Berilgan nuqtadan ma'lum yo'nalishda o'tadigan chiziq tenglamasi. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi. Ikki chiziq orasidagi burchak. Ikki chiziqning parallellik va perpendikulyarlik sharti. Ikki chiziqning kesishish nuqtasini aniqlash

1. Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi A(x 1 , y 1) tomonidan belgilanadigan ma'lum bir yo'nalishda qiyalik omili k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ushbu tenglama nuqtadan o'tadigan chiziqlar qalamini belgilaydi A(x 1 , y 1), bu nurning markazi deb ataladi.

2. Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi: A(x 1 , y 1) va B(x 2 , y 2) quyidagicha yoziladi:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning qiyaligi formula bilan aniqlanadi

3. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak A va B birinchi to'g'ri chiziqni burish kerak bo'lgan burchak A ikkinchi chiziqqa to'g'ri kelguncha, bu chiziqlarning kesishish nuqtasi atrofida soat sohasi farqli o'laroq B. Ikki chiziq qiyalik tenglamalari bilan berilgan bo'lsa

y = k 1 x + B 1 ,

Ushbu maqolada tekislikda joylashgan to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasining hosilasi ochib beriladi. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini chiqaramiz. Biz o'tilgan materialga tegishli bir nechta misollarni vizual ravishda ko'rsatamiz va hal qilamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini olishdan oldin baʼzi faktlarga eʼtibor qaratish lozim. Tekislikdagi ikkita mos kelmaydigan nuqta orqali faqat bitta to'g'ri chiziq chizish mumkinligini aytadigan aksioma mavjud. Boshqacha qilib aytganda, tekislikning ikkita berilgan nuqtasi shu nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziq bilan aniqlanadi.

Agar tekislik Oxy to'rtburchaklar koordinata tizimi tomonidan berilgan bo'lsa, unda tasvirlangan har qanday to'g'ri chiziq tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasiga mos keladi. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bilan ham bog'liqlik mavjud.Bu ma'lumotlar berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzish uchun yetarli.

Shunga o'xshash muammoni hal qilishning misolini ko'rib chiqing. Dekart koordinata tizimida joylashgan M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) ikkita mos kelmaydigan nuqtalardan o'tuvchi a to'g'ri chiziq tenglamasini shakllantirish kerak.

X - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ko'rinishga ega bo'lgan tekislikdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasida to'rtburchaklar koordinatalar tizimi O x y koordinatalari M bo'lgan nuqtada u bilan kesishadigan to'g'ri chiziq bilan ko'rsatilgan. 1 (x 1, y 1) hidoyat vektorli a → = (a x , a y) .

Chizish kerak kanonik tenglama koordinatalari M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) bo'lgan ikkita nuqtadan o'tadigan a to'g'ri chiziq.

a to'g'ri chiziq M 1 va M 2 nuqtalarini kesib o'tganligi uchun koordinatalari (x 2 - x 1, y 2 - y 1) bo'lgan M 1 M 2 → yo'naltiruvchi vektoriga ega. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) yo'nalish vektorining koordinatalari va ularda yotgan M 1 nuqtalarning koordinatalari bilan kanonik tenglamani o'zgartirish uchun kerakli ma'lumotlarni oldik. (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) . Biz x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 yoki x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 ko'rinishdagi tenglamani olamiz.

Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Hisob-kitoblardan so'ng M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) koordinatali ikkita nuqtadan o'tadigan tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozamiz. Biz x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) l y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) l yoki x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) l ko'rinishdagi tenglamani olamiz. y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) l.

Keling, bir nechta misollarni batafsil ko'rib chiqaylik.

1-misol

Koordinatalari M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 boʻlgan berilgan 2 ta nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing.

Qaror

Koordinatalari x 1 , y 1 va x 2 , y 2 boʻlgan ikki nuqtada kesishuvchi toʻgʻri chiziqning kanonik tenglamasi x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 koʻrinishini oladi. Muammoning shartiga ko'ra, bizda x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 bor. O'zgartirish kerak raqamli qiymatlar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 tenglamasiga kiriting. Bu yerdan biz kanonik tenglama x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 ko'rinishda bo'lishini bilib olamiz.

Javob: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Agar muammoni boshqa turdagi tenglama bilan hal qilish kerak bo'lsa, unda siz kanonikga o'tishingiz mumkin, chunki undan boshqasiga kelish osonroq.

