Bir açının derece ölçüsü. Bir açının radyan ölçüsü. Dereceyi radyana veya tam tersine dönüştürün

Bu yazımızda açı ölçümünün temel birimleri olan dereceler ve radyanlar arasında bir ilişki kuracağız. Bu bağlantı sonunda gerçekleştirmemize izin verecek dereceleri radyana çevirme ve bunun tersi. Bu işlemlerin zorluklara neden olmaması için, dereceleri radyana dönüştürmek için bir formül ve radyandan dereceye dönüştürmek için bir formül elde edeceğiz, ardından örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Sayfa gezintisi.

Derece ve radyan arasındaki ilişki

Bir açının hem derecesi hem de radyan ölçüsü biliniyorsa derece ve radyan arasındaki bağlantı kurulacaktır (bir açının derece ve radyan ölçüsü bölümde bulunabilir).

Hadi alalım orta köşe, yarıçaplı bir dairenin çapına göre r . Bu açının ölçüsünü radyan cinsinden hesaplayabiliriz: bunun için yayın uzunluğunu dairenin yarıçapının uzunluğuna bölmemiz gerekir. Bu açı, yayın uzunluğuna karşılık gelir, yarım çevre, yani, . Bu uzunluğu r yarıçapının uzunluğuna bölerek aldığımız açının radyan ölçüsünü elde ederiz. Yani açımız rad. Öte yandan, bu açı genişletilir, 180 dereceye eşittir. Bu nedenle, pi radyan 180 derecedir.

Yani formülle ifade edilir. π radyan = 180 derece, yani .

Dereceleri radyana ve radyanı dereceye çevirme formülleri

Bir önceki paragrafta elde ettiğimiz formun eşitliğinden türetilmesi kolaydır. radyanı dereceye ve dereceyi radyana dönüştürmek için formüller.

Denklemin her iki tarafını da pi'ye bölerek, bir radyanı derece cinsinden ifade eden bir formül elde ederiz: . Bu formül, bir radyanın derece ölçüsünün 180/π olduğu anlamına gelir. Eşitliğin sol ve sağ kısımlarını değiştirirsek, her iki kısmı da 180'e bölersek, formun bir formülünü elde ederiz. . Radyan cinsinden bir dereceyi ifade eder.

Merakımızı gidermek için, bir radyan açının derece cinsinden yaklaşık değerini ve bir derecelik bir açının radyan cinsinden değerini hesaplıyoruz. Bunu yapmak için, on binde bire kadar doğru olan pi sayısının değerini alın, formüllerde değiştirin. ve ve hesaplamaları yapın. Sahibiz ve . Yani, bir radyan yaklaşık 57 derecedir ve bir derece 0.0175 radyandır.

Son olarak elde edilen ilişkilerden ve hadi radyanı dereceye ve tam tersine çevirme formüllerine geçelim ve ayrıca bu formüllerin uygulama örneklerini ele alalım.

Radyanı dereceye çevirme formülüşuna benziyor: . Böylece, açının radyan cinsinden değeri biliniyorsa, onu 180 ile çarpıp pi'ye bölerek bu açının derece cinsinden değerini elde ederiz.

Misal.

3.2 radyanlık bir açı verildi. Bu açının ölçüsü kaç derecedir?

Karar.

Radyandan dereceye dönüştürmek için formülü kullanıyoruz, elimizde

Cevap:

.

Dereceleri radyana çevirme formülü forma sahip . Yani açının derece cinsinden değeri biliniyorsa, pi ile çarpılıp 180'e bölünerek bu açının radyan cinsinden değerini elde ederiz. Örnek bir çözüm düşünelim.

