Ikki differensiallanuvchi funksiya hosilasining hosilasi formula bilan aniqlanadi. Hosila uchun formulalar. Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

11.11.2020

Bilan "hosil" mavzusi bo'yicha materiallarni o'qish. Asosiy maktab darajasi.
Matematika fanidan talabalar, o‘qituvchilar va repetitorlar uchun nazariy ma’lumotlar. Darslarda yordam berish uchun.

Ta'rifi: nuqtadagi funktsiyaning hosilasi funktsiya o'sishning o'zgaruvchining o'sish qismiga nisbati chegarasi deyiladi, ya'ni

Asosiy matematik funktsiyalarning hosilalari jadvali:

Hosilalarni hisoblash qoidalari

Yigʻinning hosilasi har qanday ikkita ifodaning hosilasi shu ifodalarning hosilalari yigʻindisiga teng (yigʻindining hosilasi hosilalarning yigʻindisiga teng)

Farq hosilasi har qanday ikkita ifodaning hosilasi shu atamalarning hosilalari ayirmasiga teng (farqning hosilasi hosilalarning ayirmasiga teng).

Mahsulotning hosilasi ikki omil birinchi omil hosilasining ikkinchisiga koʻpaytmasiga va birinchi omilning ikkinchisining hosilasiga koʻpaytmasiga teng (navbat bilan olingan omillar hosilasi yigʻindisi).
Matematika o'qituvchisining fikri: Men talabaga mahsulotning hosilasini hisoblash qoidasi haqida qisqa iboralar bilan eslatganimda, men buni aytaman: birinchi koeffitsientning ikkinchi ortiqcha hosilasi zarba almashinuvi!

Bo'limning hosilasi ikki ifodaning koʻrsatkichi omillarning navbatma-navbat olingan hosilalari ayirmasi va maxraj kvadratiga teng.

Son va funksiya hosilasining hosilasi. Son va harfiy ifoda (funksiya) hosilasining hosilasini topish uchun bu sonni shu harfiy ifoda hosilasiga ko‘paytirish kerak.

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasini hisoblash uchun tashqi funktsiyaning hosilasini topish va uni ichki funktsiyaning hosilasiga ko'paytirish kerak.

Sizning sharhlaringiz va sanab chiqinglar bilan sahifadagi fikr-mulohazalaringiz:
Aleksandr S.
Menga stol kerak edi. Internetdagi eng ko'plaridan biri. Tushuntirishlar va qoidalar uchun sizga katta rahmat. Hech bo'lmaganda ularga yana bir misol va umuman olganda, bu juda yaxshi bo'lardi. Yana bir bor rahmat.

Kolpakov A.N., matematika o'qituvchisi: OK, men sahifani tez orada misollar bilan yangilashga harakat qilaman.

Virtual matematik ma'lumotnoma.
Kolpakov Aleksandr Nikolaevich, matematika o'qituvchisi.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan bog'lanish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

Agar zarurat tug'ilgan bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs merosxo'riga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Hosila topish operatsiyasi differensiallash deyiladi.

Hosilni argumentning o'sish ko'payishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlash orqali eng oddiy (va unchalik ham oddiy bo'lmagan) funktsiyalarning hosilalarini topish masalalarini hal qilish natijasida hosilalar jadvali va aniq belgilangan differentsiallash qoidalari paydo bo'ldi. . Isaak Nyuton (1643-1727) va Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) hosilalarni topish sohasida birinchi bo'lib ishlaganlar.

Shuning uchun bizning zamonamizda har qanday funktsiyaning hosilasini topish uchun funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbatining yuqorida ko'rsatilgan chegarasini hisoblash shart emas, faqat jadvaldan foydalanish kerak. hosilalari va farqlash qoidalari. Hosilni topish uchun quyidagi algoritm mos keladi.

Hosilini topish uchun, sizga zarba belgisi ostida ifoda kerak oddiy funktsiyalarni ajratib ko'rsatish va qanday harakatlarni aniqlang (mahsulot, summa, qism) bu funktsiyalar o'zaro bog'liq. Keyinchalik elementar funksiyalarning hosilalarini hosilalar jadvalidan, hosila, yig‘indi va qism hosilalari formulalarini esa differentsiallash qoidalaridan topamiz. Birinchi ikkita misoldan keyin hosilalar jadvali va differentsiatsiya qoidalari berilgan.

1-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Differensiallash qoidalaridan biz aniqlaymizki, funktsiyalar yig'indisining hosilasi funktsiyalarning hosilalari yig'indisi, ya'ni.

