a, b, c uch tomonida CB=a segmentining C nuqtasidan sirkul yordamida radiusi b aylana qanday chizish kerak. Keyin, xuddi shunday, radiusi c tomoniga teng bo'lgan B nuqtadan aylana chiziladi. Ularning kesishish nuqtasi A - istalgan uchinchi cho'qqi uchburchak ABC, bu yerda AB=c, CB=a, CA=b - tomonlar uchburchak. Muammo a, b, c tomonlari tengsizliklarni qanoatlantirsa uchburchak 1-bosqichda belgilangan.

S maydoni shu tarzda qurilgan uchburchak ABC bilan taniqli partiyalar a, b, c, Heron formulasi bilan hisoblanadi:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
Bu erda a, b, c tomonlar uchburchak, p - yarim perimetr.
p = (a+b+c)/2

Agar uchburchak teng yonli bo'lsa, ya'ni uning barcha tomonlari teng (a=b=c) maydoni. uchburchak formula bo'yicha hisoblanadi:
S=(a^2 v3)/4

Agar uchburchak to'g'ri burchakli bo'lsa, ya'ni uning burchaklaridan biri 90 ° bo'lsa va uni tashkil etuvchi tomonlar oyoqlar bo'lsa, uchinchi tomon gipotenuzadir. Ushbu holatda kvadrat ikkiga bo'lingan oyoqlarning ko'paytmasiga teng.
S=ab/2

Topmoq kvadrat uchburchak, siz ko'plab formulalardan birini ishlatishingiz mumkin. Qaysi ma'lumotlar allaqachon ma'lum bo'lganiga qarab formulani tanlang.

Sizga kerak bo'ladi

• uchburchakning maydonini topish formulalarini bilish

Ko'rsatma

Agar siz tomonlardan birining qiymatini va qarama-qarshi burchakdan bu tomonga tushirilgan balandlikning qiymatini bilsangiz, u holda maydonni quyidagidan foydalanib topishingiz mumkin: S = a * h/2, bu erda S - ​uchburchak, a - uchburchakning tomonlaridan biri, h - balandligi, a tomoniga.

Uchburchakning uch tomoni ma'lum bo'lsa, uning maydonini aniqlashning ma'lum usuli mavjud. U Heron formulasi. Uni yozishni soddalashtirish uchun oraliq qiymat kiritiladi - yarim perimetr: p \u003d (a + b + c) / 2, bu erda a, b, c - . U holda Heron formulasi quyidagicha bo'ladi: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ ko'rsatkich.

Faraz qilaylik, siz uchburchakning bir tomoni va uchta burchagini bilasiz. Keyin uchburchakning maydonini topish oson: S = a²sina sing / (2sinb), bu erda b - a tomoniga qarama-qarshi burchak va a va g - yon tomonga ulashgan burchaklar.

Tegishli videolar

Eslatma

Barcha holatlarga mos keladigan eng umumiy formula Heron formulasidir.

Manbalar:

Maslahat 3: Uch tomoni berilgan uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Uchburchakning maydonini topish eng keng tarqalgan vazifalardan biridir maktab planimetriyasi. Har qanday uchburchakning maydonini aniqlash uchun uchburchakning uch tomonini bilish kifoya. Maxsus holatlarda va teng qirrali uchburchaklarda mos ravishda ikki va bir tomonning uzunligini bilish kifoya.

Sizga kerak bo'ladi

• uchburchaklarning yon uzunliklari, Geron formulasi, kosinuslar teoremasi

Ko'rsatma

Uchburchakning maydoni uchun Heron formulasi quyidagicha: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Agar siz p yarim perimetrini bo'yasangiz, unda siz quyidagilarni olasiz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Shuningdek, mulohazalardan, masalan, kosinus teoremasini qo'llash orqali uchburchakning maydoni uchun formulani olishingiz mumkin.

Kosinuslar qonuniga ko'ra, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Kiritilgan belgidan foydalanib, ular ham quyidagi shaklda bo'lishi mumkin: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Demak, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Uchburchakning maydoni, shuningdek, S = a*c*sin(ABC)/2 formulasi bilan ikki tomon va ular orasidagi burchak orqali topiladi. ABC burchak sinusini asosiy yordamida u bilan ifodalash mumkin trigonometrik identifikatsiya: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Sinusni maydon formulasiga qoʻyish va uni boʻyash orqali biz ABC uchburchagining maydoni formulasiga kelishimiz mumkin.