2-misol

Yozish umumiy tenglama O x y koordinatalar sistemasidagi M 1 (1, 1) va M 2 (4, 2) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq.

Qaror

Avval berilgan ikkita nuqtadan o'tadigan berilgan chiziqning kanonik tenglamasini yozishingiz kerak. Biz x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 ko'rinishdagi tenglamani olamiz.

Biz kanonik tenglamani kerakli shaklga keltiramiz, keyin biz quyidagilarni olamiz:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Javob: x - 3 y + 2 = 0.

Bunday topshiriqlarning misollari algebra darslarida maktab darsliklarida ko'rib chiqildi. Maktab vazifalari y \u003d k x + b ko'rinishga ega bo'lgan qiyalik koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasi ma'lum bo'lganligi bilan ajralib turardi. Agar siz y \u003d k x + b tenglamasi M 1 (x 1, y 1) va M nuqtalari orqali o'tadigan O x y tizimidagi chiziqni belgilaydigan nishab k qiymatini va b raqamini topishingiz kerak bo'lsa. 2 (x 2, y 2) , bu erda x 1 ≠ x 2. X 1 = x 2 bo'lganda , u holda qiyalik cheksizlik qiymatini oladi va M 1 M 2 chizig'i x - x 1 = 0 ko'rinishdagi umumiy to'liq bo'lmagan tenglama bilan aniqlanadi. .

Chunki nuqtalar M 1 va M 2 to'g'ri chiziqda bo'lsa, u holda ularning koordinatalari y 1 = k x 1 + b va y 2 = k x 2 + b tenglamani qanoatlantiradi. k va b ga nisbatan y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b tenglamalar tizimini yechish kerak.

Buning uchun biz k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 yoki k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x ni topamiz. 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

k va b ning bunday qiymatlari bilan berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 yoki y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Bir vaqtning o'zida juda ko'p sonli formulalarni yodlash ishlamaydi. Buning uchun masalalarni yechishda takrorlash sonini oshirish kerak.

3-misol

Koordinatalari M 2 (2, 1) va y = k x + b bo'lgan nuqtalardan o'tuvchi qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Qaror

Muammoni hal qilish uchun biz y \u003d k x + b shakliga ega bo'lgan qiyalikli formuladan foydalanamiz. k va b koeffitsientlari shunday qiymat olishi kerakki berilgan tenglama koordinatalari M 1 (- 7 , - 5) va M 2 (2 , 1) boʻlgan ikki nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqqa toʻgʻri keldi.

ball M 1 va M 2 to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lsa, u holda ularning koordinatalari y = k x + b tenglamani to'g'ri tenglikka aylantirishi kerak. Bu erdan biz - 5 = k · (- 7) + b va 1 = k · 2 + b ni olamiz. Tenglamani sistemaga birlashtiramiz - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b va yeching.

O'zgartirishdan keyin biz buni olamiz

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Endi k = 2 3 va b = - 1 3 qiymatlari y = k x + b tenglamasiga almashtiriladi. Berilgan nuqtalardan o'tuvchi kerakli tenglama y = 2 3 x - 1 3 ko'rinishga ega bo'lgan tenglama bo'lishini olamiz.

Bunday hal qilish usuli xarajatlarni oldindan belgilab beradi katta raqam vaqt. Vazifa tom ma'noda ikki bosqichda hal qilinadigan usul mavjud.

M 2 (2, 1) va M 1 (- 7 , - 5) dan oʻtuvchi x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) koʻrinishga ega boʻlgan toʻgʻri chiziqning kanonik tenglamasini yozamiz. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Endi qiyalik tenglamasiga o'tamiz. Biz shuni olamiz: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Javob: y = 2 3 x - 1 3 .

Agar uch o‘lchamli fazoda M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatalari bo‘lgan ikkita berilgan to‘g‘ri kelmaydigan nuqtalar bilan O x y z to‘g‘ri burchakli koordinatalar tizimi mavjud bo‘lsa, to'g'ri chiziq M ular orqali o'tadigan 1 M 2, bu chiziq tenglamasini olish kerak.

Bizda x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ko‘rinishdagi kanonik tenglamalar va x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l z = z 1 + a z l parametrik tenglamalar mavjud. a → = (a x, a y, a z) yo'naltiruvchi vektorli (x 1, y 1, z 1) koordinatalarga ega bo'lgan nuqtalardan o'tuvchi O x y z koordinata tizimidagi chiziqni o'rnatishga qodir.