Hosilalar jadvalidan “X” ning hosilasi bir ga teng, sinusning hosilasi esa kosinus ekanligini aniqlaymiz. Biz ushbu qiymatlarni hosilalar yig'indisiga almashtiramiz va masala sharti uchun zarur bo'lgan hosilani topamiz:

2-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Biz yig'indining hosilasi sifatida ajratamiz, unda doimiy koeffitsientli ikkinchi hadni hosilaning belgisidan chiqarish mumkin:

Agar biror narsa qaerdan kelganligi haqida hali ham savollar mavjud bo'lsa, ular, qoida tariqasida, hosilalar jadvalini va farqlashning eng oddiy qoidalarini o'qib chiqqandan so'ng aniq bo'ladi. Biz hozir ularning oldiga boramiz.

Oddiy funksiyalarning hosilalari jadvali

1. Doimiy (son)ning hosilasi. Funktsiya ifodasida joylashgan har qanday raqam (1, 2, 5, 200...). Har doim nol. Buni eslash juda muhim, chunki bu juda tez-tez talab qilinadi
2. Mustaqil o‘zgaruvchining hosilasi. Ko'pincha "x". Har doim bittaga teng. Buni eslash ham muhimdir
3. Darajaning hosilasi. Muammolarni hal qilishda siz kvadrat bo'lmagan ildizlarni kuchga aylantirishingiz kerak.
4. O‘zgaruvchining -1 darajali hosilasi
5. Kvadrat ildizning hosilasi
6. Sinus hosilasi
7. Kosinus hosilasi
8. Tangens hosilasi
9. Kotangentning hosilasi
10. Arksinusning hosilasi
11. Yoy kosinusining hosilasi
12. Yoy tangensining hosilasi
13. Teskari tangensning hosilasi
14. Natural logarifmning hosilasi
15. Logarifmik funksiyaning hosilasi
16. Ko‘rsatkichning hosilasi
17. Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Farqlash qoidalari

1. Yig‘indi yoki farqning hosilasi
2. Mahsulotning hosilasi
2a. Ifodaning hosilasi doimiy omilga ko'paytiriladi
3. Bo‘lakning hosilasi
4. Kompleks funktsiyaning hosilasi

1-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada differensial bo'ladi, keyin bir xil nuqtada funktsiyalar

bular. funksiyalarning algebraik yig‘indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalarining algebraik yig‘indisiga teng.

Natija. Agar ikkita differentsiallanuvchi funktsiya doimiy qiymat bilan farq qilsa, ularning hosilalari, ya'ni.

2-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada differensiallanadi , keyin ularning mahsuloti ham xuddi shu nuqtada farqlanadi

bular. ikki funksiya hosilasining hosilasi bu funksiyalarning har birining hosilasi va ikkinchisining hosilasi yig‘indisiga teng.

Natija 1. Doimiy koeffitsientni hosilaning belgisidan chiqarish mumkin:

Natija 2. Bir nechta differensiallanuvchi funksiyalar hosilasining hosilasi omillarning har birining hosilasi va boshqalarning hosilasi yig‘indisiga teng.

Masalan, uchta ko'paytiruvchi uchun:

3-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada farqlanadi va , u holda bu nuqtada ularning koeffitsienti ham differentsial bo'ladi.u/v , va

bular. ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasi maxraj va ayiruvchining hosilasi va ayiruvchi va maxrajning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lgan kasrga teng bo'ladi va maxraj oldingi sonning kvadrati bo'ladi. .

Boshqa sahifalarda qayerga qarash kerak

Haqiqiy masalalarda mahsulotning hosilasi va qismni topishda har doim bir vaqtning o'zida bir nechta farqlash qoidalarini qo'llash kerak, shuning uchun bu hosilalarga ko'proq misollar maqolada keltirilgan."Mahsulot va qismning hosilasi".

Izoh. Siz doimiyni (ya'ni sonni) yig'indidagi atama va doimiy omil sifatida aralashtirmasligingiz kerak! Terminda uning hosilasi nolga teng, doimiy koeffitsientda esa hosilalarning belgisidan olinadi. Bu hosilalarni o'rganishning boshlang'ich bosqichida sodir bo'ladigan odatiy xatodir, ammo o'rtacha talaba bir-ikki komponentli bir nechta misollarni echganligi sababli, bu xato endi yo'q.

Va agar mahsulot yoki qismni farqlashda sizda atama bo'lsa u"v, unda u- raqam, masalan, 2 yoki 5, ya'ni doimiy, keyin bu raqamning hosilasi nolga teng bo'ladi va shuning uchun butun atama nolga teng bo'ladi (bunday holat 10-misolda tahlil qilinadi) .