Açılar derece veya radyan cinsinden ölçülür. Bu ölçü birimleri arasındaki ilişkiyi anlamak önemlidir. Bu ilişkiyi anlamak, açılarla çalışmanıza ve dereceden radyana geçiş yapmanıza ve bunun tersini yapmanıza olanak tanır. Bu makalede, dereceleri radyana ve radyanı dereceye dönüştürmek için bir formül türeteceğiz ve uygulamadan birkaç örnek analiz edeceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Derece ve radyan arasındaki ilişki

Derece ve radyan arasında bir ilişki kurmak için bir açının derecesini ve radyan ölçüsünü bilmeniz gerekir. Örneğin, yarıçapı r olan bir dairenin çapına dayanan bir merkez açı alalım. Bu açının radyan ölçüsünü hesaplamak için yayın uzunluğunu dairenin yarıçapının uzunluğuna bölmeniz gerekir. Dikkate alınan açı, π · r çemberinin uzunluğunun yarısına eşit olan yayın uzunluğuna karşılık gelir. Yayın uzunluğunu yarıçapa bölün ve açının radyan ölçüsünü alın: π · r r = π rad.

Yani söz konusu açı π radyandır. Öte yandan, 180 ° 'ye eşit bir doğru açıdır. Dolayısıyla 180° = π rad.

Derecelerin radyanlarla ilişkisi

Radyanlar ve dereceler arasındaki ilişki formülle ifade edilir.

π radyan = 180°

Radyanları dereceye ve tersine çevirmek için formüller

Yukarıda elde edilen formülden, açıları radyandan dereceye ve dereceden radyana dönüştürmek için başka formüller türetilebilir.

Bir radyanı derece cinsinden ifade edin. Bunu yapmak için yarıçapın sol ve sağ kısımlarını pi'ye böleriz.

1 rad \u003d 180 π ° - 1 radyandaki bir açının derece ölçüsü 180 π'dir.

Ayrıca bir dereceyi radyan olarak da ifade edebilirsiniz.

1 ° = π 180 r a d

Açı değerlerinin yaklaşık hesaplamalarını radyan cinsinden veya tam tersi şekilde yapabilirsiniz. Bunu yapmak için, π sayısının on binde bire kadar olan değerlerini alıyoruz ve bunları elde edilen formüllerde değiştiriyoruz.

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Yani bir radyanda yaklaşık 57 derece vardır.

1 ° = π 180 rad = 3.1416 180 rad = 0.0175 rad

Bir derece 0.0175 radyan içerir.

Radyanı dereceye çevirme formülü

x ra d = x 180 π °

Bir açıyı radyandan dereceye dönüştürmek için radyan cinsinden açıyı 180 ile çarpın ve pi'ye bölün.

Dereceleri radyana ve radyanı dereceye çevirme örnekleri

Bir örnek düşünün.

Örnek 1: Radyandan dereceye dönüştürme

α = 3 , 2 rad olsun. Bu açının derece ölçüsünü bilmeniz gerekir.

Resime bakalım. \(AB \) vektörü \(A \) noktasına göre belirli bir miktarda "döndü". Yani bu dönüşün ilk konuma göre ölçüsü açı \(\alfa \).

Açı kavramı hakkında bilmeniz gereken başka neler var? Eh, açı birimleri, elbette!

Hem geometride hem de trigonometride açı, derece ve radyan cinsinden ölçülebilir.

\(1()^\circ \) (bir derece) içindeki bir açı, dairenin \(\dfrac(1)(360) \) kısmına eşit bir dairesel yayı temel alan bir dairedeki merkez açıdır.

Yani tüm daire dairesel yayların \(360 \) "parçalarından" oluşur veya daire tarafından tanımlanan açı \(360()^\circ \) 'dir.

Diğer bir deyişle, yukarıdaki şekil \(\beta \) \(50()^\circ \) değerine eşit olan açıyı gösterir, yani bu açı, \(\dfrac(50)(360) büyüklüğünde bir dairesel yayı temel alır. ) \) çevresi.

\(1 \) radyan cinsinden bir açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan dairesel bir yaya dayanan bir dairedeki merkez açıdır.

Böylece, şekil \(\gamma \) \(1 \) radyana eşit açıyı gösterir, yani bu açı, uzunluğu dairenin yarıçapına (uzunluk \) eşit olan dairesel bir yayı temel alır. (AB \), \(BB" \) uzunluğuna eşittir veya \(r \) yarıçapı, yayın uzunluğuna \(l \) eşittir ) Böylece, yayın uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:

\(l=\theta \cdot r \) , burada \(\theta \) radyan cinsinden merkez açıdır.

