Ko‘paytiruvchilarning hosilasi. Funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining hosilasi. Yig'indining hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng

Agar ta'rifga amal qilsak, funktsiyaning nuqtadagi hosilasi D funktsiyaning o'sish nisbatining chegarasi bo'ladi. y argumentning ortishiga D x:

Hamma narsa aniq ko'rinadi. Ammo ushbu formula bo'yicha hisoblashga harakat qiling, masalan, funktsiyaning hosilasi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x gunoh x. Agar siz hamma narsani ta'rifi bo'yicha qilsangiz, bir necha sahifali hisob-kitoblardan so'ng siz shunchaki uxlab qolasiz. Shuning uchun oddiyroq va samaraliroq usullar mavjud.

Boshlash uchun shuni ta'kidlaymizki, elementar funktsiyalar deb ataladigan narsalarni turli xil funktsiyalardan ajratish mumkin. Bu nisbatan oddiy ifodalar bo'lib, ularning hosilalari uzoq vaqtdan beri hisoblab chiqilgan va jadvalga kiritilgan. Bunday funktsiyalarni hosilalari bilan birga eslab qolish juda oson.

Elementar funksiyalarning hosilalari

Elementar funktsiyalar quyida sanab o'tilgan barcha narsalardir. Bu funktsiyalarning hosilalari yoddan ma'lum bo'lishi kerak. Bundan tashqari, ularni yodlash qiyin emas - shuning uchun ular boshlang'ichdir.

Demak, elementar funksiyalarning hosilalari:

Agar elementar funktsiya ixtiyoriy doimiyga ko'paytirilsa, yangi funktsiyaning hosilasi ham osonlik bilan hisoblanadi:

(C · f)’ = C · f ’.

Umuman, konstantalarni hosila belgisidan chiqarish mumkin. Misol uchun:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Shubhasiz, elementar funktsiyalarni bir-biriga qo'shish, ko'paytirish, bo'lish va boshqalar. Shunday qilib, yangi funktsiyalar paydo bo'ladi, ular endi juda oddiy emas, balki ma'lum qoidalarga muvofiq farqlanadi. Ushbu qoidalar quyida muhokama qilinadi.

Yig'indi va ayirmaning hosilasi

Funktsiyalarga ruxsat bering f(x) va g(x), hosilalari bizga ma'lum. Misol uchun, siz yuqorida muhokama qilingan elementar funktsiyalarni olishingiz mumkin. Keyin ushbu funktsiyalarning yig'indisi va ayirmasining hosilasini topishingiz mumkin:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Demak, ikki funktsiya yig‘indisining (farqining) hosilasi hosilalarning yig‘indisiga (farqiga) teng. Ko'proq shartlar bo'lishi mumkin. Misol uchun, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Qat'iy aytganda, algebrada "ayirish" tushunchasi yo'q. "Salbiy element" tushunchasi mavjud. Shuning uchun, farq f − g summa sifatida qayta yozilishi mumkin f+ (−1) g, va keyin faqat bitta formula qoladi - yig'indining hosilasi.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning yig'indisidir, shuning uchun:

f ’(x) = (x 2+ gunoh x)’ = (x 2)' + (gunoh x)’ = 2x+ cosx;

Biz funksiya uchun xuddi shunday bahslashamiz g(x). Faqat uchta atama mavjud (algebra nuqtai nazaridan):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Javob:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Mahsulot hosilasi

Matematika mantiqiy fandir, shuning uchun ko'p odamlar yig'indining hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng bo'lsa, mahsulotning hosilasi deb hisoblashadi. zarba berish"\u003e hosilalarning mahsulotiga teng. Lekin sizga anjir! Mahsulotning hosilasi butunlay boshqa formula yordamida hisoblanadi. Ya'ni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula oddiy, lekin ko'pincha unutiladi. Va nafaqat maktab o'quvchilari, balki talabalar ham. Natijada noto'g'ri hal qilingan muammolar.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning mahsulotidir, shuning uchun hamma narsa oddiy:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x gunoh x)

Funktsiya g(x) birinchi multiplikator biroz murakkabroq, ammo umumiy sxema bundan o'zgarmaydi. Shubhasiz, funktsiyaning birinchi multiplikatori g(x) koʻphad boʻlib, uning hosilasi yigʻindining hosilasidir. Bizda ... bor:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Javob:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x gunoh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

E'tibor bering, oxirgi bosqichda hosila faktorlarga ajratiladi. Rasmiy ravishda, bu kerak emas, lekin ko'pchilik lotinlar o'z-o'zidan hisoblanmaydi, lekin funktsiyani o'rganish uchun. Bu shuni anglatadiki, keyinchalik hosila nolga tenglashtiriladi, uning belgilari aniqlanadi va hokazo. Bunday holda, omillarga ajratilgan ifodaga ega bo'lish yaxshiroqdir.