Yana bir keng tarqalgan xato - bu murakkab funktsiyaning hosilasini oddiy funktsiyaning hosilasi sifatida mexanik hal qilish. Shunday qilib murakkab funksiyaning hosilasi alohida maqolaga bag'ishlangan. Lekin birinchi navbatda oddiy funksiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz.

Yo'l davomida siz iboralarni o'zgartirmasdan qilolmaysiz. Buni amalga oshirish uchun siz yangi Windows qo'llanmalarida ochishingiz kerak bo'lishi mumkin Quvvat va ildizlarga ega harakatlar va Kasrlar bilan amallar .

Agar siz kuchlar va ildizlar bilan hosilalarga yechim izlayotgan bo'lsangiz, ya'ni funksiya qachon ko'rinadi , keyin darsni bajaring " Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi".

Agar sizda kabi vazifa bo'lsa , keyin siz "Oddiy trigonometrik funktsiyalarning hosilalari" darsidasiz.

Bosqichma-bosqich misollar - hosilani qanday topish mumkin

3-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Funktsiyani ifodalash qismlarini aniqlaymiz: butun ifoda hosilani ifodalaydi va uning omillari yig'indi, ikkinchisida esa atamalardan biri doimiy omilni o'z ichiga oladi. Mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz: ikkita funktsiya mahsulotining hosilasi ushbu funktsiyalarning har birining hosilasi va boshqasining hosilasi yig'indisiga teng:

Keyinchalik, yig'indini differentsiallash qoidasini qo'llaymiz: funktsiyalarning algebraik yig'indisining hosilasi bu funktsiyalar hosilalarining algebraik yig'indisiga teng. Bizning holatda, har bir summada, minus belgisi bilan ikkinchi muddat. Har bir yig‘indida hosilasi birga teng bo‘lgan mustaqil o‘zgaruvchini ham, hosilasi nolga teng bo‘lgan doimiy (son)ni ham ko‘ramiz. Shunday qilib, "x" bittaga, minus 5 esa nolga aylanadi. Ikkinchi ifodada "x" 2 ga ko'paytiriladi, shuning uchun biz ikkitani "x" ning hosilasi bilan bir xil birlikka ko'paytiramiz. Biz lotinlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Topilgan hosilalarni mahsulotlar yig'indisiga almashtiramiz va masala sharti uchun zarur bo'lgan butun funktsiyaning hosilasini olamiz:

4-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Bizdan qismning hosilasini topish talab qilinadi. Bo'limni farqlash uchun formulani qo'llaymiz: ikki funktsiya bo'limining hosilasi maxrajning hosilasi va ayiruvchining hosilasi va ayirma hosilasi va maxrajning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lgan kasrga tengdir va maxraj oldingi sonning kvadratidir. Biz olamiz:

Biz 2-misolda ko‘paytirgichdagi ko‘paytmalarning hosilasini topdik.Shuningdek, hisobdagi ikkinchi ko‘paytma bo‘lgan ko‘paytma joriy misolda minus belgisi bilan olinganligini ham unutmaylik:

Agar siz uzluksiz ildizlar va darajalar to'plami mavjud bo'lgan funktsiyaning hosilasini topishingiz kerak bo'lgan muammolarning echimini izlayotgan bo'lsangiz, masalan, keyin sinfga xush kelibsiz "Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi" .

Agar siz sinuslar, kosinuslar, tangenslar va boshqa trigonometrik funktsiyalarning hosilalari haqida ko'proq ma'lumotga ega bo'lishingiz kerak bo'lsa, ya'ni funksiya qachon ko'rinadi , keyin sizda dars bor “Oddiy trigonometrik funksiyalarning hosilalari” .

5-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Ushbu funktsiyada biz ko'paytmani ko'ramiz, uning omillaridan biri mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lib, hosilasi bilan biz hosilalar jadvalida tanishdik. Mahsulotni farqlash qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

6-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Ushbu funktsiyada biz dividend mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lgan qismni ko'ramiz. Biz 4-misolda takrorlagan va qo'llagan qismni differentsiallash qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Numeratordagi kasrdan qutulish uchun son va maxrajni ga ko'paytiring.