Tegishli videolar

Uchun ta'mirlash ishlari o'lchash kerak bo'lishi mumkin kvadrat devorlar. Kerakli miqdordagi bo'yoq yoki devor qog'ozini hisoblash osonroq. O'lchovlar uchun lenta o'lchovi yoki santimetrli lentani ishlatish yaxshidir. O'lchovlar keyin amalga oshirilishi kerak devorlar moslashtirilgan.

Sizga kerak bo'ladi

• -ruletka;
• - narvon.

Ko'rsatma

Hisoblash uchun kvadrat devorlar, siz bilishingiz kerak aniq balandlik shiftlar, shuningdek, zamin bo'ylab uzunlikni o'lchash uchun. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: santimetrni oling, uni plintning ustiga qo'ying. Odatda butun uzunlik uchun bir santimetr etarli emas, shuning uchun uni burchakda mahkamlang, so'ngra uni maksimal uzunlikka eching. Shu nuqtada, qalam bilan belgi qo'ying, natijani yozing va keyingi o'lchovlarni xuddi shu tarzda bajaring. oxirgi nuqta o'lchov.

Oddiy shiftlar - uyga qarab 2 metr 80 santimetr, 3 metr va 3 metr 20 santimetr. Agar uy 50-yillardan oldin qurilgan bo'lsa, unda haqiqiy balandlik ko'rsatilganidan biroz pastroq bo'lishi mumkin. Agar siz hisoblasangiz kvadrat ta'mirlash ishlari uchun, keyin kichik chegara zarar qilmaydi - standart asosida ko'rib chiqing. Agar siz hali ham haqiqiy balandlikni bilishingiz kerak bo'lsa - o'lchovlarni bajaring. Printsip uzunlikni o'lchashga o'xshaydi, lekin sizga zinapoya kerak bo'ladi.

Olingan raqamlarni ko'paytiring - bu kvadrat sizning devorlar. To'g'ri, rasm chizish uchun yoki buning uchun ayirish kerak kvadrat eshik va deraza teshiklari. Buning uchun ochilish bo'ylab bir santimetr yotqiz. Agar a gaplashamiz keyin o'zgartirmoqchi bo'lgan eshik haqida, keyin faqat hisobga olgan holda eshik ramkasini olib tashlang kvadrat ochilishning o'zi. Deraza maydoni uning ramkasining perimetri bo'ylab hisoblanadi. Keyin kvadrat deraza va eshik eshigi hisoblangan, natijani olingan xonaning umumiy maydonidan olib tashlang.

E'tibor bering, xonaning uzunligi va kengligi o'lchovlari birgalikda amalga oshiriladi, santimetr yoki lenta o'lchovini mahkamlash osonroq va shunga mos ravishda aniqroq natijaga erishiladi. Olingan raqamlarning to'g'riligiga ishonch hosil qilish uchun bir xil o'lchovni bir necha marta bajaring.

Tegishli videolar

Uchburchakning hajmini topish haqiqatan ham ahamiyatsiz ishdir. Gap shundaki, uchburchak ikki o'lchovli figuradir, ya'ni. u butunlay bitta tekislikda yotadi, demak u shunchaki hajmga ega emas. Albatta, mavjud bo'lmagan narsani topa olmaysiz. Ammo taslim bo'lmaylik! Biz quyidagi taxminni qilishimiz mumkin - ikki o'lchovli figuraning hajmi, bu uning maydoni. Biz uchburchakning maydonini qidirmoqdamiz.

Sizga kerak bo'ladi

• qog'oz varag'i, qalam, o'lchagich, kalkulyator

Ko'rsatma

Qog'oz varag'iga o'lchagich va qalam bilan chizing. Uchburchakni diqqat bilan o'rganib chiqib, uning haqiqatan ham yo'qligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin, chunki u tekislikda chizilgan. Uchburchakning tomonlarini belgilang: bir tomoni "a", ikkinchi tomoni "b", uchinchi tomoni "c" bo'lsin. Uchburchakning uchlarini "A", "B" va "C" harflari bilan belgilang.

Uchburchakning istalgan tomonini o'lchagich bilan o'lchab, natijani yozing. Shundan so'ng, o'lchangan tomonga perpendikulyarni qarama-qarshi tepadan tiklang, bunday perpendikulyar uchburchakning balandligi bo'ladi. Rasmda ko'rsatilgan holatda, "A" cho'qqisidan "c" tomoniga perpendikulyar "h" tiklanadi. Olingan balandlikni o'lchagich bilan o'lchang va o'lchov natijasini yozing.

