Sinus ijobiy. trigonometrik doira. Trigonometrik funktsiyalarning asosiy qiymatlari
Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n marta tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Axilles bu masofani bosib o'tgan vaqt davomida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganida, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon cheksiz davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetmaydi.
Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi u yoki bu tarzda Zenon aporiyalarini ko‘rib chiqdilar. Shok shu qadar kuchli ediki " ... paradokslar mohiyati haqida umumiy fikrga kelish uchun hozirda munozaralar davom etmoqda ilmiy hamjamiyat hozirgacha buning imkoni bo'lmagan ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilingan; ularning hech biri muammoning umume'tirof etilgan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya," Zenonning Aporias "]. Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin aldamchilik nima ekanligini hech kim tushunmaydi.
Matematika nuqtai nazaridan Zenon o'zining aporiyasida qiymatdan o'tishni aniq ko'rsatdi. Bu o'tish doimiylar o'rniga qo'llashni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklarini qo'llash uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga tatbiq etilmagan. Bizning odatiy mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz, fikrlash inertsiyasiga ko'ra, o'zaro vaqtning doimiy birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda vaqt butunlay sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'ta olmaydi.
Agar biz o'rganib qolgan mantiqni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. O'z yo'lining har bir keyingi segmenti avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar bu vaziyatda “cheksizlik” tushunchasini qo‘llasak, “Axilles toshbaqadan cheksiz tezlikda o‘zib ketadi” desak to‘g‘ri bo‘ladi.
Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Vaqtning doimiy birliklarida qoling va o'zaro qiymatlarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:
Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu tomonga yuz qadam emaklaydi. Keyingi vaqt oralig'ida, birinchisiga teng, Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.
Bu yondashuv hech qanday mantiqiy paradokslarsiz voqelikni adekvat tarzda tasvirlaydi. Lekin unday emas to'liq yechim Muammolar. Eynshteynning yorug'lik tezligining engib bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta ko'rib chiqishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.
Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:
Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har bir daqiqada tinch holatda bo'lgani uchun u doimo dam oladi.
Bu aporiyada mantiqiy paradoks uni juda sodda tarzda yengib o'tish mumkin - har bir daqiqada uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida turishini aniqlab berish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomashinaning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Avtomobilning harakatlanish faktini aniqlash uchun vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ular masofani aniqlash uchun ishlatilmaydi. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak bo'ladi, lekin siz ulardan harakatlanish faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi) . Men nimaga e'tibor qaratmoqchiman Maxsus e'tibor, shundan iboratki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta, chalkashtirmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar beradi.
2018 yil 4-iyul, chorshanba
To'plam va multiset o'rtasidagi farqlar Vikipediyada juda yaxshi tasvirlangan. Biz qaraymiz.
Ko'rib turganingizdek, "to'plam ikkita bir xil elementga ega bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Absurdning shunga o'xshash mantig'i jonli mavjudotlar hech qachon tushunmaydi. Bu gapiradigan to'tiqushlar va o'qitilgan maymunlarning darajasi bo'lib, unda aql "to'liq" so'zidan yo'q. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, o'zlarining bema'ni g'oyalarini bizga targ'ib qilishadi.
Bir vaqtlar ko'prikni qurgan muhandislar ko'prik sinovlari paytida ko'prik ostidagi qayiqda edi. Agar ko'prik qulab tushsa, o'rtamiyona muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko'prik yukga bardosh bera olsa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.
Matematiklar “menga o‘ylang, men uydaman”, to‘g‘rirog‘i, “matematika mavhum tushunchalarni o‘rganadi” iborasi ortiga qanchalik yashirinmasin, ularni voqelik bilan chambarchas bog‘lab turadigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Keling, matematik to'plamlar nazariyasini matematiklarning o'zlariga tatbiq qilaylik.
Biz matematikani juda yaxshi o'qiganmiz va hozir kassada maosh to'lab o'tiribmiz. Mana, bir matematik o'z puliga bizga keladi. Biz unga butun summani hisoblaymiz va stolimizga turli xil qoziqlarga joylashtiramiz, ular ichiga bir xil nomdagi veksellarni qo'yamiz. Keyin har bir qoziqdan bitta hisobni olib, matematikaga uning "matematik ish haqi to'plamini" beramiz. Biz matematikani tushuntiramizki, u bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlarli to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisoblarni oladi. Qiziq shu erda boshlanadi.
Avvalo, deputatlarning mantig‘i ishlaydi: “boshqalarga ham qo‘llash mumkin, menga emas!”. Keyinchalik, bir xil nomdagi banknotlarda turli xil banknot raqamlari mavjudligiga ishonch hosil qilinadi, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Xo'sh, biz ish haqini tangalarda hisoblaymiz - tangalarda raqamlar yo'q. Bu erda matematik fizikani siqilish bilan eslay boshlaydi: turli tangalar mavjud turli miqdor Har bir tanganing axloqsizlik, kristall tuzilishi va atom tuzilishi o'ziga xosdir...
Va endi menda eng ko'p narsa bor qiziqish so'rang: koʻp toʻplamning elementlari toʻplam elementlariga aylanadigan chegara qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsa shamanlar tomonidan hal qilinadi, bu erda fan hatto yaqin emas.
Mana qarang. Biz maydon maydoni bir xil bo'lgan futbol stadionlarini tanlaymiz. Maydonlarning maydoni bir xil, ya'ni bizda multiset mavjud. Ammo bir xil stadionlarning nomlarini hisobga oladigan bo'lsak, nomlari har xil bo'lgani uchun ko'p narsa olamiz. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami bir vaqtning o'zida ham to'plam, ham multisetdir. Qanday to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-shuller yengidan ko'zni olib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Har holda, u bizni o'zining haq ekanligiga ishontiradi.
Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini, uni haqiqatga bog'lashini tushunish uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "yaxlit bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" yoki "bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" holda ko'rsataman.
Yakshanba, 18-mart, 2018-yil
Raqamlar yig'indisi - bu matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan shamanlarning daf bilan raqsi. Ha, matematika darslarida bizga son raqamlari yig‘indisini topish va undan foydalanish o‘rgatiladi, lekin ular buning uchun shomanlar, o‘z avlodlariga o‘z mahoratlarini, hikmatlarini o‘rgatishadi, aks holda shamanlar shunchaki o‘lib ketishadi.
Sizga dalil kerakmi? Vikipediyani oching va "Raqam raqamlari yig'indisi" sahifasini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Matematikada biron bir raqamning raqamlari yig'indisini topish mumkin bo'lgan formula yo'q. Axir, raqamlar grafik belgilar bo'lib, ular yordamida raqamlarni yozamiz va matematika tilida vazifa shunday yangradi: "Istalgan sonni ifodalovchi grafik belgilar yig'indisini toping". Matematiklar bu muammoni hal qila olmaydilar, ammo shamanlar buni elementar tarzda hal qilishlari mumkin.
Keling, berilgan sonning raqamlari yig'indisini topish uchun nima va qanday qilishimizni aniqlaymiz. Shunday qilib, bizda 12345 raqami bor deylik. Bu raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun nima qilish kerak? Keling, barcha bosqichlarni tartibda ko'rib chiqaylik.
1. Raqamni qog'ozga yozing. Biz nima qildik? Biz raqamni raqamli grafik belgisiga aylantirdik. Bu matematik operatsiya emas.
2. Biz bitta olingan rasmni alohida raqamlarni o'z ichiga olgan bir nechta rasmga kesib tashladik. Rasmni kesish matematik operatsiya emas.
3. Alohida grafik belgilarni raqamlarga aylantirish. Bu matematik operatsiya emas.
4. Olingan sonlarni qo‘shing. Endi bu matematika.
12345 raqamining raqamlari yig'indisi 15 ga teng. Bu matematiklar tomonidan qo'llaniladigan shamanlardan olingan "kesish va tikish kurslari". Lekin bu hammasi emas.
Matematika nuqtai nazaridan raqamni qaysi sanoq sistemasida yozishimiz muhim emas. Demak, turli sanoq sistemalarida bir xil son raqamlari yig’indisi har xil bo’ladi. Matematikada sanoq sistemasi sonning o'ng tomonida pastki qator sifatida ko'rsatilgan. Bilan katta raqam 12345 Men boshimni aldashni xohlamayman, maqoladagi 26 raqamini ko'rib chiqing. Bu sonni ikkilik, sakkizlik, o‘nlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida yozamiz. Biz har bir qadamni mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz, biz buni allaqachon qilganmiz. Keling, natijani ko'rib chiqaylik.
Ko'rib turganingizdek, turli sanoq tizimlarida bir xil son raqamlari yig'indisi har xil bo'ladi. Bu natijaning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. To'rtburchakning maydonini metr va santimetrda aniqlashda siz butunlay boshqacha natijalarga erishganingiz bilan bir xil.
Barcha sanoq tizimlarida nol bir xil ko'rinadi va raqamlar yig'indisiga ega emas. Bu haqiqat foydasiga yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: matematikada raqam bo'lmagan narsa qanday ifodalanadi? Matematiklar uchun raqamlardan boshqa hech narsa mavjud emasmi? Shamanlar uchun men bunga ruxsat berishim mumkin, ammo olimlar uchun yo'q. Haqiqat faqat raqamlardan iborat emas.
Olingan natija sanoq sistemalari sonlarning o'lchov birliklari ekanligiga dalil sifatida qaralishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli o'lchov birliklari bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil miqdorning turli o'lchov birliklari bilan bir xil harakatlar olib kelsa turli natijalar ularni solishtirgandan so'ng, matematikaga hech qanday aloqasi yo'q.
Haqiqiy matematika nima? Bu matematik harakatning natijasi raqamning qiymatiga, ishlatiladigan o'lchov birligiga va bu harakatni kim bajarishiga bog'liq bo'lmaganda.
Voy! Bu ayollar hojatxonasi emasmi?
- Yosh ayol! Bu osmonga ko'tarilishda ruhlarning cheksiz muqaddasligini o'rganish uchun laboratoriya! Nimbus tepada va yuqoriga o'q. Yana qanday hojatxona?
Ayol... Tepadagi halo va pastga o'q erkakdir.
Agar sizda kuniga bir necha marta ko'z oldingizda bunday dizayn san'ati asari bo'lsa,
Shunda siz to'satdan mashinangizda g'alati belgini topsangiz ajablanarli emas:
Shaxsan men axlat qilayotgan odamda minus to'rt darajani ko'rishga harakat qilaman (bitta rasm) (bir nechta rasmlarning tarkibi: minus belgisi, to'rtinchi raqam, daraja belgisi). Men bu qizni fizikani bilmaydigan ahmoq deb hisoblamayman. U shunchaki grafik tasvirlarni idrok etishning bosh stereotipiga ega. Va matematiklar buni bizga doimo o'rgatadi. Mana bir misol.
1A "minus to'rt daraja" yoki "bir a" emas. Bu "nakachi odam" yoki "yigirma olti" raqami o'n oltilik tizim hisoblash. Doimiy ravishda ushbu sanoq tizimida ishlaydigan odamlar raqam va harfni avtomatik ravishda bitta grafik belgi sifatida qabul qiladilar.