Hosila funksiya nima - bu asosiy matematik tushuncha bo'lib, tahlilda integrallar bilan bir xil darajada. Bu funktsiya ma'lum nuqtadagi funktsiyaning ma'lum nuqtadagi o'zgarish tezligining tavsifini beradi.
Differensiatsiya va integrasiya kabi tushunchalar birinchisi hosila topish amalini bildirsa, ikkinchisi, aksincha, shu hosiladan boshlab funksiyani tiklaydi.
Differensial hisob-kitoblarda hosilaviy hisoblar muhim rol o'ynaydi.
Tasviriy misol uchun biz hosilani koordinata tekisligida tasvirlaymiz.

y \u003d f (x) funktsiyasida biz M nuqtalarini o'rnatamiz, bunda (x0; f (X0)) va N f (x0 +? x) har bir abtsissaga x shaklida o'sish bor. O'sish - bu abscissa o'zgarishi, keyin ordinataning ham o'zgarishi. Belgilanganmi?
Buning uchun M va N nuqtalardan foydalanib, MPN uchburchakdagi burchak tangensini topamiz.

tg? = NP/MP = ?y/?x.

x bilan 0 ga boradi. Kesuvchi MN MT tangensiga va burchakka yaqinlashmoqda? bo'ladimi? Shuning uchun, tg? tg uchun maksimal qiymat?

tg? = lim dan?x-0 tg ? = lim dan?x-0 ?y/?x

Hosiliy jadval

Agar siz har birining so'zini talaffuz qilsangiz hosila formulalari. Jadvalni eslab qolish osonroq bo'ladi.
1) Doimiy qiymatning hosilasi 0 ga teng.
2) Chiziqli X bittaga teng.
3) Agar doimiy omil mavjud bo'lsa, biz hosila uchun shunchaki eo chiqaramiz.
4) hosilaviy darajani topish uchun shu darajali koʻrsatkichni asosi bir xil, koʻrsatkichi 1 ga kam boʻlgan koʻrsatkichga koʻpaytirish kerak.
5) Ildizni topish - bu ildizlarning 2 ga bo'linishi.
6) X ga bo'lingan birning hosilasi minus belgisi bilan X kvadratga bo'linganga teng.
7) P sinus kosinusga teng
8) P kosinus minus belgisi bo'lgan sinusga teng.
9) P tangensi kvadrat kosinusga bo'lingan bittaga teng.
10) P kotangenti minus belgisi bo'lgan birga teng, sinus kvadratiga bo'linadi.

Farqlashda, shuningdek, baland ovozda talaffuz qilish orqali o'rganish osonroq bo'lgan qoidalar ham mavjud.

1) Juda oddiy, atamalar soni ularning yig'indisiga teng.
2) Ko'paytirishdagi hosila birinchi qiymatni ikkinchisiga ko'paytirishga teng bo'lib, ikkinchi qiymatni birinchisiga ko'paytirishni o'ziga qo'shadi.
3) Bo'linishdagi hosila birinchi qiymatning ikkinchisiga ko'paytirilishiga teng bo'lib, ikkinchi qiymatning birinchisiga ko'paytirilishini o'zidan ayiradi. Ikkinchi qiymatga bo'lingan kasr kvadrati.
4) Formulyatsiya uchinchi formulaning maxsus holatidir.

Ushbu darsda biz funksiyalarning hosilalarini o'rganishni davom ettiramiz va yanada murakkab mavzuga, ya'ni hosilaning hosilalari va qismga o'tamiz. Agar siz oldingi darsni kuzatgan bo'lsangiz, biz faqat eng oddiy konstruktsiyalarni, ya'ni kuch funktsiyasining hosilasi, yig'indisi va farqlarini ko'rib chiqqanimizni tushungan bo'lsangiz kerak. Xususan, yig‘indining hosilasi ularning yig‘indisiga, ayirmaning hosilasi esa mos ravishda ularning ayirmasiga teng ekanligini bilib oldik. Afsuski, qism va mahsulotning hosilalari bo'lsa, formulalar ancha murakkab bo'ladi. Funktsiyalar hosilasining hosilasi formulasidan boshlaylik.

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Boshlash uchun men o'zimga kichik lirik chekinishga ruxsat beraman. Gap shundaki, standart quvvat funktsiyasidan tashqari - $y=((x)^(n))$, bu darsda boshqa funktsiyalar ham bo'ladi, ya'ni $y=\sin x$, shuningdek $y =\ cos x$ va boshqa trigonometriya - $y=tgx$ va, albatta, $y=ctgx$.

Agar biz hammamiz quvvat funksiyasining hosilasini yaxshi bilsak, ya'ni $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, demak, trigonometrik funktsiyalar uchun alohida aytib o'tish kerak. Keling, yozamiz:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left() ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Lekin siz bu formulalarni juda yaxshi bilasiz, keling, davom etaylik.

Mahsulotning hosilasi nima?

