Burchakning daraja o'lchovi. Burchakning radian o'lchovi. Darajani radianga va aksincha o'zgartiring

Ushbu maqolada biz burchak o'lchovining asosiy birliklari - darajalar va radyanlar o'rtasidagi munosabatni o'rnatamiz. Bu aloqa oxir-oqibat amalga oshirishga imkon beradi darajalarni radianga aylantirish va aksincha. Ushbu jarayonlar qiyinchiliklarga olib kelmasligi uchun biz darajalarni radianga aylantirish formulasini va radiandan darajaga aylantirish formulasini olamiz, shundan so'ng biz misollarning echimlarini batafsil tahlil qilamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Darajalar va radianlar o'rtasidagi bog'liqlik

Agar burchakning gradus va radian o'lchovi ma'lum bo'lsa, daraja va radian o'rtasidagi bog'liqlik o'rnatiladi (burchakning gradus va radian o'lchovini bo'limda topish mumkin).

Keling, olamiz markaziy burchak, r radiusli doira diametriga asoslangan. Ushbu burchakning o'lchamini radianlarda hisoblashimiz mumkin: buning uchun yoy uzunligini aylananing radiusi uzunligiga bo'lish kerak. Bu burchak yoy uzunligiga mos keladi, yarmi aylana, ya'ni, . Ushbu uzunlikni r radius uzunligiga bo'lib, biz olgan burchakning radian o'lchovini olamiz. Shunday qilib, bizning burchakimiz rad. Boshqa tomondan, bu burchak kengaytirilgan, u 180 darajaga teng. Shuning uchun pi radianlari 180 daraja.

Demak, u formula bilan ifodalanadi p radian = 180 daraja, ya'ni, .

Darajani radianga va radianni darajaga aylantirish uchun formulalar

Oldingi paragrafda olingan shaklning tengligidan uni olish oson radianlarni gradusga va gradusni radianga aylantirish formulalari.

Tenglamaning ikkala tomonini pi ga bo'lib, biz bir radianni darajalarda ifodalovchi formulani olamiz: . Bu formula bitta radian burchakning daraja o'lchovi 180/p ekanligini bildiradi. Agar biz tenglikning chap va o'ng qismlarini almashtirsak, keyin ikkala qismni 180 ga bo'lsak, biz shakl formulasini olamiz. . U radyanlarda bir darajani ifodalaydi.

Qiziqishimizni qondirish uchun biz bir radian burchakning taxminiy qiymatini graduslarda va bir daraja burchakning qiymatini radianlarda hisoblaymiz. Buni amalga oshirish uchun pi sonining qiymatini o'n mingdan biriga aniqlang, uni formulalarga almashtiring va , va hisob-kitoblarni bajaring. Bizda ... bor va . Shunday qilib, bir radian taxminan 57 daraja, bir daraja esa 0,0175 radian.

Nihoyat, olingan munosabatlardan va radianlarni darajaga va aksincha aylantirish formulalariga o'tamiz, shuningdek, ushbu formulalarni qo'llash misollarini ko'rib chiqamiz.

Radianlarni darajaga aylantirish formulasi kabi ko'rinadi: . Shunday qilib, agar burchakning radianlardagi qiymati ma'lum bo'lsa, uni 180 ga ko'paytirib, pi ga bo'linib, bu burchakning gradusdagi qiymatini olamiz.

Misol.

3,2 radianlik burchak berilgan. Bu burchakning oʻlchami necha darajaga teng?

Qaror.

Biz radianlardan darajaga o'tkazish uchun formuladan foydalanamiz, bizda bor

Javob:

.

Darajani radianga aylantirish formulasi shaklga ega . Ya'ni, burchakning gradusdagi qiymati ma'lum bo'lsa, uni pi ga ko'paytirib, 180 ga bo'linib, biz bu burchakning radiandagi qiymatini olamiz. Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Burchaklar gradus yoki radian bilan o'lchanadi. Ushbu o'lchov birliklari o'rtasidagi munosabatni tushunish muhimdir. Ushbu munosabatni tushunish burchaklar bilan ishlashga va darajadan radianga va aksincha o'tishni amalga oshirishga imkon beradi. Ushbu maqolada biz darajalarni radianga va radianni darajaga aylantirish formulasini olamiz, shuningdek, amaliyotdan bir nechta misollarni tahlil qilamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Darajalar va radianlar o'rtasidagi bog'liqlik