Aynan perpendikulyarni tiklash qiyin bo'lishi mumkin. Bunday holda, siz boshqa formuladan foydalanishingiz kerak. Uchburchakning barcha tomonlarini o'lchagich bilan o'lchang. Shundan so'ng, tomonlarning hosil bo'lgan uzunliklarini qo'shib, ularning yig'indisini yarmiga bo'lish orqali "p" uchburchakning yarim perimetrini hisoblang. Yarim perimetrning qiymatiga ega bo'lgan holda, siz Heron formulasidan foydalanishingiz mumkin. Buning uchun siz quyidagi kvadrat ildizni olishingiz kerak: p (p-a) (p-b) (p-c).

Siz uchburchakning kerakli maydonini oldingiz. Uchburchakning hajmini topish masalasi hal etilmagan, lekin yuqorida aytib o'tilganidek, hajm emas. Siz 3D dunyosida uchburchak bo'lgan hajmni topishingiz mumkin. Agar biz asl uchburchakmiz uch o'lchamli piramidaga aylangan deb tasavvur qilsak, bunday piramidaning hajmi uning poydevori uzunligi va biz olgan uchburchakning maydonining mahsuloti bo'ladi.

Eslatma

Hisob-kitoblar aniqroq bo'ladi, o'lchovlarni qanchalik ehtiyotkorlik bilan bajarsangiz.

Manbalar:

• All-to-All Kalkulyator - Malumot portali
• 2019 yilda uchburchak hajmi

Dekart koordinata tizimidagi uchburchakni yagona aniqlovchi uchta nuqta uning uchlaridir. Koordinata o'qlarining har biriga nisbatan ularning o'rnini bilib, siz ushbu tekis shaklning har qanday parametrlarini, shu jumladan uning perimetri bilan cheklangan parametrlarini hisoblashingiz mumkin. kvadrat. Buni bir necha usul bilan amalga oshirish mumkin.

Ko'rsatma

Maydonni hisoblash uchun Heron formulasidan foydalaning uchburchak. Bu raqamning uch tomonining o'lchamlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun hisob-kitoblarni boshlang. Har bir tomonning uzunligi uning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari uzunliklari kvadratlari yig'indisining ildiziga teng bo'lishi kerak. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) va C(X₃,Y₃,Z₃) koordinatalarini belgilasak, ularning tomonlari uzunliklarini quyidagicha ifodalash mumkin: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun yordamchi o'zgaruvchini kiriting - yarim perimetr (P). Bundan bu barcha tomonlar uzunligi yig'indisining yarmini tashkil qiladi: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Geometriya bo'yicha maktab o'quv dasturidan eslaganingizdek, uchburchak - bu bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bilan bog'langan uchta segmentdan hosil bo'lgan shakl. Uchburchak uchta burchak hosil qiladi, shuning uchun raqam nomi. Ta'rif boshqacha bo'lishi mumkin. Uchburchakni uch burchakli ko'pburchak deb ham atash mumkin, javob xuddi shunday to'g'ri bo'ladi. Uchburchaklar teng tomonlar soniga va shakllardagi burchaklarning o'lchamiga ko'ra bo'linadi. Shunday qilib, bunday uchburchaklarni mos ravishda teng yonli, teng yonli va miqyosli, shuningdek, to'rtburchaklar, o'tkir burchakli va to'g'ri burchakli ajrating.

Uchburchakning maydonini hisoblash uchun ko'plab formulalar mavjud. Uchburchakning maydonini qanday topishni tanlang, ya'ni. qaysi formuladan foydalanish kerak, faqat siz. Ammo uchburchakning maydonini hisoblash uchun ko'plab formulalarda qo'llaniladigan ba'zi belgilarni ta'kidlash kerak. Shunday qilib, esda tuting:

S - uchburchakning maydoni,

a, b, c - uchburchakning tomonlari,

h - uchburchakning balandligi,

R - aylana radiusi,

p - yarim perimetr.