Birinchidan, eng muhimi: agar funktsiya boshqa ikkita funktsiyaning ko'paytmasi bo'lsa, masalan, $f\cdot g$, bu qurilishning hosilasi quyidagi ifodaga teng bo'ladi:

Ko'rib turganingizdek, bu formula biz ilgari ko'rib chiqqan formulalardan sezilarli darajada farq qiladi va murakkabroq. Masalan, yig‘indining hosilasi elementar hisoblanadi — $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ yoki farqning hosilasi, u ham elementar hisoblanadi — $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Keling, muammoda berilgan ikkita funktsiyaning hosilalarini hisoblash uchun birinchi formulani qo'llashga harakat qilaylik. Birinchi misoldan boshlaylik:

Ko'rinib turibdiki, quyidagi konstruktsiya mahsulot, aniqrog'i, omil sifatida ishlaydi: $((x)^(3))$, biz $f$ va $\left(x-5 \right) deb hisoblashimiz mumkin. $ $ g $ deb hisoblashimiz mumkin. Keyin ularning mahsuloti faqat ikkita funktsiyaning mahsuloti bo'ladi. Biz qaror qilamiz:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(3)) \o'ng))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) o'ng))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Keling, har bir shartimizni batafsil ko'rib chiqaylik. Ko'ramizki, birinchi va ikkinchi shartlar ham $x$ kuchini o'z ichiga oladi: birinchi holatda u $((x)^(2))$, ikkinchisida esa $((x)^(3) ga teng. )$. Qavslar ichidan eng kichik darajani chiqaramiz, u qavs ichida qoladi:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =(x)^(2))\left(3x-15+x \o'ng)=( (x)^(2))(4x-15) \\\end(tuzalash)\]

Hammasiga javob topdik.

Biz vazifalarimizga qaytamiz va hal qilishga harakat qilamiz:

Shunday qilib, keling, qayta yozamiz:

Yana shuni ta'kidlaymizki, biz ikkita funktsiyaning mahsuloti haqida gapiramiz: $f$ bilan belgilanishi mumkin bo'lgan $x$ va $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, $g$ bilan belgilanadi.

Shunday qilib, biz yana ikkita funktsiyaning mahsulotiga ega bo'lamiz. $f\left(x \right)$ funksiyaning hosilasini topish uchun biz yana formulamizdan foydalanamiz. Biz olamiz:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Javob topildi.

Nega hosilalarni faktorlarga ajratish kerak?

Biz hozirgina lotinlar bilan bog'liq bo'lmagan juda muhim matematik faktlardan foydalandik, ammo ular bilmagan holda ushbu mavzuni keyingi o'rganish mantiqiy emas.

Birinchidan, birinchi muammoni hal qilib, hosilalarning barcha belgilaridan xalos bo'lgach, negadir biz ushbu iborani omilga aylantira boshladik.

Ikkinchidan, quyidagi masalani yechishda biz 8-9-sinf formulasidan foydalangan holda bir necha marta ratsional darajali darajaga ildizdan darajaga o'tdik, uni alohida takrorlash kerak.

Faktorizatsiyaga kelsak - nega bizga bu qo'shimcha harakatlar va o'zgarishlar kerak? Aslida, agar muammo oddiygina "funktsiyaning hosilasini toping" deb aytsa, unda bu qo'shimcha qadamlar talab qilinmaydi. Biroq, sizni turli imtihonlar va testlarda kutayotgan haqiqiy muammolarda, ko'pincha lotinni topishning o'zi etarli emas. Gap shundaki, hosila bu faqat bir vosita bo'lib, uning yordamida, masalan, funktsiyaning ortishi yoki kamayishi aniqlanishi mumkin va buning uchun siz tenglamani echishingiz, uni koeffitsientga olishingiz kerak. Va bu erda bu texnika juda mos keladi. Va umuman olganda, omillarga bo'lingan funktsiya bilan, agar biron bir o'zgartirish kerak bo'lsa, kelajakda ishlash ancha qulay va yoqimli. Shuning uchun, 1-qoida: agar hosila faktorlarga ajratilishi mumkin bo'lsa, aynan shunday qilishingiz kerak. Va darhol 2-sonli qoida (aslida, bu 8-9-sinf materiali): agar muammoda ildiz paydo bo'lsa n-chi daraja, bundan tashqari, ildiz ikkidan aniq katta bo'lsa, bu ildizni oddiy daraja bilan ratsional daraja bilan almashtirish mumkin va ko'rsatkichda kasr paydo bo'ladi. n- bir xil daraja - bu kasrning maxrajida bo'ladi.

Albatta, agar ildiz ostida qandaydir daraja bo'lsa (bizning holimizda bu daraja k), keyin u hech qaerga ketmaydi, balki shunchaki shu darajaning hisoblagichida paydo bo'ladi.

Va endi bularning barchasini tushunganingizdan so'ng, keling, mahsulotning hosilalariga qaytaylik va yana bir nechta tenglamalarni hisoblaymiz.