To'g'ri M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ko'rinishdagi yo'nalish vektoriga ega bo'lib, bu erda chiziq M 1 (x 1, y 1, z) nuqtadan o'tadi. 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2), demak, kanonik tenglama x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z ko‘rinishda bo‘lishi mumkin. 2 - z 1 yoki x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, o'z navbatida, parametrik x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) l y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) l z = z 1 + (z 2 - z 1) l yoki x = x 2 + (x 2 - x 1) l y = y 2 + (y 2 - y 1) l z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) l.

Fazoda berilgan 2 nuqtani va to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rsatadigan rasmni ko'rib chiqaylik.

4-misol

Koordinatalari M 1 (2, - 3, 0) va M 2 (1, - 3, - 5) bo‘lgan berilgan ikkita nuqtadan o‘tuvchi uch o‘lchamli fazoning O x y z to‘g‘ri to‘rtburchak koordinata sistemasida aniqlangan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing. ).

Qaror

Biz kanonik tenglamani topishimiz kerak. Sifatida gaplashamiz uch o'lchovli bo'shliq haqida, ya'ni to'g'ri chiziq berilgan nuqtalardan o'tganda, kerakli kanonik tenglama x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - ko'rinishini oladi. z 1 z 2 - z 1.

Shartga ko'ra, bizda x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 bor. Bundan kelib chiqadiki, kerakli tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Javob: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Evklid geometriyasida to'g'ri chiziqning xossalari.

Har qanday nuqta orqali o'tkaziladigan cheksiz ko'p chiziqlar mavjud.

Har qanday ikkita mos kelmaydigan nuqta orqali faqat bitta to'g'ri chiziq mavjud.

Tekislikdagi ikkita tasodifiy chiziq yo bir nuqtada kesishadi yoki bo'ladi

parallel (avvalgisidan keyin).

3D maydonida uchta variant mavjud. nisbiy pozitsiya ikkita to'g'ri chiziq:

• chiziqlar kesishadi;

• to'g'ri chiziqlar parallel;

• to'g'ri chiziqlar kesishadi.

To'g'riga chiziq- birinchi tartibli algebraik egri chiziq: Dekart koordinata tizimida to'g'ri chiziq

tekislikda birinchi darajali tenglama (chiziqli tenglama) bilan beriladi.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.

Ta'rif. Tekislikdagi har qanday chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin

Ah + Wu + C = 0,

va doimiy A, B bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi umumiy

to'g'ri chiziq tenglamasi. Konstantalarning qiymatlariga qarab A, B va Bilan Quyidagi maxsus holatlar mumkin:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- chiziq koordinatadan o'tadi

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- o'qga parallel to'g'ri chiziq Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- o'qga parallel to'g'ri chiziq OU

. B = C = 0, A ≠ 0- chiziq o'qga to'g'ri keladi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- chiziq o'qga to'g'ri keladi Oh

To'g'ri chiziq tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin turli shakllar har qanday berilganiga qarab

dastlabki shartlar.

To'g'ri chiziqning nuqta va normal vektor tenglamasi.

Ta'rif. Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimida komponentlar (A, B) bo'lgan vektor.

tenglama bilan berilgan chiziqqa perpendikulyar

Ah + Wu + C = 0.

Misol. Nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping A(1, 2) vektorga perpendikulyar (3, -1).

Qaror. Keling, A \u003d 3 va B \u003d -1 da to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 3x - y + C \u003d 0. C koeffitsientini topish uchun

hosil bo'lgan ifodaga berilgan A nuqtaning koordinatalarini qo'yamiz: 3 - 2 + C = 0 bo'ladi, shuning uchun.

C = -1. Jami: kerakli tenglama: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kosmosda ikkita nuqta berilgan bo'lsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) va M2 (x 2, y 2, z 2), keyin to'g'ri chiziq tenglamasi,

Ushbu nuqtalardan o'tish:

Agar maxrajlardan birortasi bo'lsa nol, mos keladigan numerator nolga teng bo'lishi kerak. Ustida

tekislikda, yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:

agar x 1 ≠ x 2 va x = x 1, agar x 1 = x 2 .

Fraksiya = k chaqirdi qiyalik omili To'g'riga.

Misol. A(1, 2) va B(3, 4) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Qaror. Yuqoridagi formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik bo'yicha tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi Ah + Wu + C = 0 shaklga keltiring:

va belgilang , keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi

qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi.

