Çarpanların türevi. Fonksiyonların toplamının ve farkının türevi. Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir

Tanımı takip edersek, bir noktada bir fonksiyonun türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının sınırıdır. yΔ argümanının artışına x:

Her şey açık görünüyor. Ama bu formülle hesaplamaya çalışın, örneğin fonksiyonun türevi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Her şeyi tanım gereği yaparsanız, birkaç sayfa hesaplamadan sonra uykuya dalarsınız. Bu nedenle, daha basit ve daha etkili yollar vardır.

Başlangıç ​​olarak, sözde temel işlevlerin tüm işlevlerden ayırt edilebileceğini not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya girilen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür işlevlerin türevleriyle birlikte hatırlanması yeterince kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenen her şeydir. Bu fonksiyonların türevleri ezbere bilinmelidir. Dahası, onları ezberlemek zor değil - bu yüzden basitler.

Böylece, temel fonksiyonların türevleri:

Temel bir işlev keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni işlevin türevi de kolayca hesaplanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası. Artık çok temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre türevlenebilen yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacaktır. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplam ve farkın türevi

fonksiyonlar olsun f(x) ve g(x), türevleri bizim tarafımızdan bilinmektedir. Örneğin, yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Yani, iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla terim olabilir. Örneğin, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Açıkçası, cebirde "çıkarma" kavramı yoktur. "Negatif unsur" kavramı var. Bu nedenle, fark f − g toplam olarak yeniden yazılabilir f+ (−1) g ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

f(x) = x 2 + günah; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

İşlev f(x) iki temel fonksiyonun toplamıdır, yani:

f ’(x) = (x 2+ günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cosx;

İşlev için benzer şekilde tartışıyoruz g(x). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cevap:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Bir ürünün türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, o kadar çok insan, toplamın türevi türevlerin toplamına eşitse, o zaman ürünün türevinin olduğuna inanır. vuruş"\u003e türevlerin ürününe eşittir. Ama incir size! Ürünün türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formül basittir, ancak çoğu zaman unutulur. Ve sadece okul çocukları değil, aynı zamanda öğrenciler. Sonuç, yanlış çözülmüş problemlerdir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: f(x) = x 3 kosk; g(x) = (x 2 + 7x- 7) · e x .

İşlev f(x) iki temel işlevin bir ürünüdür, bu nedenle her şey basittir:

f ’(x) = (x 3 çünkü x)’ = (x 3)' çünkü x + x 3 (çünkü x)’ = 3x 2 çünkü x + x 3 (-günah x) = x 2 (3cos x − x günah x)

İşlev g(x) ilk çarpan biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bundan değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk çarpanı g(x) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x- 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cevap:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Son adımda türevin çarpanlara ayrıldığına dikkat edin. Resmi olarak, bu gerekli değildir, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, ancak işlevi keşfetmek için hesaplanır. Bu, türevin sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin bulunacağı vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, çarpanlara ayrılmış bir ifadeye sahip olmak daha iyidir.

iki fonksiyon varsa f(x) ve g(x), ve g(x) ≠ 0 kümesinde bizi ilgilendiriyor, yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz h(x) = f(x)/g(x). Böyle bir fonksiyon için türevi de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Niye ya g 2? Ama böyle! Bu en karmaşık formüllerden biridir - bir şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle, belirli örneklerle çalışmak daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payında ve paydasında temel fonksiyonlar vardır, bu yüzden tek ihtiyacımız olan bölümün türevi formülü:

Geleneğe göre, payı faktörlere ayırıyoruz - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyon mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül değildir. Örneğin, işlevi almak yeterlidir. f(x) = günah x ve değişkeni değiştirin x, söyle, üzerinde x 2+ln x. ortaya çıkıyor f(x) = günah ( x 2+ln x) karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var, ancak onu yukarıda tartışılan kurallara göre bulmak işe yaramayacak.

Nasıl olunur? Bu gibi durumlarda, bir değişkenin değiştirilmesi ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü aşağıdakilere yardımcı olur:

f ’(x) = f ’(t) · t', Eğer x ile değiştirilir t(x).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasıyla ilgili durum, bölümün türevinden daha da üzücü. Bu nedenle, her adımın ayrıntılı bir açıklaması ile belirli örneklerle açıklamak da daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2+ln x)

İşlevde ise f(x) ifade 2 yerine x+ 3 kolay olacak x, sonra bir temel fonksiyon elde ederiz f(x) = e x. Bu nedenle, bir ikame yaparız: 2'ye izin ver x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Karmaşık bir fonksiyonun türevini şu formülle arıyoruz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme gerçekleştirme: t = 2x+ 3. Şunları elde ederiz:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Şimdi fonksiyona bakalım g(x). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor. x 2+ln x = t. Sahibiz:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = çünkü t · t ’

Ters değiştirme: t = x 2+ln x. Sonra:

g ’(x) = çünkü( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = çünkü ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Bu kadar! Son ifadeden de anlaşılacağı gibi, tüm problem toplamın türevinin hesaplanmasına indirgenmiştir.

Cevap:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünkü ( x 2+ln x).

