Trapezoidning o'rta chizig'ining belgilari. Trapetsiyaning median chizig'i

Trapetsiyaning o'rta chizig'i haqida tushuncha

Birinchidan, trapezoid deb ataladigan figurani eslaylik.

Ta'rif 1

Trapezoid to'rtburchak bo'lib, uning ikki tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel emas.

Bunday holda, parallel tomonlar trapetsiyaning asoslari deb ataladi, parallel emas - trapezoidning tomonlari.

Ta'rif 2

Trapetsiyaning o'rta chizig'i - bu trapetsiya tomonlarining o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziq.

Trapesiya o'rta chiziq teoremasi

Endi biz trapetsiyaning o'rta chizig'i haqidagi teoremani kiritamiz va uni vektor usuli bilan isbotlaymiz.

Teorema 1

Trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslarga parallel va ularning yig'indisining yarmiga teng.

Isbot.

Bizga asoslari $AD\ va\ BC$ boʻlgan $ABCD$ trapesiya berilsin. Va $MN$ bu trapetsiyaning o'rta chizig'i bo'lsin (1-rasm).

Shakl 1. Trapetsiyaning o'rta chizig'i

$MN||AD\ va\ MN=\frac(AD+BC)(2)$ ekanligini isbotlaymiz.

$\overrightarrow(MN)$ vektorini ko'rib chiqaylik. Keyinchalik vektor qo'shish uchun ko'pburchak qoidasidan foydalanamiz. Bir tomondan, biz buni tushunamiz

Boshqa tomondan

Oxirgi ikkita tenglikni qo'shib, biz olamiz

$M$ va $N$ trapetsiya tomonlarining oʻrta nuqtalari boʻlgani uchun bizda shunday boʻladi

Biz olamiz:

Shuning uchun

Xuddi shu tenglikdan (chunki $\overrightarrow(BC)$ va $\overrightarrow(AD)$ koʻproq yoʻnalishli va shuning uchun kollineardir), biz $MN||AD$ ni olamiz.

Teorema isbotlangan.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i tushunchasi bo'yicha topshiriqlarga misollar

1-misol

Trapetsiyaning tomonlari mos ravishda $15\sm$ va $17\sm$. Trapetsiyaning perimetri $52\sm$. Trapetsiyaning o'rta chizig'ining uzunligini toping.

Qaror.

Trapetsiyaning oʻrta chizigʻini $n$ bilan belgilang.

Tomonlarning yig'indisi

Demak, perimetri $52\ sm$ bo'lgani uchun asoslar yig'indisi

Demak, 1-teorema bo'yicha biz hosil bo'lamiz

Javob:$10\sm$.

2-misol

Doira diametrining uchlari tegiga qarab mos ravishda $9$ sm va $5$ sm ga teng.Bu doiraning diametrini toping.

Qaror.

Bizga markazi $O$ va diametri $AB$ boʻlgan aylana berilsin. $l$ tangensini chizing va $AD=9\ sm$ va $BC=5\ sm$ masofalarini tuzing. $OH$ radiusini chizamiz (2-rasm).

2-rasm.

$AD$ va $BC$ tangensgacha bo'lgan masofalar bo'lgani uchun, keyin $AD\bot l$ va $BC\bot l$ va $OH$ radius bo'lgani uchun $OH\bot l$, shuning uchun $OH | \left|AD\right||BC$. Bularning barchasidan biz $ABCD$ trapetsiya, $OH$ esa uning oʻrta chizigʻi ekanligini tushunamiz. 1-teorema bo'yicha biz olamiz

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar identifikatsiyalash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi muayyan shaxs yoki u bilan aloqasi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz to'plashimiz mumkin turli ma'lumotlar shu jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot siz bilan bog'lanish va sizni xabardor qilish imkonini beradi noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish.
• Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, in sud jarayoni va/yoki ommaviy so'rovlar yoki so'rovlar asosida davlat organlari rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs merosxo'riga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar zarurat tug'ilgan bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs merosxo'riga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

Trapezoidning maydoni. Assalomu alaykum! Ushbu nashrda biz ushbu formulani ko'rib chiqamiz. Nima uchun bu shunday va buni qanday tushunish mumkin? Agar tushunish mavjud bo'lsa, unda siz uni o'rganishingiz shart emas. Agar siz shunchaki ushbu formulani va nima zarurligini ko'rishni istasangiz, darhol sahifani pastga aylantiring))

Endi batafsil va tartibda.