Ammo to'g'ridan-to'g'ri hisob-kitoblarga o'tishdan oldin, men quyidagi naqshlarni eslamoqchiman:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \o'ng))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Birinchi misolni ko'rib chiqing:

Bizda yana ikkita funktsiya mahsuloti bor: birinchisi $f$, ikkinchisi $g$. Sizga formulani eslatib o'taman:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Keling, qaror qilaylik:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Keling, ikkinchi funktsiyaga o'tamiz:

Yana $\left(3x-2 \right)$ $f$ funksiyasi, $\cos x$ $g$ funksiyasi. Ikki funktsiya mahsulotining umumiy hosilasi teng bo'ladi:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \o'ng)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \o'ng)\cdot \sin x \\\end(hizala)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \o'ng)) ^(\prime))\]

Keling, alohida yozamiz:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x) )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Biz bu ifodani omillarga kiritmaymiz, chunki bu hali yakuniy javob emas. Endi biz ikkinchi qismni hal qilishimiz kerak. Keling, buni yozamiz:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Va endi biz asl vazifamizga qaytamiz va hamma narsani bitta tuzilishga yig'amiz:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

Mana, bu yakuniy javob.

Keling, oxirgi misolga o'tamiz - bu hisob-kitoblar bo'yicha eng murakkab va eng katta hajmli bo'ladi. Shunday qilib, bir misol:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \o'ng))^(\prime ))-((\left(2xctgx \o'ng))^(\prime ) )\]

Biz har bir qismni alohida hisoblaymiz:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Dastlabki funktsiyaga qaytsak, biz uning hosilasini bir butun sifatida hisoblaymiz:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2))))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \o'ng)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Aslida, men ishning hosilalari haqida aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi. Ko'rib turganingizdek, formulaning asosiy muammosi uni yodlash emas, balki juda katta miqdordagi hisob-kitoblarni olishdir. Lekin bu to'g'ri emas, chunki endi biz ko'rsatkichning hosilasiga o'tmoqdamiz, bu erda biz juda ko'p ishlashimiz kerak.

Ko'rsatkichning hosilasi nima?

Demak, qismning hosilasi formulasi. Ehtimol, bu maktab lotinlari kursidagi eng qiyin formuladir. Faraz qilaylik, bizda $\frac(f)(g)$ shaklidagi funksiya bor, bunda $f$ va $g$ ham tugallanmagan funksiyalardir. Keyin u quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Numerator qandaydir tarzda mahsulot hosilasi formulasini eslatadi, ammo shartlar o'rtasida minus belgisi mavjud va asl maxrajning kvadrati ham maxrajga qo'shilgan. Keling, bu amalda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

Keling, hal qilishga harakat qilaylik:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \o'ng))^(\prime ))=\frac(((\chap) (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \o'ng))^(\prime )))(((\left(x+2 \o'ng))^(2)))\]

Men har bir qismni alohida yozishni va yozishni taklif qilaman:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ o'ng))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \o'ng))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(tekislash)\]

Biz ifodamizni qayta yozamiz:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \o'ng))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \o'ng))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \o'ng) ))^(2))) \\\end(tuzala)\]

Biz javob topdik. Keling, ikkinchi funktsiyaga o'tamiz:

Uning numeratori faqat bitta ekanligiga ko'ra, bu erda hisob-kitoblar biroz sodda bo'ladi. Shunday qilib, yozamiz:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \o'ng))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \o'ng))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \o'ng))^(2)))\]

Keling, misolning har bir qismini alohida hisoblaymiz:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(2)) \o'ng))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Biz ifodamizni qayta yozamiz:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2)) )+4 \o'ng))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \o'ng))^(2)))\]

Biz javob topdik. Kutilganidek, hisoblash miqdori birinchi funktsiyaga qaraganda sezilarli darajada kamroq bo'ldi.

Belgilar o'rtasidagi farq nima?

Ehtiyotkor talabalarda savol tug'ilishi mumkin: nega ba'zi hollarda biz funktsiyani $f\left(x \right)$ deb belgilaymiz, boshqa hollarda esa faqat $y$ deb yozamiz? Aslida, matematika nuqtai nazaridan, mutlaqo farq yo'q - siz birinchi belgini ham, ikkinchisini ham ishlatish huquqiga egasiz va imtihonlar va testlar uchun jarimalar bo'lmaydi. Hali ham qiziqayotganlar uchun men darslik va muammolar mualliflari nima uchun ba'zi hollarda $f\left(x \right)$, boshqalarida esa (juda tez-tez) faqat $y$ deb yozishlarini tushuntiraman. Gap shundaki, funktsiyani \ ko'rinishida yozish orqali biz hisob-kitoblarimizni o'qiydigan kishiga funktsional bog'liqlikning algebraik talqini haqida gapirayotganimizni bilvosita ishora qilamiz. Ya'ni, $x$ o'zgaruvchisi bor, biz bu o'zgaruvchiga bog'liqlikni ko'rib chiqamiz va uni $f\left(x \right)$ belgilaymiz. Shu bilan birga, bunday belgini ko'rgan holda, sizning hisob-kitoblaringizni o'qiydigan kishi, masalan, tekshirgich, kelajakda uni faqat algebraik o'zgarishlar kutishini ongsiz ravishda kutadi - na grafiklar va na geometriya.