Bir qator xarakterli natijalarni aniqlashga imkon beradi - sinus, kosinus, tangens va kotangensning xossalari. Ushbu maqolada biz uchta asosiy xususiyatni ko'rib chiqamiz. Ulardan birinchisi a burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens belgilarini, qaysi koordinata chorak burchagi a bo'lishiga qarab ko'rsatadi. Keyinchalik, bu burchak aylanishlarning butun soniga o'zgarganda, a burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlarining o'zgarmasligini belgilaydigan davriylik xususiyatini ko'rib chiqamiz. Uchinchi xususiyat a va -a qarama-qarshi burchaklarning sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari o'rtasidagi munosabatni ifodalaydi.
Agar siz sinus, kosinus, tangens va kotangens funktsiyalarining xususiyatlari bilan qiziqsangiz, ularni maqolaning tegishli bo'limida o'rganishingiz mumkin.
Sahifani navigatsiya qilish.
Sinus, kosinus, tangens va kotangensning choraklardagi belgilari
Quyida ushbu bandda "koordinata choragining I, II, III va IV burchagi" iborasi topiladi. Keling, bu burchaklar nima ekanligini tushuntiramiz.
A 1 (x, y) nuqtaga yetamiz deb faraz qilgan holda, birlik aylana olib, uning ustidagi boshlang‘ich A(1, 0) nuqtani belgilaymiz va uni O nuqta atrofida a burchak bilan aylantiramiz.
Ular shunday deyishadi burchak a - koordinata choragining I , II , III , IV burchagi agar A 1 nuqtasi mos ravishda I, II, III, IV choraklarda bo'lsa; agar a burchak shunday bo'lsaki, A 1 nuqta Ox yoki Oy koordinata chiziqlarining birortasida yotsa, bu burchak to'rt chorakning birortasiga tegishli emas.
Aniqlik uchun biz grafik rasmni taqdim etamiz. Quyidagi chizmalarda 30 , -210 , 585 va -45 daraja burilish burchaklari ko'rsatilgan, ular mos ravishda koordinata choraklarining I , II , III va IV burchaklaridir.
burchaklar 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … darajalar koordinata choraklarining birortasiga tegishli emas.
Keling, qaysi chorak burchak a ekanligiga qarab, qaysi belgilarda aylanish burchagi a sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari borligini aniqlaymiz.
Sinus va kosinus uchun buni qilish oson.
Ta'rifga ko'ra, a burchakning sinusi A 1 nuqtaning ordinatasidir. Ko'rinib turibdiki, I va II koordinatali choraklarda ijobiy, III va IV choraklarda esa salbiy. Shunday qilib, a burchakning sinusi I va II choraklarda ortiqcha belgisiga, III va VI choraklarda esa minus belgisiga ega.
O'z navbatida, a burchakning kosinasi A 1 nuqtaning abscissasidir. I va IV choraklarda ijobiy, II va III choraklarda esa salbiy. Shuning uchun a burchak kosinusining I va IV chorakdagi qiymatlari ijobiy, II va III choraklarda esa manfiy.
Belgilarni tangens va kotangensning choraklari bo'yicha aniqlash uchun ularning ta'riflarini eslab qolish kerak: tangens - A 1 nuqta ordinatasining abscissaga nisbati va kotangent - A 1 nuqta abssissasining ordinataga nisbati. Keyin dan raqamlarni bo'lish qoidalari bir xil va turli belgilar bilan A 1 nuqtaning abscissa va ordinata belgilari bir xil bo‘lganda tangens va kotangens plyus belgisiga, A 1 nuqtaning abscissa va ordinata belgilari boshqacha bo‘lganda esa minus belgisiga ega bo‘ladi. Shuning uchun burchakning tangensi va kotangensi I va III koordinata choraklarida + belgisiga, II va IV choraklarda esa minus belgisiga ega.
Haqiqatan ham, masalan, birinchi chorakda A 1 nuqtaning ham abscissa x ham, y ordinatasi ham musbat, keyin x/y bo‘lagi ham, y/x bo‘lagi ham musbat, demak, tangens va kotangens + belgilariga ega. . Va ikkinchi chorakda abscissa x manfiy, y ordinatasi esa musbat, shuning uchun ham x / y, ham y / x manfiy, shuning uchun tangens va kotangens minus belgisiga ega.
Keling, sinus, kosinus, tangens va kotangensning keyingi xossalariga o'tamiz.
Davriylik xususiyati
Endi biz, ehtimol, sinus, kosinus, tangens va burchakning kotangensining eng aniq xususiyatini tahlil qilamiz. U quyidagilardan iborat: burchak to'liq aylanishlarning butun soniga o'zgarganda, bu burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari o'zgarmaydi.
Bu tushunarli: burchak butun aylanishlar soniga o'zgarganda, biz har doim birlik aylanasining boshlang'ich A nuqtasidan A 1 nuqtasiga erishamiz, shuning uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari qoladi. o'zgarmagan, chunki A 1 nuqtaning koordinatalari o'zgarmagan.
Formulalar yordamida sinus, kosinus, tangens va kotangensning hisobga olingan xossasini quyidagicha yozish mumkin: sin(a+2 p z)=sina , cos(a+2 p z)=cosa , tg(a+2 p z) =tga , ctg(a+2 p z)=ctga , bu yerda a - radiandagi burilish burchagi, z - har qanday , uning mutlaq qiymati a burchak oʻzgargan toʻliq aylanishlar sonini va belgisini bildiradi. z soni burilish yo'nalishini bildiradi.