Agar ikkita funktsiya mavjud bo'lsa f(x) va g(x), va g(x) ≠ 0 bizni qiziqtirgan to'plamda yangi funktsiyani belgilashimiz mumkin h(x) = f(x)/g(x). Bunday funktsiya uchun hosilani ham topishingiz mumkin:

Zaif emas, to'g'rimi? Minus qaerdan paydo bo'ldi? Nima uchun g 2? Lekin shunday! Bu eng murakkab formulalardan biri - uni shishasiz tushunib bo'lmaydi. Shuning uchun uni aniq misollar bilan o'rganish yaxshiroqdir.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping:

Har bir kasrning soni va maxrajida elementar funktsiyalar mavjud, shuning uchun bizga faqat qismning hosilasi formulasi kerak bo'ladi:

An'anaga ko'ra, biz numeratorni omillarga ajratamiz - bu javobni sezilarli darajada soddalashtiradi:

Murakkab funktsiya yarim kilometr uzunlikdagi formula bo'lishi shart emas. Masalan, funktsiyani olish kifoya f(x) = gunoh x va o'zgaruvchini almashtiring x, aytaylik, yoqilgan x 2+ln x. Ma'lum bo'lishicha f(x) = gunoh ( x 2+ln x) murakkab funksiyadir. Uning hosilasi ham bor, lekin uni yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq topish ishlamaydi.

Qanday bo'lish kerak? Bunday hollarda o'zgaruvchini almashtirish va murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi yordam beradi:

f ’(x) = f ’(t) · t', agar x bilan almashtiriladi t(x).

Qoidaga ko'ra, ushbu formulani tushunish bilan bog'liq vaziyat ko'rsatkichning hosilasiga qaraganda ancha achinarli. Shuning uchun uni har bir bosqichning batafsil tavsifi bilan aniq misollar bilan tushuntirish yaxshiroqdir.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = gunoh ( x 2+ln x)

E'tibor bering, agar funktsiyada bo'lsa f(x) ifoda oʻrniga 2 x+ 3 oson bo'ladi x, keyin elementar funktsiyani olamiz f(x) = e x. Shuning uchun biz almashtirishni qilamiz: 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Biz murakkab funktsiyaning hosilasini quyidagi formula bo'yicha qidiramiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Va endi - diqqat! Teskari almashtirishni amalga oshirish: t = 2x+ 3. Biz quyidagilarni olamiz:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Endi funksiyani ko'rib chiqamiz g(x). O'zgartirish kerakligi aniq. x 2+ln x = t. Bizda ... bor:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (gunoh t)’ · t' = cos t · t ’

Orqaga almashtirish: t = x 2+ln x. Keyin:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Hammasi shu! Oxirgi ifodadan ko'rinib turibdiki, butun masala yig'indining hosilasini hisoblashga qisqartirildi.

Javob:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) chunki( x 2+ln x).

Ko'pincha darslarimda "hosil" atamasi o'rniga "zarba" so'zini ishlataman. Misol uchun, yig'indining zarbasi zarbalar yig'indisiga teng. Bu aniqroqmi? Xo'sh, bu yaxshi.

Shunday qilib, lotinni hisoblash yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq bu juda zarbalardan xalos bo'lishga tushadi. Yakuniy misol sifatida, keling, ratsional ko'rsatkich bilan hosila darajaga qaytaylik:

(x n)’ = n · x n − 1

Buni rolda kam odam biladi n kasr son bo'lishi mumkin. Masalan, ildiz x 0,5. Ammo ildiz ostida biron bir qiyin narsa bo'lsa-chi? Shunga qaramay, murakkab funktsiya paydo bo'ladi - ular test va imtihonlarda bunday tuzilmalarni berishni yaxshi ko'radilar.