Nuqtadagi to'g'ri chiziq tenglamasi va yo'naltiruvchi vektor.

Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rib chiqadigan nuqtaga o'xshab, siz vazifani kiritishingiz mumkin

nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektori.

Ta'rif. Har bir nolga teng bo'lmagan vektor (a 1 , a 2), uning tarkibiy qismlari shartni qanoatlantiradi

Aa 1 + Ba 2 = 0 chaqirdi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori.

Ah + Wu + C = 0.

Misol. Yo‘nalish vektori (1, -1) bo‘lgan va A(1, 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Qaror. Biz kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi shaklda qidiramiz: Ax + By + C = 0. Ta'rifga ko'ra,

Koeffitsientlar quyidagi shartlarga javob berishi kerak:

1 * A + (-1) * B = 0, ya'ni. A = B.

Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Ax + Ay + C = 0, yoki x + y + C / A = 0.

da x=1, y=2 olamiz C/ A = -3, ya'ni. kerakli tenglama:

x + y - 3 = 0

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ah + Wu + C = 0 C≠0 bo'lsa, -C ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:

yoki , qayerda

geometrik ma'no koeffitsientlar, bunda a koeffitsienti kesishish nuqtasining koordinatasi hisoblanadi

o'q bilan to'g'ri Oh, a b- chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan x - y + 1 = 0. Ushbu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

To'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Agar tenglamaning ikkala tomoni bo'lsa Ah + Wu + C = 0 raqamga bo'linadi , deb ataladi

normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosph + ysinph - p = 0 -to'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerak m * C< 0.

R- boshdan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi;

a φ - o'qning musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak Oh.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan 12x - 5y - 65 = 0. Yozish talab qilinadi Har xil turlar tenglamalar

bu to'g'ri chiziq.

Ushbu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

Bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'ling)

To'g'ri chiziq tenglamasi:

cos ph = 12/13; sin ph= -5/13; p=5.

Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ri chiziqlar,

o'qlarga parallel yoki boshlang'ichdan o'tuvchi.

Tekislikdagi chiziqlar orasidagi burchak.

Ta'rif. Ikki qator berilgan bo'lsa y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, keyin o'tkir burchak bu chiziqlar orasida

sifatida belgilanadi

Ikki chiziq parallel, agar k 1 = k 2. Ikki to'g'ri chiziqlar perpendikulyar,

agar k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

To'g'ridan-to'g'ri Ah + Wu + C = 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 koeffitsientlar proportsional bo'lganda parallel bo'ladi

A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB. Agar ham S 1 \u003d l, keyin chiziqlar mos keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari

bu chiziqlar tenglamalar sistemasi yechimi sifatida topiladi.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi berilgan chiziqqa perpendikulyar.

Ta'rif. Nuqtadan o'tuvchi chiziq M 1 (x 1, y 1) va chiziqqa perpendikulyar y = kx + b

tenglama bilan ifodalanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Teorema. Agar ball berilsa M(x 0, y 0), keyin chiziqgacha bo'lgan masofa Ah + Wu + C = 0 quyidagicha aniqlanadi:

Isbot. Nuqtaga ruxsat bering M 1 (x 1, y 1)- nuqtadan tushgan perpendikulyar asosi M berilgan uchun

bevosita. Keyin nuqtalar orasidagi masofa M va M 1:

(1)

Koordinatalar x 1 va 1 tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan nuqta M 0 perpendikulyar

berilgan qator. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

To'g'ri chiziq M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalardan o'tadi. M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi y- y 1 \u003d ko'rinishga ega. k (x - x 1), (10.6)

qayerda k - hali noma'lum koeffitsient.

To'g'ri chiziq M 2 (x 2 y 2) nuqtasidan o'tganligi sababli, bu nuqtaning koordinatalari (10.6) tenglamani qondirishi kerak: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Bu yerdan topilgan qiymatni almashtirishni topamiz k (10.6) tenglamaga kirib, M 1 va M 2 nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz:

Bu tenglamada x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 deb faraz qilinadi.

Agar x 1 \u003d x 2 bo'lsa, u holda M 1 (x 1, y I) va M 2 (x 2, y 2) nuqtalaridan o'tadigan to'g'ri chiziq y o'qiga parallel bo'ladi. Uning tenglamasi x = x 1 .