Mana, agar siz geometriya kursini butunlay unutgan bo'lsangiz, foydali bo'lishi mumkin bo'lgan asosiy belgilar. Uchburchakning noma'lum va sirli maydonini hisoblashning eng tushunarli va murakkab bo'lmagan variantlari quyida keltirilgan. Bu qiyin emas va sizning uy ehtiyojlaringiz uchun ham, farzandlaringizga ham yordam beradi. Keling, uchburchakning maydonini nokni otish kabi oson hisoblashni eslaylik:

Bizning holatda, uchburchakning maydoni: S = ½ * 2,2 sm * 2,5 sm = 2,75 kv.sm. Maydon kvadrat santimetrda (sqcm) o'lchanganini unutmang.

To'g'ri burchakli uchburchak va uning maydoni.

To'g'ri burchakli uchburchak - bu bir burchagi 90 gradusga teng bo'lgan uchburchak (shuning uchun to'g'ri burchakli uchburchak deb ataladi). To'g'ri burchak ikkita perpendikulyar chiziqdan (uchburchakda ikkita perpendikulyar segment) hosil bo'ladi. To'g'ri burchakli uchburchakda faqat bitta to'g'ri burchak bo'lishi mumkin, chunki har qanday uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ga teng. Ma'lum bo'lishicha, boshqa ikkita burchak qolgan 90 gradusni o'zaro ajratishi kerak, masalan, 70 va 20, 45 va 45 va hokazo. Shunday qilib, siz asosiy narsani esladingiz, bu hududni qanday topishni bilish qoladi to'g'ri uchburchak. Tasavvur qiling-a, bizning oldimizda shunday to'g'ri burchakli uchburchak bor va biz uning S maydonini topishimiz kerak.

1. To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini aniqlashning eng oson usuli quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

Bizning holatda, to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni: S = 2,5 sm * 3 sm / 2 = 3,75 kv.sm.

Aslida, endi uchburchakning maydonini boshqa usullar bilan tekshirish kerak emas, chunki kundalik hayotda u foydali bo'ladi va faqat bu yordam beradi. Ammo uchburchakning maydonini o'tkir burchaklar orqali o'lchash variantlari ham mavjud.

2. Boshqa hisoblash usullari uchun sizda kosinuslar, sinuslar va tangenslar jadvali bo'lishi kerak. O'zingiz baho bering, bu erda siz hali ham foydalanishingiz mumkin bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning maydonlarini hisoblashning ba'zi variantlari mavjud:

Biz birinchi formuladan va kichik dog'lar bilan foydalanishga qaror qildik (biz daftarga chizdik va foydalandik eski hukmdor va transportyor), lekin biz to'g'ri hisobni oldik:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Biz bunday natijalarni oldik 3,6=3,7, lekin hujayra siljishini hisobga olsak, biz bu nuanceni kechira olamiz.

Izossellar uchburchagi va uning maydoni.

Agar siz teng yonli uchburchak formulasini hisoblash vazifasiga duch kelsangiz, unda eng oson yo'li asosiy va uchburchak maydoni uchun klassik formuladan foydalanishdir.

Ammo birinchi navbatda, teng yonli uchburchakning maydonini topishdan oldin, biz uning qanday figura ekanligini bilib olamiz. Teng yonli uchburchak - bu ikki tomoni uzunligi bir xil bo'lgan uchburchak. Bu ikki tomon tomonlar deb ataladi, uchinchi tomon asos deb ataladi. Teng yonli uchburchakni teng qirrali uchburchak bilan aralashtirmang, ya'ni. uch tomoni teng bo'lgan teng tomonli uchburchak. Bunday uchburchakda burchaklarga, to'g'rirog'i, ularning o'lchamiga alohida moyillik yo'q. Biroq, teng yonli uchburchakda poydevordagi burchaklar teng, lekin teng tomonlar orasidagi burchakdan farq qiladi. Shunday qilib, siz birinchi va asosiy formulani allaqachon bilasiz, teng burchakli uchburchakning maydonini aniqlash uchun yana qanday formulalar ma'lum ekanligini bilish qoladi:

Uchburchak - bu bir xil chiziqda yotmaydigan nuqtalarda uchrashadigan uchta chiziqdan iborat geometrik figura. Chiziqlarning ulanish nuqtalari uchburchakning uchlari bo'lib, ular belgilanadi lotin harflari bilan(masalan, A, B, C). Uchburchakning birlashtiruvchi to'g'ri chiziqlari segmentlar deb ataladi, ular odatda lotin harflarida ham belgilanadi. Uchburchaklarning quyidagi turlari mavjud:

• To'rtburchak.
• o'tkir.
• O'tkir burchakli.
• Ko'p tomonli.
• Teng tomonli.
• Izossellar.