Boshqa tomondan, \ shaklining belgisidan foydalanib, ya'ni o'zgaruvchini bitta harf bilan belgilab, biz kelajakda bizni funktsiyaning aniq geometrik talqini qiziqtirayotganini darhol aniqlaymiz, ya'ni biz birinchi navbatda qiziqamiz. uning grafigida. Shunga ko'ra, \ shaklidagi yozuv bilan duch kelgan o'quvchi grafik hisob-kitoblarni, ya'ni grafiklarni, konstruksiyalarni va boshqalarni kutish huquqiga ega, lekin hech qanday holatda analitik o'zgarishlar.

Men sizning e'tiboringizni bugungi kunda biz ko'rib chiqayotgan vazifalarni loyihalashning bir xususiyatiga qaratmoqchiman. Ko'pgina talabalar men juda batafsil hisob-kitoblar qilaman deb o'ylashadi va ularning ko'pini o'tkazib yuborish yoki shunchaki mening boshimda hal qilish mumkin. Biroq, aynan shunday batafsil yozuv sizni haqoratli xatolardan xalos bo'lishga va to'g'ri hal qilingan muammolar foizini sezilarli darajada oshirishga imkon beradi, masalan, testlar yoki imtihonlarga o'z-o'zini tayyorlashda. Shuning uchun, agar siz hali ham o'z qobiliyatingizga ishonchingiz komil bo'lmasa, agar siz ushbu mavzuni endigina o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz, shoshilmang - har bir qadamni batafsil tavsiflang, har bir ko'paytmani, har bir zarbani yozing va tez orada bunday misollarni qanday hal qilishni o'rganasiz. ko'p maktab o'qituvchilaridan yaxshiroq. Umid qilamanki, bu tushunarli. Keling, yana bir nechta misollarni sanab o'tamiz.

Bir nechta qiziqarli sinovlar

Bu safar, ko'rib turganimizdek, trigonometriya hisoblangan lotinlar tarkibida mavjud. Shunday qilib, sizga quyidagilarni eslatib o'taman:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(tekislash) )\]

Albatta, biz qismning hosilasisiz qilolmaymiz, xususan:

\[((\left(\frac(f)(g) \o'ng))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Birinchi funktsiyani ko'rib chiqing:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(tekislash)\]

Shunday qilib, biz ushbu ifodaning yechimini topdik.

Keling, ikkinchi misolga o'tamiz:

Trigonometriya bu funktsiyaning payida ham, maxrajida ham mavjud bo'lganligi sababli uning hosilasi murakkabroq bo'lishi aniq. Biz qaror qilamiz:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

E'tibor bering, bizda mahsulotning hosilasi mavjud. Bunday holda, u quyidagilarga teng bo'ladi:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) o'ng))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Biz hisob-kitoblarimizga qaytamiz. Biz yozamiz:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \o'ng) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\end(align)\]

Hammasi shu! Biz hisobladik.

Ko'paytmaning hosilasini mahsulot hosilasi uchun oddiy formulaga qanday kamaytirish mumkin?

Va bu erda men trigonometrik funktsiyalar haqida juda muhim bir fikrni aytmoqchiman. Gap shundaki, bizning asl konstruksiyamiz $\frac(\sin x)(\cos x)$ shaklining ifodasini o'z ichiga oladi, uni faqat $tgx$ bilan osongina almashtirish mumkin. Shunday qilib, biz qismning hosilasini mahsulot hosilasi uchun oddiyroq formulaga keltiramiz. Keling, ushbu misolni yana hisoblab chiqamiz va natijalarni solishtiramiz.

Shunday qilib, endi biz quyidagilarni ko'rib chiqishimiz kerak:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ asl funktsiyamizni qayta yozamiz. Biz olamiz:

Keling, hisoblaymiz:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \o'ng)) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(tuzala) \]

Endi, agar biz boshqa usulda hisoblaganda, natijani ilgari olingan narsalar bilan solishtirsak, biz bir xil iborani olganimizga ishonch hosil qilamiz. Shunday qilib, lotinni hisoblashda qaysi yo'ldan bormasin, agar hamma narsa to'g'ri hisoblangan bo'lsa, javob bir xil bo'ladi.