Agar burilish burchagi a gradusda berilgan bo'lsa, u holda bu formulalar sin(a+360° z)=sina , cos(a+360° z)=cosa , tg(a+360° z)=tga , shaklida qayta yoziladi. ctg(a+360° z)=ctga .
Keling, ushbu mulkdan foydalanishga misollar keltiraylik. Misol uchun, 
, kabi 
, a 
. Mana yana bir misol: yoki .
Bu xususiyat qisqarish formulalari bilan birga "katta" burchaklarning sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlarini hisoblashda juda tez-tez ishlatiladi.
Sinus, kosinus, tangens va kotangensning ko'rib chiqilgan xossasi ba'zan davriylik xossasi deb ataladi.
Qarama-qarshi burchakli sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangenslarning xossalari
Boshlang‘ich A(1, 0) nuqtani O nuqta atrofida a burchak bilan aylantirish natijasida olingan nuqta A 1, A 2 nuqta esa A nuqtaning burchakka aylanishi natijasi bo‘lsin. −a a burchakka qarama-qarshi.
Qarama-qarshi burchaklardagi sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangenslarning xossasi juda aniq bir faktga asoslanadi: yuqorida qayd etilgan A 1 va A 2 nuqtalari Ox oʻqiga toʻgʻri keladi (at) yoki simmetrik joylashgan. Ya'ni, agar A 1 nuqta koordinatalariga (x, y) ega bo'lsa, A 2 nuqta koordinatalariga (x, −y) ega bo'ladi. Bu yerdan sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflariga ko'ra, va tengliklarini yozamiz.
Ularni taqqoslab, biz ko'rinishning a va -a qarama-qarshi burchaklarining sinuslari, kosinuslari, tangenslari va kotangentlari o'rtasidagi munosabatlarga erishamiz.
Bu formulalar shaklida ko'rib chiqilgan xususiyatdir.
Keling, ushbu mulkdan foydalanishga misollar keltiraylik. Masalan, tenglik va 
.
Shuni ta'kidlash kerakki, sinuslar, kosinuslar, tangenslar va qarama-qarshi burchaklarning kotangenslari, oldingi xususiyat kabi, ko'pincha sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlarini hisoblashda qo'llaniladi va sizga to'liq qochishga imkon beradi. salbiy burchaklardan.
Adabiyotlar ro'yxati.
- Algebra: Proc. 9 hujayra uchun. o'rtacha maktab / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy.- M.: Ma'rifat, 1990.- 272 b.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14-nashr.- M.: Ma'rifat, 2004.- 384 b.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ma'rifat, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.
Turli xil. Ulardan ba'zilari qaysi choraklarda kosinus ijobiy va salbiy, qaysi choraklarda sinus ijobiy va salbiy ekanligi haqida. Agar siz ushbu funktsiyalarning qiymatini turli burchaklarda qanday hisoblashni bilsangiz va funktsiyalarni grafikda qurish printsipi bilan tanish bo'lsangiz, hamma narsa oddiy bo'lib chiqadi.
Kosinusning qiymatlari qanday
Agar hisobga oladigan bo'lsak, bizda quyidagi nisbatlar mavjud bo'lib, uni aniqlaydi: burchak kosinasi a BC qo'shni oyoqning AB gipotenuzasiga nisbati (1-rasm): cos a= BC/AB.
Xuddi shu uchburchakdan foydalanib, siz burchakning sinusini, tangensini va kotangensini topishingiz mumkin. Sinus AC qarama-qarshi oyoq burchagining AB gipotenuzasiga nisbati bo'ladi. Agar kerakli burchakning sinusi bir xil burchakning kosinusiga bo'linsa, burchakning tangensi topiladi; sinus va kosinusni topish uchun mos formulalarni almashtirib, biz bu tg ni olamiz a\u003d AC / BC. Kotangens tangensga teskari funktsiya sifatida quyidagicha topiladi: ctg a= BC/AC.
Ya'ni, burchakning bir xil qiymatlari uchun to'g'ri burchakli uchburchakda tomonlar nisbati har doim bir xil ekanligi aniqlandi. Bu qiymatlar qayerdan kelgani aniq bo'lib tuyuldi, ammo nega manfiy raqamlar olinadi?
Buning uchun kartezian koordinata tizimidagi uchburchakni hisobga olishingiz kerak, bu erda ham ijobiy, ham salbiy qiymatlar mavjud.
Kvartallar haqida aniq, qayerda
Dekart koordinatalari nima? Agar ikki o'lchovli fazo haqida gapiradigan bo'lsak, bizda O nuqtada kesishadigan ikkita yo'naltirilgan chiziq bor - bu abscissa o'qi (Ox) va ordinat o'qi (Oy). O nuqtadan to'g'ri chiziq yo'nalishi bo'yicha musbat sonlar va in teskari tomon- salbiy. Oxir oqibat, bu to'g'ridan-to'g'ri qaysi chorakda kosinus ijobiy va qaysi biri mos ravishda salbiy ekanligiga bog'liq.
Birinchi chorak
Agar joylashtirilsa to'g'ri uchburchak birinchi chorakda (0 o dan 90 o gacha), bu erda x va y o'qlari mavjud ijobiy qadriyatlar(AO va VO segmentlari qiymatlar "+" belgisi bo'lgan o'qlarda yotadi), keyin sinus va kosinus ham ijobiy qiymatlarga ega bo'ladi va ularga ortiqcha belgisi bilan qiymat beriladi. Ammo uchburchakni ikkinchi chorakka (90 o dan 180 o gacha) ko'chirsangiz nima bo'ladi?