Uchburchakning maydonini hisoblash uchun umumiy formulalar

Uzunlik va balandlik uchun uchburchak maydoni formulasi

S=a*h/2,
bu yerda a - maydoni topiladigan uchburchak tomonining uzunligi, h - asosga chizilgan balandlikning uzunligi.

Heron formulasi

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
bu yerda √ - kvadrat ildiz, p - uchburchakning yarim perimetri, a,b,c uchburchakning har bir tomonining uzunligi. Uchburchakning yarim perimetrini p=(a+b+c)/2 formulasi yordamida hisoblash mumkin.

Segmentning burchagi va uzunligi bo'yicha uchburchakning maydoni uchun formula

S = (a*b*sin(a))/2,
qayerda b, c uchburchak tomonlarining uzunligi, sin (a) ikki tomon orasidagi burchakning sinusidir.

Uchburchakning maydoni uchun formulada chizilgan doira va uch tomonning radiusi berilgan

S=p*r,
Bu yerda p - maydoni topiladigan uchburchakning yarim perimetri, r - bu uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi.

Uchburchakning uch tomoni va uning atrofida aylana radiusi berilgan uchburchakning maydoni formulasi

S= (a*b*c)/4*R,
Bu erda a,b,c - uchburchakning har bir tomonining uzunligi, R - uchburchak atrofida aylana radiusi.

Nuqtalarning dekart koordinatalarida uchburchakning maydoni formulasi

Nuqtalarning dekart koordinatalari xOy sistemasidagi koordinatalar bo lib, bunda x abssissa, y ordinata hisoblanadi. Tekislikdagi xOy Dekart koordinata tizimi O nuqtada boshi umumiy bo'lgan Ox va Oy o'zaro perpendikulyar sonli o'qlar deyiladi. Agar bu tekislikdagi nuqtalarning koordinatalari A (x1, y1), B () ko'rinishda berilgan bo'lsa. x2, y2) va C (x3, y3 ), keyin ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasidan olingan quyidagi formuladan foydalanib, uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
qaerda || modulni bildiradi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

To'g'ri burchakli uchburchak - bu 90 graduslik bir burchakka ega bo'lgan uchburchak. Uchburchakda faqat bitta burchak bo'lishi mumkin.

Ikki oyoqdagi to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula

S=a*b/2,
Bu erda a,b - oyoqlarning uzunligi. Oyoqlar to'g'ri burchakka ulashgan tomonlar deb ataladi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formulada gipotenuza va o'tkir burchak berilgan

S = a*b*sin(a)/ 2,
bu yerda a, b uchburchakning katetlari, sin(a) esa a, b chiziqlar kesishgan burchak sinusidir.

Oyoq va qarama-qarshi burchak bo'yicha to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula

S = a*b/2*tg(b),
Bu yerda a, b - uchburchakning oyoqlari, tg(b) - a, b oyoqlari tutashgan burchak tangensi.

Teng yonli uchburchakning maydonini qanday hisoblash mumkin

Teng yon tomonli uchburchak - bu ikki tomoni teng bo'lgan uchburchak. Bu tomonlar tomonlar deb ataladi, boshqa tomoni esa asosdir. Teng yonli uchburchakning maydonini hisoblash uchun quyidagi formulalardan birini ishlatishingiz mumkin.

Teng yonli uchburchakning maydonini hisoblashning asosiy formulasi

S=h*c/2,
Bu erda c - uchburchakning asosi, h - poydevorga tushirilgan uchburchakning balandligi.

Yon tomoni va asosidagi teng yonli uchburchakning formulasi

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Bu erda c - uchburchakning asosi, a - teng yonli uchburchakning tomonlaridan birining qiymati.

Teng tomonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Teng tomonli uchburchak - bu barcha tomonlari teng bo'lgan uchburchak. Teng tomonli uchburchakning maydonini hisoblash uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:
S = (√3*a*a)/4,
bu yerda a - teng yonli uchburchak tomonining uzunligi.

Yuqoridagi formulalar sizga uchburchakning kerakli maydonini hisoblash imkonini beradi. Shuni esda tutish kerakki, uchburchaklar orasidagi masofani hisoblash uchun siz uchburchak turini va hisoblash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan mavjud ma'lumotlarni hisobga olishingiz kerak.