Darajalar va radianlar o'rtasidagi munosabatni o'rnatish uchun siz burchakning gradus va radian o'lchovini bilishingiz kerak. Masalan, radiusi r bo'lgan aylana diametriga tayanadigan markaziy burchakni olaylik. Ushbu burchakning radian o'lchamini hisoblash uchun siz yoy uzunligini aylananing radiusi uzunligiga bo'lishingiz kerak. Ko'rib chiqilgan burchak aylana uzunligining yarmiga teng bo'lgan yoy uzunligiga to'g'ri keladi p · r . Yoyning uzunligini radiusga bo'ling va burchakning radian o'lchamini oling: p · r r = p rad.

Demak, ko'rib chiqilayotgan burchak p radiandir. Boshqa tomondan, u 180 ° ga teng to'g'ri burchakdir. Demak, 180° = p rad.

Darajalarning radianlarga munosabati

Radianlar va darajalar o'rtasidagi munosabat formula bilan ifodalanadi

p radianlari = 180°

Radianlarni darajaga va teskarisiga aylantirish uchun formulalar

Yuqorida olingan formuladan burchaklarni radiandan gradusga va gradusdan radianga aylantirish uchun boshqa formulalar olinishi mumkin.

Bir radianni darajalarda ifodalang. Buning uchun radiusning chap va o'ng qismlarini pi ga ajratamiz.

1 rad \u003d 180 p ° - 1 radiandagi burchakning daraja o'lchovi 180 p ga teng.

Bundan tashqari, bir darajani radyanlarda ifodalashingiz mumkin.

1 ° = p 180 r a d

Siz radianlarda burchak qiymatlarining taxminiy hisoblarini qilishingiz mumkin va aksincha. Buning uchun biz p sonining o'n mingdan bir qismigacha bo'lgan qiymatlarini olamiz va ularni hosil bo'lgan formulalarga almashtiramiz.

1 r a d \u003d 180 p ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Shunday qilib, bitta radianda taxminan 57 daraja bor.

1 ° = p 180 rad = 3,1416 180 rad = 0,0175 rad

Bir daraja 0,0175 radianni o'z ichiga oladi.

Radianlarni darajaga aylantirish formulasi

x ra d = x 180 p °

Burchakni radiandan gradusga aylantirish uchun radiandagi burchakni 180 ga ko'paytiring va pi ga bo'ling.

Darajani radianga va radianni darajaga aylantirish misollari

Bir misolni ko'rib chiqing.

1-misol: radianlardan darajaga o'tkazish

a = 3 , 2 rad bo'lsin. Ushbu burchakning daraja o'lchovini bilishingiz kerak.

Keling, rasmga qaraylik. \(AB \) vektori \(A \) nuqtaga nisbatan ma'lum miqdorda "aylandi". Shunday qilib, bu aylanishning boshlang'ich pozitsiyasiga nisbatan o'lchovi bo'ladi burchak \(\alfa \).

Burchak tushunchasi haqida yana nimani bilishingiz kerak? Albatta, burchak birliklari!

Geometriyada ham, trigonometriyada ham burchakni daraja va radian bilan o'lchash mumkin.

\(1()^\circ \) (bir daraja) dagi burchak aylananing \(\dfrac(1)(360) \) qismiga teng aylana yoyga asoslangan aylanadagi markaziy burchakdir.

Shunday qilib, butun doira \(360 \) dumaloq yoylarning "bo'laklari" dan iborat yoki aylana tomonidan tasvirlangan burchak \(360()^\circ \) ga teng.

Ya'ni, yuqoridagi rasmda \(50()^\circ \) ga teng \(\beta \) burchak ko'rsatilgan, ya'ni bu burchak \(\dfrac(50)(360) o'lchamdagi dumaloq yoyga asoslangan. ) \) aylana.

\(1\) radiandagi burchak aylanadagi markaziy burchak boʻlib, uning uzunligi aylana radiusiga teng boʻlgan aylana yoyga asoslangan.