Ikkinchi chorak
Y o'qi bo'ylab AO oyog'i olinganligini ko'ramiz salbiy ma'no. Burchakning kosinusu a endi minusga nisbatan bu tomoni bor va shuning uchun uning yakuniy qiymati manfiy bo'ladi. Ma’lum bo‘lishicha, qaysi chorakda kosinus musbat bo‘lishi uchburchakning Dekart koordinata tizimida joylashishiga bog‘liq. Va bu holda, burchakning kosinasi salbiy qiymatga ega bo'ladi. Ammo sinus uchun hech narsa o'zgarmadi, chunki uning belgisini aniqlash uchun OB tomoni kerak bo'ladi, bu holda ortiqcha belgisi bilan qoldi. Keling, dastlabki ikki chorakni sarhisob qilaylik.
Qaysi choraklarda kosinus musbat va qaysilarida manfiy (shuningdek sinus va boshqa trigonometrik funktsiyalar) ekanligini bilish uchun u yoki bu oyoqqa qaysi belgi tayinlanganligini ko'rib chiqish kerak. Burchakning kosinusu uchun a AO oyog'i muhim, sinus uchun - OB.
Birinchi chorak shu paytgacha yagona savolga javob berdi: "Qaysi choraklarda sinus va kosinus bir vaqtning o'zida ijobiy bo'ladi?". Keling, ushbu ikki funktsiya belgisida ko'proq tasodiflar bo'ladimi yoki yo'qligini ko'rib chiqaylik.
Ikkinchi chorakda AO oyog'i manfiy qiymatga ega bo'la boshladi, ya'ni kosinus manfiy bo'ldi. Sinus uchun ijobiy qiymat saqlanadi.
uchinchi chorak
Endi ikkala oyog'i AO va OB salbiy bo'ldi. Kosinus va sinus nisbatlarini eslang:
Cos a \u003d AO / AB;
Sin a \u003d BO / AB.
AB har doim berilgan koordinatalar tizimida ijobiy belgiga ega, chunki u o'qlar bilan belgilangan ikki tomonning hech biriga yo'naltirilmagan. Ammo oyoqlar manfiy bo'lib qoldi, bu ikkala funktsiyaning natijasi ham salbiy ekanligini anglatadi, chunki agar siz raqamlar bilan ko'paytirish yoki bo'lish amallarini bajarsangiz, ular orasida bitta va faqat bittasi minus belgisi bo'lsa, natija ham ushbu belgi bilan bo'ladi. .
Ushbu bosqichda natija:
1) Kosinus qaysi chorakda musbat? Uchdan birinchisida.
2) Qaysi chorakda sinus musbat? Uchlikning birinchi va ikkinchisida.
To'rtinchi chorak (270 o dan 360 o gacha)
Bu erda AO oyog'i yana plyus belgisini va shuning uchun ham kosinusni oladi.
Sinus uchun narsalar hali ham "salbiy", chunki OB oyog'i O boshlang'ich nuqtasi ostida qoldi.
topilmalar
Qaysi choraklarda kosinus ijobiy, salbiy va hokazo ekanligini tushunish uchun siz kosinusni hisoblash uchun nisbatni eslab qolishingiz kerak: burchakka ulashgan oyoq, gipotenuzaga bo'linadi. Ba'zi o'qituvchilar buni eslab qolishni maslahat berishadi: k (ozin) \u003d (k) burchak. Agar siz ushbu "aldash" ni eslab qolsangiz, unda siz avtomatik ravishda sinusning oyoq burchagining gipotenuzaga qarama-qarshi nisbati ekanligini tushunasiz.
Qaysi choraklarda kosinus ijobiy va qaysi biri salbiy ekanligini eslash juda qiyin. Ko'p trigonometrik funktsiyalar mavjud va ularning barchasi o'z qiymatlariga ega. Ammo shunga qaramay, natijada: sinus uchun ijobiy qiymatlar - 1, 2 chorak (0 o dan 180 o gacha); kosinus 1 uchun, 4 chorak (0 o dan 90 o gacha va 270 o dan 360 o gacha). Qolgan choraklarda funktsiyalar minusli qiymatlarga ega.
Ehtimol, kimdir funktsiya tasviriga ko'ra, qaysi belgi qaerda ekanligini eslab qolish osonroq bo'ladi.
Sinus uchun noldan 180 o gacha cho'qqi sin (x) qiymatlar chizig'idan yuqori ekanligini ko'rish mumkin, ya'ni bu erda funktsiya musbat. Kosinus uchun ham xuddi shunday: qaysi chorakda kosinus musbat (7-rasm), qaysi qismida manfiy bo'lsa, uni chiziqni cos (x) o'qidan yuqorida va pastda siljitish orqali ko'rish mumkin. Natijada, sinusning ishorasini, kosinus funktsiyalarini aniqlashning ikkita usulini eslashimiz mumkin:
1. Radiusi birga teng bo‘lgan xayoliy aylanaga ko‘ra (aslida aylananing radiusi qanday bo‘lishi muhim emas, lekin darsliklarda bu misol ko‘pincha beriladi; bu idrok etishni osonlashtiradi, lekin shu bilan birga, agar bu muhim emasligini aniqlamasangiz, bolalar chalkashib ketishi mumkin).
2. Funktsiyaning (x) ga bog'liqligi tasviriga ko'ra, oxirgi rasmdagi kabi x argumentining o'ziga.
Birinchi usuldan foydalanib, siz belgining aniq nimaga bog'liqligini TUSHUNING mumkin va biz buni yuqorida batafsil tushuntirdik. Ushbu ma'lumotlarga asoslangan 7-rasmda natijada paydo bo'lgan funksiya va uning belgisi a'zoligi eng yaxshi tarzda tasvirlangan.