Muammolarni hal qilishda muhim nuanslar

Xulosa qilib, men sizga qismning hosilasini hisoblash bilan bog'liq yana bir noziklikni aytib bermoqchiman. Men hozir sizga aytmoqchi bo'lgan narsa video darsning asl skriptida yo'q edi. Biroq, suratga olishdan bir necha soat oldin, men shogirdlarimdan biri bilan o'qiyotgan edim va biz faqat qismning hosilalari mavzusini saralayotgan edik. Va ma'lum bo'lishicha, ko'plab talabalar bu fikrni tushunishmaydi. Deylik, biz quyidagi funktsiyaning tub sonini sanashimiz kerak:

Aslida, birinchi qarashda g'ayritabiiy narsa yo'q. Biroq, hisob-kitob jarayonida biz juda ko'p ahmoqona va haqoratli xatolarga yo'l qo'yishimiz mumkin, men ularni hozir tahlil qilmoqchiman.

Shunday qilib, biz ushbu hosilani ko'rib chiqamiz. Avvalo, bizda $3((x)^(2))$ atamasi mavjudligiga e'tibor bering, shuning uchun quyidagi formulani eslash o'rinli:

\[((\left(((x)^(n)) \o'ng))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Bundan tashqari, bizda $\frac(48)(x)$ atamasi bor - biz u bilan qismning hosilasi orqali ishlaymiz, xususan:

\[((\left(\frac(f)(g) \o'ng))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Shunday qilib, keling, qaror qilaylik:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \o'ng))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \o'ng)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Birinchi muddatda hech qanday muammo yo'q, qarang:

\[((\left(3((x)^(2)) \o'ng))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \o'ng))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Lekin birinchi atama bilan, $\frac(48)(x)$, siz alohida ishlashingiz kerak. Gap shundaki, ko‘pchilik talabalar $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ topish kerak bo‘lganda va $((\left) topish kerak bo‘lganda vaziyatni chalkashtirib yuborishadi. (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Ya’ni, o‘zgarmas maxrajda bo‘lsa, o‘zgarmas o‘zgaruvchida bo‘lsa yoki maxrajda bo‘lsa chalkashadi.

Birinchi variantdan boshlaylik:

\[((\left(\frac(x)(48) \o'ng))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \o'ng))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Boshqa tomondan, agar ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilishga harakat qilsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \o'ng))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \o'ng ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48) )(((x)^(2))) \\\end(tuzalash)\]

Biroq, xuddi shu misolni boshqacha hisoblash mumkin edi: biz qismning hosilasiga o'tgan bosqichda biz $\frac(1)(x)$ ni manfiy ko'rsatkichli kuch sifatida ko'rib chiqishimiz mumkin, ya'ni biz quyidagilarni olamiz. :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Shunday qilib, biz bir xil javob oldik.

Shunday qilib, biz ikkita muhim faktga yana bir bor amin bo'ldik. Birinchidan, bir xil lotin butunlay boshqacha tarzda hisoblanishi mumkin. Masalan, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ ni ham qismning hosilasi, ham daraja funksiyasining hosilasi sifatida ko‘rish mumkin. Bundan tashqari, agar barcha hisob-kitoblar to'g'ri bajarilgan bo'lsa, javob har doim bir xil bo'ladi. Ikkinchidan, o'zgaruvchini ham, doimiyni ham o'z ichiga olgan hosilalarni hisoblashda, o'zgaruvchining qayerda joylashganligi muhim ahamiyatga ega - hisoblagichda yoki maxrajda. Birinchi holda, o'zgaruvchi hisoblagichda bo'lsa, biz oddiygina hisoblaydigan oddiy chiziqli funktsiyani olamiz. Va agar o'zgaruvchi maxrajda bo'lsa, unda biz ilgari berilgan hisob-kitoblar bilan yanada murakkab ifodani olamiz.

На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь Yordam kerakmi.

Hosilalarning o'zi hech qanday qiyin mavzu emas, lekin juda katta hajmli va biz hozir o'rganayotgan narsalar kelajakda yanada murakkab muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Shuning uchun ko'rsatkich yoki mahsulotning hosilalarini hisoblash bilan bog'liq barcha tushunmovchiliklarni darhol aniqlab olish yaxshiroqdir. Ular tushunmovchiliklarning katta qor to'pi bo'lganda emas, balki ular bilan kurashish oson bo'lgan kichik tennis to'pi bo'lganda.