Vazifa. Funktsiyaning hosilasini toping:

Birinchidan, ildizni ratsional darajali daraja sifatida qayta yozamiz:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Endi biz almashtirishni amalga oshiramiz: ruxsat bering x 2 + 8x − 7 = t. Biz hosilani quyidagi formula bo'yicha topamiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz: t = x 2 + 8x− 7. Bizda:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nihoyat, ildizlarga qayting:

Kalkulyator barcha elementar funksiyalarning hosilalarini hisoblab, batafsil yechim beradi. Farqlash o'zgaruvchisi avtomatik ravishda aniqlanadi.

Funktsiya hosilasi matematik tahlilning eng muhim tushunchalaridan biridir. Bunday masalalar hosila paydo bo'lishiga olib keldi, masalan, vaqt momentidagi nuqtaning oniy tezligini hisoblash, agar vaqtga qarab yo'l ma'lum bo'lsa, nuqtadagi funktsiyaga teguvchini topish masalasi. .

Ko'pincha, funktsiyaning hosilasi, agar u mavjud bo'lsa, funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlanadi.

Ta'rif. Funktsiya nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin. Unda funktsiyaning nuqtadagi hosilasi, agar mavjud bo'lsa, limit deb ataladi

Funktsiyaning hosilasini qanday hisoblash mumkin?

Funktsiyalarni farqlashni o'rganish uchun o'rganish va tushunish kerak farqlash qoidalari va qanday foydalanishni o'rganing hosilaviy jadval.

Farqlash qoidalari

Haqiqiy o'zgaruvchining ixtiyoriy differentsiallanuvchi funktsiyalari bo'lsin va qandaydir haqiqiy doimiy bo'lsin. Keyin

funksiyalar mahsulotini farqlash qoidasidir

bo'lak funksiyalarini differensiallash qoidasidir

0 balandligi=33 kenglik=370 style="vertical-align: -12px;"> — oʻzgaruvchan darajali funksiyani differentsiallash

- kompleks funksiyani differentsiallash qoidasi

quvvat funksiyasini differentsiallash qoidasidir

Funktsiyaning onlayn hosilasi

Bizning kalkulyatorimiz har qanday funktsiyaning hosilasini onlayn tarzda tez va aniq hisoblab chiqadi. Dastur lotinni hisoblashda xatolikka yo'l qo'ymaydi va uzoq va zerikarli hisob-kitoblardan qochishga yordam beradi. Onlayn kalkulyator sizning yechimingizning to'g'riligini tekshirish zarurati tug'ilganda ham foydali bo'ladi va agar u noto'g'ri bo'lsa, xatoni tezda toping.

Matematikada fizik masalalar yoki misollarni hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan yechish mutlaqo mumkin emas. Hosila matematik tahlilning eng muhim tushunchalaridan biridir. Biz bugungi maqolani ushbu asosiy mavzuga bag'ishlashga qaror qildik. Hosila nima, uning fizik va geometrik ma'nosi nima, funktsiyaning hosilasi qanday hisoblanadi? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?

Hosilning geometrik va fizik ma'nosi

Funktsiya bo'lsin f(x) , ba'zi bir intervalda berilgan (a,b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argument o'zgarishi - uning qiymatlari farqi x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. Hosila ta'rifi:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, bu nolga moyil bo'lganda.

Aks holda shunday yozilishi mumkin:

Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Lekin qaysi biri:

nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.

Hosilning jismoniy ma'nosi: yo'lning vaqt hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.

Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlikni shaxsiy yo'l ekanligini biladi. x=f(t) va vaqt t . Muayyan vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik:

Bir vaqtning o'zida harakat tezligini bilish uchun t0 limitni hisoblashingiz kerak:

Birinchi qoida: doimiyni chiqarib tashlang

Konstantani hosilaning belgisidan chiqarish mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni echishda, qoida tariqasida, oling - ifodani soddalashtira olsangiz, soddalashtirishga ishonch hosil qiling .

Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:

Ikkinchi qoida: funktsiyalar yig'indisining hosilasi

Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.

Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi

Ikki differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Misol: funktsiyaning hosilasini toping:

Qaror:

Bu erda murakkab funktsiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhimdir. Murakkab funktsiyaning hosilasi ushbu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasining mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan hosilasi bilan teng.

Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:

Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun birinchi navbatda tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini ko'rib chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.

To'rtinchi qoida: Ikki funktsiyaning qismining hosilasi

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini aniqlash formulasi:

Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.

Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savol bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Qisqa vaqt ichida biz sizga eng qiyin nazoratni hal qilishda va vazifalarni hal qilishda yordam beramiz, hatto siz ilgari lotinlarni hisoblash bilan shug'ullanmagan bo'lsangiz ham.