Derslerimde çok sık “türev” terimi yerine “inme” kelimesini kullanırım. Örneğin, toplamın vuruşu, vuruşların toplamına eşittir. Bu daha net mi? Tamam bu harika.

Böylece, türevin hesaplanması, yukarıda tartışılan kurallara göre bu vuruşlardan kurtulmaya gelir. Son bir örnek olarak, rasyonel bir üsle türev kuvvetine dönelim:

(x n)’ = n · x n − 1

Rolde bunu çok az kişi biliyor n kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök x 0,5 . Ama ya kökün altında zor bir şey varsa? Yine, karmaşık bir işlev ortaya çıkacak - bu tür yapıları testlerde ve sınavlarda vermeyi seviyorlar.

Görev. Bir fonksiyonun türevini bulun:

İlk olarak, kökü rasyonel üslü bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Şimdi bir değişiklik yapıyoruz: izin ver x 2 + 8x − 7 = t. Türevi aşağıdaki formülle buluruz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0.5 t ’.

Ters bir ikame yaparız: t = x 2 + 8x− 7. Bizde:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) -0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Son olarak, köklere geri dönelim:

Hesaplayıcı, tüm temel fonksiyonların türevlerini hesaplayarak ayrıntılı bir çözüm sunar. Farklılaşma değişkeni otomatik olarak belirlenir.

fonksiyon türevi matematiksel analizdeki en önemli kavramlardan biridir. Bu tür problemler türevin ortaya çıkmasına neden oldu, örneğin bir noktanın bir andaki anlık hızının hesaplanması, eğer yol zamana bağlı olarak biliniyorsa, bir noktada bir fonksiyona teğet bulma problemi .

Çoğu zaman, bir fonksiyonun türevi, eğer varsa, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının sınırı olarak tanımlanır.

Tanım. Fonksiyon, noktanın bir komşuluğunda tanımlansın. O zaman fonksiyonun noktadaki türevi varsa limit denir.

Bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır?

Fonksiyonları ayırt etmeyi öğrenmek için öğrenmek ve anlamak gerekir. farklılaşma kuralları ve nasıl kullanılacağını öğrenin türev tablosu.

farklılaşma kuralları

Gerçek bir değişkenin keyfi türevlenebilir fonksiyonları olsun ve olsun, bazı gerçek sabitler olsun. Sonra

fonksiyonların çarpımını ayırt etme kuralıdır

bölüm fonksiyonlarının türevini alma kuralıdır

0 yükseklik=33 genişlik=370 style="dikey hizalama: -12px;"> - değişken üslü bir fonksiyonun türevi

- karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralı

güç fonksiyonu türev alma kuralıdır

Çevrimiçi bir fonksiyonun türevi

Hesap makinemiz, çevrimiçi olarak herhangi bir fonksiyonun türevini hızlı ve doğru bir şekilde hesaplayacaktır. Program türevi hesaplarken hata yapmayacak ve uzun ve sıkıcı hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olacaktır. Çözümünüzün doğruluğunu kontrol etmeniz gerektiğinde ve yanlışsa hemen bir hata bulduğunuzda çevrimiçi bir hesap makinesi de yararlı olacaktır.

Türev ve hesaplama yöntemleri hakkında bilgi sahibi olmadan matematikteki fiziksel problemleri veya örnekleri çözmek kesinlikle imkansızdır. Türev, matematiksel analizin en önemli kavramlarından biridir. Bugünün makalesini bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli aralıklarla verilen (a,b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. x değiştiğinde, fonksiyonun kendisi değişir. Argüman değişikliği - değerlerinin farkı x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türev tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, verilen bir noktadaki fonksiyonun artışının, argüman sıfıra eğilimli olduğunda, argümanın artışına oranının sınırıdır.

Aksi takdirde şöyle yazılabilir:

Böyle bir limit bulmanın anlamı nedir? Fakat hangisi:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni ile fonksiyonun grafiğinin verilen bir noktadaki tanjantı arasındaki açının tanjantına eşittir.

Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Gerçekten de okul günlerinden beri herkes hızın özel bir yol olduğunu biliyor. x=f(t) ve zaman t . Belirli bir süre boyunca ortalama hız:

Bir seferde hareketin hızını bulmak için t0 sınırı hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: sabiti çıkar

Sabit, türevin işaretinden çıkarılabilir. Üstelik yapılmalıdır. Matematikte örnekleri çözerken, kural olarak alın - ifadeyi sadeleştirebiliyorsanız, sadeleştirdiğinizden emin olun. .

Misal. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin bir kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örneği ele alacağız.

Bir fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: bir fonksiyonun türevini bulun:

Karar:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanması hakkında söylemek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin, ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin ürününe eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda, ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için, önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini ele alırız ve sonra ara argümanın bağımsız değişkene göre türeviyle çarparız.

Dördüncü Kural: İki fonksiyonun bölümünün türevi

İki fonksiyonun bir bölümünün türevini belirlemek için formül:

Sıfırdan mankenler için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde genellikle tuzaklar vardır, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konulardaki herhangi bir sorunuz için öğrenci servisi ile iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce türev hesaplama ile hiç ilgilenmemiş olsanız bile, en zor kontrolü çözmenize ve görevlerle uğraşmanıza yardımcı olacağız.