Ushbu maqola uchta asosiy xususiyatni ko'rib chiqadi trigonometrik funktsiyalar: sinus, kosinus, tangens va kotangens.
Birinchi xossa a burchak birlik aylanasining qaysi choragiga tegishli ekanligiga qarab funksiyaning belgisidir. Ikkinchi xususiyat - davriylik. Bu xususiyatga ko'ra, burchak butun aylanishlar soniga o'zgarganda, tigonometrik funktsiya o'z qiymatini o'zgartirmaydi. Uchinchi xususiyat sin, cos, tg, ctg funktsiyalarining qiymatlari a va - a qarama-qarshi burchaklarida qanday o'zgarishini aniqlaydi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ko'pincha matematik matnda yoki muammo kontekstida siz "birinchi, ikkinchi, uchinchi yoki to'rtinchi koordinatali chorakning burchagi" iborasini topishingiz mumkin. Bu nima?
Keling, birlik doirasini ko'rib chiqaylik. U to'rt chorakka bo'lingan. Biz aylanada A 0 (1, 0) boshlang'ich nuqtasini belgilaymiz va uni O nuqta atrofida a burchak bilan aylantirib, A 1 (x, y) nuqtaga erishamiz. A 1 (x, y) nuqta qaysi chorakda yotishiga qarab a burchak mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi va to‘rtinchi kvadrantlarning burchagi deb ataladi.
Aniqlik uchun biz misol keltiramiz.
Burchak a = 30 ° birinchi kvadrantda yotadi. Burchak - 210 ° - ikkinchi chorak burchak. Burchak 585 ° - uchinchi chorakning burchagi. Burchak - 45 ° - to'rtinchi chorakning burchagi.
Bunday holda, ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° burchaklar hech qanday chorakka tegishli emas, chunki ular koordinata o'qlarida yotadi.
Endi burchak qaysi chorakda joylashganligiga qarab sinus, kosinus, tangens va kotangensni qabul qiluvchi belgilarni ko'rib chiqing.
Sinus belgilarini choraklarda aniqlash uchun ta'rifni eslang. Sinus A 1 nuqtaning ordinatasi (x , y) . Rasm birinchi va ikkinchi choraklarda ijobiy, uchinchi va to'rt baravarda esa salbiy ekanligini ko'rsatadi.
Kosinus - A 1 (x, y) nuqtaning abssissasi. Shunga muvofiq aylanadagi kosinusning belgilarini aniqlaymiz. Kosinus birinchi va to'rtinchi choraklarda ijobiy, ikkinchi va uchinchi choraklarda salbiy.
Tangens va kotangens belgilarini chorak bo'yicha aniqlash uchun biz ushbu trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini ham eslaymiz. Tangens - nuqta ordinatasining abscissaga nisbati. Bu shuni anglatadiki, har xil belgilarga ega bo'lgan sonlarni bo'lish qoidasiga ko'ra, ordinata va abscissa bir xil belgilarga ega bo'lsa, aylana ustidagi teginish belgisi musbat bo'ladi, ordinata va abtsissa bo'lsa. turli belgilar- salbiy. Xuddi shunday, kotangentning choraklardagi belgilari aniqlanadi.
Esda tutish muhim!
- a burchakning sinusi 1 va 2 choraklarda ortiqcha belgisiga, 3 va 4 choraklarda minus belgisiga ega.
- a burchakning kosinusida 1 va 4 choraklarda ortiqcha belgisi, 2 va 3 choraklarda minus belgisi bor.
- a burchakning tangensi 1 va 3 choraklarda ortiqcha belgisiga, 2 va 4 choraklarda minus belgisiga ega.
- a burchak kotangensi 1 va 3 choraklarda ortiqcha belgisi, 2 va 4 choraklarda minus belgisi bor.
Davriylik xususiyati
Davriylik xossasi trigonometrik funksiyalarning eng yaqqol xossalaridan biridir.
Davriylik xususiyati
Burchak to'liq aylanishlarning butun soniga o'zgarganda, berilgan burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari o'zgarishsiz qoladi.
Haqiqatan ham, burchakni butun sonli aylanishlar bilan o'zgartirganda, biz har doim birlik doiradagi boshlang'ich A nuqtasidan bir xil koordinatali A 1 nuqtasiga erishamiz. Shunga ko'ra, sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari o'zgarmaydi.
Matematik jihatdan berilgan mulk shunday yozilgan:
sin a + 2 p z = sin a cos a + 2 p z = cos a t g a + 2 p z = t g a c t g a + 2 p z = c t g a
Ushbu xususiyatning amaliy qo'llanilishi qanday? Davriylik xususiyati, qisqarish formulalari kabi, ko'pincha sinuslar, kosinuslar, tangenslar va katta burchaklarning kotangentlari qiymatlarini hisoblash uchun ishlatiladi.
Keling, misollar keltiraylik.
sin 13 p 5 \u003d sin 3 p 5 + 2 p \u003d sin 3 p 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Keling, birlik doirasiga yana qaraylik.
A 1 (x, y) nuqta - boshlang'ich A 0 (1, 0) nuqtasini aylananing markazi atrofida a burchak bilan burish natijasidir. A 2 (x, - y) nuqta boshlang'ich nuqtani - a burchakka burish natijasidir.