Peki, bunu bilerek, kaç radyanın bir daire tarafından tanımlanan bir açı içerdiğini cevaplayabilir misiniz? Evet, bunun için bir dairenin çevresi formülünü hatırlamanız gerekir. İşte burada:

\(L=2\pi \cdot r\)

Şimdi bu iki formülü ilişkilendirelim ve daire tarafından tanımlanan açının \(2\pi \) olduğunu elde edelim. Yani, değeri derece ve radyan cinsinden ilişkilendirerek, \(2\pi =360()^\circ \) elde ederiz. Buna göre, \(\pi =180()^\circ \) . Gördüğünüz gibi, "derecelerden" farklı olarak, ölçüm birimi genellikle bağlamdan açık olduğu için "radyan" kelimesi atlanır.

Trigonometrik fonksiyonlar argümanı olan temel fonksiyonlardır enjeksiyon. Aracılığıyla trigonometrik fonksiyonlar taraflar arasındaki ilişkiyi açıklar ve keskin köşeler bir dik üçgende. Trigonometrik fonksiyonların uygulama alanları son derece çeşitlidir. Bu nedenle, örneğin, herhangi bir periyodik süreç, trigonometrik fonksiyonların (Fourier serisi) toplamı olarak temsil edilebilir. Bu fonksiyonlar genellikle diferansiyel ve fonksiyonel denklemleri çözerken ortaya çıkar.

Trigonometrik fonksiyonlar aşağıdaki 6 fonksiyonu içerir: sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant, sekant ve kosekant. Bu fonksiyonların her biri için bir ters trigonometrik fonksiyon vardır.

Trigonometrik fonksiyonların geometrik tanımı, aşağıdakiler kullanılarak kolayca tanıtılır: birim çember. Aşağıdaki şekil yarıçaplı bir daireyi göstermektedir. r= 1. Daire üzerinde bir nokta işaretlenmiştir. M(x,y). yarıçap vektörü arasındaki açı OM ve pozitif eksen yönü Öküz eşittir α .

sinüs açı α y puan M(x,y) yarıçapa r: günah α = y/r. kadarıyla r= 1, o zaman sinüs noktanın ordinatına eşittir M(x,y).

kosinüs açı α x puan M(x,y) yarıçapa r: çünkü α = x/r = x

teğet açı α ordinatın oranı denir y puan M(x,y) kendi apsisine x:tan α = y/x, x ≠ 0

Kotanjant açı α apsis oranı denir x puan M(x,y) onun koordinatına y: kedi α = x/y, y ≠ 0

Sekant açı α yarıçap oranı r apsise x puan M(x,y): saniye α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekant açı α yarıçap oranı r ordinata y puan M(x,y): kosek α = r/y = 1/y, y ≠ 0

Tek bir projeksiyon dairesinde x, y puan M(x,y) ve yarıçap r olduğu bir dik üçgen oluşturun x, y bacaklardır ve r- hipotenüs. Bu nedenle, bir dik üçgene uygulanan trigonometrik fonksiyonların yukarıdaki tanımları aşağıdaki gibi formüle edilir: sinüs açı α karşı bacağın hipotenüse oranıdır. kosinüs açı α bitişik bacağın hipotenüse oranıdır. teğet açı α bitişikteki karşı bacak denir. Kotanjant açı α karşıdaki bacağa denir.

sinüs fonksiyon grafiği y= günah x, alan adı: x ∈ ℜ , aralık: −1 ≤ günah x ≤ 1

kosinüs fonksiyonunun grafiği y= çünkü x, alan adı: x ∈ ℜ , aralık: -1 ≤ cos x ≤ 1

teğet fonksiyon grafiği y= ttg x, alan adı: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, aralık: -∞< tg x < ∞

Kotanjant fonksiyonunun grafiği y=ctg x, alan adı: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, aralık: -∞< ctg x < ∞