Demak, rasmda \(1\) radianga teng \(\gamma\) burchak ko'rsatilgan, ya'ni bu burchak aylana yoyiga asoslangan bo'lib, uning uzunligi aylananing radiusiga (uzunligi \) teng. (AB \) uzunlikka teng \(BB"\) yoki radius \(r \) yoy uzunligiga teng \(l \) ) Shunday qilib, yoy uzunligi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

\(l=\theta \cdot r \) , bu erda \(\teta \) radianlardagi markaziy burchak.

Xo'sh, buni bilib, aylana bilan tasvirlangan burchak qancha radianni o'z ichiga oladi, deb javob bera olasizmi? Ha, buning uchun siz aylananing aylanasi formulasini eslab qolishingiz kerak. Mana u:

\(L=2\pi \cdot r\)

Keling, ushbu ikkita formulani o'zaro bog'laymiz va aylana tomonidan tasvirlangan burchak \(2\pi \) ekanligini aniqlaymiz. Ya'ni, qiymatni daraja va radian bilan bog'lab, biz \(2\pi =360()^\circ \) ni olamiz. Shunga ko'ra, \(\pi =180()^\circ \) . Ko'rib turganingizdek, "daraja" dan farqli o'laroq, "radian" so'zi olib tashlandi, chunki o'lchov birligi odatda kontekstdan aniq.

Trigonometrik funktsiyalar argumenti bo'lgan elementar funksiyalardir in'ektsiya. Yordamida trigonometrik funktsiyalar tomonlar o'rtasidagi munosabatlarni tavsiflaydi va o'tkir burchaklar to'g'ri uchburchakda. Trigonometrik funktsiyalarni qo'llash sohalari juda xilma-xildir. Masalan, har qanday davriy jarayonlarni trigonometrik funktsiyalar yig'indisi (Furye seriyasi) sifatida ko'rsatish mumkin. Bu funksiyalar ko‘pincha differensial va funksional tenglamalarni yechishda paydo bo‘ladi.

Trigonometrik funktsiyalarga quyidagi 6 ta funksiya kiradi: sinus, kosinus, tangens, kotangent, sekant va kosekant. Bu funksiyalarning har biri uchun teskari trigonometrik funksiya mavjud.

Trigonometrik funktsiyalarning geometrik ta'rifi yordamida qulay tarzda kiritiladi birlik doirasi. Quyidagi rasmda radiusli doira ko'rsatilgan r= 1. Aylanada nuqta belgilangan M(x,y). Radius vektor orasidagi burchak OM va musbat o'q yo'nalishi ho'kiz teng α .

sinus burchak α y ball M(x,y) radiusga r: gunoh α = y/r. Shu darajada r= 1, u holda sinus nuqta ordinatasiga teng bo'ladi M(x,y).

kosinus burchak α x ball M(x,y) radiusga r: chunki α = x/r = x

tangens burchak α ordinataning nisbati deyiladi y ball M(x,y) uning abtsissasiga x: tan α = y/x, x ≠ 0

Kotangent burchak α abtsissalar nisbati deyiladi x ball M(x,y) uning ordinatasiga y: mushuk α = x/y, y ≠ 0

Sekant burchak α radius nisbati hisoblanadi r abtsissagacha x ball M(x,y): sek α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekant burchak α radius nisbati hisoblanadi r ordinataga y ball M(x,y): kosek α = r/y = 1/y, y ≠ 0

Yagona proyeksiya aylanasida x, y ball M(x,y) va radius r to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiling x, y oyoqlari va r- gipotenuza. Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchakda qo'llaniladigan trigonometrik funktsiyalarning yuqoridagi ta'riflari quyidagicha tuzilgan: sinus burchak α qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati. kosinus burchak α - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati. tangens burchak α qarama-qarshi oyoqni qo'shniga chaqirdi. Kotangent burchak α qo'shni oyoqni qarama-qarshi tomonga chaqirdi.

sinus funksiya grafigi y= gunoh x, domen: x ∈ ℜ , diapazon: −1 ≤ gunoh x ≤ 1

Kosinus funksiyasining grafigi y= cos x, domen: x ∈ ℜ , diapazon: −1 ≤ cos x ≤ 1

tangens funksiya grafigi y= ttg x, domen: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, diapazon: −∞< tg x < ∞

Kotangent funksiyaning grafigi y=ctg x, domen: x ∈ ℜ , x ≠ kp, diapazon: −∞< ctg x < ∞