A 1 va A 2 nuqtalari x o'qiga nisbatan simmetrikdir. a = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° nuqtalar A 1 va A 2 bir-biriga to'g'ri kelganda. Bir nuqtaning koordinatalari (x , y) , ikkinchisi esa - (x , - y) bo'lsin. Sinus, kosinus, tangens, kotangens ta'riflarini eslang va yozing:
sin a = y , cos a = x , t g a = y x , c t g a = x y sin - a = - y , cos - a = x , t g - a = - y x , c t g - a = x - y
Bu qarama-qarshi burchakli sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangenslarning xossasini bildiradi.
Qarama-qarshi burchakli sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangenslarning xossalari
sin - a = - sin a cos - a = cos a t g - a = - t g a c t g - a = - c t g a
Bu xususiyatga ko'ra, tenglik
sin - 48 ° = - sin 48 °, c t g p 9 = - c t g - p 9, cos 18 ° = cos - 18 °
Ko'rib chiqilayotgan xususiyat ko'pincha trigonometrik funktsiyalar argumentlarida burchaklarning manfiy belgilaridan xalos bo'lish zarur bo'lgan hollarda amaliy muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Trigonometrik doiradagi burchaklarni sanash.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Bu avvalgi darsdagi kabi deyarli bir xil. Bolta, doira, burchak bor, hamma narsa chin-china. Qo'shilgan chorak raqamlari (katta kvadratning burchaklarida) - birinchidan to'rtinchigacha. Va keyin birdan kim bilmaydi? Ko'rib turganingizdek, chorak (ular ham deyiladi go'zal so'z"kvadratlar") harakatga qarshi raqamlangan soat yo'nalishi bo'yicha. O'qlarga burchak qiymatlari qo'shildi. Hammasi aniq, hech qanday burilishlar yo'q.
Va yashil o'q qo'shildi. Plyus bilan. U nimani nazarda tutyapti? Eslatib o'taman, burchakning sobit tomoni har doim OH musbat o'qiga mixlangan. Shunday qilib, agar burchakning harakatlanuvchi tomonini burab qo'ysak ortiqcha strelka, ya'ni. o'sib borayotgan chorak raqamlarda, burchak musbat deb hisoblanadi. Misol uchun, rasmda +60 ° musbat burchak ko'rsatilgan.
Agar burchaklarni kechiktirsak teskari yo'nalishda, soat yo'nalishi bo'yicha, burchak salbiy hisoblanadi. Surat ustiga kursorni olib boring (yoki planshetdagi rasmga teging), siz minusli ko'k o'qni ko'rasiz. Bu burchaklarni salbiy o'qishning yo'nalishi. Misol sifatida salbiy burchak (-60 °) ko'rsatilgan. Va siz o'qlardagi raqamlar qanday o'zgarganini ham ko'rasiz ... Men ularni salbiy burchaklarga ham tarjima qildim. Kvadrantlarning raqamlanishi o'zgarmaydi.
Bu erda, odatda, birinchi tushunmovchiliklar boshlanadi. Qanaqasiga!? Va agar aylanadagi manfiy burchak musbatga to'g'ri kelsa!? Va umuman olganda, ma'lum bo'lishicha, harakatlanuvchi tomonning (yoki son doirasidagi nuqtaning) bir xil holatini ham salbiy, ham ijobiy burchak deb atash mumkin!?
Ha. Aynan shunday. Aytaylik, 90 graduslik musbat burchak aylana oladi aynan bir xil minus 270 daraja salbiy burchak sifatida joylashtiring. Ijobiy burchak, masalan, +110 ° daraja, oladi aynan bir xil manfiy burchak -250 ° bo'lgan joy.
Hammasi joyida. Hammasi to'g'ri.) Burchakning ijobiy yoki salbiy hisobini tanlash topshiriqning shartiga bog'liq. Agar shart hech narsa demasa Oddiy matn burchak belgisi haqida, ("eng kichigini aniqlang" kabi ijobiy burchak" va boshqalar), keyin biz uchun qulay bo'lgan qadriyatlar bilan ishlaymiz.
Istisno (va ularsiz qanday qilib ?!) trigonometrik tengsizliklar, ammo u erda biz bu hiylani o'zlashtiramiz.
Va endi sizga savol. 110 ° burchakning pozitsiyasi -250 ° burchakning pozitsiyasi bilan bir xil ekanligini qanday bilsam bo'ladi?
Men ishora qilaman, bu to'liq aylanma bilan bog'liq. 360° da... Aniq emasmi? Keyin aylana chizamiz. Biz qog'ozga chizamiz. Burchakni belgilash haqida 110°. Va ishon to'liq burilishgacha qancha qoladi. Faqat 250° qoldi...
Tushundim? Va endi - diqqat! Agar 110° va -250° burchaklar aylanani egallasa bir xil
pozitsiya, keyin nima? Ha, burchaklar 110 ° va -250 ° ekanligi haqiqatdir aynan bir xil
sinus, kosinus, tangens va kotangens!
Bular. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) va hokazo. Endi bu juda muhim! Va o'z-o'zidan - ifodalarni soddalashtirish zarur bo'lgan va qisqartirish formulalarini va trigonometriyaning boshqa nozikliklarini keyinchalik ishlab chiqish uchun asos bo'lgan juda ko'p vazifalar mavjud.
Albatta, men tasodifan 110 ° va -250 ° ni oldim, masalan. Bu tengliklarning barchasi aylanada bir xil pozitsiyani egallagan har qanday burchaklar uchun ishlaydi. 60° va -300°, -75° va 285° va hokazo. Men darhol ta'kidlaymanki, bu juftlikdagi burchaklar - har xil. Ammo ular trigonometrik funktsiyalarga ega - xuddi shu.