Trapezoid to'rtburchak, bu to'rtburchakning ikki tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel emas. Parallel bo'lmaganlar trapetsiyaning asoslari hisoblanadi. Qolgan ikkitasi tomonlar deb ataladi.

Agar tomonlar teng bo'lsa, trapetsiya teng yon tomonli deb ataladi. Agar tomonlardan biri asoslarga perpendikulyar bo'lsa, unda bunday trapezoid to'rtburchaklar deb ataladi.

Klassik shaklda trapezoid quyidagicha tasvirlangan - kattaroq taglik pastda, mos ravishda kichikroq esa tepada. Lekin hech kim uni tasvirlashni taqiqlamaydi va aksincha. Mana eskizlar:

Keyingi muhim tushuncha.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentdir. Median chiziq trapetsiya asoslariga parallel va ularning yarmi yig'indisiga teng.

Endi chuqurroq o'rganamiz. Nima uchun aynan?

Asoslari bo'lgan trapezoidni ko'rib chiqing a va b va o'rta chiziq bilan l, va ba'zi qo'shimcha konstruktsiyalarni bajaring: asoslar orqali to'g'ri chiziqlar va o'rta chiziqning uchlari orqali ular asoslar bilan kesishguncha perpendikulyarlarni o'tkazing:

*Chuqurlar va boshqa nuqtalarning harf belgilari keraksiz belgilarning oldini olish uchun ataylab kiritilmaydi.

Qarang, uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisiga ko'ra 1 va 2 uchburchaklar teng, 3 va 4 uchburchaklar bir xil. Uchburchaklar tengligidan elementlarning, ya'ni oyoqlarning tengligi kelib chiqadi (ular mos ravishda ko'k va qizil rangda ko'rsatilgan).

Endi diqqat! Agar biz pastki poydevordan ko'k va qizil segmentlarni aqliy ravishda "kesib" olsak, unda biz o'rta chiziqqa teng segmentga ega bo'lamiz (bu to'rtburchakning tomoni). Bundan tashqari, agar biz kesilgan ko'k va qizil segmentlarni trapetsiyaning yuqori poydevoriga "yopishtirsak", biz trapezoidning o'rta chizig'iga teng bo'lgan segmentni ham olamiz (bu ham to'rtburchakning tomoni).

Tushundim? Ma'lum bo'lishicha, asoslar yig'indisi trapetsiyaning ikkita medianasiga teng bo'ladi:

Boshqa tushuntirishga qarang

Keling, quyidagilarni bajaramiz - trapetsiyaning pastki poydevoridan o'tadigan to'g'ri chiziqni va A va B nuqtalaridan o'tadigan to'g'ri chiziqni quramiz:

Biz 1 va 2 uchburchaklarni olamiz, ular yon va qo'shni burchaklarda tengdir (uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi). Bu shuni anglatadiki, hosil bo'lgan segment (eskizda u ko'k rang bilan belgilangan) trapezoidning yuqori poydevoriga teng.

Endi uchburchakni ko'rib chiqing:

*Ushbu trapetsiyaning oʻrta chizigʻi va uchburchakning median chizigʻi bir-biriga toʻgʻri keladi.

Ma'lumki, uchburchak unga parallel asosning yarmiga teng, ya'ni:

OK, tushundim. Endi trapezoidning maydoni haqida.

Trapesiya maydoni formulasi:

Ular aytadilar: trapezoidning maydoni uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmiga teng.