Agar y 2 \u003d y I bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini y \u003d y 1 shaklida yozish mumkin, M 1 M 2 to'g'ri chiziq x o'qiga parallel.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi

Toʻgʻri chiziq Oʻq oʻqini M 1 (a; 0) nuqtada, Oy oʻqi esa M 2 (0; b) nuqtada kesishsin. Tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:
bular.
. Bu tenglama deyiladi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, chunki a va b raqamlari to'g'ri chiziq koordinata o'qlarida qaysi segmentlarni kesib tashlashini ko'rsatadi.

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

Berilgan nolga teng bo‘lmagan n = (A; B) vektorga perpendikulyar Mo (x O; y o) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi topilsin.

To'g'ri chiziqning ixtiyoriy M(x; y) nuqtasini oling va M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorini ko'rib chiqing (1-rasmga qarang). n va M o M vektorlar perpendikulyar bo'lganligi uchun ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng: ya'ni,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) tenglama chaqiriladi berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi .

Chiziqga perpendikulyar n = (A; B) vektor normal deyiladi bu chiziqning normal vektori .

(10.8) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

bu erda A va B normal vektorning koordinatalari, C \u003d -Ax o - Vu o - erkin a'zo. Tenglama (10.9) toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasidir(2-rasmga qarang).

1-rasm 2-rasm

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari

,

Qayerda
- chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari va
- yo'nalish vektori.

Ikkinchi tartibli aylana egri chiziqlari

Doira - berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, u markaz deb ataladi.

Radiusli aylananing kanonik tenglamasi R nuqtaga markazlashtirilgan
:

Xususan, agar qoziqning markazi boshlang'ichga to'g'ri kelsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Ellips

Ellips - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami, ularning har biridan berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi. va fokuslar deb ataladigan , doimiy qiymatdir
, fokuslar orasidagi masofadan kattaroq
.

Fokuslari Ox o'qida joylashgan va kelib chiqishi fokuslar orasidagi o'rtada joylashgan ellipsning kanonik tenglamasi ko'rinishga ega.
G de a asosiy yarim o'qning uzunligi; b - kichik yarim o'qning uzunligi (2-rasm).

Tenglama parabolalar kvadratik funktsiyadir. Ushbu tenglamani tuzishning bir nechta variantlari mavjud. Bularning barchasi muammoning holatida qanday parametrlar taqdim etilganiga bog'liq.

Ko'rsatma

Parabola - shakli yoyga o'xshash va grafik bo'lgan egri chiziq quvvat funktsiyasi. Parabola o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lishidan qat'i nazar, bu bir xil. Bunday funktsiya ta'rifdan olingan argumentning barcha qiymatlari uchun juft, y deb ataladi, argumentning belgisi o'zgarganda, qiymat o'zgarmaydi: f (-x) \u003d f (x) Eng oddiy funktsiyadan boshlang : y \u003d x ^ 2. Uning shaklidan xulosa qilishimiz mumkinki, u ham ijobiy, ham salbiy qiymatlar argument x. X=0 va shu bilan birga y =0 bo'lgan nuqta nuqta hisoblanadi.

Quyida ushbu funktsiyani qurishning barcha asosiy variantlari va uning . Birinchi misol sifatida quyida f(x)=x^2+a ko‘rinishdagi funksiya keltiriladi, bunda a butun son Bu funksiya grafigini tuzish uchun f(x) funksiya grafigini siljitish zarur. birliklar tomonidan. Misol tariqasida y=x^2+3 funksiyani keltirish mumkin, bunda funktsiya y o'qi bo'ylab ikki birlikka siljiydi. Agar qarama-qarshi ishorali funktsiya berilgan bo'lsa, masalan, y=x^2-3, u holda uning grafigi y o'qi bo'ylab pastga siljiydi.

Parabola berilishi mumkin bo'lgan boshqa funktsiya turi f(x)=(x + a)^2. Bunday hollarda, grafik, aksincha, x o'qi bo'ylab birliklarga siljiydi. Masalan, y=(x +4)^2 va y=(x-4)^2 funktsiyalarini ko'rib chiqing. Birinchi holda, ortiqcha belgisi bo'lgan funksiya mavjud bo'lsa, grafik x o'qi bo'ylab chapga, ikkinchi holatda esa o'ngga siljiydi. Bu holatlarning barchasi rasmda ko'rsatilgan.