O'ylaymanki, siz salbiy burchaklar nima ekanligini tushunasiz. Bu juda oddiy. Soat miliga teskari yo'nalish - ijobiy hisob. Yo'l davomida bu salbiy. Burchakni ijobiy yoki salbiy deb hisoblang bizga bog'liq. Bizning xohishimizdan. Xo'sh, va vazifadan ko'proq narsa, albatta ... Umid qilamanki, siz trigonometrik funktsiyalarda salbiydan ijobiy burchakka va aksincha, qanday o'tishni tushunasiz. Bir doira, taxminiy burchakni chizish va to'liq burilishdan oldin qancha etishmayotganini ko'ring, ya'ni. 360 ° gacha.
360° dan katta burchaklar.
Keling, 360 ° dan katta burchaklar bilan shug'ullanamiz. Va bunday narsalar sodir bo'ladimi? Albatta bor. Ularni aylanaga qanday chizish mumkin? Muammo emas! Aytaylik, qaysi chorakda 1000 ° burchakka tushishini tushunishimiz kerak? Osonlik bilan! Biz soat sohasi farqli ravishda bir marta to'liq burilish qilamiz (burchak bizga ijobiy berilgan!). 360° orqaga burish. Xo'sh, davom etaylik! Yana bir burilish - u allaqachon 720 ° ga aylandi. Qancha qoldi? 280°. To'liq burilish uchun bu etarli emas ... Lekin burchak 270 ° dan ortiq - va bu uchinchi va to'rtinchi chorak o'rtasidagi chegara. Shunday qilib, bizning 1000 ° burchagi to'rtinchi chorakka to'g'ri keladi. Hamma narsa.
Ko'rib turganingizdek, bu juda oddiy. Yana bir bor eslatib o'tamanki, biz "qo'shimcha" to'liq burilishlardan voz kechish orqali olingan 1000 ° burchak va 280 ° burchaklar, qat'iy aytganda, har xil burchaklar. Ammo bu burchaklarning trigonometrik funktsiyalari aynan bir xil! Bular. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° va hokazo. Agar men sinus bo'lganimda, bu ikki burchak orasidagi farqni sezmagan bo'lardim ...
Bularning barchasi nima uchun kerak? Nima uchun burchaklarni biridan ikkinchisiga tarjima qilishimiz kerak? Ha, hammasi bir xil.) Ifodalarni soddalashtirish uchun. Ifodalarni soddalashtirish, aslida, maktab matematikasining asosiy vazifasidir. Xo'sh, yo'lda bosh mashq qilmoqda.)
Xo'sh, mashq qilaylikmi?)
Savollarga javob beramiz. Avvaliga oddiy.
1. -325° burchak qaysi chorakda tushadi?
2. 3000° burchak qaysi chorakda tushadi?
3. -3000° burchak qaysi chorakda tushadi?
Muammo bormi? Yoki ishonchsizlikmi? Biz 555-bo'limga o'tamiz, Trigonometrik doira bilan amaliy ish. U erda, birinchi darsda " amaliy ish..." hamma narsa batafsil ... In shunday noaniqlik savollari kerak emas!
4. Sin555° ning belgisi nima?
5. Tg555° ning belgisi nima?
Qat'iymi? Yaxshi! Shubha? 555-bo'limga kerak ... Aytgancha, u erda siz trigonometrik doirada tangens va kotangensni qanday chizishni o'rganasiz. Juda foydali narsa.
Va endi aqlli savollar.
6. sin777° ifodasini eng kichik musbat burchak sinusiga keltiring.
7. cos777° ifodasini eng katta manfiy burchakning kosinusiga keltiring.
8. cos(-777°) ifodani eng kichik musbat burchak kosinusiga aylantiring.
9. sin777° ifodasini eng katta manfiy burchak sinusiga keltiring.
Nima, 6-9-savollar jumboqmi? Ko'niking, imtihonda bunday formulalar yo'q... Shunday bo'lsin, men uni tarjima qilaman. Faqat siz uchun!
"Ifodani ... ga qisqartirish" so'zlari ifodani uning qiymatiga aylantirishni anglatadi o'zgarmagan a tashqi ko'rinish vazifaga muvofiq o'zgartirildi. Shunday qilib, 6 va 9-topshiriqlarda biz sinusni olishimiz kerak, uning ichida eng kichik musbat burchak. Boshqa hamma narsa muhim emas.
Javoblarni tartibda beraman (qoidalarimizni buzgan holda). Lekin nima qilish kerak, faqat ikkita belgi bor va faqat to'rtdan to'rtta ... Siz variantlarda tarqalmaysiz.
6. sin57°.
7.cos(-57°).
8.cos57°.
9.-sin(-57°)
O'ylaymanki, 6-9-savollarga berilgan javoblar ba'zilarni chalkashtirib yubordi. Ayniqsa -sin(-57°), to'g'rimi?) Darhaqiqat, burchaklarni hisoblashning elementar qoidalarida xatolar uchun joy bor ... Shuning uchun men dars qilishim kerak edi: "Trigonometrik doirada funktsiyalarning belgilarini qanday aniqlash va burchaklarni berish kerak?" 555-bo'limda. 4-9-topshiriqlar saralangan. Yaxshi tartiblangan, barcha tuzoqlari bilan. Va ular shu erda.)
Keyingi darsda biz sirli radianlar va "Pi" raqami bilan shug'ullanamiz. Qanday qilib oson va to'g'ri darajalarni radianga va aksincha aylantirishni o'rganing. Va biz bu elementar ma'lumotni saytda topishga hayron qolamiz allaqachon yetarli ba'zi nostandart trigonometriya jumboqlarini hal qilish uchun!
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.