Ya'ni, u o'rta chiziq va balandlikning mahsulotiga teng ekanligi ma'lum bo'ldi:

Ehtimol, bu aniq ekanligini allaqachon payqagandirsiz. Geometrik jihatdan buni quyidagicha ifodalash mumkin: agar biz 2 va 4 uchburchaklarni trapetsiyadan aqliy ravishda kesib tashlasak va ularni mos ravishda 1 va 3 uchburchaklarga qo'ysak:

Keyin biz maydonda to'rtburchaklar olamiz maydoniga teng bizning trapezoidimiz. Ushbu to'rtburchakning maydoni o'rta chiziq va balandlikning mahsulotiga teng bo'ladi, ya'ni biz yozishimiz mumkin:

Lekin bu yerda gap yozishda emas, albatta, tushunishda.

Maqola materialini *pdf formatida yuklab oling (ko'ring).

Hammasi shu. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr.

Faqat ikkita parallel tomoni bo'lgan to'rtburchak deyiladi trapesiya.

Trapetsiyaning parallel tomonlari deyiladi asoslar, va parallel bo'lmagan tomonlar deyiladi tomonlar. Agar tomonlar teng bo'lsa, unda bunday trapezoid isosselesdir. Poydevorlar orasidagi masofa trapetsiya balandligi deb ataladi.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i

O'rta chiziq - bu trapezoid tomonlarining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment. Trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslariga parallel.

Teorema:

Agar bir tomonning o'rta nuqtasini kesib o'tuvchi chiziq trapetsiya asoslariga parallel bo'lsa, u ikkinchisini ikkiga bo'ladi. lateral tomoni trapezoid.

Teorema:

O'rta chiziqning uzunligi uning asoslari uzunliklarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng

MN o'rta chizig'i, AB va CD - asoslar, AD va BC - tomonlar

MN=(AB+DC)/2

Teorema:

Trapetsiyaning oʻrta chizigʻining uzunligi uning asoslari uzunliklarining oʻrtacha arifmetik qiymatiga teng.

Asosiy vazifa: Trapetsiyaning oʻrta chizigʻi uchlari trapetsiya asoslari oʻrtasida joylashgan segmentni ikkiga boʻlishini isbotlang.

Uchburchakning o'rta chizig'i

Uchburchakning ikki tomonining oʻrta nuqtalarini tutashtiruvchi chiziq segmenti uchburchakning oʻrta chizigʻi deyiladi. U uchinchi tomonga parallel va uning uzunligi uchinchi tomonning yarmiga teng.
Teorema: Agar uchburchakning bir tomonining oʻrta nuqtasini kesib oʻtuvchi chiziq berilgan uchburchakning ikkinchi tomoniga parallel boʻlsa, u holda u uchinchi tomonini ikkiga boʻladi.

AM = MC va BN = NC =>

Uchburchak va Trapezoid o'rta chiziq xossalarini qo'llash

Segmentning ma'lum miqdordagi teng qismlarga bo'linishi.
Vazifa: AB segmentini 5 ta teng qismga bo'ling.
Qaror:
Boshi A nuqta bo‘lgan va AB to‘g‘rida yotmaydigan p tasodifiy nur bo‘lsin. Biz p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 ga ketma-ket 5 ta teng segmentni ajratamiz.
Biz A 5 ni B ga bog'laymiz va A 5 B ga parallel bo'lgan A 4, A 3, A 2 va A 1 orqali chiziqlar o'tkazamiz. Ular AB ni mos ravishda B 4 , B 3 , B 2 va B 1 nuqtalarida kesishadi. Bu nuqtalar AB segmentini 5 ta teng qismga ajratadi. Darhaqiqat, BB 3 A 3 A 5 trapesiyadan biz BB 4 = B 4 B 3 ekanligini ko'ramiz. Xuddi shunday B 4 B 2 A 2 A 4 trapesiyadan B 4 B 3 = B 3 B 2 ni olamiz.

Trapetsiyadan B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 bo'lsa.
U holda B 2 AA 2 dan B 2 B 1 = B 1 A kelib chiqadi. Xulosa qilib aytganda, biz quyidagilarni olamiz:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ko'rinib turibdiki, AB segmentini yana bir xil miqdordagi teng qismlarga bo'lish uchun biz bir xil miqdordagi teng segmentlarni p nuriga proyeksiya qilishimiz kerak. Va keyin yuqorida tavsiflangan tarzda davom eting.